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专题 01 数与式、方程与不等式的性质及运算
目 录
题型01 数与式的混合运算
题型02 科学记数法
题型03 整式与分式的化简求值
题型04 因式分解的运算及应用
题型05 比较大小
题型06 解四大方程（含一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、分式方程）
题型07 解不等式（组）
题型08 根据分式方程解的情况求值
题型09 根据判别式判断一元二次方程根的情况
题型10 根据一元二次根的情况求参数
题型11 一元二次方程根与系数的关系
题型12 根的判别式和根与系数关系综合
题型13 特殊解及含参不等式（组）问题
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题型 01 数与式的混合运算
1．（2022·江苏苏州·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
2
A．√(−7) 2=−7 B．6÷ =9 C．2a+2b=2ab D．2a⋅3b=5ab
3
【答案】B
【分析】通过√a2=|a|，判断A选项不正确；C选项中2a、2b不是同类项，不能合并；D选项中，单项
式与单项式法则：把单项式的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；
B选项正确．
【详解】A. √(−7) 2=√49=7，故A不正确；
2 3
B. 6÷ =6× =9，故B正确；
3 2
C. 2a+2b≠2ab，故C不正确；
D. 2a⋅3b=6ab，故D不正确；
故选B．
【点睛】本题考查二次根式的性质、有理数的除法及整式的运算，灵活运用相应运算法则是解题的关键．
2．（2023·北京石景山·校考一模）计算：(−1) 2019+ ( − 1) −2 −|2−√12|+4sin60°．
2
【答案】5
【分析】直接利用负整数指数幂运算法则、二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别
化简得出答案．
√3
【详解】解：原式=−1+4−|2−2√3|+4×
2
=−1+4−2√3+2+2√3
=5．
【点睛】此题主要考查了实数运算，负整数指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值、绝对值的性
质，正确化简各数是解题关键．
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3．（2023·广东肇庆·统考三模）计算：
(1) −2
+(−π) 0−√3−64−|√3−2|．
3
【答案】12+√3
【分析】本题考查了实数的混合运算，先化简负整数指数幂、零指数幂、立方根以及绝对值，再运算加减
法，即可作答．
【详解】解：原式=9+1+4−(2−√3)
=9+1+4−2+√3
=12+√3
4．（2022·重庆·统考中考真题）计算：
(1)(x+2) 2+x(x−4)；
(a ) a2−b2
(2) −1 ÷ ．
b 2b
【答案】(1)2x2+4
2
(2)
a+b
【分析】（1）先计算乘法，再合并，即可求解；
（2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解．
【详解】（1）解：原式=x2+4x+4+x2−4x
=2x2+4
a−b 2b
（2）解：原式= ×
b (a+b)(a−b)
2
=
a+b
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
题型 02 科学记数法
5．（2023·安徽·模拟预测）安徽省统计局网发布消息称，2022年前三季度，全省农林牧渔业总产值约
3806亿元．其中3806亿用科学记数法表示为（ ）
A．3.806×103 B．3806×108 C．3.806×1011 D．3.806×1012
【答案】C
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【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定
n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对
值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】解：3806亿用科学记数法表示为：3.806×1011，
故选：C．
6．（2023·河南濮阳·统考三模）2023年“五一”假期，河南省共接待游客55180000人次，与2019年同比
增长21.3%，将数据“55180000”用科学记数法表示为5.518×10n，则n的值为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关
键要正确确定a的值及n的值．根据科学记数法的表示形式即可求解．
【详解】解：55180000=5.518×107，
∴n=7．
故选：C．
7．（2023·山西临汾·统考一模）原子是化学变化中的 最小微粒，按照国际单位制的规定，质量单位是
“千克”．例如：1个氧原子的质量是2.657×10−26kg．如果小数0.000…02657用科学记数法表示为
2.657×10−26，则这个小数中“0”的个数为（ ）
A．25个 B．26个 C．27个 D．28个
【答案】B
【分析】根据科学记数法的定义还原出原来的小数，即可得出答案．
【详解】∵小数0.000…02657用科学记数法表示为2.657×10−26，
∴这个小数中“0”的个数为26个．
故答案是B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，绝对值小于1的数可以表示为±a×10−n的形式，其中1≤a<10，n
为原数中第一个不是零的数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零），表示时关键是要正确确定a
和n的值．
8．（2023·江苏盐城·校联考二模）化学元素钉(Ru)是除铁 (Fe)、钻(Co)和镍(NIi)以外，在室温下具有独
特磁性的第四个元 素．钉(Ru)的原子半径约0.000000000189m．将0.000000000189用科学记数法表示
为 ．
【答案】1.89×10−10
【分析】绝对值小于1的利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其
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所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000000000189=1.89×10−10，
故答案为：1.89×10−10
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起
第一个不为零的数字前面0的个数所决定．
题型 03 整式与分式的化简求值
9．（2023·陕西西安·校考二模）先化简，再求值：[(x+2y)(x−2y)+(x+2y) 2−2xy]÷2x，其中x=5，
y=−8．
【答案】x+ y，−3
【分析】先利用完全平方公式，平方差公式与单项式乘多项式运算法则去掉括号，然后再合并同列项计算，
最后代入x，y计算即可．
【详解】解：[(x+2y)(x−2y)+(x+2y) 2−2xy]÷2x
=(x2−4 y2+x2+4xy+4 y2−2xy)÷2x
=(2x2+2xy)÷2x
=x+ y，
当x=5，y=−8时，原式=5+(−8)=−3．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则．
10．（2023·湖南长沙·湖南师大附中博才实验中学校考模拟预测）先化简，再求值：
1
(a+2b) 2+(a+2b)(a−2b)−2a⋅a，其中a=−1，b= .
2
【答案】4ab，−2
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：(a+2b) 2+(a+2b)(a−2b)−2a⋅a
=a2+4ab+4b2+a2−4b2−2a2
=4ab，
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1 1
当a=−1，b= 时，原式=4×(−1)× =−2．
2 2
【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
11．（2023·江苏扬州·校考二模）已知a、b满足|a2+b2−10|+(a−b−2) 2=0．
(1)求ab的值；
(2)先化简，再求值：(2a−b) 2−(a+2b)(a−b)．
【答案】(1)3
(2)3a2+3b2−5ab，15
【分析】（1）先根据非负数的性质得到a2+b2=10，a−b=2，再利用完全平方公式的变形进行求解即可；
（2）先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化解，再根据（1）所
求，代值计算即可．
【详解】（1）解：∵|a2+b2−10|+(a−b−2) 2=0，|a2+b2−10|≥0，(a−b−2) 2≥0，
∴|a2+b2−10|=(a−b−2) 2=0，
∴a2+b2−10=0，a−b−2=0，
∴a2+b2=10，a−b=2，
∴−2ab=(a−b) 2−(a2+b2)=22−10=−6，
∴ab=3；
（2）解：(2a−b) 2−(a+2b)(a−b)
=4a2−4ab+b2−(a2+2ab−ab−2b2)
=4a2−4ab+b2−a2−2ab+ab+2b2
=3a2+3b2−5ab
=3(a2+b2)−5ab
=3×10−5×3
=15．
【点睛】本题主要考查了整式的化解求值，非负数的性质，正确计算是解题的关键．
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x ( 1 )
12．（2023·江苏盐城·统考模拟预测）先化简，再求值： ÷ 1− ，其中
x2−1 x+1
x=√2sin45°+2tan45°
1 1
【答案】 ，
x−1 2
【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可
解答．
x ( 1 )
【详解】解： ÷ 1−
x2−1 x+1
x x+1−1
= ÷
(x+1)(x−1) x+1
x x+1
= ⋅
(x+1)(x−1) x
1
= ，
x−1
√2
当x=√2sin45∘+2tan45∘=√2× +2×1=1+2=3时，
2
1 1
原式= = .
3−1 2
a−2 ( 2a−1)
13．（2023·广东东莞·统考二模）先化简，再求值： ÷ a−1− ，其中a=√3．
a2−1 a+1
1 3+√3
【答案】 ，
a2−a 6
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．先根据分式混合运
算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
a−2 a2−1−2a+1
【详解】解：原式= ÷
a2−1 a+1
a−2 a+1
= ⋅
(a+1)(a−1) a(a−2)
1
=
a2−a
当a=√3时，
1 3+√3
原式= = ．
3−√3 6
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题型 04 因式分解的运算及应用
14．（2023·安徽·模拟预测）下列分解因式错误的是（ ）
A．x2−2x+1=(x−1) 2 B．x(x−y)−y(x−y)=(x−y) 2
C．x2−9=(x+3)(x−3) D．−x2−xy=−x(x−y)
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解，掌握各类因式分解方法是解题关键.
【详解】解：由完全平方公式可得：x2−2x+1=(x−1) 2，故A正确，不符合题意；
x(x−y)−y(x−y)=(x−y)(x−y)=(x−y) 2，故B正确，不符合题意；
由平方差公式可得：x2−9=(x+3)(x−3)，故C正确，不符合题意；
−x2−xy=−x(x+ y)，故D错误，符合题意；
故选：D
15．（2023·广东佛山·佛山市南海区里水镇里水初级中学校考三模）分解因式2x3−8x= ．
【答案】2x(x+2)(x−2)
【分析】此题主要考查了提取公因式与公式法分解因式，熟练掌握分解因式的步骤是解题关键．首先提取
公因式2x，再利用平方差公式分解因式得出即可．
【详解】解：原式=2x3−8x
=2x(x2−4)
=2x(x+2)(x−2)，
故答案为：2x(x+2)(x−2)．
16．（2023·江苏南通·统考二模）若4a2−b2=12，2a−b=4，则2a+b= ．
【答案】3
【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式，可得4a2−b2=(2a+b)(2a−b)，即可求解．
【详解】解：∵4a2−b2=(2a+b)(2a−b)，4a2−b2=12，2a−b=4，
∴2a+b= 3，
故答案为：3．
√111−1
17．（2023·浙江·模拟预测）已知实数x= ，求(2x5+2x4−53x3−57x+54) 2017 的值．
2
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【答案】−1
√111−1
【分析】根据x= ，得出2x2+2x−55=0，进而将代数式因式分解，整体代入，即可求解．
2
√111−1
【详解】解：∵x=
2
∴2x+1=√111
∴(2x+1) 2=111
即2x2+2x−55=0
√111−1
∴当x= 时，
2
(2x5+2x4−53x3−57x+54) 2017
2017
=[(2x2+2x−55)(x3+x−1)−1]
=(−1) 2017
=−1
【点睛】此题考查了因式分解的应用，首先把已知等式变形，然后因式分解把所求代数式分解因式，最后
利用整体代值的方法即可解决问题．
18．（2023·山西太原·山西实验中学校考模拟预测）若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足
ab−ac=b2−bc，则这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【分析】将ab−ac=b2−bc，进行因式分解，再进行判断即可．
【详解】解：∵ab−ac=b2−bc，
∴ab−ac−b2+bc=0，
∴a(b−c)−b(b−c)=0，
∴(a−b)(b−c)=0，
∴a=b或b=c；
∴这个三角形一定是等腰三角形．
故选D．
【点睛】本题考查因式分解的应用．解题的关键是掌握分组法进行因式分解．
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19．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）阅读以下解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2−b2c2=a4−b4，试判断△ABC的形状．
错解：∵a2c2−b2c2=a4−b4 ……①
∴c2(a2−b2)=(a2−b2)(a2+b2) ……②
∴c2=a2+b2 ……③
∴ △ABC是直角三角形 ……④
上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号 ，错误的原因是
．
【答案】 ③ 不能确定a2−b2是不是等于0
【分析】根据等式的性质和勾股定理的逆定理进行计算即可得．
【详解】解：∵a2c2−b2c2=a4−b4
∴c2(a2−b2)=(a2−b2)(a2+b2)
c2(a2−b2)−(a2−b2)(a2+b2)=0
(a2−b2)[c2−(a2+b2)]=0
(a2−b2)=0或c2−(a2+b2)=0，
∴a=b或c2=a2+b2，
∴ △ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形，
∴从第③步开始错误，错误原因是不能确定a2−b2是不是等于0，
故答案为：③，不能确定a2−b2是不是等于0．
【点睛】本题考查了因式分解，勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，学会分类
讨论．
题型 05 比较大小
20．（2023·湖南湘西·模拟预测）比较大小：√17−1 13（选填“＞”“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【分析】由16<17<25得4<√17<5，再利用不等式的基本性质可得3<√17−1<4，从而可得答案．
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【详解】解：∵16<17<25，
∴4<√17<5，
∴3<√17−1<4．
∴√17−1<13．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查的是实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解题的关键．
21．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）数形结合是解决代数类问题的重要思想，在比较√2+1与
√5的大小时，可以通过如图所示几何图形解决问题：若要比较√2+3与√17的大小，以下数形结合正确的
是（ ）
A． B．
C． D.
【答案】D
【分析】根据勾股定理逐一判断即可求解．
【详解】解：A．由图形无法利用勾股定理求得表示√17与√2的线段长度，
则无法判断大小，那么A不符合题意；
B．由图形无法利用勾股定理求得表示√17与√2的线段长度，
则无法判断大小，那么B不符合题意；
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C．由图形可得AC=√12+12=√2，但无法求得表示√17的线段长度，
则无法判断大小，那么C不符合题意；
D．由图形可得AC=√12+12=√2，AF=√12+42=√17，
∵CF=3,AC+CF>AF，
∴√2+3>√17，
那么D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了数形结合进行无理数的大小比较，利用勾股定理求得对应线段的长度是解题的关键．
22．（2023·河北廊坊·校考一模）如图是嘉嘉和淇淇比较√2+√3与√2+3的过程，下列关于两人的思路判
断正确的是（ ）
A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．两人都对 D．两人都错
【答案】C
【分析】分别根据平方法和三角形三边关系进行求解，比较大小，进而可判断两人思路的正误．
【详解】解：嘉嘉根据平方法比较两个无理数的大小，思路正确；故符合要求；
淇淇通过构造直角三角形，运用勾股定理及三角形三边关系比较两个无理数的大小，思路正确；故符合要
求；
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的大小比较．解题的关键在于熟练掌握无理数大小比较的方法．
23．（2023·安徽·校联考模拟预测）比较大小：45 54；若正数x，y满足3x=5y，则3x−5 y
0.
【答案】 > <
【分析】通过幂的乘方运算法则求解．
【详解】解：∵45=1024，54=625，
∴45>54；
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∵3x=5y，
∴(3x) 15 =(5y) 15 ，
∴315x=515y，
∴(35) 3x =(53) 5y ，
∴3433x=1255y，
∵343>125，x，y是正数，
∴3x<5 y，
∴3x−5 y<0，
故答案为：>，<．
【点睛】本题考查了幂的乘方和乘方运算，掌握幂的运算法则是解题的关键．
题型 06 解四大方程（含一元一次方程、一元二次方程、二元一次方
程组、分式方程）
2
24．（2023·北京石景山·校考一模）用配方法解方程x2+ x+1=0时，正确的是（ ）
3
( 1) 2 8 1 2√2 ( 1) 2 8
A． x+ = ,x=− ± B． x+ =− 原方程无解
3 9 3 3 3 9
( 2) 2 5 2 √5 ( 2) 2 5
C． x+ = ,x=− ± D． x+ =− 原方程无解
3 9 3 3 3 9
【答案】B
2
【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．根据配方法解一元二次方程x2+ x+1=0即可．
3
2
【详解】解：x2+ x+1=0，
3
2
x2+ x=−1
3
2 1 1
x2+ x+ =−1+
3 9 9
( 1) 2 8
x− =−
3 9
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∴原方程无解．
故选：B．
25．（2023·广东河源·一模）下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是( )
A．(x−2)(x+5)=2 B．2x2−x=0
C．x2+5x−2=0 D．12(2−x) 2=3
【答案】B
【分析】根据解一元二次方程的方法依次进行判断即可．
【详解】A、化简(x−2)(x+5)=2得：x2+3x−12=0，等式左边不能因式分解，故不符合题意；
B、∵2x2−x=0，∴x(2x−1)=0，故符合题意；
C、∵x2+5x−2=0，∴方程的左边不能分解因式，故不符合题意；
D、∵12(2−x) 2=3，∴方程可以利用直接开平方法解方程，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
26．（2023·湖南长沙·校考二模）下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题．
2x+1 5x−1
解方程： − =1
3 6
解：去分母，得2(2x+1)−(5x−1)=1……第一步
去括号，得4x+2−5x+1=1……第二步
移项，得4x−5x=1−1−2……第三步
合并同类项，得−x=−2，……第四步
方程两边同除以－1，得x=2．……第五步
(1)以上求解过程中，第三步的依据是_________．
A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质 D．乘法分配律
(2)从第_________步开始出现错误；
(3)该方程正确的解为____________
【答案】(1)A
(2)一
(3)x=−3
【分析】（1）根据移项的变形依据回答即可；
（2）根据去分母漏乘没有分母的项回答即可；
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（3）写出正确的解题过程，即可得到答案．
【详解】（1）解：移项的依据是等式的基本性质，
故选：A
（2）从第一步开始出现错误，方程右边的1没有乘以6，
故答案为：一
2x+1 5x−1
（3） − =1
3 6
解：去分母，得2(2x+1)−(5x−1)=6……第一步
去括号，得4x+2−5x+1=6……第二步
移项，得4x−5x=6−1−2……第三步
合并同类项，得−x=3，……第四步
方程两边同除以－1，得x=−3．……第五步
故答案为：x=−3
【点睛】此题考查了一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
27．（2023·浙江·模拟预测）已知¿，求x2y+x y2的值．
【答案】6
【分析】设xy=a,x+ y=b，解方程组，进而因式分解代数式，将a,b代入，即可求解．
【详解】设xy=a,x+ y=b，
则方程组为¿
解得：¿
∴x2y+x y2=xy(x+ y)=−6×(−1)=6
【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，因式分解的应用，换元法解方程组是解题的关键．
28．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）下面是小彬同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相
应的任务．
¿解方程组：
解：①×3，得3x−6 y=3．③…第一步
②−③，得−5 y=−5．…第二步
y=1．…第三步
y=1代入①，得x=3．…第四步
所以，原方程组的解为¿．…第五步
填空：
①以上求解步骤中，第一步的依据是 ；
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②第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是 （填
序号）；
A．数形结合 B．类比思想 C．转化思想 D．分类讨论
③小彬同学的解题过程从第 步开始出现错误，直接写出该方程组的正确解： ．
【答案】①等式的性质2
②C
③二；¿
【分析】①根据等式的性质进行计算即可；
②将“二元”转化为“一元”，进而得到解决；
③利用二元一次方程组的解法求解即可．
【详解】解：①把x−2y=1的两边都乘以3得3x−6 y=3，根据是等式的性质2，
故答案为：等式的性质2；
②第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是转化思想，
故答案为：C；
③小彬同学的解题过程从第二步开始出现错误，正确的解答如下：
解：①×3，得3x−6 y=3③，
②−③，得7 y=−5，
5
y=− ，
7
5 3
y=− 代入①，得x=− ，
7 7
所以，原方程组的解为¿，
故答案为：二，¿．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的解法是正确解答的
前提．
2x−3 1
29．（2023·安徽·模拟预测）解方程： − =4．
x−2 2−x
【答案】x=3
【分析】本题考查了分式方程的解法，熟记方程的解法是解题关键．需注意的是，求出解后一定要代入分
式方程进行检验．
将分式方程转化为整式方程，然后计算求解，注意结果要进行检验．
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2x−3 1
【详解】解： − =4
x−2 2−x
2x−3 1
整理，可得 + =4，
x−2 x−2
去分母，得2x−3+1=4(x−2)，
去括号，得2x−3+1=4x−8，
移项、合并同类项，得−2x=−6，
系数化为1，得x=3，
经检验，x=3是原分式方程的根．
∴原分式方程的解是x=3．
x−1 6
30．（2023·安徽六安·统考一模）解方程： −1= ．
x+1 x2−1
【答案】x=−2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：(x−1) 2−(x2−1)=6，
整理得：−2x+2=6，
解得：x=−2，
检验：x=−2时，分母x2−1≠0，
∴原方程的解为x=−2．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验
31．（2023·四川广安·统考一模）定义：若x ，x 是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个整数根，且满足
1 2
|x −x |=1，则称此类方程为“自然方程”．例如：(x−1)(x−2)=0是“自然方程”．现给出下面两个方
1 2
程，请通过计算说明这两个方程是否是自然方程．
(1)x2+3x−2=0；
(2)x(x+1)+2(x+1)=0．
【答案】(1)该方程不是“自然方程”
(2)该方程是“自然方程”
【分析】本题主要考查解一元二次方程：
（1）先解方程，求出方程的解，再利用“自然方程”定义判断即可；
（2）先解方程，求出方程的解，再利用“自然方程”定义判断即可．
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【详解】（1）解：这里a=1，b=3，c=−2．
∵b2−4ac=32−4×1×(−2)=17>0，
−3±√17
∴x= ．
2
故根不是整数，该方程不是“自然方程”．
（2）解：原方程可变形为(x+1)(x+2)=0．
∴x+1=0，或x+2=0，
∴x =−1，x =−2．
1 2
故根是整数，且满足|x −x |=1，
1 2
∴该方程是“自然方程”．
题型 07 解不等式（组）
32．（2023·广东·模拟预测）不等式组¿的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，正确解不等式是解题关键．分别解不等式进而得出不等式
组的解集，进而得出答案．
【详解】解：¿
解不等式①得，x≥2
解不等式②得，x>−2
∴不等式组的解集为：x≥2
在数轴上表示为：
故选：A．
33．（2023·广东茂名·统考二模）已知点M(1−2m，m−1)在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示
正确的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找
不到”的原则是解答此题的关键．根据第一象限内点的坐标特点列出关于m的不等式组，求出各不等式的
解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：∵点M(1−2m，m−1)在第一象限，
∴¿，
由①得m<0.5，由②得，m>1，
∴不等式组的解集为空集．
在数轴上表示为：
故选：D．
x−1
34．（2023·安徽·模拟预测）不等式 −1>0的解集是 ．
2
【答案】x>3
【分析】本题主要考查了解不等式，解题的关键是熟练掌握解不等式的一般步骤，先去分母，再移项合并
同类项即可．
x−1
【详解】解： −1>0，
2
去分母得：x−1−2>0，
移项，合并同类项得：x>3．
故答案为：x>3．
35．（2023·广东汕头·汕头市第六中学校考一模）解不等式组：¿，并写出它的所有整数解．
【答案】不等式组的解集为−3−3；
∴原不等式组的解集为−3−3且m≠−2
【分析】根据解分式方程的一般步骤解出方程，再根据题意列出不等式，解不等式即可．
2x−m
【详解】解： =3，
x+1
方程两边同乘(x+1)，得，
2x−m=3x+3，
解得，x=−m−3，
2x−m
∵关于x的分式方程 =3的解是负数，
x+1
¿，
解得，m>−3且m≠−2，
故答案为：m>−3且m≠−2．
【点睛】本题考查了解分式方程的一般步骤：一化整式方程，二解整式方程解出方程，一元一次不等式的
与实际问题，理解分式方程的解的意义是解题的关键．
2kx+3 7 4k
39．（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的方程 − = 的方程恰好有一个实数解，求k的值
x−1 x2−x x
及方程的解．
7 9 2 1 1 7 8
【答案】k=0,x= 或k= ，x= ；k=− 或x=4或k=2，x= 或k= ，x=
3 4 3 4 4 4 7
【分析】去分母，转化为整式方程，根据整式方程为一元一次方程，即k=0，为一元二次方程，即k≠0，
分别求解．而当方程为一元二次方程时，又分为Δ=0 (方程有等根，满足方程恰好有一个实数解)，若
Δ>0，则方程有两不等实根，且其中一个为增根，而增根只可能为1或0．
【详解】解：两边同乘x2−x,得2kx2+(3−4k)x+4k−7=0，
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7
若k=0，3x−7=0，x= ，
3
若k≠0，由题意，知Δ=(3−4k) 2−8k(4k−7)=0，
9 1
解得k = ，k =− ，
1 4 2 4
9 2 1
当k = 时，x =x = ，当k =− 时，x =x =4，
1 4 1 2 3 2 4 1 2
若方程有两不等实根，则其中一个为增根，
1
当x =1时，k=2，x = ，
1 2 4
7 8
当x =0时，k= ，x = ．
1 4 2 7
【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元二次方程．关键是将分式方程转化为整式方程，根据整式方程
的特点及题目的条件分类讨论．
题型 09 根据判别式判断一元二次方程根的情况
1
40．（2023·河南濮阳·统考三模）已知m为任意实数，则一元二次方程x2−mx− =0根的情况是（ ）
4
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式Δ=b2−4ac，理解
根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程
有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根．
【详解】解：∵Δ=(−m) 2−4×1× ( − 1)
4
=m2＋1>0，
1
∴一元二次方程x2−mx− =0有两个不相等的实数根．
4
故选：A．
41．（2023·广东汕头·汕头市第六中学校考一模）若k>2，则关于x的方程x2−2k x+k2−k+1=0的实数
根的个数为 ．
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【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．计算根的判别式，根据k的取值范围，得到判别式
的取值范围，即可得到结论．
【详解】解：∵x2−2k x+k2−k+1=0，
∴Δ=b2−4ac=(−2k) 2−4(k2−k+1)
=4(k−1)，
因为k>2，
所以4(k−1)>0，
故方程有两个不相等的实数根，
故答案为：2．
42．（2023·安徽六安·校考二模）关于x的方程x2−3x+c=0有两个不相等的实数根，则c的最大整数值
是 ．
【答案】2
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ>0，可得出关于c的一元一次不等式，解之可得出c的取值范围，
再取其中的最大整数值，即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的方程x2−3x+c=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−3) 2−4×1×c>0，
9
解得：c< ，
4
∴c的最大整数值是2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
43．（2023·北京海淀·北理工附中校考三模）已知关于x的方程mx2−(m+3)x+3=0(m≠0)．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
【答案】(1)见解析
(2)1或3
【分析】（1）求出判别式的符号，进行判断即可；
（2）根据根与系数的关系进行求解即可．
【详解】（1）解：∵mx2−(m+3)x+3=0(m≠0)，
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2
∴Δ=[−(m+3)] −4m×3
=m2+6m+9−12m
=m2−6m+9
=(m−3) 2；
∵(m−3) 2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的两个根为x ,x ，
1 2
3
则：x ⋅x = ，
1 2 m
∵方程的两个实数根都是整数，
3
∴ 是整数，
m
∵m为正整数，
∴m=1,3．
【点睛】本题考查根的判别式，根与系数的关系．熟练掌握判别式大于0，方程有两个不相等的实数根，
判别式等于0，方程有两个相等的实数根，判别式小于0，方程没有实数根，以及根与系数的关系，是解题
的关键．
题型 10 根据一元二次根的情况求参数
44．（2023·安徽·模拟预测）若关于x的一元二次方程x(x−2)+m=1有两个相等的实数根，则实数m的值
为（ ）
A．1 B．2 C．−1 D．−2
【答案】B
【分析】本题考查了根的判别式．根的判别式Δ=b2−4ac=0建立关于m的等式，即可求解．
【详解】解：原方程可化为x2−2x+m−1=0，
由题意知Δ=4−4(m−1)=0，
解得m=2．
故选：B．
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45．（2023·江苏泰州·统考二模）若关于x的一元二次方程x2−2x+m−3=0没有实数根，则m的取值范围
为 ．
【答案】m>4
【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等
的实数根，则Δ=b2−4ac>0；有两个相等的实数根，则Δ=b2−4ac=0；没有实数根，则
Δ=b2−4ac<0．据此即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m−3=0没有实数根，
∴Δ=(−2) 2−4×1×(m−3)=16−4m<0，
解得：m>4．
故答案为：m>4．
46．（2023·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知关于x的方程x2−2(m+2)x+m2+4=0．
(1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)设x 、x 是方程的两根，且(x +x ) 2−2(x +x )−24=0，求m的值．
1 2 1 2 1 2
【答案】(1)当m>0时，方程有两个不相等的实数根
(2)m=1
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不同实数根时，利用Δ>0求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得x +x =2(m+2)，代入进行计算即可得到m的值．
1 2
【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ>0，
∴Δ=[−2(m+2)] 2 −4×1×(m2+4)>0，即16m>0，
解得：m>0，
∴当m>0时，方程有两个不相等的实数根；
−2(m+2)
（2）解：根据一元二次方程的根与系数的关系可得：x +x =− =2(m+2)，
1 2 1
∵(x +x ) 2−2(x +x )−24=0，
1 2 1 2
2
∴[2(m+2)] −2[2(m+2)]−24=0，
解得：m =1，m =−4，
1 2
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∵m>0，
∴m=1．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：①Δ>0，方程有
两个不相等的实数根，②Δ=0，方程有两个相等的实数根，③Δ<0，方程没有实数根，关于x的一元二次
b c
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x ，x 和系数a，b，c，有如下关系：x +x =− ，x ⋅x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
47．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）关于x的一元二次方程x2−4x−2m+5=0有两个实数根x ，x ，并
1 2
且x ≠x ．
1 2
(1)求实数m的取值范围；
(2)满足x x +x +x =m2+6，求m的值．
1 2 1 2
1
【答案】(1)m>
2
(2)m=1
【分析】（1）根据判别式的意义得到(−4) 2−4×1×(−2m+5)>0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x +x =4，x x =−2m+5，代入已知等式中，求出m值即可．
1 2 1 2
【详解】（1）解：∵方程有两个实数根x ，x ，并且x ≠x ，
1 2 1 2
∴(−4) 2−4×1×(−2m+5)>0，
1
∴m> ；
2
（2）解：∵x ，x 是该方程的两个根，
1 2
∴x +x =4，x x =−2m+5，
1 2 1 2
∵x x +x +x =m2+6，
1 2 1 2
∴−2m+5+4=m2+6，
解得：m=−3或m=1，
1
∵m> ，
2
∴m=1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；
当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．
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题型 11 一元二次方程根与系数的关系
48．（2023·新疆乌鲁木齐·统考模拟预测）关于x的一元二次方程x2−ax−3=0的一个根为1，则另一个根
为（ ）
A．2 B．−2 C．3 D．−3
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知当x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
1 2
b c
的两根时，则有x +x =− ，x ⋅x = 是解决问题的关键．根据根与系数的关系可得出两根之积为−3，
1 2 a 1 2 a
从而得出另一个根．
【详解】解：设另一个根为m，
∵关于x的一元二次方程x2−ax−3=0的一个根为1．
∴m=−3，
故选：D．
1 1
49．（2023·广东阳江·三模）已知 x ，x 是一元二次方程x2−x−2=0的两个根，则 + 的值是
1 2 x x
1 2
（ ）
1 1
A．1 B． C．−1 D．−
2 2
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关
1 1 x x x +x b
键．通分： + = 2 + 1 = 1 2 ，根据一元二次方程根与系数的关系：x +x =− ，
x x x ⋅x x ⋅x x ⋅x 1 2 a
1 2 1 2 1 2 1 2
c
x ⋅x = 可得出答案．
1 2 a
【详解】解：根据题意得x +x =1，x x =−2，
1 2 1 2
1 1 x +x 1
则 + ＝ 1 2 ＝− ．
x x x x 2
1 2 1 2
故选：D．
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50．（2023·广东河源·统考二模）已知x ，x 是一元二次方程4x2−5x−3=0的两个实数根，则
1 2
(x +2)(x +2)的值为（ ）
1 2
23 26 13
A． B．4 C． D．
4 4 4
【答案】A
5 3
【分析】根据根与系数的关系得到x +x = ，x x =− ，然后代入求解即可．
1 2 4 1 2 4
5 3
【详解】解：根据根与系数的关系得到x +x = ，x x =− ，
1 2 4 1 2 4
3 5 23
所以(x +2)(x +2)=x x +2(x +x )+4=− +2× +4= ．
1 2 1 2 1 2 4 4 4
故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根时，
1 2
b c
x +x =− ，x ⋅x = ．
1 2 a 1 2 a
51．（2023·江苏盐城·校考二模）已知x 、x 是关于x的方程x2−2x−1=0的两个实数根，下列结论正确
1 2
的是（ ）
A．x =x B．x 2−2x =x 2−2x
1 2 1 1 2 2
C．x +x =−2 D．x ⋅x =1
1 2 1 2
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根的判别式可判断A，利用一元二次方程的解的含义可判断B，利用一元二次
方程根与系数的关系可判断C，D，从而可得答案．
【详解】解：∵x 、x 是关于x的方程x2−2x−1=0的两个实数根，
1 2
∴Δ=b2−4ac=(−2) 2−4×1×(−1)=4+4=8>0，
∴x ≠x ，故A不符合题意；
1 2
∵x 、x 是关于x的方程x2−2x−1=0的两个实数根，
1 2
∴x 2−2x −1=0，x 2−2x −1=0，
1 1 2 2
∴x 2−2x =1，x 2−2x =1，
1 1 2 2
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∴x 2−2x =x 2−2x ，故B符合题意；
1 1 2 2
∵x 、x 是关于x的方程x2−2x−1=0的两个实数根，
1 2
∴x +x =2，x ⋅x =−1，
1 2 1 2
故C，D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关
系，掌握以上基础知识是解本题的关键．
52．（2023·安徽·校联考模拟预测）若m，n是一元二次方程x2−3x+2=0的两个实数根，则m2−2m+n
的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程的解，将m2−2m+n变形为
m2−3m+m+n，根据题意得到m2−3m和m+n的值，将值代入变形后的式子即可解题．
【详解】解：∵ m，n是一元二次方程x2−3x+2=0的两个实数根，
∴m2−3m+2=0，即m2−3m=−2，
−3
且m+n=− =3，
1
∴ m2−2m+n=m2−3m+m+n=−2+3=1．
故答案为：1．
题型 12 根的判别式和根与系数关系综合
53．（2023·湖北襄阳·统考二模）关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+5=0有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长恰好是此方程的两个实数根，斜边AB=6，求Rt△ABC的周长．
【答案】(1)m≥2
(2)14
【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式，可得出Δ=8m−16≥0，解之即可得出结论；
（2）根据根与系数的关系可得出x +x =2(m+1)，x ⋅x =m2+5结合勾股定理可得出关于m的一元二次
1 2 1 2
方程，解之可得出m的值，由方程的两根均为正值可确定m的值，再根据三角形的周长公式即可求出结论．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+5=0有两个实数根，
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∴Δ=4(m+1) 2−4(m2+5)=8m−16≥0．
解得：m≥2．
（2）解：设x ，x 是关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+5=0的两实数根，
1 2
∴x +x =2(m+1)，x ⋅x =m2+5，
1 2 1 2
∵(x +x ) 2=x2+x2+2x x ，
1 2 1 2 1 2
∴x2+x2=(x +x ) 2−2x x
1 2 1 2 1 2
=[2(m+1)] 2 −2(m2+5)
=4(m+1) 2−2m2−10
=2m2+8m−6，
根据勾股定理得x2+x2=AB2=62
，
1 2
∴2m2+8m−6=36，
解得m=3或−7（舍去），
∴x +x =2(m+1)=8，
1 2
∴AC+BC=8，
∴△ABC的周长为8+6=14．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，勾股定理等知识，解题的关键是理解题
意，灵活运用所学知识解决问题．
54．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2−6x+2m−1=0有x ，x 两实数根．
1 2
(1)求m的取值范围；
6
(2)是否存在实数m，满足(x −1)(x −1)=− ？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
1 2 m−7
【答案】(1)m≤5
(2)存在，4
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况即可求解；
b c
（2）根据一元二次方程根与系数的关系：x +x =− ,x ·x = 即可求解．
1 2 a 1 2 a
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2−6x+2m−1=0有x ，x 两实数根，
1 2
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∴Δ=(−6) 2−4×1×(2m−1)=40−8m≥0，
解得m≤5；
（2）解：存在．理由如下：
由根与系数的关系得x +x =6,x ·x =2m−1
1 2 1 2
6
∵(x −1)(x −1)=−
1 2 m−7
6
即x ·x −(x +x )+1=−
1 2 1 2 m−7
6
即2m−1−6+1=− ，化简m2−10m+24=0，
m−7
解得m =4，m =6，
1 2
经检验m =4，m =6都是原方程的解，
1 2
∵m≤5，
∴m=4．
【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的情况求解参数的范围以及根与系数的关系．熟记相关结论是解
题关键．
55．（2023·广东广州·统考模拟预测）一元二次方程的根与系数的关系是：关于x的方程
b c
ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x 、x ，则有： x +x =− ， x x = ．某班学完该内容后，王老师要
1 2 1 2 a 1 2 a
求学生根据上述知识进行编题、解题训练，其中小明同学编的练习题是：设k=3，方程x2−3x+k=0的两
x x
个实数根是x 、x ，求 2+ 1 的值．
1 2 x x
1 2
小明同学对这道题的解答过程是：解：∵k=3，∴已知方程是x2−3x+k=0，
又∵x +x =3，x x =3，
1 2 1 2
x x x2+x2 (x +x ) 2−2x x 32−2×3
∴ 2+ 1= 2 1= 1 2 1 2= =1，
x x x x x x 3
1 2 1 2 1 2
x x
∴
2+ 1=1．
x x
1 2
(1)请你针对以上练习题的解答的正误做出判断，并简述理由．
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x x
(2)请你对小明同学所编的练习题中的k另取一个适当的正整数，其他条件不变，求
2+ 1
的值．
x x
1 2
【答案】(1)错误，理由见解析
5
(2)当k=1时，原式=7；当k=2时，原式=
2
【分析】（1）根据使用根与系数的关系的前提条件为Δ≥0，而当k=3时，Δ<0，即可判断；
（2）根据题意，分别计算k=1，k=2时，根据根与系数的关键进行计算即可求解．
【详解】（1）解：以上练习题的解答是错误的，k=3时，Δ<0．
故方程x2−3x+3=0无实数根；
（2）∵方程x2−3x+k=0的两个实数根是x 、x ，
1 2
∴Δ=(−3) 2−4k≥0，
9
∴k≤ ，
4
故k可取1或2，
当k=1时，方程为x2−3x+1=0，则x +x =3，x x =1，
1 2 1 2
x x x2+x2 (x +x ) 2−2x x 32−2×1
原式= 2+ 1= 2 1= 1 2 1 2= =7；
x x x x x x 1
1 2 1 2 1 2
当k=2时，方程为x2−3x+2=0，则x +x =3，x x =2，
1 2 1 2
x x x2+x2 (x +x ) 2−2x x 32−2×2 5
原式= 2+ 1= 2 1= 1 2 1 2= = ．
x x x x x x 2 2
1 2 1 2 1 2
5
综上所述，当k=1时，原式=7；当k=2时，原式= ．
2
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握以上知识
是解题的关键．
56．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）已知关于x的一元二次方程
x2+(2m+1)x+m2+1=0有实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当m=4时，设方程的根为x ，x ，求代数式 (x2+8x +16)(x2−5x +3) 的值．
1 2 1 1 2 2
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3
【答案】(1)m≥
4
(2)126
【分析】（1）根据题意可得一元二次方程根判别式Δ≥0，解不等式即可求解；
（2）当m=4时，方程为x2+9x+17=0，根据一元二次方程根的定义，以及一元二次方程根与系数的关
系式得出x +x =−9，x x =17，x2+9x +17=0，x2+9x +17=0，代入代数式，进而即可求解．
1 2 1 2 1 1 2 2
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1=0有实数根，
∴Δ≥0，即( 2m+1) 2−4(m2+1)≥0，
整理得：4m−3≥0，
3
解得：m≥ ．
4
3
故实数m的取值范围是：m≥ ；
4
（2）当m=4时，方程为x2+9x+17=0，
∵该方程的两个实数根分别为x ，x ，
1 2
∴ x +x =−9，x x =17，x2+9x +17=0，x2+9x +17=0，
1 2 1 2 1 1 2 2
∴ (x2+8x +16)(x2−5x +3)
1 1 2 2
=(−17−x +16)(−17−14x +3)
1 2
=14(x +1)(x +1)
1 2
=14×(x x +x +x +1)
1 2 1 2
=14×(17−9+1)
=126．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，
熟练掌握以上知识是解题的关键．
题型 13 特殊解及含参不等式（组）问题
57．（2023·广东潮州·二模）如果关于x的不等式组¿的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整
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数对(m,n)共有（ ）
A．42对 B．36对 C．30对 D．11对
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，先求出不等式组的解集，根据已知
得出关于m、n的不等式组，求出整数解即可，解此题的关键是求出m、n的值．
【详解】解：¿，
m
解不等式①得：x≥ ，
6
n
解不等式②得：x< ，
5
m n
∴不等式组的解集是 ≤x< ，
6 5
∵关关于x的不等式组¿的整数解仅为1，2，3，
m n
∴0< ≤1，3< ≤4，
6 5
∵m、n为整数，
∴m=1、2、3、4、5、6，n=16、17、18、19、20，
6×5=30，
所以适合这个不等式组的整数对(m,n)共有30对，
故选：C．
58．（2023·广东深圳·校考模拟预测）若关于x的不等式组¿有解，则m的取值范围是（ ）
3 3 3 3
A．m≤ B．m> C．m< D．m≥
2 2 2 2
【答案】D
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到，即可确定m的取值范围．
【详解】解：¿，
3
解不等式①得：x≥ ，
2
解不等式②得：x≤m，
∵关于x的不等式组¿有解，
3
∴m≥ ，
2
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故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
59．（2023·湖南邵阳·统考二模）若方程组¿的解满足10
【答案】A
【分析】将方程组两个方程相加，表示出x+ y，代入12a，则a的取值范围是 ．
【答案】a≥2
【分析】解出不等式组的解集，与已知解集x>2a比较，可以求出a的取值范围．
【详解】解：化简原不等式组得¿，因为不等式组的解集为x>2a，
∴2a≥4，
∴a≥2．
故答案为：a≥2．
【点睛】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，
求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．
a 3
61．（2023·重庆渝中·统考二模）关于x的分式方程 =1+ 的解为非负数，且关于y的不等式组¿
x−3 3−x
的解集为y<2，则符合条件的整数a的值之和是 ．
【答案】−17
【分析】分别解分式方程和不等式组，从而得出a的范围，再确定整数a的值．
a 3
【详解】解分式方程 =1+ 得x=a+6
x−3 3−x
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∵x−3≠0
∴a+6≠3
∴a≠−3
∵方程的解为非负数
∴a+6≥0
∴a≥−6且a≠−3
解不等式组得 ¿
∵不等式组的解集为y<2
4−a
∴ ≥2
3
∴a≤−2
∴−6≤a≤−2且a≠−3
∴符合条件的整数a为−6、−5、−4、−2共有4个
∴符合条件的整数a的值之和是−6−5−4−2=−17
故答案为: −17．
【点睛】本题主要考查分式方程的解和解一元一次不等式组，解题的关键是根据分式方程的解的情况及不
等式组解集的情况得出a的取值范围．
（限时45分钟）
一、单选题
1．（2023·安徽宿州·统考模拟预测）中国气象局3月10日公布的《2022年中国天然氧吧评价公报》显示，
中国天然氧吧地区总面积已超90万平方公里，约占中国国土总面积的9.5%，将90万用科学记数法表示为
（ ）
A．0.9×106 B．9×105 C．9×104 D．90×103
【答案】B
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整
数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：90万=900000=9×105．
故选：B．
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【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的
值是解题的关键．
2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）与√364÷4结果不相同的是( )
A．2×2−1 B．42×43×4−5 C．√16÷2 D．30
【答案】C
【分析】先计算立方根，再计算有理数的除法得到结果，再利用负整数指数幂、零次幂、算术平方根的性
质计算出结果，比较即可．
【详解】解：√364÷4=4÷4=1．
A、2×2−1=21−1=20=1，故选项A的计算结果与√364÷4结果相同；
B、42×43×4−5=42+3−5=40=1，故选项B的计算结果与√364÷4结果相同；
C、√16÷2=4÷2=2，故选项C的计算结果与√364÷4结果不相同；
D、30=1，故选项D的计算结果与√364÷4结果相同．
故选：C．
【点睛】本题考查了立方根，负整数指数幂、零次幂、算术平方根，正确计算是解题的关键．
3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，A，B是数轴上的两点，点E与点A关于原点O对称，以AB为
边作正方形ABCD．若点A表示的数为1，正方形ABCD面积为7，则B，E两点之间的距离是（ ）
A．√7+2 B．√7−2 C．√7+1 D．√7−1
【答案】A
【分析】根据题意求出点E表示的数，求出AB边的长，即可求解．
【详解】解：根据题意得，
AB=√7，
∵E与点A关于原点O对称，点A表示的数为1，
∴E点表示的数为−1，
∴AE=2，
∴BE之间的距离为BE=AE+AB=2+√7．
故选：A．
【点睛】本题考查了实数与数轴的简单应用，解题的关键是求出点E和线段AB的长，题目比较简单．
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⏟92×92×⋯×92=⏟3×3×⋯×3
4．（2023·河北保定·校考模拟预测）若 ，则m的值为（ ）
m个 100个
A．100 B．50 C．25 D．4
【答案】C
【分析】根据幂的乘方的逆用，将底数为9的幂转化为底数为3的幂，得到指数之间的关系，从而得出结
果．
⏟92×92×⋯×92=⏟3×3×⋯×3
【详解】解：∵ ，
m个 100个
∴(92) m =3100，
∴34m=3100，
∴4m=100，
∴m=25．
故选C．
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆用，正确进行幂的乘方中底数的转化是解题的关键．
5．（2023·河北石家庄·校联考二模）如下是嘉淇计算某道题的过程，下列选项中结论不正确的是（ ）
2x+x2−2(3x−2)
=2x+x2−6x+4•••••第一步
=x2+2x−6x+4•••••第二步
=x2−4x+4•••••••••第三步
=(x−2) 2••••••••••第四步
A．第一步用到了去括号法则 B．第二步用到了加法交换律
C．第三步用到了减法结合律 D．第四步用到了完全平方公式
【答案】C
【分析】根据整式的运算法则解答即可.
【详解】解：A、第一步用到了去括号法则，故A不符合题意；
B、第二步用到了加法交换律，故B不符合题意；
C、第三步用到了合并同类项，故C符合题意；
D、第四步用到了完全平方公式，故D不符合题意；
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故选：C．
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式运算的法则是解题的关键.
6．（2023·广东梅州·统考一模）已知实数a，b满足|a−4|+(b2−4b+4)=0，则有关x的不等式组¿的解
集为（ ）
1 1
A．x≤ B．x>2 C． ≤x≤2 D．无解
2 2
【答案】D
【分析】根据a，b满足的条件可推出a，b的值， 将其代入关于x的不等式组中，按照一元一次不等式组
取值范围口诀即可求出答案.
【详解】解：∵|a−4|+(b2−4b+4)=0
∴a−4=0，b2−4b+4=0，
∴a=4，b=2.
∴有关x的不等式组¿转化为：¿，
解不等式组得：¿，
∴将不等式组的解集表示在数轴上，如图所示，
∴x的解集为：无解.
故答案选：D.
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解、完全平方公式和化简绝对值.解题的关键是否掌握完全平方公式
(a±b) 2=a2+b2±2ab以及是否熟悉不等式解集取值范围口诀：同大取大，同小取小，大大小小无解，大
小小大取中间.
7．（2023·广东江门·统考二模）下列关于x的一元二次方程中有两个相等的实数根的是（ ）
A．(x−3) 2=4 B．x2=x C．x2+2x+1=0 D．x2−16=0
【答案】C
【分析】通过解方程求得方程的解或根据根的判别式Δ=b2−4ac的值的符号判断即可．
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【详解】解：A、∵(x−3) 2=4，
∴x−3=±2，
∴x =1，x =5，
1 2
故本选项不符合题意；
B、∵x2=x，
∴x2−x=0，
∴x(x−1)=0，
∴x =0，x =1，
1 2
故本选项不符合题意；
C、Δ=22−4×1×1=0，该方程有两个相等实数根．故本选项符合题意；
D、Δ=02−4×1×(−16)=64>0，该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：①Δ>0⇔方程
有两个不相等的实数根；②Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；③Δ<0⇔方程没有实数根．熟练掌握一
元二次方程根的情况与判别式Δ的关系是解题的关键．
8．（2023·河北石家庄·统考一模）已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，下列结论正确的是（ ）
A．B−A的最大值是0 B．B−A的最小值是−1
C．当B=2A时，x为正数 D．当B=2A时，x为负数
【答案】B
【分析】利用配方法表示出B−A，以及B=2A时，用含n的式子表示出x，确定x的符号，进行判断即可．
【详解】解：∵A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，
∴B−A=2x2+4x+n2−(x2+6x+n2)
=2x2+4x+n2−x2−6x−n2
=x2−2x
=(x−1) 2−1；
∴当x=1时，B−A有最小值−1；
当B=2A时，即：2x2+4x+n2=2(x2+6x+n2)，
∴2x2+4x+n2=2x2+12x+2n2，
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∴−8x=n2≥0，
∴x≤0，即x是非正数；
故选项A,C,D错误，选项B正确；
故选B．
【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．
二、填空题
9．（2023·河北唐山·统考二模）已知b4=b×8(b≠0)，则b= ，b的倒数为 ．
1
【答案】 2 /0.5
2
【分析】把等式两边同时除以b即可得出b的值，再由倒数的定义即可得出结论．
【详解】解：∵b4=b×8(b≠0)，
∴b3=8，即b3=23，
∴b=2，
1
∴b的倒数为 ．
2
1
故答案为：2， ．
2
【点睛】本题考查的是倒数，同底数幂的除法运算，利用立方根的含义解方程，熟知乘积是1的两数互为
倒数是解题的关键．
10．（2023·江苏盐城·统考模拟预测）已知x+ y=2，x+3 y=4，则代数式x2+4xy+4 y2的值为 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查了代数式求值和完全平方公式，解题关键是利用解方程组的方法，求出x+2y的值．
把已知的两个等式相加，求出x+2y的值，再把所求代数式变形，然后整体代入求值即可．
【详解】解：∵x+ y=2①，x+3 y=4②，
∴①+②得：2x+4 y=6，
∴x+2y=3，
∵x2+4xy+4 y2=(x+2y) 2，
∴x2+4xy+ y2=32=9，
故答案为：9.
11．（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的不等式组¿恰好有四个整数解，则实数a的取值范围是
．
【答案】7≤a<8
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【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，
根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【详解】解：解不等式组¿得¿，则3.5
