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专题 05 一次方程（组）
课标要求 考点 考向
考向一 列一元一次方程
1. 掌握等式的基本性质；
考向二 解一元一次方程
2. 能解一元一次方程；掌握代入消元法和加减消元法，能 一元一
解二元一次方程组； 次方程
考向三 一元一次方程的应用
3. 能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻
画现实世界数量关系的有效模型；
考向一 二元一次方程的应用
4. 能利用一次方程解决实际应用问题，并能根据具体问题
的实际意义，检验方程的解是否合理
考向二 列二元一次方程组
二元一
次方程
考向三 二元一次方程组的解
（组）
考向四 二元一次方程组的应用
三元一 考向一 三元一次方程（组）的
次方程 应用
（组）
考点一 一元一次方程
►考向一 列一元一次方程
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，
绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四
折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，利用井的深度不变建立方程是解题的关键．
【详解】解：设绳长为x尺，列方程为 ，
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故选A．
2．（2024·广东广州·中考真题）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比
去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车 辆，根据题意，可列方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题关键．设该车企去年5月交付新
车 辆，根据“今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆”列出方程即可．
【详解】解：设该车企去年5月交付新车 辆，
根据题意得： ，
故选：A．
3．（2024·广西·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：
现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少
亩？设出租的田有x亩，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三
年共得100钱”列方程即可．
【详解】解：根据题意，得 ，
故选：B．
4．（2024·福建·中考真题）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季
度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长 ，求去年第一季度社会消费品零售总额．
若将去年第一季度社会消费品零售总额设为 亿元，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是理解题意，找出等量关系，根据今年第一季度社
会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长 ，列出方程即可．
【详解】解：将去年第一季度社会消费品零售总额设为 亿元，根据题意得：
，
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故选：A．
►考向二 解一元一次方程
5．（2024·海南·中考真题）若代数式 的值为5，则x等于（ ）
A．8 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可知 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵代数式 的值为5，
∴ ，
解得 ，
故选：A．
6．（2024·贵州·中考真题）在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行
240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是 ．
【答案】20
【分析】本题考查了一元一次方程的应用求解，设快马追上慢马需要x天，根据快马走的路程等于慢马走
的总路程，列方程求解即可．
【详解】解∶设快马追上慢马需要x天，
根据题意，得 ，
解得 ，
故答案为：20．
►考向三 一元一次方程的应用
解题技巧/易错易混
一元一次方程解应用题的类型有：
（1）销售打折问题：利润 售价-成本价；利润率= ×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．
（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额
×利率×期数．
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．
（4）行程问题：路程=速度×时间．
（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．
（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．
（9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度．
考查角度1 工程问题
7．（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的
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任务量，若小峰单独完成，需 ；若爸爸单独完成，需 ．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参
加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了 ，求这次小峰打扫了多
长时间．
【答案】小峰打扫了 ．
【分析】本题是一道工程问题的应用题．设小峰打扫了 ，爸爸打扫了 ，根据总工作量=各部分的
工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可．
【详解】解：设总工作量为1，小峰打扫了 ，爸爸打扫了 ，则小峰打扫任务的工作效率为 ，
爸爸打扫任务的工作效率为 ，
由题意，得： ，
解得： ，
答：小峰打扫了 ．
考查角度2 销售问题
8．（2024·海南·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五
花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价．
【答案】促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设促销活动前每个瘦肉粽的售价为 元，则促销活动前每个五
花肉粽的售价 元，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设促销活动前每个瘦肉粽的售价为 元，则促销活动前每个五花肉粽的售价 元，
依题意得 ，
解得 ，
，
答：促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元．
考查角度3 几何问题
9．（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为 ，
2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12．
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(1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求 的值；
(2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键；
（1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算 ，从而可得答案；
（2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为 ，2，32，
∴ ， ， ，
∴ ；
（2）解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
考查角度4 行程问题
10．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地
到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早 小时到达
目的地．甲、乙两车之间的路程 与两车行驶时间 的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列
问题：
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(1)甲车行驶的速度是_____ ，并在图中括号内填上正确的数；
(2)求图中线段 所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
【答案】(1)70，300
(2)
(3) 或
【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，求出A、B、C两两之间的距离是解题
的关键．
（1）利用时间、速度、路程之间的关系求解；
（2）利用待定系数法求解；
（3）先求出A、B、C两两之间的距离和乙车的速度，设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B
地路程的3倍，分甲乙相遇前、相遇后两种情况，列一元一次方程分别求解即可．
【详解】（1）解：由图可知，甲车 小时行驶的路程为 ，
甲车行驶的速度是 ，
∴A、C两地的距离为： ，
故答案为：70；300；
（2）解：由图可知E，F的坐标分别为 ， ，
设线段 所在直线的函数解析式为 ，
则 ，
解得 ，
线段 所在直线的函数解析式为 ；
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（3）解：由题意知，A、C两地的距离为： ，
乙车行驶的速度为： ，
C、B两地的距离为： ，
A、B两地的距离为： ，
设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，
分两种情况，当甲乙相遇前时：
，
解得 ；
当甲乙相遇后时：
，
解得 ；
综上可知，两车出发 或 时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
11．（2024·浙江·中考真题）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽
跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相
关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示．
时间 里程分段 速度档 跑步里程
小
不分段 A档 4000米
明
第一段 B档 1800米
第一次休息
小
第二段 B档 1200米
丽
第二次休息
第三段 C档 1600米
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(1)求A，B，C各档速度（单位：米/分）；
(2)求小丽两次休息时间的总和（单位：分）；
(3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值．
【答案】(1)80米/分，120米/分，160米/分
(2)5分
(3)42.5
【分析】此题考查函数图象获取信息，一元一次方程的应用，读懂图象中的数据是解本题的关键．
（1）由小明的跑步里程及时间可得 档速度，再根据C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分可得
B，C档速度；
（2）结合图象求出小丽每段跑步所用时间，再根据总时间即可求解；
（3）由题意可得，此时小丽在跑第三段，所跑时间为 （分），可得方程
，求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知， 档速度为 米/分，
则 档速度为 米/分， 档速度为 米/分；
（2）小丽第一段跑步时间为 分，
小丽第二段跑步时间为 分，
小丽第三段跑步时间为 分，
则小丽两次休息时间的总和 分；
（3）由题意可得：小丽第二次休息后，在 分钟时两人跑步累计里程相等，
此时小丽在跑第三段，所跑时间为： （分）
可得： ，
解得： ．
12．（2024·江苏苏州·中考真题）某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A
站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，
两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收
集到列车运行信息如下表所示．
列车运行时刻表
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A站 B站 C站
车次
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
D1001 8：00 9：30 9：50 10：50
G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30
请根据表格中的信息，解答下列问题：
(1)D1001次列车从A站到B站行驶了______分钟，从B站到C站行驶了______分钟；
(2)记D1001次列车的行驶速度为 ，离A站的路程为 ；G1002次列车的行驶速度为 ，离A站的路程为
．
① ______；
②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则 ），已知 千米/小时（可换
算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中 ，若 ，求t的值．
【答案】(1)90，60
(2)① ；② 或125
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，速度、时间、路程的关系，明确题意，合理分类讨论是解题的
关键．
（1）直接根据表中数据解答即可；
（2）①分别求出D1001次列车、G1002次列车从A站到C站的时间，然后根据路程等于速度乘以时间求
解即可；
②先求出 ， A与B站之间的路程，G1002次列车经过B站时，对应t的值，从而得出当 时，
D1001次列车在B站停车． G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车，然后分 ，
， ， 讨论，根据题意列出关于t的方程求解即可．
【详解】（1）解：D1001次列车从A站到B站行驶了90分钟，从B站到C站行驶了60分钟，
故答案为：90，60；
（2）解：①根据题意得：D1001次列车从A站到C站共需 分钟，
G1002次列车从A站到C站共需 分钟，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
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② （千米/分钟）， ，
（千米/分钟）．
，
A与B站之间的路程为360．
，
当 时，G1002次列车经过B站．
由题意可如，当 时，D1001次列车在B站停车．
G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车．
ⅰ．当 时， ，
， ， （分钟）；
ⅱ．当 时， ，
， ， （分钟），不合题意，舍去；
ⅲ．当 时， ，
， ， （分钟），不合题意，舍去；
ⅳ．当 时， ，
， ， （分钟）．
综上所述，当 或125时， ．
考查角度5 其他问题
13．（2024·吉林·中考真题）钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴
键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
【答案】白色琴键52个，黑色琴键36个
【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意是解题的关键．
设黑色琴键x个，则白色琴键 个，可得方程 ，再解方程即可．
【详解】解：设黑色琴键x个，则白色琴键 个，
由题意得： ，
解得： ，
∴白色琴键： （个），
答：白色琴键52个，黑色琴键36个．
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14．（2024·北京·中考真题）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽
车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求 类物质排放量不超过 ，
， 两类物质排放量之和不超过 .已知该型号某汽车的 ， 两类物质排放量之和原为
.经过一次技术改进，该汽车的 类物质排放量降低了 ， 类物质排放量降低了 ， ，
两类物质排放量之和为 ，判断这次技术改进后该汽车的 类物质排放量是否符合“标准”，并说
明理由.
【答案】符合，理由见详解
【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
设技术改进后该汽车的A类物质排放量为 ，则B类物质排放量为 ，根据汽车的 ，
两类物质排放量之和原为 建立方程求解即可．
【详解】解：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为 ，则B类物质排放量为 ，
由题意得： ，
解得： ，
∵ ，
∴这次技术改进后该汽车的 类物质排放量符合“标准”．
考点二 二元一次方程（组）
►考向一 二元一次方程的应用
解题技巧/易错易混
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
15．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书
活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本
每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
设购买 支笔记本， 个碳素笔，利用总价 单价 数量，即可得出关于 ， 的二元一次方程，再结合 ，
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均为正整数，即可得出购买方案的个数．
【详解】解：设购买 支笔记本， 个碳素笔，
依题意得： ，
．
又 ， 均为正整数，
或 或 或 ，
共有4种不同的购买方案．
故选：B．
16．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出
的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，
则购买方案有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为 个，根据题
意列出方程，根据整数解的个数，即可求解．
【详解】解：设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为 个，
依题意，
∴
∵ ， 为正整数，
∴当 时， ，
当 时，
当 时，
当 时，
∴购买方案有4种，
故选：B．
17．（2024·四川宜宾·中考真题）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔
枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装
的箱数最多为（ ）
A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱
【答案】C
【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，设用 个大箱， 个小箱，利用每个大箱装4千克
荔枝，每个小箱装3千克荔枝，建立方程，求出方程的正整数解可得答案．
【详解】解：设用 个大箱， 个小箱，
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∴ ，
∴ ，
∴方程的正整数解为：
或 ，
∴所装的箱数最多为 箱；
故选C．
►考向二 列二元一次方程组
18．（2024·湖北·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、
羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10
两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，
则可列方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题
的关键．因为每头牛值金 两，每头羊值金 两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，
共值金8两”，即可得出关于 、 的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：根据题意得： ．
故选：A．
19．（2024·四川·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物
品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出的方
程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程组解古代数学问题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决问题的关键．
根据“每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元”，即可求解．
【详解】解：∵ 每人出8元，剩余3元，
∴8 = +3,
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∵每人出7元，还差4元，
∴7 = -4，
故所列方程组为： ．
故选：A．
20．（2024·天津·中考真题）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长
短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳
子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长 尺，绳子长 尺，则可
以列出的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知： ；
绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知： ；从而可得答案.
【详解】解：由题意可得方程组为：
，
故选：A.
21．（2024·四川南充·中考真题）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到
店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无
房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房”
分别列出两个方程，联立成方程组即可．
【详解】根据题意有
故选：A．
【点睛】本题主要考查列二元一次方程组，读懂题意找到等量关系是解题的关键．
►考向三 二元一次方程组的解
解题技巧/易错易混
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1. 代入消元法：将方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方
程中，从而消去一个未知数，化为一元一次方程
适用类型：(1)方程组中有一个未知数的系数是1或－1；(2)一个方程的 常数项为0
2. 加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后再相加(或相减)，消去其中一个未知数，化为一元一
次方程
适用类型：方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数或成整数倍
22．（2024·浙江·中考真题）解方程组：
【答案】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用①×3＋②得， ，解得 ，再把 代入①求出
即可.
【详解】解：
①×3＋②得，
解得 ，
把 代入①得 ，
解得
∴
23．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，则关于x、y的
方程组 的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把 ，代入 ，得到
，整体代入 中，得到方程组 ，加减消元法解方程组即可．
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【详解】解：把 代入 ，得： ，
∵ ，
∴ ，即： ，
，得： ，
∵方程组 有解，
∴ ，
∴ ，
把 代入①，得： ，解得： ；
∴方程组的解集为： ；
故答案为： ．
24．（2024·湖南长沙·中考真题）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，
现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者
从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果
再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应
的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的
出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 ．
【答案】2009
【分析】本题考查二元一次方程的解，理解题意是解答的关键．设这位参与者的出生年份是x，从九个数
字中任取一个数字为a，根据题意列二元一次方程，整理得 ，根据a的取值得到x的9种可
能，结合实际即可求解．
【详解】解：设这位参与者的出生年份是x，从九个数字中任取一个数字为a，
根据题意，得 ，
整理，得
∴ ，
∵a是从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，
∴x的值可能为1209，1309，1409，1509，1609，1709，1809，1909，2009，
∵是为庆祝中国改革开放46周年，且参与者均为在校中学生，
∴x只能是2009，
故答案为：2009．
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►考向四 二元一次方程组的应用
25．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点 在直线 上，坐标 是二元一次方程
的解，则点 的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求
出点P的坐标即可判断．
【详解】解∶ 联立方程组 ，
解得 ，
∴P的坐标为 ，
∴点P在第四象限，
故选∶D．
26．（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从 地匀
速出发，甲健步走向 地．途中偶遇一位朋友，驻足交流 后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚
出发 ，跑步到达 地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的
距离 与甲出发的时间 之间的函数关系．( )
那么以下结论：
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为 ；
②甲出发 时，甲、乙两人之间的距离达到最大值 ；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后 ；
④ ， 两地之间的距离是 ．
其中正确的结论有：
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A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用；①由乙比甲晚出发 及当x=50时 第一
次为 ，可得出乙出发 时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确；②观察函数图象，可得出当
时， 取得最大值，最大值为 ，进而可得出结论②正确；③设甲的速度为 ，乙的速
度为 ，利用路程 速度 时间，可列出关于 ， 的二元一次方程组，解之可得出 ， 的之，将
其代入 中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后 ，进而可得出结论③错误；
④利用路程 速度 时间，即可求出 ， 两地之间的距离是 ．
【详解】解：① 乙比甲晚出发 ，且当x=50时， ，
乙出发 时，两人第一次相遇，
既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为 ，结论①正确；
②观察函数图象，可知：当 时， 取得最大值，最大值为 ，
甲出发 时，甲、乙两人之间的距离达到最大值 ，结论②正确；
③设甲的速度为 ，乙的速度为 ，
根据题意得： ，
解得： ，
∴ ，
甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后 ，结论③错误；
④ ，
， 两地之间的距离是 ，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①②④．
故选：B．
27．（2024·江苏盐城·中考真题）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：
现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子
短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为 尺．
【答案】15
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题
关键．
设绳索长 尺，竿长 尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比
竿短 尺”，即可得出关于 的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设绳索长 尺，竿长 尺，
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根据题意得： ．
解得：
故答案为15．
28．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这
两种水果的进价和售价如表所示：
水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克）
甲 22
乙 25
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705
元．
(1)求 的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大
于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售
完这两种水果获得的利润 （元）与购进甲种水果的数量 （千克）之间的函数关系式（写出自变量 的
取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．
【答案】(1) ，
(2) ，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是∶
（1）根据“购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需
705元”列方程求解即可；
（2）分 ， 两种情况讨论，根据总利润等于甲的利润与乙的利润列出函数关系式，
然后利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得 ，
解得 ；
（2）解：当 时，
根据题意，得 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
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即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；
当 时，
根据题意，得 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而减小，
∴ 时， 有最大值，最大值为 ，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；
综上， ，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元．
29．（2024·安徽·中考真题）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包
了一些田地．采用新技术种植 两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：
每公顷所需人
农作物品种 每公顷所需投入资金（万元）
数
已知农作物种植人员共 位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共 万元．问 这两种农作物
的种植面积各多少公顷？
【答案】 农作物的种植面积为 公顷， 农作物的种植面积为 公顷．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设 农作物的种植面积为 公顷， 农作物的种植面积为
公顷，根据题意列出二元一次方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出二元一次方程组是解
题的关键．
【详解】解：设 农作物的种植面积为 公顷， 农作物的种植面积为 公顷，
由题意可得， ，
解得 ，
答：设 农作物的种植面积为 公顷， 农作物的种植面积为 公顷．
考点三 三元一次方程（组）
考向一 三元一次方程（组）的应用
30．（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”
“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（
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）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式 ， ，然后
化简代入即可解题．
【详解】解：设“▲”的质量为a，
由甲图可得 ，即 ，
由乙图可得 ，即 ，
∴ ，
故选C．
31．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为
甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个
小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的
小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上
所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为
20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 （从“甲
槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）．
【答案】乙槽
【分析】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得 ，
当 时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作最小的是
乙槽．
本题考查了方程的应用，特殊解，熟练掌握整数解是解题的关键．
【详解】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得 ，
当 时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作计分最低
的是乙槽．
故答案为：乙槽．
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一、单选题
1．（2024·广西河池·三模）关于x的方程 的解是 ，则a的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，根据题意将 代入，即可求解．
【详解】解：依题意， 解得： ，
故选：C．
2．（2024·湖北·模拟预测）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗
直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑
酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，
那么可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题列二元一次方程，设清酒x斗，醑酒y斗，根据“现在一斗清酒价值10斗
谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”列出二元一次方程组即可，理解题意，
找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键．
【详解】解：设清酒x斗，醑酒y斗，
由题意得： ，
故选：A．
3．（2024·贵州毕节·三模）已知关于x，y的二元一次方程组 的解也是方程 的解，
则k的值为（ ）
A． B． C．2 D．无法计算
【答案】C
【分析】此题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立
的未知数的值．把k看作已知数求出x与y，代入已知方程计算即可求出k的值．
【详解】解：
由① ②得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
解得： ，
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把 ， 代入 ，
得： ，
解得： ，
故选：C
4．（2024·浙江·模拟预测）从某个月的月历表中取一个 方块．已知这个方块所围成的4个方格的日期
之和为44，求这4个方格中的日期．若设左上角的日期为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．左上角的日期为x，则其余三个数分别为 ， ，
，根据和为44，列出方程即可．
【详解】解：设左上角的日期为x，
依题意得 ，
故选：C
5．（2024·浙江·模拟预测）学校要制作一块广告牌，请来两名工人，已知甲单独完成需4天，乙单独完成
需6天，若先由乙做1天，再两人合作，完成任务后共得到报酬900元，若按各人的工作量计算报酬，则
分配方案为（ ）
A．甲360元，乙540元 B．甲450元，乙450元
C．甲300元，乙600元 D．甲540元，乙360元
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，熟悉掌握工程问题中的数量关系是解题的关键．
设两人合作了 天，根据甲的工作量 乙的工作量 剩余工作总量列出方程求解即可．
【详解】解：设两人合作了 天，
∴由题意可得：
解得：
∴甲的工作量为
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∴甲的报酬为： 元，
∴乙的报酬为： 元，
故选：B．
6．（2024·辽宁·模拟预测）在解方程 时，经过移项后的式子为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】该题主要考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握一元一次方程的解法．
根据一元一次方程的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一的方法解答即可．
【详解】解： ，
移项得 ，
化简得 ，
故选：A．
7．（2024·广东广州·中考真题）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比
去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车 辆，根据题意，可列方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题关键．设该车企去年5月交付新
车 辆，根据“今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆”列出方程即可．
【详解】解：设该车企去年5月交付新车 辆，
根据题意得： ，
故选：A．
8．（2024·辽宁·模拟预测）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有 人，在乙处植树的有 人 现调
人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的 倍，问应调往甲、乙两处各多少人？设应调往甲处
人，则所列方程正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应调往甲处 人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找
到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设应调往甲处 人，
由题意可得， ，
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故选： ．
9．（2024·湖南·模拟预测）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以
至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比
如在 …中，“…”代表按规律不断求和，设 ．则有 ，
解得 ，故 ．类似地 的结果为（ ）
4
A． B． C． D．
3
【答案】A
【分析】本题主要考查解一元一次方程和数字的变化规律，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、
移项、合并同类项、系数化为1．设 ，知 ，
据此可得 ，再进一步求解可得．
【详解】解：设 ，
则 ，
，
解得 ，
，
，
故选：A
二、填空题
10．（2024·河北邯郸·三模）若 ， 表示非零常数，整式 的值随 的取值而发生变化．如下表：
0 1 3 …
1 3 5 9 …
则关于 的一元一次方程 的解是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是关键．将关于 的一元一次方程
化为 ，然后根据表格得出当 时， ，即可求出关于 的一元一次方程
的解．
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【详解】解：关于 的一元一次方程 可化为 ，
由表格可知，当 时， ，
关于 的一元一次方程 的解为 ．
故答案为： ．
11．（2024·河南·模拟预测）已知关于x，y的二元一次方程 的一个解是 ，则a的值为
【答案】3
【分析】本题考查了二元一次方程的解的含义．将 代入二元一次方程 ，即可得出答案．
【详解】解：由题意将 代入二元一次方程 得，
，
∴ ，
故答案为：3．
12．（2024·辽宁锦州·模拟预测）已知a，b都是实数，设点 ，若满足 ，则称点P为“新
奇点”．若点 是“新奇点”，则M的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查新定义．根据新定义确定m的值．解题关键是理解新定义．
根据“新奇点”的定义，得方程 ．求解得出 的值，从而求出点 的坐标，即可求解．
【详解】解：∵点 是“新奇点”，
∴ ．
解得： ．
∴ ．
∴点M的坐标为 ．
故答案为： ．
13．（2024·全国·模拟预测）已知任意两个非零实数 ， 满足 ，小玲说可以得到 ．下面为
小玲给出的证明过程：
， 第一步
， 第二步
即 ， 第三步
， 第四步
即 ， 第五步
两边开平方，得 ， 第六步
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．
以上证明过程中，开始出现错误的是第 步．
【答案】六
【分析】根据等式的性质进行判断即可．本题考查等式的性质，运用完全平方公式进行运算，此为基础且
重要知识点，必须熟练掌握．
【详解】解：由 可得 ，
那么他是从第六步出错的，
故答案为：六．
14．（2024·上海·模拟预测）已知方程组 ，则 的值为
【答案】1
【分析】本题考查了化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
将z看做已知数表示出x与y，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：方程组变形得：
①×2+②得： ，即 ，
将 代入①得， ，
则 ．
故答案为：1．
15．（2024·河北·模拟预测）已知嘉嘉购买了红、绿、蓝三种颜色的筷子各 只，将红、绿、蓝三种颜色
的筷子分别放入甲、乙、丙桶中．
（1）若嘉嘉从甲桶拿出4只筷子放入乙桶中，此时乙桶中的筷子数量是甲桶筷子数量的2倍，则m的值为
；
（2）若嘉嘉从甲、丙桶分别拿出 只红、蓝筷子放入乙桶中，接下来，从乙桶拿出 只筷子放
入甲桶中，其中有 只绿色筷子 ，此时乙桶中绿色筷子的数量与剩余红色、蓝色筷子的数量和
相等，则 的值为 ．
【答案】 6 2
【分析】该题主要考查了一元一次方程的应用，以及二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意．
（1）根据题意得出甲桶中有 只筷子，乙桶中有 只筷子．再根据乙桶中的筷子数量是甲桶
筷子数量的2倍，列出方程求解即可；
（2）根据题意得出两次拿放后每个桶中筷子数目情况，再列等式即可求解；
【详解】解：（1）∵甲、乙桶中分别有 只筷子，嘉嘉从甲桶拿出4只筷子放甲乙桶中，
∴甲桶中有 只筷子，乙桶中有 只筷子．
∵乙桶中的筷子数量是甲桶筷子数量的2倍，
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∴ ，
解得： ；
（2）甲、乙、丙桶初始状态和第一次拿放后每个桶中筷子数目情况列表如下：
甲 乙 丙
初始状
红 绿 蓝
态
第一次 红 绿 红 蓝 蓝
第二次：从乙桶拿出 只筷子放入甲桶中，其中有 只绿色筷子 ，
则此时乙桶中有 只绿色筷子，拿出的筷子中蓝色和红色筷子共 只，
则乙桶中红色和蓝色筷子剩余 只，
∵乙桶中绿色筷子的数量与剩余红色、蓝色筷子的数量和相等，
∴ ，
即 ，
．
16．（2024·安徽·模拟预测）甲、乙两人在一条直线道路上分别从A， 两地同时骑摩托车出发，相向而行．
当两人相遇后，甲继续向 地前进(甲到达 地时停止运动)，乙也立即调头返回 地．在整个运动过程中，
甲、乙均保持各自的速度匀速行驶．若甲、乙两人之间的距离 米)与乙运动的时间 秒)之间的关系如图
所示，则A， 两地之间的距离为 米．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需
要的条件，利用数形结合的思想解答．
根据题意和函数图象可以得到甲乙相遇时行驶的时间，然后根据函数图象中的数据可以列出相应的方程，
即可求得A， 两地之间的距离．
【详解】解：由题意和图象可得，
甲从A地到 地用的时间为 秒，乙从开始到回到 地用的时间为 秒，
甲乙相遇的时，甲乙都行驶了 秒，
设 ， 两地的路程为 米，
，
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解得， ，
故答案为： ．
17．（2024·四川绵阳·三模）如果方程组 的解也是方程 的一个解，则 的值为
．
【答案】
【分析】此题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程．先求出二次一次方程组的解，再代入
，解一元一次方程即可得到 的值．
【详解】解：
把②代入①得， ，
解得， ，
把 代入②得， ，
∴ ，
把 代入 得，
，
解得 ，
故答案为：
三、解答题
18．（2024·陕西西安·模拟预测）解方程：
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即
可．
【详解】解：
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ．
19．（2024·广东·模拟预测）解方程组：
(1)
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(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组．
（1）利用加减消元法进行计算即可；
（2）先将方程组整理成一般式，再利用加减消元法求解可得．
【详解】（1）解： ，
， ，
解得 ，
把 代入①， ，
解得 ，
∴原方程组的解是 ；
（2）解： ，
化简方程组可得， ，
得， ，
解得 ，
将 代入②，得 ，
∴方程组的解为 ．
20．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，整数m，n，t在数轴上分别对应点M，N，T．
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(1)若m，n互为相反数，描出原点O的位置并求t的值；
(2)当点T为原点，且： 时，求“□”所表示的数．
【答案】(1)图见解析， ；
(2)3
【分析】本题考查了相反数、数轴、一元一次方程、实数的运算，考查运算能力．
（1）根据相反数的定义，得到原点O的位置，据此求解即可；
（2）根据原点的位置，确定m，n的值，代入计算即可求解．
【详解】（1）解：∵m，n互为相反数，
∴ ，即点M，N到原点的距离相等，
∴ 原点的位置如图所示：
则 ；
（2）解：∵点 T为原点，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
21．（2024·重庆·二模）某汽车工厂现有一批汽车配件订单需交付，若全部由1个工人生产需要150天才能
完成．为了快速完成生产任务，现计划由一部分工人先生产3天，然后增加6名工人与他们一起再生产5
天就能完成这批订单的生产任务．假设每名工人的工作效率相同．
(1)前3天应先安排多少多工人生产？
(2)增加6名工人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产600个A型配件或650个B型配件，如果3个
A型配件和2个B型配件配套组成一个零件系统，要使每天生产的A型和B型配件刚好配套，应安排生产
A型配件和B型配件的工人各多少名？
【答案】(1)前3天应先安排 名工人生产
(2)应安排13名工人生产A型配件，则安排8名工人生产B型配件
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．
（1）设前3天应先安排 名工人生产，根据题意列一元一次方程求解即可；
（2）设安排 名工人生产A型配件，则安排 名工人生产B型配件，根据题意列一元一次方程求解
即可．
【详解】（1）解：设前3天应先安排 名工人生产，
根据题意得 ，
解得 ，
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答：前3天应先安排 名工人生产；
（2）解：由题意，总共有 名工人生产，
设安排 名工人生产A型配件，则安排 名工人生产B型配件，
根据题意得 ，
解得 ，
，
答：应安排13名工人生产A型配件，则安排8名工人生产B型配件．
22．（2024·广东·模拟预测）每年 月份，某商家都会在线上平台开设的网店销售荔枝和龙眼两种水果．
下表是5月份某个星期两种水果的销售信息（荔枝 箱，龙眼 箱）．
荔
商品 龙眼
枝
成本/(元/箱) 30 40
售价/(元/箱) 48 60
这个星期网店销售荔枝和龙眼共 ，获利9600元，求这个星期网店销售荔枝和龙眼各多少箱．
【答案】荔枝200箱，龙眼300箱
【分析】本题主要考查二元一次方程的实际应用．熟练掌握总利润与每箱利润和数量的关系，列出方程组，
是解题的关键．
设这个星期网店销售荔枝x箱，龙眼y箱，根据“这个星期网店销售荔枝和龙眼共 ，获利9600元”，
列出二元一次方程组，即可求解．
【详解】解：设这个星期网店销售荔枝x箱，龙眼y箱，依题意得：
，
解得： ．
答：这个星期网店销售荔枝200箱，龙眼300箱．
23．（2024·贵州贵阳·一模）（1）计算： ；
（2）下面是小颖同学解方程组 的部分过程：
解：令 ，
①－②，得 ，
…
上述解法中，使用的方法是________(填“代入消元法”或“加减消元法”)，并请你选择不同于题中的方法解该
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方程组．
【答案】（1） ；（2）加减消元法；选择代入消元法解析式见详解，
【分析】本题主要考查整式的混合，消元法解二元一次方程组，
（1）运用乘法公式展开，再根据整式的混合运算即可求解；
（2）方法一：运用“代入消元法”将①变形得 ，再把 代入②，可求出 的值，从而求出 的
值；方法二：运用“加减消元法”的方法，用 可求出 的值，再代入①即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）根据题意，①－②，得 ，消去未知数 ，
∴运用的是加减消元法，
故答案为：加减消元法；
选择代入消元法解析，
由①得， ，
将③代入②，得 ，
去括号、移项、合并同类项，得 ，
解得 ，
将 代入③，得 ，
∴原方程组的解为
24．（2024·河北·模拟预测）聪聪根据市自来水公司的居民用水收费标准，制定了如下水费计算程序转换
机示意图：
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张大 聪聪
用户 刘奶奶 王阿姨 用户
爷 家
输入（ ） 8 15 18 25 输入（ ）
输出（元） 24 a 60 b 输出（元）
(1)根据该程序转换机计算表中a、b的值；
(2)当 时，月应缴纳水费（元）用x的代数式表示为_____；
(3)小丽家比小明家用水量多 ，水费多44元，则小丽家该月用水多少 ？
【答案】(1) ，
(2)
(3)小丽家该月用水
【分析】本题主要考查了用代数式表示实际问题中的数量关系、求代数式的值、一元一次方程的应用等知
识点，根据题意正确列出代数式成为解题的关键．
（1）根据刘奶奶家用水 ， ，代入 计算即可，聪聪家用水 ，x＞15，代入
计算即可；
（2）用15立方米的水费加上比15立方米多的部分的水费即可；
（3）分三种情况进行讨论计算即可：①当 时， ，得 ，解
之即可；②当 时， ，得 ，解之即可求解；③当 时，
， 得 ，解之即可．
【详解】（1）解：刘奶奶家的水费为 （元），
聪聪家的水费 （元），
故 ， ；
（2）解：根据水费计算程序转换机示意图得：
当 时，月应缴纳水费(元)用x的代数式表示为 ．
（3）解：设小明家用水量为 ，则小丽家家用水量为 ，
当 时， ，
则小明家应缴纳水费为 元，小丽家应缴纳水费为 元，
∵ ，
∴不合题意，舍去；
当 时， ，
则小明家应缴纳水费为 元，小丽家应缴纳水费为 元，
由 得 ；
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当 时， ，
则小明家应缴纳水费为 元，小丽家应缴纳水费为 元，
∵ ，
∴不合题意，舍去；
故 ．
答：小丽家该月用水 ．
25．（2024·浙江·一模）观察前后两个差为4的整数的平方差：
① ；② ；③ ；……
(1)写出第n个等式，并进行证明．
(2)问 是否可以写成两个差为4的整数的平方差？如果能，请写出这两个整数；如果不能，请说明理由．
【答案】(1) ，证明见解析
(2)可以， 和
【分析】本题考查了整式的规律探究，平方差公式，一元一次方程的应用．根据题意推导一般性规律是解
题的关键．
（1）由 ，可得 ；由 ，可得 ；由
，可得 ；……可推导一般性规律为：第n个等式是：
；根据左边 右边证明即可．
（2）令 ，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：由 ，可得 ；
由 ，可得 ；
由 ，可得 ；……
∴可推导一般性规律为：第n个等式是： ；
证明：左边 右边．
（2）解：令 ，
解得， ，
∴ ．
答：存在整数 和 ，使 写成两个差为4的整数的平方差．
26．（2024·湖南长沙·二模）我校九年级学生准备观看电影《长津湖》．由各班班长负责买票，每班人数
都多于 人，票价每张 元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说： 人以上的团体票
有两种优惠方案可选：
方案一：全体人员打 折；
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方案二：打 折，有 人可以免票．
(1)若一班有 人，则方案一需付______元钱，方案二需付款______元钱；
(2)一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？
【答案】(1) ，
(2)一班有 人
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
（1）根据题意和题目中的数据，可以分别求出两种方案下的花费情况即可．
（2）根据一班无论选择哪种方案要付的钱都是一样的，可以列出相应的方程，然后求解即可．
【详解】（1）方案一：由题意可得需付 （元），
方案二：由题意可得需付 （元），
故答案为 ， ．
（2）设二班有 人，根据题意得方案一和方案二需要付的钱数一样，
故可列方程 ，
解得 ，
答：一班有 人．
27．（2024·河北廊坊·二模）篮球赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜 场得 分，负 场得 分．小组积
分赛中，每个队伍要进行 场比赛．
(1) 队胜了 场，那么他们负了 场，积分是 分．
(2) 队总积分为21分，那么 队胜负场数分别是多少？
【答案】(1) ， ；
(2) 队胜了 场，负了 场．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组解决问题．
（1）由题意知 队负了 场，再由积分规则计算即可得到 队积分为 分；
（2）设 队胜了 场，负了 场，由等量关系列方程组求解即可解得答案．
【详解】（1）解： 每个队伍要进行 场比赛，
队胜了 场，负了 （场），
（分），
队积分为 分，
故答案为： ， ；
（2）解：设 队胜了 场，负了 场，
由题意可得 ，解得 ，
答： 队胜了 场，负了 场．
28．（2024·安徽合肥·模拟预测）某商场销售A，B两种品牌的营养早餐牛奶，其中A品牌牛奶原售价为60
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元/箱，B品牌牛奶原售价为80元/箱．某校决定在该商场购进A，B两种品牌牛奶共100箱，恰逢商场对
两种品牌牛奶的售价进行调整，A品牌牛奶每箱售价比原售价降低了 ，B品牌牛奶每箱按原售价的8
折出售．
(1)设学校购进A品牌牛奶x箱，请直接在表格中填写结果；
品牌 购买单价（元/箱） 购买量（箱） 购买总价（元）
A x ____________
B ____________
(2)如果该校此次购买A，B两种品牌牛奶的总费用为5800元，那么该校此次购买多少箱B品牌牛奶？
【答案】(1)见解析
(2)40箱
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意是关键．
（1）由单价乘以数量可得答案；
（2）由购买A，B两种品牌牛奶的总费用为5800元，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：填表如下：
品牌 购买单价（元/箱） 购买量（箱） 购买总价（元）
A x
B
（2）解：由题意得 ，
解得 ，
∴ （箱），
答：该校此次购买40箱B品牌牛奶．
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