文档内容
专题 05 平面解析几何（选择题、填空题）
考点 三年考情（2022-2024） 命题趋势
考点1：直线方程与圆的方 2022 年全国 II 卷、2022 年全国甲卷
（文）
程
2022年全国乙卷（理）
考点2：直线与圆的位置关 2024年北京卷、2022年全国甲卷（理）
2022年天津卷、2022年北京卷
系
2023年全国Ⅰ卷、2024年北京卷 近三年高考对解析几何小
考点3：圆与圆的位置关系
2022年全国I卷 题的考查比较稳定，考查
考点4：轨迹方程及标准方 2023年北京卷、2023年天津卷 内容、频率、题型难度均
2024年全国Ⅱ卷、2022年天津卷
程 变化不大，备考时应熟练
2022年全国甲卷（文）
以下方向：
考点5：椭圆的几何性质 2022年全国I卷
2023年全国甲卷（理） （1）要重视直线方程的求
2023年全国甲卷（文）
法、两条直线的位置关系
考点6：双曲线的几何性质 2022年北京卷
2023年全国乙卷（理） 以及点到直线的距离公式
考点7：抛物线的几何性质 2024年北京卷、2024年天津卷
这三个考点．
2023年全国乙卷（理）
2023年天津卷、2023年全国Ⅱ卷
（2）要重视直线与圆相交
2024年全国Ⅱ卷、2022年全国I卷 所得弦长及相切所得切线
考点8：弦长问题 2022年全国乙卷（理）
的问题．
2023年全国甲卷（理）
考点9：离心率问题 2024 年全国Ⅰ卷、2022 年全国甲卷 （3）要重视椭圆、双曲
（文）
线、抛物线定义的运用、
2023年全国Ⅰ卷、2022年浙江卷
2022年全国乙卷（理） 标准方程的求法以及简单
2024年全国甲卷（理）
几何性质，尤其是对离心
2023 年全国Ⅰ卷、2022 年全国甲卷
率的求解，更是高考的热
（理）
考点10：焦半径、焦点弦问 点问题，因方法多，试题
2022年全国II卷、2023年北京卷
题 灵活，在各种题型中均有
考点11：范围与最值问题 2022年全国II卷 体现．
2024年全国甲卷（文）
2023年全国乙卷（文）
考点12：面积问题 2024年天津卷、2023年全国Ⅱ卷
2023年全国Ⅱ卷
考点13：新定义问题 2024年全国Ⅰ卷考点1：直线方程与圆的方程
1．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，
y轴分别交于M，N两点，且 ，则l的方程为 ．
【答案】
【解析】[方法一]：弦中点问题：点差法
令 的中点为 ，设 ， ，利用点差法得到 ，
设直线 ， ， ，求出 、 的坐标，
再根据 求出 、 ，即可得解；
令 的中点为 ，因为 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即
所以 ，即 ，设直线 ， ， ，
令 得 ，令 得 ，即 ， ，
所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以直线 ，即 ；故答案为：
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法
由题意知，点 既为线段 的中点又是线段MN的中点，
设 ， ，设直线 ， ， ，
则 ， ， ，因为 ，所以
联立直线AB与椭圆方程得 消掉y得
其中 ，
AB中点E的横坐标 ,又 ，∴
∴
∵ ， ，∴ ,又 ，解得m=2
所以直线 ，即
2．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）设点M在直线 上，点 和 均在 上，
则 的方程为 ．
【答案】
【解析】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线 上，
∴设点M为 ，又因为点 和 均在 上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴ ，
，解得 ，
∴ ， ，
的方程为 .
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线 的交点(1,-1).
, 的方程为 .
故答案为：
3．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）过四点 中的三点的一个圆的方程为
．
【答案】 或 或 或 ．
【解析】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为 ，
（1）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
（2）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
（3）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；（4）若过 ， ， ，则 ，解得 ，所以圆的方程为
，即 ；
故答案为： 或 或 或
．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过 三点，圆心在直线 ，设圆心坐标为 ，
则 ，所以圆的方程为 ；
（2）若圆过 三点， 设圆心坐标为 ，则 ，所以圆
的方程为 ；
（3）若圆过 三点，则线段 的中垂线方程为 ，线段 的中垂线方程 为 ，
联立得 ，所以圆的方程为 ；
（4）若圆过 三点，则线段 的中垂线方程为 ， 线段 中垂线方程为 ，联立
得 ，所以圆的方程为 ．
故答案为： 或 或 或
．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
考点2：直线与圆的位置关系
4．（2024年北京高考数学真题）若直线 与双曲线 只有一个公共点，则 的一个取值
为 ．【答案】 （或 ，答案不唯一）
【解析】联立 ，化简并整理得： ，
由题意得 或 ，
解得 或无解，即 ，经检验，符合题意.
故答案为： （或 ，答案不唯一）.
5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若双曲线 的渐近线与圆
相切，则 ．
【答案】
【解析】双曲线 的渐近线为 ，即 ，
不妨取 ，圆 ，即 ，所以圆心为 ，半径 ，
依题意圆心 到渐近线 的距离 ，
解得 或 （舍去）．
故答案为： ．
6．（2022年新高考天津数学高考真题）若直线 与圆 相交所得的弦
长为 ，则 ．
【答案】
【解析】圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离为 ，
由勾股定理可得 ，因为 ，解得 .
故答案为： .
7．（2022年新高考北京数学高考真题）若直线 是圆 的一条对称轴，则
（ ）A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】由题可知圆心为 ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即 ，解得 ．
故选：A．
8．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则
（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】方法一：因为 ，即 ，可得圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，
因为 ，则 ，
可得 ，
则 ，
，
即 为钝角，
所以 ；
法二：圆 的圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，连接 ，
可得 ，则 ，
因为
且 ，则 ，
即 ，解得 ，
即 为钝角，则 ，且 为锐角，所以 ；
方法三：圆 的圆心 ，半径 ，
若切线斜率不存在，则切线方程为 ，则圆心到切点的距离 ，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为 ，即 ，
则 ，整理得 ，且
设两切线斜率分别为 ，则 ，
可得 ，
所以 ，即 ，可得 ，
则 ，
且 ，则 ，解得 .
故选：B.
9．（2024年北京高考数学真题）圆 的圆心到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得 ，即 ，
则其圆心坐标为 ，则圆心到直线 的距离为 .
故选：D.
考点3：圆与圆的位置关系
10．（2022年新高考全国I卷数学真题）写出与圆 和 都相切的一条直线的
方程 ．【答案】 或 或
【解析】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为 ，
于是 ，
故 ①， 于是 或 ，
再结合①解得 或 或 ，
所以直线方程有三条，分别为 ， ，
填一条即可
[方法二]：
设圆 的圆心 ，半径为 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
则 ，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然 符合题意；
又由方程 和 相减可得方程 ，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为 ，
直线OC与直线 的交点为 ，
设过该点的直线为 ，则 ，解得 ，
从而该切线的方程为 填一条即可
[方法三]：圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心 为 ，半径为 ，
两圆圆心距为 ，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为 ，所以 ，设方程为
O到l的距离 ，解得 ，所以l的方程为 ，
当切线为m时，设直线方程为 ，其中 ， ，
由题意 ，解得 ，
当切线为n时，易知切线方程为 ，
故答案为： 或 或 .
考点4：轨迹方程及标准方程
11．（2023年北京高考数学真题）已知双曲线C的焦点为 和 ，离心率为 ，则C的方程为
．
【答案】
【解析】令双曲线 的实半轴、虚半轴长分别为 ，显然双曲线 的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距 ，
由双曲线 的离心率为 ，得 ，解得 ，则 ，
所以双曲线 的方程为 .
故答案为：
12．（2023年天津高考数学真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．过 向
一条渐近线作垂线，垂足为 ．若 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图，
因为 ，不妨设渐近线方程为 ，即 ，
所以 ，
所以 .
设 ,则 ，所以 ，所以 .
因为 ,所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以双曲线的方程为
故选：D
13．（2022年新高考天津数学高考真题）已知抛物线 分别是双曲线 的
左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点 ，与双曲线的渐近线交于点A，若 ，则双曲线
的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】抛物线 的准线方程为 ，则 ，则 、 ，
不妨设点 为第二象限内的点，联立 ，可得 ，即点 ，
因为 且 ，则 为等腰直角三角形，
且 ，即 ，可得 ，
所以， ，解得 ，因此，双曲线的标准方程为 .
故选：C.
14．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆 的离心率为 ， 分别
为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】因为离心率 ，解得 ， ，
分别为C的左右顶点，则 ，
B为上顶点，所以 .
所以 ，因为
所以 ，将 代入，解得 ，
故椭圆的方程为 .
故选：B.
15．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C： （ ），从C上任意一点P向x轴
作垂线段 ， 为垂足，则线段 的中点M的轨迹方程为（ ）
A． （ ） B． （ ）
C． （ ） D． （ ）
【答案】A
【解析】设点 ，则 ，
因为 为 的中点，所以 ，即 ，
又 在圆 上，
所以 ，即 ，
即点 的轨迹方程为 .
故选：A
考点5：椭圆的几何性质
16．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为
， ，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是
．
【答案】13
【解析】∵椭圆的离心率为 ，∴ ，∴ ，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示，∵
，∴ ，∴ 为正三角形，∵过 且垂直于 的直线与C交于
D，E两点， 为线段 的垂直平分线，∴直线 的斜率为 ，斜率倒数为 ， 直线 的方程：
，代入椭圆方程 ，整理化简得到： ，
判别式 ，
∴ ，
∴ ， 得 ，
∵ 为线段 的垂直平分线，根据对称性， ，∴ 的周长等于 的周长，
利用椭圆的定义得到 周长为
.
故答案为：13.
17．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设O为坐标原点， 为椭圆 的两个焦点，
点 P在C上， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】方法一：设 ，所以 ，
由 ，解得： ，
由椭圆方程可知， ，
所以， ，解得： ，
即 ，因此 ．
故选：B．
方法二：因为 ①， ，
即 ②，联立①②，
解得： ，
而 ，所以 ，
即 ．
故选：B．
方法三：因为 ①， ，
即 ②，联立①②，解得： ，
由中线定理可知， ，易知 ，解得： ．
故选：B．
18．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若
，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【解析】方法一：因为 ，所以 ，
从而 ，所以 ．
故选：B.
方法二：因为 ，所以 ，由椭圆方程可知， ，
所以 ，又 ，平方得：
，所以 ．
故选：B.
考点6：双曲线的几何性质
19．（2022年新高考北京数学高考真题）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则
．
【答案】
【解析】对于双曲线 ，所以 ，即双曲线的标准方程为 ，
则 ， ，又双曲线 的渐近线方程为 ，
所以 ，即 ，解得 ；
故答案为：
20．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线
段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 的中点 ，
可得 ，
因为 在双曲线上，则 ，两式相减得 ，
所以 .
对于选项A： 可得 ，则 ，联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得 ，则
由双曲线方程可得 ，则 为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D： ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
考点7：抛物线的几何性质
21．（2024年北京高考数学真题）抛物线 的焦点坐标为 ．
【答案】
【解析】由题意抛物线的标准方程为 ，所以其焦点坐标为 .
故答案为： .
22．（2024年天津高考数学真题）圆 的圆心与抛物线 的焦点 重合， 为
两曲线的交点，则原点到直线 的距离为 ．
【答案】 /【解析】圆 的圆心为 ，故 即 ，
由 可得 ，故 或 （舍），
故 ，故直线 即 或 ，
故原点到直线 的距离为 ，
故答案为：
23．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知点 在抛物线C： 上，则A到C的准线的
距离为 .
【答案】
【解析】由题意可得： ，则 ，抛物线的方程为 ，
准线方程为 ，点 到 的准线的距离为 .
故答案为： .
24．（2023年天津高考数学真题）已知过原点O的一条直线l与圆 相切，且l与抛物线
交于点 两点，若 ，则 ．
【答案】
【解析】易知圆 和曲线 关于 轴对称，不妨设切线方程为 ， ，
所以 ，解得： ，由 解得： 或 ，
所以 ，解得： ．
当 时，同理可得．
故答案为： ．
25．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C： 的准线为l，P为C上的动点，过
P作 的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与 相切B．当P，A，B三点共线时，
C．当 时，
D．满足 的点 有且仅有2个
【答案】ABD
【解析】A选项，抛物线 的准线为 ，
的圆心 到直线 的距离显然是 ，等于圆的半径，
故准线 和 相切，A选项正确；
B选项， 三点共线时，即 ，则 的纵坐标 ，
由 ，得到 ，故 ，
此时切线长 ，B选项正确；
C选项，当 时， ，此时 ，故 或 ，
当 时， ， ， ，
不满足 ；
当 时， ， ， ，
不满足 ；
于是 不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义， ，这里 ，
于是 时 点的存在性问题转化成 时 点的存在性问题，
， 中点 ， 中垂线的斜率为 ，
于是 的中垂线方程为： ，与抛物线 联立可得 ，
，即 的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个 点，使得 ，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设 ，由 可得 ，又 ，又 ，
根据两点间的距离公式， ，整理得 ，，则关于 的方程有两个解，
即存在两个这样的 点，D选项正确.
故选：ABD
26．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知O为坐标原点，点 在抛物线
上，过点 的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】BCD
【解析】将点 的代入抛物线方程得 ，所以抛物线方程为 ，故准线方程为 ，A错误；
，所以直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，解得 ，故B正确；
设过 的直线为 ，若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，
所以，直线 的斜率存在，设其方程为 ， ，
联立 ，得 ，
所以 ，所以 或 ， ，
又 ， ，
所以 ，故C正确；
因为 ， ，
所以 ，而 ，故D正确.故选：BCD
27．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设O为坐标原点，直线 过抛物线
的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D． 为等腰三角形
【答案】AC
【解析】A选项：直线 过点 ，所以抛物线 的焦点 ，
所以 ，则A选项正确，且抛物线 的方程为 .
B选项：设 ，
由 消去 并化简得 ，
解得 ，所以 ，B选项错误.
C选项：设 的中点为 ， 到直线 的距离分别为 ，
因为 ，
即 到直线 的距离等于 的一半，所以以 为直径的圆与直线 相切，C选项正确.
D选项：直线 ，即 ，
到直线 的距离为 ，
所以三角形 的面积为 ，
由上述分析可知 ，
所以 ，
所以三角形 不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.考点8：弦长问题
28．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）设F为抛物线 的焦点，点A在C上，点 ，
若 ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】由题意得， ，则 ，
即点 到准线 的距离为2，所以点 的横坐标为 ，
不妨设点 在 轴上方，代入得， ，
所以 .
故选：B
29．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线 的离心率为 ，C的
一条渐近线与圆 交于A，B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，则 ，
解得 ，
所以双曲线的一条渐近线为 ，
则圆心 到渐近线的距离 ，所以弦长 .
故选：D
考点9：离心率问题
30．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设双曲线 的左右焦点分别为 ，过
作平行于 轴的直线交C于A，B两点，若 ，则C的离心率为 ．
【答案】
【解析】由题可知 三点横坐标相等，设 在第一象限，将 代入
得 ，即 ，故 ， ，
又 ，得 ，解得 ，代入 得 ，
故 ，即 ，所以 .
故答案为：
31．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）记双曲线 的离心率为e，写出满足条
件“直线 与C无公共点”的e的一个值 ．
【答案】2（满足 皆可）
【解析】 ，所以C的渐近线方程为 ,
结合渐近线的特点，只需 ，即 ，
可满足条件“直线 与C无公共点”所以 ，
又因为 ，所以 ，
故答案为：2（满足 皆可）
32．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．
点 在 上，点 在 轴上， ，则 的离心率为 ．
【答案】 /
【解析】方法一：
依题意，设 ，则 ，
在 中， ，则 ，故 或 （舍去），
所以 ， ，则 ，
故 ，
所以在 中， ，整理得 ，
故 .
方法二:
依题意，得 ，令 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，则 ，又点 在 上，则 ，整理得 ，则 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，则 ，解得 或 ，
又 ，所以 或 （舍去），故 .
故答案为： .
33．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率为
的直线交双曲线于点 ，交双曲线的渐近线于点 且 ．若 ，则双曲线
的离心率是 ．
【答案】
【解析】过 且斜率为 的直线 ，渐近线 ，
联立 ，得 ，由 ，得
而点 在双曲线上，于是 ，解得： ，所以离心率 .
故答案为： ．
34．（多选题）（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直
径的圆记为D，过 作D的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为B，
所以 ，因为 ，所以 在双曲线的左支，
， ， ，设 ，由即 ，则 ，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为 ，所以 在双曲线的右支，
所以 ， ， ，设 ，由 ，即 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过 且与圆相切的一条直线为 ，
两交点都在左支, ，
，
则 ，
特值双曲线 ，
过 且与圆相切的一条直线为 ，
两交点在左右两支， 在右支， ，
，
则 ，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，若 分别在左右支，
因为 ，且 ，所以 在双曲线的右支，
又 ， ， ，
设 ， ，
在 中，有 ，
故 即 ，
所以 ，
而 ， ， ，故 ，
代入整理得到 ，即 ，
所以双曲线的离心率
若 均在左支上，
同理有 ，其中 为钝角，故 ，
故 即 ，代入 ， ， ，整理得到： ，
故 ，故 ，
故选：AC.
35．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为 ，点 在该
双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【解析】由题意，设 、 、 ，
则 ， ， ，
则 ，则 .
故选：C.
36．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆 的离心率分别为 ．
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 ，因此 ，而 ，所以 .
故选：A
37．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C
上，且关于y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】[方法一]：设而不求
设 ，则
则由 得： ，由 ，得 ，
所以 ，即 ，
所以椭圆 的离心率 ，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故 ，
由椭圆第三定义得： ，
故
所以椭圆 的离心率 ，故选A.
考点10：焦半径、焦点弦问题
38．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）已知O为坐标原点，过抛物线 焦
点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点 ，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为
，
代入抛物线可得 ，则 ，则直线 的斜率为 ，A正确；
对于B，由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，
设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，则，
则 ，B错误；
对于C，由抛物线定义知： ，C正确；
对于D， ，则 为钝角，
又 ，则 为钝角，
又 ，则 ，D正确.
故选：ACD.
39．（2023年北京高考数学真题）已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上．若 到直线
的距离为5，则 （ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【解析】因为抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，点 在 上，
所以 到准线 的距离为 ，
又 到直线 的距离为 ，
所以 ，故 .
故选：D.
考点11：范围与最值问题
40．（2022年新高考全国II卷数学真题）设点 ，若直线 关于 对称的直线与圆
有公共点，则a的取值范围是 ．【答案】
【解析】 关于 对称的点的坐标为 ， 在直线 上，
所以 所在直线即为直线 ，所以直线 为 ，即 ；
圆 ，圆心 ，半径 ，
依题意圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得 ，即 ；
故答案为：
41．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线 与圆 交于
两点，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】因为直线 ，即 ，令 ，
则 ，所以直线过定点 ，设 ，
将圆 化为标准式为 ，
所以圆心 ，半径 ，
当 时， 的最小，
此时 .
故选：C
42．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数 满足 ，则 的最大值
是（ ）
A． B．4 C． D．7
【答案】C
【解析】法一：令 ，则 ，
代入原式化简得 ，
因为存在实数 ，则 ，即 ，化简得 ，解得 ，
故 的最大值是 ，
法二： ，整理得 ，
令 ， ，其中 ，
则 ，
，所以 ，则 ，即 时， 取得最大值 ，
法三：由 可得 ，
设 ，则圆心到直线 的距离 ，
解得
故选：C.
考点12：面积问题
43．（2024年天津高考数学真题）双曲线 的左、右焦点分别为 是双曲线
右支上一点，且直线 的斜率为2． 是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下图：由题可知，点 必落在第四象限， ，设 ，
，由 ，求得 ，
因为 ，所以 ，求得 ，即 ，
，由正弦定理可得： ，则由 得 ，
由 得 ，
则 ，
由双曲线第一定义可得： ， ，
所以双曲线的方程为 .
故选：C
44．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线 与 交于A，B两点，
写出满足“ 面积为 ”的m的一个值 ．
【答案】 （ 中任意一个皆可以）
【解析】设点 到直线 的距离为 ，由弦长公式得 ，
所以 ，解得： 或 ，
由 ，所以 或 ，解得： 或 ．
故答案为： （ 中任意一个皆可以）．
45．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线
与C交于A，B两点，若 面积是 面积的2倍，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将直线 与椭圆联立 ，消去 可得 ，
因为直线与椭圆相交于 点，则 ，解得 ，
设 到 的距离 到 距离 ，易知 ，
则 ， ，，解得 或 （舍去），
故选：C.
考点13：新定义问题
46．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设计一条美丽的丝带,其造型 可以看作图中的曲线C
的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于 ，到点 的距离与到定直线
的距离之积为4，则（ ）
A． B．点 在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点 在C上时，
【答案】ABD
【解析】对于A：设曲线上的动点 ，则 且 ，
因为曲线过坐标原点，故 ，解得 ，故A正确.
对于B：又曲线方程为 ，而 ，
故 .
当 时， ，
故 在曲线上，故B正确.对于C：由曲线的方程可得 ，取 ，
则 ，而 ，故此时 ，
故 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.
对于D：当点 在曲线上时，由C的分析可得 ，
故 ，故D正确.
故选：ABD.
