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专题 01 数与式、方程与不等式的性质及运算
目 录
题型01 数与式的混合运算
题型02 科学记数法
题型03 整式与分式的化简求值
题型04 因式分解的运算及应用
题型05 比较大小
题型06 解四大方程（含一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、分式方程）
题型07 解不等式（组）
题型08 根据分式方程解的情况求值
题型09 根据判别式判断一元二次方程根的情况
题型10 根据一元二次根的情况求参数
题型11 一元二次方程根与系数的关系
题型12 根的判别式和根与系数关系综合
题型13 特殊解及含参不等式（组）问题
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题型 01 数与式的混合运算
1．（2022·江苏苏州·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
2
A．√(−7) 2=−7 B．6÷ =9 C．2a+2b=2ab D．2a⋅3b=5ab
3
2．（2023·北京石景山·校考一模）计算：(−1) 2019+ ( − 1) −2 −|2−√12|+4sin60°．
2
3．（2023·广东肇庆·统考三模）计算：
(1) −2
+(−π) 0−√3−64−|√3−2|．
3
4．（2022·重庆·统考中考真题）计算：
(1) ；
(x+2) 2+x(x−4)
(a ) a2−b2
(2) −1 ÷ ．
b 2b
题型 02 科学记数法
5．（2023·安徽·模拟预测）安徽省统计局网发布消息称，2022年前三季度，全省农林牧渔业总产值约
3806亿元．其中3806亿用科学记数法表示为（ ）
A．3.806×103 B．3806×108 C．3.806×1011 D．3.806×1012
6．（2023·河南濮阳·统考三模）2023年“五一”假期，河南省共接待游客55180000人次，与2019年同比
增长21.3%，将数据“55180000”用科学记数法表示为5.518×10n，则n的值为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
7．（2023·山西临汾·统考一模）原子是化学变化中的 最小微粒，按照国际单位制的规定，质量单位是
“千克”．例如：1个氧原子的质量是2.657×10−26kg．如果小数0.000…02657用科学记数法表示为
2.657×10−26，则这个小数中“0”的个数为（ ）
A．25个 B．26个 C．27个 D．28个
8．（2023·江苏盐城·校联考二模）化学元素钉(Ru)是除铁 (Fe)、钻(Co)和镍(NIi)以外，在室温下具有独
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特磁性的第四个元 素．钉(Ru)的原子半径约0.000000000189m．将0.000000000189用科学记数法表示
为 ．
题型 03 整式与分式的化简求值
9．（2023·陕西西安·校考二模）先化简，再求值： ，其中 ，
[(x+2y)(x−2y)+(x+2y) 2−2xy]÷2x x=5
y=−8．
10．（2023·湖南长沙·湖南师大附中博才实验中学校考模拟预测）先化简，再求值：
1
(a+2b) 2+(a+2b)(a−2b)−2a⋅a，其中a=−1，b= .
2
11．（2023·江苏扬州·校考二模）已知 、 满足 ．
a b |a2+b2−10|+(a−b−2) 2=0
(1)求ab的值；
(2)先化简，再求值： ．
(2a−b) 2−(a+2b)(a−b)
x ( 1 )
12．（2023·江苏盐城·统考模拟预测）先化简，再求值： ÷ 1− ，其中
x2−1 x+1
x=√2sin45°+2tan45°
a−2 ( 2a−1)
13．（2023·广东东莞·统考二模）先化简，再求值： ÷ a−1− ，其中a=√3．
a2−1 a+1
题型 04 因式分解的运算及应用
14．（2023·安徽·模拟预测）下列分解因式错误的是（ ）
A． B．
x2−2x+1=(x−1) 2 x(x−y)−y(x−y)=(x−y) 2
C．x2−9=(x+3)(x−3) D．−x2−xy=−x(x−y)
15．（2023·广东佛山·佛山市南海区里水镇里水初级中学校考三模）分解因式2x3−8x= ．
16．（2023·江苏南通·统考二模）若4a2−b2=12，2a−b=4，则2a+b= ．
√111−1
17．（2023·浙江·模拟预测）已知实数x= ，求(2x5+2x4−53x3−57x+54) 2017的值．
2
18．（2023·山西太原·山西实验中学校考模拟预测）若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足
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ab−ac=b2−bc，则这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
19．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）阅读以下解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2−b2c2=a4−b4，试判断△ABC的形状．
错解：∵a2c2−b2c2=a4−b4 ……①
……②
∴c2(a2−b2)=(a2−b2)(a2+b2)
∴c2=a2+b2 ……③
∴ △ABC是直角三角形 ……④
上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号 ，错误的原因是
．
题型 05 比较大小
20．（2023·湖南湘西·模拟预测）比较大小：√17−1 13（选填“＞”“＜”或“＝”）．
21．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）数形结合是解决代数类问题的重要思想，在比较√2+1与
√5的大小时，可以通过如图所示几何图形解决问题：若要比较√2+3与√17的大小，以下数形结合正确的
是（ ）
A． B． C． D.
22．（2023·河北廊坊·校考一模）如图是嘉嘉和淇淇比较√2+√3与√2+3的过程，下列关于两人的思路判
断正确的是（ ）
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A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．两人都对 D．两人都错
23．（2023·安徽·校联考模拟预测）比较大小：45 54；若正数x，y满足3x=5y，则3x−5 y
0.
题型 06 解四大方程（含一元一次方程、一元二次方程、二元一次方
程组、分式方程）
2
24．（2023·北京石景山·校考一模）用配方法解方程x2+ x+1=0时，正确的是（ ）
3
( 1) 2 8 1 2√2 ( 1) 2 8
A． x+ = ,x=− ± B． x+ =− 原方程无解
3 9 3 3 3 9
( 2) 2 5 2 √5 ( 2) 2 5
C． x+ = ,x=− ± D． x+ =− 原方程无解
3 9 3 3 3 9
25．（2023·广东河源·一模）下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是( )
A．(x−2)(x+5)=2 B．2x2−x=0
C． D．
x2+5x−2=0 12(2−x) 2=3
26．（2023·湖南长沙·校考二模）下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题．
2x+1 5x−1
解方程： − =1
3 6
解：去分母，得2(2x+1)−(5x−1)=1……
第一步
去括号，得4x+2−5x+1=1……第二步
移项，得4x−5x=1−1−2……第三步
合并同类项，得−x=−2，……第四步
方程两边同除以－1，得x=2．……第五步
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(1)以上求解过程中，第三步的依据是_________．
A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质 D．乘法分配律
(2)从第_________步开始出现错误；
(3)该方程正确的解为____________
27．（2023·浙江·模拟预测）已知¿，求x2y+x y2的值．
28．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）下面是小彬同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相
应的任务．
¿解方程组：
解：①×3，得3x−6 y=3．③…第一步
②−③，得−5 y=−5．…第二步
y=1．…第三步
y=1代入①，得x=3．…第四步
所以，原方程组的解为¿．…第五步
填空：
①以上求解步骤中，第一步的依据是 ；
②第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是 （填
序号）；
A．数形结合 B．类比思想 C．转化思想 D．分类讨论
③小彬同学的解题过程从第 步开始出现错误，直接写出该方程组的正确解： ．
2x−3 1
29．（2023·安徽·模拟预测）解方程： − =4．
x−2 2−x
x−1 6
30．（2023·安徽六安·统考一模）解方程： −1= ．
x+1 x2−1
31．（2023·四川广安·统考一模）定义：若x ，x 是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个整数根，且满足
1 2
，则称此类方程为“自然方程”．例如： 是“自然方程”．现给出下面两个方
|x −x |=1 (x−1)(x−2)=0
1 2
程，请通过计算说明这两个方程是否是自然方程．
(1)x2+3x−2=0；
(2)x(x+1)+2(x+1)=0．
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题型 07 解不等式（组）
32．（2023·广东·模拟预测）不等式组¿的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
33．（2023·广东茂名·统考二模）已知点M(1−2m，m−1)在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
x−1
34．（2023·安徽·模拟预测）不等式 −1>0的解集是 ．
2
35．（2023·广东汕头·汕头市第六中学校考一模）解不等式组：¿，并写出它的所有整数解．
题型 08 根据分式方程解的情况求值
m−1 x
36．（2023·四川成都·统考模拟预测）若分式方程 − =0有增根，则m的值是（ ）
x−2 x−2
A．3 B．2 C．1 D．−1
1 a
37．（2023·黑龙江齐齐哈尔·校考三模）若关于x的分式方程 + =2a无解，则a的值为（ ）
x−2 2−x
A．0 B．1 C．−1或0 D．0或1
2x−m
38．（2023·湖南长沙·统考模拟预测）若关于x的分式方程 =3的解是负数，则字母m的取值范围是
x+1
．
2kx+3 7 4k
39．（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的方程 − = 的方程恰好有一个实数解，求k的值
x−1 x2−x x
及方程的解．
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题型 09 根据判别式判断一元二次方程根的情况
1
40．（2023·河南濮阳·统考三模）已知m为任意实数，则一元二次方程x2−mx− =0根的情况是（ ）
4
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
41．（2023·广东汕头·汕头市第六中学校考一模）若k>2，则关于x的方程x2−2k x+k2−k+1=0的实数
根的个数为 ．
42．（2023·安徽六安·校考二模）关于x的方程x2−3x+c=0有两个不相等的实数根，则c的最大整数值
是 ．
43．（2023·北京海淀·北理工附中校考三模）已知关于x的方程mx2−(m+3)x+3=0(m≠0)．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
题型 10 根据一元二次根的情况求参数
44．（2023·安徽·模拟预测）若关于x的一元二次方程x(x−2)+m=1有两个相等的实数根，则实数m的值
为（ ）
A．1 B．2 C．−1 D．−2
45．（2023·江苏泰州·统考二模）若关于x的一元二次方程x2−2x+m−3=0没有实数根，则m的取值范围
为 ．
46．（2023·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知关于x的方程x2−2(m+2)x+m2+4=0．
(1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)设
x 、x
是方程的两根，且
(x +x ) 2−2(x +x )−24=0
，求
m
的值．
1 2 1 2 1 2
47．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）关于x的一元二次方程x2−4x−2m+5=0有两个实数根x ，x ，并
1 2
且x ≠x ．
1 2
(1)求实数m的取值范围；
(2)满足 ，求m的值．
x x +x +x =m2+6
1 2 1 2
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题型 11 一元二次方程根与系数的关系
48．（2023·新疆乌鲁木齐·统考模拟预测）关于x的一元二次方程x2−ax−3=0的一个根为1，则另一个根
为（ ）
A．2 B．−2 C．3 D．−3
1 1
49．（2023·广东阳江·三模）已知 x ，x 是一元二次方程x2−x−2=0的两个根，则 + 的值是
1 2 x x
1 2
（ ）
1 1
A．1 B． C．−1 D．−
2 2
50．（2023·广东河源·统考二模）已知x ，x 是一元二次方程4x2−5x−3=0的两个实数根，则
1 2
的值为（ ）
(x +2)(x +2)
1 2
23 26 13
A． B．4 C． D．
4 4 4
51．（2023·江苏盐城·校考二模）已知x 、x 是关于x的方程x2−2x−1=0的两个实数根，下列结论正确
1 2
的是（ ）
A． B．
x =x x 2−2x =x 2−2x
1 2 1 1 2 2
C．x +x =−2 D．x ⋅x =1
1 2 1 2
52．（2023·安徽·校联考模拟预测）若m，n是一元二次方程x2−3x+2=0的两个实数根，则m2−2m+n
的值是 ．
题型 12 根的判别式和根与系数关系综合
53．（2023·湖北襄阳·统考二模）关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+5=0有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长恰好是此方程的两个实数根，斜边AB=6，求Rt△ABC的周长．
54．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2−6x+2m−1=0有x ，x 两实数根．
1 2
(1)求m的取值范围；
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6
(2)是否存在实数m，满足(x −1)(x −1)=− ？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
1 2 m−7
55．（2023·广东广州·统考模拟预测）一元二次方程的根与系数的关系是：关于x的方程
b c
ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x 、x ，则有： x +x =− ， x x = ．某班学完该内容后，王老师要
1 2 1 2 a 1 2 a
求学生根据上述知识进行编题、解题训练，其中小明同学编的练习题是：设k=3，方程x2−3x+k=0的两
个实数根是 、 ，求x x 的值．
x x 2+ 1
1 2 x x
1 2
小明同学对这道题的解答过程是：解：∵k=3，∴已知方程是x2−3x+k=0，
又∵x +x =3，x x =3，
1 2 1 2
∴x x x2+x2 (x +x ) 2−2x x 32−2×3 ，
2+ 1= 2 1= 1 2 1 2= =1
x x x x x x 3
1 2 1 2 1 2
∴x x ．
2+ 1=1
x x
1 2
(1)请你针对以上练习题的解答的正误做出判断，并简述理由．
(2)请你对小明同学所编的练习题中的k另取一个适当的正整数，其他条件不变，求x x 的值．
2+ 1
x x
1 2
56．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）已知关于x的一元二次方程
有实数根．
x2+(2m+1)x+m2+1=0
(1)求实数m的取值范围；
(2)当 时，设方程的根为 ， ，求代数式 的值．
m=4 x x (x2+8x +16)(x2−5x +3)
1 2 1 1 2 2
题型 13 特殊解及含参不等式（组）问题
57．（2023·广东潮州·二模）如果关于x的不等式组¿的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整
数对(m,n)共有（ ）
A．42对 B．36对 C．30对 D．11对
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58．（2023·广东深圳·校考模拟预测）若关于x的不等式组¿有解，则m的取值范围是（ ）
3 3 3 3
A．m≤ B．m> C．m< D．m≥
2 2 2 2
59．（2023·湖南邵阳·统考二模）若方程组¿的解满足10
60．（2023·广东河源·一模）若关于x的不等式组¿的解集是x>2a，则a的取值范围是 ．
a 3
61．（2023·重庆渝中·统考二模）关于x的分式方程 =1+ 的解为非负数，且关于y的不等式组¿
x−3 3−x
的解集为y<2，则符合条件的整数a的值之和是 ．
（限时45分钟）
一、单选题
1．（2023·安徽宿州·统考模拟预测）中国气象局3月10日公布的《2022年中国天然氧吧评价公报》显示，
中国天然氧吧地区总面积已超90万平方公里，约占中国国土总面积的9.5%，将90万用科学记数法表示为
（ ）
A．0.9×106 B．9×105 C．9×104 D．90×103
2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）与√364÷4结果不相同的是( )
A．2×2−1 B．42×43×4−5 C．√16÷2 D．30
3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，A，B是数轴上的两点，点E与点A关于原点O对称，以AB为
边作正方形ABCD．若点A表示的数为1，正方形ABCD面积为7，则B，E两点之间的距离是（ ）
A．√7+2 B．√7−2 C．√7+1 D．√7−1
4．（2023·河北保定·校考模拟预测）若⏟92×92×⋯×92=⏟3×3×⋯×3，则m的值为（
）
m个 100个
A．100 B．50 C．25 D．4
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5．（2023·河北石家庄·校联考二模）如下是嘉淇计算某道题的过程，下列选项中结论不正确的是（ ）
2x+x2−2(3x−2)
=2x+x2−6x+4•••••第一步
=x2+2x−6x+4•••••第二步
=x2−4x+4•••••••••第三步
••••••••••第四步
=(x−2) 2
A．第一步用到了去括号法则 B．第二步用到了加法交换律
C．第三步用到了减法结合律 D．第四步用到了完全平方公式
6．（2023·广东梅州·统考一模）已知实数a，b满足 ，则有关x的不等式组 的解
|a−4|+(b2−4b+4)=0 ¿
集为（ ）
1 1
A．x≤ B．x>2 C． ≤x≤2 D．无解
2 2
7．（2023·广东江门·统考二模）下列关于x的一元二次方程中有两个相等的实数根的是（ ）
A． B． C． D．
(x−3) 2=4 x2=x x2+2x+1=0 x2−16=0
8．（2023·河北石家庄·统考一模）已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，下列结论正确的是（ ）
A．B−A的最大值是0 B．B−A的最小值是−1
C．当B=2A时，x为正数 D．当B=2A时，x为负数
二、填空题
9．（2023·河北唐山·统考二模）已知b4=b×8(b≠0)，则b= ，b的倒数为 ．
10．（2023·江苏盐城·统考模拟预测）已知x+ y=2，x+3 y=4，则代数式x2+4xy+4 y2的值为 ．
11．（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的不等式组¿恰好有四个整数解，则实数a的取值范围是
．
12．（2023·四川成都·模拟预测）因式分解：4x2y−y3= ．
13．（2023·浙江·模拟预测）化简：√11+6√2+√11−6√2= ．
三、解答题
14．（2023·山西大同·大同一中校联考模拟预测）（1）计算：√18− ( − 1) −2 −|−3√2|−(1−√2) 0 ；
3
3 5 8
（2）下面是王亮同学解方程 + = 的过程，请阅读并完成相应任务．
x−2 x+2 x2−4
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解：方程两边同乘以x2−4，得
3(x+2)+5(x−2)=8 第一步
3x+6+5x−2=8． 第二步
2x=8−6+2 第三步
x=6 第四步
经检验：x=6是原方程的解． 第五步
∴原方程的解是x=6 第六步
任务一：
①以上求解过程中，第一步的依据是______；
②王亮同学的求解过程从第______步开始出现错误，整个解答过程．
从前一步到后一步的变形共出现______处错误：
③分式方程检验的目的是______．
任务二：请你直接写出这个方程的正确解______．
( 15m) m−2
15．（2023·广西贵港·统考二模）先化简，再求值： 3m− ÷ ，其中m满足
m+3 m2+6m+9
m2+3m−6=0．
16．（2023·河南南阳·统考二模）【阅读与思考】如表是小亮同学在数学杂志上看到的小片段，请仔细阅
读并完成相应的任务．
一元二次方程根与系数的关系
通过学习用公式法解一元二次方程可以发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与
系数关系的一种形式．除此以外，一元二次方程的根与系数之间还有一些其他形式的关系．
从因式分解的角度思考这个问题，若把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别记为x ，x ，
1 2
则有恒等式ax2+bx+c=a(x−x )(x−x )，即ax2+bx+c=ax2−a(x +x )x+ax x ．比较两边系数可
1 2 1 2 1 2
得：x +x =______，x ⋅x =______．
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任务：
(1)填空：x +x =______，x ⋅x =______．
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(2)小亮同学利用求根公式进行推理，同样能够得出一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的关系．
下面是小亮同学的部分推理过程，请完成填空，并将推理和运算过程补充完整．
解：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
当b2−4ac≥0时，有两个实数根x =______，x =______．
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……
(3)已知关于x的方程2x2+3mx+m2=0的两根之和与两根之积的和等于2，直接写出m的值．
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