2025年中考数学一轮复习学案：3.3反比例函数（教师版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2025中考复习资料_2025年中考数学一轮复习学案（全国通用）

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2025年中考数学一轮复习学案（全国版） 第三章 函数 3.3 反比例函数 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1 反比例函数的图象 数学中考中，有关反比例函数的部分属于中考必考 ☆☆ 与性质 内容，每年考查1~2道题,分值为3~12分，通常以 选择题、填空题、解答题的形式考查。对于这部分 考点2 反比例函数解析式 内容的复习需要学生熟练掌握考点分布的5个考点 的确定（含 k 的几何意 ☆☆☆ 知识内容，掌握每个考点解题要领，形成解题规 义） 律，这样在中考时才能快速高效解决问题。比如考 点3：若在选择题出现，一般3分，在解答题里出现 考点3 一次函数与反比例 ☆☆☆ 则 8—12 分，考查知识综合性强，要用到数形思 函数的综合问题 想，所以要加强该类型题训练。 考点4 反比例函数与几何 ☆☆☆ 图形结合 考点5 反比例函数的实际 ☆☆ 应用 ☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。 夯实基础 1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 考点1. 反比例函数的图象与性质 1. 反比例函数定义 k y= x y=kx−1 一般的，形如 (是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。其它表示形式： 或 xy=k 。 因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但与x轴.y 轴永不相交 ． 2. 反比例函数的图象及其性质 反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符 号的影响. y＝ (k为常数， k>0 k<0 k≠0) 图 象 所在象限 一.三(x，y同号) 二.四(x，y异号) 在每个象限内，y 在每个象限内，y 性 质 随x的增大而减小 随x的增大而增大 考点2. 反比例函数解析式的确定（含k的几何意义） 1. 求反比例函数的解析式方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式为 （k≠0）； （2）把反比例函数图像上已知一点的一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解这个方程求出 待定系数 k； （4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式即可． 2. 反比例函数的k的几何意义 由y＝(k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为 |k | . 如图①和②，S ＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|； 矩形PAOB 同理可得S ＝S ＝|xy|＝|k|. △OPA △OPB 2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【易错点提示】已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则 k＜ 0. 考点3. 一次函数与反比例函数的综合问题 1. 反比例函数与一次函数的综合问题基础分析 （1）涉及自变量取值范围型 当一次函数 与反比例函数 相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交 点坐．针对 时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所 对应的x的范围.例如，如下图，当 时，x的取值范围为 或 ；同理，当 时，x的取值范围为 或 ． （2）求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定. ①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个 交点； 2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 2. 反比例函数与一次函数的综合问题命题思想分析 一次函数和反比例函数是全国各省市中考的热点内容，也是中考的必考内容.每年都有一些考生 因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。 （1）一次函数和反比例函数的图象和性质是考查的基础，也是高频考点、必考点，所以对一次函数 和反比例函数的图象和性质必须理解熟记. 3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）这个考点多数省市在解答大题里出现，难度属于中等偏上，分值8—10分左右。 （3）运用综合知识解题，所以希望毕业班学生结合下面常出现考题类型复习相关知识点，各个击破。 类型1.一次函数与反比例函数中由面积求点坐标 类型2.一次函数与反比例函数中求线段和的最小值问题 类型3.一次函数和反比例函数与不等式综合问题 类型4.一次函数和反比例函数中求三角形面积问题 类型5.一次函数和反比例函数中求证问题 类型6.一次函数和反比例函数中求线段长问题 类型7.利用反比例函数的图象和性质探究平移问题 考点4. 反比例函数与几何图形结合 解反比例函数与几何图形的综合题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用 含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知 数及待求字母系数的解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值. 这类型的题目主要包括： 类型1. 反比例函数与三角形的综合问题 类型2.反比例函数与平行四边形的综合问题 类型3.反比例函数与矩形的综合问题 类型4.反比例函数与菱形的综合问题 类型5.反比例函数与正方形形的综合问题 类型6.反比例函数与圆的综合问题 考点5. 反比例函数的实际应用 反比例函数在工程问题、运动问题、化学等领域都有广泛应用。在物理学中也有重要应用。 解答反比例函数实际应用问题基本步骤： （1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； 4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 【易错点提示】反比例函数的实际应用需要注意的地方 解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注 意自变量的取值范围。实际问题中的两个变量往往都只能取非负值；作实际问题中的函数图像时， 横、纵坐标的单位长度不一定相同。 考点1. 反比例函数的图象与性质 【例题1】（2024福建省）如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象与 交于 两点，且点 都在第一象限．若 ，则点 的坐标为______． 【答案】 【解析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据 得出 ，设 ，则 ，结合完全平方公式的变形与应用得出 ，结合 ，则 ，即可作答． 【详解】如图：连接 5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵反比例函数 的图象与 交于 两点，且 ∴ 设 ，则 ∵ ∴ 则 ∵点 在第一象限 ∴ 把 代入得 ∴ 经检验： 都是原方程的解 ∵ ∴ 故答案为： 【变式练1】（2023阜新一模）已知反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点（﹣2，4），那么该反 比例函数图象也一定经过点（ ） A．（4，2） B．（1，8） C．（﹣1，8） D．（﹣1，﹣8） 【答案】C 【解析】∵反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点（﹣2，4）， ∴k＝﹣2×4＝﹣8， A.∵4×2＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； B.∵1×8＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； 6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 C.﹣1×8＝﹣8，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确； D.（﹣1）×（﹣8）＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．故选：C． 【变式练2】（2024陕西一模）已知反比例函数 ，下列说法不正确的是（ ） A．图象经过点（﹣3，2） B．图象分别位于第二、四象限内 C．在每个象限内y的值随x的值增大而增大 D．x≥﹣1时，y≥6 【答案】D 【解析】因为（﹣3）×2＝﹣6， 所以A正确，不符合题意； 因为反比例函数 ， 所以图象分别位于第二、四象限内；在每个象限内y的值随x的值增大而增大； 所以B、C正确，不符合题意； 当x≥﹣1时，y≥6或y＜0， 所以D错误，符合题意，故选：D． 【变式练3】（2024内蒙古呼和浩特一模）点 、 在反比例函数 的图 象上，若 ，则 的取值范围是______． 【答案】 【解析】反比例函数中 k＞0，则同一象限内 y随x的增大而减小，由于 ，得到 ，从而得到 的取值范围． ∵在反比例函数y= 中，k＞0， ∴在同一象限内y随x 的增大而减小， ∵ ， ∴这两个点在同一象限， ∴ ， 7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 解得： ， 故答案为： ． 【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当k＞0，在每一 象限内y随x的增大而减小；当k＜0，在每一象限内y随x的增大而增大． k y  【变式练4】（2024西藏一模）反比例函数 x 经过点(2,1)，则下列说法错误的是（ ） k 2 A． B．函数图象分布在第一、三象限 x0 y x x0 y x C．当 时， 随 的增大而增大 D．当 时， 随 的增大而减小 【答案】C k y  【解析】将点（2,1）代入 x 中求出k值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一分析即可． k y  将点（2,1）代入 x 中，解得：k=2， A．k=2，此说法正确，不符合题意； B．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此说法正确，不符合题意； C．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法错误，符合题意； D．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，理解函数图象上的点与解析 式的关系是解答的关键． 考点2. 反比例函数解析式的确定（含k的几何意义） 【例题2】（2024深圳）如图，在平面直角坐标系中，四边形 为菱形， ，且 点A落在反比例函数 上，点B落在反比例函数 上，则 ________． 8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】8 【解析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点 作 轴的垂线，垂足分别为 ，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得 ， ，再求得点 ，利用 待定系数法求解即可． 【详解】过点 作 轴的垂线，垂足分别为 ，如图， ∵ ， ∴ ， ∴设 ，则 ， ∴点 ， ∵点A在反比例函数 上， ∴ ， ∴ （负值已舍），则点 ， ∴ ， ， 9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∵四边形 为菱形， ∴ ， ， ∴点 ， ∵点B落在反比例函数 上， ∴ ， 故答案为：8． 【变式练1】（2024福建一模）已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解 析式是( ) 2 2 8 8 A．y= x B．y=﹣ x C．y= x D．y=﹣ x 【答案】D k 【解析】设解析式y= x ，代入点(2,-4)求出k即可． k k 设反比例函数解析式为y= x ，将(2，-4)代入，得：-4=2 ， 8 解得：k=-8，所以这个反比例函数解析式为y=- x ．故选：D． 【点睛】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数解析式只需要知道其图像上 一点的坐标即可． 【变式练2】（2024青岛一模）反比例函数y＝ 的图象经过点A（m， ），则反比例函数的表达 式为 ． 【答案】y＝ ． 【解析】∵反比例函数y＝ 的图象经过点A（m， ）， 10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ＝m． ∴m＝8， ∴反比例函数解析式为：y＝ ． 【变式练3】（2024深圳一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴 上，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连 接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】首先设A（a，0），表示出D（a， ），再根据D，E，F都在双曲线上，依次表示出坐 标，再由S ＝1，转化为S ＝2，列出等式即可求得． △AEF △ACF 解：设A（a，0）， ∵矩形ABCD， ∴D（a， ）， ∵矩形ABCD，E为AC的中点， 则E也为BD的中点， ∵点B在x轴上， ∴E的纵坐标为 ， ∴ ， ∵E为AC的中点， 11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴点C（3a， ）， ∴点F（3a， ）， ∵△AEF的面积为1，AE＝EC， ∴S ＝2， △ACF ∴ ， 解得：k＝3． 【变式练4】（2024大连一模）如图，直线AB与反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象交于A，B 两点，与x轴交于点C，且AB＝BC，连接OA．已知△OAC的面积为12，则k的值为 ． 【答案】8． 【解析】根据题意设B（ ，a），A（ ，2a），利用待定系数法表示出直线AB的解析式为y＝﹣ x+3a，则C（ ，0），根据三角形面积公式得到 × ×2a＝12，从而得到k的值． 12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 解：设AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N， ∵AM∥BN， ∴ ＝ ， ∵AB＝BC， ∴ ＝ ， 设B（ ，a），A（ ，2a）， 设直线AB的解析式为y＝mx+n， ∴ ，解得 ， ∴直线AB的解析式为y＝﹣ x+3a， 当y＝0时，﹣ x+3a＝0，解得x＝ ， ∴C（ ，0）， ∵△OAC的面积为12， ∴ × ×2a＝12， ∴k＝8． 考点3. 一次函数与反比例函数的综合问题 【例题 3】（2024 山东威海）如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线 13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 交于点 ， ．则满足 的 的取值范围______． 【答案】 或 【解析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思 想解答是解题的关键． 由图象可得，当 或 时， ， ∴满足 的 的取值范围为 或 ． 【变式练1】（2024山东滨州一模）在同一平面直角坐标系中，函数 与 （k为常 数且 ）的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据题意中的函数解析式和函数图象的特点，可以判断哪个选项中的图象是正确的． 根据函数 可得，该函数图象与y轴的交点在x轴上方，排除B、D选项， 当k＞0时，函数 的图象在第一、二、三象限，函数 在第二、四象限，故选项A正 确，故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结 14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 合的思想解答． 【变式练2】（2024湖南益阳一模）如图，已知点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，将 点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上． （1）求点A的坐标； （2）确定该反比例函数的表达式． 【答案】（1）（2，0）；（2）y＝ ． 【解析】（1）把y＝0代入一次函数y＝2x﹣4，求出x，即可得到点A的坐标； （2）根据平移的性质求出点B的坐标，设所求反比例函数解析式为y＝ ，将B点坐标代入，即可 求出该反比例函数的表达式． 解：（1）∵点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点， ∴当y＝0时，2x﹣4＝0，解得x＝2， ∴点A的坐标为（2，0）； （2）将点A（2，0）向上平移2个单位后得点B（2，2）． 设过点B的反比例函数解析式为y＝ ， 则2＝ ，解得k＝4， ∴该反比例函数的表达式为y＝ ． 考点4. 反比例函数与几何图形结合 【例题4】（2024江苏苏州）如图，点A为反比例函数 图象上的一点，连接 ， 过点O作 的垂线与反比例 的图象交于点B，则 的值为（ ） 15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似 的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作 轴于C，过B作 轴于D，证明 ，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作 轴于C，过B作 轴于D， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ （负值舍去），故选：A． 【变式练1】（2024黑龙江齐齐哈尔一模）如图，点A是反比例函数 图象上一点，过 点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4， 则k=_______． 16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 【解析】设点 ，利用 即可求出k的值． 设点 ， ∵点D为线段AB的中点．AB⊥y轴 ∴ ， 又∵ ， ∴ ． 【点睛】本题考查利用面积求反比例函数的k的值，解题的关键是找出 ． D3,2 【变式练2】（2024山西一模）如图，平行四边形 OABC 的顶点A在 x 轴的正半轴上，点 k y  k 0,x0 在对角线OB上，反比例函数 x 的图像经过C、D两点．已知平行四边形OABC 15 的面积是 2 ，则点B的坐标为（ ） 17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载  8 9   10 24 16 4, ,3 5, ,         A． 3 B．2  C． 3  D． 5 5  【答案】B 【解析】如图，分别过点D、B作DE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F，延长BC交y轴于点H OABC ∵四边形 是平行四边形∴易得CH=AF k D3,2 y  k 0,x0 ∵点 在对角线OB上，反比例函数 x 的图像经过C、D两点 6  6 y   a,  ∴k 236 即反比例函数解析式为 x ∴设点C坐标为 a 2 3 6  3 DE OE 6 OF a 9 ∵ ∴ ∴  ∴ ∴OF   DEBF △ODE △OBF BF OF a 2 a 9 9 6 OAOF  AF OF HC  a  ,  ∴ a ，点B坐标为a a 15 9  6 15 a     ∵平行四边形OABC的面积是 2 ∴a  a 2 解得a 2,a 2（舍去） 1 2 9  ,3   ∴点B坐标为2 故应选：B 【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合问题，涉及到相似三角形的的性质、反比例函数的性 质，解答关键是根据题意构造方程求解． 考点5. 反比例函数的实际应用 【例题5】（2024河北省）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用 电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 C. 若x减小，则y也减小 D. 若x减小一半，则y增大一倍 【答案】C 【解析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即 可． ∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天． ∴ ， ∴ ， 当 时， ，故A不符合题意； 当 时， ，故B不符合题意； ∵ ， ， ∴当x减小，则y增大，故C符合题意； 若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意；故选：C． 【变式练1】（2024湖北宜昌一模）已知经过闭合电路的电流 （单位： ）与电路的电阻 （单 位： ）是反比例函数关系．根据下表判断 和 的大小关系为（ ） 5 … … … … … 1 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据电流 与电路的电阻 是反比例函数关系，由反比例函数图像是双曲线，在同一象限 内x和y的变化规律是单调的，即可判断 ∵电流 与电路的电阻 是反比例函数关系 由表格： ； ∴在第一象限内，I随R的增大而减小 ∵ 19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ 【点睛】本题考查双曲线图像的性质；解题关键是根据表格判断出双曲线在第一象限，单调递减. 【变式练2】 （2024山西一模）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强 是它的受力面积 的反比例函数，其函数图象如图所示，当 时，该物体承 受的压强p的值为_________ Pa． 【答案】400 【解析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把S=0.25代入，问题得解． 设反比例函数的解析式为 ， 由图象得反比例函数经过点（0.1,1000）， ∴ ， ∴反比例函数的解析式为 ， 当S=0.25时， ． 【点睛】考查反比例函数的应用，理解题意，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题关键． 考点1. 反比例函数的图象与性质 1. （2024广西）已知点 ， 在反比例函数 的图象上，若 ，则 有（ ） 20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 根据点 ， 在反比例函数图象上，则满足关系式 ，横纵坐标的积等于2， 结合 即可得出答案． 【详解】 点 ， 在反比例函数 的图象上， ， ， ， ， ， ．故选：A． 2.（2024广州） 如图，平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 在函数 的图象 上， ， ．将线段 沿 轴正方向平移得线段 （点 平移后的对应点为 ）， 交函数 的图象于点 ，过点 作 轴于点 ，则下列结论： ① ； ② 的面积等于四边形 的面积； 21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ③ 的最小值是 ； ④ ． 其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】由 ，可得 ，故①符合题意；如图，连接 ， ， ， 与 的交点为 ，利用 的几何意义可得 的面积等于四边形 的面积；故②符合题意；如 图，连接 ，证明四边形 为矩形，可得当 最小，则 最小，设 ， 可得 的最小值为 ，故③不符合题意；如图，设平移距离为 ，可得 ，证明 ，可得 ，再进一步可得答案． 【详解】∵ ， ，四边形 是矩形； ∴ ， ∴ ，故①符合题意； 如图，连接 ， ， ， 与 的交点为 ， ∵ ， ∴ ， 22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∴ 的面积等于四边形 的面积；故②符合题意； 如图，连接 ， ∵ 轴， ， ∴四边形 为矩形， ∴ ， ∴当 最小，则 最小， 设 ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的最小值为 ，故③不符合题意； 如图，设平移距离为 ， ∴ ， ∵反比例函数为 ，四边形 为矩形， ∴ ， ， ∴ ， ， ， ， 23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的 判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 3. （2024贵州省）已知点 在反比例函数 的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点 ， ， 都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2） ，理由见解析 【解析】本题主要考查了反比例函数的性质，以及函数图象上点的坐标特点，待定系数法求反比例 函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． （1）把点 代入 可得k的值，进而可得函数的解析式； （2）根据反比例函数表达式可得函数图象位于第一、三象限，再根据点A、点B和点C的横坐标即 可比较大小． 【小问1详解】 解：把 代入 ，得 ， 24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∴反比例函数的表达式为 ； 【小问2详解】 解：∵ ， ∴函数图象位于第一、三象限， ∵点 ， ， 都在反比例函数的图象上， ， ∴ ， ∴ ． 考点2. 反比例函数解析式的确定（含k的几何意义） 1. （2024湖南省）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即 （k为 常数． ），若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为________． 【答案】180 【解析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把 ， 代入 求解即可． 【详解】把 ， 代入 ，得 ， 解得 ， 故答案为：180． 2. （2024江苏连云港）杠杆平衡时，“阻力 阻力臂 动力 动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为 和 ，动力为 ，动力臂为 ．则动力 关于动力臂 的函数表达式为 __________． 【答案】 【解析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据题意可得 ，进而即 25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 可求解，掌握杠杆原理是解题的关键． 由题意可得， ， ∴ ，即 ， 故答案为： ． 3. （2024黑龙江齐齐哈尔）如图，反比例函数 的图象经过平行四边形 的顶点 ， 在 轴上，若点 ， ，则实数 的值为______． 【答案】 【解析】本题考查了反比例函数，根据 的纵坐标相同以及点 在反比例函数上得到 的坐标， 进而用代数式表达 的长度，然后根据 列出一元一次方程求解即可． 【详解】 是平行四边形 纵坐标相同 的纵坐标是 在反比例函数图象上 将 代入函数中，得到 26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 的纵坐标为 即： 解得： 4. （2024江苏扬州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B在反比例函数 的图像上， 轴于点C， ，将 沿 翻折，若点C的对应点 D落在该反比例函数的图像上，则k的值为_____． 【答案】 【解析】本题考查了反比例函数 的几何意义，掌握求解的方法是解题的关键． 如图，过点 作 轴于点 ．根据 ， ，设 ，则 ，由对称可知 ， ，即可得 ， ，解得 ，根据点B的对应点D落在该反比例函数的图像上，即可列 27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 方程求解； 【详解】解：如图，过点 作 轴于点 ． ∵点A的坐标为 ， ∴ ， ∵ ， 轴， 设 ，则 ， 由对称可知 ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵点B的对应点D落在该反比例函数的图像上， ∴ ， 解得： ， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴ 28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 5. （2024黑龙江绥化）如图，已知点 ， ， ，在平行四边形 中，它的对角线 与反比例函数 的图象相交于点 ，且 ，则 ______． 【答案】 【解析】本题考查了反比例函数与平行四边形综合，相似三角形的性质与判定，分别过点 ，作 轴的垂线，垂足分别为 ，根据平行四边形的性质得出 ，证明 得 出 ， ，进而可得 ，即可求解． 【详解】如图所示，分别过点 ，作 轴的垂线，垂足分别为 ， ∵四边形 是平行四边形，点 ， ， ， ∴ ， ∴ ，即 ，则 ， ∵ 轴， 轴， ∴ ∴ 29关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ∴ ， ∴ ∴ 故答案为： ． 考点3. 一次函数与反比例函数的综合问题 1. （2024黑龙江大庆）在同一平面直角坐标系中，函数 与 的大致图象 为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判 断，即可求解． ∵ 当 时，一次函数经过第一、二、三象限， 当 时，一次函数经过第一、三、四象限 A.一次函数中 ，则当 时，函数 图象在第四象限，不合题意， B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意， 一次函数中 ，则当 时，函数 图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误，故 选：C． 2. （2024山东枣庄）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了 30关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数 与 部分自变量与函数值的对应关 系： 1 1 ________ _______ ________ 7 _ （1）求 、 的值，并补全表格； （2）结合表格，当 的图像在 的图像上方时，直接写出 的取值范围． 【答案】（1） ，补全表格见解析 （2） 的取值范围为 或 ； 【解析】 【小问1详解】 解：当 时， ，即 ， 当 时， ，即 ， ∴ ， 解得： ， ∴一次函数为 ， 当 时， ， 31关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵当 时， ，即 ， ∴反比例函数为： ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 补全表格如下： 1 1 7 【小问2详解】 由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为 ， ， ∴当 的图像在 的图像上方时， 的取值范围为 或 ； 3. （2024湖北省）一次函数 经过点 ，交反比例函数 于点 ． 32关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （1）求 ； （2）点 在反比例函数 第一象限的图象上，若 ，直接写出 的横坐标 的取 值范围． 【答案】（1） ， ， ； （2） ． 【解析】 【小问1详解】 解：∵一次函数 经过点 ，点 ， ∴ ， 解得 ， ∴点 ， ∵反比例函数 经过点 ， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵点 ，点 ， ∴ ， ∴ ， ， 由题意得 ， 33关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∴ ， ∴ 的横坐标 的取值范围为 ． 4. （2024四川巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与反比例函数 的图 象交于 两点，点 的横坐标为1． （1）求 的值及点 的坐标． （2）点 是线段 上一点，点 在直线 上运动，当 时，求 的最小值． 【答案】（1） ， （2） 【解析】【分析】（1）先求解A的坐标，再求解反比例函数解析式，再联立两个解析式可得B的坐 标； （2）由 ，证明 ，可得 ，求解 ,证明 ，如图，当 时， 最短；再进一步利用勾股定理与等面积法求解即可； 【小问1详解】 解：∵直线 与反比例函数 的图象交于 两点，点 的横坐标为1． 34关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∴ , ∴ ， ∴反比例函数为： ； ∴ ， 解得： ， ， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， , ∴ ， ∴ ， ， 如图，当 时， 最短； 35关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ； 【点睛】本题考查 是的一次函数与反比例函数的综合，求解函数解析式，一元二次方程的解法，勾 股定理的应用，等腰三角形的性质，理解题意是解本题的关键. 5.（2024甘肃威武） 如图，在平面直角坐标系中，将函数 的图象向上平移3个单位长度，得 到一次函数 的图象，与反比例函数 的图象交于点 ．过点 作 x轴的平行线分别交 与 的图象于C，D两点． （1）求一次函数 和反比例函数 的表达式； （2）连接 ，求 的面积． 【答案】（1）一次函数 的解析式为 ；反比例函数 的解析式为 ； （2） 36关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）先根据一次函数图象的平移规律 ，再把点A的坐标分别代入对应的一次函 数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求解即可； （2）先分别求出C、D的坐标，进而求出 的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵将函数 的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数 的图象， ∴ ， 把 代入 中得： ，解得 ， ∴一次函数 的解析式为 ； 把 代入 中得： ，解得 ， ∴反比例函数 的解析式为 ； 【小问2详解】 解：∵ 轴， ， ∴点C和点D的纵坐标都为2， 在 中，当 时， ，即 ； 在 中，当 时， ，即 ； ∴ ， ∵ ， ∴ ． 37关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 6. （2024江苏连云港）如图1，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图像与反 比例函数 的图像交于点A、B，与 轴交于点C，点A的横坐标为2． （1）求 的值； （2）利用图像直接写出 时 的取值范围； （3）如图2，将直线 沿 轴向下平移4个单位，与函数 的图像交于点D，与 轴 交于点E，再将函数 的图像沿 平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影 部分的面积． 【答案】（1） （2） 或 （3）8 【解析】【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出 点坐标，再将 点代入一次函数的解析式中求出 的值即可； （2）图像法求不等式的解集即可； （3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为 的面积，进行求解即可． 【小问1详解】 点 在 的图像上， 当 时， ． ∴ ， 38关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 将点 代入 ，得 ． 【小问2详解】 由（1）知： ， 联立 ，解得： 或 ， ∴ ； 由图像可得： 时 的取值范围为： 或 ． 【小问3详解】 ∵ ， ∴当 时， ， ∴ ， ∵将直线 沿 轴向下平移4个单位， ∴ ，直线 的解析式为： ，设直线 与 轴交于点H ∴当 时， ，当 时， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 如图，过点 作 ，垂足为 ， ∴ ． 又 ， ， 39关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ． 连接 ， ∵平移， ∴ ， ， ∴四边形 为平行四边形， ∴阴影部分面积等于 的面积，即 ． 7.（2024甘肃临夏）如图，直线 与双曲线 交于 ， 两点，已知 点坐标为 ． （1）求 ， 的值； （2）将直线 向上平移 个单位长度，与双曲线 在第二象限的图象交于点 ，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，若 ，求 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 40关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【小问1详解】 解：∵点A在反比例函数图象上， ∴ ，解得 ， 将 代入 ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点C作 轴于点F， ， ， ， ， ， ， ， ∵直线 向上平移m个单位长度得到 ， 令 ，得 ，令 ，得 ， ， ， ， ， ， 双曲线 过点C， ， 41关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 解得 或 （舍去）， ． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，全等三角形的判 定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，正确表示点C的坐 标是解题的关键． 考点4. 反比例函数与几何图形结合 1. （2024四川宜宾）如图，等腰三角形 中， ，反比例函数 的图象经 过点A、B及 的中点M， 轴， 与y轴交于点N．则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】作过 作 的垂线垂足为 ， 与 轴交于 点，如图， 在等腰三角形ABC中， ， 是 中点， 42关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 设 ， ， 由 中点为 ， ，故等腰三角形 中， ∴ ， ∴ ， ∵AC的中点为M， ∴ ，即 ， 由 在反比例函数上得 ， ∴ ， 解得： ， 由题可知， ， ∴ ． 故选：B． 2. （2024江西省）如图， 是等腰直角三角形， ，双曲线 经过点B，过点 作x轴的垂线交双曲线于点C，连接 ． 43关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （1）点B的坐标为______； （2）求 所在直线的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，等腰三角形的性质，熟练掌握一 次函数与反比例函数的相应性质是解题关键． （1）过点B作 轴，根据等腰直角三角形的性质得出 ，即可确定点B的坐标； （2）根据点 确定反比例函数解析式，然后即可得出 ，再由待定系数法确定一次函 数解析式即可． 【小问1详解】 解：过点B作 轴于D，如图所示： ∵ 是等腰直角三角形， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 44关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 故答案为： ； 【小问2详解】 由（1）得 ，代入 ， 得 ， ∴ ， ∵过点 作x轴的垂线交双曲线于点C， ∴当 时， ， ∴ ， 设直线 的解析式为 ，将点B、C代入得： ，解得 ， ∴直线 的解析式为 ． 3. （2024江苏苏州） 如图， 中， ， ， ， ，反比例 函数 的图象与 交于点 ，与 交于点E． 45关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （1）求m，k的值； （2）点P为反比例函数 图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重 合），过点P作 ，交y轴于点M，过点P作 轴，交 于点N，连接 ，求 面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【答案】（1） ， （2） 最大值是 ，此时 【解析】【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关 键是： （1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线 的函数表达式，把D的坐标代入直线 的函数表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可； （2）延长 交y轴于点Q，交 于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出 ，设 点P的坐标为 ， ，则可求出 ，然后利用二次函数的性质求解 即可． 【小问1详解】 解： ， ， ． 又 ， ． ， 点 ． 设直线 的函数表达式为 ， 46关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 将 ， 代入 ，得 ， 解得 ， ∴直线 的函数表达式为 ． 将点 代入 ，得 ． ． 将 代入 ，得 ． 【小问2详解】 解：延长 交y轴于点Q，交 于点L． ， ， ． 轴， ， ． ， ， 47关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ． 设点P的坐标为 ， ，则 ， ． ． ． 当 时， 有最大值 ，此时 ． 4. （2024山东烟台）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于点 ，将正 比例函数图象向下平移 个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x 轴，y轴交于点D，E，且满足 ．过点B作 轴，垂足为点F，G为x轴上一 点，直线 与 关于直线 成轴对称，连接 ． （1）求反比例函数的表达式； （2）求n的值及 的面积． 【答案】（1） （2） ， 【解析】【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出 的值，进而求出反比例函数的解析式即可； 48关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）根据平移规则，得到平移后的解析式 ，联立两个解析式，表示出 的坐标，过点 ， 作 轴的平行线交 轴于点 ,根据 ，进而求出 的值，进而根据对称性 得出 ，勾股定理求得 ，进而求得 的长，即可求解． 【小问1详解】 解：∵正比例函数 与反比例函数 的图象交于点 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ∴ ； 【小问2详解】 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵将正比例函数图象向下平移 个单位， ∴平移后的解析式为： ， 如图所示，过点 ， 作 轴的平行线交 轴于点 ，则 ， 是等腰直角三角形， 49关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ∴ ∴ 设 ，则 ∴ ， ∴ ， ∵ ， ，在 上 ∴ 解得： （负值舍去） ∴ ， ∴ 的解析式为 ， 当 时， ，则 ， ∴ ， ，则 50关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵直线 与 关于直线 成轴对称， 轴， ∴ ， 和 是等腰直角三角形， ∴ ∴ ， ∵ 和 是等腰直角三角形， ∴ ∴ 5. （2024江苏盐城）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在 上面，如图． 请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点C坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】【分析】本题考查反比例函数、锐角三角函数： （1）设反比例函数表达式为 ，将点A的坐标代入表达式求出k值即可； （2）设点C的坐标为 ，则 ， ，根据平行线的性质得 51关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ，进而根据 求出m的值即可． 【小问1详解】 解：由图可知点A的坐标为 ， 设反比例函数表达式为 ， 将 代入，得： ，解得 ， 因此反比例函数表达式为 ； 【小问2详解】 解：如图，作 轴于点E， 轴于点D， 由图可得 ， ， 设点C的坐标为 ，则 ， ， ， 矩形直尺对边平行， ， ， 52关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ，即 ， 解得 或 ， 点C在第二象限， ， ， 点C坐标为 ． 考点5. 反比例函数的实际应用 1. （2024吉林省）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位： Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）． （2）当电阻R为 时，求此时的电流I． 【答案】（1） （2） 【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出当 时I的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设这个反比例函数的解析式为 ， 53关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 把 代入 中得： ， 解得 ， ∴这个反比例函数的解析式为 ； 【小问2详解】 解：在 中，当 时， ， ∴此时的电流I为 ． 考点1. 反比例函数的图象与性质 1．已知点A（﹣4，y），B（﹣2，y），C（3，y）都在反比例函数y＝ （k＜0）的图象上，则 1 2 3 y，y，y的大小关系为（ ） 1 2 3 A．y＜y＜y B．y＜y＜y C．y＜y＜y D．y＜y＜y 3 2 1 1 3 2 3 1 2 2 3 1 【答案】C 【解析】∵ ，k＜0， ∴函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大， 又∵点A（﹣4，y），B（﹣2，y），C（3，y）， 1 2 3 ∴点A，B在第二象限内，点C在第四象限内， ∴y＞0，y＞0，y＜0， 1 2 3 又∵﹣4＜﹣2， ∴y＜y， 1 2 ∴y＜y＜y．故选：C． 3 1 2 3 y 2.若点A（1， y ）、B（2， y ）是双曲线 x上的点，则 y y （填“＞”，“＜”或 1 2 1 2 “=”）． 【答案】＞ 3 y 【解析】∵比例函数 x中 k =3＞0，∴此函数图象在一、三象限，且在每一象限内 y 随 x 的增大 y y 而减小，∵点A（1， ）、B（2， ）是此双曲线上的点，2＞1＞0，∴A、B两点在第一象限，由 1 2 y y 2＞1，得 ＞ 。 1 54关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 k Aa1,y  Ba1,y  y  (k 0) y  y 3.若点 1 ， 2 在反比例函数 x 的图象上，且 1 2 ，则a的取值范 围是（ ） a1 1a1 a1 a1 a1 A． B． C． D． 或 【答案】B k y  (k 0) 【解析】∵反比例函数 x ，∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而 增大， y  y ①若点A、点B同在第二或第四象限，∵ 1 2，∴a-1＞a+1，此不等式无解； a1＜0  ②若点A在第二象限且点B在第四象限，∵y  y ，∴ a1＞0，解得： 1a1 ； 1 2 ③由y＞y，可知点A在第四象限且点B在第二象限这种情况不可能． 1 2 a 1a1 综上， 的取值范围是 ．故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注 意要分情况讨论，不要遗漏． 考点2. 反比例函数解析式的确定（含k的几何意义） 1．如图，矩形OABC的面积是4，点B在反比例函数 的图象上．则此反比例函数的解析式为 ． 【答案】y＝ ． 【解析】设BC＝a，AB＝b，则B点坐标为（﹣a，﹣b），AB•BC＝ab＝4， 将点B（﹣a，﹣b）代入y＝ 中，得k＝xy＝（﹣a）×（﹣b）＝ab＝4， ∴y＝ ． 55关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2. 如图，点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为 3，则k＝_______． 【答案】6 【解析】设点 的坐标为 ，则 ，先利用三角形的面积公式可 得 ，再将点 代入反比例函数的解析式即可得． 由题意，设点 的坐标为 ， 轴于点 ， ， 的面积为3， ， 解得 ， 将点 代入 得： 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数与几何面积，熟练掌握反比例函数的几何应用是解题关 键． 3. 如图，过 的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交 的图象于B，D两点， 以 ， 为邻边的矩形 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为 ， ， ， ， 56关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 若 ，则 的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】【分析】设 ，则 ， ， ，根据坐标求得 ， ，推得 ，即可求得． 【详解】设 ，则 ， ， ∵点A在 的图象上 则 ， 同理∵B，D两点在 的图象上， 则 故 ， 又∵ ， 57关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 即 ， 故 ，∴ ，故选：C． 【点睛】考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关 键． 4. 如图，正方形 的顶点A，B在y轴上，反比例函数 的图象经过点C和 的中点 E，若 ，则k的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】由正方形的性质得 ，可设 ， ，根据 可求出 的值． 【详解】∵四边形 是正方形， ∵ ∵点 为 的中点， ∴ 设点C的坐标为 ，则 , 58关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∵点C，E在反比例函数 的图象上， ∴ ， 解得， ，故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 （k为常数， ）的图 象是双曲线，图象上的点 的横纵坐标的积是定值k，即 ． 5．已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( ) 2 2 8 8 A．y= x B．y=﹣ x C．y= x D．y=﹣ x 【答案】D k 【解析】设解析式y= x ，代入点(2,-4)求出k即可． k k 设反比例函数解析式为y= x ，将(2，-4)代入，得：-4=2 ， 8 解得：k=-8，所以这个反比例函数解析式为y=- x ．故选：D． 【点睛】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数解析式只需要知道其图像上 一点的坐标即可． 考点3. 一次函数与反比例函数的综合问题 1. 一次函数 与反比例函数 在同一坐标系中的大致图象是（ ） 59关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误； B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即 a<0，两者一致，故B选项正确； C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即 a<0，两者矛盾，故C选项错误； D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即 a>0，两者矛盾，故D选项错误；故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反 比例函数图象与系数的关系． 2 2. 如图，函数yx1与函数 y 2  x 的图象相交于点 M 1,m,N2,n ．若 y  y ，则x的取 1 2 值范围 是（ ） x2 0 x1 x2 x 1 2 x0 0 x1 2 x0 x 1 A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【答案】D 2 y  【解析】根据图象可知函数yx1与函数 2 x 的图象相交于点M、N，若 y  y ，即观察直线 1 2 图象在反比例函数图象之上的x的取值范围． 2 x0 x 1 如图所示，直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围为 或 ， 60关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2 x0 x 1 故本题答案为： 或 ．故选：D 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式 的解集是解答此题的关键． 4 3. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y＝ x （x＞0）的图象交于点A，将直线y ＝x沿y轴向上平移b个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C．若OA＝2BC，则b的值 为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C A C 【解析】解析式联立，解方程求得 的横坐标，根据定义求得 的横坐标，把横坐标代入反比例函 C y  xb b 数的解析式求得 的坐标，代入 即可求得 的值． 4 y  (x 0) 直线y  x与反比例函数 x 的图象交于点A， 4 x 解 x 求得x2，A的横坐标为2，如图，过C点、A点作y轴垂线， 61关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载  CBG AOH OHABGC OA//BC，∴ ，∴ ， OA AH 2BC 2  2  OA2BC，∴ BC GC ，∴ BC GC ，解得GC =1，C 的横坐标为1， 4 y  把x 1代入 x 得，y 4，C(1,4)，  y  x y b y  xb 将直线 沿 轴向上平移 个单位长度，得到直线 ，  C 41b b3 C 把 的坐标代入得 ，求得 ，故选： ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，涉及函数的交点、一次函数平移、待定系 数法求函数解析式等知识，求得交点坐标是解题的关键． 4. 如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ，与y轴交于点B，与x轴交于点 ． （1）求k与m的值； （2） 为x轴上的一动点，当△APB的面积为 时，求a的值． 【答案】（1）k的值为 ， 的值为6 （2） 或 【解析】 【小问1详解】 把 代入 ， 62关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 得 ． ∴ ． 把 代入 ， 得 ． ∴ ． 把 代入 ， 得 ． ∴k的值为 ， 的值为6． 【小问2详解】 当 时， ． ∴ ． ∵ 为x轴上的一动点， ∴ ． ∴ ， ． ∵ ， ∴ ． ∴ 或 ． 63关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利 用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键． 5. 如图，反比例函数 的图像经过点 和点 ，点 在点 的下方， 平分 ，交 轴于点 ． （1）求反比例函数的表达式． （2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段 的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使 用2B铅笔作图） （3）线段 与（2）中所作的垂直平分线相交于点 ，连接 ．求证： ． 【答案】（1） （2）图见解析部分 （3）证明见解析 【解析】（1）∵反比例函数 的图像经过点 ， ∴当 时， ， ∴ ， ∴反比例函数的表达式为： ； （2）如图，直线 即为所作； 64关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （3）证明：如图， ∵直线 是线段 的垂直平分线， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了作图—基本作图，用待定系数法求反比例函数的解析式，垂直平分线的性质， 等腰三角形的性质，平行线的判定，角平分线的定义等知识． 解题的关键是熟练掌握五种基本作图 （作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分 线；过一点作已知直线的垂线）． 考点4. 反比例函数与几何图形结合 65关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1．如图是反比例函数y＝ 的图象，点A（x，y）是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴 于点B，连接OA，则△AOB的面积是（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】∵A（x，y）， ∴OB＝x，AB＝y， ∵A为反比例函数y＝ 图象上一点， ∴xy＝1， ∴S ＝ AB•OB＝ xy＝ 1＝ ，故选：B △ABO 2．如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A（1，a）在△ABC 中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点C坐标为（﹣2，0）． （1）求k的值； （2）求AB所在直线的解析式． 【答案】见解析。 【解析】(1)先求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值； （2）作AD⊥x轴于D,BE⊥x轴于E,通过证得△BCE≌△CAD，求得B(﹣3,3),然后根据待定系数法即 可求得直线AB的解析式． 66关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 解：（1）∵正比例函数y＝x的图象经过点A（1，a）， ∴a＝1, ∴A(1,1), ∵点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上， ∴k＝1×1＝1； (2)作AD⊥x轴于D,BE⊥x轴于E, ∵A(1,1),C(﹣2,0), ∴AD＝1,CD＝3, ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°, ∵∠ACD+∠CAD＝90°, ∴∠BCE＝∠CAD, 在△BCE和△CAD中， , ∴△BCE≌△CAD(AAS), ∴CE＝AD＝1,BE＝CD＝3, ∴B(﹣3,3), 设直线AB的解析式为y＝mx+n, ∴ ,解得 , ∴直线AB的解析式为y＝﹣ + ． 考点5. 反比例函数的实际应用 1．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”， 67关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 即：阻力×阻力臂=动力×动力臂. 小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和 0.5m F N m ，则动力 （单位： ）关于动力臂l（单位： ）的函数解析式正确的是（ ） 1200 600 500 0.5 F  F  F  F  A． l B． l C． l D． l 【答案】B 【解析】根据所给公式列式，整理即可得答案. ∵阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和 0.5m F N l m ，∴动力 (单位： )关于动力臂 (单位： )的函数解析式为： 600 F  12000.5Fl，则 l ． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键. 2. 密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积 （单位： ）变化时，气体的密度 （单位： ）随之变化．已知密度 与体积 是反比例函数关系，它的图像如图所示． （1）求密度 关于体积 的函数解析式； （2）当 时，求该气体的密度 ． 【答案】（1） （2）1 【解析】【分析】（1）用待定系数法即可完成； （2）把V=10值代入（1）所求得的解析式中，即可求得该气体的密度． 【小问1详解】 68关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 设密度 关于体积 的函数解析式为 ， 把点A的坐标代入上式中得： ， 解得：k=10， ∴ ． 【小问2详解】 当 时， （ ）． 即此时该气体的密度为1 ． 【点睛】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等 知识，由图像求得反比例函数解析式是关键． 69