文档内容
五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 07 数列
考点一 数列的函数特性
1．（2020•浙江）已知数列 满足 ，则 ．
【解析】数列 满足 ，
可得 ， ， ，
所以 ．
故答案为：10．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分1 百】考点二 等差数列的性质
2．（2023•新高考Ⅰ）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为
等差数列，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【解析】若 是等差数列，设数列 的首项为 ，公差为 ，
则 ，
即 ，
故 为等差数列，
即甲是乙的充分条件．
反之，若 为等差数列，则可设 ，
则 ，即 ，
当 时，有 ，
上两式相减得： ，
当 时，上式成立，所以 ，
则 （常数），
所以数列 为等差数列．
即甲是乙的必要条件．
综上所述，甲是乙的充要条件．
故本题选： ．
考点三 等差数列的前 n 项和
3．（2022•上海）已知等差数列 的公差不为零， 为其前 项和，若 ，则
，2， ， 中不同的数值有 个．
【解析】 等差数列 的公差不为零， 为其前 项和， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分2 百】，解得 ，
，
， ，1， ， 中 ，
， ，
其余各项均不相等，
， ， 中不同的数值有： ．
故答案为：98．
4．（2020•上海）已知数列 是公差不为零的等差数列，且 ，则
．
【解析】根据题意，等差数列 满足 ，即 ，变形可得
，
所以 ．
故答案为： ．
5．（2020•海南）将数列 与 的公共项从小到大排列得到数列 ，则
的前 项和为 ．
【解析】将数列 与 的公共项从小到大排列得到数列 ，
则 是以1为首项、以6为公差的等差数列，
故它的前 项和为 ，
故答案为： ．
6．（2021•新高考Ⅱ）记 是公差不为 0 的等差数列 的前 项和，若 ，
．
（Ⅰ）求数列 的通项公式 ；
（Ⅱ）求使 成立的 的最小值．
【解析】（Ⅰ）数列 是公差 不为0的等差数列 的前 项和，若 ， ．
根据等差数列的性质， ，故 ，
根据 可得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分3 百】整理得 ，可得 不合题意），
故 ．
（Ⅱ） ， ，
，
，即 ，
整理可得 ，
当 或 时， 成立，
由于 为正整数，
故 的最小正值为7．
考点四 等比数列的前 n 项和
7．（2023•新高考Ⅱ）记 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则
A．120 B．85 C． D．
【解析】等比数列 中， ， ，显然公比 ，
设首项为 ，则 ①， ②，
化简②得 ，解得 或 （不合题意，舍去），
代入①得 ，
所以 ．
故选： ．
考点五 等差数列与等比数列的综合
8．（2022•浙江）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前 项和为
．
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）若对于每个 ，存在实数 ，使 ， ， 成等比数列，
求 的取值范围．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分4 百】【解析】（Ⅰ）因为等差数列 的首项 ，公差 ，
因为 ，可得 ，即 ，
，即 ，
整理可得： ，解得 ，
所以 ，
即 ；
（Ⅱ）因为对于每个 ，存在实数 ，使 ， ， 成等比数列，
则 ， ，
整理可得： ，则△ 恒成立在 ，
整理可得 ，
当 时，可得 或 ，而 ，
所以 的范围为 ；
时，不等式变为 ，解得 ，而 ，
所以此时 ， ，
当 时， ，则 符合要求，
综上所述，对于每个 ， 的取值范围为 ， ，使 ， ，
成等比数列．
9．（2022•新高考Ⅱ）已知 是等差数列， 是公比为 2 的等比数列，且
．
（1）证明： ；
（2）求集合 ， 中元素的个数．
【解析】（1）证明：设等差数列 的公差为 ，
由 ，得 ，则 ，
由 ，得 ，
即 ，
．
（2）由（1）知， ，
由 知， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分5 百】，即 ，
又 ，故 ，则 ，
故集合 ， 中元素个数为9个．
10．（2020•上海）已知各项均为正数的数列 ，其前 项和为 ， ．
（1）若数列 为等差数列， ，求数列 的通项公式；
（2）若数列 为等比数列， ，求满足 时 的最小值．
【解析】（1）数列 为公差为 的等差数列， ， ，
可得 ，解得 ，
则 ；
（2）数列 为公比为 的等比数列， ， ，
可得 ，即 ，
则 ， ，
，即为 ，
即 ，可得 ，即 的最小值为7．
考点六 数列递推式
11．（2022•浙江）已知数列 满足 ， ，则
A． B． C． D．
【解析】 ，
为递减数列，
又 ，且 ，
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分6 百】又 ，则 ，
，
，
，则 ，
；
由 得 ，得 ，
累加可得， ，
，
；
综上， ．
故选： ．
12．（2020•浙江）已知等差数列 的前 项和 ，公差 ，且 ．记 ，
， ，下列等式不可能成立的是
A． B． C． D．
【解析】
在等差数列 中， ，
， ， ，
，
，
，
，
，
，根据等差数列的性质可得 正确，
．若 ，则 ，成立， 正确，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分7 百】．若 ，则 ，
即 ，得 ，
， ，符合 ， 正确；
．若 ，则 ，
即 ，得 ，
， ，不符合 ， 错误；
故选： ．
13．（2019•浙江）设 ， ，数列 满足 ， ， ，则
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【解析】对于 ，令 ，得 ，
取 ， ，
当 时， ，故 错误；
对于 ，令 ，得 或 ，
取 ， ， ， ，
当 时， ，故 错误；
对于 ，令 ，得 ，
取 ， ， ， ，
当 时， ，故 错误；
对于 ， ， ，
，
， 递增，
当 时， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分8 百】， ， ．故 正确．
故选： ．
14．【多选】（2021•新高考Ⅱ）设正整数 ，其中
， ，记 ，则
A． B．
C． D．
【 解 析 】 ， ，
对；
当 时， ， （7） ．
， （2） ， （7） （2） ， 错；
，
．
，
． 对；
， ， 对．
故选： ．
15．（2021•上海）已知 ，2， ， 对任意的 ，
或 中有且仅有一个成立， ， ，则 的最小值为 ．
【解析】设 ，由题意可得， ， 恰有一个为1，
如果 ，那么 ， ， ， ，
同样也有， ， ， ， ，
全部加起来至少是 ；
如果 ，那么 ， ， ，
同样也有， ， ， ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分9 百】全部加起来至少是 ，
综上所述，最小应该是31．
故答案为：31．
16．（2019•上海）已知数列 前 项和为 ，且满足 ，则 ．
【解析】由 ，①
得 ，即 ，
且 ，②
① ②得： ．
数列 是等比数列，且 ．
．
故答案为： ．
17．（2022•上海）数列 对任意 且 ，均存在正整数 ， ，满足
， ， ．
（1）求 可能值；
（2）命题 ：若 ， ， ， 成等差数列，则 ，证明 为真，同时写出 逆命
题 ，并判断命题 是真是假，说明理由；
（3）若 ， 成立，求数列 的通项公式．
【解析】（1） ， 或 ．
（ 2 ） ， ， ， ， ， ， ， 为 等 差 数 列 ，
，
．
逆命题 ：若 ，则 ， ， ， ， ， ， ， 为等差数列是假命题，举例：
， ， ， ， ， ， ， ，
．
（3）因为 ，
， ，
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分10百】，
以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明 恒成立：
当 ， 明显成立，
假设 时命题成立，即 ，
则 ，则 ，命题得证．
回到原题，分类讨论求解数列的通项公式：
1．若 ，则 矛盾，
2．若 ，则 ， ， ，
此时 ，
，
3．若 ，则 ，
， ，
（由（2）知对任意 成立），
，
事实上： 矛盾．
综上可得 ．
18．（2021•浙江）已知数列 的前 项和为 ， ，且 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 ，记 的前 项和为 ，若 对任
意 恒成立，
求实数 的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由 可得 ，
两式作差，可得： ，
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分11百】很明显， ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
其通项公式为： ．
（Ⅱ）由 ，得 ，
，
，
两式作差可得：
，
则 ．
据此可得 恒成立，即 恒成立．
时不等式成立；
时， ，由于 时 ，故 ；
时， ，而 ，故： ；
综上可得， ．
考点七 数列的求和
19．（2021•浙江）已知数列 满足 ， ．记数列 的前 项
和为 ，则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分12百】A． B． C． D．
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
，
，故 ，
由累加法可得当 时，
，
又因为当 时， 也成立，所以 ，
所以 ，
，故 ，
由累乘法可得当 时，
，
所以 ．
另解：设 ， ， ，可得 在 递增，接下来
运用待定系数法估计 的上下界，设 ，则探索 也满足上界
的条件．
．
在此条件下，有 ，
注意到 ，取 ， ，从而 ，此时可得 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分13百】故选： ．
20．（2021•上海）已知 为无穷等比数列， ， 的各项和为9， ，则数列
的各项和为 ．
【解析】设 的公比为 ，
由 ， 的各项和为9，可得 ，
解得 ，
所以 ，
，
可得数列 是首项为2，公比为 的等比数列，
则数列 的各项和为 ．
故答案为： ．
21．（2021•新高考Ⅰ）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对
称轴把纸对折．规格为 的长方形纸，对折 1 次共可以得到 ，
两种规格的图形，它们的面积之和 ，对折 2 次共可以得到
， ， 三种规格的图形，它们的面积之和 ，
以此类推．则对折 4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折 次，那么
．
【解析】易知有 ， ，共5种规格；
由题可知，对折 次共有 种规格，且面积为 ，故 ，
则 ，记 ，则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分14百】，
，
．
故答案为：5； ．
22．（2023•新高考Ⅱ）已知 为等差数列， ，记 ， 为 ，
的前 项和， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明：当 时， ．
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
， 为 的前 项和， ， ，
则 ，即 ，解得 ，
故 ；
（2）证明：由（1）可知， ，
，
当 为偶数时， ，
，
，
当 为奇数时， ， ，
，
故原式得证．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分15百】23．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记 ，
分别为数列 ， 的前 项和．
（1）若 ， ，求 的通项公式；
（2）若 为等差数列，且 ，求 ．
【解析】（1） ， ，
根据题意可得 ，
，
，又 ，
解得 ， ，
， ；
（2） 为等差数列， 为等差数列，且 ，
根据等差数列的通项公式的特点，可设 ，则 ，且 ；
或设 ，则 ，且 ，
①当 ， ， 时，
则 ，
， ，又 ，
解得 ；
②当 ， ， 时，
则 ，
， ，又 ，
此时 无解，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分16百】综合可得 ．
24．（2021•新高考Ⅰ）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和．
【解析】（1）因为 ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，
， ，
所以数列 是以 为首项，以3为公差的等差数列，
所以 ．
另解：由题意可得 ， ，
其中 ， ，
于是 ， ．
（2）由（1）可得 ， ，
则 ， ，
当 时， 也适合上式，
所以 ， ，
所以数列 的奇数项和偶数项分别为等差数列，
则 的前20项和为
．
25．（2020•海南）已知公比大于1的等比数列 满足 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 ．
【解析】（1）设等比数列 的公比为 ，
则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分17百】， ，
．
（2）令 ，则 ，
所以 ，
所以数列 是等比数列，公比为 ，首项为8，
，
．
26．（2020•山东）已知公比大于1的等比数列 满足 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 在区间 ， 中的项的个数，求数列 的前100项和 ．
【解析】（1）设等比数列 的公比为 ，
， ，
，
解得 或 （舍去），
，
，
（2）记 为 在区间 ， 中的项的个数，
，
，
故 ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
可知0在数列 中有1项，1在数列 中有2项，2在数列 中有4项， ，
由 ，
可知 ， ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分18百】数列 的前100项和 ．
27．（2020•浙江）已知数列 ， ， 满足 ， ，
．
（Ⅰ）若 为等比数列，公比 ，且 ，求 的值及数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 为等差数列，公差 ，证明： ， ．
【解析】（Ⅰ）解：由题意， ， ，
， ，
整理，得 ，
解得 （舍去），或 ，
，
数列 是以1为首项，4为公比的等比数列，
， ．
，
则 ，
，
，
，
各项相加，可得
．
（Ⅱ）证明：依题意，由 ，可得
，
两边同时乘以 ，可得
，
，
数列 是一个常数列，且此常数为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分19百】，
，
又 ， ，
，
，
，故得证．
考点八 数列与不等式的综合
28．（2022•新高考Ⅰ）记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差
数列．
（1）求 的通项公式；
（2）证明： ．
【解析】（1）已知 ， 是公差为 的等差数列，
所以 ，整理得 ，①，
故当 时， ，②，
① ②得： ，
故 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分20百】化简得： ， ， ， ， ；
所以 ，
故 （首项符合通项）．
所以 ．
证明：（2）由于 ，
所以 ，
所以 ．
考点九 数列与函数的综合
29．（2023•上海）已知 ，在该函数图像 上取一点 ，过点 ， 做函数
的切线，该切线与 轴的交点记作 ，若 ，则过点 ， 做函数
的切线，该切线与 轴的交点记作 ，以此类推 ， ， ，直至 停止，由这
些项构成数列 ．
（1）设 属于数列 ，证明： ；
（2）试比较 与 的大小关系；
（3）若正整数 ，是否存在 使得 、 、 、 、 依次成等差数列？若存在，求
出 的所有取值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）证明： ，
则过点 ， 的切线的斜率为 ，
由点斜式可得，此时切线方程为 ，即 ，
令 ，可得 ，
根据题意可知， ，即得证；
（2）先证明不等式 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分21百】设 ，则 ，
易知当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
则 （1） ，即 ，
结合（1）可知， ；
（3）假设存在这样的 符合要求，
由（2）可知，数列 为严格的递减数列， ，2，3， ， ，
由（1）可知，公差 ， ，
先考察函数 ，则 ，
易知当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
则 至多只有两个解，即至多存在两个 ，使得 ，
若 ，则 ，矛盾，则 ，
当 时，设函数 ，
由于 ， ，
则存在 ，使得 ，
于是取 ， ， ，它们构成等差数列．
综上， ．
30．（2019•浙江）设等差数列 的前 项和为 ， ， ．数列 满足：对
每个 ， ， ， 成等比数列．
（Ⅰ）求数列 ， 的通项公式；
（Ⅱ）记 ， ，证明： ， ．
【解析】（Ⅰ）设数列 的公差为 ，
由题意得 ，
解得 ， ，
， ．
， ，
数列 满足：对每个 ， ， ， 成等比数列．
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分22百】解得 ，
解得 ， ．
（Ⅱ）证明： ， ，
用数学归纳法证明：
①当 时， ，不等式成立；
②假设 ， 时不等式成立，即 ，
则当 时，
，
即 时，不等式也成立．
由①②得 ， ．
考点十 数列的应用
32．（2022•新高考Ⅱ）图1是中国古代建筑中的举架结构， ， ， ， 是桁，
相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中
， ， ， 是举， ， ， ， 是相等的步，相邻桁的举步之比分
别为 ， ， ， ．已知 ， ， 成公差为0.1的等差数
列，且直线 的斜率为0.725，则
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【解析】设 ，则 ， ， ，
由题意得： ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分23百】且 ，
解得 ，
故选： ．
33．（2022•上海）已知等比数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，则下列选项判断
正确的是
A．若 ，则数列 是递增数列
B．若 ，则数列 是递增数列
C．若数列 是递增数列，则
D．若数列 是递增数列，则
【解析】如果数列 ，公比为 ，满足 ，但是数列 不是递增数列，所
以 不正确；
如果数列 ，公比为 ，满足 ，但是数列 不是递增数列，所以 不正
确；
如果数列 ，公比为 ， ，数列 是递增数列，但是
，所以 不正确；
数列 是递增数列，可知 ，可得 ，所以 ，可得 正确，所以
正确；
故选： ．
34．（2020•上海）已知数列 为有限数列，满足 ，则
称 满足性质 ．
（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质 ，请说明理由；
（2）若 ，公比为 的等比数列，项数为10，具有性质 ，求 的取值范围；
（3）若 是1，2，3， ， 的一个排列 ， 符合 ，2， ，
， 、 都具有性质 ，求所有满足条件的数列 ．
【解析】（1）对于数列3，2，5，1，有 ， ， ，满足题意，该
数列满足性质 ；
对于第二个数列4、3、2、5、1， ， ， ．不满足题意，该数列
不满足性质 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分24百】（2）由题意： ，可得： ， ，3， ， ，
两边平方可得： ，
整理可得： ，当 时，得 此时关于 恒成立，
所以等价于 时， ，
所以， ，所以 ，或 ，所以取 ，
当 时 ， 得 ， 此 时 关 于 恒 成 立 ， 所 以 等 价 于 时 ，
，
所以 ，所以 ，所以取 ．
当 时： ，
当 为奇数时，得 ，恒成立，当 为偶数时， ，不恒成立；
故当 时，矛盾，舍去．
当 时，得 ，当 为奇数时，得 ，恒成立，
当 为偶数时， ，恒成立；故等价于 时， ，
所以 ，所以 或 ，所以取 ，
综上 ， ．
（3）设 ， ，4， ， ， ，
因为 ， 可以取 ，或 ， 可以取 ，或 ，
如果 或 取了 或 ，将使 不满足性质 ；所以 的前5项有以下组合：
① ， ； ； ； ；
② ， ； ； ； ；
③ ， ； ； ； ；
④ ， ； ； ； ；
对于①， ， ， ，与 满足性质 矛盾，舍去；
对于②， ， ， ， 与 满足性质 矛盾，舍去；
对于③， ， ， ， 与 满足性质 矛盾，舍去；
对于④ ， ， ，与 满足性质 矛盾，舍去；
所以 ，4， ， ， ，均不能同时使 、 都具有性质 ．
当 时，有数列 ，2，3， ， ， 满足题意．
当 时，有数列 ， ， ，3，2，1满足题意．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分25百】当 时，有数列 ，1，3， ， ， 满足题意．
当 时，有数列 ， ， ， ， ，3，2，1满足题意．
所以满足题意的数列 只有以上四种．
35．（2019•上海）数列 有 100 项， ，对任意 ， ，存在
， ， ，若 与前 项中某一项相等，则称 具有性质 ．
（1）若 ， ，求 所有可能的值；
（2）若 不为等差数列，求证：数列 中存在某些项具有性质 ；
（3）若 中恰有三项具有性质 ，这三项和为 ，使用 ， ， 表示 ．
【解析】（1） 数列 有100项， ，对任意 ， ，存在 ， ，
，
若 ， ，则当 时， ，
当 时， ， ，则 或 ，
当 时， ， ，则 或 或 或
的所有可能的值为：3，5，7；
（2） 不为等差数列，
数列 存在 使得 不成立，
对任意 ， ，存在 ， ， ；
存在 ， ，使 ，则
对于 ， ， ，存在 ，使得 ，
因此 中存在具有性质 的项；
（3）由（2）知，去除具有性质 的数列 中的前三项，则数列 的剩余项均不相等，
对任意 ， ，存在 ， ， ，则
一定能将数列 的剩余项重新排列为一个等差数列，且该数列的首项为 ，公差为 ，
．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分26百】
