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专题 07 平面向量
1．【2020年高考全国III卷理数】6.已知向量a，b满足 ， ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ， ， ， .
，
因此， .
故选：D．
【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，
考查计算能力，属于中等题.
2．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围
是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图，的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到 在 方向上的投影的取值范围是 ，
结合向量数量积的定义式，
的
可知 等于 模与 在 方向上的投影的乘积，
所以 的取值范围是 ，
故选：A．
【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积
的定义式，属于简单题目.
3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设 为单位向量，且 ，则 ______________.
【答案】
【解析】因为 为单位向量，所以
所以 ，
解得： ，
所以 ，
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.
4．【2020年高考全国II卷理数】已知单位向量 , 的夹角为45°， 与 垂直，则k=__________.
【答案】
【解析】由题意可得： ，
由向量垂直的充分必要条件可得： ，
即： ，解得： .
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查
学生的转化能力和计算求解能力.
5．【2020年高考天津】如图，在四边形 中， ， ，且
，则实数 的值为_________，若 是线段 上的动点，且
，则 的最小值为_________．
【答案】(1). ；(2).
【解析】 ， ， ，，
解得 ，
以点 为坐标原点， 所在直线为 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 ，
,
∵ ，∴ 的坐标为 ,
∵又∵ ,则 ，设 ，则 (其中 )，
， ，
，
所以，当 时， 取得最小值 .
故答案为： ； .
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，
属于中等题.6．【2020年高考北京】已知正方形 的边长为2，点P满足 ，则
_________； _________．
【答案 ；
【解析】以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点 、 、 、 ，
，
则点 ， ， ，
因此， ， .
故答案为： ； .
【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点 的坐标是解答的关
键，考查计算能力，属于基础题.
7．【2020年高考浙江】已知平面单位向量 ， 满足 ．设 ， ，向量 ，
的夹角为 ，则 的最小值是_______．
【答案】【解析】 ， ，
，
.
故答案为： .
【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查
综合分析求解能力，属中档题.
8．【2020年高考江苏】在△ABC中， D在边BC上，延长AD到P，使得
AP=9，若 (m为常数)，则CD的长度是 ▲ ．
【答案】
【解析】∵ 三点共线，
∴可设 ，
∵ ，
∴ ，即 ，若 且 ，则 三点共线，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
∵ , , ，
∴ ，
设 ， ，则 ， .
∴根据余弦定理可得 ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ 的长度为 .
当 时， ， 重合，此时 的长度为 ，
当 时， ， 重合，此时 ，不合题意，舍去.
故答案为：0或 .
【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设
出 ．1．【2020四川省阆中中学高三二模】已知向量 ，且 ，则m=
A．−8 B．−6
C．6 D．8
【答案】D
【解析】∵ ，
又 ，∴3×4+(﹣2)×(m﹣2)＝0，解得m＝8．
故选D．
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．
2．【2020宁夏回族自治区高三二模】已知向量 满足 ,且 与 的夹角为 ,则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 .
故选A．
【点睛】
本题主要考查数量积的运算，属于基础题.
3．【2020陕西省西安中学高三模拟】已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ ， ，
∴ ，又 ，∴ ，∴ .
故选D．
【点睛】
本题考查了平面向量的坐标表示的应用问题，解题时应熟练地利用向量的坐标表示求平行，垂直以及夹
角和模长等问题，是基础题．
4．【2020河北省高三月考】已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则向量 与 的夹角
的余弦值为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知： ，解得： .
.
本题正确选项D．
【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.
5．【2020湖南省高三月考】如图所示，在 中，点 在线段 上，且 ，若
，则
A． B． C．2 D．【答案】B
【解析】 ，
所以 ，从而求得 ，故选B．
【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形
法则，求得结果.
6．【2020·威远中学校高三月考】已知向量 ， 且 ∥ ，若 均为正数，则
的最小值是
A．24 B．8 C． D．
【答案】B
【解析】由 ∥ 得 ，
因此 ，当且仅当 时取
等号，所以选B．
【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中
“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条
件才能应用，否则会出现错误.
7．【2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学】在 中， ， ，则 为
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】
故选：D
8．【2020届湖南省益阳市高三上学期期末数学】已知向量 ， ， ，若
，则b在c上的投影为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 ， ，得 ，
所以由 ，得 ，
所以b在c上的投影为
.
故选A．
9．【2020重庆南开中学高三月考】向量 ， ，若 ， 的夹角为钝角，则 的范围是
A． B．
C． 且 D．
【答案】C
【解析】若 ， 的夹角为钝角，则 且不反向共线，，得 .
向量 ， 共线时， ，得 .此时 .
所以 且 .
故选C．
【点睛】
本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易
错题.
10．【2020湖北省高三零模】已知向量 ， 满足 ， 在 上投影为 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 在 上投影为 ，即 .
， ，
又 ， ，
，
.
本题选B．
【点睛】
本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方
求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到 的最小值.
11．【2020四川省泸县第二中学高三三模】已知向量 满足 ，且 在 方向上的投影是 ，则实数
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】因为向量 满足 ，
，
所以 ，
若向量 的夹角为 ，
则 ，
所以 ，即 ，解得 ，故选A．
【点睛】
本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是
，二是 ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，
(此时 往往用坐标形式求解)；(2)求投影， 在 上的投影是 ；(3) 向量
垂直则 ;(4)求向量 的模(平方后需求 ).
12．【2020湖南省高三二模】正方形 边长为2，点 为 边的中点， 为 边上一点，若
，则A．3 B．5 C． D．
【答案】D
【解析】由题意，可知 ，即 ，
即 ，所以 ，即 ，
又由E是BC的中点，则 ， ，
所以 ，故选D．
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的应用，以及勾股定理的应用，其中解答中根据向量的数量积的运算，
得到 ，再利用勾股定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
13．【2020河南省高考模拟】已知平面内的两个单位向量 ， ，它们的夹角是60°， 与 、
向量的夹角都为30°，且 ，若 ，则 值为
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【解析】由题意，可得 在 的角平分线上，所以 ,
再由 可得 ，即 ，
再由 ，得 ，
解得 ，故 ，所以 ，故选D．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的数量积运算，其中解答中熟记平面向量的基本定理，
得到 ，再利用向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，
属于基础题.
14．【2020届重庆市第一中学高三上学期期末考试数学】正三角形 中， 是线段 上的点，
， ，则
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【解析】如图建立以 为原点的空间直角坐标系,易得 , , .
故 , ,
故
故选：B．
15.【2020届河南省郑州市高三第二次质量预测文科数学试题】 是边长为1的等边三角形，点分别是边 的中点，连接 并延长到点 ，使得 ，则 的值为
&科&网Z&X&X&K]
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ， ，∴ ， ，
[来
，∴ .
16．【2020湖北省高考模拟】设等边三角形 的边长为1，平面内一点 满足 ，
向量 与 夹角的余弦值为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
，对 两边用 点乘，
与 夹角的余弦值为 .
故选D．
【点睛】
这个题目考查了向量的模长的求法以及向量点积的运算，题目比较简单基础；平面向量数量积公式有
两种形式，一是 ，二是 ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，(此时 往往用坐标形式求解)；(2)求投影， 在 上的投影是 ；(3) 向量
垂直则 ;(4)求向量 的模(平方后需求 ).
17．【2020宁夏回族自治区银川一中高三模拟】在 中， ， ，点
是 所在平面内一点，则当 取得最小值时，
A．24 B． C． D．
【答案】A
【解析】由 可得： ，
则 ，即 ，
以 点坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则 ， ，设 ，则：
，
当 ，即 时 取得最小值，
此时 .
本题选择A选项.【点睛】
求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应
用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
18．【2020届湖南省高三上学期期末统测数学】已知向量 ， 的夹角为 ，则
__________.
【答案】
【解析】依题意 ，
所以 .
故答案为 .
19．【2020届安徽省皖东县中联盟上学期高三期末考试数学】已知向量 ， 满足 ， ，若
，则 与 的夹角为______.
【答案】
【解析】由已知 知， ，则 ，
所以 ，故夹角为 .故答案为 .
20．【2020甘肃省武威十八中高三期末】已知向量 ， ， ，若 ，
则 _____.
【答案】4
【解析】 ，
∵ ，∴ ，∴ ．
故答案为4．
【点睛】
向量的数量积有两个应用：(1)计算长度或模长，通过用 ；(2)计算角， .
特别地，两个非零向量 垂直的等价条件是 .
21．【2020安徽省高三月考】设 为 所在平面内一点， ，若
，则 __________．
【答案】-3
【解析】∵ 为 所在平面内一点, ，
∴B，C，D三点共线.若 ∴ ，
化为： = + ，与 =− + ，比较可得： ，解得 .
即答案为-3.
【点睛】
本题考查的知识要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题．
22．【2020柳州高级中学高三月考】如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则 ______.
【答案】
【解析】设 ， ，则 ， .
由于 ，
可得 ，且 ，
解得 ， ，所以 .
故答案为 .
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的运用，考查向量的加法运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档
题，
23．【2020·江西省宁都中学高三月考】如图所示,已知点 是 的重心,过点 作直线分别交 ，
两边于 ， 两点，且 ， ，则 的最小值为______.【答案】
【解析】根据条件： , ,
又 , .
又 , , 三点共线, .
, ,
.
的最小值为 ,当且仅当 时“ ”成立.
故答案为 .
【点睛】
本题主要考查了基底向量与向量的共线定理性质运用,同时也考查了基本不等式的应用,属于中等题型.
24．【2020天津高三二模】在平行四边形 中，已知 ， ， ，若
， ，则 _______.
【答案】
【解析】由题意，如图所示，设 ，则 ，
又由 ， ，所以 为 的中点， 为 的三等分点，
则 ， ，
所以
．
故答案为 .
【点睛】
本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以
及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，
属于中档试题．
25．【2020·河北省衡水中学高三月考】已知 的一内角 ， ， ， 为
所在平面上一点，满足 ，设 ，则 的值为__________.
【答案】
【解析】因为 可知O为三角形ABC的外心
所以而 ，且
即
化简得 ，解得 .
所以 .
【点睛】
本题考查了向量线性运算及向量数量积的应用，关键是找到各向量间的关系，属于难题．
