文档内容
微专题 05 一次方程(组)及其应用
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 等式的基本性质
(1)性质1：同加减：等式两边加(或减去)同一个数(或式子)，结果仍相等，即如
果 a＝b，那么 a±c ＝① 解方程中的移项
(2)性质2：同乘除：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相
等，即如果a＝b，那么② ＝bc 解方程中的去分母；如果a＝
b
b(c≠0)，那么③ ＝ 解方程中的系数化为1
c
2. 一元一次方程及其解法
(1)一元一次方程：两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的 次数 都是
1，这样的方程叫做一元一次方程
(2)解题步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1
3. 二元一次方程组及其解法(6年2考)
(1)基本思想：二元一次方程组 一元一次方程
(2)解法：①代入消元法：当方程组中某个方程中的未知数的系数是1或－1时，
选用此方法较简单；
②加减消元法：当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用此
方法较简单
4. *三元一次组方程及其解法
第 1 页 共 10 页通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次
方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程，这与解二元
一次方程组的思路相同
5. 一次方程(组)的实际应用(6年2考)
(1)利润问题：售价＝标价×折扣；销售额＝④ ×销量；利润＝⑤ －
利润
成本；利润率＝ ×100％
成本
(2)行程问题：①基本量间的关系：⑥ ＝速度×时间；
②相遇问题：总路程＝甲走的路程⑦ 乙走的路程；
③追及问题：同地不同时出发：前者走的路程⑧ 追者走的路程；
同时不同地出发：前者走的路程＋两地间的距离⑨ 追者走的路程
(3)列方程(组)解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答
练考点
1. 下列判断正确的是( )
A. 若a＝b，则a－2＝b＋2
a b
B. 若 ＝ ，则2a＝3b
2 3
a b
C. 若a＝b，则 ＝
2 2
D. 若ac＝bc，则a＝b
2. 解方程：2(x－1)－3＝x.
{x＋y=4
3. 解方程组 .
2x－y=5
4. 若共有x名学生，分成y个学习小组.若每组10人，则还差5人；若每组9人，
还余下3人.若求冬令营学生的人数，所列的方程组为 .
高频考点
考点1 解一次方程(组)(6年2考)
2x+1 x
例1 (人教七上例题改编)解方程： － ＝1.
2 3
【答题模板】
解：去分母，得 ，
第 2 页 共 10 页去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
{5x＋y=3
例2 (北师七上习题改编)用下列方法解方程组 .
3x－2y=7
方法一(代入消元法)： 方法二(加减消元法)：
变式1 (人教七上习题改编)关于x的一元一次方程3x＋m＝7的解为x＝2，则
m的值为( )
A. 1 B. －1 C. 6 D. －6
{ 5x＋y＝a，
变式2 (2023朝阳改编)已知关于x，y的方程组 的解满足x－y＝
3x－2y=2a+1
3，则a的值为 .
考点2 一次方程(组)的实际应用(6年2考)
例3 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中
华民族的传统习俗.某超市在端午节前计划购进A，B两种品牌粽子进行销售.
(1)该超市采购员发现，2盒A品牌粽子和1盒B品牌粽子共需97元，1盒A品
牌粽子和2盒B品牌粽子共需86元，求A，B两种品牌粽子每盒进价各为多少
元？
(2) 该超市购进A，B两种品牌粽子若干盒进行销售，若A品牌粽子的售价比B
品牌粽子的售价贵15元，且7盒A品牌粽子和10盒B品牌粽子售价相同，求
A，B两种品牌粽子每盒售价各为多少元？
第 3 页 共 10 页(3) 该超市按照(1)中的进价购进A，B两种品牌粽子共200盒，再按照(2)中的售
价全部售出，共获利2 500元，求购进A，B两种品牌粽子各多少盒？
(4)端午节当天超市开展促销活动，A，B两种品牌粽子按(2)中的售价打相同的折
扣销售，节日当天购买20盒A品牌粽子和20盒B品牌粽子一共只需1 360元，
求A，B两种品牌粽子是按原价的几折销售？
真题及变式
命题点1 一次方程(组)及其解法(6年2考)
{x+2y＝－2
1. (2021广东11题4分)二元一次方程组 的解为 .
2x＋y=2
{ax+2√3 y＝－10√3 { x－y=2
2. [2020广东21(1)题4分]已知关于x，y的方程组 与
x＋y=4 x＋by=15
的解相同，求a，b的值.
命题点2 一次方程(组)的实际应用(6年2考)
3. (2022广东19题9分)《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱
购买1本.若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元.问学生人数
和该书单价各是多少？
拓展训练
4. (2024陕西)星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这
次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4 h；若爸爸单独完成，需2 h.当天，
小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余
的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3 h，求这次小峰打扫了多长时间.
第 4 页 共 10 页新考法
第5题图
5. “九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”.
观察图①，我们可以归纳出“九宫图”中各数字之间的关系，即九宫图中每行、
每列及对角线上的3个数之和都相等.同图①的规律，那么在图②中，mn＝
.
6. 如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由10块形状大小相同的长方形墙砖砌成.
(1)求一块长方形墙砖的长和宽；
(2)求电视背景墙的面积.
第6题图
请完成分层作业本第 8 ～ 9 页
第 5 页 共 10 页考点精讲
a
①b±c ②ac ③ ④单价 ⑤销售收入
c
⑥路程 ⑦＋ ⑧＝ ⑨＝
练考点
1. C
2. 解：2x－2－3＝x，
2x－x＝2＋3，
x＝5.
3. 方法一：代入消元法
{x＋y=4①
解：令 ，
2x－y=5②
由①得x＝4－y③，
将③代入②中，得2(4－y)－y＝5，
化简得8－3y＝5，
解得y＝1，
将y＝1代入③中，得x＝3，
{x=3
∴方程组的解为 .
y=1
一题多解法
方法二：加减消元法
{x＋y=4①
解：令 ，
2x－y=5②
①＋②得3x＋y－y＝9，
解得x＝3，
将x＝3代入①中，解得y＝1，
{x=3
∴方程组的解为 .
y=1
{10 y＝x+5
4.
9 y＝x－3
高频考点
第 6 页 共 10 页3
例1 解：3(2x＋1)－2x＝6，6x＋3－2x＝6，6x－2x＝6－3，4x＝3，x＝ .
4
例2 解：方法一：
{5x＋y=3①
令 ，
3x－2y=7②
由①得，y＝3－5x③，
将③代入②中，得3x－2(3－5x)＝7，
解得x＝1，
将x＝1代入③中，得y＝－2，
{ x=1
∴原方程组的解为 ；
y＝－2
方法二：
{5x＋y=3①
令 ，
3x－2y=7②
①×2，得10x＋2y＝6③，
②＋③，得3x＋10x＝7＋6，
解得x＝1，
将x＝1代入①中，得5×1＋y＝3，
解得y＝－2，
{ x=1
∴原方程组的解为 .
y＝－2
变式1 A 【解析】∵x＝2是关于x的一元一次方程3x＋m＝7的解，∴3×2
＋m＝7，解得m＝1.
{ 5x＋y＝a①
变式2 3 【解析】∵x－y＝3，∴y＝x－3.令 ，将y＝x－3分
3x－2y=2a+1②
{6x－3=a③
别代入①，②中，得 ，6×④－③，得12a－a＝30＋3，解得a＝3.
x+5=2a④
例3 解：(1)设A品牌粽子的进价为x元/盒，B品牌粽子的进价为y元/盒，
{2x＋y=97
根据题意可得 ，
x+2y=86
第 7 页 共 10 页{x=36
解得 ，
y=25
答：A品牌粽子的进价为36元/盒，B品牌粽子的进价为25元/盒；
(2)设A品牌粽子的售价为a元/盒，B品牌粽子的售价为b元/盒，
{a=15+b
根据题意可得 ，
7a=10b
{a=50
解得 ，
b=35
答：A品牌粽子的售价为50元/盒，B品牌粽子的售价为35元/盒；
(3)设购进A品牌粽子m盒，则购进B品牌粽子(200－m)盒，
根据题意可得(50－36)m＋(35－25)(200－m)＝2 500，
解得m＝125，
∴200－125＝75，
答：购进A品牌粽子125盒，购进B品牌粽子75盒；
(4)设A，B两种品牌粽子按原价的n％销售，
根据题意可得20×(50＋35)×n％＝1 360，
解得n＝80，
答：A，B两种品牌粽子是按原价的八折销售.
真题及变式
{ x=2 {x+2y＝－2①
1. 【解析】令 ，①×2得2x＋4y＝－4③，③－②得3y
y＝－2 2x＋y=2②
＝－6，解得y＝－2，将y＝－2代入①中，得x＋2×(－2)＝－2，解得x＝2，
{ x=2
∴方程组的解为 .
y＝－2
{x＋y=4
2. 解：由题意得 ，
x－y=2
{x=3
解得 .
y=1
{x=3
把 代入ax＋2√3y＝－10√3，
y=1
得3a＋2√3＝－10√3，
第 8 页 共 10 页解得a＝－4√3， (2分)
{x=3
把 代入x＋by＝15，得3＋b＝15，
y=1
解得b＝12. (4分)
3. 解：设学生人数有x人，该书单价为y元，
{8x－3= y
由题意可得 ， (4分)
7x+4= y
{ x=7
解得 ，
y=53
答：学生人数有7人，该书单价为53元.(9分)
一题多解法
解：设学生人数有x人，
由题意得8x－3＝7x＋4， (3分)
解得x＝7， (5分)
则该书单价为8×7－3＝53(元)， (8分)
答：学生人数有7人，该书单价为53元.(9分)
4. 解：设这次小峰打扫了x h，则爸爸打扫了(3－x)h，
1 1
根据题意，得 x＋ (3－x)＝1，
4 2
解得x＝2，
答：这次小峰打扫了2 h.
5. －1 【解析】∵九宫图中每行、每列及对角线上的3个数之和都相等，
{7－3+m＝－5+1+7 {m＝－1
，解得 ，∴mn＝(－1)5＝－1.
n+1－3=－5+1+7 n=5
6. 解：(1)设一块长方形墙砖的长为x m，宽为y m.
{x＋y=1.5
依题意得 ，
2x＝x+4 y
{x=1.2
解得 ，
y=0.3
答：一块长方形墙砖的长为1.2 m，宽为0.3 m；
(2)电视背景墙的面积为2×1.2×1.5＝3.6(m2)，
第 9 页 共 10 页答：电视背景墙的面积为3.6 m2.
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