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专题 07 坐标法、极化恒等式在平面向量中的应用
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题型01 坐标法...........................................................................................................................................................1
题型02 极化恒等式...................................................................................................................................................2
题型03 平面向量中的最值（范围）问题...............................................................................................................4
题型 01 坐标法
【解题规律·提分快招】
1、建系的常见技巧
（1）前言
坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标。对于条件中包含向量夹角与长
度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目
的。
（2）技巧
①涉及到含有垂直的图形，如长方形、正方形、直角三角形、等边三角形、直角梯形、菱形的对角线等
等；
②虽然没有垂直，但有特殊角，如30°、45°、60°、120°、135°等等。
y a 3 y y
C ( 2 , 2 a) y
C (bcosθ，bsinθ) D(0,b) C(a,a)
D
(0，asinθ) C(a-acosθ，asinθ)
θ
A B(a, 0) x A B (a, 0) x A B(a, 0) x A B(a, 0) x
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知A，B，C是单位圆上不同的三点， ，则
的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
2．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为 的等边 ，动点 在以 为直径的半圆上.若，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）四边形 是边长为4的正方形，点 是正方形内的一点，且
满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2024高三·全国·专题练习）在边长为1的正方形 中，点 为线段 的三等分点，
，则 ； 为线段 上的动点， 为 中点，则 的最
小值为 ．
5．（24-25高三上·青海西宁·期中）已知向量 ， ， 满足 ， ， ，
.若 恒成立，则 的最大值为 .
6．（24-25高三上·湖南·阶段练习）设 为单位向量，向量 满足 ，则当 与 的
夹角最大时， ．
7．（24-25高三上·天津河东·期末）在等腰梯形 中， ， 是腰 的中
点，则 的值为 ；若 是腰 上的动点，则 的最小值为 ．题型 02 极化恒等式
【解题规律·提分快招】
1、极化恒等式
设a，b是平面内的两个向量，则有
证明： ，① ，②
将两式相减可得 ，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．
①几何解释1（平行四边形模型）以 ， 为一组邻边构造平行四边形 ， ，则
，由 ，得 ．
即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的 ”．
②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由
变形为 ，得 ，
该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．
注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们
从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量
与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·山东日照·期末）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，
以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的
勒洛三角形中，已知 ，P为弧AC（含端点）上的一点，则 的范围为（ ）A． B． C． D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知正六边形 的边长为4，圆 的圆心为该正六边形的中心，
圆 的半径为2，圆 的直径 ，点 在正六边形的边上运动，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知在 中， 是边 上一定点，满足 ，且对于边
上任意一点 ，都有 ，则 是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定
二、填空题
4．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知棱长为2的正方体 ，点P是其表面上的动点，
该正方体内切球的一条直径是MN，则 的取值范围是 ．
5．（2024·河南·模拟预测）如图，已知 ， 是圆O的两条直径，E是 的中点，F是 的中点，
若 ，则 .题型 03 平面向量中的最值（范围）问题
【解题规律·提分快招】
平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．
其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围
等，解题思路通常有两种：
一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根
据平面图形的特征直接进行判断；
二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、
方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决．
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·天津河北·二模） 是等腰直角三角形，其中 ， 是 所在平面内的
一点，若 （ 且 ），则 在 上的投影向量的长度的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川泸州·一模）已知平面向量 ，则 的最小值是
（ ）
A．1 B．2 C． D．3
3．（23-24高三下·山西·期末）已知O为 的外心，且 ．若向量 在向量
上的投影向量为 ，其中 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高三下·广东广州·期末）已知平面向量 ， ， ，且 ， .已知向量 与 所成的角为
60°，且 对任意实数 恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在平面四边形 中，
，点 是线段 上的一点，且 ，点是线段 上的一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·湖北武汉·期中）已知 为 的外接圆圆心， ， ，则 的
最大值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
7．（24-25高三上·吉林松原·期末）设向量 的夹角为 ，定义： .若平面内互不相等
的两个非零向量 满足： ， 与 的夹角为 ，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
8．（23-24高三下·四川德阳·阶段练习）边长为4的正方形 ，点 在正方形内（含边界），满足
，当点 在线段 上时，则 的最小值为 .
9．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）A、B、C三点在半径为1的圆O上运动，且 ，M是圆O
外一点， ，则 的最大值是 .
10．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知 是边长为 的正三角形，点 是 所在平面内
的一点，且满足 ，则 的最小值是 .
11．（2024·全国·模拟预测）已知 与 为相反向量，若 ， ，则 ， 夹
角的余弦的最小值为 ．
12．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知 、 为单位向量，当 与 夹角最大时， = .
13．（23-24高三下·浙江·期中）已知平面向量 ，其中 为单位向量．若 与 的
夹角为 ，记 为 的最小值，则 的最大值是 ．一、单选题
1．（河南省部分校2024-2025学年高三上学期联考数学试题）铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方
孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形 的边长为2，圆 的半径为3，正方形 的中心与圆
的圆心重合，动点 在圆 上，则 的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
2．（23-24高三下·河北保定·期中）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·天津和平·二模）平面四边形ABCD中， ， ， ， ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·江苏徐州·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆
上(正方形ABCD内部，含边界)，则 的取值范围为（ ）
A．(0,4) B．[0,4] C．(0,2) D．
5．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）过双曲线 的右支上一点 ，分别向
和 作切线，切点分别为 ，则 的最小值为（ ）A．28 B．29 C．30 D．32
6．（2024·湖北黄冈·一模）已知向量 ，且 ，则 与 夹角的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（23-24高三下·湖北·阶段练习）若 ，且 为锐角，则实数 的取值范围
是 .
8．（2025高三·全国·专题练习）设 为单位向量，非零向量 ，x，y为实数，若 的夹角
为 ，则 的最大值是 .
9．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知圆 和两点 ､ ，若
圆 上至少存在一点 ，使得 ，则实数 的取值范围是 .
10．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）在等腰梯形ABCD中， ， ， ，P是腰
AD上的动点，则 的最小值为 .
11．（23-24高三下·辽宁朝阳·阶段练习）在 中， ， ， ，点P是 内
一点（含边界），若 ，则 的最大值为 .
12．（23-24高三下·贵州·期中）在梯形 中， ，梯形
外接圆圆心为 ，圆上有一个动点 ，求 的取值范围 ．
13．（2024·广东·模拟预测）设A，B，C三点在棱长为2的正方体的表面上，则 的最小值为
．
