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第 08 讲 一元一次不等式（组）及其应用
目 录
一、考情分析 二、知识建构
考点一 不等式及不等式的基本性质
题型01 不等式的概念及意义
题型02 列不等式
题型03 取值是否满足不等式
题型04 利用不等式的性质判断式子正负
题型05 根据点在数轴位置判断式子正负
题型06 利用不等式的性质比较大小
题型07 利用不等式的性质证明（不）等式
题型08 利用不等式的性质确定参数的取值范围
题型09 不等式性质的应用
考点二 一元一次不等式
题型01 判断一元一次不等式
题型02 根据一元一次不等式求参数值
题型03 求一元一次不等式解集
题型04 利用数轴表示一元一次不等式解集
题型05 一元一次不等式整数解问题
题型06 根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围
题型07 与一元一次不等式有关的新定义问题
题型08 含绝对值的一元一次不等式
题型09 不等式与方程组综合求参数的取值范围
考点三 一元一次不等式组
题型01 一元一次不等式组定义
题型02 解不等式组
题型03 求不等式组整数解
题型04 由不等式组整数解求字母取值范围
题型05 由不等式组的解集求参数
题型06 与不等式组有关的新定义问题
题型07 根据程序图解不等式组
题型08 不等式组与方程的综合
考点四 不等式（组）的实际应用
题型01 利用一元一次不等式解决实际问题
题型02 利用一元一次不等式组解决实际问题
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考点要求 新课标要求 命题预测
中考数学中，一元一次不等式(组)
不等式及不等式的 结合具体问题，了解不等式的
基本性质 意义，探索不等式的基本性质 的解法及应用题时有考察. 其中不等式
性质、解一元一次不等式(组)，通常是
能解数字系数的一元一次不等
以选择题或填空题的形式出现，难度不
一元一次不等式
式，并能在数轴上表示出解集
大.而不等式（组）相关的应用题常会和
其它考点(如二元一次方程组、二次函数
会用数轴确定两个一元一次不
一元一次不等式组
等) 结合考察，常以解答题形式出现，
等式组成的不等式组的解集.
此时难度上升，需要小心应对.对于一元
一次不等式（组）中含参数问题，难度
不等式（组）的实 能根据具体问题中的数量关
偏大，但是考察几率并不大，为避免丢
际应用 系，列出一元一次不等式，解决简单的
分，学生应在复习过程中扎实掌握．
问题.
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考点一 不等式及不等式的基本性质
一、不等式的相关概念
不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.
不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.
不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示.
解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式.
二、不等式的性质
基本性质1 若a>b，则a±c > b±c
若ab,c>0，则ac>bc（或 > ）
c c
基本性质3 a b
若a>b,c<0，则ac，≥，<，≤五种.
3. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点.
4. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系：
1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值.
2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值.
3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解.
5. 在列不等式时，要注意抓住问题中的一些关键词语，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等.
同时要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．
6. 运用不等式的性质的注意事项：
1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算．
2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子．
3）等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母．
4） 运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个
数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向.
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题型01 不等式的概念及意义
【例1】以下表达式：①4x+3 y≤0；②a>3；③x2+xy；④a2+b2=c2；⑤x≠5．其中不等式有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式1-1】（2023湖里区模拟）某养生钙奶饮料中的包装瓶上标注“每100克内含钙＞150毫克”，它
的含义是指（ ）
A．每100克内含钙150毫克
B．每100克内含钙不低于150毫克
C．每100克内含钙高于150毫克
D．每100克内含钙不超过150毫克
题型02 列不等式
【例2】（2020·河北·统考模拟预测）下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．“m不是负数”表示为m>0 B．“m不大于5”表示为m<5
C．“n与4的差是正数”表示为n−4>0 D．“n不等于4”表示为n>4
【变式2-1】（2023·甘肃陇南·统考二模）乌鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超过3500
米．若用x（米）表示乌鞘岭主峰的海拔高度，则x满足的关系为（ ）
A．x<3500 B．x≤3500 C．x≥3500 D．x>3500
【变式2-2】（2023南宁市模拟）a是非负数的表达式是（ ）
A．a＞0 B．|a|≥0 C．a＜0 D．a≥0
题型03 取值是否满足不等式
【例3】（2023·河北保定·统考二模）在−√2,−2,1,−3四个数中，满足不等式x<−2的有（ ）
A．－2 B．－3 C．−√2 D．1
【变式3-1】（2021·四川南充·统考中考真题）满足x⩽3的最大整数x是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-2】（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）当x=4时，不等式成立的是（ ）
1
A．x+1<4 B． x>2 C．2x+1<5 D．3x−2>9
2
题型04 利用不等式的性质判断式子正负
【例4】（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考模拟预测）如果 x<−3，那么下列
不等式成立的是（ ）
A． x2>−3x B． x2≥−3x C． x2<−3x D． x2≤−3x
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【变式4-1】（2023·湖南常德·统考模拟预测）已知a>b，则下列不等式变形不正确的是（ ）
a b
A．a−2>b−2 B．−2a>−2b C．a+2>b+2 D． >
2 2
【变式4-2】（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知a,b,c,d是实数，且a−b>c−d，下列说法一定正确的是
（ ）
A．若b=d，则a>c B．若a=c，则b>d
C．若b>d，则a>c D．若a>c，则b>d
【变式4-3】（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）设x，y，c为实数，则（ ）
A．若x＞y，则x+3c>y−2c B．若x＞y，则xc>yc
x y
C．若x＞y，则xc2>yc2 D．若 > ，则x＞y
c2 c2
题型05 根据点在数轴位置判断式子正负
【例5】（2023·黑龙江大庆·统考一模）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确
的是（ ）
A．−a−c>−b−c B．ac>bc C．|a−b|=a−b D．a<−b<−c
【变式5-1】（2023·上海徐汇·统考二模）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、
B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A．a+b<0 B．b−a<0 C．−2a>−2b D．|a|>|b|
【变式5-2】（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点
A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A．a+b<0 B．b−a<0 C．2a>2b D．a+20)的大小顺序是（ ）
A．−m−20，则m>n；若m-n=0，则m=n；若m-n<0，则m ．
n n−1
【变式7-1】（2019上·江西赣州·九年级校考期中）学以致用：问题1：怎样用长为12cm的铁丝围成一
个面积最大的矩形？
小学时我们就知道结论：围成正方形时面积最大，即围成边长为3cm的正方形时面积最大为9cm2．请用
你所学的二次函数的知识解释原因．
思考验证：问题2：怎样用铁丝围一个面积为9m2且周长最小的矩形？
小明猜测：围成正方形时周长最小．
为了说明其中的道理，小明翻阅书籍，找到下面的材料：
结论：在a+b⩾2√ab(a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b⩾2√p，当且仅当a=b时，a+b
有最小值2√p．
a+b⩾2√ab (a,b均为正实数）的证明过程：
对于任意正实数a、b，∵ (√a−√b) 2 ⩾0,∴ a−2√ab+b⩾0,
∴ a+b⩾2√ab，当且仅当a=b时，等号成立．
解决问题：
4
（1）若x>0，则x+ ⩾ （当且仅当x= 时取“=” )；
x
（2）运用上述结论证明小明对问题2的猜测；
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x2+3
（3）当x>−1时，求y= 的最小值．
x+1
【变式7-2】（2022·山东日照·日照市新营中学校考二模）2002年国际数学大会的会徽设计的基础是公园
3世纪中四数学家赵爽为证明勾股定理绘制的弦图（如图1），该图蕴含着丰富的不等关系，例如，正方
形的面积大于4个直角三角形的面积之和…
设直角三角形的边长为a，b，则S >4S ，(a2+b2)>4 (1 ab ) ，即a2+b2>2ab；
正 方形 RT△ 2
当a=b时，中间小正方形收缩为一个点，此时正方形的面积每于4个直角三角形的面积之和，即
a2+b2=4 (1 ab ) =2ab，
2
综上所述，a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立．
使用上述结论，“a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立”解决下列问题：
(1)证明：“若a，b为正实数，则a+b≥2√ab．当且仅当a=b时等号成立”．
(2)a，b均为实数，若ab为定值4，则a+b有最小值________；若a+b为定值6，则ab有最大值
_________．
1
(3)请结合函数图象（图2）研究y=x+ 中函数值y的取值范围．
x
1
(4)如图3，已知P是反比例函数y= (x>0)图象上任意一动点，O(0,0)，A(−1,a)，其中a是常数，
x
a>0，试求S 的最小面积（用a表示）．
△POA
【变式7-3】（2023·江苏扬州·统考一模）将a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的浓度为
a
(b>a>0)．
b
(1)再往杯中加入m(m>0)克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为______；
(2)请证明（1）中的数学关系式；
a b c
(3)在△ABC中，三条边的长度分别为a,b,c，证明： + + <2．
b+c c+a a+b
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题型08 利用不等式的性质确定参数的取值范围
【例8】（2023·重庆·重庆实验外国语学校校考二模）若a=3√5−2，则a的取值范围是（ ）
A．23 B．a<3 C．a⩾3 D．a⩽3
【变式8-2】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考三模）已知关于x的不等式(a+2)x<1的解集为
1
x> ，则a的取值范围为 ．
a+2
【变式8-3】（2023·浙江杭州·统考二模）已知实数x，y，a满足x+3 y+a=4， x−y−3a=0．若
−1≤a≤1，t=x+ y，那么t的取值范围是 ．
题型09 不等式性质的应用
【例9】（2023·河北保定·校考一模）已知实数a，b，c满足a+2b=3c，则下列结论不正确的是（ ）
a−c
A．a−b=3(c−b) B． =c−b
2
c−a
C．若a>b，则a>c>b D．若a>c，则b−a>
2
【变式9-1】（2023武威县模拟）若x+ y=3，x≥0，y≥0，则2x+3 y的最小值为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．9
【变式9-2】（2023德阳市一模）实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以
是（ ）
A． B．
C． D．
考点二 一元一次不等式
一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这
样的不等式叫一元一次不等式.
一元一次不等式的一般形式：ax+b<0或ax+b>0(a≠0).
步骤 具体做法 依据 注意事项
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去分 在不等式两边都乘以各分母的 不等式性 1）不要漏乘不含分母的项；
母 最小公倍数 质2、3 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整
数，再去分母.
3）如果分子是多项式，去分母后要加括号.
去括 先去小括号，再去中括号，最 分配律 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一
号 后去大括号 去括号法 项;
则 2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各
项都要变号；
3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各
项都不变号.
移项 把含有未知数的项移到不等式 不等式性 1）移项时不要漏项;
左边，其它项都移到不等式右 质1 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变
边 号.而在不等式同一边改变项的位置时不变
号.
合并 把不等式变为axb(a≠0)的形式 项法则 2）系数的符号处理要得当.
项
系数 将不等式两边都除以未知数系 不等式性 1)不等式两边都除以未知数系数;
化为1 数a，得到不等式的解 质2、3 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变.
1. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最
高次数是1.
2. 进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否
改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论．
3. 在解一元一次不等式时,上述的五个步骤不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根
据不等式的形式灵活安排求解步骤.
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题型01 判断一元一次不等式
【例1】（2021·全国·九年级假期作业）在数学表达式：−3<0，a+b，x=3，x2+2xy+ y2，x≠5，
x+2>y+3中，是一元一次不等式的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】（2021·陕西·九年级专题练习）下列各式中，是一元一次不等式的有（ ）个．
1 x−1 x+1
①a−3＜2；②−x− ＞3；③x−y＜0；④x2+3x≤1；⑤ ＞
x 3 2
A．1 B．2 C．3 D．0
题型02 根据一元一次不等式求参数值
2
【例2】已知 （m+4）x|m|–3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
3
A．4 B．±4 C．3 D．±3
【变式2-1】若(m−1)x|m|−3>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．−1 D．±1
【变式2-2】若(k−1)x|k|+3≥0是关于x的一元一次不等式，则k的值为 ．
题型03 求一元一次不等式解集
【例3】（2023·湖南长沙·校联考模拟预测）下列变形中正确的是（ ）
1
A．由−2x<1，得x<− B．由2x+1>3x−1，得x>−2
2
C．由2x+1>x−1，得x>2 D．由x+2<2x−2，得x>4
x−3
【变式3-1】（2022·安徽·统考中考真题）不等式 ≥1的解集为 ．
2
x+1
【变式3-2】（2022·安徽宣城·统考一模）解不等式：2x−3< ．
3
题型04 利用数轴表示一元一次不等式解集
【例4】（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）不等式3x＋1＜2x的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2023下·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）不等式x−1≥2x的解集在数轴上
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表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2021·浙江金华·统考中考真题）一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是
（ ）
A．x+2>0 B．x−2<0 C．2x≥4 D．2−x<0
x−1 x−3
【变式4-3】（2022·湖北宜昌·统考中考真题）解不等式 ≥ +1，并在数轴上表示解集．
3 2
题型05 一元一次不等式整数解问题
(1 )
【例5】（2022·河北·统考中考真题）整式3 −m 的值为P．
3
(1)当m＝2时，求P的值；
(2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．
8+x x
【变式5-1】（2022下·广东江门·八年级统考阶段练习）求一元一次不等式1− ≤ 的负整数解．
3 2
9x+8 x
【变式5-2】（2023·陕西咸阳·校考二模）解不等式： − ≥−1，并写出该不等式的最小整数解．
6 3
【变式5-3】（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考模拟预测）先化简，再求值：
1 x2−2x+1
( −1)÷ ，其中x是不等式2x−1<6的正整数解．
2−x x2−4
与一元一次不等式的特殊解有关的解题方法：
类型一 求一元一次不等式特殊解的方法
解决此类问题的关键：正确求出不等式的解集，再根据题目要求求出其特殊解．可以借助数轴进行数
形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
类型二 已知一元一次不等式解集（整数解）求字母的取值．
解决此类问题的关键：先把题目中除未知数外的字母当作常数看待解不等式，再根据题目中的限制条
件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
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题型06 根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围
【例6】（2023·福建漳州·统考一模）关于x的不等式x−b≥0恰有两个负整数解，则b的取值范围是
（ ）
A．−30，则a的取值范围是（ ）
3−3x
A．a<1 B．a>1 C．a<3 D．a>3
【变式7-2】（2023·广东广州·统考二模）定义运算“a☆b”为：当a≥b时，a☆b=a+b；当a8则
m的取值范围为（ ）
A．m>2 B．m>5 C．25
b
【变式7-3】（2023海港区一模）定义新运算：对于任意实数a，b（a≠0）都有a*b= ﹣a+b，等式右边
a
1 1
是通常的加、减、除运算，比如2*1= ﹣2+1=﹣ ．
2 2
（1）求4*5的值：
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（2）若2*（x+2）不大于4，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．
【变式7-4】（2023·河北沧州·校考模拟预测）定义一种新的运算※，对于任意实数a和b，规定
a※ b=ab2+ab+a，例如：2※ 5=2×52+2×5+2=62．
(1)求5※ (−2)的值．
(2)若(m−√2)※ 2>14，求m的取值范围．
题型08 含绝对值的一元一次不等式
【例8】（2020·四川自贡·统考中考真题）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入
微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式|x−2|的几何意义是数轴上x所对应的点
与2所对应的点之间的距离；因为|x+1|=|x−(−1)|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与
−1所对应的点之间的距离．
⑴. 发现问题：代数式|x+1|+|x−2|的最小值是多少？
⑵. 探究问题：如图，点A,B,P分别表示的是−1, 2, x ，AB=3．
∵|x+1|+|x−2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和
∴当点P在线段AB上时，PA+PB=3;当点点P在点A的左侧或点B的右侧时 PA+PB>3
∴|x+1|+|x−2|的最小值是3．
⑶.解决问题：
①.|x−4|+|x+2|的最小值是 ；
②.利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x−1|>4
③.当a为何值时，代数式|x+a|+|x−3|的最小值是2．
【变式8-1】（1）【阅读理解】“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离，所以“
|a|≥2”可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：
①“|a|<2”可理解为 ；
②请列举两个符号不同的整数，使不等式“|a|>2”成立，列举的a的值为 和 ．
我们定义：形如“|x|≤m，|x|≥m，|x|m”（m为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，
能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
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由上图可以得出：绝对值不等式|x|>1的解集是x<−1或x>1，
绝对值不等式|x|≤3的解集是−3≤x≤3．则：
①不等式|x|≥4的解集是 ．
1
②不等式| x|<2的解集是 ．
2
（3）【拓展应用】解不等式|x+1|+|x−3|>4，并画图说明．
【变式8-2】数学实验室：
A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距
离AB=|a−b|．利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ；
(2)数轴上表示x和−2的两点之间的距离表示为 ；
(3)若x表示一个有理数，且−33 a−1<0 3x−5>0 3x<5
A．{ B．{ C．{ D．{
x−3<2 b+2>0 4x+2<0 2x−1<9
【变式1-1】下列不等式组：①¿，②¿，③¿，④¿，⑤¿．其中一元一次不等组的个数是( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型02 解不等式组
【例2】（2022·广东深圳·统考中考真题）一元一次不等式组¿的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2022·北京·统考中考真题）解不等式组：¿
【变式2-2】（2022·山东菏泽·统考中考真题）解不等式组¿并将其解集在数轴上表示出来．
题型03 求不等式组整数解
【例3】（2022·江苏淮安·统考中考真题）解不等式组：¿，并写出它的正整数解．
【变式3-1】（2022·山东济南·统考中考真题）解不等式组：¿，并写出它的所有整数解．
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2 x−1
【变式3-2】（2022·上海杨浦·校考一模）先化简，再求值： ÷（1﹣ ），其中x是不等式组¿的
x2+x x2−1
整数解．
【变式3-3】（2023太原五中二模）解不等式组：¿，并求出最小整数解与最大整数解的和．
题型04 由不等式组整数解求字母取值范围
【例4】（2023·山东泰安·统考一模）不等式组¿有4个整数解，则m的取值范围是（ ）
A．6≤m≤7 B．62
【变式5-1】（2022·黑龙江·统考中考真题）若关于x的一元一次不等式组¿的解集为x<2，则a的取值范
围是 ．
【变式5-2】（2023扎兰屯市三模）若不等式组¿的解集为x＞3，则m的取值范围 ．
【变式5-3】（2023·江苏连云港·校考二模）关于x、y的方程组¿的解满足x>0，y<0，求实数a的取值范
围．
题型06 与不等式组有关的新定义问题
【例6】（2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考一模）定义新运算：a⊗b=2a−b+3．例如，
5⊗4=2×5−4+3，则不等式组¿的解集为( )
A．x>3 B．36，则a的取值范围是 ．
【变式6-3】．（2022·河南安阳·统考一模）定义新运算：a⊕b=1−ab，则不等式组¿的整数解的个数为
．
【变式6-4】（2023·广东江门·江门市怡福中学校考一模）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式
( 1)
组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程8−x=x、7+x=3 x+ 都是关于x的
3
不等式组¿的相伴方程，则m的取值范围为 ．
题型07 根据程序图解不等式组
【例7】（2022下·安徽黄山·七年级统考期末）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是
否>95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（ ）
A．12.751 B．1
