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备战 2024 中考数学一轮复习
第二章方程（组）与不等式
（组）
第 4 讲一次不等式(组）
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌题型突破
➍专题精练
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第 4 讲一次不等式(组）
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一 不等式的定义及性质
考向二 一元一次不等式的解集及数轴表示
考向三 一元一次不等式组的解集及数轴表示
考向四 一元一次不等式（组）的整数解问题
考向五 求参数的值或取值范围
考向六 一元一次不等式（组）的应用
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第 4 讲一次不等式(组）
本考点内容以考查依据题意列不等式并解决问题、不等式组表示取值范围为主，,体现了不
等式的工具性，年年考查,是广大考生的得分点，分值为6-10分左右。预计2024年各地中
考还将继续考查这两个知识点，重要题型有解不等式（组）、不等式含参、不等式相关的
应用题以及不等式的性质，为避免丢分，学生应扎实掌握。
→➊考点精析←
一、不等式的概念、性质及解集表示
1．不等式：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
2．不等式的基本性质
理论依据 式子表示
不等式的两边同时加上（或减去）
性质1 同一个数（或式子），不等号的方 若 ，则
向不变
不等式两边同时乘以（或除以）同 若 ， ，则 或
一个正数，不等号的方向不变
性质2
不等式两边同时乘以（或除以）同 若 ， ，则 或
一个负数，不等号的方向改变
性质3
注意：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同
时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变．
3．不等式的解集及表示方法
（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这
个范围就是不等式的解集．
（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数
轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．
二、一元一次不等式及其解法
1．一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高
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次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式．
2．解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数
化为1（注意不等号方向是否改变）．
三、一元一次不等式组及其解法
1．一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一
元一次不等式组．
2．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这
个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．
3．一元一次不等式组的解法：先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一
次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解．
4．几种常见的不等式组的解集：设 ， ， 是常数，关于 的不等式组的解集的四
种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：
不等式组
数轴表示 解集 口诀
（其中 ）
同大取大
同小取小
大小、小大中间找
无解 大大、小小取不了
考情总结：一元一次不等式（组）的解法及其解集表示的考查形式如下：
（1）一元一次不等式（组）的解法及其解集在数轴上的表示；
（2）利用一次函数图象解一元一次不等式；
（3）求一元一次不等式组的最小整数解；
（4）求一元一次不等式组的所有整数解的和．
四、列不等式（组）解决实际问题
列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：
①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案．
考情总结：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及
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的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等．列不等式时，要抓住关键
词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接．
→➋真题精讲←
考向一 不等式的定义及性质
（1）含有不等号的式子叫做不等式．
（2）不等式两边同乘以或除以一个相同的负数，不等号要改变方向，在运用中，往往会因
为忘记改变不等号方向而导致错误．
1．（2020·河北中考）语句“ 的 与 的和不超过 ”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】x的 即 x，不超过5是小于或等于5的数，由此列出式子即可．
【解析】 “x的 与x的和不超过5”用不等式表示为 x+x≤5．故选A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清
运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
2．（2020·浙江杭州·中考真题）若a＞b，则（ ）
A．a﹣1≥b B．b+1≥a C．a+1＞b﹣1 D．a﹣1＞b+1
【答案】C
【分析】举出反例即可判断A、B、D，根据不等式的传递性即可判断C．
【解析】解：A、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b，不符合题意；
B、a＝3，b＝1，a＞b，但是b+1＜a，不符合题意；
C、∵a＞b，∴a+1＞b+1，∵b+1＞b﹣1，∴a+1＞b﹣1，符合题意；
D、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b+1，不符合题意．故选：C．
【点睛】此题考查不等式的性质，对性质的理解是关键．
考向二 一元一次不等式的解集及数轴表示
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（1）一元一次不等式的求解步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1．
（2）进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正
负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论．
3．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）解不等式 ，下列在数轴上表示的解集正
确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】按去分母、去括号、移项、合并同类项，未知数系数化为 的步骤求出解集，再
把解集在数轴上表示出来，注意包含端点值用实心圆点，不包含端点值用空心圆点，即可
求解．
【详解】解：
，
解集在数轴上表示为
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法及解集在数轴上的表示方法，掌握解法及表示
方法是解题的关键．
4．（2020·辽宁盘锦·中考真题）不等式 的解集在数轴上表示正确的是（
）
A． B．
C． D．
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【答案】A
【分析】先将不等式移项、合并同类项、系数化为1求得其解集，再根据“大于向右，小
于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可判断答案．
【解析】解：解不等式： ，移项得： 合并同类项得：
系数化为1得： ，数轴上表示如图所示， 故选：
A．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式及再数轴上表示不等式解集的能力，掌握“大于
向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则是解题的关键．
考向三 一元一次不等式组的解集及数轴表示
不等式解集的确定有两种方法：
（1）数轴法：在数轴上把各个不等式解集表示出来，寻找公共部分并用不等式表示出来；
（2）口诀法：“大大取大小小取小，大小小大中间找，大大小小取不了．”
5．（2023·湖北·统考中考真题）不等式组 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大
大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
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6．（2023·湖南·统考中考真题）解不等式组： ，并把它的解集在数轴上
表示出来．
【答案】不等式组的解集为： ．画图见解析
【分析】先解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，从而可得答
案．
【详解】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
∴ ，
在数轴上表示其解集如下：
∴不等式组的解集为： ．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，掌握不
等式组的解法与步骤是解本题的关键．
考向四 一元一次不等式（组）的整数解问题
此类问题的实质是解不等式（组），通过不等式（组）的解集，然后写出符合题意的整数
解即可．
7．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x的不等式组 的整数解仅有4个，
则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
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【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范
围即可．
【详解】解： ，
由②得： ，
解集为 ，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0， ，
∴ ，
∴ ；
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解
和掌握，能根据不等式组的解集得到 是解此题的关键．
8．（2023·黑龙江·统考中考真题）关于 的不等式组 有3个整数解，则实数 的
取值范围是__________．
【答案】 /
【分析】解不等式组，根据不等式组有3个整数解得出关于m的不等式组，进而可求得
的取值范围．
【详解】解：解不等式组 得： ，
∵关于 的不等式组 有3个整数解，
∴这3个整数解为 ， ， ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确得出关于m
的不等式组是解题的关键．
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9．（2023·重庆·统考中考真题）若关于x的一元一次不等式组 ，至少有2个整
数解，且关于y的分式方程 有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值
之和是___________．
【答案】4
【分析】先解不等式组，确定a的取值范围 ，再把分式方程去分母转化为整式方程，
解得 ，由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式的解集为 ，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴ ，
解得： ；
∵关于y的分式方程 有非负整数解，
∴
解得： ，
即 且 ，
解得： 且
∴a的取值范围是 ，且
∴a可以取：1，3，
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∴ ，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题
关键．
10．（2023·四川凉山·统考中考真题）不等式组 的所有整数解的和是
_________．
【答案】7
【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再确定整数解，最后
求和即可．
【详解】解： ，
由①得： ，
∴ ，
解得： ；
由②得： ，
整理得： ，
解得： ，
∴不等式组的解集为： ，
∴不等式组的整数解为： ， ，0，1，2，3，4；
∴ ，
故答案为：7
【点睛】本题考查的是求解一元一次不等式组的整数解，熟悉解一元一次不等式组的方法
与步骤是解本题的关键．
11．（2023·山东·统考中考真题）解不等式组： ．
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【答案】
【分析】分别求出各个不等式的解，再取各个解集的公共部分，即可．
【详解】解：解 得： ，
解 得： ，
∴不等式组的解集为 ．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的基本步骤，是解题的
关键．
考向五 求参数的值或取值范围
求解此类题目的难点是根据不等式（组）的解的情况得到关于参数的等式或不等式，然后
求解即可．
12．（2023·内蒙古·统考中考真题）关于 的一元一次不等式 的解集在数轴上的表
示如图所示，则 的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】先求出不等式的解集，然后对比数轴求解即可．
【详解】解： 解得 ，
由数轴得： ，
解得： ，
故选：B．
【点睛】题目主要考查求不等式的解集及参数，熟练掌握求不等式解集的方法是解题关键．
13．（2023·四川遂宁·统考中考真题）若关于x的不等式组 的解集为 ，
则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组的解集是 求出a的取值范围即可．
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【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∵关于 的不等式组 的解集为 ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间
找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14．（2023·山东聊城·统考中考真题）若不等式组 的解集为 ，则m的取
值范围是______．
【答案】
【分析】分别求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集即可求解．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∵不等式组的解集为： ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解求参数的取值范围，熟练掌握
解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）
是解题的关键．
15．（2023·四川宜宾·统考中考真题）若关于x的不等式组 所有整数解的
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和为 ，则整数 的值为___________．
【答案】 或
【分析】根据题意可求不等式组的解集为 ，再分情况判断出 的取值范围，即
可求解．
【详解】解：由①得： ，
由②得： ，
不等式组的解集为： ，
所有整数解的和为 ，
①整数解为： 、 、 、 ，
，
解得： ，
为整数，
．
②整数解为： ， ， ， 、 、 、 ，
，
解得： ，
为整数，
．
综上，整数 的值为 或
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的
解法，理解参数的意义是解题的关键．
考向六 一元一次不等式（组）的应用
求解此类题目的难点是建立“不等式（组）模型”，通过求解不等式（组）的解集并与实
际相结合即可．
16．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共8万件，
准备销往东南亚国家和地区．已知2件甲种电子产品与3件乙种电子产品的销售额相同：3
件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售多 元．
(1)求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元？
(2)若使甲乙两种电子产品的销售总收入不低于 万元，则至少销售甲种电子产品多少件？
【答案】(1)甲种电子产品的销售单价是 元，乙种电子产品的单价为 元；(2)至少销
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售甲种电子产品 万件
【分析】（1）设甲种电子产品的销售单价 元，乙种电子产品的销售单价 元，根据等量
关系： 件甲种电子产品与 件乙种电子产品的销售额相同， 件甲种电子产品比 件
乙种电子产品的销售多 元，列出方程组求解即可；
（2）可设销售甲种电子产品 万件，根据甲、乙两种电子产品的销售总收入不低于
万元，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设甲种电子产品的销售单价是 元，乙种电子产品的单价为 元．
根据题意得： ，
解得： ；
答：甲种电子产品的销售单价是 元，乙种电子产品的单价为 元．
（2）解：设销售甲种电子产品 万件，则销售乙种电子产品 万件．
根据题意得： ．
解得： ．
答：至少销售甲种电子产品 万件．
【点睛】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，
找到符合题意的不等关系及等量关系．
17．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货
物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物
与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．
(1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器
共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最
省钱的采购方案．
【答案】(1)每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨；(2)当购买A型机
器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元．
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【分析】（1）设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运 吨，根据
题意列出分式方程，解方程、检验后即可解答；
（2设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器 台，再题意列出一元一次不等
式组，解不等式组求出m的取值范围，再列出公司计划采购A型机器m台与采购支出金额
w的函数关系式，最后利用一次函数的增减性求最值即可．
【详解】（1）解：设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运 吨,
由题意可得： ，解得：
经检验， 是分式方程 的解
每台A型机器每天搬运 吨
答：每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨
（2）解：设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器 台
由题意可得： ,解得： ，
公司采购金额：
∵
∴w随m的增大而减小
∴当 时，公司采购金额w有最小值，即 ，
∴当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，
理解题意正确列出分式方程、不等式组和一次函数解析式是解答本题的关键．
18．（2023·湖南怀化·统考中考真题）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客 人的
种客车若干辆，则有 人没有座位；若租用可坐乘客 人的 种客车，则可少租 辆，
且恰好坐满．
(1)求原计划租用 种客车多少辆？这次研学去了多少人？
(2)若该校计划租用 、 两种客车共 辆，要求 种客车不超过 辆，且每人都有座位，
则有哪几种租车方案？
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(3)在（2）的条件下，若 种客车租金为每辆 元， 种客车租金每辆 元，应该怎样
租车才最合算？
【答案】(1)原计划租用 种客车 辆，这次研学去了 人
(2)共有 种租车方案，方案一：租用 种客车 辆，则租用 种客车 辆；方案二：租用
种客车 辆，则租用 种客车 辆；方案三：租用 种客车 辆，则租用 种客车 辆，
(3)租用 种客车 辆，则租用 种客车 辆才最合算
【分析】（1）设原计划租用 种客车 辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；
（2）设租用 种客车 辆，则租用 种客车 辆，根据题意列出一元一次不等式组，
解不等式组即可求解；
（3）分别求得三种方案的费用，进而即可求解．
【详解】（1）解：设原计划租用 种客车 辆，根据题意得，
，
解得：
所以 （人）
答：原计划租用 种客车 辆，这次研学去了 人；
（2）解：设租用 种客车 辆，则租用 种客车 辆，根据题意，得
解得： ，
∵ 为正整数，则 ，
∴共有 种租车方案，
方案一：租用 种客车 辆，则租用 种客车 辆，
方案二：租用 种客车 辆，则租用 种客车 辆，
方案三：租用 种客车 辆，则租用 种客车 辆，
（3）∵ 种客车租金为每辆 元， 种客车租金每辆 元，
∴ 种客车越少，费用越低，
方案一：租用 种客车 辆，则租用 种客车 辆，费用为 元，
方案二：租用 种客车 辆，则租用 种客车 辆，费用为 元，
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方案三：租用 种客车 辆，则租用 种客车 辆，费用为 元，
∴租用 种客车 辆，则租用 种客车 辆才最合算．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元
一次方程与不等式组是解题的关键．
19．（2020·贵州遵义·中考真题）为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超
市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，
乙种型号水杯进价为45元/个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况：
销售数量（个）
销售收入（元）（销售收入＝售价×销售数
时间
量）
甲种型号 乙种型号
第一月 22 8 1100
第二月 38 24 2460
（1）求甲、乙两种型号水杯的售价；
（2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个，这批水杯进货的预算成本不超
过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下设购进甲种号
水杯a个，利润为w元，写出w与a的函数关系式，并求出第三月的最大利润．
【答案】（1）甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为30元、55元；（2）w＝﹣5a+800，
第三月的最大利润为550元．
【分析】（1）设甲种型号的水杯的售价为每个 元，乙种型号的水杯每个 元，根据题意
列出方程组求解即可，（2）根据题意写出利润 关于 的一次函数关系式，列不等式组
求解 的范围，从而利用一次函数的性质求利润的最大值．
【解析】解：（1）设甲种型号的水杯的售价为每个 元，乙种型号的水杯每个 元，则
① ②得：
把 代入①得：
答：甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为30元、55元；
（2）由题意得：甲种水杯进了 个，则乙种水杯进了 个，
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所以：
又 由①得： ，所以不等式组的解集为：
其中 为正整数，所以 随 的增大而减小，
当 时，第三月利润达到最大，最大利润为： 元．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，掌握
以上知识是解题的关键．
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