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第 4 节 一元一次不等式(组)及其应用
回归教材·过基础
【知识体系】
【考点清单】
知识点1 不等式及其性质
用符号“>”(或“≥”)、“<”(或“≤”)、“≠”连接起来的
定义
式子
不等式的解 使不等式成立的未知数的值
一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等
不等式的解集
式的解集
1.不等式两边加(或减)同一个数(或
若a>b,则a±c>b±c
式子),不等号的方向①
若a>b,c>0,
2.不等式两边乘(或除以)同一个正
数,
a b
不等式的基本性质 不等号的方向② 则a·c>b·c 或 c > c
若a>b,c<0,
3.不等式两边乘(或除以)同一个负
数,
a b
则a·c<b·c 或 <
不等号的方向③ c c
知识点2 一元一次不等式及其解法
只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是整式,
定义
未知数的次数是1的不等式
一般形式 ax+b>0或ax+b<0
解一元一次不等式的
去分母;去括号;移项;合并同类项;系数化为1
一般步骤
知识点3 一元一次不等式的解法及解集表示
1.一般步骤:一元一次不等式组→解每个一元一次不等式→在数轴上确定所有不等式解集的公共
部分→确定原不等式组的解集.
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2.解集表示
类型(a>b) 在数轴表示 口诀 解集
{x>a,
同大取大 x>a
x>b
{x<a,
同小取④ ⑤
x<b
{x<a,
大小小大中间找 ⑥
x>b
{x>a,
大大小小无处找 无解
x<b
知识点4 一元一次不等式的应用
(1)根据题意,恰当地设置未知数
{
1.列不等式 (2)用代数式表示各过程量
(3)根据不等关系列出不等式
解不等式→根据不等式的性质求解
2.常见关键词与不等号的关系表
常用关键词 符号
大于、多于、超过、高于 >
小于、少于、不足、低于 ⑦
不小于、不少于、至少、不低
⑧
于
不大于、不超过、至多、不高
⑨
于
真题精粹·重变式
考向1 一元一次不等式的解法及解集表示
1.(2024·福建)不等式3x-2<1的解集是 .
热点训练
2.不等式4x<3x+2的解集是 ( )
A.x>-2 B.x<-2
C.x>2 D.x<2
3.关于x的一元一次不等式x-3≥0的解集在数轴上表示为 ( )
A B
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C D
4.解不等式:2(3x-2)>x+1.
考向2 一元一次不等式组的解法及解集表示 6年3考
{x−1>0,
5.(2022·福建)不等式组 的解集是 ( )
x−3≤0
A.x>1 B.1<x<3
C.1<x≤3 D.x≤3
真题变式
变设问
{3−x≥1,
6.不等式组 的解集在数轴上表示正确的是 ( )
2x>−2
A B
C D
{
2x+1<3,①
7.(2023·福建)解不等式组:
x 1−3x
+ ≤1.②
2 4
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真题变式
变条件——融入括号
{1
(2x+8)≥3,①
8.解不等式组 4 并把它的解集在数轴上表示出来.
2x−3<x.②
{ x≥3−2x,①
9.(2021·福建)解不等式组:
x−1 x−3
- <1.②
2 6
热点训练
{5x−10≤0,
10.解不等式组 并把解集在数轴上表示出来.
x+3>−2x,
考向3 一元一次不等式(组)的实际应用 6年1考
11.(2019·福建)某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念,投资组建了日废水处理
量为m吨的废水处理车间,对该厂工业废水进行无害化处理.但随着工厂生产规模的扩大,该车间
经常无法完成当天工业废水的处理任务,需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理.已
知该车间处理废水,每天需固定成本30元,并且每处理1吨废水还需其他费用8元;将废水交给第
三方企业处理,每吨需支付12元.根据记录,5月21日,该厂产生工业废水35吨,共花费废水处理费
370元.
(1)求该车间的日废水处理量.
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(2)为实现可持续发展,走绿色发展之路,该工厂合理控制了生产规模,使得每天废水处理的平均费
用不超过10元/吨,试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.
核心突破·拓思维
考点 一元一次不等式(组)应用
三月份某学校开展了“朗读月”系列活动,活动结束后,为了表彰优秀学生,学校准备购买一
些钢笔和笔记本作为奖品进行奖励,已知购买3支钢笔和4本笔记本需要93元,购买2支钢笔和5
本笔记本需要90元.
(1)试求出每支钢笔和每本笔记本的价格.
(2)学校计划用不超过500元购买两种奖品共40份,问最多可以买几支钢笔?
解题指南 (1)用未知数设出买1支钢笔和1本笔记本所需的费用,根据条件“购买 支钢
笔和 本笔记本需要93元,购买 支钢笔和 本笔记本需要90元”列方程组求出
未知数的值,即可得解.
(2)设购买钢笔的数量为a支,则笔记本的数量为 本,根据总费用不超过500元,列出不等式
解答即可.
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如图,“开心”农场准备用50 m的护栏围成一块靠墙的矩形花园,设矩形花园的长为a
m,宽为b m.
(1)当a=20时,求b的值.
(2)受场地条件的限制,a的取值范围为18≤a≤26,求b的取值范围.
某学校为丰富同学们的课余生活,购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用,
其中购买象棋花费420元,购买围棋花费756元,已知每副围棋比每副象棋贵8元.
(1)每副围棋和象棋各是多少元?
(2)若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副,且再次购买的费用不超过600元,则该校最多可
再购买多少副围棋?
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风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞.该大桥限重标志牌显
示,载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行.现有一辆自重8吨的卡车,要运输若干套某种设备,每
套设备由1个A部件和3个B部件组成,这种设备必须成套运输.已知1个A部件和2个B部件的
总质量为2.8吨,2个A部件和3个B部件的质量相等.
(1)求1个A部件的质量和1个B部件的质量.
(2)该卡车要运输这种成套设备通过此大桥,一次最多可运输多少套这种设备.
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参考答案
回归教材·过基础
考点清单
①不变 ②不变 ③改变 ④小 ⑤x<b ⑥b<x<a ⑦< ⑧≥ ⑨≤
真题精粹·重变式
1.x<1 2.D 3.B
4.解析:去括号,得6x-4>x+1,
移项,得6x-x>4+1,
合并同类项,得5x>5,
∴x>1.
5.C 6.C
7.解析:解不等式①,得x<1,
解不等式②,得x≥-3,
所以原不等式组的解集为-3≤x<1.
8.解析:解不等式①,得x≥2,解不等式②,得x<3,
∴该不等式组的解集为2≤x<3.
将解集表示在数轴上如图所示.
9.解析:解不等式①,得x≥1,
解不等式②,得x<3,
所以该不等式组的解集为1≤x<3.
10.解析:由5x-10≤0,得x≤2,
由x+3>-2x,得x>-1,
则不等式组的解集为-1<x≤2,
将不等式组的解集表示在数轴上如下:
370−30 68
11.解析:(1)∵处理废水35吨花费370元,且 = >8,∴m<35,
35 7
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∴30+8m+12(35-m)=370,解得m=20.
答:该车间的旧废水处理量为20吨.
(2)设一天生产废水x吨,则
当0<x≤20时,8x+30≤10x,解得15≤x≤20;
当x>20时,12(x-20)+160+30≤10x,
解得20<x≤25.
综上所述,15≤x≤25.
答:该厂一天产生的工业废水量的范围在15吨到25吨之间.
核心突破·拓思维
例 解题指南 (1)3 4 2 5 (2)(40-a)
解析:(1)设购买1支钢笔需x元,购买1本笔记本需y元.
{3x+4 y=93,
由题意得
2x+5 y=90,
{x=15,
解得
y=12.
答:购买1支钢笔需15元,购买1本笔记本需12元.
(2)设购买钢笔的数量为a支,则购买笔记本的数量为(40-a)本,
由题意得15a+12(40-a)≤500,
2
解得a≤6 .
3
答:学校最多可以购买6支钢笔.
变式1 解析:(1)由题意得a+2b=50,
当a=20时,20+2b=50,解得b=15.
(2)∵18≤a≤26,a=50-2b,
{50−2b≥18,
∴
50−2b≤26,
解得12≤b≤16.
答:b的取值范围为12≤b≤16.
变式2 解析:(1)设每副围棋x元,则每副象棋(x-8)元.
420 756
根据题意,得 = ,
x−8 x
解得x=18.
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经检验,x=18是所列方程的根,且符合题意
所以x-8=10.
答:每副围棋18元,每副象棋10元.
(2)设购买围棋m副,则购买象棋(40-m)副.
根据题意,得18m+10(40-m)≤600.
解得m≤25.
故m的最大值是25.
答:该校最多可再购买25副围棋.
变式3 解析:(1)设1个A部件的质量为x吨,1个B部件的质量为y吨,
{x+2y=2.8,
由题意得
2x=3 y,
{x=1.2,
解得
y=0.8.
答:1个A部件的质量为1.2吨,1个B部件的质量为0.8吨.
(2)设该卡车一次可运输m套这种设备通过此大桥.
根据题意得(1.2+0.8×3)·m+8≤30,
55
解得m≤ .
9
∵m为整数,
∴m取最大值,
∴m=6.
答:该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥.
10
