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备战 2024 中考数学一轮复习
第二章方程（组）与不等式
（组）
第 1 讲一次方程(组）
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌题型突破
➍专题精练
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第 1 讲一次方程(组）
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一 一元一次方程的定义
考向二 解一元一次方程
考向三 阅读理解、定义、规律问题
考向三 一元一次方程的应用
考向四 二元一次方程（组）的定义
考向五 解二元一次方程组
考向六 二元一次方程组的应用
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第 1 讲一次方程(组）
本板块内容以考查解一元一次方程和二元一次方程组、及一元一次方程与二元一次方程的
应用为主,既有单独考查,也有在一次函数、二次函数的应用中解一元一次方程、二元一次
方程组的工具性的考查,年年考查,是广大考生的得分点,分值为15分左右。预计2024年各
地中考还将继续考查各种方程（组）的解法和应用题,为避免丢分,学生应扎实掌握.
→➊考点精析←
一、方程和方程的解的概念
1．等式的性质
（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式．
（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式．
2．方程:含有未知数的等式叫做方程．
3．方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解
方程．
二、一元一次方程及其解法
1．一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一
次方程．它的一般形式为 ． 注意：x前面的系数不为0．
2．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
3．一元一次方程 的求解步骤
变形名称 具体做法
去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号
移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边
合并同类项 把方程化成 的形式
系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数 ，得到方程的解为
注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等
式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质
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上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后
的项，所以移项必须变号．
三、二元一次方程（组）及解的概念
1．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二
元一次方程．
2．二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．
3．二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一
个字母代表同一个量，其一般形式为 ．
4．解二元一次方程组的基本思想
解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．
5．二元一次方程组的解法
（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入
另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知
数，化二元一次方程组为一元一次方程．
四、一次方程（组）的应用
1．列方程（组）解应用题的一般步骤
（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；
（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．
2．一次方程（组）常见的应用题型
（1）销售打折问题：利润 售价-成本价；利润率= ×100％；售价=标价×折扣；销售额
=售价×数量．
（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷
款利息=贷款额×利率×期数．
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．
（4）行程问题：路程=速度×时间．
（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．
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（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．
（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．
→➋真题精讲←
考向一 一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的
一般形式是 （ 是常数且 ）．
1．（2019·内蒙古呼和浩特·中考真题）关于 的方程 如果是一元一
次方程，则其解为_____．
【答案】 或 或x=-3．
【分析】利用一元一次方程的定义判断即可．
【解析】解： 关于x的方程 如果是一元一次方程，
，即 或 ，方程为 或 ，
解得： 或 ，当2m-1=0，即m= 时，方程为 解得：x=-3，
故答案为x=2或x=-2或x=-3．
【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
考向二 解一元一次方程
解一元一次方程的主要步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为
1．
2．（2020·浙江杭州·中考真题）以下是圆圆解方程 ＝1的解答过程．
解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．
去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
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【答案】圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程见解析
【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案．
【解析】解：圆圆的解答过程有错误，
正确的解答过程如下：3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．去括号，得3x+3﹣2x+6＝6．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
【点睛】此题主要考查一元一次方程的求解，解题的关键是熟知一元一次方程的求解方法．
3．（2020·湖北恩施·中考真题）在实数范围内定义运算“☆”： ，例如：
．如果 ，则 的值是（ ）．
A． B．1 C．0 D．2
【答案】C
【分析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解．
【解析】解：由题意知： ，又 ，∴ ，∴ ．故
选：C．
【点睛】本题考查了实数的计算，一元一次方程的解法，本题的关键是能看明白题目意思，
根据新定义的运算规则求解即可．
4.（2020·广西玉林·中考真题）观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，
10,12，…；若最后三个数之和是3000，则n等于（ ）
A．499 B．500 C．501 D．1002
【答案】C
【分析】根据题意列出方程求出最后一个数,除去一半即为n的值．
【解析】设最后三位数为x－4,x－2,x．由题意得: x－4+x－2+x=3000,
解得x=1002．n=1002÷2=501．故选C．
【点睛】本题考查找规律的题型,关键在于列出方程简化步骤．
考向三 新定义、阅读理解、规律问题
5．（2020·西藏中考真题）观察下列两行数：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…
1，4，7，10，13，16，19，22，25，…
探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，则n
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等于（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】A
【分析】根据探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7， ，第 个相同的数
是 ，进而可得 的值．
【解析】解：第1个相同的数是 ，第2个相同的数是 ，
第3个相同的数是 ，第4个相同的数是 ， ，
第 个相同的数是 ，所以 ，解得 ．
答：第 个相同的数是103，则 等于18．故选： ．
【点睛】此题主要考查了数字变化规律，确定出相同数的差值，从而得出相同数的通式是
解题的关键．
6．（2018·湖南常德·中考真题）阅读理解： ， ， ， 是实数，我们把符号 称
为 阶行列式，并且规定： ，例如：
.二元一次方程组 的解可以利
用 阶行列式表示为： ；其中 ， ， .
问题：对于用上面的方法解二元一次方程组 时，下面说法错误的是（ ）
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A． B．
C． D．方程组的解为
【答案】C
【分析】根据阅读材料中提供的方法逐项进行计算即可得.
【解析】A、D= =2×（-2）-3×1=﹣7，故A选项正确，不符合题意；
B、D= =﹣2﹣1×12=﹣14，故B选项正确，不符合题意；
x
C、D= =2×12﹣1×3=21，故C选项不正确，符合题意；
y
D、方程组的解：x= =2，y= =﹣3，故D选项正确，不符合题意，故选
C．
【点睛】本题考查了阅读理解型问题，考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系，读懂题
意，根据材料中提供的方法进行解答是关键.
7．（2020·湖北中考真题）对于实数 ，定义运算 ．若
，则 _____．
【答案】
【分析】根据给出的新定义分别求出 与 的值，根据 得出关于
a的一元一次方程，求解即可．
【解析】解：∵ ，
∴ ， ，
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∵ ，∴ ，解得 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查解一元一次方程、新定义下实数的运算等内容，理解题干中给出的新定
义是解题的关键．
考向四 一元一次方程的应用
列方程解实际应用题的一般步骤：
（1）审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；（2）设：恰当设出关键未知数；
（3）列：找出适当等量关系，列方程；（4）解：解方程；
（5）验：检验所解值是否正确或是否符合实际意义；（6）答：规范作答，注意单位名称．
8．（2023·浙江温州·统考中考真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的
1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为 ，
，可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g列方程．
【详解】解：设蛋白质、脂肪的含量分别为 ， ，则碳水化合物含量为 ，
则： ，即 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找
出合适的等量关系，列方程．
9．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某
校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为 的导线，将其全部截成 和 两
种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（
）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
【答案】C
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【分析】设 和 两种长度的导线分别为 根，根据题意，得出 ，进而
根据 为正整数，即可求解．
【详解】解：设 和 两种长度的导线分别为 根，根据题意得，
，
即 ，
∵ 为正整数，
∴
则 ，
故有7种方案，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程求整数解是解题的关键．
10．（2019·贵州黔东南·中考真题）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在
某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价
是______元.
【答案】2000，
【分析】设这种商品的进价是x元，根据提价之后打八折，售价为2240元，列方程解答即
可.
【解析】设这种商品的进价是x元，由题意得，(1+40%)x×0.8＝2240，
解得：x＝2000，故答案为2000.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用——销售问题，弄清题意，熟练掌握标价、折扣、
实际售价间的关系是解题的关键.
考向五 二元一次方程（组）的定义
（1）二元一次方程应满足：①含有2个未知数；②含有未知数的项的次数都是1；③是整
式方程．
（2）由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．
11.(2020.湖北省中考模拟)下列方程中，是二元一次方程组的是
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A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据定义可以判断：
A、 ，满足要求；B、 中含有a，b，c，是三元方程；
C、 中含有 ，是二次方程；D、 中含 ，是二次方程．故选A．
【点评】二元一次方程组的三个必需条件：（1）含有两个未知数；（2）每个含未知数的
项次数为1；（3）每个方程都是整式方程．
12．（2020·浙江绍兴·中考真题）若关于x，y的二元一次方程组 的解为
，则多项式A可以是_____（写出一个即可）．
【答案】答案不唯一，如x﹣y．
【分析】根据方程组的解的定义， 应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以
围绕 列一组算式，然后用x，y代换即可.
【解析】∵关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，而1﹣1＝0，
∴多项式A可以是答案不唯一，如x﹣y．故答案为：答案不唯一，如x﹣y.
【点睛】此题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组的解，正确理解方程组的解与
每个方程的关系是解题的关键.
考向六 解二元一次方程组
二元一次方程组的两种解法：①加减消元法；②代入消元法．
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|3x2y1| x y2 0
13．（广西桂林·中考真题）若 ，则x，y的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
分析：先根据非负数的性质列出关于x、y的二元一次方程组，再利用加减消元法求出x的
值，利用代入消元法求出y的值即可．
【解析】∵ ，∴
将方程组变形为 ，①+②×2得，5x=5，解得x=1，
把x=1代入①得，3-2y=1，解得y=1，∴方程组的解为 ．故选D．
点睛：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元
法是解答此题的关键．
14．（2019·四川内江·中考真题）若 为实数，且 ，则代数式
的最大值是_____．
【答案】26．
【分析】先利用加减消元法求出y,x的值，再把x,y代入代数式 ，求出z的
值，即可解答
【解析】 ，(1）﹣（2）得， ，
把 代入（1）得， ，
则 ，
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当 时， 的最大值是26，故答案为26．
【点睛】此题考查解三元一次方程，解题关键在于掌握运算法则
15．（2023·江苏连云港·统考中考真题）解方程组
【答案】
【分析】方程组运用加减消元法求解即可．
【详解】解：
①+②得 ，
解得 ，
将 代入①得 ，
解得 ．
∴原方程组的解为
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，方法主要有：代入消元法和加减消元法．
16．（2023·湖南常德·统考中考真题）解方程组：
【答案】
【分析】方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】解：将① 得： ③
得：
将 代入①得：
所以 是原方程组的解．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元
法或加减消元法消去一个未知数．
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17．（2023·四川南充·统考中考真题）关于x，y的方程组 的解满足 ，
则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】D
【分析】法一：利用加减法解方程组，用 表示出 ，再将求得的代数式代入 ，
得到 的关系，最后将 变形，即可解答．
法二： 中 得到 ，再根据 求出
代入代数式进行求解即可.
【详解】解：法一： ，
得 ，
解得 ，
将 代入 ，解得 ，
，
，
得到 ，
，
法二：
得： ，即： ，
∵ ，
∴ ，
，
故选：D．
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【点睛】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练
求出 的关系是解题的关键．
18．（2020·黑龙江穆棱·朝鲜族学校中考真题）若 是二元一次方程组
的解，则x＋2y的算术平方根为（ ）
A．3 B．3，－3 C． D． ，－
【答案】C
【分析】将 代入二元一次方程组中解出x和y的值，再计算x＋2y的算术平方根即
可．
【解析】解：将 代入二元一次方程 中，
得到： ，解这个关于x和y的二元一次方程组，
两式相加，解 得，将 回代方程中，解得 ，
∴ ，∴x＋2y的算术平方根为 ，故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，算术平方根的概念等，熟练掌握二元一次方
程组的解法是解决本题的关键．
19．（山东滨州·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，
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则关于a、b的二元一次方程组 的解是_______．
【答案】
【分析】方法一：利用关于x、y的二元一次方程组 的解是 可得m、n
的数值，代入关于a、b的方程组即可求解；方法二：根据方程组的特点可得方程组
的解是 ，再利用加减消元法即可求出a,b．
【解析】详解：∵关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，
∴将解 代入方程组 可得m=﹣1，n=2
∴关于a、b的二元一次方程组 整理为： 解得：
方法二：∵关于x、y的二元一次方程组 的解是
∴方程组 的解是 解 得 故答案为：
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．
【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题
体现明显．
考向七 二元一次方程组的应用
由实际问题抽象出二元一次方程组的主要步骤：①弄清题意；②找准题中的两个等量关系；
③设出合适的未知数；④根据找到的等量关系列出两个方程并联立成二元一次方程组．
20．（2023·湖南·统考中考真题）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，
上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设有x只鸡，y只兔．依题意，可列方程
组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据等量关系“鸡的只数 兔的只数 ”和“2 鸡的只数 兔的只数 ”
即可列出方程组．
【详解】解：设有x只鸡，y只兔，
由题意可得： ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找出等量关系．
21．（2023·黑龙江·统考中考真题）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余
文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25
元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采
购的方案有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
【答案】B
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【分析】设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元
列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可．
【详解】解：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中
且 均为整数，根据题意得，
，
整理得， ，
①当 时， ，
∴
∵ 且 均为整数，
∴当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
②当 时， ，
∴
∵ 且 均为整数，
∴当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
综上，此次共有6种采购方案，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题
的关键．
22．（2023·湖南张家界·统考中考真题）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研
学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，
则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表
所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 45 60
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租金（元/辆） 200 300
(1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
(2)若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
【答案】(1)参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆；(2)租14辆
45座客车较合算
【分析】（1）设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意
列出二元一次方程组求解即可；
（2）由（1）结论求出所需费用比较即可．
【详解】（1）解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆
依题意得
解得： ，
答：参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆；
（2）∵要使每位师生都有座位，
∴租45座客车14辆，则租60座客车10辆，
， ，
∵
∴租14辆45座客车较合算．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用及有理数乘法的应用，理解题意是解题关键．
23．（2023·四川广安·统考中考真题）“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销
售 两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱 种盐皮蛋和6箱 种盐皮蛋共需390元；若购买5
箱 种盐皮蛋和8箱 种盐皮蛋共需310元．
(1) 种盐皮蛋、 种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？
(2)若某公司购买 两种盐皮蛋共30箱，且 种的数量至少比 种的数量多5箱，又不超
过 种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【答案】(1) 种盐皮蛋每箱价格是30元， 种盐皮蛋每箱价格是20元；(2)购买 种盐皮
蛋18箱， 种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元
【分析】（1）设 种盐皮蛋每箱价格是 元， 种盐皮蛋每箱价格是 元，根据题意建立
方程组，解方程组即可得；
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（2）设购买 种盐皮蛋 箱，则购买 种盐皮蛋 箱，根据题意建立不等式组，解
不等式组可得 的取值范围，再结合 为正整数可得 所有可能的取值，然后根据（1）
的结果逐个计算总费用，找出总费用最少的购买方案即可．
【详解】（1）解：设 种盐皮蛋每箱价格是 元， 种盐皮蛋每箱价格是 元，
由题意得： ，
解得 ，
答： 种盐皮蛋每箱价格是30元， 种盐皮蛋每箱价格是20元．
（2）解：设购买 种盐皮蛋 箱，则购买 种盐皮蛋 箱，
购买 种的数量至少比 种的数量多5箱，又不超过 种的2倍，
，
解得 ，
又 为正整数，
所有可能的取值为18，19，20，
①当 ， 时，购买总费用为 （元），
②当 ， 时，购买总费用为 （元），
③当 ， 时，购买总费用为 （元），
所以购买 种盐皮蛋18箱， 种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组
和不等式组是解题关键．
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