文档内容
第 5 节 二次函数综合
真题精粹·重变式
考向1 二次函数与直线型问题
1.(2023·福建)已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(1,0),B(3,0)两点,M为抛物线的顶点,C,D为抛物
线上不与A,B重合的相异两点,记线段AB的中点为E,直线AD,BC的交点为P.
(1)求抛物线的函数表达式.
3
(2)若C(4,3),D m,- ,且m<2,求证:C,D,E三点共线.
4
(3)小明研究发现:无论C,D在抛物线上如何运动,只要C,D,E三点共线,△AMP,△MEP,△ABP中必
存在面积为定值的三角形.请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积,不必说明理由.
2.(2019·福建)已知抛物线y=ax2+bx+c(b<0)与x轴只有一个公共点.
(1)若抛物线与x轴的公共点的坐标为(2,0),求a,c满足的关系式.
(2)设A为抛物线上的一个定点,直线l:y=kx+1-k与抛物线交于点B,C,直线BD垂直于直线y=-1,
垂足为D.当k=0时,直线l与抛物线的一个交点在y轴上,且△ABC为等腰直角三角形.
①求点A的坐标和抛物线的解析式;
②证明:对于每个给定的实数k,都有A,D,C三点共线.解题指南 (2)①直线y=kx+1-k=k(x-1)+1,过定点(1,1),且当k=0时,直线l为直线y=1,平行于x
轴,与y轴的交点为(0,1),即可求解.
②计算直线AD表达式中的k值、直线AC表达式中的k值,两个k值相等即可求解.
核心方法
函数背景下关于三点共线证明(设三个点依次为A,B,C)的解题思路
方法一:取任意两点确立一条直线,求出该直线的解析式,代入第三点坐标,看是否满足该解析
式,若满足,则A,B,C三点共线.
方法二:利用两条直线重合的方法证明,分别求出直线的解析式,直线AB:y =kx+b,直线
AB 1 1
AC:y =kx+b,若k=k,则两直线重合,即A,B,C三点共线.
AC 2 2 1 2
方法三:运用两点之间线段最短证明,利用两点间的距离公式分别求线段AC,AB,BC的长,若
AB+BC=AC,则A,B,C三点共线.
方法四:运用角(或角的三角函数值)相等证明,设直线AB,AC与x轴的夹角分别为α,β,证明
α=β或α,β的对应三角函数值相等,则可得A,B,C三点共线.
方法五:运用平角的概念证明,任取一点D,证明∠ABD+∠DBC=180°,则可得A,B,C三点共线.
考向2 二次函数与角度问题
热点训练
3.已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2),且抛物线上任意不同的两点M(x,y),N(x,y)都满足:当
1 1 2 2
x0;当0y,解决以下问题:
1 2
①求证:BC平分∠MBN.
②求△MBC外心的纵坐标的取值范围.
解题指南 (1)由点A的坐标确定出c的值,根据已知不等式判断出y-y<0,可得出抛物线的增
1 2
减性,确定抛物线的对称轴为y轴,且开口向下,求出b的值,易得△ABC为等边三角形,确定点B的
坐标,代入抛物线解析式即可.(2)①设点M(x,-x2 +2),N(x,-x2 +2),由MN与已知直线平行,得到k值相同,表示出直线MN的解析
1 1 2 2
式,进而表示出ME,BE,NF,BF,求出tan∠MBE与tan∠NBF的值相等,进而得到BC为角平分线;
②三角形的外心即三条垂直平分线的交点,得到y轴为BC的垂直平分线,设点P为外心,利用勾股
定理化简PB2=PM2,确定出△MBC外心的纵坐标的取值范围即可.
核心方法
函数背景下证明等角、倍角及和差的方法
方法一:通过构造直角三角形,求解角的相同三角函数值来证明角相等.
方法二:通过构造三角形(四边形),然后运用两点间的距离公式求出线段的长,证明该三角形
为等腰三角形(特殊四边形),然后运用特殊图象的几何性质证明角相等或倍角.
方法三:运用角平分线的性质解决.
考向3 二次函数与最值及面积问题
4.(2024·福建)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中点
A(-2,0),点C(0,-2).
(1)求二次函数的表达式.
(2)若P是二次函数图象上的一点,且点P在第二象限,线段PC交x轴于点D,△PDB的面积是
△CDB的面积的2倍,求点P的坐标.
5.(2022·福建)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx经过A(4,0),B(1,4)两点.P是抛物线
上一点,且在直线AB的上方.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若△OAB的面积是△PAB面积的2倍,求点P的坐标.(3)OP交AB于点C,PD∥BO交AB于点D.记△CDP,△CPB,△CBO的面积分别为S
1
,S
2
,S
3
.判断S
1
S
2
+S 是否存在最大值.若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.
2
S
3
解题指南 (2)过点P作PM⊥x轴于点M,PM与AB交于点N,过点B作BE⊥PM于点E.分别表
达△OAB和△PAB的面积,根据题意列出方程求出PN的长.设出点P的坐标,进而表示PN的长,
最后求出点P的坐标.
(3)由PD∥OB,可得△DPC∽△BOC,所以CP∶CO=CD∶CB=PD∶OB,又因为S
1
=CD, S
2
=CP,所以S
1
S CB S CO S
2 3 2
+ S 2=2CP.设直线AB交y轴于点F,则F 0,16 .过点P作PH⊥x轴,垂足为H,PH交AB于点G,
S CO 3
3
易证△PDG∽△OBF,所以PD∶OB=PG∶OF.设P n,-4n2+16n (10,得y-y<0,
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∴当x<0时,y随x的增大而增大,
同理当x>0时,y随x的增大而减小,
∴抛物线的对称轴为y轴,且开口向下,即b=0.
以原点O为圆心,OA为半径的圆与抛物线交于另两点B,C,如图1所示,
图1
∴△ABC为等腰三角形.
∵△ABC中有一个角为60°,
∴△ABC为等边三角形,且OB=OA=2.
设线段BC与y轴的交点为D,则有BD=CD,且∠OBD=30°,
∴BD=OB·cos 30°=❑√3,OD=OB·sin 30°=1.
∵点B在点C的左侧,
∴点B的坐标为(-❑√3,-1).
∵点B在抛物线上,且c=2,b=0,
∴3a+2=-1,
解得a=-1,
则抛物线的解析式为y=-x2+2.
(2)①证明:由(1)知,点M(x
1
,-
x2
+2),N(x
2
,-
x2
+2).
1 2
∵直线MN与直线y=-2❑√3x平行,∴设直线MN的解析式为y=-2 x+m,则有- +2=-2 x+m,
❑√3 x2 ❑√3 1
1
即m=- +2 x+2,
x2 ❑√3 1
1
∴直线MN的解析式为y=-2 x- +2 x+2,
❑√3 x2 ❑√3 1
1
把y=-2 x- +2 x+2代入y=-x2+2,解得x=x 或x=2 -x,
❑√3 x2 ❑√3 1 1 ❑√3 1
1
∴x=2 -x,即y=-(2 -x)2+2=- +4 x-10.
2 ❑√3 1 2 ❑√3 1 x2 ❑√3 1
1
作ME⊥BC,NF⊥BC,垂足分别为E,F,如图2所示.
图2
∵点M,N位于直线BC的两侧,且y>y,则y<-10),
又△PDB的面积是△CDB的面积的2倍,
1
BD·n
S 2
∴ △PDB=2,即 =2,
S 1
△CDB BD·CO
2
n
∴ =2.
CO
又CO=2,
∴n=2CO=4.
由m2+m-2=4,
∴m=-3,m =2 (舍去).
1 2
∴点P的坐标为(-3,4).
5.解析:(1)将A(4,0),B(1,4)代入y=ax2+bx,
4
{a=− ,)
∴{16a+4b=0,)解得 3
a+b=4, 16
b= ,
3
4 16
∴抛物线的解析式为y=- x2+ x.
3 3
(2)解析设直线AB的解析式为y=kx+t,将A(4,0),B(1,4)代入y=kx+t,
{4k+t=0,)
∴
k+t=4,
4
{k=− ,)
解得 3
16
t= ,
3
4 16
所以直线AB所对应的解析式为y=- x+ .
3 3
∵A(4,0),B(1,4),
1
∴S = ×4×4=8,
△OAB
2
∴S =2S =8,即S =4.
△OAB △PAB △PAB
如图1,过点P作PM⊥x轴于点M,PM与AB交于点N,过点B作BE⊥PM于点E,
图 1
1 1 1 3
∴S =S +S = PN·BE+ PN·AM= PN×3= PN=4,
△PAB △PNB △PNA
2 2 2 2
8
∴PN= .
3
设点P的横坐标为m(10时,如图2,过点C作CG⊥AC交x=2于点G,当点Q与点G重合时,△ACQ是直角
三角形,当∠AQC=90°时,△ACQ是直角三角形,图2
设AC交x=2于点H,
∵直线AC的解析式为y=-x+3,
则H(2,1),
∴CH= =2 ,
❑√22+(3−1)2 ❑√2
∴∠CHG=∠OCH=45°,
∴△CHG是等腰直角三角形,
∴HG=❑√2CH=❑√2×2❑√2=4,
∴G(2,5).
设Q(2,q),则AQ2=12+q2,CQ2=22+(q-3)2=q2-6q+13.
∵AC2=32+32=18,
∴18=q2-6q+13+12+q2,
3−❑√17 3+❑√17
解得q= (舍去)或q= ,
2 2
∴Q 2,3+❑√17 .
2
∵△QAC是锐角三角形,
3+❑√17
∴
