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2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第二章 方程与不等式
2.1 一次方程（组）
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 一元一次方程的解 数学中考中，有关一次方程（组）的部分，每年考
☆☆
法及解的应用 查1道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题、
解答 题的形式考察。若以解答题出现，考法基本上
考点2 二元一次方程(组) 是两种类型：一是根据题意列出一次方程（组），
☆☆
及其解法 解方程求解，给出结论；二是根据题意列出一次方
程，结合不等式，函数来确定作答思路。考查列方
考点3 二元一次方程(组) 程解应用题是每年全国各省市必考内容，需要学生
☆☆☆
的实际应用 深入系统掌握列各种应用题类型的等量关系，考查
知识比较综合。
考点4 列一次方程(组)解
☆☆☆
应用题的常用分析
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
夯实基础
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考点1. 一元一次方程的解法及解的应用
1.等式的基本性质
性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。
要点诠释：（1）分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
（2）理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况:
①a≠0时，方程有唯一解x＝b/a ；
②a=0，b=0时，方程有无数个解；
③a=0，b≠0时，方程无解。
2.解一元一次方程的一般步骤
（1）去分母。 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当
分母中含有小数时，先将小数化成整数。
（2）去括号。 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号。
（3）移项。 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
（4）合并同类项。 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用。
（5）系数化为1，得出一元一次方程的解。
3.一元一次方程解的应用
（1）使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
（2）根据一元一次方程的解可以求代数式的值；根据一元一次方程的解可以求字母的值；根据一元
一次方程的解可以解决其他问题。
【易错点提示】
在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝
c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄
清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，
a、b异号x为负．
考点2. 二元一次方程(组)及其解法
1. 二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的整式方程叫做二元一次。方程一般
形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。
2．二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程组。
3．二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程的
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解。
4．二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。
一般形式为
【温馨提醒】二元一次方程组满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
5．二元一次方程组的解法：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。消元，即
将二元一次方程组转化为一元一次方程。
（1）代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消
元，
进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相
减，
就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
考点3. 二元一次方程(组)的实际应用
1. 方程(组)的实际问题
（1）销售打折问题：利润 售价-成本价；利润率= ×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价
×数量．
（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利
息=贷款额×利率×期数．
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．
（4）行程问题：路程=速度×时间．
（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．
（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．
（9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度．
（10）和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
abcd a103 b102 c10d
（11）数字问题：多位数的表示方法：例如： .
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（12）其他问题：探索寻找等量关系，构造方程。
2. 解有关方程(组)的实际问题的一般步骤
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步： 列方程 ( 组 )。根据题中各个量的关系列出方程(组)。
第4步： 解方程 ( 组 )。根据方程(组)的类型采用相应的解法。
第5步：检验作答。检验所求解是否符合实际意义，并作答。
考点4. 列一次方程(组)解应用题的常用分析
1. 由实际问题列方程组：是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量
联系起来，找出题目中的相等关系．
2. 所列方程必须满足条件：
①方程两边表示的是同类量；
②同类量的单位要统一；
③方程的等号两边的数值要相符．
3. 找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．
②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个
等量关系．
③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．
④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
【易错点提示】
在列方程（组）实际问题时，设元的方法：直接设元与间接设元．当问题较复杂时，有时设与
要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几
个方程．
考点1. 一元一次方程的解法及解的应用
【例题1】（2023贵州）小明解方程 ﹣1＝ 的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①
去括号，得3x+3﹣1＝2x﹣2②
移项，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③
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合并同类项，得x＝﹣4④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【解析】对题目的解题过程逐步分析，即可找出出错的步骤．
方程两边同乘6应为：3（x+1）﹣6＝2（x﹣2），
∴出错的步骤为：①，故选：A．
本题考查解一元一次方程，解题关键在于能准确观察出出错的步骤．
【对点变式练1】（2024广州一模）运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果a=b，则a+c=b﹣c B．如果a2=3a，那么a=3
C．如果a=b，则 = D．如果 = ，则a=b
【答案】D
【解析】A．根据等式性质1，两边都加c，得到a+c=b+c，故A不正确；
B．因为根据等式性质2，a≠0，所以不正确；
C．因为c必需不为0，所以不正确；
D．根据等式性质2，两边都乘以c，得到a=b，所以D成立。
【对点变式练2】（2024百色一模）方程3x＝2x+7的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7
【答案】C
【解析】方程移项合并，即可求出解．
移项得：3x﹣2x＝7，
合并同类项得：x＝7．故选：C．
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【对点变式练 3】（2024 聊城一模）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x+a＝2 解的取值范围为
（ ）
A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5
【答案】A
【解析】x+a＝2，
x＝﹣a+2，
∵﹣3＜a≤3，
∴﹣3≤﹣a＜3，
∴﹣1≤﹣a+2＜5，
∴﹣1≤x＜5，故选：A．
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【例题2】（2024福建省）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，
第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长 ，求去年第一季度社会消费
品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为 亿元，则符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是理解题意，找出等量关系，根据今年第一
季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长 ，列出方程即可．
将去年第一季度社会消费品零售总额设为 亿元，根据题意得：
，故选：A．
【对点变式练1】（2024枣庄一模）《算学启蒙》是我国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：
“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：
快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x
天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ）
A．240x+150x＝150×12 B．240x﹣150x＝240×12
C．240x+150x＝240×12 D．240x﹣150x＝150×12
【答案】D
【解析】利用路程＝速度×时间，结合x天快马比慢马多走的路程为慢马12天走的路程，即可得出
关于x的一元一次方程，此题得解．
依题意得：240x﹣150x＝150×12．故选：D．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【对点变式练2】（2023•陕西）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共
用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多 3元，求该文具店中这种大笔
记本的单价．
【答案】8元
【解析】设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，根据买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6
个，共用了62元，得4x+6（x﹣3）＝62，即可解得答案．
设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔记本的单价是（x﹣3）元，
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∵买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元，
∴4x+6（x﹣3）＝62，
解得：x＝8；
答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元．
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程解决问题．
考点2. 二元一次方程(组)解法及解的应用
【例题3】（2024广西）解方程组：
【答案】
【解析】本题考查的是二元一次方程组的解法，直接利用加减消元法解方程组即可．
【详解】 ，
得： ，
解得： ，
把 代入①得：
，
∴方程组的解为： .
【对点变式练1】（2024四川乐山一模）解二元一次方程组： ．
【答案】 ．
【解答】解： ，
①×2得：2x﹣2y＝2③，
②+③得：5x＝10，
解得：x＝2，
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把x＝2代入①中得：2﹣y＝1，
解得：y＝1，
∴原方程组的解为： ．
【对点变式练2】（2024河南一模）方程组 的解为 ．
【答案】 ．
【解析】利用加减消元法求解或代入消元法求解都比较简便．
，
①+②，得4x+4y＝12，
∴x+y＝3③．
①﹣③，得2x＝2，
∴x＝1．
②﹣①，得2y＝4，
∴y＝2．
∴原方程组的解为 ．
故答案为： ．
本题主要考查了解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
考点3. 二元一次方程(组)的实际应用
【例题4】 （2024深圳）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到
店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一
间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x
间，房客y人，则可列方程组为（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x间，房客y人；每一间客
房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可．
【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得：
，故选：A．
【对点变式练1】（2024甘孜州一模）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3
斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶
分别可以盛酒多少斛？设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”即可得
出关于x、y的二元一次方程组．
由题意得： ，故选：A．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解
题的关键．
【对点变式练2】（2024张家界一模）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原
计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且
其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量 45 60
（人/辆）
租金（元/辆） 200 300
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（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
【答案】（1）参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；
（2）租用14辆45座客车更合算．
【解答】（1）设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车．
根据题意，得 ，
解得 ．
答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；
（2）租45座客车：600÷45≈14（辆），所以需租14辆，租金为200×14＝2800（元），
租60座客车：600÷60＝10（辆），所以需租10辆，租金为300×10＝3000（元），
∵2800＜3000，
∴租用14辆45座客车更合算．
【对点变式练3】（2024齐齐哈尔一模）列方程（组）或不等式（组）解应用题：
学校为了支持体育社团开展活动，鼓励同学们加强锻炼，准备增购一些羽毛球拍和乒乓球拍．
（1）根据图中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的价格；
（2）学校准备用5300元购买羽毛球拍和乒乓球拍，且乒乓球拍的数量为羽毛球拍数量的3倍，请
问最多能购买多少支羽毛球拍？
【答案】（1）每支羽毛球拍的价格为80元，每支乒乓球拍的价格为60元；
（2）最多能购买20支羽毛球拍．
【解答】（1）设每支羽毛球拍的价格为x元，每支乒乓球拍的价格为y元，
依题意得： ，
解得： ．
答：每支羽毛球拍的价格为80元，每支乒乓球拍的价格为60元．
（2）设购买m支羽毛球拍，则购买3m支乒乓球拍，
依题意得：80m+60×3m≤5300，
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解得：m≤ ．
又∵m为整数，
∴m的最大值为20．
答：最多能购买20支羽毛球拍．
考点4. 列一次方程(组)解应用题的常用分析
【例题5】（2024江苏连云港）我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，
让人才与城市“双向奔赴”．活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项
活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示：
邮购数 100以上（含
量 100）
邮寄费 总价的
免费邮寄
用
折扇价
不优惠 打九折
格
若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？
【答案】两次邮购的折扇分别是40把和160把
【解析】【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，首先判断出两次购买数量的范围，再设设一
次邮购折扇 把，则另一次邮䝧折扇 把，根据“两次邮购折扇共花费1504元”
列出一元一次方程，求解即可
【详解】解：若每次购买都是100把，则 ．
一次购买少于100把，另一次购买多于100把．
设一次邮购折扇 把，则另一次邮购折扇 把．
由题意得： ，
解得 ．
．
答：两次邮购的折扇分别是40把和160把．
【对点变式练1】（2024安徽一模）（数字问题）一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和
大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．
【答案】14
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【解析】设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则
解方程组 ，得 ，
因此，所求的两位数是14．
【对点变式练2】（2024青海一模）（速度问题）在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油
站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个
犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在 B站待命的两辆巡逻车接到指挥
中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就
被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过 3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻
车和犯罪团伙的车的速度各是多少？
【答案】巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时．
【解析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，则
，整理，得 ，解得 ，
因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时．
考点1. 一元一次方程的解法及解的应用
1. （2024贵州省）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”
“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则
下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为 a，根据题意列出等式 ，
，然后化简代入即可解题．
【详解】设“▲”的质量为a，
由甲图可得 ，即 ，
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由乙图可得 ，即 ，
∴ ，故选C．
2. （2024贵州省）在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240
里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是______．
【答案】20
【解析】本题考查了一元一次方程的应用，设快马追上慢马需要x天，根据快马走的路程等于慢马
走的总路程，列方程求解即可．
【详解】设快马追上慢马需要x天，
根据题意，得 ，
解得 ．
3. （2024广州）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月
交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车 辆，根据题意，可列方程为（
）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题关键．设该车企去年 5月
交付新车 辆，根据“今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆”
列出方程即可．
【详解】解：设该车企去年5月交付新车 辆，
根据题意得： ，故选：A．
4. （2024广西）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：
现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田
有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1
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钱．三年共得100钱”列方程即可．
根据题意，得 ，故选：B．
考点2. 二元一次方程(组)及其解法
1. （2024江苏苏州） 解方程组： ．
【答案】
【解析】本题考查的是解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法求解．根据加减消元法解
二元一次方程组即可．
得， ，解得， ．
将 代入①得 ．
方程组的解是
2. （2024眉山）已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x﹣y＝4，则m的值为（
）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】把方程组的两个方程相减得到2x﹣2y＝2m+6，结合x﹣y＝4，得到m的值．
∵关于x、y的二元一次方程组为 ，
①﹣②，得：
2x﹣2y＝2m+6，
∴x﹣y＝m+3，
∵x﹣y＝4，
∴m+3＝4，
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∴m＝1．故选：B．
本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是把方程组的两个方程相减得到 m的方程，此题
难度不大．
考点3. 二元一次方程(组)的实际应用
1. （2024黑龙江齐齐哈尔）校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出
的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为
奖品，则购买方案有（ ）
A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种
【答案】B
【解析】本题考查了二元一次方程的应用，设单价分别为 8元和10元的两种笔记本分别为 个，
根据题意列出方程，根据整数解的个数，即可求解．
【详解】设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为 个，
依题意，
∴
∵ ， 为正整数，
∴当 时， ，
当 时，
当 时，
当 时，
∴购买方案有4种，故选：B．
2. （2024湖北省）《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只
共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值 金，每只羊值 金，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据未知数，将今有牛5头，羊2头，共值10金；牛
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2头，羊5头，共值8金，两个等量关系具体化，联立即可．
【详解】解：设每头牛值x金，每头羊值y金，
∵牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金，
∴ ，故选：A．
3. （2024内蒙古赤峰）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制
成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型
钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．根据题意设用A型钢板x块，用B型钢板y块，再
利用现需要58块C型钢板、40块D型钢板分别得出方程组即可．
【详解】设用A型钢板x块，用B型钢板y块，
由题意得： ，故选：C．
4. （2024四川成都市）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人
出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出
钱，会多出4钱；每人出 钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为 ，琎价为 ，则
可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组即可．
设人数为 ，琎价为 ，
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根据每人出 钱，会多出4钱可得出 ，
每人出 钱，又差了3钱．可得出 ，
则方程组为： ，故选：B．
5.（2024江苏盐城） 中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：
现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长 5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就
比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为________尺．
【答案】15
【解析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组
是解题关键．
设绳索长 尺，竿长 尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长 尺；如果将绳索对半折后再去量
竿，就比竿短 尺”，即可得出关于 的二元一次方程组，此题得解．
【详解】设绳索长 尺，竿长 尺，
根据题意得： ．
解得：
考点4. 列一次方程(组)解应用题的常用分析
1. （2024安徽省）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了
一些田地．采用新技术种植 两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：
农作物品 每公顷所需人 每公顷所需投入资金（万
种 数 元）
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已知农作物种植人员共 位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共 万元．问 这两
种农作物的种植面积各多少公顷？
【答案】 农作物的种植面积为 公顷， 农作物的种植面积为 公顷．
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设 农作物的种植面积为 公顷， 农作物
的种植面积为 公顷，根据题意列出二元一次方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列
出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：设 农作物的种植面积为 公顷， 农作物的种植面积为 公顷，
由题意可得， ，
解得 ，
答：设 农作物的种植面积为 公顷， 农作物的种植面积为 公顷．
2. （2024湖南省）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买 1棵脐橙树苗和2
棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．
（1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；
（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买
脐橙树苗多少棵？
【答案】（1）50元、30元 （2）400棵
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元/棵，y元/棵，根据“购买1棵脐橙树苗和2棵
黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元”列方程组求解即可；
（2）购买脐橙树苗a棵，根据“总费用不超过38000元”列不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元/棵，y元/棵，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元/棵，30元/棵；
【小问2详解】
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解：设购买脐橙树苗a棵，则购买黄金贡柚树苗 棵，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：最多可以购买脐橙树苗400棵．
考点1. 一元一次方程的解法及解的应用
1.已知下列方程：①x＋1＝；②5x＝8；③＝4x＋1；④x2＋2x－3＝0；⑤x＝1；
⑥3x＋y＝6。其中是一元一次方程的个数是（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
【解析】含有一个未知数，且未知数的次数都是 1，这样的方程是一元一次方程，满足要求的有
②③⑤。
2.已知方程(m+1)x|m|+3=0是关于x的一元一次方程，则m的值是（ ）
A.±1 B.1 C.－1 D.0或1
【答案】B
【解析】方程(m+1)x|m|+3=0是关于x的一元一次方程，则m+1≠0，|m|=1，所以m=1.
3.关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，则其解为 ．
【解答】∵关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，
∴2m﹣1＝1，即m＝1或m＝0，
方程为x﹣2＝0或﹣x﹣2＝0，解得：x＝2或x＝﹣2，
故答案为：x＝2或x＝﹣2．
4.解一元一次方程 时，去分母正确的是（ ）
A．3(x+1)=1-2x B．2(x+1)=1-3x C．2(x+1)=6-3x D．3(x+1)=6-2x
【答案】D
【解析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．
方程两边都乘以6，得：3(x+1)=6-2x．
【点评】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性
质．
5. 解方程： + ＝4．
【答案】x＝7．
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【解答】解： + ＝4，
3（x﹣3）+2（x﹣1）＝24，
3x﹣9+2x﹣2＝24，
3x+2x＝24+9+2，
5x＝35，
x＝7．
6．甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地需4分钟，乙骑自行车从B
地到A地需6分钟．现乙从B地先发出1分钟后，甲才从A地出发，问多久后甲、乙相遇？设乙出发
x分钟时，甲、乙相遇，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】∵甲骑自行车从A地到B地需4分钟，乙骑自行车从B地到A地需6分钟，
∴甲的速度是 ，乙的速度是 ，
由题意得 ．故选：A．
7．《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每
人出7钱，还缺3钱，问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为
．
【答案】5x+45＝7x+3．
【解析】设合伙人数为x人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程即可．
设合伙人数为x人，
依题意，得：5x+45＝7x+3．
故答案为：5x+45＝7x+3．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、
右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与
地头长的和的 ．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱
后的宽的4倍，求边的宽和天头长．
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【答案】边的宽为4cm，天头长为24cm．
【解析】设天头长为6x cm，地头长为4x cm，则左、右边的宽为x cm，根据题意得列方程即可得到
结论．
设天头长为6x cm，地头长为4x cm，则左、右边的宽为x cm，
根据题意得，100+（6x+4x）＝4×[27+（6x﹣4x）]，
解得x＝4，
答：边的宽为4cm，天头长为24cm．
本题考查了一元一次方程的应用，正确地理解题意列出方程是解题的关键．
考点2. 二元一次方程(组)及其解法
1. 已知关于x，y的方程组 的解满足x﹣y＝4，则a的值为 ．
【答案】2
【解析】利用方程①﹣方程②，可得出x﹣y＝a+2，结合x﹣y＝4，可得出a+2＝4，解之即可得出a
的值．
，
①﹣②得：x﹣y＝a+2，
又∵关于x，y的方程组 的解满足x﹣y＝4，
∴a+2＝4，
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∴a＝2．
本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次方程，根据二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，找出
关于a的一元一次方程是解题的关键．
2．解方程组 ．
【答案】 ．
【解析】利用加减消元法解方程组即可．
，
①+②得：5x＝15，
解得：x＝3，
将x＝3代入①得：3×3+y＝8，
解得：y＝﹣1，
故原方程组的解为： ．
考查解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本方法为代入消元法和加减消元法，必须熟练掌握．
3．已知关于x，y的二元一次方程组 ，给出下列结论中正确的是（ ）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；
②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；
④若用x表示y，则y＝﹣ ；
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【解答】关于x，y的二元一次方程组 ，
①+②得，2x+2y＝4+2a，
即：x+y＝2+a，
（1）①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0，
∴a＝﹣2，故①正确，
（2）②原方程组的解满足x+y＝2+a，
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当a＝1时，x+y＝3，
而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，
因此②不正确，
（3）方程组 ，解得，
∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3，
因此③是正确的，
（4）方程组 ，
由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得，
x﹣y＝3（4﹣x﹣3y），
即；y＝﹣ +
因此④是正确的，
故选：D．
考点3. 二元一次方程(组)的实际应用
1．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，
称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金 9枚（每枚
黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚
后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x
两，每枚白银重y两．根据题意得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据“甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等；两袋互相
交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
∵甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，
∴9x＝11y；
∵两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，
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∴（10y+x）﹣（8x+y）＝13．
根据题意可列方程组 ．
故选：C．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方
程组是解题的关键．
2.某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积
为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物
应各装多少吨？
【答案】甲、乙两重货物应各装150吨．
【解析】设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨，则
，整理，得 ，解得 ，
因此，甲、乙两重货物应各装150吨．
考点4. 列一次方程(组)解应用题的常用分析
1.某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产
能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的 ；现
在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1
天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？
【答案】3375,18.
【解析】设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，依题意，得
，解得 .
2.亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿
者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能
源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．
（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？
（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多
少辆？
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【答案】见解析。
【解析】（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客
车（x+4）辆，
依题意，得： ，
解得： ．
答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．
（2）设需调配36座客车m辆，22座客车n辆，
依题意，得：36m+22n＝218，
∴n＝ ．
又∵m，n均为正整数，
∴ ．
答：需调配36座客车3辆，22座客车5辆．
25
