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第6课时 一次方程(组)及其应用
1.(2023·永州)关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1,则m的值为( )
A.3 B.-3 C.7 D.-7
2.(2024·唐山滦南县模拟)下列运用等式的性质变形正确的是 ( )
A.若x=y,则x+5=y-5
B.若a2=b2,则a=b
a b
C.若 = ,则a=b
c c
D.若ax=ay,则x=y
3.(2023·无锡)下列4组数中,不是二元一次方程2x+y=4的解的是 ( )
{x=1, {x=2,
A. B.
y=2 y=0
{x=0.5, {x=-2,
C. D.
y=3 y=4
4.设“●”“▲”“■”表示三种不同的物体,现用天平称了两次,情况如图所示,则下列天平中,
状态不正确的是 ( )
A B C D
5.数学文化(2024·邯郸二模)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题:今有凫起南海,七
日至北海.雁起北海,九日至南海.今凫雁俱起.问:何日相逢?其大意为:野鸭从南海飞到北海用7天,
大雁从北海飞到南海用9天.它们从两地同时起飞,几天后相遇?设x天后相遇,根据题意所列方程
正确的是 ( )
1 1 1 1
A.7x+9x=1 B. x+ x=1 C.9x-7x=1 D. x+ x=1
7 9 7 9
6.(2024·唐山二模)如图,两架天平都平衡,则与1个“ ”质量相等的“ ”的个数为 ( )
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A.4 B.3 C.2 D.1
7.数学文化(2024·唐山丰润区一模)我国古代数学名著《张邱建算经》中记载:“今有清酒一斗直
粟十斗,醑(xǔ)酒一斗直粟三斗.今持粟三斛,得酒五斗,问清、醑酒各几何?”意思是:现在一斗清酒
价值10斗谷子,一斗醑酒价值3斗谷子,现在拿30斗谷子,共换了5斗酒,问清、醑酒各几斗?下面
是甲、乙两种解答方案,则 ( )
甲:设换了清酒x斗,列方程为10x+3(5-x)=30……
x 30-x
乙:设用x斗谷子换清酒,列方程为 + =5……
3 10
A.只有甲对 B.只有乙对
C.甲、乙都对 D.甲、乙都不对
{3x- y=4m+1,
8.(2023·眉山)已知关于x,y的二元一次方程组 的解满足x-y=4,则m的值为 (
x+ y=2m-5
)
A.0 B.1 C.2 D.3
9.数学文化(2024·唐山玉田县二模)我国古代数学名著《九章算术》中记载:“今有共买物,人出八,
盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何?”意思是:现有几个人共买一件物品,每人出8钱,多出3
钱;每人出7钱,还差4钱.问人数、物价各是多少?若设人数为x人,下列说法错误的是 ( )
A.每人出8钱,则物价为8x钱
B.每人出7钱,则物价为(7x+4)钱
C.列出关于x的方程:8x-3=7x+4
D.物价是53钱
10.(2024·邯郸丛台区一模)对于题目:“小丽同学带11元钱去买钢笔和笔记本(两种文具都买),钢笔
每支3元,笔记本每本1元,那么钢笔能买多少支?”甲同学的答案是1支,乙同学的答案是2支,丙
同学的答案是3支,则正确的是 ( )
A.只有甲的答案对 B.甲、乙答案合在一起才完整
C.甲、乙、丙答案合在一起才完整 D.甲、乙、丙答案合在一起也不完整
11.(2024·石家庄桥西区二模)某份资料计划印制1 000份,该任务由A,B两台印刷机先后接力完成,
A印刷机印制150份/h,B印刷机印制200份/h.两台印刷机完成该任务共需6 h.甲、乙两人所列的
方程组如图所示,下列判断正确的是 ( )
甲 乙
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解:设A印刷机印制了m份,
解:设A印刷机印制了x h,
B印刷机印制了n份.
B印刷机印制了y h.
由题意,得
由题意,得
{m+n=1 000,
{ x+ y=6,
m n
150x+200 y=1 000 + =6
150 200
A.只有甲列的方程组正确
B.只有乙列的方程组正确
C.甲和乙列的方程组都正确
D.甲和乙列的方程组都不正确
1
12.(2024·遵化二模)在方程3x- y=5中,用含x的代数式表示y,得y= .
4
{ax+ y=b, { x=3,
13.(2024·宿迁)若关于 x,y 的二元一次方程组 的解是 则关于 x,y 的方程组
cx- y=d y=-2,
{ax+2y=2a+b,
的解是 .
cx-2y=2c+d
1.(2024·唐山丰南区二模)某购物中心举行优惠活动,规定:一次性购物不超过200元(包括200元)
的不优惠;超过200元的,全部按8折优惠.小丽买了一件服装,付款180元,这件服装的标价为 (
)
A.180元 B.200元
C.225元 D.180元或225元
2.(2024·唐山一模)一道条件缺失的问题情境:一项工程,甲队单独做需要12天完成……还需要几
天完成任务.根据标准答案,老师在黑板上画出线段示意图(如图),设两队合作还需x天完成任务,
并列方程为 1 ×2+(1 1 )x=1.根据上面信息,下面结论不正确的是( )
+
12 8 12
A.乙队单独做需要8天完成
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B.D处代表的代数式是 (1 1 )x
+
8 12
C.A处代表的实际意义:甲先做2天的工作量
D.甲先做2天,然后甲、乙两队合作5天完成了整个工程
3.(2024·龙东地区)国家“双减”政策实施后,某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动.班级
决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励(两种奖品都买).其中笔记本每本
3元,碳素笔每支2元,共花费28元,则共有几种购买方案 ( )
A.5 B.4
C.3 D.2
4.(2024·石家庄新华区一模)现将n颗糖果装入m个糖盒中,若每个糖盒放40颗糖果,则还有10颗
糖果装不下,若每个糖盒放 43 颗糖果,则只有 1 颗糖果装不下,有下列四个等式:
n+10 n+1 n-10 n-1
①40m+10=43m-1;② = ;③ = ;④40m+10=43m+1.其中正确的是 ( )
40 43 40 43
A.①② B.②④
C.①③ D.③④
5.(2024·遵化二模)已知关于x的方程5x-2=3x+16的解与方程4a+1=4(x+a)-5a的解相同,则a=
;若[m]表示不大于m的最大整数,那么[a ]= .
-1
2
6.传统文化(2024·宁夏)中国传统手工艺享誉海内外,扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力.
某店销售扎染和刺绣两种工艺品,已知扎染175元/件,刺绣325元/件.
扎染 刺绣
(1)某天这两种工艺品的销售额为1 175元,求这两种工艺品各销售多少件?
(2)中国的天问一号探测器、奋斗者号潜水器等科学技术世界领先,国人自豪感满满,相关纪念品
深受青睐.该店设立了一个如图所示可自由转动的转盘(转盘被分为5个大小相同的扇形).凡顾客
在本店购买一件工艺品,就获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,顾客即可免费获得指针指向
区域的纪念品一个(指针指向两个扇形的交线时,视为指向右边的扇形).一顾客在该店购买了一件
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工艺品,求该顾客获得纪念品的概率是多少?
天问一号探测器 奋斗者号潜水器 和谐号高铁
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【详解答案】
基础夯实
1.A 解析:把x=1代入2x+m=5,得2+m=5.解得m=3.故选A.
2.C 解析:A.若x=y,则x+5=y+5,故A不正确,不符合题意;
B.若a2=b2,则a=±b,故B不正确,不符合题意;
a b
C.若 = ,则a=b,故C正确,符合题意;
c c
D.若ax=ay,则a≠0时x=y,故D不正确,不符合题意.故选C.
{x=1, {x=1, {x=2,
3.D 解析:A.当 时,2x+y=4,则 是二元一次方程2x+y=4的解,不符合题意;B.当 时,2x+y=4,
y=2 y=2 y=0
{x=2, {x=0.5, {x=0.5,
则 是二元一次方程2x+y=4的解,不符合题意;C.当 时,2x+y=4,则 是二元一次方程
y=0 y=3 y=3
{x=-2, {x=-2,
2x+y=4的解,不符合题意;D.当 时,2x+y=0,则 不是二元一次方程2x+y=4的解,符合题意.故选
y=4 y=4
D.
4.D 解析:由题图可知1个■的质量=1个▲的质量,
1个▲的质量等于2个●的质量,
因此2个▲质量=1个■的质量+2个●的质量.故选D.
1 1
5.B 解析:由题意可得, x+ x=1.故选B.
7 9
6.C 解析:设1个“○”“△”“□”的质量分别为x,y,z,
{2x=4 y, {x=2y,
∴ ∴
2z=2y z= y,
∴x=2z,
即与1个“○”质量相等的“□”的个数为2.故选C.
7.A 解析:甲:设换了清酒x斗,则换了醑酒(5-x)斗,
列方程为10x+3(5-x)=30;
乙:设用x斗谷子换清酒,则用(30-x)斗谷子换醑酒,
x 30-x
列方程为 + =5;
10 3
∴甲正确、乙错误.故选A.
{3x- y=4m+1, ①
8.B 解析:∵关于x,y的二元一次方程组为
x+ y=2m-5, ②
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①-②,得2x-2y=2m+6,∴x-y=m+3,
∵x-y=4,∴m+3=4,∴m=1.故选B.
9.A 解析:设人数为x人,
∵每人出8钱,多出3钱;每人出7钱,还差4钱,
∴物价为(8x-3)钱或(7x+4)钱,
∴8x-3=7x+4,解得x=7,∴8x-3=53,∴物价是53钱,
∴四个选项中只有A选项说法错误,符合题意.故选A.
10.C 解析:设买钢笔x支,笔记本y本,依题意得,3x+y=11,
∵x,y是正整数,
∴当x=1时,y=8;当x=2时,y=5;当x=3时,y=2.故选C.
11.C 解析:设A印刷机印制了x h,B印刷机印制了y h,
∵两台印刷机完成该任务共需6 h,
∴x+y=6,
∵总共印制1 000份,
∴150x+200y=1 000,
{ x+ y=6,
∴
150x+200 y=1 000;
设A印刷机印制了m份,B印刷机印制了n份,
∵总共印制1 000份,
∴m+n=1 000,
∵A印刷机印制150份/h,B印刷机印制200份/h,
m n
∴A印刷机印制 h,B印刷机印制 h,
150 200
m n
∴ + =6,
150 200
{m+n=1 000,
∴ 故选C.
m n
+ =6.
150 200
12.12x-20
1
解析:移项得- y=5-3x,
4
系数化为1得y=12x-20.
{x=5, {ax+2y=2a+b,
13. 解析:将方程组
y=-1 cx-2y=2c+d
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{a(x-2)+2y=b,
整理得
c(x-2)-2y=d,
{ax+ y=b, { x=3,
∵关于x,y的二元一次方程组 的解是
cx- y=d y=-2,
∴x-2=3,2y=-2,
解得x=5,y=-1,
{ax+2y=2a+b, { x=5,
即关于x,y的方程组 的解是
cx-2y=2c+d y=-1.
能力提升
1.D 解析:若没有优惠,则服装的标价没有超过200元,所以这件服装的标价为180元,
若享受8折优惠,设这件服装的标价是x(x>200)元.
由题意可得0.8x=180,解得x=225,
由上可得,这件服装的标价是180元或225元.故选D.
2.D 解析:A.甲队单独做需要12天完成,根据所列的方程可知乙队单独做需要8天完成,故不符合题意;
B.根据所列的方程可知D处代表的代数式为(1 1 )x,故不符合题意;
+
8 12
C.A处代表的实际意义:甲先做2天的工作量,故不符合题意;
D.解方程 1 ×2+(1 1 )x=1,得x=4,
+
12 8 12
所以甲、乙两队再合作4天完成了整个工程,故符合题意.故选D.
3.B 解析:设购买笔记本x件,碳素笔y支,根据题意得:3x+2y=28,
3
∴y=14- x,
2
又∵x,y均为正整数,
{x=2, {x=4, {x=6,
∴ 或 或
y=11 y=8 y=5
{x=8,
或
y=2,
∴共有4种购买方案.故选B.
4.D 解析:∵若每个糖盒放40颗糖果,则还有10颗糖果装不下,若每个糖盒放43颗糖果,则只有1颗糖果装不
下,且共有n颗糖果,
n-10 n-1
∴ = ;
40 43
∵若每个糖盒放40颗糖果,则还有10颗糖果装不下,若每个糖盒放43颗糖果,则只有1颗糖果装不下,且共有m
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个糖盒,
∴40m+10=43m+1.
∴正确的方程有③④.故选D.
5.7 2 解析:解方程5x-2=3x+16,得x=9,
将x=9代入4a+1=4(x+a)-5a,得4a+1=36+4a-5a,解得a=7,
所以[a ] [7 ]=2.
-1 = -1
2 2
6.解:(1)设销售扎染工艺品x件,销售刺绣工艺品y件,
根据题意,得175x+325y=1 175,
47-13 y
整理得x= ,
7
∵x,y均为正整数,
{x=3,
∴
y=2,
答:销售扎染工艺品3件,销售刺绣工艺品2件.
(2)转动一次转盘所有等可能结果共5种,指针指向有纪念品的扇形的结果有3种,
3
∴该顾客获得纪念品的概率是 .
5
9
