文档内容
第 1 节 一次方程(组)及其应用
回归教材·过基础
【知识体系】
【考点清单】
知识点1 方程的有关概念及等式的性质
{
含有未知数的① ❑叫作方程
1.方程的有关概念 使方程中等号两边相等的未知数的值,叫作方程的② ❑
求方程解的过程,叫作③ ❑
{ 如果a=b,那么a±c=④ ❑
如果a=b,那么ac=⑤ ❑
2.等式的性质
a
如果a=b,且c≠0,那么 =⑥ ❑
c
知识点2 一元一次方程及其解法
1.一元一次方程
只含有⑦ 未知数(元),未知数的次数都是⑧ ,等号两边都是⑨
定义
,这样的方程叫作一元一次方程
2.解一元一次方程的一般步骤
步骤 具体做法
去分母 若方程中未知数的系数为分数,则方程两边同乘分母的最小公倍数
若方程中有括号,则应先去括号,去括号的顺序为先去小括号,再去中括号,最
去括号
后去大括号
移项 将含未知数的项移到方程左边,常数项移到方程右边
合并同类
把方程化成ax=b(a≠0)的形式
项
系数化为1 方程两边同除以未知数的系数
知识点3 二元一次方程组的解法1.解二元一次方程组的基本思想——消元
{代入法:方程变形→代入消元→回带求解→检验
2.基本方法
加减法:方程变形→加减消元→回带求解→检验
知识点4 一次方程(组)的应用
1.列方程(组)解应用题的一般步骤:
(1)把握题意,搞清楚什么是条件,求什么;
{直接设未知数,就事论事,问什么设什么
(2)设未知数
间接设未知数
(3)找出能够包含未知数的等量关系(一般情况下设几个未知数,就找几个等量关系);
(4)列出方程(组);
(5)求出方程(组)的解;
(6)检验(看是否符合题意);
(7)写出答案(包括单位名称).
2.一次方程(组)实际应用的常见类型
(1)利润问题:售价=标价×折扣,销售额=售价×销量,利润=售价-进价,
利润率=利润/进价×100%.
(2)利息问题:利息=本金×利率×期数,本息=本金+利息.
(3)工程问题:工作量=工作效率×工作时间.
常见题型及关系式
(4)行程问题:路程=速度×时间.
①相遇问题:全路程=甲走的路程+乙走的路程.
②追及问题:a.同地不同时出发,前者走的路程=追者走的路程;
b.同时不同地出发,前者走的路程+两地间距离=追者走的路程
【基础演练】
1.下列等式变形不一定正确的是 ( )
A.若a=b,则a+c=b+c
B.若a=b,则3a=3b
C.若a=b,则a-x=b-x
a b
D.若a=b,则 =
m m
2.填空,使所得结果仍是等式:
(1)如果x-2=5,那么x=5+ ;
(2)如果3x=10-2x,那么3x 2x=10;(3)如果2x=7,那么x= ;
x−1
(4)如果 =3,那么x-1= .
2
x−2 5x−7
3.解方程:x- = -1.
4 6
{ x−2y=4,①
4.解方程组:
2x+ y−3=0.②
真题精粹·重变式
考向1 解一元一次方程 6年1考
1.(2022·福建)推理是数学的基本思维方式,若推理过程不严谨,则推理结果可能产生错误.例如,有
人声称可以证明“任意一个实数都等于0”,并证明如下:
设任意一个实数为x,令x=m,
等式两边都乘x,得x2=mx,①
等式两边都减m2,得x2-m2=mx-m2,②
等式两边分别分解因式,得(x+m)(x-m)=m(x-m),③
等式两边都除以x-m,得x+m=m,④
等式两边都减m,得x=0,⑤
故任意一个实数都等于0.
以上推理过程中,开始出现错误的那一步对应的序号是 .
热点训练
2.若代数式x+1的值为6,则x等于( )
A.5 B.-5 C.7 D.-7x−3 x−1
3.解方程: + =4.
2 3
核心方法
解一元一次方程时的“四注意”
1.去分母时,不要漏乘常数项;
2.去分母时,分子是多项式的要加括号;
3.括号前是负号,去括号时,要变号;
4.移项时要变号.
考向2 解二元一次方程组 6年1考
{x−y=5,
4.(2019·福建)解方程组:
2x+ y=4.
真题变式
变条件——融入去分母
{
x−y=5,
5.解方程组: 1
x+ y=4.
2
热点训练
{x+2y=4,
6.已知二元一次方程组 则x-y的值为 .
2x+ y=5,{x=1,
7.已知 是方程ax+by=3的解,则代数式2a+4b-5的值为 .
y=2
考向3 一次方程(组)的应用 6年2考
8.(2024·福建)今年我国国民经济开局良好,市场销售稳定增长,社会消费增长较快,第一季度社会消
费品零售总额120327亿元,比去年第一季度增长4.7%,求去年第一季度社会消费品零售总额.若将
去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿元,则符合题意的方程是( )
A.(1+4.7%)x=120327
B.(1-4.7%)x=120327
x
C. =120327
1+4.7%
x
D. =120327
1−4.7%
9.(2019·福建)《增删算法统宗》记载:“有个学生资性好,一部孟子三日了,每日增添一倍多,问君每
日读多少?”其大意如下:有个学生天资聪慧,三天读完一部《孟子》,每天阅读的字数是前一天的
两倍,问他每天各读多少个字?已知《孟子》一书共有34685个字,设他第一天读x个字,则下面所
列方程正确的是 ( )
A.x+2x+4x=34685
B.x+2x+3x=34685
C.x+2x+2x=34685
1 1
D.x+ x+ x=34685
2 4
热点训练
10.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索,索比竿子长
一托.折回索子却量竿,却比竿子短一托.”其大意:现有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿,绳索比竿
长5尺;如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺.设绳索长x尺,竿长y尺,则符合题意的方程
组是( )
{ x= y+5, {x= y−5,
A. 1 B. 1
x= y−5 x= y+5
2 2
{x= y+5, {x= y−5,
C. D.
2x= y−5 2x= y+5
核心突破·拓思维
考点 一次方程(组)的应用在“二元一次方程组”这一章的复习课上,王老师让同学们根据下列条件探索还能求出哪些
量:在我市“乡村建设”工作中,甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条335米长的公路,
甲队每天修建20米,乙队每天修建25米,一共用了15天完成.
{ x+ y=?,
(1)小红同学根据题意,列出了一个尚不完整的方程组
20x+25 y=∗,
请写出小红所列方程组中未知数x,y表示的意义:x表示 ,y表示 ;并写出该方程组中?
处的数应是 ,*处的数应是 .
(2)小芳同学的思路:设甲工程队一共修建了x米公路,乙工程队一共修建了y米公路.请你按照小
芳的思路列出方程组,并求出乙队修建的天数.
核心方法
一次方程(组)的应用注意事项
①在设未知数时,根据实际情况直接设未知数或间接设未知数,并且一定要记得未知数要带单
位.
②在解方程的过程中,要保证设的未知数、列的未知数、解的未知数相同.
③题目中常出现单位换算的陷阱,列方程时一定要统一单位.
④实际应用题最后一步一定要记得“答”.
我国古代数学著作《增删算法统宗》有题如下:“甲、乙二人沽酒,不知谁少谁多.乙钞
少半甲相和,二百无零堪可.乙得甲钱中半,亦然二百无那.英贤算得无讹,将甚法儿方可?”其大意:
1
“甲、乙二人买酒,不知谁买多买少.只知乙买酒的钱的 与甲买酒的钱之和恰好为200文.若乙得
3
到甲买酒钱的一半,也有200文.试问甲、乙买酒各用了多少钱,才智出众的人算得无误,就称为好
解法.”设甲买酒钱x文,乙买酒钱y文,则可列方程组为( )
1 1
{ x+ y=200, {x+ y=200,
A. 3 B. 3
1 1
x+ y=200 x+ y=200
2 21 1
{x=200− y, { x=200−y,
C. 3 D. 3
1 1
y=200−x y=x−200
2 2
我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:“今有鸡兔同笼,上有三十五
头,下有九十四足.问鸡兔各几何.”其大意:“有若干只鸡和兔关在同一笼子里,它们一共有35个
头,94条腿.问笼中的鸡和兔各有多少只?”试用列方程(组)解应用题的方法求出问题的解.
《九章算术》是我国古代的数学专著,几名学生想要凑钱购买1本.若每人出8元,则多
了3元;若每人出7元,则少了4元.问学生人数和该书单价各是多少?
某茶叶店经销安溪铁观音,第一次购进了A种茶30盒,B种茶20盒,共花费6000元;第
二次购进时,两种茶每盒的价格都提高了20%,该店又购进了A种茶20盒,B种茶15盒,共花费
5100元.分别求第一次购进的A,B两种茶每盒的价格.参考答案
回归教材·过基础
考点清单
b
①等式 ②解或根 ③解方程 ④b±c ⑤bc ⑥ ⑦一个 ⑧1 ⑨整式
c
基础演练
1.D
7
2.(1)2 (2)+ (3) (4)6
2
3.解析:去分母,得12x-3(x-2)=2(5x-7)-12,
去括号,得12x-3x+6=10x-14-12,
移项,得12x-3x-10x=-14-12-6,
合并同类项,得-x=-32,
系数化为1,得x=32.
4.解析:由①得x=2y+4,③
将③代入②得2(2y+4)+y-3=0,
解得y=-1.
把y=-1代入③得x=2×(-1)+4=2.
{ x=2, )
所以原方程组的解为
y=−1.
真题精粹·重变式
1.④ 2.A
x-3 x-1
3.解析: + =4,
2 3
3(x-3)+2(x-1)=24,
3x-9+2x-2=24,
3x+2x=24+9+2,
5x=35,
x=7.
{ x- y=5,① )
4.解析:
2x+ y=4,②①+②,得3x=9,
解得x=3.
把x=3代入①,得y=-2,
{ x=3, )
所以这个方程组的解为
y=−2.
5.解析:令 {
x- y=5,①
)
1
x+ y=4,②
2
②×2得x+2y=8,③
③-①得3y=3,
解得y=1,
将y=1代入①得x=6,
{x=6,)
∴原方程组的解为
y=1.
6.1 7.1 8.A 9.A 10.A
核心突破·拓思维
例 解析:(1)根据方程组中第二个方程可得x是与甲队每天修建的长度相乘,y是与乙队每天
修建的长度相乘,这样可得出x,y分别表示甲、乙两队各自修路的天数,从而得到
x+y=15,20x+25y=335.
故答案为甲队修路的天数;乙队修路的天数;15;335.
{
x+ y=335,①
)
(2)根据题意可列方程组为
x y
+ =15,②
20 25
由①得x=335-y,③
335−y y
将③式代入②式得 + =15,
20 25
解得y=175,
175
所以乙队修建了175米,修建的天数为 =7(天).
25
答:乙队修建了7天.
变式1 B
变式2 解析:设鸡有x只,兔有y只,鸡有1个头,2条腿,兔有1个头,4条腿.{ x+ y=35, )
结合题意可得
2x+4 y=94,
{x=23,)
解得
y=12.
故笼中的鸡有23只,兔有12只.
变式3 解析:设学生有x人,该书单价为y元.
{8x- y=3,) {x=7,)
根据题意得 解得
y-7x=4, y=53.
答:学生有7人,该书单价为53元.
变式4 解析:设第一次购进A种茶的价格为x元/盒,B种茶的价格为y元/盒.
依题意得{ 30x+20 y=6000, )
20×(1+20%)x+15×(1+20%)y=5100,
{x=100,)
解得
y=150.
答:第一次购进A种茶的价格为100元/盒,B种茶的价格为150元/盒.
