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专题 03 函数、方程及不等式的应用
目 录
题型01 根据实际问题列方程（组）或不等式（组）
题型02 利用方程方程（组）与不等式（组）解决实际问题
类型一 图形信息问题
类型二 方案选择问题
类型三 商品利润问题
类型四 行程问题
类型五 销售盈亏问题
类型六 工程问题
类型七 几何问题
类型八 工程问题
类型九 古代问题
类型十 抛物线问题
类型十一 实验问题
类型十二 动态问题
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题型 01 根据实际问题列方程（组）或不等式（组）
1．（2023·浙江绍兴·校联考三模）为迎接亚运，某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球
的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元，根据题意可列方程
5000 4000
=2× ，则方程中x表示（ ）
x 30+x
A．篮球的数量 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．足球的单价
2．（2023·河南郑州·校考模拟预测）如图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意
为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，
共有y人，则所列方程正确的是（ ）
隔壁听得客分银，不知人数不知银，
七两分之多四两，九两分之少半斤．
《算法统宗》
注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语
x+4 x−8 x−4 x+8
A． = B．7 y−4=9 y+8 C． = D．7 y+4=9 y−8
7 9 9 7
3．（2023·广西贵港·统考三模）小明、小华两人练习跑步，如果小华先跑10m，则小明跑6s就可追上他；
如果小华先跑2s，则小明跑4s就可追上他，若设小明的速度为xm/s，小华的速度为ym/s，则下列符
合题意的方程组是（ ）
A．¿B．¿C．¿D．¿
4．（2023·广东肇庆·统考三模）通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息：①快餐总质量为
300g；②快餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质；③蛋白质和脂肪含量占50%；矿物质的含量
是脂肪含量的2倍；蛋白质和碳水化合物含量占85%．若设一份营养快餐中含蛋白质x（g），含脂肪y
（g），则可列出方程组（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
5．（2023·辽宁朝阳·校联考三模）某市用大数据改善城市交通，实现了从治堵到治城的转变．数据表明，
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某市高架路上共22km的路程，利用城市大数据后，车辆通过速度平均提升了15%，节省时间5分钟，设提
速前车辆平均通过速度为xkm/h，则下列方程正确的是（ ）
22 22 22 22 1
A． − =5 B． − =
x (1+15%)x x (1+15%)x 12
22(1+15%) 22 22(1+15%) 22 1
C． − =5 D． − =
x x x x 12
6．（2023·福建莆田·校考模拟预测）某科考队分成两支小队进入沙漠采集环境信息，第一小队于早晨
8:00进入沙漠，并于8:20在一颗枯树旁做了标记，此时第二小队进入沙漠，走到8:35时正好经过枯树看
到了标记，已知两支小队在距离出发点4704m的位置相遇，设第一小队的平均速度是vm/s，则符合题意
的方程是（ ）
4704 1200v 4704 900v
A． =4704÷ +1200 B． =4704÷ +1200
v 900 v 1200
4704 1200v 4704 900v
C． =4704÷ +900 D． =4704÷ +900
v 900 v 1200
7．（2023·安徽·模拟预测）随着科研的投入，某种药品的价格连续两次降价，价格由原来每盒a元下降到b
元．设平均下降率为x，则a，b，x满足的关系式为（ ）
A．a=b(1+x) 2 B．b=a(1−x) 2 C．a=b(1+2x) D．b=a(1−2x)
8．（2023·广西玉林·统考一模）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了一个问题：“直田
积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽
的和为60步，问长与宽各多少步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ）
60−x 60+x
A．(60−x)x=864 B． ⋅ =864
2 2
C．(60+x)x=864 D．(30+x)(30−x)=864
题型 02 利用方程方程（组）与不等式（组）解决实际问题
类型一 图形信息问题
9．（2023·江苏盐城·统考模拟预测）一辆快车从甲地出发驶向乙地，在到达乙地后，立即按原路原速返回
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1
到甲地，快车出发一段时间后一辆慢车从甲地驶向乙地，中途因故停车 h后，继续按原速驶向乙地，两
4
车距甲地的路程ykm与慢车行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)甲乙两地相距______km，快车行驶的速度是______ km/h，图中括号内的数值是______ ；
(2)求快车从乙地返回甲地的过程中，y与x的函数解析式；
(3)慢车出发多长时间，两车相距120km
10．（2023·天津河西·天津市新华中学校考三模）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了
一个问题情境．
已知小强家、书店、健身馆依次在同一条直线上，健身馆距小强家2km，书店距小强家1km．周末小强从
健身馆运动后，匀速步行20min到达家门口时，突然想起忘记买书，于是立即赶往书店，匀速步行8min
到达书店，停留了6min购书，又匀速步行10min后再次返回家中．给出的图象反映了这个过程中小强离家
的距离y（km）与离开健身馆后的时间x（min）之间的对应关系．
请根据相关信息解答下列问题：
(1)填表：
离开健身馆的时间/ 2
10 20 25 32
min 8
离家的距离/km 0 1
(2)填空：
①书店到健身馆的距离为______km；
②小强从家到书店的速度为______km/min；
③小强从书店返回家的速度为______km/min；
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④当小强离家的距离为0.8km时，他离开健身馆的时间为_____min．
(3)当20≤x≤44时，请直接写出y关于x的函数解析式．
11．（2023·河北唐山·统考二模）如图，某景区内的环行路是矩形ABCD．景区的北门M与南门N之间有
一段小路MN仅供行人步行通过，且区域MNCD为正方形．现有P，Q两游览车分别从M和N同时出发，
P车顺时针、Q车逆时针沿环形路ABCD连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不
计），两车速度相同．设P、Q两车距北门M的最短距离分别为y m，y m（本题中最短距离指在环形路
1 2
上距M的较短路程，例：在C处时距离为CD+DM，在B处时距离则为BA+AM），行驶的时间为tmin，
y ，y 与t的函数图形如图所示．
1 2
(1)矩形ABCD的周长为______m，游览车的速度为______m/min；
(2)求AM的长；
(3)如图，求a，b的值及a≤t≤b时，y 与t的函数解析式；并直接写出E、F两点的纵坐标之差．
2
12．（2023·广西玉林·统考模拟预测）为了更好助推乡村振兴，今年水果上市期间，某单位驻村工作队立
足本地特色，在打通为农服务“最后一公里”上主动作为，在村里成立村级供销合作社，帮助果农进行销
售，该村水果月销售额y（万元），在成立村级供销合作社前是反比例函数图象的一部分，成立村级供销
合作社后是一次函数图象的一部分．
(1)当1≤x≤4时，求y与x的关系式，并求出该种水果4月份的销售额；
(2)该村水果有多少个月的月销售额不超过90万元？
13．（2023·广东江门·江门市怡福中学校考一模）如图是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其
10
中线段PA是竖直高度为6米的平台，PO垂直于水平面，滑道分为两部分，其中AB段是双曲线y= 的
x
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一部分，BCD段是抛物线的一部分，两滑道的连接点B为抛物线的顶点，且B点的竖直高度为2米，当甲
同学滑到C点时，距地面的距离为1米，距点B的水平距离CE为√2米．
(1)求滑道BCD所在抛物线的解析式；
(2)求甲同学从点A滑到地面上D点时，所经过的水平距离；
(3)在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道BCD落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于
OP 1
45°，且由于实际场地限制， ≥ ，请直接写出OD长度的取值范围．
OD 2
14．（2023·内蒙古包头·二模）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬
菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关
系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段（即：当
10≤x≤24时，大棚内的温度y（℃）是时间x（h）的反比例函数），已知点A坐标为(0,10)．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)当0≤x≤5时，求大棚内的温度y与时间x的函数关系式；
(2)求恒温系统设定的恒定温度；
(3)若大橱内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害，问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使
蔬菜避免受到伤害？
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类型二 方案选择问题
15．（2023·广东深圳·校考模拟预测）“后疫情时代”经济复苏，越来越多的人选择在假期外出旅游，五
一假期为旅游旺季，深圳某景区为方便更多的游客在园区内休息，景区管理委员会决定向某公司采购一批
户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的
0.75倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张．
(1)求弧形椅和条形椅的单价分别是多少元；
(2)已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进200张休闲椅，并保证至少增加800
个座位．求如何安排购买方案最节省费用、最低费用是多少元．
16．（2023·浙江·模拟预测）某礼品经销商在春节前购进了甲、乙两种规格的礼品盒200盒，共花费了
17800元．已知甲、乙两种规格的礼品盒的进价和售价如下表：
甲规
类别 乙规格
格
进价(元) 75 110
售价(元) 108 158
(1)该礼品经销商购进甲、乙两种规格的礼品盒各多少盒？
(2)由于市场供不应求，该礼品经销商计划再购进两种礼品盒共50盒，而此次投入不超过5000元，为使得
获利最大，应如何进货．
17．（2023·浙江温州·校联考二模）某地移动公司提供的流量套餐有三种，如表所示，x表示每月上网流量
（单位：GB），y表示每月的流量费用（单位：元），三种套餐对应的y关于x的关系如图所示：
A套 B套 C套
餐 餐 餐
每月基本流量服务费（元） 30 50 80
包月流量（GB） 5 10 20
超出后每GB收费（元） 10 10 5
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x>5 A y
A
(1)当 时，求 套餐费用 的函数表达式．
(2)当每月消耗流量在哪个范围内时，选择C套餐较为划算．
(3)小红爸妈各选一种套餐，计划2人每月流量总费用控制在150元以内（包括150元），请为他们设计一种
方案使总流量达到最并完成下表，
小红爸爸： 套餐 小红妈妈： 套餐
（填A、B、C （填A、B、C 总流量
） ）
消耗流
GB GB GB
量
18．（2022·湖北黄冈·校考模拟预测）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系
节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全
市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型
垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：
类 可供使用幢
占地面积 造价（万元）
型 数
A 15 18 1.5
B 20 30 2.1
(1)已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的
数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？
(2)当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可
以近似的表示为：y=¿，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A
型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？（精确到0.1）
19．（2023·安徽合肥·统考三模）为响应政府巩固脱贫成果的号召，某商场与生产水果的脱贫乡镇签订支
助协议，每月向该乡镇购进甲、乙两种水果进行销售，根据经验可知：销售甲种水果每吨可获利0.4万元，
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销售乙种水果获利如下表所示：
销售x（吨） 3 4 5 6 7
获利y（万
0.9 1.1 1.3 1.5 1.7
元）
(1)分别求销售甲、乙两种水果获利y （万元）、y （万元）与购进水果数量x（吨）的函数关系式；
1 2
(2)若只允许商场购进并销售一种水果，选择哪种水果获利更高？
(3)支助协议中约定，商场每个月向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m、n吨，且m，n满足
1
n=20− m2 ，请帮忙商场设计可获得的最大利润的进货方案．
2
20．（2023·四川乐山·统考二模）某公司在甲、乙两城生产同一种产品，受原材料产地，上、下游配套工
厂等因素影响，生产成本不同．甲城产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的关系式为
y=ax2+bx+c(a≠0)，图象为如图的虚线所示：乙城产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的关
系式为y=kx(k≠0)，其图象为如图的实线所示．
(1)求a、b、k的值．
(2)若甲、乙两城一共生产50件产品，请设计一种方案，使得总生产成本最小．
(3)从甲城把产品运往A、B两地的运费（万元）与件数（件）的关系式为：y =nx，y =3x；从乙城
甲A 甲B
把产品运往A、B两地的运费（万元）与件数（件）的关系为：y =x，y =2x；现在A地需要40件，
乙A 乙B
B地需要10件，在（2）的条件下，求总运费的最小值（用含n的式子表示）．
类型三 商品利润问题
21．（2024·陕西西安·交大附中分校校考一模）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水
果进行销售．通过市场调研发现：购进5千克甲种水果和3千克乙种水果共需38元；乙种水果每千克的进
价比甲种水果多2元．
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(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)已知甲、乙两种水果的售价分别为6元/千克和9元/千克，若水果店购进这两种水果共300千克，其中甲
种水果的重量不低于乙种水果的2倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
22．（2023·河南周口·统考二模）某社区开展关爱“空巢”老人的活动，现从厂家购进“九连环”与“鲁
班锁”两种益智玩具用来丰富晚年生活，已知购进2副“九连环”和3副“鲁班锁”共需320元；购进6副
“九连环”和4副“鲁班锁”共需560元．
(1)分别求这两种玩具的单价；
(2)该社区计划购进“九连环”的数量比“鲁班锁”数量的2倍还多10副，且两种益智玩具的总数量不少于
70副，社区应如何安排购买才能使费用最少？最少费用为多少？
23．（2023·广东阳江·统考二模）某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如下表：
甲水
乙水笔
笔
每支进价（元） a a+5
每支利润（元） 2 3
已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等．
(1)求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元．
(2)若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超
过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．
(3)文具店为了吸引客源．准备下次再购进一种进价为12（元/支）的丙水笔，预算用1500元购进这三种水
笔若干支（三种笔都需购买），其中甲水笔与乙水笔的数量之比为1∶2，则该文具店至多可以购进这三种水
笔共多少支．
24．（2024·福建南平·统考一模）某商家将每件进价为15元的纪念品，按每件19元出售，每日可售出28
件．经市场调查发现，这种纪念品每件涨价1元，日销售量会减少2件．
(1)当每件纪念品涨价多少元时，单日的利润为154元？
(2)商家为了单日获得的利润最大，每件纪念品应涨价多少元？最大利润是多少元？
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25．（2023·江苏南通·统考二模）某商品每件进价20元，在试销阶段该商品的日销售量y(件)与每件商品的
日销售价x(元)之间的关系如图中的折线ABC所示(物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得
高于45元)．
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若日销售单价x(元)为整数，则当日销售单价x(元)为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是
多少？
(3)若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围．
26．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）某水果店去年2月至5月份销售甲乙两种新鲜水果，已知甲种水果
每月售价y 与月份x之间存在的反比例函数关系如表所示．
1
时间x/月份 2 3 4 5
售价y /（元/千
1 12 8 6 4.8
克）
甲种水果进价为3元/千克，销售量P（千克）与x之间满足关系式P=20x；乙种水果每月售价y 与月份x
2
之间满足y =ax2+bx+4，对应的图象如图所示．乙种水果进价为3.5元/千克，平均每月销售160千克．
2
(1)求y 与x之间的函数关系式；
1
(2)求y 与x之间的函数关系式；
2
(3)若水果店销售水果时需要缴纳0.2元/千克的税费，问该水果店哪个月销售甲乙两种水果获得的总利润最
大，最大利润是多少？
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27．（2022·安徽合肥·校考二模）已知某商品的进价为每件10元，我班数学兴趣小组经过市场调查，整理
出该商品在第x（1≤x≤30）天的售价与销量的相关信息如下表：
第x天 1≤x<15 15≤x≤30
1 300
日销售单价（元/千克） 20+ x 10+
2 x
日销售量（千克） 40−x
(1)第几天该商品的销售单价是25元？
(2)在这30天中，第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
类型四 行程问题
28．（2023·湖北武汉·华中科技大学附属中学校考模拟预测）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还
要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它
的刹车性能进行测试，开始刹车后的行驶速度v（单位：m/s）、行驶距离y（单位：m）随刹车时间t（单
位：s）变化的数据，整理得下表．
刹车时间t/s 0 1 2 3 4
行驶速度v/m/s 30 24 18 12 6
行驶距离y/m 0 27 48 53 72
行驶速度v与刹车时间t之间成一次函数关系，行驶距离y与刹车时间t之间成二次函数关系．
(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
(2)当汽车刹车后行驶距离为63m时，求它此时的行驶速度．
(3)若汽车发现正前方40米有一辆卡车一直以10m/s的速度匀速行驶，汽车立即刹车，问汽车在刹车过程中
会不会追尾卡车？请说明理由．
29．（2023·浙江杭州·校考二模）一辆汽车从甲地前往乙地，若以100km/hkm/h的平均速度行驶，则3h
后到达，
(1)该车原路返回时，求平均速度v（km/h）与时间t（h）之间的函数关系式．
(2)已知该车上午8点从乙地出发，
①若需在当天11点至13点间（含11点与13点）返回甲地，求平均速度v（km/h）的取值范围．
②若该车最高限速为120km/h，能否在当天10点前返回甲地？请说明理由．
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类型五 销售盈亏问题
30．（2023·广东河源·二模）西安的大唐不夜城，已成为游客们必去的打卡之地，在其商业街上，摆放着
琳琅满目的具有古风特色的商品，其中做工精致的扇子深受大家的喜爱，某店铺老板用1580元购进了折扇
和团扇共100把，这两种扇子的进价、标价如表所示：
种类价格 折扇 团扇
进价（元/把） 13 20
标价（元/把） 30 40
(1)折扇和团扇各购进了多少把？
(2)店铺老板将这两种扇子打折出售，全部售出后，该店铺共获利1240元，已知折扇按标价的九折出售，
则团扇的折扣是多少？
31．（2023·山西大同·校联考模拟预测）某儿童服装店从厂家购进了甲、乙两种品牌的服装，已知每套甲
品牌服装比每套乙品牌服装的进价贵30元，用4800元购进的甲品牌服装的数量是用2000元购进的乙品牌
服装数量的1.5倍．
(1)求甲、乙两种品牌服装的进价分别是多少；
(2)在销售过程中，乙品牌服装每套的售价是80元，且很快全部售出；甲品牌服装每套按进价加价25%销
售，售出一部分后，出现滞销，商场决定打九折出售剩余的甲品牌服装．这两种品牌的服装全部售完后共
获利润2200元，求有多少套甲品牌服装打九折售出．
32．（2023·广东·校联考模拟预测）2023年是农历癸卯年（兔年），兔子生肖挂件成了热销品．某商店准
备购进A，B两种型号的兔子挂件．已知购进A型号兔子挂件3件和B型号兔子挂件4件共需220元，且A
型号兔子挂件比B型号兔子挂件每件贵15元．
(1)该商店购进A，B两种型号的兔子挂件进价分别为多少元？
(2)该商店计划购进A，B两种型号的兔子挂件共50件，且A，B两种型号的兔子挂件每件售价分别定为48
元，30元．假定购进的兔子挂件全部售出，若要商店获得的利润超过310元，则A型号兔子挂件至少要购
进多少件？
类型六 工程问题
33．（2023·重庆开州·校联考一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改
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造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不
变的情况下，时间比原计划增加了(m+25)小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，
而使用时间增加了m小时，求m的值．
34．（2022·重庆·重庆市第七中学校校考一模）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长
5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完
成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工
成本为12万．
6
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米．
5
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每
1
合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖 a米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天
6
2
少挖 a米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多(7a−12)万元．求a的值．
9
35．（2020·福建厦门·校考模拟预测）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：
生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下
称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，
所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低
了12 ．经过三年治理，境内长江水质明显改善 ．
（1）求的n值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理
的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
类型七 几何问题
36．（2022·江苏苏州·模拟预测）用28米长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形．
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(1)当垂直于墙的一边比另一边少7米时，求长方形的面积．
(2)按表中列出的数据要求，填写表格．
观察表格，你感到长方形的面积会不会有最大的情况？如果会，可能是多少？
垂直于墙的一边比另一边少(m) 1 4 7 10 13
___ ___
长方形的面积 ____ ____ ____
_ _
37．（2023·广东东莞·东莞市东莞中学松山湖学校校考二模）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利
用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成
两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m．
(1)若矩形养殖场的总面积为36m2，求BD长度；
(2)求矩形养殖场的总面积最大值为多少．
38．（2023·辽宁营口·统考二模）某中学开展课外木工拓展实践活动．如图所示为一块余料，
∠BAF=∠AFE=90°，AB=EF=1，CD=3，AF=8，CD∥AF，且CD和AF之间的距离为4，以
k
AF所在直线为x轴，AF中点为原点构建直角坐标系，则曲线DE是反比例函数y= 图象的一部分．“创
x
23
想小组”想利用该余料截取一块矩形MNGH材料，其中一条边在AF上，所截矩形MNGH材料面积是 ．
2
请你求出此时GN的长．
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k
39．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y= （k为常数且k≠0）
x
的图象交于A（−1，a），B两点，与x轴交于点C．
(1)求此反比例函数的表达式；
(2)若点P在x轴的正半轴上，且S ＝4S ，求点P的坐标．
△ACP △BOC
40．（2023·河南周口·校联考模拟预测）如图，在▱ABCD中，A(−1,0)，B(2,0)，D(0,2)，反比例函
k
数y= 在第一象限内的图象经过点C．
x
(1)点C的坐标为 ．
(2)求反比例函数的解析式．
(3)点E是x轴上一点，若△BCE是直角三角形，请直接写出点E的坐标．
41．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）为了增加校园绿化，学校计划建造一块边长为40m的正方形花坛种
植“两花一草”，如图，取四边中点，构成正方形EFGH（甲区域），在四个角落构造4个全等的矩形
（已区域），甲、乙两区域种植不同花卉，剩余区域种植草坪．
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(1)经了解，甲区域建造费用为50元/m2，乙区城建造费用为80元/m2，草坪建造费用为10元/m2，设每个矩
形的面积为xm2，建造总费用为y元，求y关于x的函数关系式；
(2)当建造总费用为74880元时，矩形区城的长和宽分别为多少米？
(3)甲区域建造费用调整为40元/m2，乙区域建造费用调整为a元/m2（a为10的倍数），草坪建造单价不变，
最后建造总费用为55000元，求a的最小值．
类型八 工程问题
42．（2023·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模）某新修公路沿线需要进行绿化施工，由甲、乙两
工程队合作完成．已知若由甲工程队单独施工，需要30天才能完成此项工程；若由乙工程队先施工30天，
剩下的由甲、乙合作施工，则还需10天才能完成此项工程．
(1)求乙工程队单独完成此项工程需要多少天？
(2)若甲工程队每天所需费用为1万元，乙工程队每天所需费用为1.5万元．甲、乙两工程队合作完成此项
工程，总费用恰为56万元，则应安排甲工程队施工多少天？
43．（2023·四川资阳·统考二模）“端午临仲夏，时清日复长．”临近端午节，一网红门店接到一份粽子
订单，立即决定由甲、乙两组加工完成．已知甲、乙两组加工一天共生产350袋粽子，甲组加工2天比乙
组加工1天多生产250袋粽子．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子？
(2)已知这份粽子订单为1700袋，若甲、乙两组共用10天加工完成，则甲组至少加工多少天？
44．（2023·吉林白城·校联考三模）某车间甲、乙两台机器共生产9200个零件，两台机器同时加工一段时
间后，甲机器出现故障，维修一段时间后仍按原来的效率加工，已知甲机器每天加工150个零件，如图是
表示未生产零件的个数y（个）与乙机器工作时间x（天）之间的函数图像．
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(1)乙机器每天加工______个零件，甲机器维修了______天；
(2)求未生产零件的个数y（个）与乙机器工作时间x（天）之间的函数关系式；
(3)当甲、乙两台机器共生产7600个零件时，乙机器加工了多少天？
45．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）重庆市潼南区是中国西部绿色菜都，为全市人民提供了新
鲜多样的蔬菜．今年，区政府着力打造一个新的蔬菜基地，计划修建灌溉水渠1920米，由甲、乙两个施工
4
队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度是甲施工队每天修建的长度的 ，而乙施工队单独修建这项工
3
程需要的天数比甲施工队单独修建这项工程需要的天数少4天．
(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？
(2)若甲施工队每天的修建费用为13万元，乙施工队每天的修建费用为15万元，实际修建时先由甲施工队
单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好12天完成修建任务，求共需修建费用多少万元？
类型九 古代问题
46．（2023·福建泉州·统考模拟预测）程大位是明代商人、珠算发明家，在其杰作《算法统宗》（如图）
中记载有如下问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深
各几何？”译文：“用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳子比井深多5尺；如果将绳
子折成四等份，一份绳子比井深多1尺绳长、井深各是多少尺？”
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(1)请你求出上述问题的解；
(2)若在（1）中的井底有一只青蛙，青蛙在井底想要爬出井外，第一天向上爬m尺；第二天休息，下滑2尺；
第三天向上再爬m尺；第四天休息，下滑2尺…，这只青蛙按照这样的规律向上爬与休息，若它想要在9天
内（包括第9天）爬出井外，求m至少要为多少尺？
47．（2021·安徽·校联考三模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，
倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为
6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问
6210文能买多少株椽？
类型十 抛物线问题
48．（2024·陕西西安·校考一模）陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和土气息． 如图所示，某窑洞口的
下部近似为矩形 OABC，上部近似为一条抛物线． 已知 OA=3米，AB=2米，窑洞的最高点 M(抛物
25
线的顶点)高地面 OA的距离为 米．
8
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
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(2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户DEFG，使得点 D、E在矩形 OABC的边BC上，点
F、G在抛物线上，那么这个正方形窗户 DEFG的边长为多少米？
49．（2023·河南洛阳·统考二模）图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2， AO，BC是桥墩，
桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．
以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为
y=a(x−h) 2+k，其中x(m)是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y(m)是桥拱截面上一点距水面OC
的距离．
(1)求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
(2)若桥拱最高点P离水面2m为警戒水位，求警戒水位处水面的宽度．
(3)有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上
涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽10.8m，问此船能否通过桥洞？请说明理由．
50．（2023·江苏扬州·校考模拟预测）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物
线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距
离为3.05m．该运动员身高1.9m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，设球运动的水平距离为x，
竖直高度为y．
(1)如图，抛物线与y轴交点坐标为______________，篮筐中心坐标为______________．
(2)求y与x之间的函数关系式；
(3)运动员在这次跳投中，跳离地面的高度．
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51．（2023·河北沧州·统考模拟预测）北京冬奥会上我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌，如图为某同学
绘制的赛道截面图，着陆坡AC的坡角为30°，起跳点A在y轴上，某运动员（看作点）从点A开始起跳，
腾空后至着陆坡的B处着陆，腾空后运动员的横坐标x、纵坐标y与时间t之间的关系式为x=a(t+1)，
y=−5t2+70，a为运动员起跳后水平方向的速度，测得某运动员起跳后a=10√3．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该运动员经过几秒后着陆，并求此时着陆点B到停止区的坡面距离；
(3)当t为何值时，运动员距离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？
52．（2023·安徽·模拟预测）某蔬菜基地调洒水车来浇灌菜地，已知洒水的剖面是由AC、两条拋物线和地
1 4
面组成，建立如图的平面直角坐标系．拋物线CND的函数表达式为y=− x2+ x+1，拋物线AMB上点
5 5
( 11)
A的坐标为 0, ，其最高点M离地面的高度是h米，且恰好在点D的正上方．
6
(1)如图1，当h=6时，求抛物线AMB与x轴正半轴的交点坐标．
3
(2)如图2，若大棚的一边是防风墙PQ，防风墙距离点O有11米，墙高 米，要想所洒的水既能到墙边又
2
不会洒到墙外，求h的取值范围．
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(3)如图3，在（2）抛物线AMB正好经过墙角Q的条件下，为了防止强光灼伤蔬菜，菜农将遮阴网（用线
段PE表示，PE与拋物线AMB相交于点F）两端固定在P,E两处，点E距点O正好2米．若G是线段EF
上一动点，过点G作GH⊥x轴交拋物线AMB于点H，求GH长度的最大值．
53．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）阅读以下材料，完成课题研究任务：
【研究课题】设计公园喷水池
【素材1】某公园计划修建一个图1所示的喷水池，水池中心O处立着一个高为2m的实心石柱OA，水池周
围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点A处汇合.为使水流形
状更漂亮，要求水流在距离石柱0.5m处能达到最大高度，且离池面的高度为2.25m．
【素材2】距离池面1.25米的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水流．
【任务解决】
(1)小张同学设计的水池半径为2m，请你结合已学知识，判断他设计的水池是否符合要求．
(2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少米？
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类型十一 实验问题
54．（2022·江苏南京·模拟预测）如图是小明“探究拉力F与斜面高度h关系”的实验装置，A、B是水平
面上两个固定的点，用弹簧测力计拉着重为6N的木块分别沿倾斜程度不同的斜面BC向上做匀速直线运动，
经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力F（N）是高度h（m）的一次函数．实验结果如图1、图2所示：
(1)求出F与h之间的函数表达式；
(2)如图3，若该装置的高度h为0.22m，求测量得到拉力F；
(3)若弹簧测力计的最大量程是5N，求装置高度h的取值范围．
55．（2023·浙江绍兴·统考三模）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了
漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．某学校STEAM社团在进行项目化学习时依据漏刻的原
理制作了一个简单的漏刻计时工具模型．该实验小组通过观察，记录水位h(cm)、时间t(min)的数据，得
到表格．
t（min） … 1 2 3 4 …
h（cm） … 1.6 2.0 2.4 2.8 …
为了描述水位h(cm)与时间t(min)的关系，现有以下三种函数模型供选择：h=kt+b(k≠0)，
k
h=at2+bt+c(a≠0)，h= (k≠0)．
t
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，
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并画出这个函数的图象．
(2)当水位高度h为4.8cm时，求对应的时间t的值．
56．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，实验室有一个长方体水槽，其中被试验台占据的一部分长方体记
为C，B为长方体C的上表面，A为水槽的底面，在实验前先将水槽内的污水放完，清洗干净后再注满水.
已知放水与注水的速度相同，放水时水槽内的水量V(dm3)与放水时间x（分钟）的函数关系如图所示，点
M表示放水4分钟时，水面高度刚好到达B面.
(1)求a的值；
(2)求注水时水槽中的水深h(dm)与注水时间x（分钟）之间的函数解析式.
57．（2023·山东青岛·统考二模）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体
实验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（h）之间的函数关系如图所示（当
4≤x≤10时，y与x成反比例）．
(1)根据图象求出血液中药物浓度下降阶段y关于x的函数表达式；
(2)问：血液中药物浓度不低于5微克/毫升的持续时间为多少小时？
58．（2021·浙江杭州·统考一模）某位同学做实验考察电流变化情况时，可以选择若干定值电阻进行并联
U
（假设可以选择任何数值的电阻），已知电源电压U为3V（注：公式I= ，其中I是电流强度、U是电
R
压，R是电阻）
（1）若只选择一个电阻，测得电流强度I为0.1A，求该电阻R的值．
（2）若所选的两个电阻分别为R ,R ，且R +R =20Ω，恰好使总电流强度I最小，求对应电阻R ,R 的
1 2 1 2 1 2
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R ⋅R
值．（注并联时总电阻R= 1 2 ）（在求对应R ,R 的值时，用数学的方法书写过程）
R +R 1 2
1 2
59．（2023·江苏盐城·校考三模）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务，今天是2023年6月8日 （星期四），
在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了一次“探索电压一定时，输出功率P与电阻R函数
关系的数学活动”．
第一步，我们设计了如图所示的电路，电压为定值6V不变．
第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化．
第三步，我们根据物理知识P＝UI，通过测量电路中的电流计算电功率．
第四步，计算收集数据如下：
R/Ω … 2 4 6 8 10 …
P/W … 18 9 6 4.5 3 …
第五步，数据分析，以R的数值为横坐标，P的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以
表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，
实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记．
任务：
(1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是 ；（单选）
A．数形结合B．类比思想C．分类讨论D．方程思想
(2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出P关于R的函数表达式；
(3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象；
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(4)请直接写出：若P大于10W，R的取值范围为．
类型十二 动态问题
60．（2022·广东湛江·岭师附中校联考三模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现
有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P
的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．
设运动时间为t秒．
(1)求t为多少秒时，△CPQ的面积为为24cm2
(2)当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似.
61．（2022·广东湛江·岭师附中校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，AD=5cm，动点
P、Q分别从点A、C 同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速
度向点D移动．设移动的时间为ts．
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(1)当t为何值时，P、Q两点的距离最小？最小距离是多少？
(2)当t为何值时，P、Q两点的距离是10cm ？
−2
62．（2024·广东东莞·校联考一模）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y= 的图象交
x
于点A(−1,a)与点B(b,−1)．
(1)求这个一次函数的表达式；
−2
(2)根据图象，直接写出不等式 0且k≠1）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊
PB
数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．
【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知r=kOB，连
接PA、PB，则当“PA+kPB”的值最小时，P点的位置如何确定？
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第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP；
OC OP
第2步：在OB上取点C，使得OP2=OC⋅OB，即 = ，构造母子型相似△OCP∽△OPB（图
OP OB
2）；
第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）．
【问题解决】如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A(0,2)，点
(3 )
B ,0 ，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．
2
(1)PA+2PB的最小值是多少？
(2)请求出（1）条件下，点P的坐标．
64．（2023·广东清远·统考三模）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不
k
与A，B重合），过点F的反比例函数y= (x>0)的图象与BC边交于点E．
x
(1)当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．
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(2)当k为何值时，△CEF的面积最大，最大面积是多少？
65．（2023·吉林长春·校考模拟预测）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=6cm．动点P
从点A出发，以1cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交直线AC于点Q，以PQ为边向
左侧作矩形PQMN，使QM=√3PQ．设矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积是S，点P的运动时间
为t(s)(00)的一部分，椅面BD是一条
x
线段，点B(20,32)，沙发腿DE⊥x轴、BC与x轴夹角为α．请你根据图形解决以下问题：
（1）k＝ ；
（2）过点A作AF⊥x轴于点F．已知CF=4cm，DE=40cm，tanα=4，tanD=5．则
①A点坐标为 ；
②沙发的外包装箱是一个长方体，则这个包装箱的体积至少是 cm3（精确到万位，并用科学
记数法表示）．
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三、解答题
9．（2023·广西贵港·统考二模）某校组织初二年级380名学生到广东南路革命化州纪念馆研学活动，
已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生130人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
(2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满：
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆租金200元，大客车每辆租金300元．请选出最省钱的租车方案、并求出最少租金．
10．（2023·山东泰安·统考三模）某校为美化校园，计划对面积为2000m2的区域进行绿化，安排甲、乙两
个工程队完成，已知甲队每天完成绿化的面积是乙队每天完成绿化的面积的2倍，并且甲队独立完成
500m2绿化面积比乙队独立完成550m2的绿化面积少用6天．
(1)甲、乙两个工程队每天能完成绿化的面积分别是多少？
(2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.5万元，乙队为0.3万元，要使这次的绿化总费用不超过10万元，
至少应安排甲队工作多步天？
11．（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考模拟预测）如图，一阵拱桥的跨度OA长为12m，拱桥顶部距
离水面的高度为4m，现在以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
(1)抛物线顶点P的坐标是______，并求抛物线的表达式．
(2)在（1）条件下，直接写出拱桥倒影所在抛物线的函数表达式______．
(3)一艘游船宽6米，载客后水面以上高为3.2米，请问能否从桥下通过?
12．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）供销社作为国家实施“乡村振兴”战略的中坚力量，可以帮助农民
分配协调农产品，推动全国统一大市场尽快构建完成，给老百姓带来真正的实惠．某供销社指导农民生产
和销售当地特产，对该特产的产量与市场需求，成本与售价进行了一系列分析，发现该特产产量y （单
产量
位：吨）是关于售价x（单位：元/千克）的一次函数，即y =200x−100；而市场需求量y （单位：
产量 需求
吨）是关于售价x（单位：元/千克）的二次函数，部分对应值如下表．
售价x（元/千克） … 2 3 4 5 …
需求量y 102 98
需求 … 1020 900 …
（吨） 0 0
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同时还发现该特产售价x（单位：元/千克），成本z（单位：元/千克）随着时间t（月份）的变化而变化，
1 3
其函数解析式分别为x=t+1，z= t2+ ．
8 2
(1)直接写出市场需求量y 关于售价x的函数解析式（不要求写出自变量取值范围）；
需求
(2)哪个月份出售这种特产每千克获利最大？最大值是多少？
(3)供销社发挥职能作用，避免浪费，指导农民生产，若该特产的产量与市场需求量刚好相等，求此时出售
全部特产获得的总利润．
13．（2023·河南周口·校考三模）如图1是一个倾斜角为α的斜坡的截面示意图．已知斜坡顶端A到地面的
1
距离AB为2m,tanα= ．为了对这个斜坡上的绿植进行喷灌，在斜坡底端C处安装了一个喷头D，喷头D
3
到地面的距离DC为0.5m，水珠在距喷头D水平距离4m处达到最高，喷出的水珠可以看作抛物线的一部分．
建立如图2所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，其中喷出水珠的竖直高度为y
（单位：m）（水珠的竖直高度是指水珠到水平地面的距离），水珠与AB的水平距离为x（单位：m）．
(1)求抛物线的表达式．
(2)斜坡正中间有一棵高1m的树苗，通过计算判断从喷头D喷出的水珠能否越过这棵树苗．
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(3)若有一个身高为 m的小朋友经过此斜坡，想要不被淋湿衣服，他到喷头D的水平距离s(m)应在什么范
3
围内？
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