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专题 07 数列
目录一览
2023真题展现
考向一 等差数列
考向二 等比数列
考向三 数列综合
真题考查解读
近年真题对比
考向一 等差数列
考向二 数列递推公式
考向三 数列的求和
考向四 数列综合
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 等差数列
S
1．（2023•新高考Ⅰ•第7题）记S 为数列{a}的前n项和，设甲：{a}为等差数列；乙：{ n }为等差数列，
n n n n
则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
解：若{a}是等差数列，设数列{a}的首项为a，公差为d，
n n 1
n(n−1)
则S＝na + d，
n 1 2
S n−1 d d
即 n=a + d = n+a− ，
n 1 2 2 1 2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1S
故{ n }为等差数列，
n
即甲是乙的充分条件．
S S S
反之，若{ n }为等差数列，则可设 n+1 − n=D，
n n+1 n
S
则 n=S+（n﹣1）D，即S＝nS+n（n﹣1）D，
n 1 n 1
当n≥2时，有S ＝（n﹣1）S+（n﹣1）（n﹣2）D，
n﹣1 1
上两式相减得：a＝S﹣S ＝S+2（n﹣1）D，
n n n﹣1 1
当n＝1时，上式成立，所以a＝a+2（n﹣1）D，
n 1
则a ﹣a＝a+2nD﹣[a+2（n﹣1）D]＝2D（常数），
n+1 n 1 1
所以数列{a}为等差数列．
n
即甲是乙的必要条件．
综上所述，甲是乙的充要条件．
考向二 等比数列
2．（2023•新高考Ⅱ•第8题）记S 为等比数列{a}的前n项和，若S＝﹣5，S＝21S，则S＝（ ）
n n 4 6 2 8
A．120 B．85 C．﹣85 D．﹣120
【答案】C
解：等比数列{a}中，S＝5，S＝21S，显然公比q≠1，
n 4 6 2
a (1−q4 ) a (1−q6 ) 21a (1−q2 )
设首项为a，则 1 =−5①， 1 = 1 ②，
1
1−q 1−q 1−q
化简②得q4+q2﹣20＝0，解得q2＝4或q2＝﹣5（不合题意，舍去），
a 1
代入①得 1 = ，
1−q 3
a (1−q8 ) a 1
所以S = 1 = 1 （1﹣q4）（1+q4）= ×（﹣15）×（1+16）＝﹣85．
8 1−q 1−q 3
考向三 数列综合
n2+n
3．（2023•新高考Ⅰ•第20题）设等差数列{a}的公差为d，且d＞1．令b = ，记S ，T 分别为数列
n n a n n
n
{a}，{b}的前n项和．
n n
（1）若3a＝3a+a，S+T＝21，求{a}的通项公式；
2 1 3 3 3 n
（2）若{b}为等差数列，且S ﹣T ＝99，求d．
n 99 99
解：（1）∵3a＝3a+a，S+T＝21，
2 1 3 3 3
{ 3(a +d)=3a +a +2d
1 1 1
∴根据题意可得 2 6 12 ，
3a +3d+( + + )=21
1 a a +d a +2d
1 1 1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2{ a =d
1
∴ 9 ，
6d+ =21
d
∴2d2﹣7d+3＝0，又d＞1，
∴解得d＝3，∴a＝d＝3，
1
∴a＝a+（n﹣1）d＝3n，n N*；
n 1
n2+n
（2）∵{a}为等差数列，{b ∈ }为等差数列，且b = ，
n n n a
n
n+1
∴根据等差数列的通项公式的特点，可设a＝tn，则b = ，且d＝t＞1；
n n t
n
或设a＝k（n+1），则b = ，且d＝k＞1，
n n k
n+1
①当a＝tn，b = ，d＝t＞1时，
n n t
(t+99t)×99 2 100 99
则S ﹣T = −( + )× =99，
99 99 2 t t 2
51
∴50t− =1，∴50t2﹣t﹣51＝0，又d＝t＞1，
t
51
∴解得d＝t= ；
50
n
②当a＝k（n+1），b = ，d＝k＞1时，
n n k
(2k+100k)×99 1 99 99
则S ﹣T = −( + )× =99，
99 99 2 k k 2
50
∴51k− =1，∴51k2﹣k﹣50＝0，又d＝k＞1，
k
∴此时k无解，
51
∴综合可得d= ．
50
{a −6，n为奇数
4．（2023•新高考Ⅱ•第18题）已知{a}为等差数列，b = n ，记S，T 为{a}，{b}的前
n n 2a ，n为偶数 n n n n
n
n项和，S＝32，T＝16．
4 3
（1）求{a}的通项公式；
n
（2）证明：当n＞5时，T＞S．
n n
解：（1）设等差数列{a}的公差为d，
n
S，T 为{a}{b}的前n项和，S＝32，T＝16，
n n n n 4 3
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3{ 4(4−1)
{ a +a +a +a =32 4a + d=32 {a =5
则 1 2 3 4 ，即 1 2 ，解得 1 ，
a −6+2a +a −6=16 d=2
1 2 3 a =7
2
故a＝5+2（n﹣1）＝2n+3；
n
{2n−3，n为奇数
（2）证明：由（1）可知，b = ，
n 4n+6，n为偶数
(5+2n+3)n
S = =(n+4)n，
n 2
当n为偶数时，n＞5，
T＝﹣1+3+•••+2（n﹣1）﹣3+14+22+•••+4n+6
n
n n n
[−1+2(n−1)−3] (14+4n+6) (14+6n)
2 2 2 n(3n+7)，
= + = =
2 2 2 2
n2−n
T −S = ＞0，
n n 2
(n−1)(3n+4) 3n2+5n−10
当n为奇数时，n＞5，T＝T +b = +2n−3= ，
n n﹣1 n 2 2
n2−3n−10 25−15−10
T﹣S = ＞ =0，
n n 2 2
故原式得证．
【命题意图】
考查等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，考查等差、等比数列的性质；考查数列的求和方法，
考查根据数列的递推公式求通项公式，考查数列和其他知识结合等综合知识．
【考查要点】
数列是高考考查热点之一，其中等差、等比数列的通项公式、求和公式，以及与等差、等比数列有关
的错位相消求和及裂项相消求和，是考查的重点．作为数列综合题，常和充要条件、方程、不等式、函数
等结合，涉及到恒成立，存在，最值，解不等式或者证明不等式等，对于基础能力和基础运算要求较高．
【得分要点】
1．解决等差、等比数列有关问题的几点注意
1等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用；
2对于计算解答题注意基本量及方程思想的运用；
3注重问题的转化，由非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用相关公式
和性质解题；
4当题目中出现多个数列时，既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考察各数列之间
的内在联系.
2．数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解.,一般常见的求和方法有：
（一）公式法
①等差数列的前n项和公式：S＝＝na＋d.
n 1
②等比数列的前n项和公式：
S＝
n
n
③数列前 项和重要公式：
n n(n1)
k
（1）k1 123n 2
n
(2k1)
1352n1
n2
（2）k1
2
n 1
k3 13 23 n3 n(n1)
2
（3）k1
n 1
k2 12 22 32 n2 n(n1)(2n1)
（4）k1 6
S S S mnd
（5）等差数列中， mn m n ；
（6）等比数列中，S S qnS S qmS .
mn n m m n
二分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.
三裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求
和.
四错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.
(1)适用条件：若{a}是公差为d(d≠0)的等差数列，{b}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{ab}
n n n n
的前n项和S；
n
(2)基本步骤
(3)注意事项：①在写出S与qS的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出
n n
S－qS；
n n
②作差后，等式右边有第一项、中间n－1项的和式、最后一项三部分组成；
③运算时，经常把b＋b＋…＋b这n－1项和看成n项和，把－ab 写成＋ab 导致错误．
2 3 n n n＋1 n n＋1
五倒序相加法
如果一个数列{a}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和
n
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n项和公式的推导便使用了
此法. 用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽.
考向一 等差数列
5．（2022•新高考Ⅱ）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水
平距离称为步，垂直距离称为举．图 2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中 DD ，CC ，BB ，AA 是
1 1 1 1
举，OD ，DC ，CB ，BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ＝0.5， ＝k ， ＝k ，
1 1 1 1 1 2
＝k ．已知k ，k ，k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k ＝（ ）
3 1 2 3 3
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【解答】解：设OD ＝DC ＝CB ＝BA ＝1，则CC ＝k ，BB ＝k ，AA ＝k ，
1 1 1 1 1 1 1 2 1 3
由题意得：k ＝k ﹣0.2，k ＝k ﹣0.1，
1 3 2 3
且 ，
解得k ＝0.9，
3
故选：D．
考向二 数列递推公式
6.（多选）（2021•新高考Ⅱ）设正整数n＝a
0
•20+a
1
•21+…+a
k﹣1
•2k﹣1+a
k
•2k，其中a
i
{0，1}，记 （n）
＝a 0 +a 1 +…+a k ，则（ ） ∈ ω
A． （2n）＝ （n） B． （2n+3）＝ （n）+1
C． （8n+5）＝ （4n+3） D． （2n﹣1）＝n
ω ω ω ω
【解ω答】解：∵2ωn＝a 0 •21+a 1 •22+…+a k﹣1 •2k+a k •2ω k+1，∴ （2n）＝ （n）＝a 0 +a 1 +…+a k ，∴A对；
当n＝2时，2n+3＝7＝1•20+1•21+1•22，∴ （7）＝3．
ω ω
∵2＝0•20+1•21，∴ （2）＝0+1＝1，∴
ω
（7）≠ （2）+1，∴B错；
∵8n+5＝a
0
•23+a
1
•24 ω+•••+a
k
•2k+3+5＝1•20 ω+1•22+a
0
• ω23+a
1
•24+•••+a
k
•2k+3，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6∴ （8n+5）＝a +a +•••+a +2．
0 1 k
∵ ω4n+3＝a
0
•22+a
1
•23+•••+a
k
•2k+2+3＝1•20+1•21+a
0
•22+a
1
•23+•••+a
k
•2k+2，
∴ （4n+3）＝a +a +•••+a +2＝ （8n+5）．∴C对；
0 1 k
∵ω2n﹣1＝1•20+1•21+•••+1•2n﹣1，ω∴ （2n﹣1）＝n，∴D对．
故选：ACD．
ω
考向三 数列的求和
7．（2021•新高考Ⅰ）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．
规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们
的面积之和S ＝240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它
1
们的面积之和S ＝180dm2，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折n
2
次，那么 S ＝ dm2．
k
【解答】解：易知有 ， ，共5种规
格；
由题可知，对折k次共有k+1种规格，且面积为 ，故 ，
则 ，记 ，则 ，
∴ T ＝ ﹣ ＝1+（ ﹣ ）﹣
n
＝ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：5； ．
考向四 数列综合
8．（2021•新高考Ⅱ）记S 是公差不为0的等差数列{a }的前n项和，若a ＝S ，a a ＝S ．
n n 3 5 2 4 4
（Ⅰ）求数列{a }的通项公式a ；
n n
（Ⅱ）求使S ＞a 成立的n的最小值．
n n
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7【解答】解：（Ⅰ）数列S 是公差d不为0的等差数列{a }的前n项和，若a ＝S ，a a ＝S ．
n n 3 5 2 4 4
根据等差数列的性质，a ＝S ＝5a ，故a ＝0，
3 5 3 3
根据a a ＝S 可得（a ﹣d）（a +d）＝（a ﹣2d）+（a ﹣d）+a +（a +d），
2 4 4 3 3 3 3 3 3
整理得﹣d2＝﹣2d，可得d＝2（d＝0不合题意），
故a ＝a +（n﹣3）d＝2n﹣6．
n 3
（Ⅱ）a ＝2n﹣6，a ＝﹣4，
n 1
S ＝﹣4n+ ×2＝n2﹣5n，
n
S ＞a ，即n2﹣5n＞2n﹣6，
n n
整理可得n2﹣7n+6＞0，
当n＞6或n＜1时，S ＞a 成立，
n n
由于n为正整数，
故n的最小正值为7．
9．（2021•新高考Ⅰ）已知数列{a }满足a ＝1，a ＝
n 1 n+1
（1）记b ＝a ，写出b ，b ，并求数列{b }的通项公式；
n 2n 1 2 n
（2）求{a }的前20项和．
n
【解答】解：（1）因为a ＝1，a ＝ ，
1 n+1
所以a ＝a +1＝2，a ＝a +2＝4，a ＝a +1＝5，
2 1 3 2 4 3
所以b ＝a ＝2，b ＝a ＝5，
1 2 2 4
b n ﹣b n﹣1 ＝a 2n ﹣a 2n﹣2 ＝a 2n ﹣a 2n﹣1 +a 2n﹣1 ﹣a 2n﹣2 ＝1+2＝3，n≥2，
所以数列{b }是以b ＝2为首项，以3为公差的等差数列，
n 1
所以b ＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1．
n
另解：由题意可得a
2n+1
＝a
2n﹣1
+3，a
2n+2
＝a
2n
+3，
其中a ＝1，a ＝a +1＝2，
1 2 1
于是b ＝a ＝3（n﹣1）+2＝3n﹣1，n N*．
n 2n
（2）由（1）可得a
2n
＝3n﹣1，n N*，
∈
则a
2n﹣1
＝a
2n﹣2
+2＝3（n﹣1）﹣1∈+2＝3n﹣2，n≥2，
当n＝1时，a ＝1也适合上式，
1
所以a
2n﹣1
＝3n﹣2，n N*，
所以数列{a
n
}的奇数项
∈
和偶数项分别为等差数列，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8则{a }的前20项和为a +a +...+a ＝（a +a +…+a ）+（a +a +…+a ）＝10+ ×3+10×2+
n 1 2 20 1 3 19 2 4 20
×3＝300．
10．（2022•新高考Ⅰ）记S 为数列{a }的前n项和，已知a ＝1，{ }是公差为 的等差数列．
n n 1
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）证明： + +…+ ＜2．
【解答】解：（1）已知a ＝1，{ }是公差为 的等差数列，
1
所以 ，整理得 ，①，
故当n≥2时， ，②，
①﹣②得： ，
故（n﹣1）a
n
＝（n+1）a
n﹣1
，
化简得： ， ，........， ， ；
所以 ，
故 （首项符合通项）．
所以 ．
证明：（2）由于 ，
所以 ，
所以 ＝ ．
11．（2022•新高考Ⅱ）已知{a }是等差数列，{b }是公比为2的等比数列，且a ﹣b ＝a ﹣b ＝b ﹣a ．
n n 2 2 3 3 4 4
（1）证明：a ＝b ；
1 1
（2）求集合{k|b ＝a +a ，1≤m≤500}中元素的个数．
k m 1
【解答】解：（1）证明：设等差数列{a }的公差为d，
n
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9由a ﹣b ＝a ﹣b ，得a +d﹣2b ＝a +2d﹣4b ，则d＝2b ，
2 2 3 3 1 1 1 1 1
由a ﹣b ＝b ﹣a ，得a +d﹣2b ＝8b ﹣（a +3d），
2 2 4 4 1 1 1 1
即a +d﹣2b ＝4d﹣（a +3d），
1 1 1
∴a ＝b ．
1 1
（2）由（1）知，d＝2b ＝2a ，
1 1
由b ＝a +a 知， ，
k m 1
∴ ，即2k﹣1＝2m，
又1≤m≤500，故2≤2k﹣1≤1000，则2≤k≤10，
故集合{k|b ＝a +a ，1≤m≤500}中元素个数为9个．
k m 1
重点考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式和前n项和，考查错位相减、裂项相消等求和方法。
有时考查数列的创新问题，实际应用问题，与不等式的综合问题，考查划归与转化思想，运算求解能力。
考查形式多样。
一．数列的函数特性（共4小题）
1．（2023•河南模拟）已知数列{a }的通项公式为 ，则当 a 最小时，n＝
n n
（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【解答】解：数列{a }中， ，
n
则 ，
而210＜2023＜211，
于是当n≤10时，a ﹣a ＜0，即a ＜a ，
n+1 n n+1 n
当n≥11时，a ﹣a ＞0，即a ＞a ，
n+1 n n+1 n
因此当n N*，n≤11时，数列{a }单调递减，当n≥11时，数列{a }单调递增，
n n
所以当且
∈
仅当n＝11时，a
n
最小．
故选：C．
2．（2023•西固区校级一模）数列{a }的前n项积为n2，那么当n≥2时，a ＝ ．
n n
【解答】解：设数列{a n }的前n项积为T n ，则T n ＝a 1 a 2 a 3 ×…×a n ＝n2①，当n≥2时T n﹣1 ＝a 1 a 2 a 3 ×…×a n﹣
＝（n﹣1）2②，①÷②得a ＝（ ）2（n≥2）；
1 n
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10故答案为：（ ）2（n≥2）．
3．（2023•南岗区校级三模）已知数列{a }的通项公式是 a ＝2n﹣1，记 b 为{a }在区间[m，2m）
n n m n
（m N*）内项的个数，则b ＝ ，不等式b ﹣b ＞2062成立的m的最小值为 ．
5 m+1 m
∈
【解答】解：令m≤2n﹣1＜2m，得 ，
当m为奇数时， ，
当m为偶数时， ，
所以b ＝24﹣ ＝14，
5
当m为奇数时， ，
即2m﹣1＞2063，因为211＜2063＜212，所以m﹣1≥12，即m≥13，
因为m为奇数，所以m的最小值为13；
当m为偶数时， ，
因为211＜2062＜212，所以m﹣1≥12，即m≥13，
因为m为偶数，所以m的最小值为14．
综上所述，m的最小值为13．
故答案为：14；13．
4．（2023•海淀区校级模拟）已知点列T：P （x ，y ），P （x ，y ），…P （x ，y ） （k N*，k≥2）满
1 1 1 2 2 2 k k k
∈
足P （1，1）， 与 （i＝2，3，4…k）中有且只有一个成立．
1
（1）写出满足k＝4且满足P （3，2）的所有点列；
4
（2）证明：对于任意给定的k（k N*，k≥2），不存在点列T，使得 + ＝2k；
∈
（3）当k＝2n﹣1且P
2n﹣1
（n，n）（n N*，n≥2）时，求 的最大值．
【解答】解：（1）符合条件的点列T为
∈
：P
1
（1，1），P
2
（1，2），P
3
（2，2），P
4
（3，2），
或P （1，1），P （2，1），P （2，2），P （3，2），
1 2 3 4
或P （1，1），P （2，1），P （3，1），P （3，2）；
1 2 3 4
（2）证明：由已知x i +y i ＝x i﹣1 +y i﹣1 +1，则数列{x i +y i }是公差为1的等差数列，
由x +y ＝2，可得x+y＝i+1（i＝1，2，…，k），
1 1 i i
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11+ ＝ （x+y）＝2+3+…+（k+1）＝ k（k+3），
i i
若存在点列T，使得 + ＝2k，即 k（k+3）＝2k，即k（k+3）＝2k+1，
由k和k+3一个为奇数，一个为偶数，且k≥2，而整数2k+1不含大于1的奇因子，
故对于任意给定的k（k N*，k≥2），不存在点列T，使得 + ＝2k；
（3）由已知y
i
＝i+1﹣x∈i （i＝1，2，…，2n﹣1），
＝（x 1 +x 2 +…+x 2n﹣1 ）（2﹣x 1 +3﹣x 2 +…+2n﹣x 2n﹣1 ）
＝（x 1 +x 2 +…+x 2n﹣1 ）（（2+3+…+2n）﹣（x 1 +x 2 +…+x 2n﹣1 ）），
令t＝x 1 +x 2 +…+x 2n﹣1 ，则 ＝t[（n+1）（2n﹣1）﹣t]，
考虑f（t）＝t[（n+1）（2n﹣1）﹣t]，
①当n为奇数时，可得 （n+1）（2n﹣1）为正整数，
构造数列{x}：1，2，…， （n+1），…， （n+1）， （n+1）+1，…，n，
i
对应数列{y}：1，1，…，1，2，…，n，…，n．
i
而此时x 1 +x 2 +…+x 2n﹣1 ，＝1+2+…+n+ （n+1）+ （n+1）+…+ （n+1）＝1+2+…+n+ （n+1）（n﹣
1）
＝ （n+1）（2n﹣1），
所以t＝ （n+1）（2n﹣1）， 的最大值为 （n+1）2（2n﹣1）2；
②当n为偶数时，可得 （n+1）（2n﹣1）不为正整数， （n+1）（2n﹣1）﹣ 是离其最近的正整数，
构造数列{x}：1，2，…， n，…， n， n+1， n+2，…，n，
i
对应数列{y}：1，1，…，1，2，…， n+1， n+1， n+2，…， n+ n，…，n．
i
而此时x 1 +x 2 +…+x 2n﹣1 ，＝1+2+…+n+ n+…+ n+ n+1…+ n+1＝
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12（n+1）（2n﹣1）﹣ ，
所以t＝ （n+1）（2n﹣1）﹣ ， 的最大值为 （n+1）2（2n﹣1）2﹣ ．
二．等差数列的性质（共4小题）
5．（2023•安庆二模）已知等差数列{a }满足 + ＝4，则a +a 不可能取的值是（ ）
n 2 3
A．﹣3 B．﹣2 C． D．
【解答】解：设a ＝2cos ，a ＝2sin ，
1 4
θ θ
则a +a ＝a +a ＝2cos +2sin ＝2 sin（ ） [﹣2 ，2 ]，
2 3 1 4
∴a 2 +a 3 不可能取的值是 θ ﹣3． θ ∈
故选：A．
6．（2023•江西模拟）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物
的剖面图，DD ，CC ，BB ，AA 是举，OD ，DC ，CB ，BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为
1 1 1 1 1 1 1 1
，且成首项为0.114的等差数列，若直线OA的斜率为0.414，则该数列公
差等于（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【解答】解：由图形得OD ＝DC ＝CB ＝BA ，不妨设OD ＝DC ＝CB ＝BA ＝1，则DD ＝0.114，CC
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
＝x，BB ＝y，AA ＝z，
1 1
由题意得 ＝0.414，即 ＝0.414，
设数列的公差为d，则x＝0.114+d，y＝0.114+2d，z＝0.114+3d，
∴ ＝0.414，解得d＝0.2，
故选：B．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 137．（2023•阿拉善盟一模）已知{a }是等差数列，S 是{a }的前n项和，则“对任意的n N*且n≠3，S ＞
n n n n
S 3 ”是“a 4 ＞a 3 ”的（ ） ∈
A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．充要条件
【解答】解：由对任意的n N*且n≠3，S ＞S ，可得等差数列{a }的前n项和的最小值为S ，
n 3 n 3
∴等差数列{a
n
}仅有前三项
∈
为负项，且公差d＞0，
∴可得a ＞a ，
4 3
反过来，由a ＞a ，可得d＞0，但不能得到等差数列{a }仅有前三项为负项，
4 3 n
即不能得到等差数列{a }的前n项和的最小值为S ，
n 3
∴“对任意的n N*且n≠3，S ＞S ”是“a ＞a ”的充分不必要条件，
n 3 4 3
故选：B．
∈
8．（2023•青羊区校级模拟）下列结论中正确的是（ ）
A．若a＞b＞0，c＜d＜0，则
B．若x＞y＞0且xy＝1，则
C．设{a }是等差数列，若a ＞a ＞0，则
n 2 1
D．若x [0，+∞），则
∈
【解答】解：选项A，由c＜d＜0，可得﹣c＞﹣d＞0，则 ，
又a＞b＞0，所以 ，则 ，故A正确．
选项B，取 ，则 ，
则不等式 不成立，故B不正确．
选项C，由题意得a +a ＝2a 且a ≠a ，
1 3 2 1 3
所以 ，故C不正确．
选项D，设 ，则 ，
当0＜x＜3时，h'（x）＜0，则h（x）单调递减，h（x）＜h（0）＝0，
即 ，故D不正确．
故选：A．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14三．等差数列的通项公式（共3小题）
9．（2023•武功县校级模拟）已知数列{a }为等差数列，a ＝2，a ＝﹣4，那么数列{a }的通项公式为（
n 4 7 n
）
A．a ＝﹣2n+10 B．a ＝﹣2n+5 C．a ＝﹣ n+10 D．a ＝﹣ n+5
n n n n
【解答】解：设等差数列{a }的公差为d．
n
∵a ＝2，a ＝﹣4，
4 7
∴ ，
解得a ＝8，d＝﹣2．
1
∴a ＝a +（n﹣1）d＝8﹣2（n﹣1）＝10﹣2n．
n 1
故选：A．
10．（2023•凉山州模拟）在等差数列{a }中，a +a ＝2，a ＝3，则a ＝（ ）
n 2 4 5 9
A．3 B．5 C．7 D．9
【解答】解：由题设a +a ＝2a ＝2，则a ＝1，而a ＝3，
2 4 3 3 5
若等差数列公差为d，则 ，
所以{a }通项公式为a ＝a +（n﹣3）d＝n﹣2，
n n 3
故a ＝7．
9
故选：C．
11．（2023•雁塔区校级模拟）已知数列 为等差数列，且a ＝1， ，则a ＝（ ）
1 2023
A． B． C． D．
【解答】解：因为数列 为等差数列，且a ＝1， ，
1
所以 ＝1， ×2＝4，
设该等差数列的公差d，则3d＝4﹣1＝3，即d＝1，
＝1+2022d＝2023，
所以a ＝﹣ ．
2023
故选：B．
四．等差数列的前n项和（共2小题）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1512．（2023•玉树州模拟）记等差数列{a }的前n项和为S ，若S ＝44，则a +a +a ＝（ ）
n n 11 4 6 8
A．12 B．13 C．14 D．15
【解答】解：根据题意，数列{a }为等差数列，
n
则 ，变形可得a ＝4，
6
又由a +a ＝a ，则a +a +a ＝3a ＝12．
4 8 6 4 6 8 6
故选：A．
13．（2023•陈仓区模拟）在等差数列{a }中，a ，a 是方程x2﹣8x﹣17＝0的两个根，则{a }的前23项的
n 6 18 n
和为（ ）
A．﹣184 B．﹣92 C．92 D．184
【解答】解：a ，a 是方程x2﹣8x﹣17＝0的两个根，
6 18
所以a +a ＝8，
6 18
所以{a }的前23项的和 ＝ ．
n
故选：C．
五．等比数列的性质（共4小题）
14．（2023•玉林三模）已知等比数列{a }的前n项和为S ，若 ，则 ＝（ ）
n n
A．12 B．36 C．31 D．33
【解答】解：由题意可知，S ，S ﹣S ，S ﹣S 为等比数列，
3 6 3 9 6
则 ，
∵ ，
∴ ，解得S ＝31S ，
9 3
∴ ＝31．
故选：C．
15．（2023•河南模拟）已知数列{a }为等比数列，a ＞0，n N*，且 ，则实数
n n
＝（ ）
∈
λ
A．2 B． C．3 D．
【解答】解：因为数列{a }为等比数列，所以 也为等比数列，
n
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16设数列 的公比为q，则 ，
因为 ，
所以 ， ，
所以 ．
故选：D．
16．（2023•镇江三模）已知a ，a ，a ，a ，a 成等比数列，且2和8为其中的两项，则a 的最小值为（
1 2 3 4 5 5
）
A．﹣64 B．﹣16 C． D．
【解答】解：若相邻两项为2和8，则公比为正数，每一项都为正数，求的是最小值，应该要负数，故
舍去；
若奇数项为2和8，则奇数项均为正数，舍去；
因此只能a 和a 分别为2和8，
2 4
当a ＝8，a ＝2时，公比为± ，则a ＝a q＝±1；
2 4 5 4
当a ＝2，a ＝8时，公比为±2，则a ＝a q＝±16；
2 4 5 4
则a 的最小值为﹣16．
5
故选：B．
17．（2023•吴忠模拟）已知{a }是等比数列，若a a ＝3a ，且a ＝﹣24，则a ＝（ ）
n 3 7 5 8 10
A．96 B．﹣96 C．72 D．﹣72
【解答】解：设等比数列{a }的公比为q，
n
∵ ，
∴a ＝3，
5
∴ ，解得：q＝﹣2，
∴ ．
故选：B．
六．等比数列的通项公式（共5小题）
18．（2023•河南模拟）在等比数列{a }中，若a ＝2，a a ＝a ，则{a }的公比q＝（ ）
n 5 3 8 7 n
A． B．2 C． D．4
【解答】解：依题意，由a a ＝a ，
3 8 7
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17可得a q2•a q7＝a q6，
1 1 1
化简整理，得a q3＝1，即a ＝1，
1 4
∴公比q＝ ＝ ＝2．
故选：B．
19．（2023•南江县校级模拟）在等比数列{a }中，a +a ＝2，a +a ＝18，则a +a ＝（ ）
n 1 3 5 7 3 5
A．3 B．6 C．9 D．18
【解答】解：因为a +a ＝2，a +a ＝18，所以 ，解得q2＝3，
1 3 5 7
则 ．
故选：B．
20．（2023•山西模拟）已知正项等比数列{a }满足a ﹣a ＝2，则a +a 的最小值是（ ）
n 3 1 4 3
A．4 B．9 C．6 D．8
【解答】解：由a ﹣a ＝2，得 ，即 ，
3 1
则 ，
当且仅当 即q＝2时取等号．
故选：D．
21．（2023•鼓楼区校级模拟）已知等比数列{a }满足 ，则a +a ＝（ ）
n 1 3
A． B． C． D．3
【解答】解：等比数列{a }满足 ，
n
所以 ＝ ＝ ＝3，
所以a +a ＝ ．
1 3
故选：A．
22．（2023•鼓楼区校级模拟）英国数学家亚历山大•艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同
乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位．一个八度音程为 1200音分，它们的频率值
构成一个等比数列．八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18的等比数列．已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l．若 ，则
k﹣l＝（ ）
A．400 B．500 C．600 D．800
【解答】解：由题意可知，1200个音的频率值构成一个公比为 的等比数列，
设第一个音为a ，所以 ，
1
所以 ，
又因为 ，
所以 ．
故选：C．
七．等比数列的前n项和（共3小题）
23．（2023•周至县一模）已知数列{a }是各项均为正数的等比数列，S 是它的前n项和，若a a ＝64，且
n n 3 5
a +2a ＝8，则S ＝（ ）
5 6 6
A．128 B．127 C．126 D．125
【解答】解：数列{a }是各项均为正数的等比数列，
n
设等比数列{a }的公比为q，且q＞0，a ＞0，
n n
，
所以 ，即 ．
故选：C．
24．（2023•陈仓区模拟）已知S
n
是等比数列{a
n
}的前n项和，且 ，则a
1
a
2
+a
2
a
3
++a
10
a
11
＝（
）
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，所以a ＝S ＝4+a， ，
1 1
，
又{a }是等比数列，所以 ，即42＝8（4+a），解得a＝﹣2，所以 ．
n
当n≥2时， ，又a ＝2满足 ，
1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19对任意的n N*， ，故数列{a }是公比为2的等比数列，
n
∈
所以， ，故数列{a }是公比为4，首项为a a ＝2×4＝8的等比数列，
n 1 2
所以 ．
故选：A．
25．（2023•赣州一模）若等比数列{a }的公比为q，其前n项和为S ，前n项积为T ，并且0＜a ＜1＜
n n n 9
a ，则下列正确的是（ ）
8
A．q＞1 B．0＜a ＜1
1
C．S 的最大值为S D．T 的最大值为T
n 8 n 8
【解答】解：由0＜a ＜1＜a 可知公比 ，故A错误；
9 8
又 ，且q （0，1）可得a ＞1，故B错误；
1
∈
由等比数列前n项和公式可知 ，
由指数函数性质可得S 为单调递增，即S 无最大值，故C错误；
n n
设T 为数列{a }前n项积的最大值，
n n
则需满足 ，可得a ＜1＜a ，
n+1 n
又0＜a ＜1＜a 可得n＝8，即T 的最大值为T ，故D正确．
9 8 n 8
故选：D．
八．数列的应用（共5小题）
26．（2023•甘肃模拟）九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具．它用九个圆环相连成串，解开九
连环最少需要移动341次．它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载．周
邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环．”九连环有多种玩法，在某种玩法中：已知解下1
个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环2次，记a （3≤n≤9，n N*）为解下
n
n个圆环需要移动圆环的最少次数，且a n ＝a n﹣1 +2a n﹣2 +m（n≥3，n N*），则解下8个圆环∈ 所需要移动
圆环的最少次数为（ ）
∈
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20A．54 B．90 C．170 D．256
【解答】解：由题意，a 1 ＝1，a 2 ＝2，a n ＝a n﹣1 +2a n﹣2 +m（n≥3，n N*），
a 3 ＝a 2 +2a 1 +m＝4+m；a 4 ＝a 3 +2a 2 +m＝8+2m； ∈
a ＝a +2a +m＝16+5m；a ＝a +2a +m＝32+10m；
5 4 3 6 5 4
a ＝a +2a +m＝64+21m；a ＝a +2a +m＝128+42m；a ＝a +2a +m＝256+85m＝341，所以m＝1，
7 6 5 8 7 6 9 8 7
则解下8个圆环最少需要移动的次数为a ＝170．
8
故选：C．
27．（2023•池州模拟）如图的形状出现在南宋数学家杨部所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为
“三角垛”．角垛”的最上层有1个小球，第二层有3个小球，第三层有6个小球设各层球数构成数列
{a }．该数列从第二项起每一项与前一项的差构成等差数列，则该“三角垛”中第8层小球个数为（
n
）
A．21 B．28 C．36 D．45
【解答】解：根据题意，设第n层有a 个小球，
n
则a ＝1，a ＝3，a ＝6，
1 2 3
从第二项起每一项与前一项的差构成等差数列，
而a ﹣a ＝2，a ﹣a ＝3，则a ﹣a ＝4，a ﹣a ＝5，……a ﹣a ＝8，
2 1 3 2 4 3 5 4 8 7
故a ＝（a ﹣a ）+（a ﹣a ）+……+（a ﹣a ）+a ＝8+7+6+……+2+1＝36，即该“三角垛”中第8层
8 8 7 7 6 2 1 1
小球个数为36．
故选：C．
28．（2023•浉河区校级模拟）三潭印月被誉为“西湖第一胜境”，所谓三潭，实际上是3个石塔和其周围
水域，石塔建于宋代元四年（公元1089年），每个高2米，分别矗立在水光潋滟的湖面上，形成一个
等边三角形，记为△A B C ，设△A B C 的边长为a ，取△A B C 每边的中点构成△A B C ，设其边长
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2
为a ，依此类推，由这些三角形的边长构成一个数列{a }，若{a }的前6项和为 ，则△A B C 的边
2 n n 1 1 1
长a ＝（ ）
1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21A．62 B．61 C．31 D．30
【解答】解：根据题意可知{a }是公比为 的等比数列，
n
∴{a }的前6项和为 ＝ ，
n
解得a ＝62．
1
故选：A．
29．（2023•石家庄二模）中国古代许多著名数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发
展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本
末》中，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是后项减前项之差组
成的新数列是等差数列．现有一个“堆垛”，共50层，第一层2个小球，第二层5个小球，第三层10
个小球，第四层17个小球，…，按此规律，则第50层小球的个数为（ ）
A．2400 B．2401 C．2500 D．2501
【解答】解：不妨设第n层小球个数为a ，由题意，a ﹣a ＝3，a ﹣a ＝5……，
n 2 1 3 2
即各层小球之差成以3为首项，2为公差的等差数列，
所以 ，
故有 ，累加可得：a ﹣a ＝49×（3+99）÷2＝2499，
50 1
故a ＝2499+2＝2501．
50
故选：D．
30．（2023•保定二模）我们知道地球和火星差不多在同一轨道平面上运动，火星轨道在地球轨道之外．
当地球和火星与太阳在同一条直线上，这一天文现象称为“冲日”，简称“冲”．假设地球和火星都做
近似匀速圆周运动，火星绕太阳一周约需687天，地球绕太阳一周约需365.25天，则相邻两次“冲日”
之间间隔约为 天．（结果精确到个位）
【解答】解：由题意知，地球一天绕太阳转 ，火星一天绕太阳转 ，
设相邻两次“冲日”间隔t天，由于 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22则 ，
所以 ．
故答案为：780．
九．数列的求和（共7小题）
31．（2023•贵州模拟）已知S 是数列{a }的前n项和，S ＝273， ，当数
n n 3
列 的前n项和取得最大值时，n的值为（ ）
A．30 B．31 C．32 D．33
【解答】解：na ＝（n﹣1）a +94①，则（n+1）a ＝na +94②，
n n+1 n+1 n+2
②﹣①得：（n+1）a ﹣na ＝na ﹣（n﹣1）a ，即2a ＝a +a ，
n+1 n n+2 n+1 n+1 n n+2
则数列{a }为等差数列，且a ＝94，
n 1
由a +a +a ＝273得：a ＝91，则公差d＝a ﹣a ＝﹣3，
1 2 3 2 2 1
所以a ＝97﹣3n，数列{a }单调递减，而a ＝1，a ＝﹣2，a ＝﹣5，......，
n n 32 33 34
设b ＝a a a ，当n≤30时，b ＞0，且b ＝﹣8，b ＝10，
n n n+1 n+2 n 31 32
当n≥33时，b ＜0恒成立，显然b +b ＝2，b +b +b ＝0，
n 31 32 31 32 33
即数列 的前32项和最大．
故选：C．
32．（2023•徐州模拟）若数列{a }满足 ， ，则{a }的前n
n n
项和为 ．
【解答】解：设{a
n
}的前n项和为S
n
，则S
n
＝a
1
+a
2
++a
n
，
又S n ＝a n﹣1 +a n﹣2 ++a 1 +a n ，
故2S n ＝（a 1 +a n﹣1 ）+（a 2 +a n﹣2 ）++（a n﹣1 +a 1 ）+2a n
＝ ，
故 ．
故答案为： ．
33．（2023•郑州模拟）已知数列{a }满足a ＝1， ，数列 的前n项和为S ，
n 1 n
若k为大于1的奇数，则S ＝ ．
k
【解答】解：因为 ，所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23所以 ．
故答案为： ．
34．（2023•武鸣区校级二模）已知数列{a n }满足a 1 +a 2 +…+a n﹣1 ﹣a n ＝﹣2（n≥2且n N*），且a 2 ＝4．
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
∈
（2）设数列{ }的前n项和为T ，求证：T ＜1．
n n
【解答】（1）解：因为a 1 +a 2 ++a n﹣1 ﹣a n ＝﹣2，
所以a
1
+a
2
++a
n
﹣a
n+1
＝﹣2，
两式相减得a ＝2a （n≥2），
n+1 n
当n＝2时，a ﹣a ＝﹣2，又a ＝4，所以a ＝2，a ＝2a ，
1 2 2 1 2 1
所以 ，
所以{a }是首项为2，公比为2的等比数列，
n
所以 ；
（2）证明： ，
所以 ．
35．（2023•保定二模）已知数列{a }的前n项和为S ，a ＝1，若对任意的正整数n都有2S ＝2na ﹣
n n 1 n n
n2+n．
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）记数列{（﹣ ） }的前n项和为T ，若s≤T ﹣ ≤t恒成立，求t﹣s的最小值．
n n
（2） 随着T 的增大而增大，由此求出 的最大值和最小值，两数之差即为t﹣s的最小值．
n
【解答】解：（1）由2S
n
＝2na
n
﹣n2+n可得当n≥2有2S
n﹣1
＝2（n﹣1）a
n﹣1
﹣（n﹣1）2+（n﹣1），
二式相减并化简得2（n﹣1）a
n
﹣2（n﹣1）a
n﹣1
＝2（n﹣1），
由于n≥2，所以n﹣1≠0，
所以有a
n
﹣a
n﹣1
＝1，
又a ＝1，所以数列{a }是以1为首项，1为公差的等差数列，
1 n
所以a ＝1+n﹣1＝n；
n
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24（2）结合（1）可知（﹣ ）an＝（﹣ ）n，
所以T ＝﹣ + ﹣ + +…+（﹣ ）n，
n
显然当n≥3，T ＝﹣ ＜T ＜T ＝﹣ ，
1 n 2
又 随着T 的增大而增大，
n
所以 的最大值为 ＝﹣ +4＝ ，
的最小值为 ＝﹣ +2＝ ，
由于s≤T ﹣ ≤t恒成立，
n
所以t≥ ，s≤ ，
所以t﹣s的最小值为 ﹣ ＝ ．
36．（2023•河北三模）设等差数列{a }的前n项和为S ，已知a ＝7，S ＝55．
n n 2 5
（1）求a 和S ；
n n
（2）若b ＝ ，求数列{b }的前n项和T ．
n n n
（2）b ＝ ＝ ＝ ﹣ ，进而求出T ．
n n
【解答】解：（1）设等差数列 {a } 的公差为d，则 ，
n
解得 ，
所以a ＝3+4（n﹣1）＝4n﹣1，
n
；
（2）b ＝ ＝ ＝ ﹣ ，
n
所以 T ＝b +b +b +…+b ＝（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）＝ ﹣ ＝ ﹣
n 1 2 3 n
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25＝ ﹣ ．
37．（2023•岳麓区校级模拟）已知正项数列{a }满足：a ＝3，且a （ ﹣1）＝2（ ﹣1）a ，
n 1 n n+1
n N*．
∈
（1）设b ＝a ﹣ ，求数列{b }的通项公式；
n n n
（2）设c ＝ + ，求数列{c }的前n项和T ，并确定最小正整数n，使得T 为整数．
n n n n
【解答】解：（1）由a ＝3，且a （ ﹣1）＝2（ ﹣1）a ，得a ≠0，
1 n n+1 n
∴ ，即b ＝2b ，
n+1 n
又 ，
∴数列{b }是以 为首项，以2为公比的等比数列，
n
则 ；
（2）c ＝ + ＝ ＝ ＝ ，
n
∴ ＝ ＝ ．
要使T 为整数，则4n﹣1能被27整除，
n
∵ ，
∴需要 能被27整除，则n的最小值为9．
一十．数列递推式（共8小题）
38．（多选）（2023•开福区校级三模）已知数列{a }的前n项和是S ，则下列说法正确的是（ ）
n n
A．若S ＝a ，则{a }是等差数列
n n n
B．若a ＝2，a ＝2a +3，则{a +3}是等比数列
1 n+1 n n
C．若{a }是等差数列，则S ，S ﹣S ，S ﹣S 成等差数列
n n 2n n 3n 2n
D．若{a }是等比数列，则S ，S ﹣S ，S ﹣S 成等比数列
n n 2n n 3n 2n
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，数列{a
n
}中，若S
n
＝a
n
，当n≥2时，a
n
＝S
n
﹣S
n﹣1
＝a
n
﹣a
n﹣1
，则有a
n﹣1
＝0，由此可得a
n
＝0，
则数列{a }是等差数列，A正确；
n
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 26对于B，若a ＝2，a ＝2a +3，变形可得a +3＝2a +3+3＝2（a +3），则{a +3}是等比数列，B正确；
1 n+1 n n+1 n n n
对于C，由等差数列的性质，若{a }是等差数列，则S ，S ﹣S ，S ﹣S 成等差数列，可得C正确；
n n 2n n 3n 2n
对于D，等比数列{a }中，当q＝﹣1，n为偶数时，S ＝0，S ，S ﹣S ，S ﹣S 不成等比数列，D错误；
n n n 2n n 3n 2n
故选：ABC．
39．（多选）（2023•重庆模拟）对于数列{a }，若a ＝1， ，则下列说法正确的
n 1
是（ ）
A．a ＝3 B．数列{a }是等差数列
4 n
C．数列{a
2n﹣1
}是等差数列 D．a
2n
＝2n﹣1
【解答】解：对于数列{a }，已知a ＝1， ，①
n 1
则a +a ＝2（n+1），②
n+1 n+2
由②﹣①可得：a ﹣a ＝2，
n+2 n
又a ＝2﹣a ＝1，
2 1
即数列{a
2n﹣1
}是以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a
2n
}是以1为首项，2为公差的等差数列，
则a
2n﹣1
＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，a
2n
＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，
对于选项A，a ＝2×2﹣1＝3，即选项A正确；
4
对于选项B，a ＝a ＝1，a ＝3，∵2a ≠a +a ，∴数列{a }不是等差数列，即选项B错误；
1 2 3 2 1 3 n
对于选项C，数列{a
2n﹣1
}是以1为首项，2为公差的等差数列，即选项C正确；
对于选项D，数列{a }是以1为首项，2为公差的等差数列，则a ＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，即选项D
2n 2n
正确．
故选：ACD．
40．（2023•贵阳模拟）设数列{a n }的前n项和为S n ，当n≥2时，有（n﹣2）a n ﹣（n﹣1）a n﹣1 +a 1 ＝0．
（1）求证：数列{a }是等差数列；
n
（2）若a ＝20，S ＝56，求S 的最大值．
1 4 n
【解答】证明：（1）因为当n≥2时，有（n﹣2）a n ﹣（n﹣1）a n﹣1 +a 1 ＝0①，
所以当n≥3时，（n﹣3）a n﹣1 ﹣（n﹣2）a n﹣2 +a 1 ＝0②，
由①−②，整理可得a n +a n﹣2 ＝2a n﹣1 ，
所以数列{a }是等差数列．
n
（2）解：由（1）可知{a }是等差数列，
n
所以 ，解得 ，
所以数列{a }的公差 ，
n
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 27所以a ＝20﹣4（n﹣1）＝﹣4n+24，
n
所以 ，
又n N*，所以当n＝5或n＝6时，S 取到最大值为60．
n
∈
41 ． （ 2023• 沙 坪 坝 区 校 级 模 拟 ） 已 知 数 列 {a } 满 足 ： a ＝ 若 a ＝
n n 10
，则m＝（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【解答】解：∵a ＝a ＝1，∴ ，
1 2
∵a n ＝a n﹣1 +a n﹣2 ，即a n﹣1 ＝a n ﹣a n﹣2 ，
∴ ，
＝a •a ﹣a •a ，
3 4 3 2
••••••
＝a
m
•a
m+1
﹣a
m
•a
m﹣1
，
累加得： ＝a 2 a 1 +（a 2 a 3 ﹣a 2 a 1 ）+（a 3 a 4 ﹣a 3 a 2 ）+•••+（a m a m+1 ﹣a m a m﹣1 ）＝
a a ，
m m+1
∴ ，
∵a ＝ ，
10
∴m+1＝10，∴m＝9．
故选：B．
42．（2023•泸县校级模拟）已知数列{a }的前n项和为S ，a ＝1，a ＝S ，则a ＝
n n 1 n+1 n n
．
【解答】解：∵a ＝S ①，
n+1 n
当n＝1时，a ＝S ＝1，
2 1
∴当n≥2时，a
n
＝S
n﹣1
②，
由①﹣②得a ﹣a ＝a ，即a ＝2a ，
n+1 n n n+1 n
当n＝1时，a ＝2≠1，不符合上式，
2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 28∴数列{a }为从第二项开始的等比数列，
n
∴a ＝ ．
n
故答案为：a ＝ ．
n
43．（2023•河北三模）在数列{a }中，已知a ＝1，a ＝ ，则a ＝ 59 ，当n为
n 1 n+1 8
偶数时a ＝ ﹣ 2 ．
n
【解答】解：由a ＝1，a ＝ ，
1 n+1
得a ＝2a +1＝3，a ＝a +2＝5，a ＝2a +1＝11，a ＝a +2＝13，
2 1 3 2 4 3 5 4
a ＝2a +1＝27，a ＝a +2＝29，a ＝2a +1＝59；
6 5 7 6 8 7
∵a ＝2a +1＝2（a +2）+1＝2a +5，
2n+2 2n+1 2n 2n
∴a +5＝2（a +5）．
2n+2 2n
∴数列{a +5}是首项为a +5＝8，公比为2的等比数列，
2n 2
∴ ，则 ，
故当n为偶数时， ．
故答案为：59； ．
44．（2023•2月份模拟）记数列{a
n
}的前n项和为T
n
，且a
1
＝1，a
n
＝T
n﹣1
（n≥2）．
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）设m为整数，且对任意n N*，m≥ ，求m的最小值．
【解答】解：（1）当n≥2时，∈a
n
＝T
n﹣1
＝T
n
﹣T
n﹣1
，
所以T
n
＝2T
n﹣1
，
所以数列{T }是以2为公比，1为首项的等比数列，
n
所以 ，
所以 ，
又a ＝1不满足 ，
1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 29所以 ；
（2）由（1）结合题意可得， ，
设 ，
则 ，
所以 ＝ ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以m的最小值为7．
45．（2023•武功县校级模拟）设S 是数列[a }的前n项和， ．
n n
（1）求{a }的通项；
n
（2）设b ＝ ，求数列{b }的前n项和T ．
n n n
【解答】解：（1）∵ ，
∴n≥2时， ，
展开化简整理得，S n﹣1 ﹣S n ＝2S n﹣1 S n ，∴ ，∴数列{ }是以2为公差的等差数列，其首
项为 ．
∴ ， ．
由已知条件 可得 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 30（2）由于 ，
∴数列{b }的前n项和 ，
n
∴ ．
一十一．数列与函数的综合（共3小题）
46．（2023•新余二模）已知数列{a }中，a ≠0， ，且a 、a 是函数f（x）＝
n 1 3 11
2x2+19x+20的两个零点，则a ＝ ．
7
【解答】解：因为在数列{a }中，a ≠0， ，则a ＝a a ，所以 ，
n 1 n+1 n 1
所以数列{a }为等比数列，且该数列的首项为a ，公比为q＝a ，
n 1 1
因为a 、a 是函数f（x）＝2x2+19x+20的两个零点，
3 11
由韦达定理可得 ，
因为 ，可得a ＜0，所以， ，
3
由等比中项的性质可得 ，因此， ．
故答案为： ．
47．（多选）（2023•湖北二模）已知数列{a }满足a ＝0， ，前n项和为
n 1
S ，则下列选项中正确的是（ ）（参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099）
n
A．a +a ≥ln2
n n+1
B．S ＜666
2020
C．
D．{a
2n﹣1
}是单调递增数列，{a
2n
}是单调递减数列
【解答】解：对于A：由 ，
得 ，
令 ，即a ＝lnb ，
n n
则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 31又a ＝0，所以b ＝1，则 在（0，+∞）上单调递减，
1 1
所以b [1，2]，b b ＝1+b [2，3]，
n n+1 n n
所以ln2∈ ≤a n +a n+1 ＝lnb n +lnb n+1∈ ＝lnb n b n+1 ≤ln3，故A正确；
对于B：因为a
n
+a
n+1
≥ln2，S
2020
＝（a
1
+a
2
）+（a
3
+a
4
）++（a
2019
+a
2020
）≥1010ln2＞693＞666，故B
不正确；
对于 C：因为a ＝lnb ，所以0≤a ≤ln2，ln2≤a +a ≤ln3，
n n n n n+1
所以ln3≤a +ln2，即 ，
n
所以 ，故C正确；
对 于 D ： 因 为 ， 令 ， 所 以
与 异号，
与 同号，
又 ，又因为 ，
所以 ，
所 以 ，
，
所以{b
2n﹣1
}是单调递增数列，{b
2n
}是单调递减数列，
所以 {a 2n﹣1 }是单调递增数列，{a 2n }是单调递减数列，故D正确，
故选：ACD．
48．（2023•赤峰模拟）①函数 f（x）对任意 x R 有 f（x）+f（1﹣x）＝1，数列{a }满足
n
∈
，令 ．
②数列{a }中，已知 ，对任意的p，q N*都有a ＝a +a ，令 ．
n p+q p q
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 32 ∈在①、②中选取一个作为条件，求解如下问题（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计
分）
（1）数列{a }是等差数列吗？请给予证明．
n
（2）设T ＝b +b +…+b ， ，试比较T 与M 的大小．
n 1 2 n n n
【解答】解：若选择条件①，
（1）数列{a }是等差数列，证明如下：
n
由已知得，
，
，
以上两式相加，可得
，
又对任意x R有f（x）+f（1﹣x）＝1，
∈
则 ，
∴ ，
则 ，即数列{a }是以1为首项， 为公差的等差数列；
n
（2）由（1）知， ，则 ，
∴
，
即T ≤M ；
n n
若选择条件②，
（1）数列{a }是等差数列，证明如下：
n
由已知，对任意的p，q N*都有a ＝a +a ，令p＝n，q＝1，
p+q p q
∈
则 ，
故数列{a }是以 为首项， 为公差的等差数列，
n
∴ ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 33（2）由（1）知， ，
∴
，
即T ≤M ．
n n
一十二．数列与不等式的综合（共6小题）
49．（2023•海淀区校级三模）已知等比数列{a }，对任意n N*，a •a ＞0，S 是数列{a }的前n项和，
n n n+1 n n
若存在一个常数M＞0，使得 n N*，|S n |＜M，下列结论中 ∈ 正确的是（ ）
A．{a
n
}是递减数列
∀ ∈
B．{a }是递增数列
n
C．
D．一定存在 ，当n＞N 时，
0
【解答】解：设等比数列{a }的公比为q，
n
对于A：假设a ＝﹣ ，q＝ ，符合a •a ＝a •a q＞0，此时S ＝ ＝﹣1+ ，
1 n n+1 n n n
故存在M＝1，对 n N*，|S |＝1﹣ ＜1，
n
又数列{a
n
}是递增
∀
数
∈
列，故A错误；
对于B；假设a ＝ ，q＝ ，符合a •a ＝a •a q＞0，此时S ＝ ＝1﹣ ，
1 n n+1 n n n
故存在M＝1，对 n N*，|S |＝1﹣ ＜1，
n
又数列{a
n
}是递减
∀
数
∈
列，故B错误；
对于C：由选项B得a ＝ ，S ＝ ＝1﹣ ，
n n
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 34则 ＝ ＝2n﹣1＞1，故C错误；
对于D：假设存在 ，当n＞N 时，a ≥ ，
0 n
则S ＝a +a +...+ + ...+a ≥a +a +...+ + ，
n 1 2 n 1 2
当n→+∞时，S →+∞，这与M＞0，使得 n N*，|S |＜M矛盾，
n n
∀ ∈
故一定存在 ，当n＞N 时，a ＜ ，故D正确．
0 n
故选：D．
50 ． （ 2023• 黑 龙 江 一 模 ） 已 知 数 列 {a } 前 n 项 和 ， 数 列 {b } 满 足
n n
为数列{b }的前 n 项和．若对任意的 n N，n≥1，不等式
n
∈
恒成立，则实数 的取值范围为 ．
【解答】解：当n＝1时，a ＝S ＝1；
1 1 λ
当n≥2时， ，
将 n ＝ 1 代 入 上 式 ， 可 得 2×1﹣ 1 ＝ 1 ＝ a ， 则 ；
1
，
，
代入不等式 ，可得 ，
整理可得 ，
当n为偶数时，不等式为 ，
令 ， ，
当 时，f'（x）＞0，则f（x）在 上单调递增，
由于f（4）＝29.25＞27.5＝f（2），故f（x） ＝f（2）＝27.5，此时 ＜27.5；
min
λ
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 35当n为奇数时，不等式为 ，
令 ，（x为奇数且x N*），
易知g（x）在（0，+∞）单调递增，则
∈
g（x）
min
＝g（1）＝﹣24，此时 ＜﹣24，
综上所述，实数 的取值范围为（﹣∞，﹣24）．
λ
51．（2023•陈仓区模拟）已知等差数列{a }的前n项和为S ，2a +a ＝21，S ＝99．
λ n n 2 5 9
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）证明： ．
【解答】解：（1）设等差数列{a }的公差为d，
n
则 ，
解得： ，
∴a ＝3+2（n﹣1）＝2n+1．
n
（2）证明：由（1）得： ，
∴
＝ ，
∵ ，
∴ ．
52．（2023•全国四模）已知数列{a }的首项 ，且满足 ．
n
（1）求证：数列 为等比数列．
（2）若 ，求满足条件的最大整数n．
【解答】（1）证明：由 ，得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 36则 ，又 ， ，
∴数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可得， ，
∴ ，
则 ＝
＝2× +n＝1﹣ ．
由 ，得 ＜100，
即 ＜99，
∵y＝ 为单调增函数，∴满足 ＜99的最大正整数n为99．
即满足条件的最大整数n＝99．
53．（2023•岳阳模拟）已知数列{a }的前n项和为 ．
n
（1）证明数列 是等差数列，并求数列{a }的通项公式；
n
（2）设 ，若对任意正整数n，不等式 恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】（1）证明：由 得 ，又 ，
∴数列 是以 为首项，公差为1的等差数列，
∴ ，即 ，
∴当n≥2时， ，
又a ＝1不满足上式，
1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 37∴ ；
（2）解：由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
∴当n≤2时，b ＞b ；
n+1 n
当n≥3时，b
n+1
＜b
n
，即b
1
＜b
2
＜b
3
＞b
4
＞b
5
＞，
∴b 的最大值为 ，
n
依题意 ，即m2﹣m﹣2＞0，
解得m＜﹣1或m＞2，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．
54．（2023•温州模拟）设S 为正项数列{a }的前n项和，满足2S ＝ +a ﹣2．
n n n n
（I）求{a }的通项公式；
n
（II）若不等式（1+ ） ≥4对任意正整数n都成立，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）设b ＝ （其中r是自然对数的底数），求证： ．
n
【解答】解：（I）2S n ＝ +a n ﹣2，2S n﹣1 ＝ +a n﹣1 ﹣2．（n≥2），
两式相减得2a n ＝ ﹣ +a n ﹣a n﹣1 ，
即 ﹣ ﹣a
n
﹣a
n﹣1
＝0，
∴（a n +a n﹣1 ）（a n ﹣a n﹣1 ﹣1）＝0
得a
n
﹣a
n﹣1
＝1，（n≥2），
又由2S ＝ +a ﹣2，得a ＝2，
1 1 1
∴a ＝n+1；
n
（II）（1+ ） ≥4即为（1+ ）n+1≥4，
当n＝1时，（1+ ）2≥4，得﹣ ≤t≤0且t≠﹣2，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 38下面证明当﹣ ≤t≤0且t≠﹣2时，（1+ ）n+1≥4对任意正整数n都成立．
当n≥2时，n+1+t＞0，
∴（1+ ）n+1≥（1+ ）n+1，
又n＝1时，上式显然成立．
故只要证明（1+ ）n+1≥4对任意正整数n都成立即可．
∴（1+ ）n+1＝1+ •（ ）+ •（ ）2+…+ •（ ）n+1≥1+ •（ ）+
•（ ）2＝1+2+ ≥4，
（Ⅲ）b ＝ ，
n
∴ ＝ ＝[ • ] ＝[ • ] ＝[ •
] ，
∴ ≤ •
当 k≥ 2 时 ， ＝ ＜ ＝ ＝
＝2（ ﹣ ），
∴ + +…+ ＜ ×2[（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）]＝ ×2（
﹣ ）＜ ×2× ＝
一十三．等差数列与等比数列的综合（共6小题）
55．（2023•锡山区校级一模）设等比数列{a }的首项为a ＝2，公比为q（q为正整数），且满足3a 是8a
n 1 3 1
与a 的等差中项；数列{b }满足 （t R，n N*）．
5 n
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
∈ ∈
（2）试确定t的值，使得数列{b }为等差数列；
n
（3）当{b }为等差数列时，对每个正整数k，在a 与a 之间插入b 个2，得到一个新数列{c }．设T
n k k+1 k n n
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 39是数列{c }的前n项和，试求T ．
n 100
【解答】解：（1）由题设6a ＝8a +a ，即6q2＝8+q4，
3 1 5
解得q2＝4或q2＝2，又q为正整数，故q＝2，又a ＝2，所以a ＝2n；
1 n
（2）由2n2﹣（t+b n）n+ b
n
＝0，得b
n
＝ ，
所以b ＝2t﹣4，b ＝16﹣4t，b ＝12﹣2t，则由b +b ＝2b ，得t＝3，
1 2 3 1 3 2
此时，b ＝2n，由b ﹣b ＝2知：此时数列{b }为等差数列．
n n+1 n n
（3）由（2）及题设知{c }为：2，2，2，4，2，2，2，2，8，2，2，2，2，2，2，16，……
n
因为b +b +…+b ＝2+4+…+18＝ ＝90，
1 2 9
由{c }的排列规律可知：T ＝90×2+ ＝211+178＝2226．
n 100
即数列{c }的前100项和为2226．
n
56．（2023•广东模拟）已知正项等比数列{a }和其前n项和S 满足a ﹣a ＝2S ，a •a ＝a ．
n n 5 1 4 2 3 4
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）在a 和a 之间插入m个数，使得这m+2个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为
m m+1
b ，求满足b ＞50的正整数m的最小值．
m m
【解答】解：（I）设等比数列的公比为q，
由题意得 ，
解得a ＝1，q＝3，
1
故a ＝3n﹣1；
n
（II）由题意可得，b ＝ ＝ ＝ ，
m
则b ﹣b ＝ ＝ ＞0，
m+1 m
故数列{b }单调递增，
n
因为b ＝27＜50，b ＝ ＞50，
5 6
故满足题意的m的最小值为6．
57．（2023•苏州三模）已知数列{a }是公差不为0的等差数列，a ＝3，且a ，a ，a 成等比数列．
n 2 3 5 8
（1）求数列{a }的通项公式；
n
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 40（2）设 ，求数列{b }的前2023项和．
n
【解答】解：（1）设等差数列{a }的公差为d，
n
∵a ＝3，且a ，a ，a 成等比数列，
2 3 5 8
∴ ，即 ，解得 ，
∴a ＝n+1；
n
（2）由（1）得a ＝n+1，则 ，
n
对于任意k N*，则b
4k﹣3
＝﹣4k+2，b
4k﹣2
＝0，b
4k﹣1
＝4k，b
4k
＝0，
∴b 4k﹣3 +b 4k∈﹣2 +b 4k﹣1 +b 4k ＝2，
故数列{b
n
}的前2023项和为（b
1
+b
2
+b
3
+b
4
）++（b
2021
+b
2022
+b
2023
+b
2024
）﹣b
2024
＝506×2﹣0＝1012．
58．（2023•鲤城区校级模拟）已知等差数列{a }满足（n+1）a ＝n2﹣8n+k，数列{b }是以1为首项，公比
n n n
为3的等比数列．
（1）求a 和b ；
n n
（2）令c ＝ ，求数列{c }的最大项．
n n
【解答】解：（1）在等差数列{a }中，由（n+1）a ＝n2﹣8n+k，
n n
得 ， ， ，
则 ，解得k＝﹣9．
∴ ；
∵数列{b }是以1为首项，公比为3的等比数列，
n
∴ ．
（2）c ＝ ＝ ，当n≤9时，c ≤0；
n n
当n＞9时，c ＞0．
n
令f（n）＝ ，则f′（n）＝ ，
则当n＞9且n N*时，f′（n）＜0，f（n）单调递减，可得f（n）在n＝10时取最大值．
∈
即数列{c }的最大项为 ．
n
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4159．（2023•葫芦岛二模）已知{a }是各项为正数的等比数列，{b }为公差是2a 的等差数列，且a ﹣b ＝a
n n 1 2 2 3
﹣b ＝b ﹣a ．
3 4 4
（1）若a ＞b ，求n的取值范围；
n n
（2）若a ＝1，求集合 中元素的个数．
1
【解答】解：（1）依题意，设等比数列{a}的公比为q（q＞0），且a ＞0，
n
由a ﹣b ＝a ﹣b ，得a q﹣b ﹣2a ＝a q2﹣b ﹣4a ，
2 2 3 3 1 1 1 1 1 1
整理化简得：q2﹣q﹣2＝0，解得：q＝2或q＝﹣1（舍去），所以a q﹣1＝2n﹣1a ．
1 1
由a ﹣b ＝b ﹣a ，可得a q﹣b ﹣2a ＝b +6a ﹣a q3．
2 2 4 4 1 1 1 1 1 1
将q＝2代入整理可得a ＝b ，b ＝b +（n﹣1）2a ＝（2n﹣1）a ．
1 1 n 1 1 1
由a得：2n﹣1a ＞（2n﹣1）a ，
1 1
解得：n≥4且n N*．
（2）因为a
1
＝1∈，由（1）知q＝2，a2n﹣1，b
n
＝2n﹣1
由 ，可得22k﹣1＝log 2m﹣1，
2
整理得22k﹣1＝m﹣1．
∵4≤m≤800且m Z，∴3≤m﹣1≤799．
∴3≤22k﹣1≤799， ∈2≤k≤5，k Z．
∈
又k Z，故集合 中元素的个数为4．
60．（2023•河西区三模）设{a }是各项均为正数的等差数列，a ＝1，a +1是a 和a 的等比中项，{b }的
∈ n 1 3 2 8 n
前n项和为S ，2b ﹣S ＝2（n N*）．
n n n
（Ⅰ）求{a
n
}和{b
n
}的通项公式
∈
；
（Ⅱ）设数列{c }的通项公式c ＝ （n N*）．
n n
（i）求数列{c
n
}的前2n+1项和S
2n+1
；
∈
（ii）求 ．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a }的公差为d，
n
∵a ＝1，a +1是a 和a 的等比中项，
1 3 2 8
∴ ，即（1+2d+1）2＝（1+d）（1+7d），
解得d＝±1，
∵{a }是各项均为正数的等差数列，∴d＝1．
n
∴a ＝1+（n﹣1）×1＝n，
n
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 42∵2b
n
﹣S
n
＝2（n N*）．∴2b
n﹣1
﹣S
n﹣1
＝2（n≥2），
两式相减得：
∈
（n≥2），
当n＝1时，2b ﹣S ＝2，b ＝2，
1 1 1
{b }是以2为首项，2为公比的等比数列．
n
．
（Ⅱ）（i）解：
所以S ＝（3+5+…2n+3）+（22+24+…+22n）
2n+1
＝
＝ ．
（ii）解：当i为奇数时，设
＝
＝ ．
当i为偶数时，设 ，
，
∴ ，
故 ，
∴ ＝. ．
常见的裂项技巧
①等差型
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 43（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
②根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
③指数型
（1）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 44（2）
（3）
（4）
（5）
（6） ，设 ，易得 ，
于是
（7）
④对数型
⑤幂型
（1）
2）
（
（3）
⑥三角型
（1）
（2）
（3）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 45（4） ，
则
⑦常见放缩公式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8）
；
（9）
；
（10） ．
（11） ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 46资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 47
