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热点 02 方程（组）与不等式
中考数学中《方程（组）与不等式（组）》部分主要考向分为四类：
一、一元一次方程与二元一次方程（组）（每年2~4道，8~14分）
二、一元二次方程（每年1~2道，3~8分）
三、分式方程（每年1~3题，3~12分）
四、不等式（组）（每年2~4题，8~18分）
方程（组）与不等式（组）在数学中考中的难度中等，题型比较多，选择题、填空题、解答题都可以
考察。其中，一元一次方程与二元一次方程（组）是比较接近的两个考点，出题一般都只有 1题，一元一
次方程多考察其在实际问题中的应用，多为选择题；二元一次方程组则以计算和应用题为主占分较多。一
元二次方程单独出题时多考察其根的判别式、根与系数的关系以及在实际问题中提炼出一元二次方程；一
元二次方程的计算则主要出现在几何大题中，辅助解压轴题。分式方程的考察内容不多，但基本属于必考
考点，可以是一道小题考察其解法，也可以是应用题。不等式组是这四个考点中占分最多的一个，考察难
度也是可大可小，其解法、含参数的不等式组问题、和方程结合的应用题都经常考到。虽然该热点难度中
等，一般不会失分，但是组合出题时，难度也可以变大，复习时需要特别注意。
考向一：一元一次方程与二元一次方程组
【题型1 实际问题抽象出一元一次方程】
中考中对于一元一次方程的应用题并不会考这么多，多以选择题出题，也就只考到列方程这步就可以了.
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解一元一次方程应用题，遵循5个步骤，其各个步骤的注意事项如下：
①审题；②设未知数:设未知数(通常为x)，并注明单位；③列方程；④解方程；⑤检验
答案：将解代入原方程或实际问题，验证是否合理；⑥.写答句:完整写出答案，并注明
单位。
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，
绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把
绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（ ）
1 1 1 1
A． x−4= x−1 B． x+4= x−1
3 4 3 4
1 1 1 1
C． x−4= x+1 D． x+4= x+1
3 4 3 4
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，利用井的深度不变建立方程是解题的关键．
1 1
【详解】解：设绳长为x尺，列方程为 x−4= x−1，
3 4
故选A．
2．（2024·广东广州·中考真题）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比
去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程
为（ ）
A．1.2x+1100=35060 B．1.2x−1100=35060
C．1.2(x+1100)=35060 D．x−1100=35060×1.2
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题关键．设该车企去年5月交付
新车x辆，根据“今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆”列出方程
即可．
【详解】解：设该车企去年5月交付新车x辆，
根据题意得：1.2x+1100=35060，
故选：A．
3．（2024·广西·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：
现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有
多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（ ）
x x x x x x
A． + + =1 B． + + =100
3 4 5 3 4 5
C．3x+4x+5x=1 D．3x+4x+5x=100
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．
三年共得100钱”列方程即可．
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x x x
【详解】解：根据题意，得 + + =100，
3 4 5
故选：B．
4．（2024·北京·中考真题）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车
国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过
35mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50mg/km.已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量
之和原为92mg/km.经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低
了75%，A，B两类物质排放量之和为40mg/km，判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否
符合“标准”，并说明理由.
【答案】符合，理由见详解
【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
设技术改进后该汽车的A类物质排放量为xmg/km，则B类物质排放量为(40−x)mg/km，根据汽车
的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km建立方程求解即可．
【详解】解：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为xmg/km，则B类物质排放量为
(40−x)mg/km，
x 40−x
由题意得： + =92，
1−50% 1−75%
解得：x=34，
∵34<35，
∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”．
【题型2 二元一次方程组的解法相关】
解二元一次方程组有2种方法——带入消元法和加减消元法
不管是带入法还是加减法，目的都在于利用等式的基本性质将二元一次方程组转化为一元一次方程，所
以做题中也必须注意一元一次方程解法的易错点。
1．（2024·广西·中考真题）解方程组：¿
【答案】¿
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，直接利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：¿，
①+②得：2x=4，
解得：x=2，
把x=2代入①得：
1
y= ，
2
∴方程组的解为：¿.
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2．（2024·浙江·中考真题）解方程组：¿
【答案】¿
1 1
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用①×3＋②得，10x=5，解得x= ，再把x= 代入①求
2 2
出y=−4即可.
【详解】解：¿
①×3＋②得，10x=5
1
解得x= ，
2
1
把x= 代入①得1−y=5，
2
解得y=−4
∴¿
3．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组¿的解是¿，则关于x、y的方程组¿的解是
．
【答案】¿
【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把¿，代入¿，得到¿，整体代入¿中，得
到方程组¿，加减消元法解方程组即可．
【详解】解：把¿代入¿，得：¿，
∵¿，
∴¿，即：¿，
①+②，得：(a+c)x=5(a+c)，
∵方程组¿有解，
∴a+c≠0，
∴x=5，
把x=5代入①，得：5a+2y=5a−2，解得：y=−1；
∴方程组的解集为：¿；
故答案为：¿．
【题型3 二元一次方程组的应用】
二元一次方程组的应用题解决步骤同一元一次方程应用题解题步骤及注意事项差不多，审题和找等量关
系都是方程类应用题解题的关键。通常难度不大，个别时候，二元一次方程组的应用题也可以用一元一
次方程来解。
1．（2024·山东日照·中考真题）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：
“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译
文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5
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尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的
长度单位，1托=5尺）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去
量竿，则绳比竿短5尺列方程组即可．
【详解】解：由题意得¿
故选A．
2．（2024·辽宁·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上
有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔
各多少只？设鸡有x只，兔有y只，根据题意可列方程组为（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解题关键．设鸡有x只，兔有y只，根据
“鸡兔同笼，共有35个头，94条腿”列二元一次方程组即可．
【详解】解：设鸡有x只，兔有y只，
由题意得：¿，
故选：D．
3．（2024·安徽·中考真题）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了
一些田地．采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：
农作物品 每公顷所需人 每公顷所需投入资金（万
种 数 元）
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元．问A，B这两种
农作物的种植面积各多少公顷？
【答案】A农作物的种植面积为3公顷，B农作物的种植面积为4公顷．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设A农作物的种植面积为x公顷，B农作物的种植面积为
y公顷，根据题意列出二元一次方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出二元一次方程
组是解题的关键．
【详解】解：设A农作物的种植面积为x公顷，B农作物的种植面积为y公顷，
由题意可得，¿，
解得¿，
答：A农作物的种植面积为3公顷，B农作物的种植面积为4公顷．
4．44．（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，
各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：
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甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数
是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用
二元一次方程组解答上述问题．
【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键．
设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，
求解即可．
【详解】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得
¿，
解这个方程组，得¿．
答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币．
考向二：一元二次方程
【题型4 一元二次方程根的判别式】
ax2 +bx+c=0(a≠0)
对于一元二次方程的一般形式： ，
(1)
b2 −4ac＞0
方程有两个不相等的实数根
(2)
b2 −4ac=0
方程有两个相等的实数根
(3)
b2 −4ac＜0
方程没有实数根
注意：在应用根的判别式时，若二次项系数中含有字母，注意二次项系数不为0这一条件；
当b2 −4ac≥0时，可得方程有两个实数根，相等不相等未知
1．（2024·四川自贡·中考真题）关于x的一元二次方程x2+kx−2=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，当
Δ>0时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式解答即可．
【详解】解：∵△=k2−4×1×(−2)=k2+8>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
2．（2024·山东泰安·中考真题）关于x的一元二次方程2x2−3x+k=0有实数根，则实数k的取值范围是
（ ）
9 9 9 9
A．k< B．k≤ C．k≥ D．k<−
8 8 8 8
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【答案】B
【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关
键．
根据一元二次方程有实数根的条件是Δ≥0，据此列不等式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程2x2−3x+k=0有实数根，
9
∴Δ=(−3) 2−4×2k≥0，解得k≤ ．
8
故选B．
3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程(m−2)x2+4x+2=0有两个实数根，则m
的取值范围是（ ）
A．m≤4 B．m≥4 C．m≥−4且m≠2 D．m≤4且m≠2
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式
Δ=b2−4ac的意义得到m−2≠0且Δ≥0，即42−4×(m−2)×2≥0，然后解不等式组即可得到m的取
值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程(m−2)x2+4x+2=0有实数根，
∴m−2≠0且Δ≥0，
即42−4×(m−2)×2≥0，
解得：m≤4，
∴m的取值范围是m≤4且m≠2．
故选：D．
4．（2024·湖南·中考真题）若关于x的一元二次方程x2−4x+2k=0有两个相等的实数根，则k的值为
．
【答案】2
【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不
相等的实数根，则Δ=b2−4ac>0；有两个相等的实数根，则Δ=b2−4ac=0；没有实数根，则
Δ=b2−4ac<0．据此即可求解．
【详解】解：由题意得：Δ=b2−4ac=(−4) 2−4×1×2k=0，
解得：k=2
故答案为：2
【题型5 一元二次方程根与系数的关系】
完全拿下这部分分数，除了熟记根与系数的关系的公式外，还要熟悉完全平方公式的变形：
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b c
x +x =− x ⋅x =
ax2 +bx+c=0(a≠0) x 、x 1 2 a 1 2 a
若一元二次方程 的两个根为 1 2，则有 ，
当问题中出现“方程的两个根是……”时，通常就要想其根与系数的关系了，若不能直接利用原公式，
则结合完全公式，想其常用变形：
（1）x +x =（x +x ）2−2x x （2）（x −x ）2 =（x +x ）2 −4x x
1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
x x （x +x ）2 −2x x 1 1 x +x
（3） 1 + 2 = 1 2 1 2 （4） + = 1 2
x x x x x x x x
2 1 1 2 1 2 1 2
1．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数x ,x (x ≠x )是关于x的方程kx2+2kx+1=0(k≠0)的两个根，
1 2 1 2
1 1
若
+ =2，则k的值为（
）
x x
1 2
1 1
A．1 B．−1 C． D．−
2 2
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
b c 1
若x ，x 是该方程的两个实数根，则x +x =− ，x x = ，据此得到x +x =−2,x x = ，再由
1 2 1 2 a 1 2 a 1 2 1 2 k
1 1
+ =2得到−2k=2，据此可得答案．
x x
1 2
【详解】解：∵x ,x 是关于x的一元二次方程kx2+2kx+1=0(k≠0)的两个根，
1 2
1
∴x +x =−2,x x = ．
1 2 1 2 k
1 1
∵ + =2，
x x
1 2
x +x
∴ 1 2=2，
x x
1 2
−2
=2
∴ 1
k
∴−2k=2，
解得k=−1，
经检验，k=−1是原分式方程的解，
故选：B．
2．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程x2−2x+k=0的一个根为−2，则方程的另一个根为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等
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b
于− ，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
a
【详解】解：设方程的另一个根为m，
∵方程x2−2x+k=0有一个根为−2，
∴−2+m=2，
解得：m=4．
故答案为：4．
3．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程x2+2024x−4=0的两个解，则a2+2023a−b的值为
．
【答案】2028
【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根
与系数关系求得a2+2024a=4，a+b=−2024，再代值求解即可．
【详解】解：∵a和b是方程x2+2024x−4=0的两个解，
∴a2+2024a−4=0，a+b=−2024，
∴a2+2024a=4，
∴a2+2023a−b
=a2+2024a−(a+b)
=4−(−2024)
=4+2024
=2028，
故答案为：2028．
4．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−px+1=0（p为常数）有两个不相等的实
数根x 和x ．
1 2
(1)填空：x +x = ________，x x = ________；
1 2 1 2
1 1 1
(2)求 + ，x + ；
x x 1 x
1 2 1
(3)已知x2+x2=2p+1，求p的值．
1 2
【答案】(1)p，1；
1 1 1
(2)
+ =p，x + =p；
x x 1 x
1 2 1
(3)p=3．
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系
是解题的关键．
（1）利用根和系数的关系即可求解；
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1 1 x +x
（2） + 变形为 1 2 ，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得
x x x x
1 2 1 2
1 1
x 2−px +1=0，即得x −p+ =0，进而可得x + =p；
1 1 1 x 1 x
1 1
（3）把方程变形为(x +x ) 2−2x x =2p+1，再把根和系数的关系代入得p2−2=2p+1，可得
1 2 1 2
p=−1或p=3，再根据根的判别式进行判断即可求解．
【详解】（1）解：由根与系数的关系得，x +x =p，x x =1，
1 2 1 2
故答案为：p，1；
（2）解：∵x +x =p，x x =1，
1 2 1 2
1 1 x +x
∴ + = 1 2=p，
x x x x
1 2 1 2
∵关于x的一元二次方程x2−px+1=0（p为常数）有两个不相等的实数根x 和x ，
1 2
∴x 2−px +1=0，
1 1
1
∴x −p+ =0，
1 x
1
1
∴x + =p；
1 x
1
（3）解：由根与系数的关系得，x +x =p，x x =1，
1 2 1 2
∵x2+x2=2p+1，
1 2
∴(x +x ) 2−2x x =2p+1，
1 2 1 2
∴P2−2=2p+1，
∴P2−2p−3=0，
解得p=−1或p=3，
∴一元二次方程x2−px+1=0为x2+x+1=0或x2−3x+1=0，
当p=−1时，Δ=12−4×1×1=−3<0，不合题意，舍去；
当p=3时，Δ=(−3) 2−4×1×1=5>0，符合题意；
∴p=3．
【题型6 一元二次方程的解法】
一元二次方程的解法有4种，重点记忆配方法、因式分解法、公式法。
其中注意事项：
配方法——需要加上的数字是一次项系数一半的平方（x2
的系数为1），并且先移项，再配方；
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x2 +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
因式分解法——重点掌握十字相乘法（常用公式：
）；
公式法——使用这种解法，必须先分析a、b、c的值，求出b2 −4ac的值，再带入公式
1．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程x2−2x=0的解是（ ）
A．x =3，x =1 B．x =2，x =0 C．x =3，x =−2 D．x =−2，x =−1
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】B
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．
【详解】解∶ x2−2x=0，
∴x(x−2)=0，
∴x=0或x−2=0，
∴x =2，x =0，
1 2
故选∶B．
2．（2024·山东德州·中考真题）把多项式x2−3x+4进行配方，结果为（ ）
A．(x−3) 2−5 B． ( x− 3) 2 + 7
2 4
( 3) 2 25 ( 3) 2 7
C． x− + D． x+ +
2 4 2 4
【答案】B
【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全
平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
根据利用完全平方公式的特征求解即可；
【详解】解：x2−3x+4
3 2 3 2
=x2−3x+( ) −( ) +4
2 2
( 3) 2 7
= x− +
2 4
故选B．
3．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：x2−4x+3=0；
（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．
【答案】（1）x=1或x=3
（2）第三边的长是√10或2√2
【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理．
（1）用因式分解法解即可；
（2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别
计算即可．
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【详解】解：（1）x2−4x+3=0
(x−1)(x−3)=0
x=1或x=3；
（2）当两条直角边分别为3和1时，
根据勾股定理得，第三边为√32+12=√10；
当一条直角边为1，斜边为3时，
根据勾股定理得，第三边为√32−12=2√2．
答：第三边的长是√10或2√2．
【题型7 一元二次方程的应用】
解题步骤依然遵循——审、设、列、解、答。
应用题中解出方程的解一般都有2个，做题时注意结合题目实际是否都可取，不符合题意的答案需舍
去。
1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花
坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 m．
【答案】2
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽为xm，则长方形花坛的长为
(16−2x)m，宽为(12−2x)m，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可．
【详解】解：设小路的宽为xm，则长方形花坛的长为(16−2x)m，宽为(12−2x)m，
1
由题意得，(16−2x)(12−2x)= ×16×12，
2
同理得x2−14x+24=0，
解得x=2或x=12（舍去），
∴小路的宽为2m，
故答案为：2．
2．（2024·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份
投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
(1)求该商场投入资金的月平均增长率；
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(2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
【答案】(1)该商场投入资金的月平均增长率10%
(2)预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正
确列出一元二次方程是解此题的关键．
（1）设该商场投入资金的月平均增长率为x，根据“四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2
万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案；
（2）根据（1）中求得的增长率，即可求得七月份投入资金．
【详解】（1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为x，
由题意得：20×(1+x) 2=24.2，
解得：x =0.1=10%，x =−2.1（不符合题意，舍去），
1 2
∴该商场投入资金的月平均增长率10%；
（2）解：24.2×(1+10%)=26.62（万元），
∴预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元．
3．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x
（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
每件售价x
⋅⋅⋅45 55 65 ⋅⋅⋅
/元
日销售量y ⋅⋅⋅55 45 35 ⋅⋅⋅
/件
(1)求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．
【答案】(1)y=−x+100；
(2)该商品日销售额不能达到2600元，理由见解析。
【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数
法求出y与x之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数表达式；
（2）利用销售额=每件售价×销售量，即可得出关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即
可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
将(45,55)，(55,45)代入y=kx+b得
¿，
解得¿，
∴y与x之间的函数表达式为y=−x+100；
（2）解：该商品日销售额不能达到2600元，理由如下：
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依题意得x(−x+100)=2600，
整理得x2−100x+2600=0，
∴Δ=b2−4ac=(−100) 2−4×1×2600=−400<0，
∴该商品日销售额不能达到2600元．
考向三：分式方程
【题型8 解分式方程的步骤】
解分式方程基本步骤：①去分母；②解整式方程；③验根
分式方程的增根：使分式方程分母=0的未知数的值；
分式方程会无解的几种情况
①解出的x的值是增根，须舍去，无解
②解出的x的表达式中含参数，而表达式无意义，无解
③同时满足①和②，无解
求有增根分式方程中参数字母的值的一般步骤：
①让最简公分母为 0 确定增根；
②去分母，将分式方程转化为整式方程；
③将增根带入（当有多个增根时，注意分类，不要漏解）；
④解含参数字母的方程的解。
1 5
1．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程1− =− 时，去分母变形正确的是（ ）
3x−1 2−6x
A．2−6x+2=−5 B．6x−2−2=−5
C．2−6x−1=5 D．6x−2+1=5
【答案】A
【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可
去分母．
1 5
【详解】解：方程两边同乘2−6x，得2−6x−(2−6x)× =− ×(2−6x)，
3x−1 2−6x
整理可得：2−6x+2=−5
故选：A．
1 m
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于x的分式方程 − =0的解是负数，那么实数m的取值
x x+1
范围是（ ）
A．m<1且m≠0 B．m<1 C．m>1 D．m<1且m≠−1
【答案】A
【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方
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程的解是负数得到m−1<0，并结合分式方程的解满足最简公分母不为0，求出m的取值范围即可，熟
练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【详解】解：方程两边同时乘以x(x+1)得，x+1−mx=0，
1
解得x= ，
m−1
∵分式方程的解是负数，
∴m−1<0，
∴m<1，
又∵x(x+1)≠0，
∴x+1≠0，
1
∴ ≠−1，
m−1
∴m≠0，
∴m<1且m≠0，
故选：A．
2 m
3．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程 =1− 的解为正数，则m的取值范围（ ）
x−1 x−1
A．m>−3 B．m>−3且m≠−2
C．m<3 D．m<3且m≠−2
【答案】B
【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方
程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．
【详解】解：方程两边同时乘以x−1得，2=x−1−m，
解得x=m+3，
2 m
∵分式方程 =1− 的解为正数，
x−1 x−1
∴m+3>0，
∴m>−3，
又∵x≠1，
即m+3≠1，
∴m≠−2，
∴m的取值范围为m>−3且m≠−2，
故选：B．
x 2
4．（2023·四川凉山·中考真题）解方程： = ．
x+1 x2−1
【答案】x=2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程
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的解．
x 2
=
【详解】解：
x+1 x2−1
方程两边同乘(x+1)(x−1)，
得x(x−1)=2，
整理得，x2−x−2=0，
∴(x+1)(x−2)=0，
解得：x =−1，x =2，
1 2
检验：当x=−1时，(x+1)(x−1)=0，x=−1是增根，
当x=2时，(x+1)(x−1)=3≠0，
∴原方程的解为x=2．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
【题型9 分式方程应用题】
中考中常会以解答题形式考查，也有个别是出选择题或填空题。解答题形式考查经常会结合不等式或一
次函数等。
列分式方程解应用题的一般步骤：①审， ②设， ③列， ④解， ⑤验（必须要检验） ⑥答
1．（2024·宁夏·中考真题）数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4
个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做x个盒子，
根据题意可列方程（ ）
4 6 6 4 4 6 10 6 4 10
A． − =10 B． − =10 C． − = D． − =
x 2x x 2x x 2x 60 x 2x 60
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设乙每小时做x个盒子，根据“甲每小时做盒子的数量是
乙每小时做盒子的数量的2倍”，则甲每小时做2x个盒子，根据“甲做6个盒子比乙做4个盒子少用
4 6 10
10分钟”，列出方程 − = 即可．
x 2x 60
【详解】解：设乙每小时做x个盒子，则甲每小时做2x个盒子，
4 6 10
由题意得： − = ，
x 2x 60
故选：C．
2．（2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学
生乘慢车先行0.5h，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小
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时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为xkm/h，则可列方程为（ ）
60 60 1 60 60 1
A． − = B． − =
x x+20 2 x−20 x 2
60 60 1 60 60 1
C． − = D． − =
x+20 x 2 x x−20 2
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设慢车的速度为xkm/h，则快车的速度是(x+20)km/h，
再根据题意列出方程即可．
【详解】解：设慢车的速度为xkm/h，则快车的速度为(x+20)km/h，根据题意可得：
60 60 1
− = ．
x x+20 2
故选：A．
3．（2024·山东泰安·中考真题）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某
农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人．甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农
产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、
乙两组各有多少名工人？
【答案】甲组有20名工人，乙组有15名工人
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设甲组有x名工人，则乙组有(35−x)名工人．根据题意得
2700 3000
= ×1.2，据此即可求解．
35−x x
【详解】解：设甲组有x名工人，则乙组有(35−x)名工人．
2700 3000
根据题意得： = ×1.2，
35−x x
解答：x=20，
经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意，
∴35−x=35−20=15．
答：甲组有20名工人，乙组有15名工人．
4．（2024·江苏扬州·中考真题）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B
型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数
相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？
【答案】B型机器每天处理60吨垃圾
【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
设B型机器每天处理x吨垃圾，则A型机器每天处理(x+40)吨垃圾，根据题意列出方程即可求出答案．
【详解】解：设B型机器每天处理x吨垃圾，则A型机器每天处理(x+40)吨垃圾，
500 300
根据题意，得 = ，
x+40 x
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解得x=60．
经检验，x=60是所列方程的解．
答：B型机器每天处理60吨垃圾．
5．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30
条生产线的设备进行更新换代．
(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生
产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30
条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用
200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该
企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？
【答案】(1)该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；
(2)需要更新设备费用为1330万元
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的
关键．
（1）设该企业甲类生产线有x条，则乙类生产线各有(30−x)条，再利用更新完这30条生产线的设备，
该企业可获得70万元的补贴，再建立方程求解即可；
（2）设购买更新1条甲类生产线的设备为m万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为(m−5)万元，
利用用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，
再建立分式方程，进一步求解．
【详解】（1）解：设该企业甲类生产线有x条，则乙类生产线各有(30−x)条，则
3x+2(30−x)=70，
解得：x=10，
则30−x=20；
答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；
（2）解：设购买更新1条甲类生产线的设备为m万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为(m−5)万
元，则
200 180
= ，
m m−5
解得：m=50，
经检验：m=50是原方程的根，且符合题意；
则m−5=45，
则还需要更新设备费用为10×50+20×45−70=1330（万元）；
6．（2024·重庆·中考真题）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、
乙两人分别用A、B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A、B两种外墙漆各300千克，
购买外墙漆总费用为15000元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元．
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(1)求A、B两种外墙漆每千克的价格各是多少元？
4
(2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的 ，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷
5
任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
【答案】(1)A种外墙漆每千克的价格为26元，则B种外墙漆每千克的价格为24元．
(2)甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米．
【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意建立方程是解本题的关键；
（1）设A种外墙漆每千克的价格为x元，则B种外墙漆每千克的价格为(x−2)元，再根据总费用为
15000元列方程求解即可；
4
（2）设甲每小时粉刷外墙面积为y平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是 y平方米；利用乙完成粉刷
5
任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．从而建立分式方程求解即可．
【详解】（1）解：设A种外墙漆每千克的价格为x元，则B种外墙漆每千克的价格为(x−2)元，
∴300x+300(x−2)=15000，
解得：x=26，
∴x−2=24，
答：A种外墙漆每千克的价格为26元，B种外墙漆每千克的价格为24元．
4
（2）设甲每小时粉刷外墙面积为y平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是 y平方米；
5
500 500
−5=
∴4 y ，
y
5
解得：y=25，
经检验：y=25是原方程的根且符合题意，
答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米．
考向四：一元一次不等式组
【题型10 解一元一次不等式组】
一元一次不等式组的解法中，同除以一个负数时，不要忘记改变不等号的方向，同除一个分数时，不要
除反了
1．（2024·西藏·中考真题）解不等式组：¿，并把解集在数轴上表示出来．
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【答案】11，
解不等式②得：x<5，
∴不等式组的解集为：1−4，
∴原不等式组的解集−4 ，
3
1
∴不等式组的解集为 2 B．m≥2 C．m<2 D．m≤2
【答案】B
【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到
关于参数的不等式，进行求解即可．
【详解】解：解¿，得：¿，
∵不等式组的解集为：x<3，
∴m+1≥3，
∴m≥2；
故选B．
2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组¿恰有3个整数解，则a的取值范围是 ．
1
【答案】− ≤a<0
2
【分析】本题考查解一元一次不等式（组)，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一
元一次不等式的方法．
先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组¿恰有3个整数解，即可得到关于a的不等式
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组，然后求解即可．
【详解】解：由4−2x≥0，得：x≤2，
1
由 x−a>0，得：x>2a，
2
∵不等式组¿恰有3个整数解，
∴这3个整数解是0，1，2，
∴−1≤2a<0，
1
解得− ≤a<0，
2
1
故答案为：− ≤a<0．
2
3．（2024·重庆·中考真题）若关于x的不等式组¿至少有2个整数解，且关于y的分式方程
a−1 3
=2− 的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
y−1 1−y
【答案】16
【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于x的一元一
次不等式组至少有两个整数解，确定a的取值范围a≤8，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得
a−2
y= ，由分式方程的解为非负整数，确定a的取值范围a≥2且a≠4，进而得到2≤a≤8且a≠4，
2
根据范围确定出a的取值，相加即可得到答案．
【详解】解：¿，
解①得：x<4，
a−2
解②得：x≥ ，
3
∵关于x的一元一次不等式组至少有两个整数解，
a−2
∴ ≤2，
3
解得a≤8，
a−1 3 a−2
解方程 =2− ，得y= ，
y−1 1−y 2
∵关于y的分式方程的解为非负整数，
a−2 a−2
∴ ≥0且 ≠1，a−2是偶数，
2 2
解得a≥2且a≠4，a是偶数，
∴ 2≤a≤8且a≠4，a是偶数，
则所有满足条件的整数a的值之和是2+6+8=16，
故答案为：16．
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【题型12一元一次不等式（组）应用题】
元一次不等式（组）应用题的解法步骤：审，设，列，解，答。
审题过程中，找不等量关系时，多注意“不超过”、“低于”、“不少于”等不等量关系的词语；不等
式组的应用题也常和方程结合，不等式的解作为方案类问题选择的范围，取整后得到对应方案。
1．（2024·山东青岛·中考真题）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、
航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数
4
量是用1800元购买航海模型数量的 ．
5
(1)求航空和航海模型的单价；
(2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，
1
且航空模型数量不少于航海模型数量的 ，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
2
【答案】(1)航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为90元；
(2)当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为(x−35)元，根据用2000元购买航空模型的数量
4
是用1800元购买航海模型数量的 列出方程求解即可；
5
（2）设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型(120−m)个，先根据航空模型数量不少于
1
航海模型数量的 列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数
2
的性质求解即可．
【详解】（1）解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为(x−35)元，
2000 4 1800
由题意得， = × ，
x 5 x−35
解得x=125，
检验，当x=125时，x(x−35)≠0，
∴x=125是原方程的解，且符合题意，
∴x−35=90，
答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为90元；
（2）解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型(120−m)个，
1
由题意得，m≥ (120−m)，
2
解得m≥40，
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y=125×0.8m+90(120−m)=10m+10800，
∵10>0，
∴y随m增大而增大，
∴当m=40时，y有最小值，最小值为10×40+10800=11200，
此时有120−m=80，
答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少．
2．（2024·湖南长沙·中考真题）刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在
巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．
已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘
绣作品共需要1200元．
(1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？
(2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最
多能购买A种湘绣作品多少件？
【答案】(1)A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元
(2)最多能购买100件A种湘绣作品
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．
（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据“购买1件A种湘绣作品与2
件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元”，即可得
出关于x，y的二元一次方程组，解之即可解题；
（2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品(200−a)件，总费用=单价×数量，结合总费用
不超过50000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的值，再取其中的最大整数值
即可得出该校最大可以购买湘绣的数量．
【详解】（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元．
根据题意，得
¿，
解得¿
答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元．
（2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品(200−a)件．
根据题意，得300a+200(200−a)≤50000，
解得a≤100．
答：最多能购买100件A种湘绣作品．
3．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高
10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同．
(1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？
(2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不
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超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？
【答案】(1)纪念品A、B的单价分别是30元和20元
(2)A种纪念品购进267件，B种纪念品购进133件，两种纪念品使总费用最少
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
（1）设A种纪念品的单价是x元，则B种纪念品的单价是(x−10)元，利用数量=总价÷单价，结合
“用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同”，可得出关于x的分式方程，
解之即可；
（2）设购买a件A种纪念品，总费用为y元，利用总价=单价×数量，可得出关于a的一次函数，求
出a的取值范围，根据函数的增减性解题即可．
【详解】（1）解：设A种纪念品的单价为x元，则B种纪念品的单价为(x−10)元，
600 400
= ，
x x−10
解得：x=30，
经检验x=30是原方程的解，
∴B种纪念品的单价为x−10=20元，
答：纪念品A、B的单价分别是30元和20元．
（2）解：设A种纪念品购进a件，总费用为y元，
则y=30a+20(400−a)=10a+8000，
又∵¿，
800
解得 ≤a≤300，
3
∵10>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=267时，购买这两种纪念品使总费用最少，
这时A种纪念品购进267件，B种纪念品购进400−267=133件，两种纪念品使总费用最少．
4．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产
量的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级
鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、
干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：
(1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？
(2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50
元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于
40箱，该商店有哪几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，
最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．
【答案】(1)特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元
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(2)有3种方案，详见解析
(3)特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解
题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列
出一元一次不等式组；（3）正确计算求解．
（1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，根据“购进鲜品猴头菇3箱、
干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元”，列出方程组求解即可；
（2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇(80−m)箱，根据“获利不少于
1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，”列出不等式组求解即可；
（3）根据（2）中三种方案分别求解即可；
【详解】（1）解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，
则¿，
解得：¿，
故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元；
（2）解：设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇(80−m)箱，
则¿，
解得：40≤m≤42，
∵m为正整数，
∴m=40,41,42，
故该商店有三种进货方案，
分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱；
②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱；
③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱；
（3）解：当购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱时：
( a ) ( a )
根据题意得(40−1)×(50−40)+(40−1)×(180−150)+ 50⋅ −40 + 180⋅ −150 =1577，
10 10
解得：a=9；
当购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱时：
( a ) ( a )
根据题意得(41−1)×(50−40)+(39−1)×(180−150)+ 50⋅ −40 + 180⋅ −150 =1577，
10 10
解得：a≈9.9（是小数，不符合要求）；
当购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱时：
( a ) ( a )
根据题意得(42−1)×(50−40)+(38−1)×(180−150)+ 50⋅ −40 + 180⋅ −150 =1577，
10 10
解得：a≈10.7（不符合要求）；
故商店的进货方案是特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱．
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（建议用时：15分钟）
1．（2024·吉林长春·中考真题）不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表
示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A．若a>b，则a+c>b+c B．若a>b，b>c，则a>c
a b
C．若a>b，c>0，则ac>bc D．若a>b，c>0，则 >
c c
【答案】A
【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解
答．
【详解】解：由作图可知：a>b，由右图可知：a+c>b+c，即A选项符合题意．
故选：A．
2．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2−6x=0 B．x2−9=0
C．x2−6x+6=0 D．x2−6x+9=0
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ=b2−4ac>0时，方程有两个不相等实数根；当Δ=b2−4ac=0时，方程
的两个相等的实数根；当Δ=b2−4ac<0时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的
值，即可判断．
【详解】解：A．Δ=(−6) 2−4×1×0=36>0 ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意；
B．Δ=02−4×1×(−9)=36>0 ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意；
C．Δ=(−6) 2−4×1×6=12>0 ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意；
D．Δ=(−6) 2−4×1×9=0 ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意；
故选：D．
3．（2024·四川广元·中考真题）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023
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年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两
种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B
种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（ ）
6750 3000 3000 6750
A． −50= B． −50=
3x x 3x x
6750 3000 3000 6750
C． +50= D． +50=
3x x 3x x
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是3x元，根据用
6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，列出方程即可．
【详解】解：设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是3x元，根据题意得：
6750 3000
+50= ，
3x x
故选：C．
4．（2024·江苏扬州·中考真题）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，
书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速
度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要
分钟．
【答案】2.5
【分析】本题考查了一元一次方程的运用，理解数量关系，列出方程是解题的关键．
根据题意，设需要t分钟追上，则速度快的人的路程等于速度慢的人的路程，由此列式求解即可．
【详解】解：根据题意，设t分钟追上，
∴100+60t=100t，
解得，t=2.5，
∴速度快的人追上速度慢的人需要2.5分钟，
故答案为：2.5 ．
5．（2024·江苏镇江·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则m=
．
【答案】9
【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ
=0，方程有两个相等的实数根；当Δ <0，方程没有实数根．
根据一元二次方程根的判别式的意义，方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则有Δ=0，得到关
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于m的方程，解方程即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，
∴ Δ =0，即62−4×1×m=0，
解得m=9．
故答案为：9．
6．（2024·四川泸州·中考真题）已知x ，x 是一元二次方程x2−3x−5=0的两个实数根，则
1 2
(x −x ) 2+3x x 的值是 ．
1 2 1 2
【答案】14
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方
b c
程，若该方程的两个实数根为x ，x ，则x +x =− ，x x = ．先根据根与系数的关系得到
1 2 1 2 a 1 2 a
x +x =3，x x =−5，再根据完全平方公式的变形(x +x ) 2=x 2+2x x +x 2=9，求出
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
(x −x ) 2=29，由此即可得到答案．
1 2
【详解】解：∵ x ，x 是一元二次方程x2−3x−5=0的两个实数根，
1 2
∴x +x =3，x x =−5，
1 2 1 2
∴(x +x ) 2=x 2+2x x +x 2=9，
1 2 1 1 2 2
∴ (x −x ) 2=x 2−2x x +x 2=9−4x x =9+20=29，
1 2 1 1 2 2 1 2
∴ (x −x ) 2+3x x =29+3×(−5)=14．
1 2 1 2
故答案为：14．
7．（2024·重庆·中考真题）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了
200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架
次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为 ．
【答案】200(1+x) 2=401
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长
率为x，则第二季度低空飞行航线安全运行了200(1+x)架次，第三季度低空飞行航线安全运行了
200(1+x) 2架次，据此列出方程即可．
【详解】解：设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，
由题意得，200(1+x) 2=401，
故答案为：200(1+x) 2=401．
8．（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各
不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、
乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙
钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元
一次方程组解答上述问题．
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【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键．
设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，
求解即可．
【详解】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得
¿，
解这个方程组，得¿．
答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币．
9．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数a，b定义运算“※”为a※b=a+3b，例如
5※2=5+3×2=11，则关于x的不等式x※m<2有且只有一个正整数解时，m的取值范围是 ．
1
【答案】0≤m<
3
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，根据新定义和正整数解列出关
于m的不等式组是解题的关键．根据新定义列出不等式，解关于x的不等式，再由不等式的解集有且
只有一个正整数解得出关于m的不等式组求解可得．
【详解】解：根据题意可知，x※m=x+3m<2
解得：x<2−3m
∵x※m<2有且只有一个正整数解
∴¿
1
解不等式①，得：m<
3
解不等式②，得：m≥0
1
∴0≤m<
3
1
故答案为：0≤m< ．
3
1 3
10．（2024·广东广州·中考真题）解方程： = ．
2x−5 x
【答案】x=3
【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键，注意检验．依次去分母、去括
号、移项、合并同类项求解，检验后即可得到答案．
1 3
【详解】解： = ，
2x−5 x
去分母得：x=3(2x−5)，
去括号得：x=6x−15，
移项得：x−6x=−15，
合并同类项得：−5x=−15，
解得：x=3，
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经检验，x=3是原方程的解，
∴该分式方程的解为x=3．
11．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−(m+2)x+m−1=0．
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为x ,x ，且x2+x2−x x =9，求m的值．
1 2 1 2 1 2
【答案】(1)证明见解析；
(2)m =1或m =−2．
1 2
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二
次方程根的判别式是解题的关键．
（1）根据根的判别式证明Δ>0恒成立即可；
（2）由题意可得，x +x =m+2，x ⋅x =m−1，进行变形后代入即可求解．
1 2 1 2
【详解】（1）证明：Δ=[−(m+2)] 2 −4×1×(m−1)=m2+8，
∵无论m取何值，m2+8>0，恒成立，
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x ,x 是方程x2−(m+2)x+m−1=0的两个实数根，
1 2
∴x +x =m+2，x ⋅x =m−1，
1 2 1 2
∴x2+x2−x x =(x +x ) 2−3x x =(m+2) 2−3(m−1)=9，
1 2 1 2 1 2 1 2
解得：m =1或m =−2．
1 2
12．（2024·四川泸州·中考真题）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用
多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．
(1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？
(2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品
按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于
1770元，则购进A商品的件数最多为多少？
【答案】(1)A，B两种商品每件进价各为100元，60元；
(2)购进A商品的件数最多为20件
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用：
（1）设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，根据购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；
购进5件A商品和2件B商品总费用为620元列出方程组求解即可；
（2）设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为(60−m)件，根据利润不低于1770元且购
进B商品的件数不少于A商品件数的2倍列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，
由题意得，¿，
解得¿，
答：A，B两种商品每件进价各为100元，60元；
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（2）解：设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为(60−m)件，
由题意得，¿，
解得19≤m≤20，
∵m为整数，
∴m的最大值为20，
答：购进A商品的件数最多为20件．
32
