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专题 07 坐标法、极化恒等式在平面向量中的应用
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题型01 坐标法...........................................................................................................................................................1
题型02 极化恒等式...................................................................................................................................................9
题型03 平面向量中的最值（范围）问题.............................................................................................................13
题型 01 坐标法
【解题规律·提分快招】
1、建系的常见技巧
（1）前言
坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标。对于条件中包含向量夹角与长
度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目
的。
（2）技巧
①涉及到含有垂直的图形，如长方形、正方形、直角三角形、等边三角形、直角梯形、菱形的对角线等
等；
②虽然没有垂直，但有特殊角，如30°、45°、60°、120°、135°等等。
y a 3 y y
C ( 2 , 2 a) y
C (bcosθ，bsinθ) D(0,b) C(a,a)
D
(0，asinθ) C(a-acosθ，asinθ)
θ
A B(a, 0) x A B (a, 0) x A B(a, 0) x A B(a, 0) x
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知A，B，C是单位圆上不同的三点， ，则
的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】令 ， ，进而有 ，应用向量数量积的坐标表示得，结合三角函数关系及二次函数的性质求最值.
【详解】不妨令 ， ，又 ，则 ，
所以
，
当 时， 的最小值为 .
故选：C
2．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为 的等边 ，动点 在以 为直径的半圆上.若
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，可得半圆弧 的方程为： ，设 ，根据向量的坐
标运算法则算出 关于 的式子，利用三角换元与正弦函数的性质求解即可．
【详解】由题意可以 所在直线为x轴， 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示：结合已知得 ，B(−2,0)， ，
半圆弧 的方程为： ，
设 ，则 ， ， ，
由 得： ，
解得： ，
所以 ，
因为 在 上，所以 ，
又 ，
则可设 ， ， ，
将 ， 代入 整理得：
，
由 得 ，
所以 ， ，
故 的取值范围是 .
故选：D.
3．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）四边形 是边长为4的正方形，点 是正方形内的一点，且
满足 ，则 的最大值是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意建立直角坐标系，设P(x,y)，写出 坐标，可得点 的轨迹方程，进而可求出
的最大值.
【详解】根据题意，建立如图所示的直角坐标系，
设P(x,y), .
所以 , , , ,
所以 ,
因为 ,
即 ,
故点 在以点 为圆心，半径为 的圆周上运动，
所以 的最大值为 .
故选：D.
二、填空题
4．（2024高三·全国·专题练习）在边长为1的正方形 中，点 为线段 的三等分点，
，则 ； 为线段 上的动点， 为 中点，则 的最
小值为 ．
【答案】【分析】解法一：以 为基底向量，根据向量的线性运算求 ，即可得 ，设 ，求
，结合数量积的运算律求 的最小值；
解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求 ，即可得 ，设 ，求 ，结
合数量积的坐标运算求 的最小值.
【详解】解法一：以 为基底向量，根据向量的线性运算求 ，即可得 ，设 ，求
，结合数量积的运算律求 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求 ，即
可得 ，设 ，求 ，结合数量积的坐标运算求 的最小值.
解法一：因为 ，即 ，则 ，
可得 ，所以 ；
由题意可知： ，
因为 为线段 上的动点，设 ，
则 ，
又因为 为 中点，则 ，
可得
，
又因为 ，可知：当 时， 取到最小值 ；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则 ，
可得 ，
因为 ，则 ，所以 ；
因为点 在线段 上，设 ，
且 为 中点，则 ，
可得 ，
则 ，
且 ，所以当 时， 取到最小值为 ；
故答案为： ； .
5．（24-25高三上·青海西宁·期中）已知向量 ， ， 满足 ， ， ，
.若 恒成立，则 的最大值为 .
【答案】 /
【分析】根据 可得 ，即可建立直角坐标系，根据数量积的坐标运算可得 在以
为圆心， 为半径的圆上，即可根据共线求解.
【详解】因为 ，结合 ，所以 .
建立如图所示的平面直角坐标系，
使得 ， .令 ，则 ， ，
代入 ，整理得 ，
所以点 在以 为圆心， 为半径的圆上.
因为 ，点 在圆 内，所以 ，
当且仅当点 在 的延长线上时，等号成立.
若 恒成立，则 ，所以 的最大值为 .
故答案为：
6．（24-25高三上·湖南·阶段练习）设 为单位向量，向量 满足 ，则当 与 的
夹角最大时， ．
【答案】5
【分析】令 ， ，利用余弦定理及向量模长的
坐标表示得 ，即 ，再由等面积法、向量数量积定义有 与 的夹角最大，即 最小，进
而由 ，即可求值.
【详解】因为 为单位向量，向量 满足 ，
所以可令 ，如下图示，
易知 ，若 ，故 ，
而 ，即 ，
所以 ，又 ，
所以 ，要 与 的夹角最大，即 最大，即 最小，
由 ，当且仅当 时取等号，
所以当 与 的夹角最大时， .
故答案为：5【点睛】关键点点睛：利用正余弦定理及向量模长的坐标表示、及数量积的定义确定 与 的夹角最大，
即 最小为关键.
7．（24-25高三上·天津河东·期末）在等腰梯形 中， ， 是腰 的中
点，则 的值为 ；若 是腰 上的动点，则 的最小值为 ．
【答案】 −8
【分析】作出辅助线，求出各边长，建立平面直角坐标系，得到 ，求出 ，设
， ，故 ，求出 ，故
，从而得到最小值.
【详解】过点 作 ⊥ 于点 ，
因为等腰梯形 中， ，
所以 ，由勾股定理得 ，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
故 ，
是腰 的中点，故 ，
所以 ，
设 ， ， ，
则 ，故 ， ，
故 ，
，
故
，故当 时， 取得最小值，最小值为 .
故答案为：−8，
题型 02 极化恒等式
【解题规律·提分快招】
1、极化恒等式
设a，b是平面内的两个向量，则有
证明： ，① ，②
将两式相减可得 ，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．
①几何解释1（平行四边形模型）以 ， 为一组邻边构造平行四边形 ， ，则
，由 ，得 ．
即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的 ”．
②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由
变形为 ，得 ，
该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们
从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量
与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·山东日照·期末）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，
以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的
勒洛三角形中，已知 ，P为弧AC（含端点）上的一点，则 的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量数量积的运算量，结合 即可求解.
【详解】取 中点为 ，连接 ，显然 ，
所以
.
故选：A
2．（2024高三·全国·专题练习）已知正六边形 的边长为4，圆 的圆心为该正六边形的中心，
圆 的半径为2，圆 的直径 ，点 在正六边形的边上运动，则 的最小值为（ ）A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根据 ，结合正六边形的性质求解 的范围即可.
【详解】如图所示，由正六边形的几何性质可知， ， ， ， ， ， 均
是边长为4的等边三角形，
当点 位于正六边形 的顶点时， 取最大值4，
当点 为正六边形各边的中点时， 取最小值，即 ，
所以 ．
所以 ，
即 的最小值为8．
故选：D
3．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知在 中， 是边 上一定点，满足 ，且对于边
上任意一点 ，都有 ，则 是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定
【答案】A
【分析】取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ，根据向量的线性运算计算向量 并计算
，同理计算 ，
根据不等关系可得出对于边 上任意一点 都有 ，从而确定 ，从而得到结果.
【详解】取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， （如图所示），则
，
同理 ，
因为 ，所以 ，
即 ，所以对于边 上任意一点 都有 ，
因此 ，
又 ， 为 中点， 为 中点，
所以 ，所以 ，
即 ，所以 ，即 为钝角三角形.
故选：A．
二、填空题
4．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知棱长为2的正方体 ，点P是其表面上的动点，
该正方体内切球的一条直径是MN，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用极化恒等式化 为 ，从而转化为动点 到正方体中心的最大与最小距离问
题，从而即可求解.
【详解】
设内切球的球心为 ，
由 ，已知正方体 的棱长为2，所以内切球的直径 ，
所以 ，由于点P是正方体 表面上的动点，
可知： ，即 ，
故答案为： .
5．（2024·河南·模拟预测）如图，已知 ， 是圆O的两条直径，E是 的中点，F是 的中点，
若 ，则 .
【答案】 /1.1875
【分析】利用极化恒等式将 化简成含有半径 的式子，即可转化成 的形式，可得
结果.
【详解】设圆 的半径为 ，
由题意得
，
且
， ，
所以 ，所以 .
故答案为：
题型 03 平面向量中的最值（范围）问题
【解题规律·提分快招】
平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．
其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解题思路通常有两种：
一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根
据平面图形的特征直接进行判断；
二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、
方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决．
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·天津河北·二模） 是等腰直角三角形，其中 ， 是 所在平面内的
一点，若 （ 且 ），则 在 上的投影向量的长度的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量共线定理的推论，投影向量的概念，数形结合，即可求解．
【详解】设 ， （ 且 ），
则 （ 且 ），
则 在线段 上，如图所示，
当 与 重合时， 在 上的投影向量的长度取得最大值，最大值为 ；
当 与 重合时， 在 上的投影向量的长度取得最小值，最小值为 ；
则 在 上的投影向量的长度的取值范围是 ．
故选：B.
2．（2024·四川泸州·一模）已知平面向量 ，则 的最小值是
（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】由题设 分别在以 为原点，半径为 的圆上运动，且 ，数形结合及向量加法的几何意义确定 的范围，即可得答案.
【详解】由题设， 分别在以 为原点，半径为 的圆上运动，且 ，
所以 ，若 是 的中点，则 ，而 ，如下图示，
由图知， ，而 ，即 .
所以 的最小值是 .
故选：D.
3．（23-24高三下·山西·期末）已知O为 的外心，且 ．若向量 在向量
上的投影向量为 ，其中 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得到 ，过 作 的垂线 ，由 在 上的投影向量为 ，求得
，又由 ，得到 ，结合 ，即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
又因为O为 的外心，所以 为直角三角形且 ，O为斜边BC的中点，
过 作 的垂线 ，垂足为 ，
因为 在 上的投影向量为 ，所以 在 上的投影向量为 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 的取值范围为 ．
故选：D.
4．（23-24高三下·广东广州·期末）已知平面向量 ， ， ，且 ， .已知向量 与 所成的角为
60°，且 对任意实数 恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】 对任意实数 恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，用判别式来解，
算出 ，借助 ，得到 ， 的最小值转化为 的最小
值，最后用绝对值的三角不等式来解即可
【详解】根据题意， ，
，两边平方 ，整理得到 ，
对任意实数 恒成立，则 ，解得 ，则 .
由于 ，如上图， ，则
，则 的最小值为 ．当且仅当 终点在同一直线上时取等号.
故选：B．
5．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在平面四边形 中，
，点 是线段 上的一点，且 ，点
是线段 上的一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据余弦定理求解 长度，进而可得 ， ． 是等边三角形，建
立直角坐标系，利用向量的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解
【详解】以 为原点， 所在的直线分别为 轴， 轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
连接 ，在 中，由余弦定理得
．所以 ，
所以 ．而 ，所以 ．
连接 ，在 中，由余弦定理得
．所以 ，
所以 ．在 中， ，
所以三角形 是等边三角形，所以 ，
所以 ．设P(x,y)，令 ，
即 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以当 时， 有最小值为 ．故选:B．
6．（24-25高三上·湖北武汉·期中）已知 为 的外接圆圆心， ， ，则 的
最大值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】得到 ， 为等边三角形， ，变形得到
，当 三点共线，即 时，
取得最大值，最大值为6.
【详解】因为 为 的外接圆圆心， ，
所以 ，
因为 ，所以 为等边三角形，
故 ，
，
当 三点共线，即 时， 取得最大值，
最大值为 .
故选：B
7．（24-25高三上·吉林松原·期末）设向量 的夹角为 ，定义： .若平面内互不相等
的两个非零向量 满足： ， 与 的夹角为 ，则 的最大值为（ ）A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ， ，则 ，由题意 中， ， ，外接圆的半径为1，
设 ，由正弦定理可得， ， ，则
，利用三角恒等变换整理化简后再由三角函数的性质求解即可.
【详解】设 ， ，则 ，
因为 ， 与 的夹角为 ，
所以 中， ， ，如图所示，
由正弦定理可得 外接圆的半径为1，
则 为圆上与 不重合的动点.
设 （ ），
由正弦定理可得， ， ，
则
，
所以当 ，即 时， 取得最大值，且最大值为 ，
故选：B
二、填空题
8．（23-24高三下·四川德阳·阶段练习）边长为4的正方形 ，点 在正方形内（含边界），满足，当点 在线段 上时，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，求出 线段方程，由 在线段 上可得 ，利用二次函数值域计
算即可得出结果.
【详解】建立平面直角坐标系如图所示，根据题意可得：
， ， ， ，
设 为 ，则 ， ， ，
因为 ，
所以 ， ， ， ，所以 ，
易知 线段方程为： ， ， ，
因为点 在 上，所以 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ， ， ， ，
则 ，
当 时取得最小值为 .
故答案为：
9．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）A、B、C三点在半径为1的圆O上运动，且 ，M是圆O
外一点， ，则 的最大值是 .
【答案】14
【分析】根据圆的几何性质、向量运算以及绝对值三角不等式，由此求得正确答案.
【详解】连接 ，如下图所示：
因为 ，则 为圆 的一条直径，故 为 的中点，
所以， ，所以
，
，
当且仅当 共线且 同向时，等号成立．
故答案为：
10．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知 是边长为 的正三角形，点 是 所在平面内
的一点，且满足 ，则 的最小值是 .
【答案】3
【分析】设 的重心为 ，则 ，从而得到 ，点 的轨迹是以 为圆心，1
为半径的圆，数形结合得到最小值.
【详解】设 的重心为 ，
则 ，
因为 ，所以 ，故 ，
故点 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
又 ，所以 的最小值为 .
故答案为：3
11．（2024·全国·模拟预测）已知 与 为相反向量，若 ， ，则 ， 夹
角的余弦的最小值为 ．
【答案】-1【分析】先根据向量模长相关不等式得到 ，解出 ，设 ，
， 夹角为 ，将 两边平方，得到 ，结合 ，求出
，得到答案.
【详解】 ，故 ，
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，解得： ，
不妨设 ， ， 夹角为 ，则 ，
两边平方得： ，
即 ，解得： ，
因为 ，所以 ，
故 ， 夹角的余弦的最小值为-1.
故答案为：-1
12．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知 、 为单位向量，当 与 夹角最大时， = .
【答案】 /0.5
【分析】方法一：利用向量夹角公式，结合换元法及求二次函数最值分析求解即可得；
方法二：画图分析即可.
【详解】方法一：设 的夹角为 ，
则
，
令 ，则 ，
当 取最小值时，两向量 与 夹角最大，
所以当 ，即 时，两向量 与 夹角最大，此时 .
故答案为： .
方法二：由图所示：
可知 与 夹角最大为 ，所以 ，
故答案为： .
13．（23-24高三下·浙江·期中）已知平面向量 ，其中 为单位向量．若 与 的
夹角为 ，记 为 的最小值，则 的最大值是 ．
【答案】
【分析】根据 ， 可得四点共圆，即可共线得 ，结合图形
即可求解最值.
【详解】令 ， ， ，
为单位向量． ， 则 ，
由于 与 的夹角为 ，所以 ，
，故不妨取 ， ， 四点共圆情况， ,
外接圆的直径为 ， 在优弧 上，， 表示起点为 ，终点在直线 上的向量 ，
由于
，
到 的距离为 ，
设 到 的最大距离为
由于 为 的最小值，则当 时 最小，
故 的最大值为 ，此时 过圆心且
故答案为： ．
一、单选题
1．（河南省部分校2024-2025学年高三上学期联考数学试题）铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方
孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形 的边长为2，圆 的半径为3，正方形 的中心与圆
的圆心重合，动点 在圆 上，则 的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
【答案】B
【分析】取 的中点 ，连接 ，由向量的加法和数量积结合图形运算即可；
【详解】取 的中点 ，连接 （图略），则
．
因为正方形 的边长为2，圆 的半径为3，正方形 的中心与圆 的圆心重合，
所以 ，所以 ．
故选：B.
2．（23-24高三下·河北保定·期中）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求外接圆半径，将 置于圆中，利用图形线段关系得到 ，结
合数量积的运算律及已知求得 ，进而求最值．
【详解】由题设， 外接圆的半径 ，如下图，
由 ，则 ，令 ，且 ，
又 ， ，
所以 ，
则 ，
当 ，即 时， 有最小值 .
故选：D
3．（2024·天津和平·二模）平面四边形ABCD中， ， ， ， ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】由已知，得 ， ， ， 四点共圆，从而判断点 的轨迹是以 为弦，圆周角为 的劣弧
（不含 ， 两点），根据数量积的几何意义，得出结论．
【详解】由 ， ， ，
可得 ，故 ，
又 ，所以 ，
以 为直径作圆，则 ， ， ， 四点共圆，
如图所示，故点 的轨迹是以 为弦，圆周角为 的劣弧（不含 ， 两点），
则 ，
又 表示 在 上的投影，
由图可知， ， ，
故 （此时点 在劣弧 的中点位置），
即 的最小值为 ．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：①由 ，得到 ， ， ， 四点在以 为直径的圆上，
② 看作是 在 上的投影,结合图形特征可得投影的取值范围.
4．（23-24高三下·江苏徐州·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆
上(正方形ABCD内部，含边界)，则 的取值范围为（ ）
A．(0,4) B．[0,4] C．(0,2) D．【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，求出 的坐标，再由平面向呈的坐标运算结合三角函数的有界性计
算即可求得.
【详解】如图，以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴建立平面直角坐标系，
则 ，
则以AB为直径的半圆为 ，
因为动点P在以AB为直径的半圆上，所以 ，
所以 ，
所以
，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 的取值范围为[0,4].
故选：B
5．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）过双曲线 的右支上一点 ，分别向
和 作切线，切点分别为 ，则 的最小值为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．32
【答案】C
【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，且双曲线左右焦点为两圆圆心，连接 ，应用
勾股定理及双曲线定义及已知确定相关线段和差最值，即可求结果.【详解】由题设 中圆心 ，半径 ，
中圆心 ，半径 ，
根据双曲线方程知其左右焦点为 ，连接 ，
所以 ，
所以
，
，
当且仅当 为双曲线右顶点时等号成立，
故 的最小值为30.
故选：C.
6．（2024·湖北黄冈·一模）已知向量 ，且 ，则 与 夹角的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先得到 的夹角为 ，设 ， ，故 ，设 ，由
得到 ，设 ，设 夹角为 ，表达出
，换元后得到 ，由对勾函数性质得到其值域，从而确定
，得到夹角最大值.
【详解】因为 ，所以 ，解得 ，故 ，设 ， ，则 ，
设 ，则 ，
则 ，即 ，
设 ，
设 夹角为 ，则 ，
令 ，则 ，
则 ，令 ，则 ，
则 ，
其中 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， 取得最小值，最小值为 ，
当 或3时， 取得最大值，最大值为1，
故 ，
由于 在 上单调递减，故 ，
与 夹角的最大值为 .
故选：A
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的
特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解
等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
二、填空题
7．（23-24高三下·湖北·阶段练习）若 ，且 为锐角，则实数 的取值范围
是 .【答案】
【分析】把 为锐角转化为 与 的夹角为锐角，然后利用数量积列不等式组求解即可.
【详解】因为 为锐角，所以 与 的夹角为锐角，
又 ，所以 ，
解得 且 .
故答案为： .
8．（2025高三·全国·专题练习）设 为单位向量，非零向量 ，x，y为实数，若 的夹角
为 ，则 的最大值是 .
【答案】2
【分析】求出 ，进而求出 ，将 转化为以 为未知量的函数问题，求出最大值即可.
【详解】因为 ， 的夹角为 ，
所以 ，则 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， 取最大值， ，
综上： 的最大值是2.
故答案为：2
9．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知圆 和两点 ､ ，若
圆 上至少存在一点 ，使得 ，则实数 的取值范围是 .
【答案】【分析】根据题意可知，圆 与圆 的位置关系为相交､内切或内含，利用圆心距和两圆
半径之间的关系即可求得 .
【详解】圆 的圆心 ，半径为 ，
由 ，得 ，而 、 ，
则点 在以线段 为直径的圆 内，又点 在圆 上，
因此圆 与圆 相交或内切或内含，即 ，又 ，
于是 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
10．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）在等腰梯形ABCD中， ， ， ，P是腰
AD上的动点，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，设出点 坐标，利用数量积的坐标运算结合二次函数的最值求解即可．
【详解】等腰梯形ABCD中， ， ， ，
故梯形的高为 ，
根据题意，以 为坐标原点，射线 为 轴正半轴建立直角坐标系，如图所示，
则 ， ，设 ，其中 ，
，
则 ，
则 ，
则当 时， 取得最小值27，
则 的最小值 ．
故答案为： ．11．（23-24高三下·辽宁朝阳·阶段练习）在 中， ， ， ，点P是 内
一点（含边界），若 ，则 的最大值为 .
【答案】 /
【分析】建立如图平面直角坐标系，根据向量的坐标运算可得 ，当直线 与直线
相交时 最大，即可求解.
【详解】以A原点，以 所在直线为 轴，建立如图平面直角坐标系，
由 ，得 ，
设 ，
因为 ，
所以 ，得 ，
所以 ，又直线 的方程为 ，
由 ，解得 ，此时 最大，
所以 .
故答案为：
12．（23-24高三下·贵州·期中）在梯形 中， ，梯形
外接圆圆心为 ，圆上有一个动点 ，求 的取值范围 ．
【答案】【分析】根据单位向量的概念与数量积的定义，求出 ，结合在梯形 中， ，和
圆内接四边形对角互补，可得梯形 为等腰梯形，且AB中点为梯形 的外接圆圆心，再建立平
面直角坐标系进行求解即可.
【详解】
由 ，得 ，则 ，
又在梯形 中， ，则 ，
结合圆内接四边形对角互补可得 ，所以梯形 是等腰梯形．
又 ，取 中点 ，可得， ，
即为梯形 外接圆圆心 ，
所以，梯形 外接圆以 为圆心，2为半径的圆.
以 所在的直线为 轴， 的中垂线为 轴，建立平面直角坐标系，如图：
设 是 角的终边，又因为点 在圆 上，所以 ，即
又A(−2,0)， ，
，
由 ，则 ，故 ．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定梯形 外接圆的圆心 所在位置，主要考查了圆内接四边形
的性质，平面向量的数量积的定义与运算性质，以及 角的终边与圆交点的坐标表示，属于较难题.
13．（2024·广东·模拟预测）设A，B，C三点在棱长为2的正方体的表面上，则 的最小值为
．
【答案】
【分析】法一：可初步确定 点所在的平面，作 ， 在这个面的射影 ， ，利用
把空间向量问题转化为平面向量问题，结合向量数量积的性质和基本不等式求最
小值.
法二：建立空间直角坐标系，不妨假设A在平面 中，设 ， ， ，和 分别是点 ， 在平面 上的投影，利用向量不等式可得：
，即可求解.
【详解】法一：如图：
不防设点 在正方体的下底面内， ， 在正方体的表面的任何位置，它们在下底面的射影分别为 ， .
则 ， .所以 ， ， .
所以
（当 与 方向相反时取“ ”）.
又 （当且仅当 时取“ ”）.
分析两个“ ”成立的条件，可知 为 中点时， 有最小值.
此时 （当 为下底面的面对角线时取“ ”）.
所以 ，
（当 位于下底面中心， ， 在下底面的射影是下底面的面对角
线端点时取“ ”）.
法二：将正方体置于空间直角坐标系 中，且A在平面 中，点 和点 的连线是一条体对
角线．设 ， ， ，
和 分别是点 ， 在平面 上的投影．
可得 ， ， ，
则
，
因为 ，
当且仅当点C为 的中点时，等号成立，
可得 ，
所以 ，当 ， ，且 时等号成立．
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用 ，把空间向量的数量积转化成
平面向量的数量积，“降维”是解决该题的关键思想.
