文档内容
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专题 03 函数、方程及不等式的应用
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 函数、方程及不等式的应用
【真题研析 · 规律探寻】
题型01 坐标方法的简单应用
题型02 从函数图象上获取信息
题型03 实际问题与一次方程（组）
类型一 一元一次方程与实际问题
类型二 列二元一次方程组
类型三 二元一次方程组与实际问题
题型04 分式方程的实际应用
类型一 列分式方程
类型二 分式方程与实际问题
题型05 不等式（组）的实际应用
题型06 一元二次方程的实际应用
题型07 一次函数的实际应用
类型一 行程问题
类型二 最大利润问题
类型三 几何问题
类型四 分配问题
类型五 其它问题
题型08 反比例函数与实际问题
题型09 二次函数与实际问题
类型一 销售问题
类型二 拱桥问题
类型三 图形问题
类型四 图形运动问题
类型五 投球问题
【好题必刷 · 强化落实】
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考点要求 命题预测
函数、方程及不等式的应用在中考数学中出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答
题都有可能出现，并且对应难度也多为中等难度，是属于占分较多的一类考点.但是同一
函数、方程
张试卷，方程类问题只会出现一种，不会重复考察.涉及本考点的知识点重点有:由实际问
及不等式的
题抽象出一次方程(组)或分式方程，解方程(包含一次方程、二次方程、分式方程)，一元
应用
二次方程的实际应用，解不等式(组)的应用题，与一次函数、反比例函数、二次函数的相
关应用题等.
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考点一 函数、方程及不等式的应用
题型01 坐标方法的简单应用
利用隐含的平面直角坐标系确定地理位置的坐标的一般步骤：
1)根据已知地理位置的坐标找出原点的位置:
2)根据原点的位置建立平面直角坐标系;
3)由平面直角坐标系得到其他地理位置的坐标.
用坐标表示地理位置确定物体位置的方法：
有行列定位法、方向角+距离定位法、经纬定位法，最常用的是用平面直角坐标系中点的坐标来表示位置
解答此类问题的关键是建立平面直角坐标系，而建立平面直角坐标系的关键是确定坐标原点,确定坐标原点
的位置一般分两种情况:(1)题目隐含条件中已经给定:(2)任意选择，自建坐标系.
1．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这
个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，
4），则教学楼的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）
【答案】D
【分析】根据综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），先确定坐标原点以及坐标系，再根据教学
楼的位置可得答案．
【详解】解：如图，根据综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），画图如下：
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∴教学楼的坐标为：(2,2).
故选D
【点睛】本题考查的是根据位置确定点的坐标，熟练的根据已知条件建立坐标系是解本题的关键．
2．（2020·河北·统考中考真题）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走
6km也到达l．下列说法错误的是（ ）
A．从点P向北偏西45°走3km到达l
B．公路l的走向是南偏西45°
C．公路l的走向是北偏东45°
D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l
【答案】A
【分析】根据方位角的定义及勾股定理逐个分析即可．
【详解】解：如图所示，过P点作AB的垂线PH，
选项A：∵BP=AP=6km，且∠BPA=90°，∴△PAB为等腰直角三角形，∠PAB=∠PBA=45°，
又PH⊥AB，∴△PAH为等腰直角三角形，
√2
∴PH= PA=3√2km，故选项A错误；
2
选项B：站在公路上向西南方向看，公路l的走向是南偏西45°，故选项B正确；
选项C：站在公路上向东北方向看，公路l的走向是北偏东45°，故选项C正确；
1
选项D：从点P向北走3km后到达BP中点E，此时EH为△PEH的中位线，故EH= AP=3，故再向西走
2
3km到达l，故选项D正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了方位角问题及等腰直角三角形、中位线等相关知识点，方向角一般以观测者的位置为
中心，所以观测者不同，方向就正好相反，但角度不变．
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3．（2019·浙江金华·统考中考真题）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置
表述正确的是（ ）
A．在南偏东75º方向处 B．在5km处
C．在南偏东15º方向5km处 D．在南偏东75º方向5km处
【答案】D
【分析】根据方向角的定义解答即可．
【详解】观察图形可得，目标A在南偏东75°方向5km处，
故选D．
【点睛】本题考查了方向角的定义，正确理解方向角的意义是解题关键．
题型02 从函数图象上获取信息
从函数图象中获取信息的方法
(1)首先弄清坐标轴所表示的意义：x轴和y轴上的点分别表示自变量和因变量，要弄清自变量与因变量及
其取值范围是什么:
(2)弄清图象上的点所表示的意义：由该点向x轴和y轴分别作垂线，当自变量取x轴上的垂足所对应的数
时，因变量取y轴上的垂足所对应的数.
(3)弄清图象上的最高点和最低点分别表示的意义：最高点对应着函数的最大值，最低点对应着函数的最小
值，进而求出函数的取值范围,
(4)弄清图象上的上升线、下降线、水平线分别表示的意义:上升线表示函数值随自变量取值的增加而增大，
下降线表示函数值随自变量取值的增加而减下，水平线表示函数值随自变量取值的增加而不变.
1．（2023·贵州·统考中考真题）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车
离黄果树景点的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是
（ ）
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A．小星家离黄果树景点的路程为50km B．小星从家出发第1小时的平均速度为75km/h
C．小星从家出发2小时离景点的路程为125km D．小星从家到黄果树景点的时间共用了3h
【答案】D
【分析】根据路程、速度、时间的关系，结合图象提供信息逐项判断即可．
【详解】解：x=0时，y=200，因此小星家离黄果树景点的路程为50km，故A选项错误，不合题意；
x=1时，y=150，因此小星从家出发第1小时的平均速度为50km/h，故B选项错误，不合题意；
x=2时，y=75，因此小星从家出发2小时离景点的路程为75km，故C选项错误，不合题意；
150−75
小明离家1小时后的行驶速度为 =75km/h，从家出发2小时离景点的路程为75km，还需要行驶1
2−1
小时，因此小星从家到黄果树景点的时间共用了3h，故D选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查从函数图象获取信息，解题的关键是理解题意，看懂所给一次函数的图象．
2．（2022·山东潍坊·中考真题）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生
一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，
正确的是（ ）
A．海拔越高，大气压越大
B．图中曲线是反比例函数的图象
C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系
【答案】D
【分析】根据图象中的数据回答即可．
【详解】解：A．海拔越高，大气压越小，该选项不符合题意；
B．∵图象经过点(2，80)，(4，60)，
∴2×80=160，4×60=240，而160≠240，
∴图中曲线不是反比例函数的图象，该选项不符合题意；
C．∵图象经过点 (4，60)，
∴海拔为4千米时，大气压约为60千帕，该选项不符合题意；
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系，该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
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3．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图1，小亮家､报亭､羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛
球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结
论错误的是（ ）
A．小亮从家到羽毛球馆用了7分钟 B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米
C．报亭到小亮家的距离是400米 D．小亮打羽毛球的时间是37分钟
【答案】D
【分析】根据函数图象，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 从函数图象可得出，小亮从家到羽毛球馆用了7分钟，故该选项正确，不符合题意；
1000−400
B. =75（米/分钟），
45−37
即小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米，故该选项正确，不符合题意；
C. 从函数图象可得出，报亭到小亮家的距离是400米，故该选项正确，不符合题意；
D. 小亮打羽毛球的时间是37−7=30分钟，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图象，理解函数图像上点的坐标的实际意义，数形结合是解题的关键．
4．（2023·浙江温州·统考中考真题）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相
等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．
【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分
钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到
出口还要走10分钟．
【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（ ）
A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米
【答案】B
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【分析】设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象
x+ y+z x+ y+z−2100
可知 = ，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路
45 10
线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解．
【详解】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为75+10−40=45（分钟），小温游玩行走的时间为
205−100=105（分钟）；
设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得：
x+ y+z x+ y+z−2100
= ，
45 10
解得：x+ y+z=2700，
∴游玩行走的速度为(2700−2100)÷10=60（米/秒），
由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为3x+3 y=105×60=6300，
∴x+ y=2100，
∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为2x+2y+z=x+ y+z+x+ y=2700+2100=4800（米）；
故选B．
【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之
间的等量关系．
5．（2023·湖北·统考中考真题）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注
水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为t,y （细实线）表示铁桶中水面高度，y （粗实
1 2
线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水
池内均无水），则y ,y 随时间t变化的函数图象大致为（ ）
1 2
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．
【详解】解：根据图象知，t=t 时，铁桶注满了水，0≤t≤t ，y 是一条斜线段，t>t ，y 是一条水平线
1 1 1 1 1
段，
当t=t 时，长方体水池开始注入水；当t=t 时，长方体水池中的水没过铁桶，水池中水面高度比之开始变
1 2
得平缓；当t=t 时，长方体水池满了水，
3
∴y 开始是一段陡线段，后变缓，最后是一条水平线段，
2
观察函数图象，选项C符合题意，
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故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的
类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
题型03 实际问题与一次方程（组）
列一元一次方程解应用题的一般步骤：
1）审题：弄清题意；
2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系；
3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列
出方程；
4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值；
5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案.
与一次方程（组）有关应用题的常见类型：
常见题型 常见数量关系及公式 等量关系 补充
根据题目提供的配 关键：理解题目中提供的配套
配套问题
套比列方程 方式.
多个工作效率不同
工作总量=工作时间×工作效率
的对象所完成的工 在工程问题中，一般将工作总
工程问题 工作时间=工作总量÷工作效率
作量的和等于工作 量看作单位1.
工作效率=工作总量÷工作时间
总量
利润=售价-进价（成本）
商品打几折就是按照原价的百
利润问题 总利润=单件利润×销售量 由题可知
分之几出售
利润率=利润÷成本价×100%
先根据已知条件得到方程，再
方案选择/分段 根据未知数之间的关系得到多
由题可知
计费问题 种方案，选择最优方案进行解
题
几何 关键：明确有关图形的性质和
有关图形的周长、面积公式 由题可知
问题 周长、面积公式
几何问题
等积 圆柱体体积= 底面积x高= 原材料体积=成品体
变形 Πr2h (r为底面圆半径，h为 积
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高)
问题 长方体体积= 长x宽x高 =
abc (a为长，b为宽，c为高)
相遇 全路程=甲走的路程 相向而行，注意出发时间、地
问题 +乙走的路程 点
追及
问题
（同
前者走的路程=追者
地不
路程=速度×时间 走的路程
同时
速度=路程÷时间
出
时间=路程÷速度
发） 同向而行，注意出发时间、地
行程问题 追及 点
问题
（同 前者走的路程+两地
时不 间距离=追者走的路
同地 程
出
发）
航行 顺水速度=静水速度+水流速度
路程=速度×时间 注意两地距离，静水速度不变
问题 逆水速度=静水速度-水流速度
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类型一 一元一次方程与实际问题
1．（2023·四川南充·统考中考真题）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；
屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知
道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长
木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（ ）
1 1
A． (x+4.5)=x−1 B． (x+4.5)=x+1
2 2
1 1
C． (x−4.5)=x+1 D． (x−4.5)=x−1
2 2
【答案】A
【分析】设长木长为x尺，则绳子长为(x+4.5)尺，根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺”，可
列出方程．
【详解】设长木长为x尺，则绳子长为(x+4.5)尺，根据题意，得
1
(x+4.5)=x−1
2
故选：A
【点睛】本题考查一元一次方程解决实际问题，理解题意，找出等量关系列出方程是解题的关键．
2．（2023·贵州·统考中考真题）《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，
还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程
正确的是（ ）
1 1 x+1
A．x+ =100 B．3x+1=100 C．x+ x=100 D． =100
3 3 3
【答案】C
1
【分析】每户分一头鹿需x头鹿，每3户共分一头需 x头鹿，一共分了100头鹿，由此列方程即可．
3
1
【详解】解：x户人家，每户分一头鹿需x头鹿，每3户共分一头需 x头鹿，
3
1
由此可知x+ x=100，
3
故选C．
【点睛】本题考查列一元一次方程，解题的关键是正确理解题意．
3．（2023·吉林·统考中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持
不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之
和y(m)与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．
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(1)甲组比乙组多挖掘了__________天．
(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数．
【答案】(1)30
(2)y=3x+120(300，则w随m的增大而增大，
∴m=14时，w取最小值，最小值=4×14+1920=1976．
答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；根
据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键．
5．（2023·河南·统考中考真题）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；
所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）
(1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由．
(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健
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身器材的原价．
(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一
件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围．
【答案】(1)活动一更合算
(2)400元
(3)当300≤a<400或600≤a<800时，活动二更合算
【分析】（1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可；
（2）设这种健身器材的原价是x元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可；
（3）由题意得活动一所需付款为0.8a元，活动二当00.8a，此时无论a为何值，都是活动一更合算，不符合题意，
②当300≤a<600时，a−80<0.8a，解得300≤a<400，
即：当300≤a<400时，活动二更合算，
③当600≤a<900时，a−160<0.8a，解得600≤a<800，
即：当600≤a<800时，活动二更合算，
综上：当300≤a<400或600≤a<800时，活动二更合算．
【点睛】此题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，注意分类讨论
的应用．
6．（2023·江苏连云港·统考中考真题）目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算
周期设定了如下表的三个气量阶梯：
销售价
阶梯 年用气量 备注
格
第一
0∼400m3（含400） 2.67元 若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量
阶梯
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的部分 /m3
第二 400∼1200m3（含 3.15元
阶梯 1200）的部分 /m3 的上限分别增加100m3、200m3．
第三 3.63元
1200m3以上的部分
阶梯 /m3
(1)一户家庭人口为3人，年用气量为200m3，则该年此户需缴纳燃气费用为__________元；
(2)一户家庭人口不超过4人，年用气量为xm3 (x>1200)，该年此户需缴纳燃气费用为y元，求y与x的函
数表达式；
(3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户
比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到1m3）
【答案】(1)534
(2)y=3.63x−768(x>1200)
(3)26立方米
【分析】（1）根据第一阶梯的费用计算方法进行计算即可；
（2）根据“单价×数量=总价”可得y与x之间的函数关系式；
（3）根据两户的缴费判断收费标准列式计算即可解答．
【详解】（1）∵200m3＜400m3，
∴该年此户需缴纳燃气费用为：2.67×200=534（元），
故答案为：534；
（2）y关于x的表达式为y=400×2.67+(1200−400)×3.15+3.63(x−1200) =3.63x−768(x>1200)
（3）∵400×2.67+(1200−400)×3.15=3588<3855，
∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯．
由（2）知，当y=3855时，3.63x−768=3855，解得x≈1273.6．
又∵2.67×(100+400)+3.15×(1200+200−500)=4170>3855，
且2.67×(100+400)=1335<3855，
∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，但末达到第三阶梯．
设乙户年用气量为am3．则有2.67×500+3.15(a−500)=3855，
解得a=1300.0，
∴1300.0−1273.6=26.4≈26m3．
答：该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，
正确列出一元一次方程．
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类型二 列二元一次方程组
1．（2023·四川甘孜·统考中考真题）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，
音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒
多少斛？设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】A
【分析】设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，根据题意列出二元一次方程组，即可求解．
【详解】设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，根据题意得，¿，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意，列出二元一次方程组是解题的关键．
2．（2023·山东泰安·统考中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有
黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：
甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．
两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每
枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ）
A．¿B．¿
C．¿D．¿
【答案】D
【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的
重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：枚黄金重x两，每枚白银重y两
由题意得：¿
故选D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关
系．
3．（2023·浙江宁波·统考中考真题）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．
某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面
积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的
面积为y公顷，可列方程组为( )
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】B
【分析】根据某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，得到种植茶园和种植粮食的面积为
90%，结合茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，列出方程组即可．
【详解】解：设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，
由题意，得：¿，即：¿
故选B．
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【点睛】本题考查根据实际问题列方程组．找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键．
4．（2023·山东·统考中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不
足四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出
7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组：
．
【答案】¿
【分析】设有x人，物品价值为y元，根据等量关系“每人出8元，多3元”和“每人出7元，少4元”列
出二元一次方程组即可解答．
【详解】解：设有x人，物品价值为y元，
由题意得：¿．故答案为：¿．
【点睛】本题主要考查列二元一次方程组．根据题意、正确找到等量关系是解题的关键．
类型三 二元一次方程组与实际问题
1．（2023·四川巴中·统考中考真题）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张
卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可
以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以
做成包装盒的个数为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【分析】设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为2x，底面的数量为3y，然后根据
等量关系：底面数量=侧面数量的2倍，列出方程组即可．
【详解】解：设用x张白卡纸做侧面，用y张白卡纸做底面，
由题意得，¿．解得¿．
2x=12，
答：这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目
给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．还需注意本题的等量关系是：底面数量=侧面数量的2
倍．
2．（2023·辽宁·统考中考真题）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品
盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元
(1)求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；
(2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？
【答案】(1)A礼品盒的单价是100元，B礼品盒的单价是120元；
(2)至少购进A种礼品盒15盒．
【分析】（1）设A礼品盒的单价是a元，B礼品盒的单价是b元，根据题意列方程组即可得到结论；
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（2）设购进A礼品盒x盒，则购进B礼品盒(40−x)盒，根据题意列不等式即可得到结论．
【详解】（1）解：设A礼品盒的单价是a元，B礼品盒的单价是b元，
根据题意得：¿，解得：¿，
答：A礼品盒的单价是100元，B礼品盒的单价是120元；
（2）解：设购进A礼品盒x盒，则购进B礼品盒(40−x)盒，
根据题意得：100x+120(40−x)≤4500，
解得：x≥15，
∵x为整数，
∴x的最小整数解为15，
∴至少购进A种礼品盒15盒．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．
3．（2023·四川德阳·统考中考真题）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的
世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚
集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积4.82平方公里，计
划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需
要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每
个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
(1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？
(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将
该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队
施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安
排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
【答案】(1)乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
(2)甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为136万元．
【分析】（1）设乙单独完成需要x个月，由“乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成
任务．”建立分式方程求解即可；
a b 2
（2）由题意可得： + =1，可得a=18− b，结合a≤6，b≤24，可得18≤b≤24，结合a,b都为正
18 27 3
整数，可得b为3的倍数，可得甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，从而可得答案．
【详解】（1）解：设乙单独完成需要x个月，则
2 ( 1 1)
+10 + =1，
x 18 x
解得：x=27，
经检验x=27是原方程的解且符合题意；
答：乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
a b
（2）由题意可得： + =1，
18 27
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∴3a+2b=54，
2
∴a=18− b，
3
∵a≤6，b≤24，
∴¿，解得：18≤b≤24，
∵a,b都为正整数，
∴b为3的倍数，
∴¿或¿或¿，
∴甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，
方案①：安排甲工作6个月，乙工作18个月，费用为：6×8+18×5=138（万元），
方案②：安排甲工作4个月，乙工作21个月，费用为：4×8+21×5=137（万元），
方案③：安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用为：2×8+24×5=136（万元），
∴安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为136万元．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，确定相等关系
与不等关系是解本题的关键．
4．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节
前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．
(1)求豆沙粽和肉粽的单价；
(2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单
位：个）和付款金额（单位：元）；
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
小欢妈
20 30 270
妈
小乐妈
30 20 230
妈
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本
忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m
个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为
(80−4m)包，(4m+8)包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．
【答案】(1)豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元
(2)① 豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；②m=10
【分析】（1）设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为2x元，依题意列一元一次方程即可求解；
（2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，依题意列二元一次方程组即可求解；
②根据销售额=销售单价×销售量，列一元二次方程，解之即可得出m的值．
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【详解】（1）解：设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为2x元，
依题意得10x+12×2x=136，
解得x=4；
则2x=8；
所以豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元；
（2）解：①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，
依题意得¿，解得¿，
所以豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；
②依题意得[3m+(40−m)×7]×(80−4m)+[3×(40−m)+7m]×(4m+8)=17280，
解得m=19或m=10，
1
∵m< (40−m)，
2
40
∴m< ，
3
∴m=10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，根据题意找到
题中的等量关系列出方程或方程组是解题的关键．
5．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）某商场销售A、B两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果
售出A种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元．
(1)求A、B两种商品的销售单价．
(2)经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商
品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价．设A种商品降价m元，如果A、B两种商品销售量相
同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)A的销售单价为30元、B的销售单价为24元
(2)当m=5时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元．
【分析】（1）设A的销售单价为x元、B的销售单价为y元，根据题中售出A种20件，B种10件，销售总
额为840元；售出A种10件，B种15件，销售总额为660元列方程组求解即可得到答案；
（2）设利润为w，根据题意，得到w=−10(m−5) 2+810，结合二次函数性质及题中限制条件分析求解即
可得到答案．
【详解】（1）解：设A的销售单价为x元、B的销售单价为y元，则
¿，解得¿，
答：A的销售单价为30元、B的销售单价为24元；
（2）解：∵ A种商品售价不低于B种商品售价，
∴30−m≥24，解得m≤6，即0≤m≤6，
设利润为w，则
w=(40+10m)×[(30−m−20)+(24−20)]
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=−10m2+100m+560
=−10(m−5) 2+810，
∵−10<0，
∴w在m=5时能取到最大值，最大值为810，
∴当m=5时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元．
【点睛】本题考查二元一次方程组及二次函数解实际应用题，读懂题意，根据等量关系列出方程组，根据
函数关系找到函数关系式分析是解决问题的关键．
6．（2023·湖北恩施·统考中考真题）为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学
生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女
装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．
(1)男装、女装的单价各是多少？
2
(2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的 ，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购
3
买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
【答案】(1)男装单价为100元，女装单价为120元．
(2)学校有11种购买方案，当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元
【分析】（1）设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意列方程组求解即可；
（2）设参加活动的女生有a人，则男生有(150−a)人，列不等式组找到a的取值范围，再设总费用为w元，
得到w与a的关系，根据一次函数的性质可得当a取最小值时w有最小值，据此求解即可．
【详解】（1）解：设男装单价为x元，女装单价为y元，
根据题意得：¿，
解得：¿．
答：男装单价为100元，女装单价为120元．
（2）解：设参加活动的女生有a人，则男生有(150−a)人，
根据题意可得¿，
解得：90≤a≤100，
∵a为整数，
∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数，
故一共有11种方案，
设总费用为w元，则w=120a+100(150−a)=15000+20a，
∵20>0，
∴当a=90时，w有最小值，最小值为15000+20×90=16800（元）．
此时，150−a=60（套）．
答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，找到题中的等量关系或不等关系是解题的
关键．
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题型04 分式方程的实际应用
用分式方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;+
1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.
2）检验所求的解是否符合实际意义.
答：实际问题的答案.
类型一 列分式方程
1．（2023·云南·统考中考真题）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都
可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、
乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的
速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确
的是（ ）
x 1.2x 1.2x x 400 800 800 400
A． − =4 B． − =4 C． − =4 D． − =4
800 400 800 400 1.2x x 1.2x x
【答案】D
【分析】设乙同学的速度是x米/分，根据乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出方程即可．
【详解】解∶设乙同学的速度是x米/分，可得：
800 400
− =4
1.2x x
故选∶ D．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
2．（2023·湖北随州·统考中考真题）甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙
工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．
若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（ ）
9 12 1 12 9 1 9 12 1 12 9 1
A． − = B． − = C． − = D． − =
x x+1 2 x+1 x 2 x+1 x 2 x x+1 2
【答案】A
【分析】设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修(x+1)千米，根据“最终用的时间比甲工程队
少半个月”列出分式方程即可．
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【详解】解：设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修(x+1)千米，
9 12 1
依题意得 − = ，
x x+1 2
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找准关键语句，列出相等关系．
3．（2023·四川广安·统考中考真题）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，
y 、y 分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程S（单位：千米）的关系，已知
1 2
燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用
为x元，则可列方程为（ ）
25 10 25 10 25 10 25 10
A． = B． = C． = D． =
x 3x−0.1 x 3x+0.1 3x+0.1 x 3x−0.1 x
【答案】D
【分析】先求出燃油汽车每千米所需的费用为(3x−0.1)元，再根据函数图象可得燃油汽车所需费用为25
元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等，据此列出方程即可得．
【详解】解：由题意得：燃油汽车每千米所需的费用为(3x−0.1)元，
由函数图象可知，燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等，
25 10
则可列方程为 = ，
3x−0.1 x
故选：D．
【点睛】本题考查了列分式方程、函数图象，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键．
4．（2023·辽宁·统考中考真题）某校八年级学生去距离学校120km的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，
出发1h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车
的速度，设慢车的速度是xkm/h，所列方程正确的是（ ）
120 120 120 120 120 120 120 120
A． +1= B． −1= C． = D． =
x 1.5x x 1.5x 1.5x x−1 1.5x x+1
【答案】B
【分析】设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出快车的速度，根据所用时间差为1小时列方程即可．
【详解】解：设慢车的速度是xkm/h，则快车的速度为1.5xkm/h，
120 120
依题意得 −1= ，
x 1.5x
故选：B．
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【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
类型二 分式方程与实际问题
1．（2023·湖北武汉·统考中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，
不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行
走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是 ．
【答案】250
【分析】设图象交点P的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的
3
速度是善行者速度的 ．根据速度关系列出方程，解方程并检验即可得到答案．
5
【详解】解：设图象交点P的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行
3
者的速度是善行者速度的 ．
5
m−100 3
∴ = ，
m 5
解得m=250，
经检验m=250是方程的根且符合题意，
∴两图象交点P的纵坐标是250．
故答案为：250
【点睛】此题考查了从函数图象获取信息、列分式方程解决实际问题，数形结合和准确计算是解题的关键．
2．（2023·重庆·统考中考真题）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．
(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、
20元，求购买两种食品各多少份？
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉
面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50％，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求
购买牛肉面多少份？
【答案】(1)购买杂酱面80份，购买牛肉面90份
(2)购买牛肉面60份
【分析】（1）设购买杂酱面x份，则购买牛肉面(170−x)份，由题意知，15x+20×(170−x)=3000，解
方程可得x的值，然后代入170−x，计算求解，进而可得结果；
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1260 1200
（2）设购买牛肉面a份，则购买杂酱面1.5a份，由题意知， +6= ，计算求出满足要求的解即
1.5a a
可．
【详解】（1）解：设购买杂酱面x份，则购买牛肉面(170−x)份，
由题意知，15x+20×(170−x)=3000，
解得，x=80，
∴170−x=90，
∴购买杂酱面80份，购买牛肉面90份；
（2）解：设购买牛肉面a份，则购买杂酱面1.5a份，
1260 1200
由题意知， +6= ，
1.5a a
解得a=60，
经检验，a=60是分式方程的解，
∴购买牛肉面60份．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程．
3．（2023·四川泸州·统考中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，
某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽
子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，
节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)节后每千克A粽子的进价为10元
(2)节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元
【分析】（1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为(x+2)元，根据节前用
240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列出方程，解方程即可；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进(400−m)千克A粽子，获得的利润为w元，根据利润
=售价−进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，求出m的范围，根据一次函数函数增减性，求出最
大利润即可．
【详解】（1）解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为(x+2)元，根据题意
得：
240 240
−4= ，
x x+2
解得：x =10，x =−12，
1 2
经检验x =10，x =−12都是原方程的解，但x =−12不符合实际舍去，
1 2 2
答：节后每千克A粽子的进价为10元．
（2）解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进(400−m)千克A粽子，获得的利润为w元，根据
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题意得：
w=(20−12)m+(16−10)(400−m)=2m+2400，
∵¿，
∴00，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=300时，w取最大值，且最大值为：w =2×300+2400=3000，
最大
答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元．
【点睛】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式．
4．（2023·山东烟台·统考中考真题）中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、
《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算
3
经》单价的 ，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
4
(1)求两种图书的单价分别为多少元？
(2)为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量
不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分
别购买多少本时费用最少？
【答案】(1)《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；
(2)当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2316元．
3
【分析】（1）设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是 x元，根据“用600元购买《孙子算
4
经》比购买《周髀算经》多买5本”列分式方程，解之即可求解；
（2）根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半列出不等式求出m的取值范围，根据
m的取值范围结合函数解析式解答即可．
3
【详解】（1）解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是 x元，
4
600 600
= +5
依题意得， 3 x ，
x
4
解得x=40，
经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，
3
×40=30，
4
答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；
（2）解：设购买的《周髀算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为(80−m)本，
1
依题意得，m≥ (80−m)，
2
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2
解得m≥26 ，
3
设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元），
依题意得，y=40×0.8m+30×0.8(80−m)=8m+1920，
∵k=8>0，
∴y随m的增大而增大，
∴当m=27时，有最小值，此时y=8×27+1920=2136（元），
80−27=53（本）
答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2136元．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，根据
题意表示出y与x之间的函数关系式以及列出不等式是解题的关键．
5．（2023·四川遂宁·统考中考真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是
中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了
解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进
乙种粽子的个数相同．
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利
润为w元．
①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1)甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；
( 1)
(2)①w与m的函数关系式为w=−m+600 m≥133 ；②购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大
3
利润，最大利润为466元．
【分析】（1）设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为(x+2)元，根据“用1000元购进甲种
粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同”列出分式方程，解方程即可；
（2）①设购进甲粽子m个，则乙粽子(200−m)个，，由题意得w=−m+600，再由甲种粽子的个数不低
于乙种粽子个数的2倍，得m≥2(200−m)；
②由一次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为(x+2)元，
1000 1200
由题意得： = ，
x x+2
解得：x=10，
经检验：x=10是原方程的解，且符合题意，
则x+2=12，
答：甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；
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（2）解：①设购进甲粽子m个，则乙粽子(200−m)个，利润为w元，
由题意得：w=(12−10)m+(15−12)(200−m)=−m+600，
∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
∴m≥2(200−m)，
1
解得：m≥133 ，
3
( 1)
∴w与m的函数关系式为w=−m+600 m≥133 ；
3
1
②∵−1<0，则w随m的增大而减小，m≥133 ，即m的最小整数为134，
3
∴当m=134时，w最大，最大值=−134+600=466，
则200−m=66，
答：购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
题型05 不等式（组）的实际应用
一元一次不等式（组）的应用题的关键语句：
1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关
系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
2）对一些实际问题的提示还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为
6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式
6x≤50.
1．（2023·山东济南·统考中考真题）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器
人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200
元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，
且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?
最少花费是多少元?
【答案】(1)A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元
(2)购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元
【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是(x−200)元，根据：用2000
元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并
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检验后即可求解；
（2）设购买A型编程机器人模型m台，购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，根据题意可求出m的
范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值
【详解】（1）解：设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是(x−200)元．
2000 1200
根据题意，得 =
x x−200
解这个方程，得x=500
经检验，x=500是原方程的根．
x−200=300
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
（2）设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型(40−m)台，购买A型和B型编程机器人
模型共花费w元，
由题意得：40−m≤3m，解得m≥10．
∴w=500×0.8⋅m+300×0.8⋅(40−m)
即w=160m+9600，
∵160>0，
∴w随m的增大而增大．
∴当m=10时，w取得最小值11200，此时40−m=30；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相
等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键．
2．（2023·江西·统考中考真题）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20
棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．
(1)求该班的学生人数；
(2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过
5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？
【答案】(1)该班的学生人数为45人
(2)至少购买了甲树苗80棵
【分析】（1）设该班的学生人数为x人，根据两种方案下树苗的总数不变列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求求出树苗的总数为155棵，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗(155−m)棵树苗，
再根据总费用不超过5400元列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设该班的学生人数为x人，
由题意得，3x+20=4x−25，
解得x=45，
∴该班的学生人数为45人；
（2）解：由（1）得一共购买了3×45+20=155棵树苗，
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设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗(155−m)棵树苗，
由题意得，30m+40(155−m)≤5400，
解得m≥80，
∴m得最小值为80，
∴至少购买了甲树苗80棵，
答：至少购买了甲树苗80棵．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量
关系列出方程，找到不等关系列出不等式是解题的关键．
3．（2023·湖南怀化·统考中考真题）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，
则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．
(1)求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？
(2)若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方
案？
(3)在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？
【答案】(1)原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人
(2)共有3种租车方案，方案一：租用A种客车18辆，则租用B种客车7辆；方案二：租用A种客车19辆，则
租用B种客车6辆；方案三：租用A种客车20辆，则租用B种客车5辆，
(3)租用A种客车20辆，则租用B种客车5辆才最合算
【分析】（1）设原计划租用A种客车x辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；
（2）设租用A种客车a辆，则租用B种客车(25−a)辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可
求解；
（3）分别求得三种方案的费用，进而即可求解．
【详解】（1）解：设原计划租用A种客车x辆，根据题意得，
45x+30=60(x−6)，
解得：x=26
所以60×(26−6)=1200（人）
答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人；
（2）解：设租用A种客车a辆，则租用B种客车(25−a)辆，根据题意，得
¿
解得：18≤a≤20，
∵a为正整数，则a=18,19,20，
∴共有3种租车方案，
方案一：租用A种客车18辆，则租用B种客车7辆，
方案二：租用A种客车19辆，则租用B种客车6辆，
方案三：租用A种客车20辆，则租用B种客车5辆，
（3）∵A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，
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∴B种客车越少，费用越低，
方案一：租用A种客车18辆，则租用B种客车7辆，费用为18×220+7×300=6060元，
方案二：租用A种客车19辆，则租用B种客车6辆，费用为19×220+6×300=5980元，
方案三：租用A种客车20辆，则租用B种客车5辆，费用为20×220+5×300=5900元，
∴租用A种客车20辆，则租用B种客车5辆才最合算．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次方程与不等
式组是解题的关键．
4．（2023·四川内江·统考中考真题）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、
乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：
水果种类 进价（元千克） 售价（元）千克）
甲 a 20
乙 b 23
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要
470元．
(1)求a，b的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不
大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售
完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范
围；
(3)在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价3m元，
利润
乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（利润率= ）不低于16%，求m的最大值．
本金
【答案】(1)¿
(2)y=¿
(3)1.2
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为(100−x)千克，根据题意分
两种情况：30≤x≤60和60≤x≤80，然后分别表示出总利润即可；
利润
（3）首先根据题意求出y的最大值，然后根据保证利润率（利润率= ）不低于16%列出不等式求
本金
解即可．
【详解】（1）由题意列方程组为：¿，
解得¿；
（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为(100−x)千克，
∴当30≤x≤60时，
y=(20−14)x+(23−19)(100−x)=2x+400；
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当600，所以w随a增大而增大，
又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍，
得a≤1.5(40−a)，解得a≤24．
∴当a=24时，w最大，此时40−a=16，w=8×24+800=992．
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答：冰墩墩进货24个，雪容融进货16个时，获得最大利润，最大利润为992元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握相关知识
是解题的关键．
类型三 几何问题
1．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，直线y＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y＝﹣
1 2
x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与
最小值之差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】由于P的纵坐标为2，故点P在直线y= 2上，要求符合题意的m值，则P点为直线y= 2与题目中
两直线的交点，此时m存在最大值与最小值，故可求得．
【详解】∵点P (m， 2)是△ABC内部(包括边上)的点．
∴点P在直线y= 2上，如图所示，，
当P为直线y= 2与直线y 的交点时，m取最大值，
2
当P为直线y= 2与直线y 的交点时，m取最小值，
1
∵y =-x+ 3中令y=2，则x= 1，
2
∵y =x+ 3中令y=2，则x= -1，
1
∴m的最大值为1， m的最小值为- 1．
则m的最大值与最小值之差为：1- (-1)= 2．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的性质， 要求符合题意的m值，关键要理解当P在何处时m存在最大值与最
小值，由于P的纵坐标为2，故作出直线y= 2有助于判断P的位置．
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1
2．（2020·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣ x+2上的一个动点，将
2
Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为( )
4√5 5√2 6√5
A． B．√5 C． D．
5 3 5
【答案】B
【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数
的性质即可解决问题．
【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，
1 1
设Q(m，− m+2)，则PM=m﹣1，QM=− m+2，
2 2
∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，
∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，
∴∠QPM=∠PQ′N，
在△PQM和△Q′PN中，
¿，
∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，
1
∴PN=QM=− m+2，Q′N=PM=m﹣1，
2
1
∴ON=1+PN=3− m，
2
1
∴Q′(3− m，1﹣m)，
2
1 5 5
∴OQ′2=(3− m)2+(1﹣m)2= m2﹣5m+10= (m﹣2)2+5，
2 4 4
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当m=2时，OQ′2有最小值为5，
∴OQ′的最小值为√5，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与
图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
3．（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，一次函数y=x+4的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点
C(−2,0)是x轴上一点，点E，F分别为直线y=x+4和y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，
F的坐标分别为（ ）
( 5 3)
A．E − , ，F(0,2) B．E(−2,2)，F(0,2)
2 2
( 5 3) ( 2) ( 2)
C．E − , ，F 0, D．E(−2,2)，F 0,
2 2 3 3
【答案】C
【分析】作C（−2，0）关于y轴的对称点G（2，0），作C（2，0）关于直线y=x+4的对称点D，连接
AD，连接DG交AB于E，交y轴于F，此时 CEF周长最小，由y=x+4得A（-4，0），B（0，4），
1 2
∠BAC=45°，根据C、D关于AB对称，可得△ D（-4，2），直线DG解析式为y=− x+ ，即可得
3 3
( 2) ( 5 2)
F 0, ，由¿，得E − , ．
3 2 3
【详解】解：作C(−2,0)关于y轴的对称点G(2,0)，作C(2,0)关于直线y=x+4的对称点D，连接AD，连
接DG交AB于E，交y轴于F，如图：
∴DE=CE，CF=GF，
∴CE+CF+EF=DE+GF+EF=DG，此时△CEF周长最小，
由y=x+4得A(−4,0)，B(0,4)，
∴OA=OB，△AOB是等腰直角三角形，
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∴∠BAC=45°，
∵C、D关于AB对称，
∴∠DAB=∠BAC=45°，
∴∠DAC=90°，
∵C(−2,0)，
∴AC=OA−OC=2=AD，
∴D(−4,2)，
1 2
由D(−4,2)，G(2,0)可得直线DG解析式为y=− x+ ，
3 3
1 2 2
在y=− x+ 中，令x=0得y= ，
3 3 3
( 2)
∴F 0, ，
3
由¿，得¿，
( 5 3)
∴E − , ，
2 2
( 5 3) ( 2)
∴E的坐标为 − , ，F的坐标为 0, ，
2 2 3
故选：C．
【点睛】本题考查与一次函数相关的最短路径问题，解题的关键是掌握用对称的方法确定 CEF周长最小
时，E、F的位置．
△
4．（2023·重庆·统考中考真题）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位
长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两
者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．
(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．
【答案】(1)当00，
2 1
∴d的值由负到正．
故答案为：由负到正．
（2）解：设轨道AB的长为n，当滑块从左向右滑动时，
∵l +l +1=n，
1 2
∴l =n−l −1，
2 1
∴d=l −l =l −(n−l −2)=2l −n+1=2×9t−n+1=18t−n+1
1 2 1 1 1
∴d是t的一次函数，
∵当t=4.5s和5.5s时，与之对应的d的两个值互为相反数；
∴当t=5时，d=0，
∴18×5−n+1=0，
∴d=91，
∴滑块从点A到点B所用的时间为(91−1)÷9=10 (s)，
∵整个过程总用时27s（含停顿时间）．当滑块右端到达点B时，滑块停顿2s，
∴滑块从点B到点A的滑动时间为27−10−2= 15s，
∴滑块返回的速度为(91−1)÷15=6(m/s)，
∴当12≤t≤27时，l =6(t−12)，
2
∴l =91−1−l =90−6(t−12)=162−6t，
1 2
∴l −l =162−6t−6(t−12)=−12t+234，
1 2
∴d与t的函数表达式为d=−12t+234；
（3）当d=18时，有两种情况，
由（2）可得，
①当0≤t≤10时，18t−91+1=18，
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解得：t=6；
②当12≤t≤27时，−12t+234=18，
解得：t=18，
综上所述，当t=6或t=18时，d=18．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，分析得出n=91，并求得往返过程中的解析式是解题的关键．
2．（2023·广西·统考中考真题）【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易
杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：(m +m)⋅l=M⋅(a+ y).
0
其中秤盘质量m 克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水
0
平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【方案设计】
目标：设计简易杆秤．设定m =10，M=50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为
0
50厘米．
任务一：确定l和a的值．
(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任务二：确定刻线的位置．
(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；
(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
【答案】(1)l=5a
(2)101l−5a=250
(3)l=2.5,a=0.5
1
(4)y= m
20
(5)相邻刻线间的距离为5厘米
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据题意可直接代值求解；
（3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解；
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（4）根据（3）可进行求解；
（5）分别把m=0，m=100，m=200，m=300，m=400，m=500，m=600，m=700，m=800，
m=900，m=1000代入求解，然后问题可求解．
【详解】（1）解：由题意得：m=0,y=0，
∴10l=50a，
∴l=5a；
（2）解：由题意得：m=1000,y=50，
∴(10+1000)l=50(a+50)，
∴101l−5a=250；
（3）解：由（1）（2）可得：¿，
解得：¿；
（4）解：由任务一可知：l=2.5,a=0.5，
∴2.5(10+m)=50(0.5+ y)，
1
∴y= m；
20
1
（5）解：由（4）可知y= m，
20
∴当m=0时，则有y=0；当m=100时，则有y=5；当m=200时，则有y=10；当m=300时，则有
y=15；当m=400时，则有y=20；当m=500时，则有y=25；当m=600时，则有y=30；当m=700时，
则有y=35；当m=800时，则有y=40；当m=900时，则有y=45；当m=1000时，则有y=50；
∴相邻刻线间的距离为5厘米．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意．
3．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）某工厂生产种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）
与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系．部分数据如下表：
2
每件售价x/万元 … 24 28 30 32 …
6
4
月销售量y/件 … 52 44 40 36 …
8
(1)求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．
(2)该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
①求：三月份每件产品的成本是多少万元？
②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比
三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润
ω（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元？
【答案】(1)y=−2x+100
(2)①20万元；②ω=−2x2+112x−600(25≤x≤30)，950万元
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【分析】（1）从表格中任选两组数据，利用待定系数法求解；
（2）利用（1）中结论求出3月份销量，根据利润、销量、成本、售价之间的关系列方程即可；②列ω关
于x的二次函数关系式，结合自变量的取值范围求出函数的最值即可．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为y=kx+b，将(24,52)，(26,48)代入，得：
¿，
解得¿，
∴ y与x的函数关系式为y=−2x+100；
（2）解：①将x=35代入y=−2x+100，得y=−2×35+100=30（件），
设三月份每件产品的成本是a万元，
由题意得30×(35−a)=450，
解得a=20，
即三月份每件产品的成本是20万元；
②∵四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，
∴四月份每件产品的成本为20−14=6万元，
由题意得：ω= y(x−6)=(−2x+100)(x−6)=−2x2+112x−600(25≤x≤30)，
∵ −2<0，
∴抛物线的图象开口向下，
112
∵抛物线的对称轴为x=− =28，25≤x≤30，
2×(−2)
∴ x=25时，ω取最小值，此时ω=−2×252+112×25−600=950，
综上可知，ω关于售价x的函数关系式是ω=−2x2+112x−600(25≤x≤30)，最少利润是950万元．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数的实际应用，解题的关键是根据利润、销量、成本、售价之间的关
系正确列出函数关系式．
4．（2023·山东潍坊·统考中考真题）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做
对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（0≤x≤20），并分
别绘制在直角坐标系中，如下图所示．
k
(1)从y=ax+21(a≠0)，y= (k≠0)，y=−0.04x2+bx+c中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景
x
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下y随x变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；
(2)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥
作用的时间更长？
【答案】(1)场景A中y随x变化的函数关系为y=−0.04x2−0.1x+21，场景B中y随x变化的函数关系为
y=−x+21
(2)场景B
【分析】（1）由图象可知，场景A中y随x变化的函数关系为y=−0.04x2+bx+c，将(10,16)，(20,3)代
入y=−0.04x2+bx+c，进而可得y=−0.04x2−0.1x+21；场景B中y随x变化的函数关系为
y=ax+21(a≠0)，将(20,1)代入，进而可得y=−x+21；
（2）场景A中当y=3时，x=20；场景B中，将y=3代入y=−x+21，解得，x=24,判断作答即可．
【详解】（1）解：由图象可知，场景A中y随x变化的函数关系为y=−0.04x2+bx+c，
将(10,16)，(20,3)代入y=−0.04x2+bx+c，得¿，
解得¿，
∴y=−0.04x2−0.1x+21；
场景B中y随x变化的函数关系为y=ax+21(a≠0)，
将(20,1)，代入y=ax+21，得20a+21=1，解得a=−1，
∴y=−x+21；
（2）解：场景A中当y=3时，x=20；
场景B中，将y=3代入y=−x+21，得3=−x+21，解得x=18，
∵20>18，
∴该化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长．
【点睛】本题考查了函数图象，一次函数解析式，二次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与
灵活运用．
题型08 反比例函数与实际问题
用反比例函数解决实际问题的步骤：
1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
5）解：用函数解析式去解决实际问题．
利用反比例函数解决实际问题，要做到：
1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型；
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2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义；
3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
【易错点】
1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上；
2.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义．
1．（2022·江苏扬州·统考中考真题）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、
丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，
其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛
中成绩优秀人数最多的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】根据反比例函数图像与性质求解即可得到结论．
【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，设反比例函数表达式为
k
y= ，则令甲(x ,y )、乙(x ,y )、丙(x ,y )、丁(x ,y )，
x 1 1 2 2 3 3 4 4
过甲点作y轴平行线交反比例函数于(x ,y' )，过丙点作y轴平行线交反比例函数于(x ,y' )，如图所示：
1 1 3 3
由图可知y' >y ,y' x y' =k，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多；
3 3 3 3
综上所述：甲学校优秀人数<乙学校优秀人数=丁学校优秀人数<丙学校优秀人数，
∴在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图像与性质的实际应用题，读懂题意，并熟练掌握反比例函数的图像与性质
是解决问题的关键．
2．（2023·浙江温州·统考中考真题）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加
压后气体对汽缸壁所产生的压强P（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，P关于V的函数图象如
图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 mL．
【答案】20
6000
【分析】由图象易得P关于V的函数解析式为P= ，然后问题可求解．
V
k
【详解】解：设P关于V的函数解析式为P= ，由图象可把点(100,60)代入得：k=6000，
V
6000
∴P关于V的函数解析式为P= ，
V
6000
∴当P=75kPa时，则V = =80，
75
6000
当P=100kPa时，则V = =60，
100
∴压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了80−60=20mL；
故答案为20．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键．
应用，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活利用反比例函数的性质进行求解．
3．（2023·浙江衢州·统考中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，
同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b
（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
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素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ，视
1
力值n与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足n= (0.5≤θ≤10)．
θ
探究2 当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围．
素材3 如图3，当θ确定时，在A处用边长为b 的I号“E”测得的视力与在B处用边长为b 的Ⅱ号“E”测得
1 2
的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
【答案】探究1:检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为6mm，视力值1.2所对应行的
“E”形图边长为6mm；
探究2: 0.5≤θ≤1.0；
18
探究3：检测距离为3m时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为 mm．
5
7.2
【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系，由待定系数法可得n= ，将n=1.2
b
7.2
代入n= 得：b=6；
b
1
探究2：由n= ，知在自变量θ的取值范围内，n随着θ的增大而减小，故当n≥1.0时，0<θ≤1.0，即可得
θ
0.5≤θ≤1.0；
6 b
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得 = 2，即可解得答案．
5 3
【详解】探究1:
由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系，
k k
设n= (k≠0)，将其中一点(9,0.8)代入得：0.8= ，
b 9
解得：k=7.2，
7.2
∴ n= ，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；
b
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7.2
将n=1.2 代入n= 得：b=6；
b
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为6mm，视力值1.2所对应行的“E”形图
边长为6mm；
探究2:
1
∵ n= ，
θ
∴在自变量θ的取值范围内，n随着θ的增大而减小，
∴当n≥1.0时，0<θ≤1.0，
∵0.5≤θ≤10，
∴0.5≤θ≤1.0；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得
b b
1 = 2 ，
检测距离 检测距离
1 2
由探究1知b =6，
1
6 b
∴ = 2，
5 3
18
解得b = ，
2 5
18
答：检测距离为3m时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为 mm．
5
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性
质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决．
4．（2022·山东枣庄·统考中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果
显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即
整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）
的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3
天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x（天） 3 5 6 9 ……
硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 ……
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(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数
表达式；
(2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
【答案】(1)线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；
13.5
(2)y＝ （x≥3）；
x
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由见解析．
【分析】（1）设线段AC的函数表达式为：y=kx+b，把A、C两点坐标代入求出k、b的值即可；
k
（2）设函数的表达式为：y= ，把C点坐标代入，求出k的值即可；
x
（3）根据（2）所得表达式，求出x=15时，y的值与硫化物浓度允许的最高值比较即可．
【详解】（1）解：由前三天的函数图像是线段，设函数表达式为：y=kx+b
把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得¿ ，
解得：k=﹣2.5，b=12
∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12；
k
（2）解：当x≥3时，设y= ，
x
k
把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5= ，
3
解得k=13.5，
13.5
∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ；
x
（3）解：能，理由如下：
13.5
当x=15时，y= =0.9，
15
因为0.9＜1，
所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
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【点睛】本题考查一次函数和反比例函数，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关
键．
题型09 二次函数与实际问题
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1.审：仔细审题，理清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当
的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果
顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值
解决利润最大问题是否存在最大利润问题.
利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点
的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题.
利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后
利用函数的最值解决面积最值问题.
【注意】自变量的取决范围.
利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合
直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条
件进行计算．
利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设
出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条
件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不
存在．
类型一 销售问题
1．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，
日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
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(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)y=−2x+100；
(2)40元或20元；
(3)当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元；
【分析】（1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；
（3）根据题意，列出w与x的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．
【详解】（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为y=kx+b，
把点（25，50）和点（35，30）代入，得
¿，解得¿，
∴一次函数的解析式为y=−2x+100；
（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，则
(x−10)×(−2x+100)=600，
解得：x =40，x =20，
1 2
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）解：根据题意，则
w=(x−10)×(−2x+100)，
整理得：w=−2(x−30) 2+800；
∵−2<0，
∴当x=30时，w有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键
是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题．
2．（2023·江苏无锡·统考中考真题）某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销
售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg，经市场调查发现每天的销售量y(kg)与销售价格x（元/kg）
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之间的函数关系如图所示．
(1)求y关于x的函数表达式：
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售
利润=（销售价格一采购价格）×销售量】
【答案】(1)y=¿
(2)销售价格为35元/kg时，利润最大为450
【分析】（1）分22≤x≤30时，当30400，
∴当销售价格为35元/kg时，利润最大为450．
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【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
3．（2023·内蒙古·统考中考真题）随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新
型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、
设该产品2022年第x（x为整数）个月每台的销售价格为y（单位：元），y与x的函数关系如图所示（图
中ABC为一折线）．
(1)当1≤x≤10时，求每台的销售价格y与x之间的函数关系式；
1
(2)设该产品2022年第x个月的销售数量为m（单位：万台），m与x的关系可以用m= x+1来描述，求
10
哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入=每台的销售价格×销售数量）
【答案】(1)y=−150x+3000
(2)第5个月的销售收入最多，最多为3375万元
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据销售收入=每台的销售价格×销售数量求得销售收入为w万元与销售月份x之间的函数关系，再利
用函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：当1≤x≤10时，设每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)．
∵图象过A(1,2850),B(10,1500)两点，
∴¿，解得¿
∴当1≤x≤10时，每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y=−150x+3000．
（2）设销售收入为w万元，
①当1≤x≤10时，w=(−150x+3000) ( 1 x+1 ) =−15(x−5) 2+3375，
10
∵−15<0，当x=5时，w =3375（万元）．
最大
( 1 )
②当100，
∴w随x的增大而增大，
∴当x=12时，w =3300（万元）．
最大
∵3375>3300，∴第5个月的销售收入最多，最多为3375万元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关
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系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
类型二 拱桥问题
1．（2023·贵州·统考中考真题）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计
了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水
平线OA垂直，OC=9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA=3，点B在抛物线上，点B到对称轴
的距离是1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA,PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你
帮小星找到点P的位置并求出坐标；
(3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y=−x2+2bx+b−1(b>0)，当4≤x≤6时，函
数y的值总大于等于9．求b的取值范围．
【答案】(1)y=−x2+9
(2)点P的坐标为(0,6)
46
(3)b≥
13
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+k，将C(0,9)，A(3,0)代入即可求解；
（2）点B关于y轴的对称点B'，则PA+PB=PA+PB'≥AB'，求出直线AB'与y轴的交点坐标即可；
（3）分05两种情况，根据最小值大于等于9列不等式，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴与y轴重合，
∴设抛物线的解析式为y=ax2+k，
∵ OC=9，OA=3，
∴ C(0,9)，A(3,0)，
将C(0,9)，A(3,0)代入y=ax2+k，得：
¿，
解得¿，
∴抛物线的解析式为y=−x2+9；
（2）解： ∵抛物线的解析式为y=−x2+9，点B到对称轴的距离是1，
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当x=1时，y=−1+9=8，
∴ B(1,8)，
作点B关于y轴的对称点B'，
则B'(−1,8)，B'P=BP，
∴ PA+PB=PA+PB'≥AB'，
∴当B'，B，A共线时，拉杆PA,PB长度之和最短，
设直线AB'的解析式为y=mx+n，
将B'(−1,8)，A(3,0)代入，得¿，
解得¿，
∴直线AB'的解析式为y=−2x+6，
当x=0时，y=6，
∴点P的坐标为(0,6)，位置如下图所示：
（3）解：∵ y=−x2+2bx+b−1(b>0)中a=−1<0，
∴抛物线开口向下，
当05时，
在4≤x≤6范围内，当x=4时，y取最小值，最小值为：−42+2×4b+b−1=9b−17
则9b−17≥9，
26
解得b≥ ，
9
∴ b>5；
46
综上可知， ≤b≤5或b>5，
13
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46
∴ b的取值范围为b≥ ．
13
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根据对称性求线段
的最值，抛物线的增减性等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，第3问注意分情况讨
论．
2．（2023·陕西·统考中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门
的跨度与拱高之积为48m2，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方
案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m，拱高PE=4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE=EN．
方案二，抛物线型拱门的跨度ON'=8m，拱高P'E'=6m．其中，点N'在x轴上，P'E' ⊥O'N'，
O'E'=E'N'．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架
ABCD的面积记为S ，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C'D'的面积记为
1
S ，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上．现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'=3m时，
2
S =12√2m2 ，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
2
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S 并比较S ，S 的大小．
1 1 2
1 4
【答案】(1)y=− x2+ x
9 3
(2)18m2，S >S
1 2
【分析】（1）利用待定系数法则，求出抛物线的解析式即可；
1 4 1 4
（2）在y=− x2+ x中，令y=3得：3=− x2+ x，求出x=3或x=9，得出BC=9−3=6(m)，求出
9 3 9 3
S =AB⋅BC=3×6=18(m2)，然后比较大小即可．
1
【详解】（1）解：由题意知，方案一中抛物线的顶点P(6，4)，
设抛物线的函数表达式为y=a(x−6) 2+4，
把O(0，0)代入得：0=a(0−6) 2+4，
1
解得：a=− ，
9
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1 1 4
∴y=− (x−6) 2+4=− x2+ x；
9 9 3
1 4
∴方案一中抛物线的函数表达式为y=− x2+ x；
9 3
1 4 1 4
（2）解：在y=− x2+ x中，令y=3得：3=− x2+ x，
9 3 9 3
解得x=3或x=9，
∴BC=9−3=6(m)，
∴S =AB⋅BC=3×6=18(m2)；
1
∵18>12√2，
∴S >S ．
1 2
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法则，求
出函数解析式．
3．（2021·贵州贵阳·统考中考真题）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA
可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA=8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处．
有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设
船底与水面齐平）；
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA
在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m(m>0)个单位长度，平移后的函数图
象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．
1
【答案】（1）y=− x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；（3）5≤m≤8
4
【分析】（1）设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，根据待定系数法，即可求解；
1
（2）把：x =1，代入y=− x2+2x，得到对应的y值，进而即可得到结论；
4
（3）根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到m的范围．
【详解】（1）根据题意得：A(8，0)，B(4，4)，
设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，
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1
把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：a=− ，
4
1 1
∴二次函数的解析式为：y=− (x-8)x=− x2+2x（0≤x≤8）；
4 4
1 1 7
（2）由题意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=− x2+2x，得y=− ×12+2×1= ＞1.68，
4 4 4
答：他的头顶不会触碰到桥拱；
1
（3）由题意得：当0≤x≤8时，新函数表达式为：y= x2-2x，
4
1
当x＜0或x＞8时，新函数表达式为：y=- x2+2x，
4
∴新函数表达式为：y=¿，
∵将新函数图象向右平移m(m>0)个单位长度，
∴O'（m，0），A'（m+8，0），B'（m+4，-4），如图所示，
根据图像可知：当m+4≥9且m≤8时，即：5≤m≤8时，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大
而减小．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的图像和性质，二次
函数图像平移和轴对称变换规律，是解题的关键．
类型三 图形问题
1．（2022·江苏无锡·统考中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖
场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，
已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
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(1)若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】(1)x的值为2m；
10 140
(2)当x= 时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2
3 3
【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36m2，列一元二次方程，解方
程即可求解；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性
质求解即可．
【详解】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，
1
∴BD=3x，AB=CF=DE= (24-BD)=8-x，
3
依题意得：3x(8-x)=36，
解得：x=2，x=6(不合题意，舍去)，
1 2
此时x的值为2m；
；
（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵墙的长度为10，
∴0＜3x＜10，
10
∴0＜x＜ ，
3
∵-3<0，
∴x＜4时，S随着x的增大而增大，
10 10 2 140
∴当x= 时，S有最大值，最大值为−3×( −4) +48= ，
3 3 3
10 140
即当x= 时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2．
3 3
【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的
性质是解题的关键．
2．（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB
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在x轴上，且AB=8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC=8dm．现计划将此余料进
行切割：
(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；
(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；
(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．
【答案】(1)(96−32√5)dm2 ；
(2)20dm；
(3)能切得半径为3dm的圆．
【分析】（1）先把二次函数解析式求出来，设正方形的边长为2m，表示在二次函数上点的坐标，代入即
可得到关于m的方程进行求解；
（2）如详解2中图所示，设矩形落在AB上的边DE=2n，利用函数解析式求解F点坐标，进而表示出矩形
的周长求最大值即可；
（3）设半径为3dm的圆与AB相切，并与抛物线小脚，设交点为N，求出交点N的坐标，并计算点N是
⊙M与抛物线在y轴右侧的切点即可．
【详解】（1）由题目可知A（-4，0），B（4，0），C（0，8）
设二次函数解析式为y=ax²+bx+c，
∵对称轴为y轴，
1
∴b=0，将A、C代入得，a=− ，c=8
2
1
则二次函数解析式为y=− x2+8，
2
如下图所示,正方形MNPQ即为符合题意得正方形，设其边长为2m，
则P点坐标可以表示为（m，2m）
代入二次函数解析式得，
1
− m2+8=2m，解得m =2√5−2,m =−2√5−2（舍去），
2 1 2
∴2m=4√5−4，(2m) 2=(4√5−4) 2=96−32√5
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则正方形的面积为(96−32√5)dm2；
（2）如下图所示矩形DEFG，设DE=2n，则E（n，0）
将x=n代入二次函数解析式，得
1
y=− n2+8，
2
1
则EF=− n2+8，
2
1
矩形DEFG的周长为：2（DE+EF）=2（2n+− n2+8）=−n2+4n+16=−(n−2) 2+20，
2
当n=2时，矩形的周长最大，最大周长为20dm；
（3）若能切成圆，能切得半径为3dm的圆，理由如下：
如图，N为⊙M上一点，也是抛物线上一点，过点N作⊙M的切线交y轴于点Q，连接MN，过点N作
NP⊥y轴于P，
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设N ( m,− 1 m2+8 ) ，
2
由勾股定理得：PM2+PN2=M N2，
∴m2+ ( − 1 m2+8−3 ) 2 =32
2
解得：m =2√2，m =−2√2（舍去），
1 2
∴N(2√2,4)，
∴PM=4−3=1
PM MN 1
∵cos∠NMP= = =
MN QM 3
∴QM=3MN=9
∴Q(0,12)
设QN的解析式为：y=kx+b
∴¿
∴¿
∴QN的解析式为：y=−2√2x+12
1
与抛物线联立为：− x2+8=−2√2x+12
2
1
x2−2√2x+4=0
2
1
Δ=(−2√2) 2 −4× ×4=0
2
所以此时N为⊙M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，
所以若切割成圆，能够切成半径为3dm的圆．
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【点睛】本题考查了二次函数与几何结合，熟练掌握各图形的性质，能灵活运用坐标与线段长度之间的转
换是解题的关键．
3．（2022·安徽·统考中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边
BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐
标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
P P
(2)在隧道截面内（含边界）修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点 1， 4
在x轴上，MN与矩形P P P P 的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P P ，P P ，P P ，MN
1 2 3 4 1 2 2 3 3 4
长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“ ”型栅栏，如图2，点
P
2，
P
3在抛物线AED上．设点
P 1的横坐标为m(02.44，
3
∴球不能射进球门；
1
（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y=− (x−2−m) 2+3，
12
1
把点(0,2.25)代入得2.25=− (−2−m) 2+3，
12
解得m =−5（舍去），m =1，
1 2
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，
熟练掌握待定系数法是解题的关键．
4．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽
了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截
面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75 cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对
面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数
据：
水平距离x/cm 0 10 50 90 130 170 230
竖直高度y/cm 28.75 33 45 49 45 33 0
(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点(x,y)，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的
大致图象；
(2)① 当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始
点的水平距离是__________cm；
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②求满足条件的抛物线解析式；
(3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，
又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长OB为
274cm，球网高CD为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度OA的值约为1.27cm．请你计
算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】(1)见解析
(2)①49；230；②y=−0.0025(x−90) 2+49
(3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为64.39cm
【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解；
（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当y=0时，x=230；
②待定系数法求解析式即可求解；
（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为y=−0.0025(x−90) 2+49+h−28.75，根据题意当x=274
时，y=0，代入进行计算即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）①观察表格数据，可知当x=50和x=130时，函数值相等，则对称轴为直线x=90，顶点坐标为
(90,49)，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是49 cm，
当y=0时，x=230，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是230 cm；
故答案为：49；230．
②设抛物线解析式为y=a(x−90) 2+49，将(230,0)代入得，
0=a(230−90) 2+49，
解得：a=−0.0025，
∴抛物线解析式为y=−0.0025(x−90) 2+49；
（3）∵当OA=28.75时，抛物线的解析式为y=−0.0025(x−90) 2+49，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为h，则平移距离为h−28.75 (cm)，
∴平移后的抛物线的解析式为y=−0.0025(x−90) 2+49+h−28.75，
依题意，当x=274时，y=0，
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即−0.0025(274−90) 2+49+h−28.75=0，
解得：h=64.39．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为64.39cm．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的
性质是解题的关键．
一、单选题
1．（2023·河南周口·校联考模拟预测）某商场按标价销售某品牌电器一件可获利1250元，利润率为50%．
为了让利顾客，提高销量，今年“五一”期间，该商场按同一标价打九折销售该品牌电器．那么“五一”
期间销售一件该品牌电器可获得的纯利润为（ ）
A．875元 B．750元 C．562.5元 D．550元
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，
列出方程求解．
设某品牌电器的进价为x元，则标价为(x+1250)元，根据题意列出一元一次方程求解即可．
【详解】解：设某品牌电器的进价为x元，则标价为(x+1250)元，
根据题意得：x+1250−x=50%x，
解得：x=2500，
∴0.9(x+1250)−x=0.9×(2500+1250)−2500=875，
∴ “五一”期间销售一件该品牌电器可获得的纯利润为875元．
故选：A．
2．（2023·广西玉林·统考模拟预测）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：“今
有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十；今将钱三十，得酒二斗，问醇酒、行酒各得几何？”其意
思是：今有醇酒（优质酒)1斗，价值50钱；行酒（劣质酒)1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒，问
能买醇酒、行酒各多少斗？设能买醇酒x斗，行酒y斗，可列出关于x，y的二元一次方程组（ ）
A．¿ B．¿ C．¿D．¿
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次
方程组是解题的关键．
利用总价＝单价×数量，结合用30钱买酒2斗，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：∵要买2斗酒，
∴x+ y=2，
∵醇酒（优质酒）5斗，价格50钱；行酒（劣质酒)1斗，价值10钱，
∴50x+10 y=30，
∴根据题意可列方程组¿，
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故选：A．
3．（2023·新疆乌鲁木齐·统考模拟预测）某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280
万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了20%，结果刚好提前5天完成订单任务．
设该厂家更换设备前每天生产x万个口罩，则可列方程式为（ ）
280 280 280 280 280 280 280 280
A． = +5 B． = +5 C． = −5 D． = +5
x 1.2x x 0.2x x 1.2x 0.2x x
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的实际应用问题，根据题意列出方程式即可．根据提高效率之后，按原计划
的生产时间＝提高效率后生产时间+5，可得结果．
【详解】解：设该厂家更换设备前每天生产x万个口罩，则
280 280
= +5，
x 1.2x
故选A
4．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I与电阻R是反比例
函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
13
A．函数表达式为I= B．蓄电池的电压是18V
R
C．当R=3.6Ω时，I=4A D．当I≤10A时，R≥3.6Ω
【答案】D
k
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，根据函数图象可设I= ，再将(4,9)代入即可得
R
出函数关系式，从而解决问题．
k
【详解】解：设I= ，
R
∵图象过(4,9)，
∴k=4×9=36，
36
∴I= ，故选项A错误，不符合题意；
R
∴蓄电池的电压是36V，故选项B错误，不符合题意；
36
当R=3.6Ω时，I= =10(A)，故选项C错误，不符合题意；
3.6
当I=10A时，R=3.6Ω，
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由图象知：当I≤10A时，R≥3.6Ω，故选项D正确，符合题意；
故选：D
5．（2023·广东湛江·统考一模）甲、乙两车在同一直线上从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲
车比乙车早出发2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车离开A地的距离y(km)与甲行驶时间
x(h)的函数图象．根据图中提供的信息，有下列说法：①乙车速度是80km/h；②m的值为1；③a的值为
7
40；④乙车比甲车早 h到达B地．其中正确的有（ ）
4
A．①②③④ B．①② C．①②③ D．②③④
【答案】A
【分析】本题考查了就函数图象获取信息，求一次函数的表达式．根据图象可得乙车形式120千米用
(3.5−2)小时，即可判断①；根据甲车途中休息了0.5h，即可求出m的值，即可判断②；求出甲车的速度，
即可判断③；用待定系数法求出设甲车休息之后行驶路程y(km)与时间x(h)的函数关系式为y=40x−20，
把y=260代入y=40x−20求出x=7，即甲车用7小时到达，再求出乙车行驶260km需要
7
260÷80=3.25(h)，即可求出乙车比甲车早 h到达B地，即可判断④．
4
【详解】解：120÷(3.5−2)=80（千米/小时），
即乙车速度是80km/h，故①正确；
由题意，得m=1.5−0.5=1．故②正确；
120÷(3.5−0.5)=40(km/h)，则a=40，
故③正确；
设甲车休息之后行驶路程y(km)与时间x(h)的函数关系式为y=kx+b，
把(1.5,40),(3.5,120)代入得：
¿，
解得¿，
∴y=40x−20，
根据图形得知：甲、乙两车中先到达B地的是乙车，
把y=260代入y=40x−20得：260=40x−20，
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解得：x=7，
∵乙车的行驶速度：80km/h，
∴乙车行驶260km需要260÷80=3.25(h)，
7
∴7−(2+3.25)= (h)，
4
7
∴乙车比甲车早 h到达B地．故④正确．
4
综上所述，正确的结论有①②③④．
故选：A．
6．（2023·广东深圳·校考模拟预测）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标
系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：
①AB=30m；
1
②池底所在抛物线的解析式为y= x2−5；
45
③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；
1
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的 ．
4
其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据图象可以判断①；设出池底所在抛物线的解析式为y=ax2−5，再把(15,0)代入解析式求出
a即可判断②；把x=12代入解析式求出y=−1.8，再用5−1.8即可判断③；把x=6代入解析式即可判断④．
【详解】解：①观察图形可知，AB=30m，故①正确；
②设池底所在抛物线的解析式为y=ax2−5，
1
将(15,0)代入，可得a= ，
45
1
故抛物线的解析式为y= x2−5；故②正确；
45
1
③∵y= x2−5，
45
∴当x=12时，y=−1.8，
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故池塘最深处到水面CD的距离为5−1.8=3.2(m)，故③错误；
④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为12m时，
1
将x=6代入y= x2−5，得y=−4.2，
45
可知此时最深处到水面的距离为5−4.2=0.8(m)，
1
即为原来的 ，故④正确．
4
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线的实际应用，体现了数学建模、数学抽象、数学运算素养．
二、填空题
7．（2023·安徽·校联考模拟预测）掷实心球是安徽省高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图是某学
生投实心球，出手后实心球沿一段抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)运行，当运行到最高点时，
运行高度y=3m，水平距离x=3m．
3
（1）当出手高度为 m时，a= ；
2
（2）若实心球落地水平距离不小于8m，且不超过10m，则a的取值范围是 ．
1 3 3
【答案】 − − ≤a≤−
6 25 49
【分析】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质及其应用；
（1）利用待定系数法求出解析式即可；
（2）设y=a(x−3) 2+3，根据当x=8时，y≥0，x=10时，y≤0即可求出a的取值范围．
【详解】解：（1）设y=a(x−3) 2+3，
( 3) 3
将 0, 代入可得 =9a+3，
2 2
1
解得a=− ，
6
1
故答案为：− ；
6
（2）设y=a(x−3) 2+3，
若落地水平距离不小于8m，
3
则当x=8时，y≥0，代入得25a+3≥0，解得a≥− ；
25
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3
当x=10时，y≤0，代入得49a+3≤0，解得a≤− ，
49
3 3
综上所述，− ≤a≤− ．
25 49
8．（2023·广东清远·统考三模）小华和小兰两家相距2400米，他们相约到两家之间的剧院看戏，两人同
时从家出发匀速前行，出发15分钟后，小华发现忘带门票，立即以原来速度的1.5倍返回家中，取完东西
后仍以返回时的速度去见小兰；而小兰在出发30分钟时到达剧院，等待10分钟后未见小华，于是仍以原
来的速度，从剧院出发前往小华家，途中两人相遇．假设小华掉头、取票时间均忽略不计．两人之间的距
离y（米）与小华出发时间x（分钟）之间的关系如图所示，则当两人相遇时，小兰距离剧院有
米．
【答案】120
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题关键是读懂函数图象；
先求出小兰和小华的速度，再根据函数图象求出小华后来的速度和再次出发后两人相遇的时间，由此即可
得出答案．
【详解】解：由题意得15v =1.5v ⋅t ，
华 华 返家
∴小华从发现没带门票到返回家中拿到票所用时间为10分钟，
∴当小华拿到门票时，小兰用25分钟走了2400−1400=1000（米），
∴小兰的速度：v =1000÷25=40（米/分），
兰
∴小兰家与剧院的距离为40×30=1200（米），
∴小华家与剧院的距离为2400−1200=1200（米）；
又∵他们从家出发15分钟后，两人相距1200米，
∴15(v +v )=1200，即15(v +40)=1200，
华 兰 华
解得，v=40（米/分），
∴小华后来的速度为v=1.5×40=60（米/分）；
设小华再次从家出发到两人相遇所用时间为t分，
则40(t−10)+60t=1400，
解得，t=18，
∴两人相遇时，小兰与剧院的距离为1200−60×18=120（米）．
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故答案为：120．
9．（2023·广东云浮·统考一模）某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血
液中的含药量y（毫克）与时间t（时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量
不少于0.25毫克时治疗有效，则服药后治疗疾病的有效时间为 小时．
15
【答案】15
16
m
【分析】将点(1,4)分别代入y=kt，y= 中，求出k、m，确定出函数关系式，再把y=0.25代入两个函
t
数式中求出对应的t，把所求两个时间t作差即可．
【详解】解：由题意可得，
当t=1时，y=4，
当0≤t≤1时，设函数关系式为y=kt，
将(1,4)代入可得：4=k，
所以y与t的函数关系式为y=4t；
m
当t>1时，函数关系式为y= ，
t
将(1,4)代入可得：m=4，
4
所以y与t的函数关系式是：y= ；
t
当0≤t≤1时，将y=0.25代入y=4t可得：0.25=4t，
1
解得：t = ；
1 16
4
当t>1时，将y=0.25代入可得：0.25= ，
t
解得：t =16．
2
15
t −t =15 （小时），
2 1 16
15
所以成年人服药一次有效的时间是15 小时．
16
15
故答案为：15 ．
16
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【点睛】此题主要考查了反比例函数和一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
三、解答题
10．（2023·河南周口·统考二模）某社区开展关爱“空巢”老人的活动，现从厂家购进“九连环”与“鲁
班锁”两种益智玩具用来丰富晚年生活，已知购进2副“九连环”和3副“鲁班锁”共需320元；购进6副
“九连环”和4副“鲁班锁”共需560元．
(1)分别求这两种玩具的单价；
(2)该社区计划购进“九连环”的数量比“鲁班锁”数量的2倍还多10副，且两种益智玩具的总数量不少于
70副，社区应如何安排购买才能使费用最少？最少费用为多少？
【答案】(1)每副“九连环”40元，每副“鲁班锁”80元
(2)购进“鲁班锁”20副，购进“九连环”50副，费用最少，最少费用为3600元
【分析】（1）设每副“九连环”m元，每副“鲁班锁”n元，列方程组可解得每副“九连环”40元，每副
“鲁班锁”80元；
（2）设购进“鲁班锁”x副，则购进“九连环”(2x+10)副，一共的购买费用为w元，由两种益智玩具的
总数量不少于70副，可得x+(2x+10)≥70，x≥20，而w=80x+40(2x+10)=160x+400，由一次函
数的性质可得答案．
本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
【详解】（1）设每副“九连环”m元，每副“鲁班锁”n元，
根据题意得¿，
解得¿，
∴每副“九连环”40元，每副“鲁班锁”80元．
（2）设购进“鲁班锁”x副，则购进“九连环”(2x+10)副，一共的购买费用为w元，
∵两种益智玩具的总数量不少于70副，
∴x+(2x+10)≥70，
解得x≥20，
根据题意得：w=80x+40(2x+10)=160x+400，
∵160>0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x=20时，w取最小值，最小值为160×20+400=3600(元)；
此时2x+10=2×20+10=50，
∴购进“鲁班锁”20副，购进“九连环”50副，费用最少，最少费用为3600元．
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11．（2023·浙江绍兴·校联考模拟预测）为节约用水，我市居民生活用水按级收费，水价分三个等级：第
一级为月用水量17m3 及以下（含17m3）；第二级为月用水量超过17m3，不到31m3 第三级为月用水量
31m3 及以上（含31m3 )．下面是某住户收到的一张自来水总公司水费专用发票．
自来水息公司水费专用发票
发票联
计费日期：2023−04−01至2023−04−30
加原表用水量
上期抄见数 本期抄见数 本期用水量(m3 )
(m3
)
587 607 20
自来水费（含水资源费） 污水处理费
用水量 金额 用水量
单价（元/m3） 单价（元/m3） 金额（元）
(m3 ) （元） (m3 )
阶梯一：171.7529.75
170.457.65 30.61.8
阶梯二：32.36.9
本期实付金额（大写） 肆拾陆元壹角整￥46.10
注：（居民生活用水水价=自来水费+污水处理费）
(1)若该用户估计5月份的用水量为28m3，则该用户在5月份应交水费多少元？
(2)若某用户该月的实付水费为54.8元，求该用户该月的用水量．
【答案】(1)该用户在5月份应交水费69.3元；
(2)该用户该月的用水量为23m3
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算以及一元一次方程的应用；
（1）根据月用水量即可求出需要交的水费；
（2）设用水量为xm3，根据题意按第二级用水，列出方程即可求出x的值，．
【详解】（1）解： 17×1.75+11×2.3+17×0.45+11×0.6=69.3（元)，
答：该用户在5月份应交水费69.3元；
（2）∵54.8<69.3，
∴该用户该月的用水量小于28m3，
设该用户该月的用水量x m3，
17×1.75+(x−17)×2.3+17×0.45+(x−17)×0.6=54.8，
解得，x=23，
答：该用户该月的用水量为23m3．
12．（2023·广西贵港·统考二模）为实现“乡村振兴”战略目标，某乡镇制定了“以产业带动发展”的策
略，开发出了某新型农产品，计划租用A，B两种型号的货车将该农产品运往外地销售，已知用1辆A型
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车和2辆B型车载满该农产品一次可运11吨；用2辆A型车和1辆B型车载满该农产品一次可运10吨．
现有该农产品31吨，计划一次运完，且每辆车都满载．
(1)1辆A型货车和1辆B型货车满载时一次分别运该农产品多少吨？
(2)若1辆A型货车需租金100元/次，1辆B型货车需租金120元/次，请问有几种租车方案？哪种最省钱？
【答案】(1)1辆A型货车载满该农产品一次可运送3吨，1辆B型货车载满该农产品一次可运送4吨
(2)有3种租车方案，租用1辆A型车，7辆B型车最省钱
【分析】本题主要考查列二元一次方程（组）以及利用二元一次方程（组）解决方案问题：
（1）设1辆A型货车载满该农产品一次可运送x吨，1辆B型货车载满该农产品一次可运送y吨，根据
“用1辆A型车和2辆B型车载满该农产品一次可运11吨；用2辆A型车和1辆B型车载满该农产品一次
可运10吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）现有该农产品31吨，计划一次运完，且每辆车都满载，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合
a，b均为非负整数，即可得出各租车方案；根据租车总费用＝租用每辆车的费用×租用的辆数，即可求出
各租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设1辆A型货车载满该农产品一次可运送x吨，1辆B型货车载满该农产品一次可运送
y吨，
由题意可得：¿，
解得：¿，
答：1辆A型货车载满该农产品一次可运送3吨，1辆B型货车载满该农产品一次可运送4吨；
（2）解：设租用A型货车a辆，B型货车b辆，
由题意可得：3a+4b=31，
31−4b
∴ a= ，
3
又∵a，b均为非负整数，
∴¿或¿或¿，
∴该物流公司共有3种租车方案，
方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；
方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；
方案3：租用1辆A型车，7辆B型车，
∴方案1的费用：9×100+1×120=1020元，
方案2的费用：5×100+4×120=980元，
方案3的费用：1×100+7×120=940元，
∵1020＞980＞940，
∴方案3最省钱．
13．（2023·安徽·模拟预测）如图，某长为800m的隧道的横截面顶部为拋物线形，隧道的左侧是高为4m
的墙OA，右侧是高为5m的墙BC，拱壁上某处离地面的高度y(m)与其离墙OA的水平距离x(m)之间的关系
1
满足y=− x2+bx+c．现测得OA,BC两墙体之间的水平距离为12m．
6
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(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OC的距离．
203
(2)从隧道头到隧道尾，在拋物线形拱壁上安装若干排吊灯，每排吊灯与地面的距离都不低于 m，每相
32
邻两排吊灯之间的水平距离为2m，每排内相邻两盏吊灯之间的距离为10m．求共需要多少盏吊灯？
(3)如果隧道内设双向行车道，每条车道的宽为5m，两条车道之间是宽为1m的绿化带，一辆货车载一个长
方体集装箱后高为5m、宽为4m，那么这辆货车无论从哪条车道都能安全通过吗？请说明理由．
1( 25) 2 1009 1009
【答案】(1)y=− x− + ， m
6 4 96 96
(2)486盏
(3)货车无论从哪条车道都能安全通过，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的实际应用：
1
（1）根据已知条件得出点A和点B的坐标，代入y=− x2+bx+c即可求出函数关系式，化为顶点式，即
6
可求出拱顶D到地面OC的距离；
203
（2）令y= ，解方程求出最外侧两排吊灯的水平距离，再求出吊灯的排数和每排吊灯的个数，即可求
32
解；
（3）隧道左侧比右侧低，因此若货车从左车道能通过，则从右车道一定能通过．令货车右侧车轮靠近中
间的绿化带，求出左侧车轮与地面的交点坐标，再求了此处隧道的高，与货车的高度进行比较即可．
【详解】（1）解：由题意知OA=4，BC=5，CC=12，
∴ A(0,4),B(12,5)，
1
代入y=− x2+bx+c，得¿，
6
解得¿，
∴y=−
1
x2+
25
x+4=−
1(
x−
25) 2
+
1009
．
6 12 6 4 96
1009
∴拱顶D到地面OC的距离为 m．
96
1( 25) 2 1009 203
（2）解：令y=− x− + = ，
6 4 96 32
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5 45
解得x = ,x = ，
1 4 2 4
45 5
∴ x −x = − =10，
2 1 4 4
(10 ) (800 )
+1 × +1 =486（盏）．
2 10
答：共需要486盏吊灯．
（3）解：货车无论从哪条车道都能安全通过．
理由：由题意，得若货车从左车道能通过，则从右车道一定能通过．
(12−1 ) (3 )
设货车从左车道行驶，货车最左侧车轮与地面的交点为 −4,0 ，即 ,0 ，
2 2
3 1 (3) 2 25 3 27
当x= 时，y=− × + × +4= >5，
2 6 2 12 2 4
∴货车无论从哪条车道都能安全通过．
14．（2023·河南濮阳·统考三模）湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对
此展开研究：跨度AB为4米，桥墩露出水面的高度AE为0.88米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥
距离水面的高度为2.88米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=a(x−h) 2+k，其
中x(m)是横截水面，y(m)是拱桥距水面的高度．
(1)求抛物线的表达式；
(2)公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、D两处设置航行警戒线，并且CE=DF，要
求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为多少米？
1
【答案】(1)y=− (x−2) 2+2.88；
2
(2)C处距桥墩的距离CE至少为0.8米．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，审清题意、掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）先确定抛物线的顶点坐标，然后用代入消元法即可解答；
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1
（2）令y=2.16可得2.16=− (x−2) 2+2.88，然后解二元一次方程即可解答．
2
【详解】（1）解：∵AB为4米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为2.88米，
∴抛物线顶点为(2，2.88)，
设抛物线的表达式为y=a(x−2) 2+2.88，
1
将A(0，0.88)代入得：0.88=4a+2.88，解得a=− ．
2
1
∴抛物线的表达式为y=− (x−2) 2+2.88．
2
1
（2）解：在y=− (x−2) 2+2.88中，令y=2.16可得：
2
1
2.16=− (x−2) 2+2.88，
2
解得：x=3.2（舍去）或x=0.8，
∴C处距桥墩的距离CE至少为0.8米．
15．（2023·河南周口·校联考模拟预测）为了改善小区的环境，提高业主的幸福感，某市开展老旧小区提
质改造工程．某小区要把某广场改建成为喷泉广场．在广场中央O处安装一个喷水管OA，从A点向四周喷
水，喷出的水流为形状相同的抛物线，且水柱OA的高度不影响抛物线的形状．已知当OA=1.25 米时，
水流在距OA的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
(1)求水流落地点距中心点O的距离．
(2)受场地的限时，喷泉广场的最大内径为2.3米，为了不让水喷到外面，水柱OA的高度至少降低多少米？
【答案】(1)水流落地点距中心点O的距离是2.5米；
(2)2.2275米．
【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的求出二次函数解析式，是解题的关键．
（1）设第一象限的抛物线解析式为y=a(x−1) 2+2.25，待定系数法求出函数解析式，令y=0，求出自变
量的值即可；
（2）根据喷泉广场的最大内径为2.3米，得到水流落地点距中心点O的距离最大为1.15米，
设水柱OA的高度至少降低m米，则A(0,1.25−m)，设第一象限的抛物线解析式y=−(x−1) 2+k，待定系
数法求出m的值即可．
【详解】（1）解：由题可知，第一象限的抛物线顶点为(1,2.25)，
设第一象限的抛物线解析式为y=a(x−1) 2+2.25，
把A(0,1.25)代入得：1.25=a(0−1) 2+2.25，
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解得a=−1，
∴第一象限的抛物线的解析式为y=−(x−1) 2+2.25；
令y=0得：0=−(x−1) 2+2.25，
解得x=2.5或x=−0.5（舍去），
∴水流落地点距中心点O的距离是2.5米；
（2）∵喷泉广场的最大内径为2.3米，
∴水流落地点距中心点O的距离最大为1.15米，
设水柱OA的高度至少降低m米，则A(0,1.25−m)，
∵水柱OA的高度不影响抛物线的形状，
∴设第一象限的抛物线解析式y=−(x−1) 2+k，
将(0,1.25−m)，(1.15,0)代入得：
¿，
解得m=2.2275，
∴水柱OA的高度至少降低2.2275米．
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