文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题 06 一次方程（组）及其应用【八大题型】
【题型1 等式的性质及一元一次方程的相关概念】.............................................................................................2
【题型2 一次方程(组)的解法】...............................................................................................................................4
【题型3 一元一次方程的应用】..............................................................................................................................5
【题型4 二元一次方程组的应用之和差倍分问题】.............................................................................................8
【题型5 二元一次方程组的应用之销售问题】...................................................................................................11
【题型6 中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一次方程（组）】...................................................16
【题型7 中考最热考法之以跨学科背景考查一元一次方程的实际应用】.......................................................19
【题型8 中考最热考法之以真实问题情境为背景考查二元一次方程组的实际应用】...................................22
【知识点 一次方程(组)】
1.定义
定义1：含有未知数的等式叫做方程。
定义2：只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，
它的一般形式是 。
定义3：使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
定义4：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程，它的一般形
式是 。
定义5：把两个方程合在一起，就组成了方程组。
定义6：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，这样的方
程组叫做二元一次方程组。
定义7：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
定义8：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
2.等式的性质
性质1：若a=b，则a±c=b±c。等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等。
性质2：若a=b，则ac=bc； (c≠0)。等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍
【1 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
相等。
3.解一元一次方程的一般步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。
4.解二元一次方程组的方法
①代入消元法；②加减消元法。
代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入
另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边
分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
5.方程(组)与实际问题
解有关方程(组)的实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程(组)。根据题中各个量的关系列出方程(组)。
第4步：解方程(组)。根据方程(组)的类型采用相应的解法。
第5步：答。
【题型1 等式的性质及一元一次方程的相关概念】
【例1】（2023·内蒙古包头·二模）设x、y、c是实数，正确的是（ ）
A．若x= y，则x+c=c−y B．若x= y，则c−x=c−y
x y x y
C．若x= y，则 = D．若 = ，则2x=3 y
c c 2c 3c
【答案】B
【分析】根据等式的性质，即可一一判定．
【详解】解：A.若x= y，则x+c= y+c，故该选项错误，不符合题意；
B.若x= y，则c−x=c−y，故该选项正确，符合题意；
x y
C.若x= y且c≠0，则 = ，故该选项错误，不符合题意；
c c
x y
D. 若 = ，则3x=2y，故该选项错误，不符合题意；
2c 3c
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握和运用等式的性质是解决本题的关键．
【变式1-1】（2023·吉林·统考中考真题）请写出一个解为2的一元一次方程，这个方程可以为 ．
【答案】x−2=0或 5x=10（答案不唯一）
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形
式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0），据此求解即可．
【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】解：∵x=2，
∴根据一元一次方程的一般形式ax+b=0（a，b是常数且a≠0），
可列方程x−2=0或 5x=10等，
故答案为：x−2=0或 5x=10（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，熟练掌握一元一次方程的定义及一般形式是解题关键．
6 1
【变式1-2】（2023·安徽宿州·统考三模）若a，b，c为互不相等的实数，且 a+ c=b，则下列结论正确
7 7
的是( )
A．a−c=6(b−a) B．a−b=7(a−c)
C．a−b=6(b−c) D．a−c=7(a−b)
【答案】D
6 1 6 1
【分析】根据 a+ c=b直接计算a−b可判断B、C错误；将 a+ c=b变形求出c=7b−6a，然后计
7 7 7 7
算a−c可判断A错误，D正确．
6 1
【详解】解：∵ a+ c=b，
7 7
(6 1 ) 1 1 1
∴a−b=a− a+ c = a− c= (a−c)，故B、C错误；
7 7 7 7 7
6 1
∵ a+ c=b，
7 7
∴6a+c=7b，
∴c=7b−6a，
∴a−c=a−(7b−6a)=7a−7b=7(a−b)，故A错误，D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是正确的变形，等量代换．
【变式1-3】（2023·内蒙古·统考中考真题）关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x-2＝0如果是一元一次
方程，则其解为 ．
【答案】x＝2或x=−2或x=-3．
【分析】利用一元一次方程的定义判断即可．
【详解】解：∵关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，
（1）当2m﹣1＝1，即m＝1，
即x﹣2＝0
解得：x＝2，
【3 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）当m=0时，−x−2＝0，
解得：x=−2
1
（3）当2m-1=0，即m= 时，
2
1 1
方程为 − x−2=0
2 2
解得：x=-3，
故答案为x=2或x=-2或x=-3．
【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
【题型2 一次方程(组)的解法】
【例2】（2023·江苏南通·统考中考真题）若实数x，y，m满足x+ y+m=6，3x−y+m=4，则代数式
−2xy+1的值可以是（ ）
5 3
A．3 B． C．2 D．
2 2
【答案】D
【分析】联立方程组，解得¿，设w=−2xy+1，然后根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：依题意，¿，
解得：¿
设w=−2xy+1
5−m 7−m m2 33
∴w=−2× × +1= − +6m−
2 2 2 2
1
∵− <0
2
( 1) ( 33)
4× − × − −36
2 2 3
∴w有最大值，最大值为 =
( 1) 2
4× −
2
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式2-1】（2023·湖南永州·统考中考真题）关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值为
（ ）
A．3 B．−3 C．7 D．−7
【答案】A
【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】把x=1代入2x+m=5再进行求解即可．
【详解】解：把x=1代入2x+m=5得：2+m=5，
解得：m=3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左
右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤．
【变式2-2】（2023·海南·统考中考真题）若代数式x+2的值为7，则x等于（ ）
A．9 B．−9 C．5 D．−5
【答案】C
【分析】根据题意得出x+2=7，然后解方程即可．
【详解】解：∵代数式x+2的值为7，
∴x+2=7，
解得：x=5，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得出x+2=7．
【变式2-3】（2023·湖南常德·统考中考真题）解方程组：¿
【答案】¿
【分析】方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】解：将①×2得：2x−4 y=2③
②+③得：x=5
将x=5代入①得：y=2
所以¿是原方程组的解．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法
消去一个未知数．
【题型3 一元一次方程的应用】
【规律方法】利用一元一次方程解应用题的关键是找准等量关系，而等量关系往往隐藏在含有关键词的语
句中，列方程时应注意以下内容：
（1）设未知数时，单位要写清楚；
（2）列方程时，方程两边所表示的量应该相同，并且各项的单位要一致；
（3）对于求得的解，还要检验其是否符合实际意义。
【例3】（2023浙江杭州·校联考一模）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共
【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的
单价．
【答案】8元
【分析】设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔记本的单价是(x−3)元，根据买了一种大笔记
本4个和一种小笔记本6个，共用了62元，列方程求解．
【详解】解：设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔记本的单价是(x−3)元，
由题意可得4x+6(x−3)=62，
解得：x=8；
答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程解决问题．
【变式3-1】（2023·北京·统考中考真题）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空
白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6:4，左、右边
1
的宽相等，均为天头长与地头长的和的 ．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要
10
求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）
【答案】边的宽为4cm，天头长为24cm
2 1 ( 2 ) 1
【分析】设天头长为xcm，则地头长为 xcm，边的宽为 x+ x cm= xcm，再分别表示础装裱后
3 10 3 6
的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可．
【详解】解：设天头长为xcm，
2
由题意天头长与地头长的比是6:4，可知地头长为 xcm，
3
1 ( 2 ) 1
边的宽为 x+ x cm= xcm，
10 3 6
(2 ) (5 )
装裱后的长为 x+x+100 cm= x+100 cm，
3 3
【6 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1 1 ) (1 )
装裱后的宽为 x+ x+27 cm= x+27 cm，
6 6 3
5 (1 )
由题意可得： x+100= x+27 ×4
3 3
解得x=24，
1
∴ x=4，
6
答：边的宽为4cm，天头长为24cm．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，题中的数量关系较为复杂，需要合理设未知数，找准数量关系．
【变式3-2】（2023·浙江·统考中考真题）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，
干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12
两（古代中国1斤等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 斤．
96
【答案】
7
【分析】设原有生丝x斤，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设原有生丝x斤，依题意，
30 x
=
12 12
30−3
16
96
解得：x= ，
7
96
故答案为： ．
7
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程解题的关键．
【变式3-3】（2023·广西·统考中考真题）为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有
甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队
合作一天能完成800平方米的绿化改造面积．
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工
费用为400元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪
一种方案的施工费用最少？
【答案】（1）甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米；
（2）选择方案①完成施工费用最少
【7 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，根据甲队与乙队合作一天能完成800平方米
的绿化改造面积，列出方程，求解即可；
（2）利用施工费用=每天的施工费用×施工时间，即可求出选择各方案所需施工费用,再比较后即可得出结
论．
【详解】解：（1）设乙队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲队每天能完成绿化的面积是（x+200）
米，
依题意得：x+x+200=800
解得：x=300，
x+200=500
∴甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米．
12000
（2）选择方案①甲队单独完成所需费用=600× =14400（元）；
500
12000
选择方案②乙队单独完成所需费用=400× =16000（元）；
300
12000
选择方案③甲、乙两队全程合作完成所需费用=(400+600)× =15000（元）；
800
∴选择方案①完成施工费用最少．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出方程；（2）利
用总费用=每天支出的费用×工作时间，分别求出选择各方案所需费用．
【题型4 二元一次方程组的应用之和差倍分问题】
【例4】（2023·吉林·中考真题）被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧
道累计长度与桥梁累计长度之和为342km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km．求隧道累计长度
与桥梁累计长度．
【答案】隧道累计长度为126千米，桥梁累计长度为216千米．
【分析】设隧道累计长度为xkm，桥梁累计长度为yk，根据隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km，
隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设隧道累计长度为xkm，桥梁累计长度为ykm，
根据题意得：¿，
解得：¿．
答：隧道累计长度为126km，桥梁累计长度为216km．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式4-1】（2023·湖南·统考中考真题）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则
【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
女生有 名．
【答案】23
【分析】关系式为：男生人数+女生人数=52，男生人数=2×女生人数-17．把相关数值代入即可求解．
【详解】设男生人数为x人，女生人数为y人．由此可得方程组
x+ y＝52
{ ．
x＝2y−17
x=29
解得，{
y=23
所以，男生有29人，女生有23人，
故答案为：23．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象二元一次方程组的知识，解答本题的关键是仔细审题得到等量关系，
根据等量关系建立方程．
【变式4-2】（2023·湖北·统考中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有
大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知
5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．
1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？请解答．
13 7
【答案】1个大桶可以盛酒 斛，1个小桶可以盛酒 斛．
24 24
【分析】直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，分别得出等
式组成方程组求出答案．
【详解】解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，
则¿，
解得：¿，
13 7
答：1个大桶可以盛酒 斛，1个小桶可以盛酒 斛．
24 24
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．
【变式4-3】（2023·吉林·统考中考真题）问题解决
糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹
签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂
有多少个？
【9 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
反思归纳
现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是________（填写
序号）．
⑴bc+d=a；⑵ac+d=b；⑶ac−d=b．
【答案】问题解决:竹签有20根，山楂有104个；反思归纳:（2）
【分析】问题解：决设竹签有x根，山楂有y个，由题意得出方程组：¿，解方程组即可；
反思归纳： 由每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，得出ac+d=b即可．
【详解】解：问题解决
解法一：
设竹签有x根，山楂有y个，
根据题意，得¿
解得¿
答：竹签有20根，山楂有104个．
解法二
设竹签有x根，
根据题意，得5x+4=8(x−7)，
解得x=20，
5x+4=5×20+4=104，
答：竹签有20根，山楂有104个．
反思归纳
∵每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，
则ac+d=b，
故答案为（2）．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关
键．
【题型5 二元一次方程组的应用之销售问题】
【例5】（2023·湖北襄阳·统考中考真题）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，
市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产
【10淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的
数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：
数量（支）
次数 总成本（元）
海鲜串 肉串
第一
3000 4000 17000
次
第二
4000 3000 18000
次
针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支
的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．
(1)求m、n的值；
(2)五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．
在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并
写出自变量x的取值范围；
(3)在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串
降价a（0<a<1）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值．
【答案】(1)m的值为3，n的值为2
(2)y=¿
(3)0.5
【分析】（1）根据表格数据列出方程组，解方程组即可求出m、n的值；
（2）分两种情况讨论，根据题意，结合“总利润=每支利润×数量”分别列出代数式即可求出y与x的函数
关系式，注意写出自变量x的取值范围；
（3）设降价后获得肉串的总利润为z元，令W =z−y，先根据题意列出z关于x的关系式，再写出W关于x
的关系式，根据函数增减性和题中数量关系即可求出结果．
【详解】（1）解：根据表格可得：¿，
解得：¿，
∴m的值为3，n的值为2；
（2）当0<x≤200时，店主获得海鲜串的总利润y=(5−3)x=2x；
当200<x≤400时，店主获得海鲜串的总利润y=(5−3)×200+(5×0.8−3)(x−200)=x+200；
∴y=¿；
【11淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（3）设降价后获得肉串的总利润为z元，令W =z−y，
∵200<x≤400，
∴z=(3.5−a−2)(1000−x)=(a−1.5)x+1500−1000a，
∴W =z−y=(a−2.5)x+1300−1000a，
∵0<a<1，
∴a−2.5<0，
∴W随x的增大而减小，
当x=400时，W的值最小，
由题意可得：z≥ y，
∴W≥0，
即(a−2.5)×400+1300−1000a≥0，
解得：a≤0.5，
∴a的最大值是0.5．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质和应用以及二元一次方程组的应用是解
决问题的关键．
【变式5-1】（2023·湖南湘西·统考中考真题）2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经
济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成
为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，
共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元销售一台A种品牌小电器获
利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元．
(1)求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？
(2)甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种
品牌小电器数量的取值范围．
(3)在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲
合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)A、B型品牌小电器每台进价分别为15元、20元
(2)30≤a≤50
(3)A型30台，B型120台，最大利润是570元．
【分析】（1）列方程组即可求出两种风扇的进价，
（2）列一元一次不等式组求出取值范围即可，
【12淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（3）再求出利润和自变量之间的函数关系式，根据函数的增减性确定当自变量为何值时，利润最大，由
关系式求出最大利润．
【详解】（1）设A、B型品牌小电器每台的进价分别为x元、y元，根据题意得：
¿，解得：¿，
答：A、B型品牌小电器每台进价分别为15元、20元．
（2）设购进A型品牌小电器a台
由题意得：¿，
解得30≤a≤50，
答：购进A种品牌小电器数量的取值范围30≤a≤50．
（3）设获利为w元，由题意得：w=3a+4(150−a)=−a+600，
∵所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元
∴−a+600≥565
解得：a≤35
∴30≤a≤35
∵w随a的增大而减小，
∴当a=30台时获利最大，w最大=−30+600=570元，
答：A型30台，B型120台，最大利润是570元．
【点睛】考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组解法和应用以及一次函数的图象和性质等知识，
搞清这些知识之间的相互联系是解决问题的前提和必要条件．
【变式5-2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产A，B两种不同
款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相同，每套B款服装所用布料的米数相同，若1套A款服装和2
套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米．
(1)求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米；
(2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服
装？
【答案】(1)每套A款服装用布料1.8米，每套B款服装需用布料1.6米
(2)服装厂需要生产60套B款服装
【分析】（1）每套A款服装用布料a米，每套B款服装需用布料b米，根据题意列出二元一次方程组，解方
程组即可求解；
（2）设服装厂需要生产x套B款服装，则生产(100−x)套A款服装，根据题意列出一元一次不等式，解不
【13淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
等式即可求解．
【详解】（1）解：每套A款服装用布料a米，每套B款服装需用布料b米，根据题意得，
¿，
解得：¿，
答：每套A款服装用布料1.8米，每套B款服装需用布料1.6米；
（2）设服装厂需要生产x套B款服装，则生产(100−x)套A款服装，根据题意得，
1.8(100−x)+1.6x≤168，
解得：x≥60，
∵x为正整数，
∴x的最小值为60，
答：服装厂需要生产60套B款服装．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式以及方程组是
解题的关键．
【变式5-3】（2023·四川内江·统考中考真题）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超
市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：
水果种类 进价（元千克） 售价（元）千克）
甲 a 20
乙 b 23
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要
470元．
(1)求a，b的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大
于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售完
这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价3m元，
利润
乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（利润率= ）不低于16%，求m的最大值．
本金
【答案】(1)¿
(2)y=¿
(3)1.2
【14淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为(100−x)千克，根据题意分
两种情况：30≤x≤60和60≤x≤80，然后分别表示出总利润即可；
利润
（3）首先根据题意求出y的最大值，然后根据保证利润率（利润率= ）不低于16%列出不等式求
本金
解即可．
【详解】（1）由题意列方程组为：¿，
解得¿；
（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为(100−x)千克，
∴当30≤x≤60时，
y=(20−14)x+(23−19)(100−x)=2x+400；
当60<x≤80时，
y=(20−14)×60+(20−3−14)(x−60)+(23−19)(100−x)=−x+580；
综上所述，y=¿；
（3）当30≤x≤60时，y=2x+400，
∴当x=60时，y取最大值，此时y=2×60+400=520（元），
当60<x≤80时，y=−x+580，
∴y<−60+580=520（元），
∴由上可得：当x=60时，y取最大值520（元），
520−3m×60−40m
∴由题意可得， ≥16%，
60×14+40×19
∴解得m≤1.2．
∴m的最大值为1.2．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是正
确分析题目中的等量关系．
【题型6 中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一次方程（组）】
【规律方法】本题以“阅读+任务”的形式，通过阅读解一次方程（组）的过程，寻找错误，要养成善于
总结，勤于反思、敢于质疑的数学思维。
7x 4x−1
【例6】（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程 = +1时，第一步出现了错误：
3 6
解：2×7x=(4x−1)+1，
【15淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
……
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
(2)写出你的解答过程．
【答案】(1)见解析；
1
(2)x= .
2
【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求
出解
（1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断；
（2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解．
【详解】（1）
7x 4x−1
（2）解： = +1，
3 6
去分母，得，2×7x=4x−1+6，
移项，得：14x−4x=−1+6，
合并同类页，得：10x=5，
1
解得：x= ．
2
x−3 y=5①
【变式6-1】（2023·浙江·统考中考真题）用消元法解方程组{ 时，两位同学的解法如下：
4x−3 y=2②
解法一： 解法二：由②，得3x+(x−3 y)=2，③
由①-②，得3x=3． 把①代入③，得3x+5=2．
（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误?若有误，请在错误处打“×”．
（2）请选择一种你喜欢的方法,完成解答．
x=−1
【答案】（1）解法一中的计算有误；（2）原方程组的解是{
y=−2
【分析】利用加减消元法或代入消元法求解即可．
【详解】（1）解法一中的计算有误（标记略）；
（2）由①-②，得：−3x=3，解得：x=−1，
【16淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
把x=−1代入①，得：−1−3 y=5，
解得：y=−2，
x=−1
所以原方程组的解是{ ．
y=−2
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
x+1 x−3
【变式6-2】（2023·浙江·统考中考真题）以下是圆圆解方程 − ＝1的解答过程．
2 3
解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．
去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【答案】圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程见解析
【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案．
【详解】解：圆圆的解答过程有错误，
正确的解答过程如下：
3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．
去括号，得3x+3﹣2x+6＝6．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
【点睛】此题主要考查一元一次方程的求解，解题的关键是熟知一元一次方程的求解方法．
【变式6-3】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）下面是小彬同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并
完成相应的任务．
¿解方程组：
解：①×3，得3x−6 y=3．③…第一步
②−③，得−5 y=−5．…第二步
y=1．…第三步
y=1代入①，得x=3．…第四步
所以，原方程组的解为¿．…第五步
填空：
①以上求解步骤中，第一步的依据是 ；
②第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是 （填
序号）；
A．数形结合 B．类比思想 C．转化思想 D．分类讨论
【17淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
③小彬同学的解题过程从第 步开始出现错误，直接写出该方程组的正确解： ．
【答案】①等式的性质2
②C
③二；¿
【分析】①根据等式的性质进行计算即可；
②将“二元”转化为“一元”，进而得到解决；
③利用二元一次方程组的解法求解即可．
【详解】解：①把x−2y=1的两边都乘以3得3x−6 y=3，根据是等式的性质2，
故答案为：等式的性质2；
②第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是转化思想，
故答案为：C；
③小彬同学的解题过程从第二步开始出现错误，正确的解答如下：
解：①×3，得3x−6 y=3③，
②−③，得7 y=−5，
5
y=− ，
7
5 3
y=− 代入①，得x=− ，
7 7
所以，原方程组的解为¿，
故答案为：二，¿．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的解法是正确解答的
前提．
【题型7 中考最热考法之以跨学科背景考查一元一次方程的实际应用】
【规律方法】本题以物理学科为背景考查一元一次方程的实际问题，形成问题意识，并能结合现实素材，
理解物理知识，在解决本题的同时感受数学和实际生活的联系，体会数学的应用价值。
【例7】（2023·四川南充·统考中考真题）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和
0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省 N的力．（杠杆原理：阻力×阻力
臂＝动力×动力臂）
【答案】100
【分析】设动力为xN，根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂，分别解得动力臂在1.5m和2m时的动力，即可
解答．
【详解】解：设动力为xN，
【18淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂，
当动力臂在1.5m时，可得方程1000×0.6=1.5x ，解得x =400，
1 1
当动力臂在2m时，可得方程1000×0.6=2x ，解得x =300，
2 2
400N−300N=100N，故节省100N的力，
故答案为：100．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题目中给出的等量关系，正确列方程是解题的关键．
【变式7-1】（2023·山西大同·大同一中校联考模拟预测）由于王亮在实验室做实验时，没有找到天平称取
实验所需药品的质量，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力
臂）．如图1，当天平左盘放置质量为60克的物品时，右盘中放置20克砝码天平平衡；如图2，将待称量
药品放在右盘后，左盘放置12克砝码，才可使天平再次平衡，则该药品质量是（ ）
A．6克 B．4克 C．3.5克 D．3克
【答案】B
动力 阻力臂
【分析】根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，得 = ，设该药品质量是x克，据此由题意可列
阻力 动力臂
20 x
方程为 = ，求解即可．
60 12
【详解】解：设该药品质量是x克，由题意，得
20 x
= ，
60 12
解得：x=4，
答：该药品质量是4克．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【变式7-2】（2023·浙江杭州·校联考一模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若两物体与支点
的距离与其重量成反比，则杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，通俗地说，杠杆原理为：阻力
×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍挑动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，动力臂
【19淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
为1.5m，则搅动这块大石头至少需要的动力是（ ）
A．360N B．400N C．450N D．600N
【答案】B
【分析】设动这块大石头需要的动力是xN，根据杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，列出方程即可求
得最少的动力．
【详解】解：设动这块大石头需要的动力是xN，
由题意得：1.5x=0.5×1200，
解得：x=400，
即搅动这块大石头至少需要的动力是400N；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是关键．
【变式7-3】（2023·浙江·统考二模）综合与实践
问题提出：数学实践活动课上，老师提出了一个问题：请你借助一架天平和若干个10克的砝码测量出一个
牙杯和一个牙刷的重量．
实验探究：准备若干个相同的牙杯和若干个相同的牙刷（每个牙杯的重量相同，每个牙刷的重量也相同），
设一个牙杯的重量为x克，经过实验，小明将信息记录在下表：
天平状 牙杯的总重 牙刷的总重
记录 天平左边 天平右边
态 量 量
记录 4个牙杯，2个10克的砝
20个牙刷 平衡 4x _________
1 码
记录 14个牙刷和1个10克的砝
3个牙杯 平衡 3x _________
2 码
【20淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解决问题：（1）用含x的代数式表示出表中的两空（即牙刷的总重量）．
（2）根据表中的数据利用一元一次方程的知识求出一个牙杯的重量和一个牙刷的重量．
设计方案：（3）根据（2）中的结论，若将天平左边放置5只牙杯，则天平右边需放置_________个牙刷和
5个10克的砝码可使天平平衡．
【答案】（1）4x+20；3x−10；（2）一个牙杯的重量为120克，一个牙刷的重量为25克；（3）22
【分析】（1）根据天平左右两边的重量相等，列出代数式即可；
4x+20 3x−10
（2）根据记录1和记录2可得出一个牙刷的重量为 克或 克，列出方程，求解即可得到答
20 14
案；
（3）设右边需要放y只牙刷，根据题意得5×120=25 y+5×10，解方程即可得到答案．
【详解】解：解：（1）根据题意得：
记录1的牙刷的总重量为：4x+20，
记录2的牙刷的总重量为：3x−10，
故答案为：4x+20；3x−10；
4x+20 3x−10
（2）根据题意得：一个牙刷的重量为 克或 克，
20 14
4x+20 3x−10
∴可列出方程为 = ，
20 14
解得：x=120克，
4x+20 4×120+20
∴一个牙刷的重量为 = =25．
20 20
答：一个牙杯的重量为120克，一个牙刷的重量为25克；
（3）设右边需要放y只牙刷，
根据题意得：5×120=25 y+5×10，
解得：y=22
故答案为：22．
【点睛】本题主要考查了列代数式、一元一次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元一次
方程是解题的关键．
【题型8 中考最热考法之以真实问题情境为背景考查二元一次方程组的实际应用】
【例8】（2023·四川成都·统考中考真题）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都
举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千
克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．
【21淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求A，B两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B
两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
【答案】(1)A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元
(2)A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元
【分析】（1）设A种食材的单价为a元，B种食材的单价为b元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组
即可求解；
（2）设A种食材购买x千克，则B种食材购买(36−x)千克，根据题意列出不等式，得出x≤24，进而设总
费用为y元，根据题意，y=38x+30(36−x)=8x+1080，根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设A种食材的单价为a元，B种食材的单价为b元，根据题意得，
¿，
解得：¿，
答：A种食材的单价为38元，B种食材的单价为30元；
（2）解：设A种食材购买x千克，则B种食材购买(36−x)千克，根据题意，
x≥2(36−x)
解得：x≥24，
设总费用为y元，根据题意，y=38x+30(36−x)=8x+1080
∵8>0，y随x的增大而增大，
∴当x=24时，y最小，
∴最少总费用为8×24+1080=1272（元）
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方
程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键．
【变式8-1】（2023·湖南娄底·校考一模）娄底吾悦广场将于2023年底投入使用，计划在广场内种植A、B
两种花木共340棵，若A花木数量是B花木数量的2倍多10棵．
(1)A、B两种花木的数量分别是多少棵？
(2)如果A花木的单价是每棵30元，B花木的单价是每20元，为节约资金园林处计划种植花木的费用不超过
9000元，那么种植A花木最多多少棵？
【答案】(1)A花木的数量是230棵，B花木的数量是110棵
(2)最多220棵
【22淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）设在广场内种植A花木的数量是x棵，B花木的数量是y棵，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设种植A花木m棵，则种植B花木(340−m)棵，根据题意列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设在广场内种植A花木的数量是x棵，B花木的数量是y棵，
根据题意得：¿，
解得：¿．
答：在广场内种植A花木的数量是230棵，B花木的数量是110棵；
（2）设种植A花木m棵，则种植B花木(340−m)棵，
根据题意得：30m+20(340−m)≤9000，
解得：m≤220，
∴m的最大值为220．
答：种植A花木最多220棵．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组及不等式的应用，理解题意是解题关键．
【变式8-2】（2023·海南·统考中考真题）2023年5月10日，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载
火箭，在我国文昌航天发射场点火发射成功．为了普及航空航天科普知识，某校组织学生去文昌卫星发射
中心参观学习．已知该校租用甲、乙两种不同型号的客车共15辆，租用1辆甲型客车需600元，1辆乙型
客车需500元，租车费共8000元．问甲、乙两种型号客车各租多少辆？
【答案】甲型号客车租5辆，乙型号客车租10辆
【分析】设甲型号客车租x辆，乙型号客车租y辆，根据题意列二元一次方程组求解，即可得到答案．
【详解】解：设甲型号客车租x辆，乙型号客车租y辆，
由题意得：¿，
解得：¿，
答：甲型号客车租5辆，乙型号客车租10辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题关键．
【变式8-3】（2023·山西运城·校联考模拟预测）2023山西非遗购物节太原古县城主会场通过街区和大院两
大消费场景，丰富省内外游客体验，促进山西非遗消费，为回馈游客朋友们，太原古县城推出五一系列特
惠，已知活动前购买城墙门票5张和县衙门票6张共需280元，其中城墙门票每张的价格比县衙门票每张的
价格少10元．
【23淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)分别求出活动前城墙门票、县衙门票每张的价格；
(2)活动期间，城墙门票每张的价格为9.9元，县衙门票每张的价格为16.8元，现某旅游团计划购买城墙门
票、县衙门票共30张，其中县衙门票的数量不少于城墙门票数量的2倍，则活动期间比活动前至少可节省
多少元钱？
【答案】(1)20元，30元
(2)365元
【分析】（1）设活动前城墙门票每张的价格为x元，县衙门票每张的价格为y元，根据活动前购买城墙门
票5张和县衙门票6张共需280元，其中城墙门票每张的价格比县衙门票每张的价格少10元列得方程组求解
即可；
（2）设某旅游团计划购买城墙门票m张，则县衙门票为(30−m)张，根据县衙门票的数量不少于城墙门票
数量的2倍列出不等式，求出不等式的解集即可确定出结果．
【详解】（1）设活动前城墙门票每张的价格为x元，县衙门票每张的价格为y元，依题意有：
¿，
¿．
故活动前城墙门票每张的价格为20元，县衙门票每张的价格为30元；
（2）设某旅游团计划购买城墙门票m张，则县衙门票为(30−m)张，依题意有：
30−m≥2m，
解得m≤10，
∵活动期间，城墙门票每张的价格为9.9元，县衙门票每张的价格为16.8元，
∴活动期间，城墙门票每张的价格节省10.1元，县衙门票每张的价格节省13.2元，
【24淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴多购买县衙门票，
∴m=10时，活动期间比活动前有至少可节省的钱数，
10×10.1+(30−10)×13.2
=101+20×13.2
=101+264
=365（元）．
故活动期间比活动前至少可节省365元钱．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，以及二元一次方程组的应用，弄清题意是解本题的关键．
【25淘宝店铺：向阳百分百】
