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2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第三章 函数
3.4 二次函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 二次函数的图象与 数学中考中，有关二次函数的部分是每年全国各省
☆☆☆
性质 市必考内容，也是中考数学难点，每年压轴题之一
必定有二次函数综合题。每年考查1~3道题,分值为
考点2 二次函数的图象与 3~15分，通常以选择题、 填空题、解答题的形式
☆☆☆
a,b,c之间的关系 考查。对于二次函数的复习需要学生熟练掌握二次
函数的图象与性质、二次函数的图象与 a,b,c之间的关
考点3 二次函数与方程、
☆☆ 系、二次函数与方程、不等式之间的关系。
不等式之间的关系
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
夯实基础
考点1. 二次函数的图象与性质
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1. 二次函数的概念：一般地，形如__________（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2. 二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：__________（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：___________（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：___________，其中x，x 是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
1 2
【注意】求二次函数解析式的一般方法：
（1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写
出二次函数的解析式.
（2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，
即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
（3）交点式y=a(x-x)(x-x).当抛物线与x轴的两个交点为(x,0)、(x,0)时，可设y=a(x-x)(x-
1 2 1 2 1
x)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
2
3. 二次函数的图象及性质
解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴 x=–
顶点 （– ， ）
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 开口向上 开口向下
最值 当x=– 时，y = 当x=– 时，y =
最小值 最大值
最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点
当x<– 时，y随x的增大而增
当x<– 时，y随x的增大而减小；
增减性
大；当x>– 时，y随x的增大
当x>– 时，y随x的增大而增大
而减小
4. 抛物线的平移
二次函数平移遵循“______，______”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化
后的解析式；二次函数图象的平移可看作____间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析
式．
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【注意】二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加
或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出
变化后的解析式．
考点2. 二次函数的图象与a,b,c之间的关系
【提示】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的常见结论
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考点3. 二次函数与方程、不等式之间的关系
（1）二次函数与一元二次方程的关系
（2）二次函数与不等式的关系（拓展）
【易错点提示】对二次函数与一元二次方程关系密切这句话的理解．
举例说明：已知二次函数y =－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3
（即x2－4x+3=0）．
反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
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考点1. 二次函数的图象与性质
【例题 1】（2024 福建省）已知二次函数 的图象经过 ，
两点，则下列判断正确的是（ ）
A. 可以找到一个实数 ，使得 B. 无论实数 取什么值，都有
C. 可以找到一个实数 ，使得 D. 无论实数 取什么值，都有
【变式练1】（2024北京一模）下列关于二次函数 的说法正确的是( )
y=(x−2) 2−3
A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与x轴没有交点
C．当x<2时，y随x增大而增大 D．图象的顶点坐标是(2,−3)
【变式练2】（2024哈尔滨一模）已知 是抛物线 （a是常数，
P (x ,y ),P (x ,y ) y=ax2+4ax+3
1 1 1 2 2 2
a≠0)上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x=−2；②点(0,3)在抛物线上；③若
x >x >−2，则y >y ；④若y = y ，则x +x =−2其中，正确结论的个数为（ ）
1 2 1 2 1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点2. 二次函数的图象与a,b,c之间的关系
【例题2】（2024黑龙江齐齐哈尔）如图，二次函数 的图象与 轴交于
， ，其中 ．结合图象给出下列结论：
① ；② ；
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③当 时， 随 的增大而减小；
④关于 的一元二次方程 的另一个根是 ；
⑤ 的取值范围为 ．其中正确结论的个数是（ ）
A. B. C. D.
【变式练1】（2024陕西一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标
为（1，0），对称
轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＜0；
③3a+c＝0；
④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式练2】（2024贵州一模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图
象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＜1；④x
＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（ ）
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A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤
考点3. 二次函数与方程、不等式之间的关系
【例题3】（2024四川成都市）在平面直角坐标系 中， ， ， 是
二次函数 图象上三点．若 ， ，则 ______ （填“ ”或“
”）；若对于 ， ， ，存在 ，则
的取值范围是______．
【变式练1】（2024福州一模）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝ ．
【变式练2】（2024贵阳一模）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y），B
1
（1，y）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（ ）
2
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
【变式练3】（2024山东青岛一模）二次函数y＝ax2+c的图象与直线y＝kx+b（k＞0）交于点M（﹣
2，m）、N（1，n）两点（mn＜0），则关于x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为 ．
考点1. 二次函数的图象与性质
1. （2024四川凉山）抛物线 经过 三点，则
的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川泸州）已知二次函数 （x是自变量）的图象经过第一、二、
四象限，则实数a的取值范围为（ ）
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A. B.
C. D.
3. （2024广州）函数 与 的图象如图所示，当（ ）时， ， 均随着
的增大而减小．
A. B. C. D.
4. （2024陕西省）已知一个二次函数 的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A. 图象的开口向上 B. 当 时，y的值随x的值增大而增大
C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线
5. （2024江苏苏州）二次函数 的图象过点 ， ， ，
，其中m，n为常数，则 的值为______．
6. （2024贵州省）如图，二次函数 的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是 ，
顶点坐标为 ，则下列说法正确的是（ ）
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A. 二次函数图象的对称轴是直线
B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C. 当 时，y随x的增大而减小
D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
7. （2024内蒙古赤峰）如图，正方形 的顶点 ， 在抛物线 上，点 在 轴
上．若 两点的横坐标分别为 （ ），下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. （2024山东烟台）已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表：
下列结论： ； 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根； 当
时， 的取值范围为 ； 若点 ， 均在二次函数图象上，则
； 满足 的 的取值范围是 或 ．其中正确结论的序号为
______．
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9. （2024广西）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数 的最值问
题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出 ，求二次函数 的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，
并整理成下表：
a … 0 2 4 …
x … * 2 0 …
y的最小
… * …
值
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过 函的数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取 ，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，
所以我猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）请结合函数解析式 ，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
考点2. 二次函数的图象与a,b,c之间的关系
1. 抛物线 与 轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小
于1，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024黑龙江绥化）二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线
，则下列结论中：
① ② （m为任意实数） ③
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④若 、 是抛物线上不同的两个点，则 ．其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. （2024武汉市）抛物线 （a，b，c 是常数， ）经过 ， 两点，
且 ．下列四个结论：
① ；
②若 ，则 ；
③若 ，则关于x的一元二次方程 无实数解；
④点 ， 在抛物线上，若 ， ，总有 ，则 ．
其中正确的是__________（填写序号）．
4. （2024湖北省）抛物线 的顶点为 ，抛物线与 轴的交点位于 轴上方．
以下结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
考点3. 二次函数与方程、不等式之间的关系
1. （2024福建省）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 两点，与 轴交于点
，其中 ．
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（1）求二次函数的表达式；
（2）若 是二次函数图象上的一点，且点 在第二象限，线段 交 轴于点 的面积是
的面积的2倍，求点 的坐标．
2. （2024湖北省）如图1，二次函数 交 轴于 和 ，交 轴于 ．
（1）求 的值．
（2） 为函数图象上一点，满足 ，求 点的横坐标．
（3）如图2，将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为 与 轴交于点 ，记 ，记
顶点横坐标为 ．
①求 与 的函数解析式．
②记 与 轴围成的图象为 与 重合部分（不计边界）记为 ，若 随 增加而增加，
且 内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出 的取值范围．
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考点1. 二次函数的图象与性质
1.关于二次函数y=x2+2x−8，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为(0，−9)
C．图象与x轴的交点坐标为(−2,0)和(4,0)
D．y的最小值为−9
2. 已知抛物线 过点 ，其中 ，以下结论正确
y=mx2−4mx A(x ,y ),B(x ,y ),C(x ,y ) y =−4m
1 1 2 2 1 3 2
的
是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
|x −x |≤|x −x | y ≥ y ≥ y |x −x |≥|x −x | y ≥ y ≥ y
1 2 3 2 2 3 1 1 2 3 2 2 3 1
C．若 ，则 D．若 ，则
y |x −x |
1 3 2 1 2 2 3 1 3 2 1 2 2 3
3. 若点 在抛物线 （ ）上，则下列各点在抛物线 上的是
P(m,n) y=ax2 a≠0 y=a(x+1) 2
（ ）
A．(m,n+1) B．(m+1,n) C．(m,n−1) D．(m−1,n)
4. 在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x−1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得
到的抛物线的顶点坐标是 ．
5. 点 ， 在抛物线 上，存在正数 ，使得 且
A(x ,y ) B(x ,y ) y=ax2−2ax−3(a≠0) m −23 −1≤x≤3
①若y的最大值为−8，则m=4；
②若y的最小值为−8，则m=6；
③若m=5，则y的最大值为−3．
则上达说法（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③正确 D．均不正确
7. 已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（
）
A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4
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C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4
8. 一个二次函数的图象的顶点坐标为 ，与 轴的交点 ，这个二次函数的解析式
是（ ）
A． B．
C． D．
9．求经过A(1，4)，B(﹣2，1)两点，对称轴为x=﹣1的抛物线的解析式______．
10. 已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+3/2=0的根的情况是（
）
A．无实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根
考点2. 二次函数的图象与a,b,c之间的关系
1. 已知抛物线 （a，b，c是常数， ）经过点 ，有下列结论：
① ；
②当 时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程 有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1．给出下列结论：
①ac＜0； ②b2﹣4ac＞0； ③2a﹣b＝0； ④a﹣b+c＝0．
其中，正确的结论有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三
人的说法如下，
甲：若b＝5，则点P的个数为0；
乙：若b＝4，则点P的个数为1；
丙：若b＝3，则点P的个数为1．
下列判断正确的是（ ）
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
4. 如图，是二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：① a+b+c=0；②b＞
2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是 ．（只要求填写
正确命题的序号）
考点3. 二次函数与方程、不等式之间的关系
1. 一元二次方程 根的情况是（ ）
A. 有一个正根，一个负根 B. 有两个正根，且有一根大于9小于12
C. 有两个正根，且都小于12 D. 有两个正根，且有一根大于12
2. 数形结合是一种重要的数学思想方法，我们可以借助函数的图象求某些较为复杂不等式的解集．
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比如，求不等式x﹣1＞2/x的解集，可以先构造两个函数y＝x﹣1和y=2/x，再在同一平面直角坐
1 2
标系中画出这两个函数的图象（如图1所示），通过观察所画函数的图象可知：它们交于A（﹣1，
﹣2）、B（2，1）两点，当﹣1＜x＜0或x＞2时，y＞y，由此得到不等式x﹣1＞2/x的解集为﹣1
1 2
＜x＜0或x＞2．
根据上述说明，解答下列问题：
（1）要求不等式x2+3x＞x+3的解集，可先构造出函数y＝x2+3x和函数y＝ ；
1 2
（2）图2中已作出了函数y＝x2+3x的图象，请在其中作出函数y的图象；
1 2
（3）观察所作函数的图象，求出不等式x2+3x＞x+3的解集．
3．已知二次函数y＝﹣x2+4x+3．
（1）在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并求该函数图象的顶点坐标；
（2）当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围．
4．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表，下列结论正确的是（ ）
x ﹣2 ﹣1 0 1
y 0 4 6 6
A．抛物线的开口向上
B．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）
C．（a﹣b+c）（4a+2b+c）＞0
D．a＝b
5．已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
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（2）若（5，y），（m，y）是抛物线上不同的两点，且y＝12﹣y，求m的值．
1 2 2 1
6．如图，一次函数y＝kx+n（k≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，
1 2
4），B（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集为 ．
17
