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专题 01 数与式、方程与不等式的性质及运算
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 数与式的相关运算
【真题研析 · 规律探寻】
题型01 实数的混合运算
题型02 整式的混合运算及化简求值
题型03 因式分解的运算及应用
题型04 分式的混合运算及化简求值
题型05 科学记数法
题型06 二次根式的混合运算及应用
题型07 比较大小
【核心提炼 · 查漏补缺】
【好题必刷 · 强化落实】
考点二 方程与不等式的相关运算
【真题研析 · 规律探寻】
题型01 解一元一次方程
题型02 解二元一次方程组及其应用
题型03 解分式方程
题型04 根据分式方程解的情况求值
题型05 解一元一次不等式
题型06 解一元一次不等式组
题型07 解一元二次方程
题型08 根据判别式判断一元二次方程根的情况
题型09 根据一元二次根的情况求参数
题型10 一元二次方程根与系数的关系
【核心提炼 · 查漏补缺】
【好题必刷 · 强化落实】
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考点要求 命题预测
中考中，数与式的相关运算主要考察实数及其运算、数的开方与二次根式、整式与因式分
解、分式及其运算;而这些考点中，对实数包含的各种概念的运用的考察又占了大多数，同时试
数与式的 题难度设置的并不大，属于中考中的基础“送分题”，题目多以选择题、填空题以及个别简单解
相关运算 答题的形式出现;但是，由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相
同，所以在复习时，需要考生对这部分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变
形中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分.
方程与不等式的相关运算，在中考数学中出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答题都有
可能出现，并且对应难度也多为中等难度，是属于占分较多的一类考点.但是同一张试卷，方程
方程与不 类问题只会出现一种，不会重复考察.涉及本考点的知识点重点有:由实际问题抽象出一次方程
等式的相 (组)或分式方程，解方程(包含一次方程、二次方程、分式方程)，一元二次方程的定义、解法及
关运算 跟的判别式、根与系数的关系、实际应用等.不等式中常考不等式的基本性质，解一元一次不等
式(组)及不等式(组)的应用题等.这就要求考生在复习该部分考点时，熟记各方程(组)和不等式
(组)的相关概念、性质、解法及应用.
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考点一 数与式的相关运算
题型01 实数的混合运算
1）常见实数的运算：
运算 法则 特殊计算
乘方 ①（-a）n= an n为偶数 ①（-1）n = 1 n为偶数
②（-a）n= -an n为奇数 ②（-1）n = -1 n为奇
数
零次幂 a0=1 （a≠0）
负整数的指数幂 1 1
a-n = （a≠0，n为正整数） a-1= （a≠0）
an a
去括号 ① -（a-b）= - a+b 或 b-a
② +（a-b）= a-b
去绝对值符号 ①|a-b|=a-b， a>b
②|a-b|=0， a=b
③|a-b|=b-a， a1)．
某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为S ,S ．
1 2
(1)请用含a的式子分别表示S ,S ；当a=2时，求S +S 的值；
1 2 1 2
(2)比较S 与S 的大小，并说明理由．
1 2
题型03 因式分解的运算及应用
概念 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式叫做因式分解.因式分解与整式乘法是互逆变形.
提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c)
基本
2 2
① 运用平方差公式：a －b ＝(a＋b)(a－b)．
方法
公式法
2 2 2
② 运用完全平方公式：a ±2ab＋b ＝(a±b)
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2
a +(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
【口诀】首尾分解，交叉相乘，实验筛选，求和凑中.
十字相乘法
2
【特殊】因式分解：ax +bx+c
①若a+b+c=0，则必有因式x-1 ②若a-b+c=0，则必有因式x+1
进阶
方法
分组分解法 ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
如果多项式中某部分代数式，那么可将这部分代数式用另一个字母代替.
2 2 2
换元法 例：因式分解(x +5x+2)(x +5x+3)-12，设x +5x+2=t
2
则原式=t(t+1)-12=(t-3)(t+4)= (x+2)(x+3)(x +5x-1)
1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；
2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：①为两项时，考虑平方差公式；
一般 ②为三项时，考虑完全平方公式；
步骤 ③为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；
3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止．
以上步骤可以概括为“”.
1.因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
2.因式分解必须是恒等变形,且必须分解到每个因式都不能分解为止.
3.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
1．（2023·河北·统考中考真题）若k为任意整数，则(2k+3) 2−4k2的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
2．（2023·山东·统考中考真题）已知实数m满足m2−m−1=0，则2m3−3m2−m+9= ．
1 13 1
3．（2021·广东·统考中考真题）若x+ = 且00a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0ab2a>b
②对任意负实数a，b，若a2>b2a1/b，ab>0，则a1a>b , <1a>b
b b
a a
3)任意负实数a，b， >1ab
b b
1．（2023·浙江台州·统考中考真题）下列无理数中，大小在3与4之间的是（ ）．
A．√7 B．2√2 C．√13 D．√17
√2 √3
2．（2022·山东临沂·统考中考真题）比较大小： （填“>”，“<”或“=”）．
2 3
3．（2022·四川南充·中考真题）比较大小：2−2 30．（选填＞，＝，＜）
4．（2023·江苏盐城·统考中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：
a a+1
已知3a>b>0，M= ，N= ，试比较M与N的大小．
b b+3
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较x2+1与2x−1的大小．
小华：∵(x2+1)−(2x−1)=x2+1−2x+1=(x−1) 2+1>0，
∴x2+1>2x−1．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．
23 22
(2)比较大小： __________ ．（填“>”“=”或“<”）
68 65
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一、实数
1、实数的相关概念
相关概念 概念 补充与拓展
数轴上的点与实数具有一一对应的关系.
将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表
数轴 规定了原点、正方
示的数大.
向、单位长度的直线
在数轴上距原点n个单位长度的点有2个.
叫做数轴.
数轴中点公式：数轴上有两点 A、B分别表示的数为x，y，若C是
A、B两点的中点， C所表示的数为c，则有：2c=x+y.
数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数
（简称大数-小数）.
若a、b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）.
互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且
相反数 只有符号不同的两个 位于原点的两侧.
数称为互为相反数.
正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.相反
数是本身的数是0.
（a+b）的相反数是-（a+b），（a-b）的相反数是-（a-b）或b-a.
多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正.
绝对值 在数轴上表示数a的 两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，绝对值大的反而
点到原点的距离叫做 小.
a 的绝对值，记为| 正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数
a|．
若|a|=a（或|a|-a=0），则 a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），则
a≤0.
若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）.
若|a|+|b|=0，则a=0且b=0（a、b可以是多项式）.
几何意义补充：|x|=|x-0|，数轴上表示x的点到原点的距离
|x-1|，数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离
|x+2|，数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离
0没有倒数.
1除以一个不等于零
的实数所得的商， 若a、b互为倒数，则ab=1
倒数
叫 做 这 个 数 的 倒 互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）.
数．
倒数是本身的只有1和-1.
乘方 n个相同的因数a相 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
乘记作 an，其中 a
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正数的任何次幂都是正数.
规定：a0=1（a≠0）
相关概
概念 补充与拓展
念
如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那
算术平 正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平
么这个正数x叫做a的算术平方根.记为
方根 方根为0；负数没有算术平方根
√a，a叫做被开方数.
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫 正数有两个平方根，且它们互为相反数.
平方根 做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那
么x叫做a的平方根. 0的算术平方根为0；负数没有算术平方根.
正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数
如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x 只有一个负的立方根．
立方根
叫做a的立方根或三次方根
互为相反数的两个数的立方根互为相反数
2、实数的非负性及性质
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数.
2.非负数有三种形式：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即a2≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即√a≥0
3.非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
二、整式的运算
1. 整式的加减运算
同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
合并同类项 把同类项中的系数相加减，字母与字母的指数不变.
整式的
括号外是“+”，添(去) 括号不变号，
加减
添（去）括号法则
括号外是“-”，添(去) 括号都变号.
整式的加减法则 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项.
2. 幂的运算
幂的运算 公式 补充说明
1.逆用公式：am＋n =am·an
am·an＝am＋n
同底数幂相乘 2.【扩展】am·an·ap＝am＋n+p （m，n，p都是
（m，n都是整数）
正整数）
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1.负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号
在括号外结果都为负.
(am)n＝amn
幂的乘方
2.逆用公式：amn＝(am)n
（m，n都是整数）
3.【扩展】((am)n) p＝amnp
（m，n，p都是正整数）
(ab)n＝anbn 1.逆用公式：anbn＝(ab)n
积的乘方
（n为整数） 2.【扩展】(abc)n＝anbncn
1. 关键：看底数是否相同，指数相减是指被除式的指
数减去除式的指数 .
am÷an＝am-n 2.逆用公式：am-n＝am÷an （a≠0，m、n都是正整
（a≠0，m，n都为整数） 数）.
3.
.【扩展】am÷an÷ap＝am-n-p
（a≠0，m，n，p
都是正整数）.
同底数幂相除
零指数幂：a0=1（a≠0）
1
负整数指数幂：a-n=
an
（a≠0，n为正整数）
3. 整式的乘除运算
整式的乘除 运算步骤说明 补充说明及注意事项
①将单项式系数相乘作为积的系数;
②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法， 1）实质:乘法的交换律和同底数幂的乘法法
单项式乘单
作为积的一个因式; 则的综合应用.
项式
③单独出现的字母，连同它的指数，作为积 2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式 .
的一个因式.
1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式乘
单项式乘多 ①先用单项式和多项式的每一项分别相乘； 以单项式
项式 ②再把所得的积相加. 2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项
数与原多项式的项数相同.
运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不
①先用一个多项式的每一项与另一个多项式 重不漏；
多项式乘多
的每一项相乘， ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都
项式
②再把所得的积相加． 应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项
式，在合并同类项之前，积的项数应等于原
多项式的项数之积．
①将单项式系数相除作为商的系数；
单项式除单
②相同字母的因式，利用同底数幂的除法，
项式
作为商的一个因式；
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③只在被除式里含有的字母连同指数不变.
①先把这个多项式的每一项除以这个单项
多项式除单
式；
项式
②再把所得的商相加
整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的.
4. 乘法公式
乘法公式 基础 变形
1.通过移项变形
① a2+b2＝(a+b)2-2ab ② 2ab=(a+b)2-(a2+b2)
平方差公式 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 用法：已知 a+b、ab、a2+b2中的两项求另一项的值（知二求
一）.
2.a+b与a-b的转化
① (a+b)2＝(a-b)2+4ab ② (a-b)2＝(a+b)2-4ab
③ (a+b)2 -(a-b)2＝4ab ④ (a+b)2 +(a-b)2 =2(a2+b2)
用法：已知a+b、ab、a-b 中的两项求另一项的值（知二求一）.
3.特殊结构
1 1 1 1
(a±b)2＝a2±2ab＋b2
① (x+ )2＝x2+2＋ ② x2＋ =(x＋ )2-2
口诀：首平方，尾平 x x2 x2 x
完全平方公式
方， 1 1 1 1
二倍乘积放中央. ③ (x- )2＝x2-2＋ ④ x2- =(x - )2+2
x x2 x2 x
4.扩展
① (a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3
② (a+b+c)3＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
三、二次根式的运算
乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：√ab =√a•√b （a≥0，b≥0）.
√a √a
除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： = （a≥0，b＞0）.
√b b
加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.
【口诀】一化、二找、三合并.
分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.
【分母有理化方法】
1 √a √a
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： = =
√a √a•√a a
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.
1 √a+√b √a+√b
即： = = ；
√a−√b (√a−√b)(√a+√b) a−b
混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．
一、单选题
1．（2023·广东肇庆·统考一模）2021年2月《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化
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的意见》正式发布．《意见》确定的目标任务为，2021年，农业供给侧结构性改革深入推进，粮食播种面
积保持稳定、产量达到1 300 000 000 000斤以上，农民收入增长继续快于城镇居民，脱贫攻坚成果持续巩
固．其中数据1 300 000 000 000用科学记数法表示正确的是（ ）
A． 13×1011 B． 13×1012 C． 1.3×1012 D． 0.13×1013
2．（2023·河南周口·统考二模）碳纳米纤维是指由多层石墨片卷曲而成的纤维状纳米碳材料，它的直径一
般为10～500nm，长度分布在0.5～100um，具有质轻、导热性良好及很高的导电性和强度等特性，一
碳纳米纤维的直径约为150nm(1mm=10−9m)，将150nm用科学记数法表示为（ ）
A．1.5×10−7m B．15×10−8m C．1.5×10−9m D．0.15×10−8m
3．（2023·浙江·模拟预测）若x为实数，则|−x|−x的值一定（ ）
A．>0 B．<0 C．≤0 D．≥0
4．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，嘉嘉和淇淇在做数学游戏，设淇淇想的数是x，嘉嘉猜中的结果是
y，则y=（ ）
把想好的这个数减去4，把所得的差乘
淇淇，你在心里想一个数， 无论你心里想的是几，我都能猜
2，然后再加7，最后再减去所想数的2
不说出来． 中刚才的结果．
倍，得到一个结果．
A．1 B．−1 C．3 D．4x+3
5．（2023·河北·统考模拟预测）下列与1012−201的结果相等的是（ ）
A．1022 B．102 C．3012 D．1002
|m|−4
6．（2023·河北廊坊·校考三模）若分式 =0，则（ ）
m2−16
A．m=4 B．m=−4
|m|−4
C．m=±4 D．不存在m，使得 =0
m2−16
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7．（2023·河北沧州·统考模拟预测）小敏在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即
(a2−2a ) 1
−1 ÷∗，通过查看答案，答案为 ，则被污染的代数式*为（ ）
a2−1 1−a
2a+1 a+1 2a−1 a+1
A． B． C． D．
a+1 2a−1 a+1 2a−2
二、填空题
( 1) −2
8．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）|√5−3|− − = ．
3
9．（2023·河北唐山·统考二模）已知：A=(−1) a+(−1) b．
（1）若a=2，b=0，则A= ；
（2）若a=−1，b=−2，则A= ；
a+1 a−1+○ a−1 □ ◇
10．（2023·河北沧州·模拟预测）观察分式变形过程： = = + =1+ ，其中
a−1 a−1 a−1 a−1 a−1
“○”“□”“◇”分别盖住了一个整数.
（1）“○”“□”“◇”表示的整数 ；（填“相同”或“不相同”）
2a−8
（2）当a≥0时， 的最小值为 .
a+2
11．（2023·河北沧州·校考二模）现有甲、乙两种不同的正方形纸片（边长如图1）．
（1）若一张甲纸片和一张乙纸片按如图2摆放，则阴影部分的面积可表示为 ．
（2）若一张甲纸片和两张乙纸片按如图3摆放，则阴影部分的面积和可表示为 ．
12．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考一模）[输入x]→[平方]→[减去2√2x]→[输出A]
（1）把多项式A分解因式为= ；
（2）当x=√6+√2时，多项式A的值为 ．
13．（2022·河北邢台·校考三模）已知30×3−1×33m=35．
（1）m的值为 ；
（2）计算√m−m√m−99√m= ．
14．（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）若[x]表示不超过x的最大整数，
A= 1 + 1 +( 1 ) 0 ，则[A]=______．
1−√4 3 1+√4 3 1−√4 3
三、解答题
15．（2023·河南信阳·校考三模）（1）计算：√12+(−2023) 0−3−1+tan230°；
（2）按要求填空．
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2a2+2a ( 2 )
小宇计算： ÷ 1− 的过程如下：
a2−1 a−1
2a(a+1) −1
解：原式= ÷ 第一步
(a+1)(a−1) a−1
2a a−1
= ⋅ 第二步
a−1 −1
=−2a 第三步
①若每一步只对自己的上一步负责，小宇在计算过程中第_______________步出现了错误；
②请你进行正确的计算．
16．（2023·河北沧州·统考模拟预测）如图，数轴上有三点A、B、C，点A表示的数a=1，点A向左平移
两个单位长度到达点B，向右平移3个单位到达点C．
(1)直接写出点B、C对应的数b、c的值；
(2)计算：−2a−b+(−c)的值；
(3)已知m是关于x的一元二次方程cx2−2ax+b=0的根，求代数式(m−1) 2+m(m+1)的值为．
考点二 方程与不等式的相关运算
题型01 解一元一次方程
1．（2023·湖南永州·统考中考真题）关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值为（ ）
A．3 B．−3 C．7 D．−7
x+1 x−2
2．（2022·贵州黔西·统考中考真题）小明解方程 −1= 的步骤如下：
2 3
解：方程两边同乘6，得3(x+1)−1=2(x−2)①
去括号，得3x+3−1=2x−2②
移项，得3x−2x=−2−3+1③
合并同类项，得x=−4④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
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x−2 2x−1
3．（2020·四川凉山·统考中考真题）解方程：x− =1−
2 3
题型02 解二元一次方程组及其应用
解二元一次方程组的方法选择：
1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；
2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；
3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法；
4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法．
1．（2023·四川眉山·统考中考真题）已知关于x,y的二元一次方程组¿的解满足x−y=4，则m的值为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022·广西贺州·统考中考真题）若实数m，n满足∣m−n−5∣+√2m+n−4=0，则3m+n=
．
3．（2022·山东淄博·统考中考真题）解方程组：¿
4．（2023·江苏南通·统考中考真题）若实数x，y，m满足x+ y+m=6，3x−y+m=4，则代数式
−2xy+1的值可以是（ ）
5 3
A．3 B． C．2 D．
2 2
5．（2020·广东·统考中考真题）已知关于x，y的方程组¿与¿的解相同．
（1）求a，b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为2√6，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解．试判断该三
角形的形状，并说明理由．
题型03 解分式方程
1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.
2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.
3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的
根．
5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.
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6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是
去分母后的整式方程无解.
1 3
1．（2023·山西·统考中考真题）解方程： +1= ．
x−1 2x−2
x x−3
2．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）小丁和小迪分别解方程 − =1过程如下：
x−2 2−x
小丁： 小迪：
解：去分母，得x−(x−3)=x−2 解：去分母，得x+(x−3)=1
去括号，得x−x+3=x−2 去括号得x+x−3=1
合并同类项，得3=x−2 合并同类项得2x−3=1
解得x=5 解得x=2
∴原方程的解是x=5 经检验，x=2是方程的增根，原方程无解
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的
解答过程．
题型04 根据分式方程解的情况求值
由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：
①根据未知数的范围求出字母的范围；
②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；
③综合①②，求出字母系数的范围.
已知分式方程的解确定字母参数，一般解法是：首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表
x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零.
依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：
1)先将分式方程转化为整式方程;
2)由题意求出增根;
3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.
2x−m
1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如果关于x的分式方程 =1的解是负数，那么实数m的
x+1
取值范围是（ ）
A．m<−1 B．m>−1且m≠0
C．m>−1 D．m<−1且m≠−2
2 m
2．（2022·四川遂宁·统考中考真题）若关于x的方程 = 无解，则m的值为（ ）
x 2x+1
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A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
x+m 1
3．（2023·四川巴中·统考中考真题）关于x的分式方程 + =3有增根，则m= ．
x−2 2−x
x+m x−1
4．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x的方程 −1= 的解为非负数，则m的取值范围是
x−2 2−x
．
1 2 x+2m
5．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）若关于x的分式方程 + = 的解大于1，则m
x−2 x+2 x2−4
的取值范围是 ．
题型05 解一元一次不等式
(1 )
1．（2022·河北·统考中考真题）整式3 −m 的值为P．
3
(1)当m＝2时，求P的值；
(2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．
x−1 x−3
2．（2022·湖北宜昌·统考中考真题）解不等式 ≥ +1，并在数轴上表示解集．
3 2
题型06 解一元一次不等式组
不等式组解集的确定有两种方法：
1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了．
解一元一次不等式组的一般步骤：
1） 求出不等式组中各不等式的解集.
2） 将各不等式的解决在数轴上表示出来.
3） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
1．（2022·北京·统考中考真题）解不等式组：¿
2．（2022·江苏扬州·统考中考真题）解不等式组¿ ，并求出它的所有整数解的和．
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3．（2021·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知关于x的不等式组¿无实数解，则a的取值范围是（ ）
5 5
A．a≥− B．a≥−2 C．a>− D．a>−2
2 2
3x−6>0
4．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）不等式组{ 的解集为x>2，则m的取值范围为 ．
x>m
题型07 解一元二次方程
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择：
1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法；
2）当b=0时，首选直接开平方法；
3）当c=0时，可选因式分解法或配方法；
4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法；
5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法.
1．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）解方程：(2x+3) 2=(3x+2) 2
2．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）小敏与小霞两位同学解方程3(x−3)=(x−3) 2的过程如下框：
小霞：
小敏：
移项，得3(x−3)−(x−3) 2=0，
两边同除以(x−3)，得
提取公因式，得(x−3)(3−x−3)=0．
3=x−3，
则x−3=0或3−x−3=0，
则x=6．
解得x =3，x =0．
1 2
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
小霞：
小敏：
移项，得3(x−3)−(x−3) 2=0，
两边同除以(x−3)，得
提取公因式，得(x−3)(3−x−3)=0．
3=x−3，
则x−3=0或3−x−3=0，
则x=6．
解得x =3，x =0．
（×） 1 2
（×）
3．（2023·江苏无锡·统考中考真题）解方程：2x2+x−2=0
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题型08 根据判别式判断一元二次方程根的情况
2
1. 求根公式的使用条件：a≠0且b -4ac≥0.
2. 使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c 的值.
3. 利用判别式可以判断方程的根的情况,反之,当方程：1）有两个不相等的实数根时, Δ>0;
2）有两个相等的实数根时, Δ=0;
3）没有实数根时, Δ<0.
4. 【选择题小技巧】若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中ac<0(或a、c异号)，则可直接判断该方程有两
个不相等的实数根.
1．（2022·湖北十堰·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−2x−3m2=0．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β=5，求m的值．
2．（2023·四川南充·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x−3m2+m=0
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
x x 5
(2)若x ，x 是方程的两个实数根，且 2+ 1=− ，求m的值．
1 2 x x 2
1 2
3．（2021·北京·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−4mx+3m2=0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m>0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
题型09 根据一元二次根的情况求参数
1．（2021·湖北黄石·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x 、x ，且x2+x2=12，求m的值．
1 2 1 2
2．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程kx2−(2k+4)x+k−6=0有两个不相等的
实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k=1时，用配方法解方程．
3．（2022·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k−2=0有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为x ,x ，若(x +1)(x +1)=−1，求k的值．
1 2 1 2
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题型10 一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x 和x ，则x ，x 与方程的系数a，b，c之间有如下关系：
1 2 1 2
b c
x +x ＝− ； x •x ＝
1 2 a 1 2 a
一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0.
用根与系数的关系求值时的常见转化：
已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x ,x
1 2
1）平方和 x2+x2= (x +x ) 2−2x x
1 2 1 2 1 2
1 1 x +x
1 2
2）倒数和 + =
x1 x2 x x
1 2
3）差的绝对值 | x - x |=√(x −x ) 2=√(x +x ) 2−4x x
1 2 1 2 1 2 1 2
x x x 2+x 2 (x +x ) 2−2x x
4) 1+ 2 = 1 2 = 1 2 1 2
x x x x x x
2 1 1 2 1 2
5） (x +1)(x +1)=x x +(x +x )+1
1 2 1 2 1 2
1．（2022·湖北黄石·统考中考真题）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程(x2) 2 −13x2+36=0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y=x2，则原方程可化为
y2−13 y+36=0，经过运算，原方程的解为x =±2，x =±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫
1,2 3,4
做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2−n−1=0，且m≠n，显然m，n是方程x2−x−1=0的两个不相等
的实数根，由韦达定理可知m+n=1，mn=−1．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程x4−5x2+6=0的解为_______________________；
(2)间接应用：
已知实数a，b满足：2a4−7a2+1=0，2b4−7b2+1=0且a≠b，求a4+b4的值；
(3)拓展应用：
1 1 1
已知实数x，y满足： + =7，n2−n=7且n>0，求 +n2 的值．
m4 m2 m4
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2．（2022·四川凉山·统考中考真题）阅读材料：
b c
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x，x，则x＋x＝− ，xx＝
1 2 1 2 a 1 2 a
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x，x，则x＋x＝ ；xx＝ ．
1 2 1 2 1 2
n m
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 + 的值．
m n
1 1
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求 − 的值．
s t
3．（2023·湖北黄石·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+mx−1=0，当m=1时，该方程的正根称
为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的
设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
(1)求黄金分割数；
(2)已知实数a，b满足：a2+ma=1,b2−2mb=4，且b≠−2a，求ab的值；
(3)已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np−1=q,q2+nq−1=p，求pq−n的值．
4．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x ，x 和系数a，b，c有如下关系：
1 2
b c
x +x =− ，x x = ．
1 2 a 1 2 a
材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，
∴m+n=1,mn=−1．
则m2n+mn2=mn(m+n)=−1×1=−1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根为x ，x ，则x +x = ___________，x x =
1 2 1 2 1 2
___________；
(2)类比：已知一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
1 1
(3)提升：已知实数s，t满足2s2+3s−1=0，2t2+3t−1=0且s≠t，求 − 的值．
s t
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一、一元一次方程
步骤 具体做法 依据 注意事项
去分母 在方程两边都乘以各分 等式性质2 1）不要漏乘不含分母的项；
母的最小公倍数 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整
数，再去分母.
3）如果分子是多项式，去分母后要加括号.
去括号 先去小括号，再去中括 分配律 去括号 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每
号，最后去大括号 法则 一项;
2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内
各项都要变号；
3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内
各项都不变号.
移项 把含有未知数的项移到 等式性质1 1）移项时不要漏项;
方程一边，其它项都移 2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.
到方程另一边 而在方程同一边改变项的位置时不变号.
合并同类 把方程变为 ax=b（a≠0 合并同类项法则 1）不要漏项；
项 )的形式 2）系数的符号处理要得当.
系数化为 将方程两边都除以未知 等式性质2 1)未知数的系数为整数或小数时,方程两边
1 数系数a，得到方程的解 同除以该系数;
b 2)未知数的系数为分数时,方程两边同乘该
x=
α 系数的倒数.
二、二元一次方程（组）
概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫做二元一
次方程.
二 元 一
一般形式：ax+by+c=0 （a≠0，b≠0）
次方程
二元一次方程 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，
（组） 叫做二元一次方程的解.
概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，叫做二元一次方程组.
二 元 一
次 方 程
一般形式： （ab 和ab 不同时为0）
1 2 2 1
组
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二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一
次方程组的解．
把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入
代 入 消
另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这个方法叫做代入消
元法
元法，简称代入法.
二元一次方程 两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别
加 减 消
组解法 相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消
元法
元法，简称加减法.
根据方程组各系数的特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整
换元法
体，带入另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，并求得方程的解.
方程组含有三个不同的未知数,每个方程中含有未知数的项的次数都是 1,并且一共有
定义
三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.
基本步骤：
1）变形（变三元一次为二元一次）；
三元一次方程
2）求解：解二元一次方程组；
组
3）回代：将求得的未知数的值代入原方程组的一个适当的方程中，得到一个一元
解法
一次方程；
4）求解：解一元一次方程，求出第三个未知数；
5）写解：用大括号将所求的的三个未知数的值联立起来，即得原方程组的解.
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三、分式方程
基 本 思
将分式方程化为整式方程，再求解
路
常 用 方
1）去分母法；2）换元法
法
1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；
【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，
因此分式方程一定要验根．
2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
3）解整式方程；
4）验根，把整式方程的根代入最简公分母
去分
解分式方 母法
程
步
骤
1）设辅助未知数；
换元2）得到关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；
法 3）把辅助未知数的值代回原式中，求出原来未知数的值；
4）检验作答．
增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.
四、一元二次方程
基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，
得到的两个解就是原方程的解.
特征 步骤
直接 2 b
形如ax =b 2
1）方程两边同时除以a，得x =
开平 （a≠0）的一元 a
解
二次方程 √b √b
一 方法 2）两边分别开方得x1= =，x2= -
元 a a
二
次 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
方 解
2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
程 法 可配成
3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为
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配方 2 2
(mx+a) =b (mx+a) =b（b≥0）的形式；
法 形式的
4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解.
一元二次方程
【注意】：①当b <0时，方程无解
−a±√b
②当b≥0时，方程的根是x=
m
可化成 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0；
因式 (ax+b)(cx+d)=0 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
分解 形式的 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
法 一元二次方程 4）求解.
的方 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解.
法
1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其
化为整数，方便计算)；
公式 适用所有 2
2）求出b -4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解；
法 一元二次方程
2
3）如果b -4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：
−b±√b2−4ac
x= ；
2a
4）最后求出x ，x
1 2.
根的判别式 一般地，式子b2−4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 根的判别
式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ=b2−4ac.
Δ＞0 −b±√b2−4ac
方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实根:x=
根的情况 2a
与判别式
Δ=0 b
方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实根：x =x =−
的关系 1 2 2a
Δ＜0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实根
五、一元一次不等式（组）
步骤 具体做法 依据 注意事项
去分 在不等式两边都乘以各分母的 不等式性 1）不要漏乘不含分母的项；
母 最小公倍数 质2、3 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整
数，再去分母.
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3）如果分子是多项式，去分母后要加括号.
去括 先去小括号，再去中括号，最 分配律 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一
号 后去大括号 去括号法 项;
则 2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各
项都要变号；
3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各
项都不变号.
移项 把含有未知数的项移到不等式 不等式性 1）移项时不要漏项;
左边，其它项都移到不等式右 质1 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号.
边 而在不等式同一边改变项的位置时不变号.
合并 把不等式变为axb(a≠0)的形式 项法则 2）系数的符号处理要得当.
项
系数 将不等式两边都除以未知数系 不等式性 1)不等式两边都除以未知数系数;
化为1 数a，得到不等式的解 质2、3 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变.
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一、单选题
1 1
1．（2023·广东河源·统考三模）a、b为两个不等实数，a− =1，b− =1，则(a−1)(b−1)的值等于
a b
（ ）
A．−1 B．1 C．−2 D．2
2 1
2．（2023·辽宁·模拟预测）解分式方程 = 时，将方程两边都乘同一个整式．得到一个一元一次方程，
x x−1
这个整式是（ ）
A．x B．x−1 C．x(x+1) D．x(x−1)
3．（2023·浙江衢州·校考一模）若x、y是两个实数，且¿，则xy yx等于（ ）
9 16 8 9
A．− B．− C．− D．
8 27 9 8
4．（2023·河北沧州·校考模拟预测）下列是解一元一次方程2(x+3)=5x的步骤：
2(x+3)=5x①2x+6=5x②2x−5x=−6③3x=−6④x=−2
其中说法错误的是( )
→ → → →
A．①步的依据是乘法分配律 B．②步的依据是等式的性质1
C．③步的依据是加法结合律 D．④步的依据是等式的性质2
5．（2023·河北保定·统考模拟预测）已知数轴上两点A，B表示的数分别为a−2，1，那么关于x的不等式
(a−2)x+a>2的解集，下列说法正确的是（ ）
A．若点A在点B左侧，则解集为x<−1
B．若点A在点B右侧，则解集为x<−1
C．若解集为x<−1，则点A必在点B左侧
D．若解集为x<−1，则点A必在点B右侧
1 x
6．（2023·河北沧州·统考模拟预测）对于a、b定义a∗b= ，已知分式方程x∗(−1)= 的解满
a−b2 3−3x
足不等式(2−a)x−3>0，则a的取值范围是（ ）
A．a<1 B．a>1 C．a<3 D．a>3
ax 12
7．（2023·河北沧州·校考模拟预测）“若关于x的方程 = +1无解，求a的值．”尖尖和丹丹
3x−9 3x−9
的做法如下（如图1和图2）：
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下列说法正确的是（ ）
A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对
C．两人都错 D．两人的答案合起来才对
1
8．（2023·河北沧州·统考三模）知A=a+ ，下列结论正确的是（ ）
a+2
A．当a=−2时，A的值是−2 B．当a=−3时，A的值是−2
C．当a>−2时，A的最小值为0 D．若A的值是2，则a=√3
二、填空题
9．（2023·河南信阳·校考三模）小明在解方程x2−3x+2=0时，发现用配方法和公式法计算量都比较大，
因此他又想到了另外一种方法，快速解出了答案：
方法如下：
x2−3x+2=0
x2−2x−x+2=0 第①步
x2−2x=x−2 第②步
x(x−2)=x−2 第③步
x=1 第④步
老师看到后，夸小明很聪明，方法很好，但是有一步做错了，请问小明出错的步骤为 （填序号）．
x2−2 1
10．（2022·河北唐山·统考二模）已知两分式 x+1 x+1 中间阴影覆盖了运算符号．
（1）若覆盖了“＋”，其运算结果为 ；
（2）若覆盖了“÷”，并且运算结果为1，则x的值为 ．
11．（2022·河南·校联考模拟预测）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，则关于x的不等式组¿
的解集是 ．
12．（2021·山东济宁·济宁学院附属中学校考一模）一个三角形的三边长均为整数．已知其中两边长为3
和5，第三边长x是不等式组¿的正整数解．则第三边的长为： ．
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三、解答题
13．（2023·广东广州·统考模拟预测）一元二次方程的根与系数的关系是：关于x的方程
b c
ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x 、x ，则有： x +x =− ， x x = ．某班学完该内容后，王老师要
1 2 1 2 a 1 2 a
求学生根据上述知识进行编题、解题训练，其中小明同学编的练习题是：设k=3，方程x2−3x+k=0的两
x x
个实数根是x 、x ，求 2+ 1 的值．
1 2 x x
1 2
小明同学对这道题的解答过程是：解：∵k=3，∴已知方程是x2−3x+k=0，
又∵x +x =3，x x =3，
1 2 1 2
x x x2+x2 (x +x ) 2−2x x 32−2×3
∴ 2+ 1= 2 1= 1 2 1 2= =1，
x x x x x x 3
1 2 1 2 1 2
x x
∴
2+ 1=1．
x x
1 2
(1)请你针对以上练习题的解答的正误做出判断，并简述理由．
x x
(2)请你对小明同学所编的练习题中的k另取一个适当的正整数，其他条件不变，求
2+ 1
的值．
x x
1 2
14．（2023·河北石家庄·校联考二模）现有代数式n(2−m)，其中m为负整数，嘉嘉和淇淇给出了不同的
条件：
(1)根据嘉嘉给出的条件，求代数式的值；
(2)根据淇淇给出的条件，求m的值．
15．（2023·贵州贵阳·校考一模）（1）已知不等式3x+5>2(x+2)，请你写出一个不等式______，使它与
已知不等式组成的不等式组的解集为−1
