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第 08 讲 一元一次不等式（组）及其应用
目 录
一、考情分析 二、知识建构
考点一 不等式及不等式的基本性质
题型01 不等式的概念及意义
题型02 列不等式
题型03 取值是否满足不等式
题型04 利用不等式的性质判断式子正负
题型05 根据点在数轴位置判断式子正负
题型06 利用不等式的性质比较大小
题型07 利用不等式的性质证明（不）等式
题型08 利用不等式的性质确定参数的取值范围
题型09 不等式性质的应用
考点二 一元一次不等式
题型01 判断一元一次不等式
题型02 根据一元一次不等式求参数值
题型03 求一元一次不等式解集
题型04 利用数轴表示一元一次不等式解集
题型05 一元一次不等式整数解问题
题型06 根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围
题型07 与一元一次不等式有关的新定义问题
题型08 含绝对值的一元一次不等式
题型09 不等式与方程组综合求参数的取值范围
考点三 一元一次不等式组
题型01 一元一次不等式组定义
题型02 解不等式组
题型03 求不等式组整数解
题型04 由不等式组整数解求字母取值范围
题型05 由不等式组的解集求参数
题型06 与不等式组有关的新定义问题
题型07 根据程序图解不等式组
题型08 不等式组与方程的综合
考点四 不等式（组）的实际应用
题型01 利用一元一次不等式解决实际问题
题型02 利用一元一次不等式组解决实际问题
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考点要求 新课标要求 命题预测
中考数学中，一元一次不等式(组)
不等式及不等式的 结合具体问题，了解不等式的
基本性质 意义，探索不等式的基本性质 的解法及应用题时有考察. 其中不等式
性质、解一元一次不等式(组)，通常是
能解数字系数的一元一次不等
以选择题或填空题的形式出现，难度不
一元一次不等式
式，并能在数轴上表示出解集
大.而不等式（组）相关的应用题常会和
其它考点(如二元一次方程组、二次函数
会用数轴确定两个一元一次不
一元一次不等式组
等) 结合考察，常以解答题形式出现，
等式组成的不等式组的解集.
此时难度上升，需要小心应对.对于一元
一次不等式（组）中含参数问题，难度
不等式（组）的实 能根据具体问题中的数量关
偏大，但是考察几率并不大，为避免丢
际应用 系，列出一元一次不等式，解决简单的
分，学生应在复习过程中扎实掌握．
问题.
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考点一 不等式及不等式的基本性质
一、不等式的相关概念
不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.
不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.
不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示.
解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式.
二、不等式的性质
基本性质1 若a>b，则a±c > b±c
若a<b，则a±c < b±c
基本性质2 a b
若a>b,c>0，则ac>bc（或 > ）
c c
基本性质3 a b
若a>b,c<0，则ac<bc（或 < ）
c c
1. 方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系.
2. 常见的不等号有：≠，>，≥，<，≤五种.
3. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点.
4. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系：
1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值.
2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值.
3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解.
5. 在列不等式时，要注意抓住问题中的一些关键词语，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等.
同时要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．
6. 运用不等式的性质的注意事项：
1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算．
2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子．
3）等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母．
4） 运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个
数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向.
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题型01 不等式的概念及意义
【例1】以下表达式：①4x+3 y≤0；②a>3；③x2+xy；④a2+b2=c2；⑤x≠5．其中不等式有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式1-1】（2023湖里区模拟）某养生钙奶饮料中的包装瓶上标注“每100克内含钙＞150毫克”，它
的含义是指（ ）
A．每100克内含钙150毫克
B．每100克内含钙不低于150毫克
C．每100克内含钙高于150毫克
D．每100克内含钙不超过150毫克
题型02 列不等式
【例2】（2020·河北·统考模拟预测）下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．“m不是负数”表示为m>0 B．“m不大于5”表示为m<5
C．“n与4的差是正数”表示为n−4>0 D．“n不等于4”表示为n>4
【变式2-1】（2023·甘肃陇南·统考二模）乌鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超过3500
米．若用x（米）表示乌鞘岭主峰的海拔高度，则x满足的关系为（ ）
A．x<3500 B．x≤3500 C．x≥3500 D．x>3500
【变式2-2】（2023南宁市模拟）a是非负数的表达式是（ ）
A．a＞0 B．|a|≥0 C．a＜0 D．a≥0
题型03 取值是否满足不等式
【例3】（2023·河北保定·统考二模）在−√2,−2,1,−3四个数中，满足不等式x<−2的有（ ）
A．－2 B．－3 C．−√2 D．1
【变式3-1】（2021·四川南充·统考中考真题）满足x⩽3的最大整数x是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-2】（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）当x=4时，不等式成立的是（ ）
1
A．x+1<4 B． x>2 C．2x+1<5 D．3x−2>9
2
题型04 利用不等式的性质判断式子正负
【例4】（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考模拟预测）如果 x<−3，那么下列
不等式成立的是（ ）
A． x2>−3x B． x2≥−3x C． x2<−3x D． x2≤−3x
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【变式4-1】（2023·湖南常德·统考模拟预测）已知a>b，则下列不等式变形不正确的是（ ）
a b
A．a−2>b−2 B．−2a>−2b C．a+2>b+2 D． >
2 2
【变式4-2】（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知a,b,c,d是实数，且a−b>c−d，下列说法一定正确的是
（ ）
A．若b=d，则a>c B．若a=c，则b>d
C．若b>d，则a>c D．若a>c，则b>d
【变式4-3】（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）设x，y，c为实数，则（ ）
A．若x＞y，则x+3c>y−2c B．若x＞y，则xc>yc
x y
C．若x＞y，则xc2>yc2 D．若 > ，则x＞y
c2 c2
题型05 根据点在数轴位置判断式子正负
【例5】（2023·黑龙江大庆·统考一模）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确
的是（ ）
A．−a−c>−b−c B．ac>bc C．|a−b|=a−b D．a<−b<−c
【变式5-1】（2023·上海徐汇·统考二模）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、
B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A．a+b<0 B．b−a<0 C．−2a>−2b D．|a|>|b|
【变式5-2】（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点
A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A．a+b<0 B．b−a<0 C．2a>2b D．a+2<b+2
【变式5-3】（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考三模）如图所示，数轴上有O、A、B、C四点位
置与各点所表示的数，若数轴上有一点D，D点所表示的数为d，|d−5|=|d−c|，则D点的位置（ ）
A．在A的左边 B．在A、C之间 C．在C、O之间 D．在O、B之间
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【变式5-4】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）m，n在数轴上对应的点如图所
示，下列各式正确的是（ ）
A．x<x−n<x−m B．x−n<x<x−m
C．x−m<x−n<x D．x<x−m<x−n
题型06 利用不等式的性质比较大小
【例6】（2022·浙江丽水·统考一模）数m，m+1，−m−2(m>0)的大小顺序是（ ）
A．−m−2<m<m+1 B．−m−2<m+1<m
C．m<m+1<−m−2 D．m<−m−2<m+1
【变式6-1】（2022·浙江杭州·统考一模）已知M=x2−2x+4，N=x2−4x+4，请比较M和N的大小．
以下是小明的解答：
∵M=(x−1) 2+3≥3，N=(x−2) 2≥0，
∴M≥N．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答．
40．（2021·江苏南京·南师附中树人学校校考一模）阅读：
（1）若a＜b，则2a﹣3＜2b﹣3，简述理由：
小明的解法：∵a＜b，
∴2a＜2b，（不等式性质2： ），
∴2a﹣3＜2b﹣3，（不等式性质1）．
小亮的解法：令y＝2x﹣3，
∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大．
∵a＜b，
∴2a﹣3＜2b﹣3．
小敏的解法：
∵a＜b，观察函数y＝2x﹣3的图象可知，图象上点（a，2a﹣3）在点（b，2b﹣3）的左边，而图象由左
往右呈上升趋势，
∴2a﹣3＜2b﹣3．
2 2
（2）若a＜b＜0，请用两种不同的方法比较﹣ 与﹣ 的大小．
a b
（3）若a＜b＜0，比较（a+2）2+1与（b+2）2+1的大小，简述理由．
2a+1 2b+1
（4）若a＜b＜0，且a≠﹣2，b≠﹣2，直接写出﹣ 与﹣ 的大小关系．
2a+4 2b+4
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根据不等式的基本性质，可知比较两个数或式子的大小可以通过求它们的差来判断．如果两个数
或式子分别为m和n，若m-n>0，则m>n；若m-n=0，则m=n；若m-n<0，则m<n.
题型07 利用不等式的性质证明（不）等式
【例7】（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）根据不等式的性质：若x−y＞0，则x＞y；若
n−1 n−2
x−y＜0，则x＜y．利用上述方法证明：若n＜0，则 > ．
n n−1
【变式7-1】（2019上·江西赣州·九年级校考期中）学以致用：问题1：怎样用长为12cm的铁丝围成一
个面积最大的矩形？
小学时我们就知道结论：围成正方形时面积最大，即围成边长为3cm的正方形时面积最大为9cm2．请用
你所学的二次函数的知识解释原因．
思考验证：问题2：怎样用铁丝围一个面积为9m2且周长最小的矩形？
小明猜测：围成正方形时周长最小．
为了说明其中的道理，小明翻阅书籍，找到下面的材料：
结论：在a+b⩾2√ab(a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b⩾2√p，当且仅当a=b时，a+b
有最小值2√p．
a+b⩾2√ab (a,b均为正实数）的证明过程：
对于任意正实数a、b，∵ (√a−√b) 2 ⩾0,∴ a−2√ab+b⩾0,
∴ a+b⩾2√ab，当且仅当a=b时，等号成立．
解决问题：
4
（1）若x>0，则x+ ⩾ （当且仅当x= 时取“=” )；
x
（2）运用上述结论证明小明对问题2的猜测；
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x2+3
（3）当x>−1时，求y= 的最小值．
x+1
【变式7-2】（2022·山东日照·日照市新营中学校考二模）2002年国际数学大会的会徽设计的基础是公园
3世纪中四数学家赵爽为证明勾股定理绘制的弦图（如图1），该图蕴含着丰富的不等关系，例如，正方
形的面积大于4个直角三角形的面积之和…
设直角三角形的边长为a，b，则S >4S ，(a2+b2)>4 (1 ab ) ，即a2+b2>2ab；
正 方形 RT△ 2
当a=b时，中间小正方形收缩为一个点，此时正方形的面积每于4个直角三角形的面积之和，即
a2+b2=4 (1 ab ) =2ab，
2
综上所述，a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立．
使用上述结论，“a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立”解决下列问题：
(1)证明：“若a，b为正实数，则a+b≥2√ab．当且仅当a=b时等号成立”．
(2)a，b均为实数，若ab为定值4，则a+b有最小值________；若a+b为定值6，则ab有最大值
_________．
1
(3)请结合函数图象（图2）研究y=x+ 中函数值y的取值范围．
x
1
(4)如图3，已知P是反比例函数y= (x>0)图象上任意一动点，O(0,0)，A(−1,a)，其中a是常数，
x
a>0，试求S 的最小面积（用a表示）．
△POA
【变式7-3】（2023·江苏扬州·统考一模）将a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的浓度为
a
(b>a>0)．
b
(1)再往杯中加入m(m>0)克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为______；
(2)请证明（1）中的数学关系式；
a b c
(3)在△ABC中，三条边的长度分别为a,b,c，证明： + + <2．
b+c c+a a+b
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题型08 利用不等式的性质确定参数的取值范围
【例8】（2023·重庆·重庆实验外国语学校校考二模）若a=3√5−2，则a的取值范围是（ ）
A．2<a<3 B．3<a<4 C．4<a<5 D．5<a<6
【变式8-1】（2023路南区二模）若x<y，且(a−3)x⩾(a−3)y，则a的取值范围是（ ）
A．a>3 B．a<3 C．a⩾3 D．a⩽3
【变式8-2】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考三模）已知关于x的不等式(a+2)x<1的解集为
1
x> ，则a的取值范围为 ．
a+2
【变式8-3】（2023·浙江杭州·统考二模）已知实数x，y，a满足x+3 y+a=4， x−y−3a=0．若
−1≤a≤1，t=x+ y，那么t的取值范围是 ．
题型09 不等式性质的应用
【例9】（2023·河北保定·校考一模）已知实数a，b，c满足a+2b=3c，则下列结论不正确的是（ ）
a−c
A．a−b=3(c−b) B． =c−b
2
c−a
C．若a>b，则a>c>b D．若a>c，则b−a>
2
【变式9-1】（2023武威县模拟）若x+ y=3，x≥0，y≥0，则2x+3 y的最小值为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．9
【变式9-2】（2023德阳市一模）实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以
是（ ）
A． B．
C． D．
考点二 一元一次不等式
一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这
样的不等式叫一元一次不等式.
一元一次不等式的一般形式：ax+b<0或ax+b>0(a≠0).
步骤 具体做法 依据 注意事项
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去分 在不等式两边都乘以各分母的 不等式性 1）不要漏乘不含分母的项；
母 最小公倍数 质2、3 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整
数，再去分母.
3）如果分子是多项式，去分母后要加括号.
去括 先去小括号，再去中括号，最 分配律 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一
号 后去大括号 去括号法 项;
则 2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各
项都要变号；
3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各
项都不变号.
移项 把含有未知数的项移到不等式 不等式性 1）移项时不要漏项;
左边，其它项都移到不等式右 质1 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变
边 号.而在不等式同一边改变项的位置时不变
号.
合并 把不等式变为ax<b或 合并同类 1）不要漏项；
同类 ax>b(a≠0)的形式 项法则 2）系数的符号处理要得当.
项
系数 将不等式两边都除以未知数系 不等式性 1)不等式两边都除以未知数系数;
化为1 数a，得到不等式的解 质2、3 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变.
1. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最
高次数是1.
2. 进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否
改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论．
3. 在解一元一次不等式时,上述的五个步骤不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根
据不等式的形式灵活安排求解步骤.
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题型01 判断一元一次不等式
【例1】（2021·全国·九年级假期作业）在数学表达式：−3<0，a+b，x=3，x2+2xy+ y2，x≠5，
x+2>y+3中，是一元一次不等式的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】（2021·陕西·九年级专题练习）下列各式中，是一元一次不等式的有（ ）个．
1 x−1 x+1
①a−3＜2；②−x− ＞3；③x−y＜0；④x2+3x≤1；⑤ ＞
x 3 2
A．1 B．2 C．3 D．0
题型02 根据一元一次不等式求参数值
2
【例2】已知 （m+4）x|m|–3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
3
A．4 B．±4 C．3 D．±3
【变式2-1】若(m−1)x|m|−3>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．−1 D．±1
【变式2-2】若(k−1)x|k|+3≥0是关于x的一元一次不等式，则k的值为 ．
题型03 求一元一次不等式解集
【例3】（2023·湖南长沙·校联考模拟预测）下列变形中正确的是（ ）
1
A．由−2x<1，得x<− B．由2x+1>3x−1，得x>−2
2
C．由2x+1>x−1，得x>2 D．由x+2<2x−2，得x>4
x−3
【变式3-1】（2022·安徽·统考中考真题）不等式 ≥1的解集为 ．
2
x+1
【变式3-2】（2022·安徽宣城·统考一模）解不等式：2x−3< ．
3
题型04 利用数轴表示一元一次不等式解集
【例4】（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）不等式3x＋1＜2x的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2023下·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）不等式x−1≥2x的解集在数轴上
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表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2021·浙江金华·统考中考真题）一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是
（ ）
A．x+2>0 B．x−2<0 C．2x≥4 D．2−x<0
x−1 x−3
【变式4-3】（2022·湖北宜昌·统考中考真题）解不等式 ≥ +1，并在数轴上表示解集．
3 2
题型05 一元一次不等式整数解问题
(1 )
【例5】（2022·河北·统考中考真题）整式3 −m 的值为P．
3
(1)当m＝2时，求P的值；
(2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．
8+x x
【变式5-1】（2022下·广东江门·八年级统考阶段练习）求一元一次不等式1− ≤ 的负整数解．
3 2
9x+8 x
【变式5-2】（2023·陕西咸阳·校考二模）解不等式： − ≥−1，并写出该不等式的最小整数解．
6 3
【变式5-3】（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考模拟预测）先化简，再求值：
1 x2−2x+1
( −1)÷ ，其中x是不等式2x−1<6的正整数解．
2−x x2−4
与一元一次不等式的特殊解有关的解题方法：
类型一 求一元一次不等式特殊解的方法
解决此类问题的关键：正确求出不等式的解集，再根据题目要求求出其特殊解．可以借助数轴进行数
形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
类型二 已知一元一次不等式解集（整数解）求字母的取值．
解决此类问题的关键：先把题目中除未知数外的字母当作常数看待解不等式，再根据题目中的限制条
件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
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题型06 根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围
【例6】（2023·福建漳州·统考一模）关于x的不等式x−b≥0恰有两个负整数解，则b的取值范围是
（ ）
A．−3<b<−2 B．−3<b≤−2 C．−3≤b≤−2 D．−3≤b<−2
【变式6-1】（2021·四川眉山·统考中考真题）若关于x的不等式x+m<1只有3个正整数解，则m的取值
范围是 ．
【变式6-2】（2023·黑龙江大庆·统考三模）若关于x的一元一次不等式x−2<n+3有且只有5个正整数
解，则n的取值范围是 ．
【变式6-3】（2023·江苏南通·统考一模）若关于x的不等式x+t≥2x−3恰有3个正整数解，则t的取值范
围是 ．
ax+1 4x
【变式6-4】（2023·江苏扬州·统考二模）已知x=3是关于x的不等式3x− < 的解，求a的取值
2 3
范围．
题型07 与一元一次不等式有关的新定义问题
【例7】（2022下·广西·七年级统考阶段练习）定义新运算：对于任意实数a，b都有a⊕b=a(a−b)+1，
如：2⊕5=2(2−5)+1=−5，那么不等式4⊕x≥2的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1
【变式7-1】（2023·河北沧州·统考模拟预测）对于a、b定义a★b=
，已知分式方程
a−b2
x
x★(−1)= 的解满足不等式(2−a)x−3>0，则a的取值范围是（ ）
3−3x
A．a<1 B．a>1 C．a<3 D．a>3
【变式7-2】（2023·广东广州·统考二模）定义运算“a☆b”为：当a≥b时，a☆b=a+b；当a<b时，
a☆b=a−b．例如：1☆(−2)=1+(−2)=−1，(−2)☆1=−2−1=−3．若(3m−1)☆(m+1)>8则
m的取值范围为（ ）
A．m>2 B．m>5 C．2<m<5 D．m<2或m>5
b
【变式7-3】（2023海港区一模）定义新运算：对于任意实数a，b（a≠0）都有a*b= ﹣a+b，等式右边
a
1 1
是通常的加、减、除运算，比如2*1= ﹣2+1=﹣ ．
2 2
（1）求4*5的值：
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（2）若2*（x+2）不大于4，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．
【变式7-4】（2023·河北沧州·校考模拟预测）定义一种新的运算※，对于任意实数a和b，规定
a※ b=ab2+ab+a，例如：2※ 5=2×52+2×5+2=62．
(1)求5※ (−2)的值．
(2)若(m−√2)※ 2>14，求m的取值范围．
题型08 含绝对值的一元一次不等式
【例8】（2020·四川自贡·统考中考真题）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入
微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式|x−2|的几何意义是数轴上x所对应的点
与2所对应的点之间的距离；因为|x+1|=|x−(−1)|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与
−1所对应的点之间的距离．
⑴. 发现问题：代数式|x+1|+|x−2|的最小值是多少？
⑵. 探究问题：如图，点A,B,P分别表示的是−1, 2, x ，AB=3．
∵|x+1|+|x−2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和
∴当点P在线段AB上时，PA+PB=3;当点点P在点A的左侧或点B的右侧时 PA+PB>3
∴|x+1|+|x−2|的最小值是3．
⑶.解决问题：
①.|x−4|+|x+2|的最小值是 ；
②.利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x−1|>4
③.当a为何值时，代数式|x+a|+|x−3|的最小值是2．
【变式8-1】（1）【阅读理解】“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离，所以“
|a|≥2”可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：
①“|a|<2”可理解为 ；
②请列举两个符号不同的整数，使不等式“|a|>2”成立，列举的a的值为 和 ．
我们定义：形如“|x|≤m，|x|≥m，|x|<m，|x|>m”（m为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，
能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
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由上图可以得出：绝对值不等式|x|>1的解集是x<−1或x>1，
绝对值不等式|x|≤3的解集是−3≤x≤3．则：
①不等式|x|≥4的解集是 ．
1
②不等式| x|<2的解集是 ．
2
（3）【拓展应用】解不等式|x+1|+|x−3|>4，并画图说明．
【变式8-2】数学实验室：
A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距
离AB=|a−b|．利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ；
(2)数轴上表示x和−2的两点之间的距离表示为 ；
(3)若x表示一个有理数，且−3<x<1，则|x−1|+|x+3|＝ ；
(4)若x表示一个有理数，且|x−1|+|x+3|＞4，则有理数x的取值范围是 ．
题型09 不等式与方程组综合求参数的取值范围
【例9】（2023·湖南衡阳·校考二模）已知关于x的方程2x+4=m−x的解为非负数，则m的取值范围是
（ ）
4 4
A．m≤ B．m≥ C．m≤4 D．m≥4
3 3
2x+m
【变式9-1】（2023泗水县一模）如果关于x的方程 =1的解是非负数，那么m的取值范围是
x−1
（ ）
A．m≤−1 B．m≥−1 C．m≤−1且m≠−2 D．m≥−1且m≠0
【变式9-2】（2022·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考一模）若不等式3x+2≤4x−1的最小整数
2 1
解是方程 x− mx=1的解，求m的值．
3 3
考点三 一元一次不等式组
一元一次不等式组的概念：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等
式组．
一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
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不等式组解集的确定有两种方法：
1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了．
解一元一次不等式组的一般步骤：
1） 求出不等式组中各不等式的解集.
2） 将各不等式的解决在数轴上表示出来.
3） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
1. 在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.
2. 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分.
题型01 一元一次不等式组定义
【例1】（2020·山西·校联考模拟预测）下列各式不是一元一次不等式组的是（ ）
x−1>3 a−1<0 3x−5>0 3x<5
A．{ B．{ C．{ D．{
x−3<2 b+2>0 4x+2<0 2x−1<9
【变式1-1】下列不等式组：①¿，②¿，③¿，④¿，⑤¿．其中一元一次不等组的个数是( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型02 解不等式组
【例2】（2022·广东深圳·统考中考真题）一元一次不等式组¿的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2022·北京·统考中考真题）解不等式组：¿
【变式2-2】（2022·山东菏泽·统考中考真题）解不等式组¿并将其解集在数轴上表示出来．
题型03 求不等式组整数解
【例3】（2022·江苏淮安·统考中考真题）解不等式组：¿，并写出它的正整数解．
【变式3-1】（2022·山东济南·统考中考真题）解不等式组：¿，并写出它的所有整数解．
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2 x−1
【变式3-2】（2022·上海杨浦·校考一模）先化简，再求值： ÷（1﹣ ），其中x是不等式组¿的
x2+x x2−1
整数解．
【变式3-3】（2023太原五中二模）解不等式组：¿，并求出最小整数解与最大整数解的和．
题型04 由不等式组整数解求字母取值范围
【例4】（2023·山东泰安·统考一模）不等式组¿有4个整数解，则m的取值范围是（ ）
A．6≤m≤7 B．6<m<7 C．6≤m<7 D．6<m≤7
【变式4-1】（2022·湖南邵阳·统考中考真题）关于x的不等式组¿有且只有三个整数解，则a的最大值是
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式4-2】（2022·山东济宁·统考中考真题）若关于x的不等式组¿仅有3个整数解，则a的取值范围是
（ ）
A．－4≤a＜－2 B．－3＜a≤－2
C．－3≤a≤－2 D．－3≤a＜－2
【变式4-3】（2023·四川凉山·统考一模）若关于x的不等式组¿只有3个整数解，则整数k的值不可能是（
）
A．−4 B．−3 C．−2 D．−1
【变式4-4】（2023·黑龙江·统考模拟预测）若关于x的一元一次不等式组¿只有2个整数解，则a的取值范
围是 ．
题型05 由不等式组的解集求参数
【例5】（2023菏泽市三模）若不等式组¿无解，则m的取值范围为（ ）
A．m≤2 B．m<2 C．m≥2 D．m>2
【变式5-1】（2022·黑龙江·统考中考真题）若关于x的一元一次不等式组¿的解集为x<2，则a的取值范
围是 ．
【变式5-2】（2023扎兰屯市三模）若不等式组¿的解集为x＞3，则m的取值范围 ．
【变式5-3】（2023·江苏连云港·校考二模）关于x、y的方程组¿的解满足x>0，y<0，求实数a的取值范
围．
题型06 与不等式组有关的新定义问题
【例6】（2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考一模）定义新运算：a⊗b=2a−b+3．例如，
5⊗4=2×5−4+3，则不等式组¿的解集为( )
A．x>3 B．3<x<6 C．无解 D．−1<x<6
【变式6-1】（2023·广东广州·统考二模）定义：不大于实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例
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[1−3x]
如[3.6]=3，[−√3]=−2，按此规定，若 =−1，则x的取值范围为（ ）
2
1 1 3 5
A． <x≤1 B． ≤x<1 C．1<x≤ D．1≤x<
3 3 5 3
【变式6-2】（2023·广东深圳·校联考模拟预测）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b=a−2b，若关于x的
不等式组¿的解集为x>6，则a的取值范围是 ．
【变式6-3】．（2022·河南安阳·统考一模）定义新运算：a⊕b=1−ab，则不等式组¿的整数解的个数为
．
【变式6-4】（2023·广东江门·江门市怡福中学校考一模）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式
( 1)
组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程8−x=x、7+x=3 x+ 都是关于x的
3
不等式组¿的相伴方程，则m的取值范围为 ．
题型07 根据程序图解不等式组
【例7】（2022下·安徽黄山·七年级统考期末）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是
否>95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（ ）
A．12.75<x≤24.5 B．x<24.5 C．12.75≤x<24.5 D．x≤24.5
【变式7-1】（2023宜宾市三模）如图，这是王彬同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值x”到
判断“结果是否≥13”为一次运行过程．如果程序运行两次就停止，那么x的取值范围是（ ）
A．x≥4 B．4≤x＜7 C．4＜x≤7 D．x≤7
【变式7-2】（2020潍坊五县三模）如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则x的取
值范围为( )
A．x>1 B．1<x⩽7 C．1⩽x<7 D．1⩽x⩽7
题型08 不等式组与方程的综合
【例8】（2023成都市模拟）已知a，b，c为三个非负实数，且满足¿，若W =3a+2b+5c，则W的最大
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值为 ．
x+1 a
【变式8-1】若数a使关于x的分式方程 + =3的解为正数，且使关于y的不等式组¿的解集为
x−2 2−x
y≤1，则符合条件所有整数a的积为 ．
考点四 不等式（组）的实际应用
一元一次不等式（组）的应用题的关键语句：
1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关
系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为
6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式
6x≤50.
用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
题型01 利用一元一次不等式解决实际问题
【例1】（2023·江西上饶·统考一模）已知△ABC的三个内角互不相等，如果∠A为最小的内角，那么下
列四个度数中，∠A最大可取 （ ）
A．20∘ B．58∘ C．60∘ D．89∘
【变式1-1】．（2022·山西·中考真题）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一
节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价
元．
【变式1-2】（2021·福建福州·校考二模）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了一个内
角，结果得到的总和是800°，则少算了这个内角的度数为 ．
【变式1-3】（2022·贵州安顺·统考中考真题）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”
获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，
A块种植杂交水稻，B块种植普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩．
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(1)A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是
多少千克？
(2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700
千克，那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻？
【变式1-4】．（2021·山东青岛·统考中考真题）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品
牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液
4
数量的 ．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．
5
（1）求两种品牌洗衣液的进价；
（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超
市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少
元？
【变式1-5】（2022·辽宁阜新·统考中考真题）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品
每件成本为100元，销售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能
在生产当月全部售出．
(1)第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这个月生产A，B
两种产品各多少件？
(2)下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品至少要生产多少
件？
【变式1-6】（2022·山东聊城·统考中考真题）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的
地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这
样的进度可以比原计划提前10天完成任务．
(1)求实际施工时，每天改造管网的长度；
(2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40
天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？
【变式1-7】（2022·湖南湘西·统考中考真题）为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐
活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为
每个80元．
(1)原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足
球各买多少个？
(2)在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且
支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？
题型02 利用一元一次不等式组解决实际问题
【例2】用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 AC=30m，要使靠墙的一边长
不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（ ）
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10 10 10
A．0≤x≤5 B．x≥ C．0≤x≤ D． ≤x≤5
3 3 3
【变式2-1】已知三角形两边的边长分别为3、4，则第三边长度的取值范围在数轴上表示为（）
A． B． C． D．
【变式2-2】已知有A、B两种不同规格的货车共50辆，现计划分两趟把甲种货物306吨和乙种货物230
吨运往某地，先用50辆货车共同运输甲种货物，再开回共同运输乙种货物.其中每辆车的最大装载量如表：
最大装载量
A型货车 B型货车
（吨）
甲种货物 7 5
乙种货物 3 7
(1)装货时按此要求安排A、B两种货车的辆数，共有几种方案.
(2)使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元.在上述方案中，哪个方案运费最省?最省的
运费是多少元?
(3)在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m元，每辆B型车
奖金为n元，38<m<n，且m，n均为整数.则m=___________，n=____________.
【变式2-3】（2022·云南昆明·统考三模）某地区为打造乡村振兴示范区．实行大面积机械化种植，今年共
计种植某作物700亩，预计租用10台作物收割机在一天之内完成该作物的收割.已知可租用A、B两种型号
的作物收割机，2台A型号收割机与3台B型号收割机一起工作1天共收制该作物310亩，1台A型号收割
机和1台B型号收割机一起工作1天共收割该作物130亩，租用A型号收割机的租金为每天3000元，租用
B型号收割机的租金为每天2000元．
(1)两种型号收割机每台每天平均收割多少亩该作物?
(2)设租用x台A型号的收割机，完成该作物的收割需要的总租金为y元，一共有多少种租赁方案，并求出
最少的总租金．
【变式2-4】（2023·广东佛山·统考二模）日前市教育局发布了《佛山市教育局关于做好2023年我市初中
毕业升学体育考试工作的通知》，确定了考试项目可由学生自行选择．某校为了保证九年级毕业生有足够
的训练器材，计划增购一批篮球和足球，如果购买20个足球和15个篮球，共需2050元；如果购买10个
足球和20个篮球，共需1900元．
(1)足球与篮球的单价分别为多少元？
(2)若学校计划用不超过2800元的经费购买足球和篮球共50个，且足球数不多于篮球数的3倍，则最多购
买多少个篮球？
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