文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
重难点突破 02 含参类方程与不等式问题
目 录
题型01 根据分式方程解的情况求字母的值或取值范围
题型02 整式方程（组）与一元一次不等式组结合求参数的问题
题型03 同解方程组
题型04 根据二元一次方程组解满足的情况求参数
题型05 二元一次方程组整数解问题
题型06 利用相反数求二元一次方程组参数
题型07 已知方程的解求参数
题型08 根据一元二次方程根的情况求参数
题型09 根据一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围
题型10 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围
题型11 整式方程（组）与一元一次不等式结合求参数的问题
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型 01 根据分式方程解的情况求字母的值或取值范围
m 1
1．（2023·山东淄博·中考真题）已知x=1是方程 − =3的解，那么实数m的值为（ ）
2−x x−2
A．−2 B．2 C．−4 D．4
【答案】B
【分析】
将x=1代入方程，即可求解．
m 1
【详解】解：将x=1代入方程，得 − =3
2−1 1−2
解得：m=2
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将x=1代入原方程中得到关于m的方程．
a 3
2．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程 =1− 的解为负数，则a的取值范围是（ ）
x+2 x+2
A．a<−1且a≠−2 B．a<0且a≠−2
C．a<−2且a≠−3 D．a<−1且a≠−3
【答案】D
【分析】
直接解分式方程，进而得出a的取值范围，注意分母不能为零．
【详解】
解：去分母得：a=x+2−3，
解得：x=a+1，
a 3
∵分式方程 =1− 的解是负数，
x+2 x+2
∴a+1<0，x+2≠0，即a+1+2≠0，
解得：a<−1且a≠−3，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题关键．
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
x 3m
3．（2023·山东日照·中考真题）若关于x的方程 −2= 解为正数，则m的取值范围是（ ）
x−1 2x−2
2 4 2 4 2
A．m>− B．m< C．m>− 且m≠0 D．m< 且m≠
3 3 3 3 3
【答案】D
【分析】
4−3m 4−3m
将分式方程化为整式方程解得x= ，根据方程的解是正数，可得 >0，即可求出m的取值范
2 2
围．
x 3m
【详解】解： −2=
x−1 2x−2
2x−2×2(x−1)=3m
2x−4x+4=3m
−2x=3m−4
4−3m
x=
2
x 3m
∵方程 −2= 的解为正数，且分母不等于0
x−1 2x−2
4−3m 4−3m
∴ >0，x= ≠1
2 2
4 2
∴m< ，且m≠
3 3
故选：D．
【点睛】此题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解不等式，将方程化为整式方程求出
整式方程的解，列出不等式是解答此类问题的关键．
x+m 1
4．（2023·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程 + =3有增根，则m= ．
x−2 2−x
【答案】−1
【分析】
等式两边同时乘以公因式(x−2)，化简分式方程，然后根据方程有增根，求出x的值，即可求出m．
x+m 1
【详解】 + =3，
x−2 2−x
解：方程两边同时乘以(x−2)，得x+m+(−1)=3(x−2)，
∴m=2x−5，
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵原方程有增根，
∴x−2=0，
∴x=2，
∴m=2x−5=−1，
故答案为：−1．
【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根．
2 m
5．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x的分式方程 = 有正整数解，则整数m的值是（ ）
x−1 x
A．3 B．5 C．3或5 D．3或4
【答案】D
m 2
【分析】解带参数m的分式方程，得到x= =1+ ，即可求得整数m的值．
m−2 m−2
2 m
【详解】解： = ，
x−1 x
两边同时乘以x(x−1)得：2x=m(x−1)，
去括号得：2x=mx−m，
移项得：2x−mx=−m，
合并同类项得：(2−m)x=−m，
m 2
系数化为1得：x= =1+ ，
m−2 m−2
若m为整数，且分式方程有正整数解，则m=3或m=4，
当m=3时，x=3是原分式方程的解；
当m=4时，x=2是原分式方程的解；
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为0这个条件．
题型 02 整式方程（组）与一元一次不等式组结合求参数的问题
6．（2020·重庆·中考真题）若关于x的一元一次不等式结¿的解集为x≤a；且关于y的分式方程
y−a 3 y−4
+ =1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
y−2 y−2
A．7 B．－14 C．28 D．－56
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】A
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方
程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可．
3x−1
【详解】解：解不等式 ≤x+3，解得x≤7，
2
∴不等式组整理的¿，
由解集为x≤a，得到a≤7，
分式方程去分母得：y−a＋3y−4＝y−2，即3y−2＝a，
a+2
解得：y＝ ，
3
由y为正整数解且y≠2，得到a＝1，7，
1×7＝7，
故选：A．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（2023·重庆·中考真题）若关于x的一元一次不等式组¿，至少有2个整数解，且关于y的分式方程
a−1 4
+ =2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
y−2 2−y
【答案】4
a−1
【分析】先解不等式组，确定a的取值范围a≤6，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得y= ，
2
由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案．
【详解】解：¿
解不等式①得：x≤5，
a
解不等式②得：x≥1+ ，
2
a
∴不等式的解集为1+ ≤x≤5，
2
∵不等式组至少有2个整数解，
a
∴1+ ≤4，
2
解得：a≤6；
a−1 4
∵关于y的分式方程 + =2有非负整数解，
y−2 2−y
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴a−1−4=2(y−2)
a−1
解得：y= ，
2
a−1 a−1
即 ≥0且 ≠2，
2 2
解得：a≥1且a≠5
∴a的取值范围是1≤a≤6，且a≠5
∴a可以取：1，3，
∴1+3=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．
8．（2024·重庆·模拟预测）已知关于x的一元一次不等式组¿有解且最多5个整数解，且关于y的分式方程
y+a 4
−3= 的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为 ．
y−3 3−y
【答案】−20
【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解
一元一次不等式组以及解分式方程是解本题的关键．
首先求出不等式组的解集为77
解②得，x<2−a
∵关于x的一元一次不等式组¿有解且最多5个整数解，
∴7<2−a≤13
解得−11≤a<−5
y+a 4
−3=
y−3 3−y
去分母得，y+a−3 y+9=−4
a+13
解得y=
2
y+a 4
∵关于y的分式方程 −3= 的解为正整数，
y−3 3−y
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
a+13 a+13
∴y= 是正整数，且y= ≠3，即a≠−7
2 2
∴a=−11或−9，
∴−11+(−9)=−20．
∴满足条件的所有整数a的和为−20．
故答案为：−20．
x+2 ax
9．（2024·重庆开州·二模）若关于x的方程 + =−2有正整数解，且关于y的不等式组¿至少有两
2−x x−2
个整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了解分式方程和分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本
题的关键．
由分式方程有正整数解，确定出满足条件a的值，将不等式组整理后，由不等式组至少有两个整数解确定
出a的范围，综合求解即可．
x+2 ax
【详解】解： + =−2
2−x x−2
去分母得：−x−2+ax=−2(x−2)，
去括号得：−x−2+ax=−2x+4，
移项，合并同类项得：(a+1)x=6，
6
∴x= ．
a+1
∵分式方程有可能产生增根2，
6
∴ ≠2，
a+1
∴a≠2．
x+2 ax
∵关于x的分式方程 + =−2有正整数解，
2−x x−2
∴a=0，1，5，
¿，
解①得：y<5，
解②得：y≥2a−1，
∴不等式组的解集为：2a−1≤ y<5，
∵关于y的不等式组¿至少有两个整数解，
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴2a−1≤3，
∴a≤2．
综上，整数a=1，0．
∴满足条件的整数a的和为1+0=1．
故答案为：1．
ax−12 x
10．（2024·四川成都·模拟预测）若整数a使得关于x的分式方程 +3= 有整数解，且使得二次
2−x x−2
函数y=(a−2)x2+2(a−1)x+a+1的值恒为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】15
【分析】
本题考查了二次函数与x轴的交点问题，解不等式组及分式方程，正确理解二次函数的值恒为非负数的性
6
质是解题关键．根据二次函数的性质，得到一元一次不等式组，求得a≥3，再解分式方程，得到x= ，
a−2
再根据a、x均为整数，找出满足条件的a的值，求和即可．
【详解】解：∵二次函数y=(a−2)x2+2(a−1)x+a+1的值恒为非负数，
∴¿，
解得：a≥3，
ax−12 x 6
解分式方程 +3= 得：x= ,
2−x x−2 a−2
∵x≠2,
∴a≠5,
∵a、x均为整数，
∴a=3时，x=6；a=4时，x=3；a=8时，a=1；
∴所有满足条件的整数a的值之和是3+4+8=15，
故答案为：15．
题型 03 同解方程组
11．（2020·广东·中考真题）已知关于x，y的方程组¿与¿的解相同．
（1）求a，b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为2√6，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解．试判断该三
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）−4√3；12 （2）等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）关于x，y的方程组¿与¿的解相同．实际就是方程组
¿的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值；
（2）将a、b的值代入关于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与2√6为边长，
判断三角形的形状．
【详解】解：由题意列方程组：
¿解得¿
将x=3，y=1分别代入ax+2√3 y=−10√3和x+by=15
解得a=−4√3，b=12
∴a=−4√3，b=12
（2）x2−4√3x+12=0
4√3±√48−48
解得x= =2√3
2
这个三角形是等腰直角三角形
理由如下：∵(2√3)
2+(2√3) 2=(2√6) 2
∴该三角形是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解
法和勾股定理是得出正确答案的关键．
12．（2021·广东·二模）解关于x、y的方程组时，小明发现方程组¿的解和方程组¿的解相同．
(1)求方程组的解；
(2)求关于t的方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0的解．
【答案】(1)¿
2 2
(2)t＝ 或
3 9
【分析】（1 ）根据二元一次方程组的解相同，可得新方程组，根据解方程组，可得x、y的值；
（2 ）根据方程组的解满足方程，把方程组的解代入，可得关于a、b的二元一次方程组，根据解方程组，
可得a、b的值；然后利用换元法解该方程．
【详解】（1）由方程组¿的解和方程组¿的解相同知，
¿．
由①×3+②，得5x＝15．则x＝3．
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
将x＝3代入①，得3﹣y＝8，则y＝﹣5．
∴方程组的解为：¿；
（2）把¿分别代入ax+by＝2和5x+2y＝b可得方程组¿，
解得：¿，
设at﹣b＝n，则方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0可变为n2+2n﹣3＝0，
∴（n+3）（n﹣1）＝0，
∴n＝﹣3或1，
∴at﹣b＝﹣3或1，
把¿代入得：9t﹣5＝﹣3或1，
2 2
解得：t＝ 或 ；
3 9
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的解法，理解方程组解相同的含义是解决问题的关键．
题型 04 根据二元一次方程组解满足的情况求参数
13．（2023·四川眉山·中考真题）已知关于x,y的二元一次方程组¿的解满足x−y=4，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】将方程组的两个方程相减，可得到x−y=m+3，代入x−y=4，即可解答．
【详解】解：¿，
①−②得2x−2y=2m+6，
∴x−y=m+3，
代入x−y=4，可得m+3=4，
解得m=1，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．
14．（2022·山东聊城·中考真题）关于x，y的方程组¿的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（ ）
A．k≥8 B．k>8 C．k≤8 D．k<8
【答案】A
【分析】由两式相减，得到x+ y=k−3，再根据x 与 y 的和不小于5列出不等式即可求解．
【详解】解：把两个方程相减，可得x+ y=k−3，
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
根据题意得：k−3≥5，
解得：k≥8．
所以k的取值范围是k≥8．
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键．
15．（2023·四川泸州·中考真题）关于x，y的二元一次方程组¿的解满足x+ y>2√2，写出a的一个整数值
．
【答案】7（答案不唯一）
【分析】先解关于x、y的二元一次方程组的解集，再将x+ y>2√2代入，然后解关于a的不等式的解集即
可得出答案．
【详解】将两个方程相减得x+ y=a−3，
∵x+ y>2√2，
∴a−3>2√2，
∴a>3+2√2，
∵4<8<9，
∴2<2√2<3，
∴5<2√2+3<6，
∴a的一个整数值可以是7．
故答案为：7（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，整体代入的思想方法是解答本题的亮点．
16．（2024·浙江宁波·模拟预测）若关于x，y的方程组¿的解满足x−y≤5，则k的取值范围是 ．
【答案】k≤3
【分析】
本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的解法，把方程组的解求出，即用 k表示出x、y，代入不
等式x−y≤5，转化为关于k的一元一次不等式，可求得k的取值范围．
【详解】解：¿
由①+②可得：3x=9k+3，
所以：x=3k+1③
把③代入②得：3k+1+ y=4k+3，
解得：y=k+2，
代入x−y≤5可得：3k+1−(k+2)≤5，
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得：k≤3，
故答案为：k≤3．
题型 05 二元一次方程组整数解问题
17．（2022·广东揭阳·模拟预测）如果关于x，y的方程组¿的解是整数，那么整数m的值为（ ）
A．4，−4，−5，13 B．4，−4，−5，−13
C．4，−4，5，13 D．−4，5，−5，13
【答案】B
【分析】先将m看作已知量，解二元一次方程组，用m表示出y，再结合x，y为整数，得出y的整数解，
然后把y的整数解代入①，得出x的解，再把方程组的整数解代入②，即可得出m的值．
【详解】解：¿，
34
由②×2−①×3，可得：y= ，
2m+9
∵x，y为整数，
∴当(2m+9)为−34，−17，−2，−1，34，17，2，1时，y为整数，
34
∴把(2m+9)的值代入y= ，可得：y=−1，y=−2，y=−17，y=−34，y=1，y=2，y=17，
2m+9
y=34，
3 45 9 57
∴把y的整数解代入①，可得：x= ，x=0，x=− ，x=−24，x= ，x=3，x= ，x=27，
4 4 4 4
∴方程组¿的整数解为¿，¿，¿，¿，
把方程组的整数解代入②，可得：m=−13，m=−5，m=4，m=−4．
故选：B
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，解本题的关键是用含m的代数式表示y．
18．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）关于x，y的二元一次方程组¿的解为整数，关于z的不等式组¿有
且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数k的和为（ ）
A．6 B．7 C．11 D．12
【答案】A
【分析】
本题考查了解含参数的二元一次方程组整数解，含参数的不等式组整数解问题；解出方程组，根据整数解
确定k的取值，解出不等式组，由整数解的个数确定k的取值范围，即可求解；能正确解出含参数的方程组
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
和不等式组，并确定k的取值范围是解题的关键．
【详解】解：解方程组¿得：
¿，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为整数，
∴k可取−1，1，2，4，5，7，
解关于z的不等式组得¿，
∵关于z的不等式组有且仅有2个整数解，
1+k
∴0≤ <1，
6
解得：−1≤k<5，
∴整数k为−1，1，2，4，
其和为−1+1+2+4=6，
故选：A．
19．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）已知关于x,y的二元一次方程组¿的解为整数，且关于z的方程
z−a z
− =1的解为非负数，求满足条件的所有整数a的和为（ ）
2 3
A．2 B．4 C．9 D．11
【答案】A
【分析】本题考查了已知二元一次方程组和一元一次方程的解，求解参数.正确求解方程或方程组是解题关
键．
【详解】解：¿
①+②×2得：(a+1)x=8，
8
解得：x=
a+1
8 1 8
将x= 代入②得： × −y=1，
a+1 2 a+1
4
解得：y= −1
a+1
∴原二元一次方程组的解为：¿
z−a z
解方程 − =1得：z=6+3a
2 3
z−a z
∵关于z的方程 − =1的解为非负数，
2 3
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴6+3a≥0，
∴a≥−2
∵关于x,y的二元一次方程组¿的解为整数，
∴a+1=±1,±2,±4
综上所述：a=0,−2,1,3
∴满足条件的所有整数a的和为：2
故选：A
题型 06 利用相反数求二元一次方程组参数
20．（2022·四川南充·二模）已知x、y满足方程组¿，且x与y互为相反数，则m的值为（ ）
A．m=−2 B．m=2 C．m=−3 D．m=3
【答案】A
【分析】根据题意可得x+y=0，由方程组的解法可得3x+3y=2m+4，代入计算即可．
【详解】解：¿，
①+②得，3x+3y=2m+4，
即3（x+y）=2m+4，
又∵x与y互为相反数，
∴x+y=0，
即2m+4=0，
解得m=-2，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法以及相反数的定义是正确解答的前提．
21．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知关于x，y的方程组¿则下列结论中正确的是（ ）
①当a=5时，方程组的解是¿；②当x，y的值互为相反数时，a=20；
③当2x ⋅2y=212时，a=14；④不存在一个实数a，使得x= y．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．②③
【答案】C
【分析】①把a=5代入方程组求出解，即可做出判断；
②根据题意得到x+y=0，代入方程组求出a的值，即可做出判断；
③根据题中方程组得到¿，再得到x+y=12，代入求出a的值，即可做出判断；
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
④假如x=y，得到a无解，本选项正确．
【详解】解：①把a=5代入方程组得：¿，
解得：¿，本选项错误；
②由x与y互为相反数，得到x+y=0，即y=-x，
代入方程组得：¿，
解得：a=20，本选项正确；
③方程组解得：¿，
由题意得：x+y=12，
把¿ 代入得：25-a+15-a =12，
解得：a=14，本选项正确；
④若x=y，则有¿，可得a=a-5，矛盾，
故不存在一个实数a使得x=y，本选项正确．
则正确的选项有②③④，
故选：C．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
22．（2021·内蒙古包头·二模）若满足方程组¿的x与y互为相反数，则m的值为（ ）
A．2 B．−2 C．11 D．−11
【答案】B
【分析】由x与y互为相反数，得到y=-x，代入方程组计算即可求出m的值．
【详解】解：由题意得：y=-x，
代入方程组得：¿，
消去x得：3m+3=m−1，
解得：m=-2，
故选：B．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
题型 07 已知方程的解求参数
23．（2023·湖南永州·中考真题）关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值为（ ）
A．3 B．−3 C．7 D．−7
【答案】A
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】把x=1代入2x+m=5再进行求解即可．
【详解】解：把x=1代入2x+m=5得：2+m=5，
解得：m=3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左
右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤．
24．（2021·浙江金华·中考真题）已知¿是方程3x+2y=10的一个解，则m的值是 ．
【答案】2
【分析】把解代入方程,得6+2m=10，转化为关于m的一元一次方程，求解即可．
【详解】∵¿是方程3x+2y=10的一个解，
∴6+2m=10，
解得m=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为一元一
次方程求解是解题的关键．
25．（2023·江苏镇江·中考真题）若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根，则m的值为
．
【答案】5
【分析】
：把x=1代入方程x2+mx−6=0 ，求出关于m的方程的解即可．
【详解】
把x=1代入方程x2+mx−6=0 ，
得1+m−6=0，
解得m=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
26．（2023·四川内江·中考真题）已知a、b是方程x2+3x−4=0的两根，则a2+4a+b−3= ．
【答案】−2
【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得a+b=−3,a2+3a−4=0，从而得到
a2+3a=4，然后代入，即可求解．
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】解：∵a，b是方程x2+3x−4=0的两根，
∴a+b=−3,a2+3a−4=0，
∴a2+3a=4，
∴a2+4a+b−3
=a2+3a+a+b−3
=4+(−3)−3
=−2．
故答案为：−2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义
和根与系数的关系是解题的关键．
题型 08 根据一元二次方程根的情况求参数
27．（2023·广东广州·中考真题）已知关于 x 的方程x2−(2k−2)x+k2−1=0有两个实数根，则
√(k−1) 2−(√2−k) 2 的化简结果是（ ）
A．−1 B．1 C．−1−2k D．2k−3
【答案】A
【分析】
首 先 根 据 关 于 x 的 方 程 x2−(2k−2)x+k2−1=0有 两 个 实 数 根 ， 得 判 别 式
△=[−(2k−2)] 2 −4×1×(k2−1)≥0，由此可得k≤1，据此可对√(k−1) 2−(√2−k) 2 进行化简．
【详解】解：∵关于x的方程x2−(2k−2)x+k2−1=0有两个实数根，
∴判别式△=[−(2k−2)] 2 −4×1×(k2−1)≥0，
整理得：−8k+8≥0，
∴k≤1，
∴k−1≤0，2−k>0，
∴√(k−1) 2−(√2−k) 2
=−(k−1)−(2−k)
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
=−1．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一
元二次方程根的判别式是解答此题的关键．
28．（2023·江苏连云港·中考真题）若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，则m
的取值范围是 ．
【答案】m<1
【分析】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．根据
方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=4−4m>0，
解得：m<1．
故答案为：m<1．
29．（2021·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程ax2+4x−2=0有实数根，则a的取值范围为
．
【答案】a≥−2且a≠0
【分析】
利用一元二次方程根的定义和判别式的意义得到a≠0且Δ=42−4a×(−2)≥0，然后求出两不等式的公共
部分即可．
【详解】解：根据题意得a≠0且Δ=42−4a×(−2)≥0，
解得a≥−2且a≠0．
故答案为∶ a≥−2且a≠0．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当
Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
30．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程x2+2x+3−k=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两个根为α，β，且k2=αβ+3k，求k的值．
【答案】(1)k>2
(2)k=3
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出b2−4ac>0，把字母和数代入求出k的取值
范围；
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
c
（2）根据两根之积为： ，把字母和数代入求出k的值．
a
【详解】（1）解：b2−4ac=22−4×1×(3−k)=−8+4k，
∵有两个不相等的实数，
∴−8+4k>0，
解得：k>2；
（2）∵方程的两个根为α，β，
c
∴αβ= =3−k，
a
∴k2=3−k+3k，
解得：k =3，k =−1（舍去）．
1 2
即：k=3．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x ，x 是方程ax2+bx+c=0的
1 2
b c
两根时，x +x =− ，x ⋅x = ．
1 2 a 1 2 a
题型 09 根据一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围
31．（2023·广东潮州·二模）如果关于x的不等式组¿的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整
数对(m,n)共有（ ）
A．42对 B．36对 C．30对 D．11对
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，先求出不等式组的解集，根据已知
得出关于m、n的不等式组，求出整数解即可，解此题的关键是求出m、n的值．
【详解】解：¿，
m
解不等式①得：x≥ ，
6
n
解不等式②得：x< ，
5
m n
∴不等式组的解集是 ≤x< ，
6 5
∵关关于x的不等式组¿的整数解仅为1，2，3，
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
m n
∴0< ≤1，3< ≤4，
6 5
∵m、n为整数，
∴m=1、2、3、4、5、6，n=16、17、18、19、20，
6×5=30，
所以适合这个不等式组的整数对(m,n)共有30对，
故选：C．
32．（2024·河南安阳·一模）已知不等式组¿，有四个整数解，则a的取值范围为 ．
【答案】9a−1，
由②得：x≤5，
∴不等式组的解集为：a−12+a，
解不等式②得：xa；
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵解集为−10成立，则实
x−2 2−x
数a的取值范围是 ．
【答案】a<−1
【分析】先解分式方程得x=1，再把x=1代入不等式计算即可．
x−3 3
【详解】 +1=
x−2 2−x
去分母得：x−3+x−2=−3
解得：x=1
经检验，x=1是分式方程的解
把x=1代入不等式(2−a)x−3>0得：
2−a−3>0
解得a<−1
22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故答案为：a<−1
【点睛】本题综合考查分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解题的关键是熟记相关运算法则．
3−a 1
38．（2023·四川泸州·一模）已知方程 −a= ，且关于x的不等式a≤x
