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难点与易错点 02 方程与不等式的实际应用（5 大题型）
题型一：一元一次方程的实际应用
题型二：二元一次方程组的实际应用
题型三：分式方程的实际应用
题型四：一元二次方程的实际应用
题型五：一元一次不等式的实际应用
题型一：一元一次方程的实际应用
一元一次方程解应用题的常见类型有：
1.购买、销售问题
常见的等量关系:售价=标价x折扣,利润=售价-进价,销售额=商品售价x销售数量,总费用=A 商品单价x
数量+B 商品单价x数量
2.工程问题
工作量=工作效率×工作时间；两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量；一
般情况下，把总工作量设为1.
3.行程问题
路程=速度×时间；快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离（相向而行）；快车行驶路程-慢车行驶路程=
原距离（同向而行）。
4. 配套问题
解这类问题的基本等量关系是加工总量成比例；
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·江苏苏州·中考真题）某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列
车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直
达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行
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研究，收集到列车运行信息如下表所示．
列车运行时刻表
A站 B站 C站
车次
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
D1001 8：00 9：30 9：50 10：50
G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30
请根据表格中的信息，解答下列问题：
(1)D1001次列车从A站到B站行驶了______分钟，从B站到C站行驶了______分钟；
(2)记D1001次列车的行驶速度为 ，离A站的路程为 ；G1002次列车的行驶速度为 ，离A站的路程为
．
① ______；
②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则 ），已知 千米/小时（可换
算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中 ，若 ，求t的值．
【变式1-1】购买、销售问题（2024·海南·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商
店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价．
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【变式1-2】工程问题（难点工作总量未知将其看作“1”解决）（2024·陕西咸阳·二模）咸阳某食品加工
厂生产一批食品，原计划8天完成.在完成一半时，由于两台机器出现故障，导致每天生产的食品比原计划
每天少100千克，最后实际生产完这批食品共用了10天，求该食品加工厂生产的这批食品一共有多少千克？
【变式1-3】行程问题(难点一元一次方程解决环形运动问题)（2021·广西百色·中考真题）据国际田联《田
径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每
条跑道宽1.2米，直道长87米；跑道的弯道是半圆形，环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到
38.00米之间．
某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道．小王同学计算了各圈的长：
第一圈长：87×2＋2π（36＋1.2×0）≈400（米）；
第二圈长：87×2＋2π（36＋1.2×1）≈408（米）；
第三圈长：87×2＋2π（36＋1.2×2）≈415（米）；
……
请问：
（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？
（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路
程），在如图的起跑线同时出发，经过20秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的
2倍，求他们的平均速度各是多少？
（注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇）
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【变式1-4】配套问题（2024·福建莆田·模拟预测）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或
2000个螺母，1个螺柱需要配2个螺母．
(1)为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？
(2)若车间现有24名工人，每人每天工作8个小时，工人根据需要可以转换生产螺柱或螺母的工作岗位．
如何安排工人生产，使得螺柱和螺母尽可能多的配套，最多能生产多少套？
【中考模拟即学即练】
1．（2024·江苏无锡·一模）地球、火星的运行轨道近似是同一平面内的以太阳为圆心的两个同心圆，“火
星冲日”是指火星、地球和太阳近似在一条直线上且地球位于火星与太阳之间的现象（如图所示），已知
火星绕太阳运行一周的时间近似是地球绕太阳运行一圈的时间的 倍（地球绕太阳运行一圈需要一年），
上一次火星冲日的时间为2022年12月8日，那么下次火星冲日的时间最为接近的是（ ）
A．2024年12月10日 B．2025年1月20日
C．2025年2月10日 D．2025年3月20日
2．（2024·贵州黔东南·二模）小芳早上 出门赶到距家 的学校上学．已知小芳的速度是 ，
她刚出门 ，妈妈想起昨晚班主任在家长群发通知，今天学生在家上网课，网课 开始，于是妈妈
立即以 的速度跑出门去追小芳，并且在途中追上了她，小芳立即和妈妈以 的速度走回
家
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(1)妈妈追上小芳用了多长时间？
(2)小芳是否能赶在网课开始前进入网课直播间上课？
3．（2024·陕西西安·模拟预测）曾经，家具、家电、服装被称为外贸出口的“老三样”，如今，以电动汽
车、锂电池、太阳能电池为代表的“新三样”走俏海外．某太阳能光伏组件车间有 名工人，每人每天可
以生产 个甲零件或2000个乙零件， 个甲零件要配 个乙零件，为使每天生产的两种型号的零件刚好
配套，应安排生产甲零件和乙零件的工人各多少名？
题型二：二元一次方程组的实际应用
二元一次方程组解应用题的常见类型有：
1.购买、销售问题
分析题意,找出两个等量关系,列二元一次方程组求解,题中一般会给出两个等量关系,如购买A和B的总数
量与购买A和B的总花费,结合总数量=A的数量+B的数量,总花费 =A 的数量xA 的售价+B 的数量xB 的
售价可列方程组.
2.分配问题
解决分配问题的关键是找不变的量和变化的量,根据不同分配方式下两者的关系列二元一次方程组。
【中考母题学方法】
【典例2】（2024·山东济南·中考真题）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车
棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种
光伏车棚共需投资21万元．
(1)求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？
(2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的
2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
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【变式2-1】购买、销售问题（难点销售方式变化,需结合公式表示出变化后的价格）（2024·宁夏·中考真
题）中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力．某店销售扎染和刺绣两种
工艺品，已知扎染175元/件，刺绣325元/件．
(1)某天这两种工艺品的销售额为1175元，求这两种工艺品各销售多少件？
(2)中国的天问一号探测器，奋斗者号潜水器等科学技术世界领先，国人自豪感满满，相关纪念品深受青睐．
该店设立了一个如图所示可自由转动的转盘（转盘被分为5个大小相同的扇形）．凡顾客在本店购买一件
工艺品，就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，顾客即可免费获得指针指向区域的纪念品一个（指
针指向两个扇形的交线时，视为指向右边的扇形）．一顾客在该店购买了一件工艺品，求该顾客获得纪念
品的概率是多少？
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【变式2-2】分配问题（2024·贵州·中考真题）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织
学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作
物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？
(2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？
【中考模拟即学即练】
1．（2024·安徽·中考真题）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了
一些田地．采用新技术种植 两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：
每公顷所需人
农作物品种 每公顷所需投入资金（万元）
数
已知农作物种植人员共 位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共 万元．问 这两种农作物
的种植面积各多少公顷？
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2．（2024·四川遂宁·中考真题）某酒店有 两种客房、其中 种 间， 种 间．若全部入住，一天
营业额为 元；若 两种客房均有 间入住，一天营业额为 元．
(1)求 两种客房每间定价分别是多少元？
(2)酒店对 种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加 元，就会有
一个房间空闲；当 种客房每间定价为多少元时， 种客房一天的营业额 最大，最大营业额为多少元？
3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，
需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌
毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元．
(1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？
(2)若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙
种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？
(3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，
学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？
4．（2024·四川泸州·中考真题）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用
多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．
(1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？
(2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每
件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则
购进A商品的件数最多为多少？
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5．（2024·四川资阳·中考真题）2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：
与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1
个A款和2个B款共用200元．
(1)分别求出A，B两款纪念品的进货单价；
(2)该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？
6．（2024·湖南长沙·中考真题）刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在
巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知
购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共
需要1200元．
(1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？
(2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能
购买A种湘绣作品多少件？
题型三：分式方程的实际应用
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1.购买、销售问题
解决购买销售问题的关键是找到题中的等量关系,若题中已知A,B的花费金额和单价关系,则分别表示出
A,B的数量列方程;若题中已知 A,B的花费金额和数量关系,则分别表示出 A,B的单价列方程.
2.工程问题
题中一般已知工作总量,若未知,则把工作总量看作1,然后用工作效率表示时间或者用工作时间表示效
率,再根据完成工程的时间关系或者效率倍数关系列方程.
3.行程问题
题中一般已知总路程,若未知,则把总路程看作1,然后用速度表示行驶时间或者用行驶时间表示速度,再
根据提前到、晚到的时间关系或者速度倍数关系列方程。
【中考母题学方法】
【典例3】（2024·重庆·中考真题）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选
派甲、乙两人分别用 、 两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要 、 两种外墙漆各300千
克，购买外墙漆总费用为15000元，已知 种外墙漆每千克的价格比 种外墙漆每千克的价格多2元．
(1)求 、 两种外墙漆每千克的价格各是多少元？
(2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的 ，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务
所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
【变式3-1】购买、销售问题（难点分析转化题中隐含的等量关系）2（2024·山东青岛·中考真题）为培养
学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的
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单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的 ．
(1)求航空和航海模型的单价；
(2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且
航空模型数量不少于航海模型数量的 ，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
【变式3-2】工程问题（难点结合工程由两队合作完成列方程）（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，
小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需 ；若爸爸单独完
成，需 ．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．
小峰和爸爸这次一共打扫了 ，求这次小峰打扫了多长时间．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具
有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是 ，装裱后，上、下、左、右边
衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后 与 的比是 ，且 ， ， ，求四周
边衬的宽度．
2．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，
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为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加 ，结果提前15天完成
铺设任务．
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有
工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
3．（2024·黑龙江大庆·中考真题）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施
峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—
次日7：00，峰时电价比谷时电价高 元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费
为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．
4．（2024·山东泰安·中考真题）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某
农产品加工企业有甲、乙两个组共 名工人．甲组每天加工 件农产品，乙组每天加工 件农产品，
已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的 倍，求甲、乙两组各有
多少名工人？
5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平
均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独
修复90千米公路所需要的时间相等．
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(1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
(2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的
工期，两队最多能修复公路多少千米？
6．（2024·广西·中考真题）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达
到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为 ，每次拧干后校服上都残留 水．
浓度关系式： ．其中 、 分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所
加清水量（单位： ）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为 ，需要多少清水？
(2)如果把 清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
题型四：一元二次方程的实际应用
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1.增长率问题
增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是 a，每次增长的百分率为 x，则第一次增长后为 a
（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
2. 利润问题
常见的情况有提价减销量和降价增销量两种,
3. 甬道问题
甬道问题常利用平行移动,将复杂的甬道结构转化为矩形,其面积大小不变,再结合甬道面积和总面积的
关系列一元二次方程求解.
4.篱笆问题
解决篱笆问题的核心是用篱笆总长度和围成矩形的长表示宽(或宽表示长),若围栏有门,则需要加上门的
宽度,再结合矩形面积列一元二次方程求解.
5.循环问题
循环问题分为单循环类型和双循环类型.
单循环类型:以比赛为例,即每两队之间比赛一次,胜者晋级、败者淘汰,则共有 场比赛
双循环类型:指所有参加比赛的队伍均能相遇两次,最后按各队在两个循环的全部比赛中的积分、得失分
率排列名次,则共有n(n-1)场比赛
解决此类问题的关键是判断循环类型,如握手、多边形对角线条数等均为单循环类型:互送卡片、互赠礼
物等均为双循环类型.
【中考母题学方法】
【典例4】（2024·内蒙古包头·模拟预测）某电子厂生产一款成本为50元的无线领夹麦克风，如图1，投放
市场进行销售，其销售单价不低于成本且不高于95元．市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量
（个）与销售单价 （元）符合一次函数关系，如图2所示．
(1)求出 与 的函数解析式；
(2)当销售单价应定为多少元时，该公司每天可获得2400元的销售利润；
(3)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
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【变式4-1】增长率问题（2024·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入
资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
(1)求该商场投入资金的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
【变式4-2】利润问题（易错点题中常增加限制条件,如要让利于顾客）（24-25九年级上·吉林长春·阶段练
习）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批
“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，
就少卖100个．
(1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？
(2)商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了 个，
求这两周的平均增长率．
【变式4-3】利润问题（易错点处理计算结果不符合实际意义的情况）（2024·辽宁·中考真题）某商场出售
一种商品，经市场调查发现，日销售量 （件）与每件售价 （元）满足一次函数关系，部分数据如下表
所示：
每件售价 /元
日销售量 /件
(1)求 与 之间的函数关系式（不要求写出自变量 的取值范围）；
(2)该商品日销售额能否达到 元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．
【变式4-4】甬道问题（2024·山西·模拟预测）为加快城乡发展，我省持续推进美丽乡村建设．某村计划将
一块长为18米、宽为12米的矩形场地建成绿化广场．如图，广场内部修建三条同样宽的小路，其中一条
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路与广场的长边平行，另外两条路与广场的短边平行，其余区域进行绿化．若绿化面积为140平方米，求
小路的宽．
【变式4-5】篱笆问题（难点围栏增加隔栏和门,改变长和宽的表示）（24-25九年级上·河南南阳·阶段练
习）如图，用长为 的篱笆和一面利用墙（墙的最大可用长度为 ），围成中间隔有一道篱笆的矩形
花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在 上用其他材料做了宽为 的两扇小门．
(1)设花圃的一边 长为x米，请你用含x的代数式表示另一边 的长为__________ ．
(2)若此时花圃的面积刚好为 ，求此时花圃的长与宽．
(3)在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到 ．请说明理由．猜想一下，这个花圃面
积最大可以做到多少？
【变式4-6】篱笆问题（难点围成区域两面靠墙,改变长和宽的表示）（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练
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习）晓丽家想建一个兔子饲养场，晓丽爸爸利用一个直角墙角和围栏围出矩形饲养场 （靠墙两面不
用围栏），点A、C均在墙面上， ，两边墙都足够长， ，所用围栏总长为 ，若矩
形 的面积为 ，求边 的长．
【变式4-7】循环问题（1）（2024·重庆大渡口·二模）初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠
一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为 ．
（2）（2024·山东济南·模拟预测）在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场．若共比赛了
15场，则参赛的球队数为 ．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·贵州黔东南·二模）化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到
班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同
学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？
2．（2024·陕西西安·模拟预测）有一块矩形铁皮如图所示，长为 ，宽为 ，现打算从该铁皮上裁出
两个完全相同的小矩形，每个小矩形的长为 ，宽为 ，使得裁完后剩余铁皮（图中阴影部分）的面
积为 ，请计算裁出的每个小矩形的周长．
3．（2024·广西南宁·模拟预测）某商场一种商品的进价为30元/件，售价为40元/件，经统计销量发现，
该商品平均每天可以销售48件．商场为尽快减少该商品的库存，决定对该商品进行降价促销活动．
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(1)对该商品进行了两次降价后的售价为32.4元/件，求平均每次降价的百分率．
(2)经调查，若该商品每件降价1元，则每天可多销售8件．若商场销售该商品想要每天获得504元的利润，
则每件应降价多少元？
4．（2024·广东湛江·模拟预测）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低
于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量 （件）与销售单价 （元）之间满足
一次函数关系： ．
(1)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
(2)设销售这种文具每天获利 （元），求 关于 的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出当销
售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
题型五：一元一次不等式的实际应用
1.最多可以购买多少问题
找到题中的不等关系,常考的有:数量不超过( ≤),利润不少于(≥),预算不超过(≤)等题中已知 A,8的
总数量及A的数量不多于B的数量,则直接用数量表示不等关系1.题中已知 A.B的总数量、单价及花费
不超过多少钱,则用数量和单价表示总花费,再列2.不等式求解.
注:计算结果需要符合实际意义,如个数不能为分数
2.方案问题
一般是先将实际问题中的不等关系抽离出来,联系实际背景,转化为求不等式的非负整数解问题,利用不
等式的非负整数解的个数去确定方案的个数,进而去设计方案
【中考母题学方法】
【典例5】（2024·山东威海·中考真题）定义
我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离
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．特别的，当 时，表示数a的点与原点的距离等于 ．当 时，表示数a的点
与原点的距离等于 ．
应用
如图，在数轴上，动点A从表示 的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点
B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．
(1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？
(2)求点A，B到原点距离之和的最小值．
【变式5-1】最多可以购买多少问题（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买 两
种型号的劳动用品，购买记录如下表：
A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元）
第一次 20 25 1150
第二次 10 20 800
(1)求 两种型号劳动用品的单价；
(2)若该校计划再次购买 两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不
多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不
变）
【变式5-2】方案问题（难点确定最优方案问题）（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）牡丹江某县市作为猴头
菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的 以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头
菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇 3箱、干品猴头菇
2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：
(1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？
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(2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，
特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，
该商店有哪几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最
终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·湖南·中考真题）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和
2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．
(1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；
(2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗
多少棵？
2．（2024·山西·中考真题）健康中国，营养先行．今年5月12日-18日是第十届全民营养周，社区食堂在
全民营养周到来之际，推出系列营养套餐，其中营养套餐A的菜品如下图所示．
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(1)该套餐中的蛋白质和脂肪这两类营养素主要来自清蒸鱼块和滑炒鸡丁，每100克清蒸鱼块和滑炒鸡丁中
的蛋白质和脂肪含量如下表所示．按配餐要求，每份套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品提供的蛋白质、
脂肪量应分别为34克、24.8克、求每份该种套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品各有多少克；
清蒸鱼块（每100克） 滑炒鸡丁（每100克）
蛋白质
16 15
（克）
脂肪（克） 8 14
(2)按配餐要求，每份素炒时蔬中芹菜与西兰花共260克，已知每100克芹菜与每100克西兰花分别含有1.5
克、2.5克的膳食纤维，若要使每份素炒时蔬中所含的膳食纤维不少于5克，则每份素炒时蔬中西兰花至少
有多少克？
3．（2024·云南·中考真题） 、 两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．
某超市销售 、 两种型号的吉祥物，有关信息见下表：
成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个）
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型
35 a
号
型号 42
若顾客在该超市购买8个 种型号吉祥物和7个 种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个 种型号
吉祥物和5个 种型号吉祥物，则一共需要410元．
(1)求 、 的值；
(2)若某公司计划从该超市购买 、 两种型号的吉祥物共90个，且购买 种型号吉祥物的数量 （单位：
个）不少于 种型号吉祥物数量的 ，又不超过 种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物
获得的总利润为 元，求 的最大值．
注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差．
4．（2024·四川广安·中考真题）某小区物管中心计划采购 ， 两种花卉用于美化环境．已知购买2株
种花卉和3株 种花卉共需要21元；购买4株 种花卉和5株 种花卉共需要37元．
(1)求 ， 两种花卉的单价．
(2)该物管中心计划采购 ， 两种花卉共计10000株，其中采购 种花卉的株数不超过 种花卉株数的4
倍，当 ， 两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用．
5．（2024·四川成都·中考真题）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某
合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水
果共 进行销售，其中A种水果收购单价10元/ ，B种水果收购单价15元/ ．
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(1)求A，B两种水果各购进多少千克；
(2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失 ，若合作社计划A种水果至少要获得 的利润，不计其
他费用，求A种水果的最低销售单价．
6．（2024·四川·中考真题）端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗．节日前夕，某商场购进A，B两
种粽子共200盒进行销售．经了解，进价与标价如下表所示（单位：元/盒）：
种类 进价 标价
A 90 120
B 50 60
(1)设该商场购进A种粽子x盒，销售两种粽子所得的总利润为y元，求y关于x的函数解析式（不必写出
自变量x的取值范围）；
(2)若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3000元，请问至少需要购进A种粽子多少盒？
7．（2024·四川德阳·中考真题）罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采
用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．
为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，
有A、B两种组合方式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽．
A、B两种组合的进价和售价如下表：
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价格 A B
进价（元/件） 94 146
售价（元/件） 120 188
(1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？
(2)根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95
件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？
8．（2024·四川达州·中考真题）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将 、 两个品种的柑
橘加工包装成礼盒再出售．已知每件 品种柑橘礼盒比 品种柑橘礼盒的售价少 元．且出售 件 品
种柑橘礼盒和 件 品种柑橘礼盒的总价共 元．
(1)求 、 两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？
(2)已知加工 、 两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、 元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出
、 两种柑橘礼盒共1000盒，且 品种柑橘礼盒售出的数量不超过 品种柑橘礼盒数量的 倍．总成
本不超过 元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排 、 两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户
在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
9．（2024·内蒙古通辽·中考真题）某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基
地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1
台煎蛋器和3台三明治机需395元．
(1)求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元；
(2)学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，请你给出最节
省费用的购买方案．
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10．（2024·四川广元·中考真题）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异
彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表：
价格/类别 短款 长款
进货价（元/件） 80 90
销售价（元/件） 100 120
(1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；
(2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不
变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最
大销售利润是多少？
11．（2024·广东深圳·中考真题）
【缤纷618，优惠送大家】
今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳各大
购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的
618优惠节，采购了若干辆购物车．
背
景
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素 如图为某商场叠放的购物车，右图为购物车叠放在一起的示意图，
材 若一辆购物车车身长 ，每增加一辆购物车，车身增加 ．
问题解决
任
务 若某商场采购了n辆购物车，求车身总长L与购物车辆数n的表达式；
1
任
若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为 ，且一次可以
务
运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？
2
任
若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5
务
次，求：共有多少种运输方案？
3
26
