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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 07 数列
考点一 数列的函数特性
1．（2020•浙江）已知数列 满足 ，则 ．
考点二 等差数列的性质
2．（2023•新高考Ⅰ）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为
等差数列，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分1 百】B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
考点三 等差数列的前 n 项和
3．（2022•上海）已知等差数列 的公差不为零， 为其前 项和，若 ，则
，2， ， 中不同的数值有 个．
4．（2020•上海）已知数列 是公差不为零的等差数列，且 ，则
．
5．（2020•海南）将数列 与 的公共项从小到大排列得到数列 ，则
的前 项和为 ．
6．（2021•新高考Ⅱ）记 是公差不为 0 的等差数列 的前 项和，若 ，
．
（Ⅰ）求数列 的通项公式 ；
（Ⅱ）求使 成立的 的最小值．
考点四 等比数列的前 n 项和
7．（2023•新高考Ⅱ）记 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则
A．120 B．85 C． D．
考点五 等差数列与等比数列的综合
8．（2022•浙江）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前 项和为
．
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）若对于每个 ，存在实数 ，使 ， ， 成等比数列，
求 的取值范围．
9．（2022•新高考Ⅱ）已知 是等差数列， 是公比为 2 的等比数列，且
．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分2 百】（1）证明： ；
（2）求集合 ， 中元素的个数．
10．（2020•上海）已知各项均为正数的数列 ，其前 项和为 ， ．
（1）若数列 为等差数列， ，求数列 的通项公式；
（2）若数列 为等比数列， ，求满足 时 的最小值．
考点六 数列递推式
11．（2022•浙江）已知数列 满足 ， ，则
A． B． C． D．
12．（2020•浙江）已知等差数列 的前 项和 ，公差 ，且 ．记 ，
， ，下列等式不可能成立的是
A． B． C． D．
13．（2019•浙江）设 ， ，数列 满足 ， ， ，则
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
14．【多选】（2021•新高考Ⅱ）设正整数 ，其中
， ，记 ，则
A． B．
C． D．
15．（2021•上海）已知 ，2， ， 对任意的 ，
或 中有且仅有一个成立， ， ，则 的最小值为 ．
16．（2019•上海）已知数列 前 项和为 ，且满足 ，则 ．
17．（2022•上海）数列 对任意 且 ，均存在正整数 ， ，满足
， ， ．
（1）求 可能值；
（2）命题 ：若 ， ， ， 成等差数列，则 ，证明 为真，同时写出 逆命
题 ，并判断命题 是真是假，说明理由；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分3 百】（3）若 ， 成立，求数列 的通项公式．
18．（2021•浙江）已知数列 的前 项和为 ， ，且 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 ，记 的前 项和为 ，若 对任
意 恒成立，
求实数 的取值范围．
考点七 数列的求和
19．（2021•浙江）已知数列 满足 ， ．记数列 的前 项
和为 ，则
A． B． C． D．
20．（2021•上海）已知 为无穷等比数列， ， 的各项和为9， ，则数列
的各项和为 ．
21．（2021•新高考Ⅰ）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对
称轴把纸对折．规格为 的长方形纸，对折 1 次共可以得到 ，
两种规格的图形，它们的面积之和 ，对折 2 次共可以得到
， ， 三种规格的图形，它们的面积之和 ，
以此类推．则对折 4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折 次，那么
．
22．（2023•新高考Ⅱ）已知 为等差数列， ，记 ， 为 ，
的前 项和， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明：当 时， ．
23．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记 ，
分别为数列 ， 的前 项和．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分4 百】（1）若 ， ，求 的通项公式；
（2）若 为等差数列，且 ，求 ．
24．（2021•新高考Ⅰ）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和．
25．（2020•海南）已知公比大于1的等比数列 满足 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 ．
26．（2020•山东）已知公比大于1的等比数列 满足 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 在区间 ， 中的项的个数，求数列 的前100项和 ．
27．（2020•浙江）已知数列 ， ， 满足 ， ，
．
（Ⅰ）若 为等比数列，公比 ，且 ，求 的值及数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 为等差数列，公差 ，证明： ， ．
考点八 数列与不等式的综合
28．（2022•新高考Ⅰ）记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差
数列．
（1）求 的通项公式；
（2）证明： ．
考点九 数列与函数的综合
29．（2023•上海）已知 ，在该函数图像 上取一点 ，过点 ， 做函数
的切线，该切线与 轴的交点记作 ，若 ，则过点 ， 做函数
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分5 百】的切线，该切线与 轴的交点记作 ，以此类推 ， ， ，直至 停止，由这
些项构成数列 ．
（1）设 属于数列 ，证明： ；
（2）试比较 与 的大小关系；
（3）若正整数 ，是否存在 使得 、 、 、 、 依次成等差数列？若存在，求
出 的所有取值；若不存在，请说明理由．
30．（2019•浙江）设等差数列 的前 项和为 ， ， ．数列 满足：对
每个 ， ， ， 成等比数列．
（Ⅰ）求数列 ， 的通项公式；
（Ⅱ）记 ， ，证明： ， ．
考点十 数列的应用
32．（2022•新高考Ⅱ）图1是中国古代建筑中的举架结构， ， ， ， 是桁，
相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图 2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中
， ， ， 是举， ， ， ， 是相等的步，相邻桁的举步之比分
别为 ， ， ， ．已知 ， ， 成公差为0.1的等差数
列，且直线 的斜率为0.725，则
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
33．（2022•上海）已知等比数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，则下列选项判断
正确的是
A．若 ，则数列 是递增数列
B．若 ，则数列 是递增数列
C．若数列 是递增数列，则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分6 百】D．若数列 是递增数列，则
34．（2020•上海）已知数列 为有限数列，满足 ，则
称 满足性质 ．
（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质 ，请说明理由；
（2）若 ，公比为 的等比数列，项数为10，具有性质 ，求 的取值范围；
（3）若 是1，2，3， ， 的一个排列 ， 符合 ，2， ，
， 、 都具有性质 ，求所有满足条件的数列 ．
35．（2019•上海）数列 有 100 项， ，对任意 ， ，存在
， ， ，若 与前 项中某一项相等，则称 具有性质 ．
（1）若 ， ，求 所有可能的值；
（2）若 不为等差数列，求证：数列 中存在某些项具有性质 ；
（3）若 中恰有三项具有性质 ，这三项和为 ，使用 ， ， 表示 ．
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