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第 10 讲 一次函数图象与性质
目 录
题型01 根据一次函数的定义求参数值
题型02 求一次函数的自变量或函数值
题型03 判断一次函数图象
题型04 根据一次函数图象解析式判断象限
题型05 已知函数经过的象限求参数的值或取值范
题型06 一次函数与坐标轴交点问题
题型07 判断一次函数增减性
题型08 根据一次函数增减性判断参数取值范围
题型09 根据一次函数增减性判断自变量的变化情
题型10 一次函数的平移问题
题型11 求一次函数解析式
题型12 一次函数的规律探究问题
题型13 一次函数的新定义问题
题型14 已知直线与坐标轴的交点求方程的解
题型15 由一元一次方程的解判断直线与x轴交点
题型16 两直线的交点与二元一次方程组的解
题型17 求两直线与坐标轴围成的图形面积
题型18 由直线与坐标轴交点求不等式的解集
题型19 根据两条直线交点求不等式的解集
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题型 01 根据一次函数的定义求参数值
1．（2022泸县一中一模）已知函数y=(m−2)xm2−3+n+2，（m ，n是常数）是正比例函数，m+n的值
为（ ）
A． −4或0 B． ±2 C．0 D． −4
【答案】D
【分析】按正比例函数的定义解答，正比例函数的定义是形如y=kx（k是常数，）的函数，叫做正比例函
数．
【详解】∵函数y=(m−2)xm2−3+n+2，（m
，n是常数）是正比例函数，
∴¿，
解得，¿，
∴¿，
∴m+n=−4．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正比例函数等，解决问题的关键是熟练掌握正比例函数的定义，解方程或不等式．
2．（2022·辽宁沈阳·统考二模）若y=x+2−3b，y是x的正比例函数，则b的值是（ ）
2 2 3
A．0 B．− C． D．
3 3 2
【答案】C
【分析】根据y是x的正比例函数，可知2−3b=0，即可求得b值．
【详解】解：∵y是x的正比例函数，
∴2−3b=0，
2
解得：b= ，
3
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，掌握其定义是解题的关键．
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3．（2022·四川成都·统考二模）若函数y=(m−1)x|m|−2是一次函数，则m的值为（ ）
A．-1 B．±1 C．1 D．2
【答案】A
【分析】由一次函数的定义：比例系数不为零，自变量的指数为1，可得答案．
【详解】解：由题意可得|m|=1，m-1≠0，
∴m=-1，
故选A
【点睛】本题考查一次函数的定义，准确掌握定义的要点是解题的关键．
4．（2021·陕西西安·校考二模）若点M(1,2)关于y轴的对称点在一次函数y=(3k+2)x+k的图象上，则k
的值为（ ）
3
A．−2 B．0 C．−1 D．−
7
【答案】A
【分析】依题意，点M(1,2) 关于y轴的对称点为M (−1,2)，然后将点M 带入一次函数解析式即可；
1 1
【详解】由题知，点关于y轴的对称点坐标的规律---横坐标变为相反数，纵坐标不变，
可得：对称点M (−1,2)
1
将点M (−1,2)代入一次函数y=(3k+2)x+k，即为2=(3k+2)×(−1)+k，可得：k=−2；
1
故选：A
【点睛】本题主要考查点的对称、一次函数解析式的性质，难点在熟悉二者的衔接；
题型 02 求一次函数的自变量或函数值
1．（2023·山东济宁·校考三模）从有理数−1，0，1，2中任选两个数作为点的坐标，满足点在直线
y=−x+1上的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 5 4 3
【答案】D
【分析】先列出数−1，0，1，2中任取两个数作为点的坐标所有情况，再判断是否在直线上，最后再利
用概率公式的求法得出．
【详解】数−1，0，1，2中任取两个数作为点的坐标可以为
(−1，0)、(−1，1)、(−1，2)、(0，−1)、(0，1)、(0，2)、(1，−1)、
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(1，0)、(1，2)、(2，−1)、(2，0)、(2，1)共12种等可能的情况，
依次代入y=−x+1知(−1,2)、(0,1)、(1,0)、(2,−1)在直线上，
4 1
故概率为 = ．
12 3
故选：D．
【点睛】此题主要考查一次函数与概率的结合，依次列出各坐标点是解题的关键．
2．（2023·广东广州·统考一模）若点P(1,3)在直线y=2x+b上，则下列各点也在直线l上的是（ ）．
A．(2,−1) B．(2,5) C．(−2,3) D．(−2,9)
【答案】B
【分析】先将P(1,3)代入y=2x+b求出b的值，再将各选项的横坐标依次代入即可判断．
【详解】解：∵点P(1,3)在直线y=2x+b上，
∴ 3=2×1+b，
解得b=1，
∴ y=2x+1，
当x=2时，y=2×2+1=5，因此(2,−1)不在直线l上，(2,5)在直线l上；
当x=−2时，y=−2×2+1=−3，因此(−2,3)，(−2,9)不在直线l上；
故选：B．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是求出b
的值．
3．（2022·广东湛江·岭师附中校联考模拟预测）点P(a，b)在函数y=2x+1的图像上，则代数式
6a−3b+2的值等于 ．
【答案】−1
【分析】把点代入一次函数解析式，求出a,b的关系，再代入计算即可．
【详解】解：∵点P(a，b)在函数y=2x+1的图像上，
∴2a+1=b，变形得2a−b=−1，
代数式6a−3b+2变形得3(2a−b)+2，
∴3×(−1)+2=−1，
故答案为：−1．
【点睛】本题主要考查求一次函数自变量或函数值、求代数式的值，熟练掌握整体思想解答是解题的关键．
2a 1
4．（2023·广东广州·统考二模）已知P= − (a≠±b).
a2−b2 a+b
(1)化简P；
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(2)若点(a,b)在一次函数y=x−2的图象上，求Р的值.
1
【答案】(1)
a−b
1
(2)
2
【分析】（1）利用因式分解对原式进行通分化简即可解答；
（2）将点(a,b)代入一次函数中计算后即可解答．
2a a−b
【详解】（1）解： P= −
(a−b)(a+b) (a−b)(a+b)
a+b
=
(a−b)(a+b)
1
= ；
a−b
（2）解：∵点(a,b)在一次函数y=x−2的图像上，
∴b=a−2，
∴a−b=2，
1 1
∴P= = ．
a−b 2
【点睛】本题考查了分式的化简和求值，一次函数图象的坐标特征，解题的关键是掌握分式的运算法则．
题型 03 判断一次函数图象
1．（2022·山西太原·统考二模）如图，将一个圆柱形平底玻璃杯置于水平桌面，杯中有一定量的水．向杯
中投放大小质地完全相同的棋子，在水面的高度到达杯口边缘之前，每枚棋子都浸没水中．从投放第一枚
棋子开始记数，杯中的水面高度与投入的棋子个数之间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．二次函数关系 D．反比例函数关系
【答案】B
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【分析】根据函数的解析式判断即可；
【详解】解：设水面原来高度为b，每枚棋子可以使水面上升高度为k，投放x枚棋子后水面高度为y，则
y=kx+b，符合一次函数解析式，
故选： B．
【点睛】本题考查了函数关系的识别，掌握一次函数的解析式y=kx+b，k、b为常数，k≠0是解题关键．
2．（2023·辽宁·模拟预测）一次函数y=kx+2的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．k<0 B．y随x增大而增大
C．图象经过原点 D．图象经过第一、二、三象限
【答案】A
【分析】根据函数图象逐项判断即可．
【详解】解：由函数图象得：y随x增大而减小，图象不经过原点，图象经过第一、二、四象限，
∴k<0，
即B，C，D错误，A正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，准确识别函数图象是解题的关键．
3．（2023·湖南长沙·校联考二模）已知一次函数y=ax−4的函数值y随x的增大而减小，则该函数的图象
大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的增减性可得a<0，进一步可知y=ax−4的图象经过的象限，即可判断．
【详解】解：∵一次函数y=ax−4的函数值y随x的增大而减小，
∴a<0，
∵b=−4<0，
∴y=ax−4经过第二、三、四象限，故选项B符合题意．
故选：B．
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【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键．
题型 04 根据一次函数图象解析式判断象限
1．（2022·陕西西安·校考模拟预测）若m<−2，则一次函数y=(m+1)x+1−m的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象和系数的关系分析即可．
【详解】解：若m<−2，则m+1<−1<0，1−m>3>0，
∴一次函数的图象不经过第三象限，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，对于y=kx+b来说，当k>0时，y随着x的增大而增
大；当k<0时，y随着x的增大而减小；当b>0时，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，直线与y轴交于负
半轴，熟知上述性质是解题的关键．
2．（2023·安徽六安·统考二模）关于x的一元二次方程mx2−2x−1=0无实数根，则一次函数y=mx+2
的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据一元二次方程mx2−2x−1=0无实数根得m≠0且Δ=(−2) 2−4m×(−1)<0，即可得
m<−1，又∵b=2>0，可得一次函数y=mx+2的图象经过一、二、四象限，即可得．
【详解】解：∵一元二次方程mx2−2x−1=0无实数根，
∴m≠0且Δ=(−2) 2−4m×(−1)<0，
4+4m<0，
4m<−4，
m<−1，
又∵b=2>0，
∴一次函数y=mx+2的图象经过一、二、四象限，
∴一次函数y=mx+2的图象不经过第三象限，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一次函数的图像性质，解题的关键是理解题意，掌握这
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些知识点．
3．（2023·安徽合肥·统考二模）一元二次方程x2−2x−3=0有两个实数根a，b，那么一次函数
y=(ab−1)x+a+b的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据根与系数的关系即可求出ab与a+b的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】解：由根与系数的关系可知：a+b=2，ab=−3，
∴一次函数解析式为：y=−4x+2，
故一次函数的图象一定不经过第三象限．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．
4．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知正比例函数y=kx中，y随x的增大而增大，则一次函数
y=−2kx+k的图象所经过的象限是（ ）
A．一、二、四 B．一、二、三 C．一、三、四 D．二、三、四
【答案】A
【分析】先根据正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即
可得出结论．
【详解】解：∵正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴−2k＜0
∴一次函数y=−2kx+k的图象经过一、二、四象限．
故选：A．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质和一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b(k≠0)中，
当k＜0，b＞0时函数的图象在一、二、四象限．
题型 05 已知函数经过的象限求参数的值或取值范围
1．（2023·陕西渭南·统考二模）一次函数y=(k−2)x+k（k为常数，k≠2）的图象不经过第四象限，则
k的值可能为（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．3
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【答案】D
【分析】根据题意得出¿，解不等式组即可求解．
【详解】解：∵一次函数y=(k−2)x+k（k为常数，k≠2）的图象不经过第四象限，
∴¿
解得：k>2
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
2．（2023·湖南长沙·校考一模）一次函数y=(k−1)x+k不经过第二象限，则k的值（ ）
A．+1 B．0 C．±1 D．不存在
【答案】D
【分析】根据题意可知经过第一、三象限或第一、三、四象限，据此根据一次函数的性质列出不等式组求
解即可．
【详解】解：∵一次函数y=(k−1)x+k不经过第二象限，
∴经过第一、三象限或第一、三、四象限，
∴¿，
此时不等式组无解
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数y=kx+b，当k>0，b>0时，
一次函数y=kx+b经过第一、二、三象限，当k>0，b<0时，一次函数y=kx+b经过第一、三、四象限，
当k<0，b>0时，一次函数y=kx+b经过第一、二、四象限，当k<0，b<0时，一次函数y=kx+b经
过第二、三、四象限是解题的关键．
3．（2023·陕西榆林·校考二模）已知一次函数y=kx+b的图象与y轴交于负半轴，且不经过第一象限，则
该函数图象与y=−kx+b−1的图象的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据一次函数图象的象限，判断出k＜0，b＜0，即可解答．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象与y轴交于负半轴，且不经过第一象限，
∴k＜0，b＜0，
∴−k>0，b−1<0，
则y=−kx+b−1的图象经过第一、三、四象限，
∴两函数图象交点在第四象限，
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故选：D．
【点睛】本题考查了已知一次函数经过的象限判断参数的值，熟知一次函数图象的特征是解题的关键．
4．（2023·湖南娄底·统考一模）若直线y=kx−2经过第一、三、四象限，则k的值可以是 （请填
一个具体的数）．
【答案】1 （答案不唯一）
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数中k与b对函数图象的影响是解题的关
键．根据一次函数所经过的象限确定图象的增减性，然后确定k的取值范围即可解答．
【详解】解：∵ y=kx−2经过第一、三、四象限，
∴k>0，
∴k的值可以为1（答案不唯一），
故答案为：1（答案不唯一）．
5．（2023·湖南永州·校考二模）已知一次函数y=(m−2)x+2m+6的图象经过第一、二、四象限，则m的
取值范围是 ．
【答案】−3<m<2
【分析】根据一次函数y=(m−2)x+2m+6的图象经过第一、二、四象限，得到关于m的不等式，求解即
可．
【详解】解：∵一次函数y=(m−2)x+2m+6的图象经过第一、二、四象限，
∴¿，解得−3<m<2，
故答案为：−3<m<2．
【点睛】本题考查一次函数图象的性质，对于一次函数y=kx+b(k≠0，k，b为常数），当k>0，图象经
过第一，三象限，y随x的增大而增大；当k<0，图象经过第二，四象限，y随x的增大而减小；当b>0，
图象与y轴的交点在x轴的上方；当b=0，图象过坐标原点；当b<0，图象与y轴的交点在x轴的下方．
6．（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）若一次函数y=kx−k+3不经过第二象限，则k的取值范
围为 ．
【答案】k≥3
【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k的取值范围，从而求解．
【详解】∵一次函数y=kx−k+3的图象不经过第二象限，
∴一次函数y=kx−k+3的图象经过第一、三、四象限或者过第一、三象限，
∴k>0且−k+3≤0，
解得k≥3．
故答案为：k≥3．
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【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线
y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．需要特别注意不经过第二象限可能只经过第一、三象
限．
题型 06 一次函数与坐标轴交点问题
1．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）如图，直线y=kx+4分别交坐标轴于点C、D，x轴上
(13 )
一点A关于直线CD的对称点A'坐标为 ，4 ，则k的值为（ ）
3
3 2 3
A．− B．−2 C．− D．−
5 3 4
【答案】C
【分析】连接A A'，交CD于点P，连接AD、A'D、A'C，与A'、D的坐标可知A'D∥AC，即可得到
13
A'D= ，OD=4，∠A'DP=∠ACP，与对称的性质得到AD=A'D，AC=A'C，CD垂直平分A A'，
3
13
证得△A'PD≌△APC(ASA)，即可证得四边形AD A'C是菱形，得到AD=AC= ，利用勾股定理求得
3
OA，即可求得点C的坐标，利用待定系数法即可求得k的值．
【详解】解：连接A A'，交CD于点P，连接AD、A'D、A'C，
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∵直线y=kx+4分别交坐标轴于点C、D，
∴D(0,4)，
13
∵点A'坐标为( ,4)，
3
∵A'D∥AC，
13
∴A'D= ，OD=4，∠A'DP=∠ACP，
3
由题意可知，AD=A'D，AC=A'C，CD垂直平分A A'，
∴PA=PA'，
∵∠A'PD=∠APC，
∴ △A'PD≌△APC(ASA)，
∴A'D=AC，
∴四边形ADA'C是菱形，
13
∵AD=AC= ，
3
5
∴OA=√AD2−OD2=
，
3
5 13
∴OC=OA+AC= + =6，
3 3
∴C(6,0)，
∵直线y=kx+4分别交坐标轴于点C、D，
∴6k+4=0，
2
解得k=− ．
3
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化−对称，菱形的判定和性质，勾股定
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理的应用，待定系数法求一次函数的解析式，求得点C的坐标是解题的关键．
2．（2023·山东菏泽·统考三模）在平面直角坐标系xoy中，已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图像过点
P(1,1)，与x轴、y轴分别交点A、B，且OA=3OB，那么点A的坐标为（ ）
A．(−2,0) B．(4,0)
C．(−2,0)或(−4,0) D．(−2,0)或(4,0)
【答案】D
【分析】根据题意找出k,b数量关系，考虑直线的位置两种情形即可．
【详解】由y=kx+b得，
当x=0时，y=b，∴点B的坐标为(0,b)，
∴OB=|b|，
b b
当y=0时，x=− ，∴点A的坐标为(− ,0)，
k k
|b|
∴OA=
k
又∵y=kx+b图象过点P(1,1)，
∴k+b=1，
∵OA=3OB，
|b|
∴ =3|b|，
k
1
解得：k=±
3
1 2
①当k= 时，由k+b=1得，b= ，
3 3
∴A(−2,0)；
1 4
②当k=− 时，由k+b=1得，b= ，
3 3
∴A(4,0)；
综上可知：A(−2,0)或(4,0)．
故选：D．
【点睛】此题考查一次函数及其图象的综合应用，解此题的关键是分类讨论各种情形．
1．（2023·天津河东·统考二模）若一次函数y=−3x+m（m为常数）的图象经过第二、三、四象限，则
m的值可以是 （写出一个即可）.
【答案】−2（答案不唯一，符合m<0任意值均可）
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【分析】根据已知条件，推得k<0，b<0，即可求解．
【详解】∵一次函数y=−3x+m（m为常数）的图象经过第二、三、四象限，
∴k<0，b<0
即m<0
故m的值可以是小于0的任意值．
故答案为：−2（答案不唯一，符合m<0任意值均可）．
【点睛】本题主要考查一次函数图象经过的象限和参数的关系，属于基础题．
2．（2023·辽宁鞍山·校考一模）函数y=kx2−8x−8的图象和x轴有交点，则k的取值范围是 ．
【答案】k≥−2
【分析】分类讨论：①当k=0，函数y=kx2−8x−8的图象和x轴有交点；②当k≠0，函数
y=kx2−8x−8的图象和x轴有交点，即方程kx2−8x−8=0有实数根，由此即可求解．
【详解】分类两种情况讨论：
①当k=0，函数y=kx2−8x−8=−8x−8，该函数的图象和x轴必有有交点；
②当k≠0，函数y=kx2−8x−8的图象和x轴有交点，
即方程kx2−8x−8=0有实数根，
则Δ=(−8) 2−4k×(−8)≥0
∴k≥−2
∴k≥−2且k≠0
综上所述，k的取值范围是k≥−2．
故答案为：k≥−2
【点睛】本题考查了函数与x轴的交点，一元二次方程根的判别式，运用分类讨论是解题的关键．
题型 07 判断一次函数增减性
1
1．（2022·河北石家庄·校考模拟预测）下列函数：① y=−x；② y=2x；③y= ；④ y=x2．当x<0时，
x
y随x的增大而减小的函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】分别根据一次函数、反比例函数及二次函数的性质进行逐一判断即可．
【详解】解：一次函数y=−x中k<0，
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∴当x<0时，y随x的增大而减小，故①符合题意；
∵正比例函数y=2x中，k=2>0，
∴当x<0时，y随x的增大而增大，故②不符合题意；
1
∵反比例函数y= 中，k=1>0，
x
∴当x<0时函数的图像在第三象限，此时y随x的增大而减小，故③符合题意；
∵二次函数y=x2中a=1>0，
∴此抛物线开口向上，当x<0时，y随x的增大而减小，故④符合题意．
综上可知，①③④符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查的是一次函数、反比例函数及二次函数的性质，解题关键是根据题意判断出各函数的增
减性．
2．（2023·广东东莞·东莞市东莞中学松山湖学校校考一模）已知点(−1，y )，(3，y )在一次函数
1 2
y=2x+1的图象上，则y ，y 的大小关系是（ ）
1 2
A．y <y B．y = y C．y >y D．不能确定
1 2 1 2 1 2
【答案】A
【分析】利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，结合−1<3，可得出y <y ．
1 2
【详解】解：∵k=2>0，
∴y随x的增大而增大，
∵点(−1，y )，(3，y )在一次函数y=2x+1的图象上，且−1<3，
1 2
∴y <y ．
1 2
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是
解题的关键．
3．（2023·浙江温州·统考二模）在平面直角坐标系中，过点(−2,3)的直线l经过一、二、三象限．若点
(a,−1)，(−1,b)，(0,c)都在直线l上，则下列判断正确的是（ ）
A．c<b B．c<3 C．b<3 D．a<−2
【答案】D
【分析】设直线l:y=kx+m，且经过一、二、三象限，可得m>0，k>0，利用一次函数的性质可求解．
【详解】解：设直线l:y=kx+m，且经过一、二、三象限，
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∴m>0，k>0
∴y随x的增大而增大，
∵−2<−1<0
∴c>b>3
∴选项A，B，C错误
∵y =3>y =−1，
1 2
∴−2>a，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练运用一次函数的性质是本题的关键．
4．（2023·安徽安庆·统考一模）一次函数y=kx+b(k≠0)的x与y的部分对应值如下表所示：
x … −2 1 3 …
y … 7 4 2 …
根据表中数据分析，下列结论正确的是（ ）．
A．该函数的图象与x轴的交点坐标是(4，0)
B．该函数的图象经过第一、二、四象限
C．若点(2，y )、(4，y )均在该函数图象上，则y <y
1 2 1 2
D．将该函数的图象向上平移5个单位长度得y=−x的图象
【答案】B
【分析】先由表格数据，利用待定系数法可求得一次函数的解析式，再根据一次函数图象与坐标轴的交点，
一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象的平移即可求解．
【详解】解：根据表格数据，将点(1，4)，(3，2)带入一次函数解析式y=kx+b中，可得：
¿，解得¿，即此一次函数解析式为y=−x+5，
A、直线y=−x+5，令y=0，解得x=5，因此一次函数图象与x轴的交点应为(5，0)，故选项错误，不符
合题意；
B、由解析式可知函数经过一、二、四象限，故选项正确，符合题意；
C、若点(2，y )、(4，y )均在该函数图象上，由函数增减性可知，y >y ，故选项错误，不符合题意；
1 2 1 2
D、函数图象向上平移5个单位长度得到的应该是y=−x+10的图像，故选项错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，一次函数
的性质，一次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象的平移，正确求出一次函数的解析式是解决这道题
的关键，同时，要熟练掌握一次函数图象与坐标轴的交点坐标，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐
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标特征及一次函数图象的平移等知识点．
题型 08 根据一次函数增减性判断参数取值范围
1．（2023·浙江杭州·校考二模）若A(x ,y ),B(x ,y )分别在一次函数y=kx+b(k>0)图像上两个不相
1 1 2 2
同的点，记P=(x −x )(y −y )，则P为（ ）
1 2 1 2
A．0 B．正数 C．负数 1 D．非负数
【答案】B
【分析】根据k>0，y随着x增大而增大，可知(x −x )与(y −y )同号，进一步可知P的符号．
1 2 1 2
【详解】解：∵一次函数一次函数y=kx+b(k>0)，
∴y随着x增大而增大，
∵若A(x ,y ),B(x ,y )分别在一次函数y=kx+b(k>0)图象上两个不相同的点，
1 1 2 2
∴(x −x )与(y −y )同号，
1 2 1 2
∴P=(x −x )(y −y )>0，
1 2 1 2
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握一次函数性质与系数的关系是解题的关键．
2．（2023·安徽六安·统考一模）一次函数y=kx−1的图象经过点M，且y的值随x增大而增大，则点M的
坐标可能是（ ）
A．(−2,5) B．(1,−5) C．(2,5) D．(1,−1)
【答案】C
【分析】根据题意可得k>0，且k≠0，将各选项的点的坐标分别代入一次函数y=kx−1中，求出k的值即
可判断．
【详解】解：∵在一次函数y=kx−1中，y的值随x增大而增大，
∴k>0，且k≠0，
A．将(−2,5)代入y=kx−1中，得5=−2k−1，
解得：k=−3<0，故A选项不符合题意；
B．将(1,−5)代入y=kx−1中，得−5=k−1，
解得：k=−4<0，故B选项不符合题意；
C．将(2,5)代入y=kx−1中，得5=2k−1，
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解得：k=3>0，故C选项符合题意；
D．将(1,−1)代入y=kx−1中，得−1=k−1，
解得：k=0，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，熟知一次函数的性质是解题关键．
3．（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）一次函数y=k(x−2)+3的图象上y随x的增大
而减小，则下列点可能在函数图象上的是（ ）
A．(3，−1) B．(2，4) C．(4，5) D．(5，6)
【答案】A
【分析】根据一次函数y=k(x−2)+3的图象上y随x的增大而减小，可知k<0，然后将各个选项中的点的
代入解析式求出k的值，即可判断哪个选项符合题意．
【详解】解：∵一次函数y=k(x−2)+3的图象上y随x的增大而减小，
∴k<0，
当x=3，y=−1时，−1=k(3−2)+3，解得：k=−4，故A选项符合题意；
当x=2，y=4时，4=k(2−2)+3，不成立，故B选项不符合题意；
当x=4，y=5时，5=k(4−2)+3，解得：k=1，故C选项不符合题意；
当x=5，y=6时，6=k(5−2)+3，解得k=1，故D选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出
k的正负情况．
4．（2023·江苏宿迁·统考三模）一次函数y=(2m−1)x+3的值随x的增大而增大，则点P(−m,m)所在象
限（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
1
【分析】根据一次函数图像的性质可得2m−1>0，由此可解出m> ，根据不等式的性质即可求解点
2
P(−m,m)的符号及所在象限．
【详解】解：一次函数y=(2m−1)x+3的值随x的增大而增大，
1
∴2m−1>0，解得m> ，
2
1
∴−m<− <0，
2
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∴P(−m,m)在第二象限，
故选：B．
【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，判定点坐标所在象限，掌握一次函数图像的性质，不等式的
性质，确定点的符号是解题的关键．
5．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）一次函数y=(−2m+1)x的图象经过(−1，y )、(2，
1
y )两点，且y >y ，则m的值可以是( )
2 1 2
1 1
A． B．0 C．1 D．−
2 2
【答案】C
【分析】根据题意可得一次函数y=(−2m+1)x，y随x的增大而减小，则−2m+1<0，即可求解．
【详解】解：∵一次函数y=(−2m+1)x的图象经过(−1，y )、(2，y )两点，且y >y ，即y随x的增
1 2 1 2
大而减小，
∴−2m+1<0，
1
解得：m> ，
2
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
题型 09 根据一次函数增减性判断自变量的变化情况
1．（2023·陕西咸阳·校考三模）已知A(0,a),B(1,b)是直线y=3x+2上的点，则a，b的大小关系是
（ ）
A．a>b B．a<b C．a≥b D．a=b
【答案】B
【分析】根据一次函数的增减性即可解答．
【详解】解：∵函数y=3x+2中，k=3>0，
∴y随x的增大而增大，
又∵0<1，
∴a<b．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，掌握函数y=kx+b：当k>0时， y随x的增大而增大；当
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k<0时， y随x的增大而减小成为解答本题的关键．
2．（2022·山东枣庄·统考一模）已知点P(a,b）在直线y=−3x−4上，且2a−5b≤0（ ）
b 2 b 2 a 5 a 5
A． ≥ B． ≤ C． ≤ D． ≥
a 5 a 5 b 2 b 2
【答案】B
【分析】根据P(a，b)是直线y=-3x-4上的点，得到b=-3a-4，代入2a−5b≤0，确定a是负数，后根据不等
式的性质计算判断即可．
【详解】∵P(a，b)是直线y=-3x-4上的点，
∴b=-3a-4，代入2a−5b≤0，
20
∴a≤− ＜0，
17
b 2
∴ ≤ ，
a 5
故选B．
【点睛】本题考查了点与一次函数，一次函数与不等式，不等式的性质，熟练掌握一次函数与不等式的关
系是解题的关键．
3．（2021·四川德阳·校考一模）已知实数x，y满足2x−3 y=4，并且x≥−1，y<2，现有k=x−y，则k
的取值范围为（ ）
A．k>−3 B．1≤k<3 C．1<k≤3 D．k<3
【答案】B
1 1
【分析】先把2x-3y=4变形得到y= （2x-4），由y＜2得到 （2x-4）＜2，解得x＜5，所以x的取值范围
3 3
1 4
为-1≤x＜5，于是得到k= x+ ，然后利用一次函数的性质确定k的范围．
3 3
【详解】解：∵2x-3y=4，
1
∴y= （2x-4），
3
∵y＜2，
1
∴ （2x-4）＜2，
3
解得x＜5，
又∵x≥-1，
∴-1≤x＜5，
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1 1 4
∵k=x− (2x−4)＝ x+ ，
3 3 3
1 4
当x=-1时，k= ×(−1)+ ＝1，
3 3
1 4
当x=5时，k= ×5+ ＝3，
3 3
∴1≤k＜3．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本步骤为：①去分母；
②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．也考查了代数式的变形和一次函数的性质．解题的关
键是得到k关于x的一次函数表达式．
4．（2023·安徽·校联考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+b分别与x的正半轴、y的负半
轴相交于A，B两点，已知△AOB的面积等于16，则b的值为 ．
【答案】−8
( 1 )
【分析】依据题目求出A − b,0 ，B(0,b)，再根据△AOB的面积等于16，即可得出答案．
2
【详解】当y=0时，0=2x+b
1
∴x=− b，
2
( 1 )
∴A − b,0 ，
2
当x=0时，y=b
∴B(0,b)，
∵直线y=2x+b分别与x的正半轴、y的负半轴相交于A，B两点，
1
∴OA=− b，OB=−b
2
∵△AOB的面积等于16，
1 ( 1 )
∴ × − b ×(−b)=16，
2 2
解得：b=−8，b=8（不合题意，舍去）．
故答案为：−8．
【点睛】此题考查了一次函数与x轴、y轴的交点问题，以及三角形面积问题，一元二次方程的解，掌握一
次函数与x轴、y轴的交点的求法是解题的关键．
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题型 10 一次函数的平移问题
1．（2023·陕西咸阳·校考一模）在平面直角坐标系中，将直线y=2x+6向右平移m个单位长度后得到的
直线与直线y=−x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（ ）
A．1<m<7 B．2<m<6 C．m>7 D．m<1
【答案】A
【分析】将直线y=2x+6的图象向右平移m个单位可得：y=2(x−m)+6，求出直线y=2(x−m)+6，与
直线y=−x+4的交点，再由此点在第一象限可得出m的取值范围．
【详解】解：将直线y=2x+6的图象向右平移m个单位可得：y=2(x−m)+6，联立两直线解析式得：¿，
解得：¿，
(2m−2 −2m+14)
即交点坐标为 , ，
3 3
∵交点在第一象限，
∴¿，
解得：1<m<7，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，解题的关键是注意第一象限的点的横
坐标大于0、纵坐标大于0．
2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）在同一平面直角坐标系内，将函数y=x−3的图象向右平移2个单位，
再向下平移1个单位得到的图象与x轴的交点坐标是（ ）
A．(−6,0) B．(−1,0) C．(6,0) D．(2,0)
【答案】C
【分析】利用平移的坐标规律求解即可.
【详解】解：将函数y=x−3的图象向右平移2个单位，得到y=x−2−3，再向下平移1个单位得到
y=x−2−3−1，整理得y=x−6，
当y=0时，x=6，
∴图象与x轴的交点坐标是(6,0)，
故选：C.
【点睛】本题考查了一次函数平移规律，熟练掌握平移的规律是解答的关键.
5
3．（2023·河南南阳·统考一模）已知一次函数y= x+2，当−3≤x≤3时，y的最大值等于 ．
3
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【答案】7
【分析】根据一次函数的性质即可得答案．
5 5
【详解】∵一次函数y= x+2中， >0，
3 3
∴y随x的增大而增大，
∵−3≤x≤3，
5
∴当x=3时，y有最大值，最大值为 ×3+2=7，
3
故答案为：7．
【点睛】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
4．（2023·江苏淮安·校考二模）将直线y=3x+b向上平移3个单位后经过点(0,5)，则b的值为 ．
【答案】2
【分析】先根据平移规律求出直线y=3x+b向上平移3个单位后的直线解析式，再把点(0,5)代入，即可求
出b的值．
【详解】将直线y=3x+b向上平移3个单位后得到直线y=3x+b+3，
把点(0,5)代入，得5=b+3，
解得b=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出平移后的直线解
析式是解题的关键．
5．（2023·广东深圳·校考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知∠AOB=90°,∠CAO=60°，点
A的坐标为(−6,2√3)，若直线y=−2x+1沿y轴平移m个单位后与△AOB仍有公共点，则m的取值范围
是 ．
【答案】2√3−13≤m≤11+6√3
【分析】根据题意画出图形，求出点B的坐标，再求出过点A和点B且与直线y=−2x+1平行的直线解析
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式，分别求出与y轴的交点坐标即可解决问题．
【详解】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x于点F，如图，
∵A(−6,2√3)，
∴AE=2√3,OE=6
根据勾股定理得，AO=√AE2+OE2=4√3，
∴∠AOE=30°,
∵∠AOB=90°,∠CAO=60°
∴∠ABO=30°
∴AB=2AO=8√3
∴BO=√AB2−AO2=12
又∠BOF=180°−∠AOE−∠AOB=60°
∴∠OBF=30°
1
∴OF= BO=6
2
∴BF=√BO2−OF2=6√3
∴B(6,6√3)
对于y=−2x+1，当x=0时，y=1，
∴直线y=−2x+1与y轴的交点坐标为(0,1)；
设过点A且与直线y=−2x+1平行的直线解析式为y=−2x+p，
把A(−6,2√3)代入y=−2x+p，得：2√3=−2×(−6)+p，
∴p=2√3−12，
∴y=−2x+2√3−12，
当x=0时，y=2√3−12，
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∴直线y=−2x+2−4√3与y轴的交点坐标为(0,2√3−12)
设过点B且与直线y=−2x+1平行的直线解析式为y=−2x+q,
把B(6,6√3)代入y=−2x+q,得：6√3=−2×6+q，
∴q=12+6√3，
∴y=−2x+12+6√3
当x=0时，y=12+6√3，
∴y=−2x+12+6√3与y轴的交点坐标为(0,12+6√3)
∴直线y=−2x+1沿y轴平移m个单位后与△AOB仍有公共点，则m的取值范围是
2√3−12−1≤m≤12+6√3−1，即2√3−13≤m≤11+6√3，
故答案为：2√3−13≤m≤11+6√3
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，一次函数图像的
平移，求出直线与y轴的交点坐标是解答本题的关键
6．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）以下对一次函数y=−x+2的图像进行变化的方案中正
确的是 （只填序号）．
①向下平移4个单位长度得到一次函数y=−x−2的图像；
②向左平移4个单位长度得到一次函数y=−x−2的图像；
③绕原点旋转90°得到一次函数y=x−2的图像；
④先沿x轴对称，再沿y轴对称得到一次函数y=−x−2的图像．
【答案】①②④
【分析】根据一次函数的平移，判断①②，根据旋转的性质以及轴对称的性质，分别画出图形判断③④即
可求解．
【详解】解：一次函数y=−x+2
①向下平移4个单位长度得到一次函数y=−x+2−4，即y=−x−2的图像，故①正确，符合题意；
②向左平移4个单位长度得到一次函数y=−(x+4)+2，即y=−x−2的图像，故②正确，符合题意；
③如图所示，绕原点旋转90°得到一次函数y=x−2或y=x+2的图像；故③不正确，不符合题意；
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④如图所示，先沿x轴对称得到y=x−2，再沿y轴对称得到一次函数y=−x−2的图像，故④正确，符合
题意；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了一次函数的平移，轴对称与旋转的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
7．（2023·北京海淀·北京市师达中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0
）的图象由函数y=x的图象平移得到，且经过点(1,2)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x<1时，对于x的每一个值，函数y=mx（m≠0）的值小于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取
值范围．
【答案】(1)y=x+1
(2)1≤m≤2
【分析】（1）根据一次函数y=kx+b(k≠0)由y=x平移得到可得出k值，然后将点(1,2)代入y=x+b可
得b值即可求出解析式；
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（2）由题意可得临界值为当x=1时，两条直线都过点(1,2)，即可得出当x<1，m<2时，y=mx(m≠0)
都小于y=x+1，根据x<1，可得m可取值2，可得出m的取值范围．
【详解】（1）解：∵一次函数y=kx+b(k≠0)由y=x平移得到，
∴k=1，
将点(1,2)代入y=x+b可得b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1；
（2）解：当x<1时，对于x的每一个值，函数y=mx（m≠0）的值小于y=x+1的值，即图象在y=x+1
下方，m>0，由下图可知：
临界值为当x=1时，两条直线都过点(1,2)，
∴当x<1，m<2时，y=mx(m≠0)都小于y=x+1，
又∵x<1，
∴m可取值2，即m=2，
当0<m<1,y=mx(m≠0)与y=x+1在y周的左侧相交，
∴m的取值范围为1≤m≤2．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键．
题型 11 求一次函数解析式
1．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(1,2)，当
x增加1个单位长度时，y减少3个单位长度，则将此函数的图象向上平移2个单位长度得到的图象所对应
的函数表达式是（ ）
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1
A．y=−3x+5 B．y=− x+7 C．y=−3x+7 D．y=3x−4
3
【答案】C
【分析】由题意可知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象也经过点(2,−1)，利用待定系数法确定函数解析式，
然后由平移即可得出新的函数解析式．
【详解】解；由题意可知一次函数y=kx+b的图象也经过点(2,−1)
∴¿
解得：¿
故一次函数的表达式是y=−3x+5
∴函数的图象向上平移2个单位长度得到的表达式为y=−3x+7
故选：C．
【点睛】本题主要考查待定系数法确定一次函数解析式，函数图象的平移，熟练掌握一次函数的性质是解
题关键．
2．（2023·江苏南京·统考二模）已知A(2,0)，B(0,2)，下列四个点中与A、B在同一条直线上的是（ ）
A．(1,2) B．(−1,3) C．(−2,−3) D．(3,−2)
【答案】B
【分析】先求出直线AB的解析式，再进行判断即可．
【详解】解：设直线AB的解析式为：y=kx+b(k≠0)，
则：¿，解得：¿，
∴y=−x+2，
∴当x=1时，y=1；当x=−1时，y=3；当x=−2时，y=4；当x=3时，y=−1；
∴与A、B在同一条直线上的是点(−1,3)；
故选B．
【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征．解题的关键，是求出直线AB的解析式．
3．（2023·福建福州·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,0)，点A'(−2,4)．若点A
与点A'关于直线l成轴对称，则直线l的解析式是（ ）
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A．y=2 B．y=x C．y=x+2 D．y=−x+2
【答案】C
【分析】根据题意求出直线A A'的解析式，由题意得直线l垂直平分A A'，即可求解．
【详解】如图，作直线A A'，交y轴于点C，
设直线A A'的解析式为y=kx+b，
把点A(2,0)，点A'(−2,4)代入得：¿，
解得：¿，
∴直线A A'的解析式为y=−x+2，
当x=0时，y=2，
∴点C(0，2)，
∴OA=OC，点C为A A'的中点，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵点A与点A'关于直线l成轴对称，
∴过点C且垂直A A'的直线即为对称轴l，
∴∠BCO=45°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴OB=OC=2，
设直线l的解析式为y=k'x+b'，
把点B(−2，0)，点C(0，2)代入得：¿，
解得：¿，
∴直线l的解析式为y=x+2，
故选：C．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式和轴对称的特点，灵活运用所学知识是解题关键．
4．（2023·山东威海·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3,1)，(4,3)，将线段
AB平移，使其经过点(2,3)，得到线段CD．下列各点中，直线CD不经过的是（ ）
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(3 ) (1 )
A．(3,5) B． ,2 C．(1,1) D． ,−1
2 2
【答案】D
【分析】先求出直线AB的解析式为y=2x−5，进而可设直线CD的解析式为y=2x+b'，利用待定系数法
求出直线CD的解析式为y=2x−1，再根据在直线上的点一定满足其对应的直线解析式进行求解即可．
【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴¿，
解得¿，
∴直线AB的解析式为y=2x−5，
∵将线段AB平移，使其经过点(2,3)，得到线段CD，
∴可设直线CD的解析式为y=2x+b'，
∴2×2+b'=3，
∴b'=−1，
∴直线CD的解析式为y=2x−1，
3 1
在y=2x−1中，当x=3时，y=5；当x= 时，y=2；当x=1时，y=1；当x= 时，y=0；
2 2
(3 ) (1 )
∴点(3,5)， ,2 ，(1,1)都在直线CD上，点 ,−1 不在直线CD上，
2 2
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的平移，一次函数图象上点的坐标特点，正确求出直线CD的解析
式是解题的关键．
题型 12 一次函数的规律探究问题
1．（2019·山东日照·统考二模）如图，过点A (1,0)作x轴的垂线，交直线y=2x于点B ；点A 与点O关
1 1 2
于直线A B 对称；过点A (2,0)作x轴的垂线，交直线y=2x于点B ；点A 与点O关于直线A B 对称；
1 1 2 2 3 2 2
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过点A 作x轴的垂线，交直线y=2x于点B ；按B 此规律作下去，则点B 的坐标为( )
3 3 3 n
A．(2n，2n-1) B．(2n−1，2n) C．(2n+1，2n) D．（2n，2n+1）
【答案】B
【分析】先根据题意求出点A 的坐标，再根据点A 的坐标求出B 的坐标，以此类推总结规律便可求出点
2 2 2
B 的坐标．
n
【详解】∵A (1,0)
1
∴OA =1
1
∵过点A (1,0)作x轴的垂线，交直线y=2x于点B
1 1
∴B (1,2)
1
∵A (2,0)
2
∴OA =2
2
∵过点A (2,0)作x轴的垂线，交直线y=2x于点B
2 2
∴B (2,4)
1
∵点A 与点O关于直线A B 对称
3 2 2
∴A (4,0),B (4,8)
3 3
以此类推便可求得点A 的坐标为(2n−1,0)，点B 的坐标为(2n−1,2n)
n n
故答案为：B．
【点睛】本题考查了坐标点的规律题，掌握坐标点的规律、轴对称的性质是解题的关键．
2．（2020·云南·统考二模）在平面直角坐标系中，点A (−1,1)在直线y=x+b上，过点A 作A B ⊥x轴
1 1 1 1
于点B ，作等腰直角三角形A B B (B 与原点O重合)，再以A B 为腰作等腰直角三角形A A B ，以
1 1 1 2 2 1 2 2 1 2
A B 为腰作等腰直角三角形A B B ，…按照这样的规律进行下去，那么A ❑ 的坐标为( )
2 2 2 2 3 2 020
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A．(22019−1,22019
)
B．(22019−2,22019
)
C．(22020−1,22020
)
D．(22020−2,22020
)
【答案】B
【分析】根据直线的解析式以及等腰直角三角形的性质即可得出A（0，2），A（2，4），A（6，8），
2 3 4
根据坐标的变化即可找出变化规律A（2n-1-2，2n-1）．即可得出点A 的坐标．
n 2020
【详解】解：∵点B 、B 、B 、…、B 在x轴上，且AB =B B ，AB =B B ，AB =B B ，
1 2 3 n 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4
∵A （-1，1），
1
∴A（0，2），A（2，4），A（6，8），
2 3 4
，…，
∴A（2n-1-2，2n-1）．
n
∴A 的坐标为（22019-2，22019）．
2020
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，解题的
关键是找出A 坐标的变化规律，注意掌握解决该题型题目时，结合一次函数图象上点的坐标特征以及等腰
n
直角三角形的性质找出线段的变化规律是解题的关键．
1
3．（2023·辽宁鞍山·统考二模）如图，直线y= x+1与y轴交于点C，点A ,A ,A ,⋯在x轴正半轴上且
2 1 2 3
1
横坐标分别为2，4，6，…，过A 作A C ⊥x轴交直线y= x+1于点C ，连接OC ，A C，且
1 1 1 2 1 1 1
1
OC ,A C交于点P ；过A 作A C ⊥x轴交直线y= x+1于点C ，连接A C ，A C ，且A C ,A C
1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1
交于点P ；…按照此规律进行下去，则P 的纵坐标为 ．
2 n
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n(n+1)
【答案】
2n+1
【分析】分别过P 作P B ⊥x轴交于点B ，过P 作P B ⊥x轴交于点B ，过P 作P B ⊥x轴交于点B ，
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
过P 作P B ⊥x轴交于点B ，利用平行线分线段成比例找到P 的纵坐标规律即可．
n n n n n
【详解】分别过P 作P B ⊥x轴交于点B ，过P 作P B ⊥x轴交于点B ，过P 作P B ⊥x轴交于点B ，
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
过P 作P B ⊥x轴交于点B ，
n n n n
∵点A ,A ,A ,⋯在x轴正半轴上且横坐标分别为2，4，6，…，A C ⊥x，A C ⊥x，⋯A C ⊥x
1 2 3 1 1 2 2 n n
∴C(0,1),C (2,2),C (4,3),C (6,4),⋯C (2n,n+1),
1 2 3 n
∴OC=1,A C =2,A C =3,⋯A C =n,A C =n+1,
1 1 2 2 n−1 n−1 n n
∵P B ⊥x，
1 1
∴OC∥A C ∥P B ，
1 1 1 1
P B A B P B OB
∴ 1 1= 1 1 ， 1 1 = 1
OC OA A C OA
1 1 1 1
P B P B A B OB OA
∴ 1 1+ 1 1 = 1 1+ 1 = 1=1
OC A C OA OA OA
1 1 1 1 1
OC⋅A C
∴P B = 1 1 ，
1 1 OC+A C
1 1
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A C ⋅A C
同理可得：P B = 1 1 2 2 ，
2 2 A C +A C
1 1 2 2
A C ⋅A C n(n+1) n(n+1)
P B = n−1 n−1 n n= = ，
n n A C +A C n+(n+1) 2n+1
n−1 n−1 n n
n(n+1)
故答案为： ．
2n+1
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，一次函数的性质，通过作垂线构造平行线是解题的关键．
4．（2022·山东东营·统考二模）直线y=x+1与x轴交于点D，与y轴交于点A ，把正方形A B C O 、
1 1 1 1 1
A B C C 和A B C C 按如图所示方式放置，点A 、A 在直线y=x+1上，点C 、C 、C 在x轴上，
2 2 2 1 3 3 3 2 2 3 1 2 3
按照这样的规律，则正方形A B C C 中的点B 的坐标为 ．
2022 2022 2022 2021 2022
【答案】(22022−1,22021
)
【分析】求出直线y=x+1与x轴、y轴的交点坐标，进而确定第1个正方形的边长，再根据等腰直角三角形
的性质，得出第2个、第3个……正方形的边长，进而得出B、B、B……的坐标，根据规律得到答案．
1 2 3
【详解】解：直线y=x+1与x轴，y轴交点坐标为：A（0，1），即正方形OABC 的边长为1，
1 1 1 1
∵△ABA、 ABA，……都是等腰直角三角形，边长依次为1，2，4，8，16……
1 1 2 2 2 3
∴B（1，1）△，B（3，2），B（7，4），B（15，8）……
1 2 3 4
即：B（21-1，20），B（22-1，21），B（23-1，22），B（24-1，23）……B （22022-1，22021）
1 2 3 4 2022
故答案为：B （22022-1，22021）
2022
【点睛】考查一次函数的图象和性质，正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及找规律等知识，探索和
发现点B的坐标的规率是得出答案的关键．
1
5．（2022·辽宁锦州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y=− x+1与直线l ：
1 2 2
3 1
y=− x+3分别交y轴于点A，B．以AB为直角边在其左侧作Rt△ABC，且另一直角边满足BC= AB，
2 2
过点C作A B ∥AB分别交直线l 与l 于点A ，B ；以A B 为直角边在其左侧作Rt△A B C ，且另一
1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1
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1
直角边满足B C = A B ，过点C 作A B ∥A B 分别交直线l 与l 于点A ，B ；以A B 为直角边在
1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2
1
其左侧作Rt△A B C ，且另一直角边满足B C = A B ……按照此规律进行下去，则△A B C
2 2 2 2 2 2 2 2 2022 2022 2022
的面积为 ．
3 4044
【答案】( )
2
1
【分析】先根据两条直线的解析式求出A、B两点坐标，然后求出AB长度，由BC= AB可求出点C坐标，
2
又因为A B 始终经过点C 且与y轴平行，通过计算找出B C 、A B 变化的规律，然后用三角形面积公
n n n n n n n
式计算即可．
1
【详解】解：∵直线l ：y=− x+1与y轴交于点A，∴A(0,1)，
1 2
3
直线l ：y=− x+3与y轴交于点B，∴B(0,3)，
2 2
1
∴AB=2，BC= AB=1，
2
∵BC⊥AB，∴C(−1,3)，
又∵过点C作A B ∥AB分别交直线l 与l 于点A 、B ，
1 1 1 2 1 1
3 9 5 9
∴A (−1, ),B (−1, )C (− , )，
1 2 1 2 1 2 2
1 3
∴A B =3,B C = A B = ，
1 1 1 1 2 1 1 2
又∵过点C 作A B ∥A B 分别交直线l 与l 于点A ，B ，
1 2 2 1 1 1 2 2 2
5 9 5 27 19 27
∴A (− , ),B (− , )C (− , )，
2 2 4 2 2 4 2 4 4
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9 1 9
∴A B = ,B C = A B = ，
2 2 2 2 2 2 2 2 4
以此类推，
27 3 3 27 3 3
B C = =( ) ,A B =2B C = =2×( ) ，
3 3 4 2 3 3 3 3 2 2
81 3 4 81 3 4
B C = =( ) ,A B =2B C = =2×( ) ，
4 4 16 2 4 4 4 4 8 2
…
3 n 3 n
B C =( ) ,A B =2B C =2×( ) ，
n n 2 n n n n 2
3 2022 3 2022
∴B C =( ) ,A B =2B C =2×( ) ，
2022 2022 2 2022 2022 2022 2022 2
1 3 2022 3 2022 3 4044
则S = ×( ) ×2×( ) =( ) ，
△A 2022 B 2022 C 2022 2 2 2 2
3 4044
故答案为：( ) ．
2
【点睛】本题考查了一次函数图像上的坐标特征及直角三角形的性质，解决问题的关键是通过计算找出
B C 、A B 变化的规律，然后用三角形面积公式计算即可．
n n n n
题型 13 一次函数的新定义问题
1．（2023·河南新乡·校联考二模）在直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)和Q(x,y')给出如下定义：若
y'=¿，则称点Q为点P的“纵变点”．例如：点(1,2)的“纵变点”为(1,2)，点(−2,3)的“纵变点”为
(−2,−3)．若点A在直线y=x+1上，点A的“纵变点”M(m,n)在第三象限，则m的取值范围为（ ）
A．m>1 B．m<0 C．0<m<1 D．−1<m<0
【答案】D
【分析】根据“纵变点”的定义可知A(m,−n)且在第二象限，代入y=x+1上得−n=m+1，然后根据
−n>0列出关于m的不等式求解即可．
【详解】∵M(m,n)在第三象限，
∴m<0，n<0，
∴A(m,−n)且在第二象限，
∵点A在直线y=x+1上，
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∴−n=m+1，
∵−n>0，
∴m+1>0，
解得，m>−1，
∴−1<m<0．
故选D．
【点睛】本题考查了新定义，平面直角坐标系点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次
不等式，求出A(m,−n)且在第二象限是解答本题的关键．
2．（2022·广西钦州·统考一模）定义一种运算：a⊗b=¿则函数y=(x+2)⊗(x−1)的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据a⊗b=¿，分两种情况：当x≤4时和当x＞4时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可
得出结论．
【详解】解：∵当x+2≥2（x-1）时，即x≤4，
∴当x≤4时，（x+2）⊗（x-1）=（x+2）-（x-1）=x+2-x+1=3，
即：y=3，
当x+2<2（x-1）时，即x＞4时，（x+2）⊗（x-1）=（x+2）+（x-1）-6=x+2+x-1-6=2x-5，
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即：y=2x-5，
∵k=2＞0，
∴当x＞4时，y=2x-5，函数图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大，
综上所述，只A选项符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键．
3．（2021·河北·二模）对于实数x，y，我们定义符号max{x，y}的意义：当x≥y时，max{x，y）＝x，当
x y时，max{x，y}＝y，例如max{﹣1﹣2}＝﹣1，max（3，π}＝π，则关于x的函数y＝max{3x，x+2}的图
象<为（ ）
A． B． C．
D．
【答案】C
【分析】令3x=x+2，解得x=1，画出直线y=3x和直线y=x+2的图象即可判断．
【详解】解：令3x=x+2，解得x=1，
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直线y=3x和直线y=x+2的图象如图所示，它们的交点坐标为（1，3），由图象可知，x>1时，x+2>3x；
当x>1时，3x>x+2，
故关于x的函数y=max{3x，x+2}的图象是选项C中的图象．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数的图象，正确画出函数图象并得出交点坐标是解答本题的关键．
4．（2021下·河南省直辖县级单位·八年级统考期末）定义新运算：m☆n＝2m﹣mn，例如：2☆3＝2×2﹣
2×3＝﹣2，则下列关于函数y＝3☆（1﹣x）的说法正确的是（ ）
A．点（﹣2，3）在函数图象上
B．图象经过一、三、四象限
C．函数图象与x轴的交点为（1，0）
D．点（﹣2，y）、（ 1，y）在函数图象上，则y＜y
1 2 1 2
【答案】D
【分析】先根据新运算“☆”的运算方法，得出y与x的函数关系式，再根据函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：∵m☆n=2m-mn，
∴y=3☆（1-x）=2×3-3（1-x）=3x+3．
A．∵当x=-2时，y=-6+3=-3，∴点（﹣2，3）不在函数图象上，故本选项不符合题意；
B．∵k=3＞0，b=3＞0，∴图象经过一、二、三象限，故本选项不符合题意；
C．∵当y=0时，x=-1，∴函数图象与x轴的交点为（-1，0），故本选项不符合题意；
D．∵k=3＞0，y随x的增大而增大，-2＜1，∴y＜y，故本选项符合题意；
1 2
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质以及新定义运算，读懂题目信息，理解新运算的运算方法和一
次函数的性质是解题的关键．
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题型 14 已知直线与坐标轴的交点求方程的解
1．（2023·湖北鄂州·统考一模）如图，A(0,1)，M(3,2)，N(5,5)．点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单
位长度的速度向上移动，且过点P的直线l:y=−x+b也随之平行移动，设移动时间为t秒，当M，N位于
直线l的异侧时，t应该满足的条件是（ ）
A．3<t<6 B．4<t<9 C．3<t<7 D．√5<t<7
【答案】B
【分析】先找出两个临界位置：①直线l经过点M，②直线l经过点N，再分别求出此时t的值，由此即可
得出答案．
【详解】由题意，有以下两个临界位置：
①直线l经过点M(3,2)，
将M(3,2)代入直线l的解析式得：−3+b=2，解得b=5，
则此时直线l的解析式为y=−x+5，
当x=0时，y=5，即直线l与y轴的交点为(0,5)，
因为点A的坐标为A(0,1)，
5−1
所以此时动点P移动时间为t= =4（秒）；
1
②直线l经过点N(5,5)，
将N(5,5)代入直线l的解析式得：−5+b=5，解得b=10，
则此时直线l的解析式为y=−x+10，
当x=0时，y=10，即直线l与y轴的交点为(0,10)，
10−1
则此时动点P移动时间为t= =9（秒）；
1
因此，当点M，N分别位于直线l的异侧时，4<t<9，
故选：B．
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【点睛】本题考查了一次函数的应用，依据题意，正确找出两个临界位置是解题关键．
2．（2023·山东青岛·统考一模）如图，△ABC的顶点坐标分别为A(−4,2)、B(−1,3)、C(−2,−1)，线段
AC交x轴于点P，如果将△ABC绕点P按顺时针方向旋转90°，得到△A'B'C'，那么点B的对应点B'的坐
标是（ ）
(1 5) (1 5) ( 2 )
A． ,− B．(2,−2) C． , D． − ,2
3 3 3 3 3
【答案】A
【分析】根据题意，先求得点P的坐标，过点B作PD⊥x于点D，过点B'作B'E⊥x轴于点E，证明
△PBD≌△B'PE，进而即可求解．
【详解】解：∵A(−4,2)、C(−2,−1)
设直线AC的解析式为y=kx+b，则
¿
解得：¿
3
解得：y=− x−4，
2
8
令y=0，解得：x=−
3
( 8 )
∴P − ,0
3
如图所示，过点B作PD⊥x于点D，过点B'作B'E⊥x轴于点E，
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∵将△ABC绕点P按顺时针方向旋转90°，得到△A'B'C'，
∴PB=PB'，∠BPB'=90°
又∵PD⊥x， B'E⊥x
∴∠PDB=∠PEB'=90°，
∴∠PBD=90°−∠BPD=∠B'PE，
∴△PBD≌△B'PE (AAS)，
∴PD=B'E,PE=BD
( 8 )
∵B(−1,3)，P − ,0
3
5
∴PD=B'E= ,PE=BD=3
3
( 8 5) (1 5)
∴E − +3,− ，即 ,− ，
3 3 3 3
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，旋转的性质，全等三角形的性质，坐标与图形，求得点P的坐标是
解题的关键．
3．（2020下·安徽铜陵·八年级统考期末）如图所示，一次函数y=kx+b（k,b是常数，k≠0）与正比例
函数y=mx（m是常数，m≠0）的图象相交于点M(1,2)，下列判断错误的是（ ）
A．关于x的方程mx=kx+b的解是x=1
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B．关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x>1
C．当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大
D．关于x,y的方程组 ¿的解是 ¿
【答案】B
【分析】根据条件结合图象对各选项进行判断即可．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b（k,b是常数，k≠0）与正比例函数y=mx（m是常数，m≠0）的
图象相交于点M(1,2)，
∴关于x的方程mx=kx+b的解是x=1，选项A判断正确，不符合题意；
关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x≥1，选项B判断错误，符合题意；
当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大，选项C判断正确，不符合题意；
关于x,y的方程组¿的解是¿，选项D判断正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，
知道方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题的关键．
4．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与
y=mx+n(a<m<0)的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数y=mx+n的图象中，y的值随着x值的增大而增大；
y−ax=b x=−3
②方程组{ 的解为{ ；
y−mx=n y=2
③方程mx+n=0的解为x=2；
④当x=0时，ax+b=−1．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
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【答案】B
【分析】由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数的交点坐标可判断②，由一次函数与坐标轴的
交点坐标可判断③④，从而可得答案．
【详解】解：由一次函数y=mx+n的图象过一，二，四象限，y的值随着x值的增大而减小；
故①不符合题意；
由图象可得方程组¿的解为¿，即方程组¿的解为¿；
故②符合题意；
由一次函数y=mx+n的图象过(2,0), 则方程mx+n=0的解为x=2；故③符合题意；
由一次函数y=ax+b的图象过(0,−2), 则当x=0时，ax+b=−2．故④不符合题意；
综上：符合题意的有②③，
故选B
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与
坐标轴的交点问题，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
题型 15 由一元一次方程的解判断直线与 x 轴交点
1．（2022·江苏扬州·校考一模）如图，点A、B的坐标分别为(0,4)、(6,8)，点P为x轴上的动点，若点B
关于直线AP的对称点B'恰好落在x轴上，则点P的坐标是（ ）
(8 ) (4 )
A． ,0 B． ,0 C．(2,0) D．(3,0)
3 3
【答案】A
【分析】先根据勾股定理AB的长，求得B'的坐标．然后用待定系数法求出直线B'B的解析式，由对称的
性质得出AP⊥B'B，求出直线AP的解析式，然后求出直线AP与x轴的交点即可．
【详解】解：如图，连接AB、AB'，
∵A(0,4)，B(6,8)，
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∴AB=√62+42=2√13，
∵点B与B'关于直线AP对称，
∴AB'=AB=2√13，
在RtΔAOB'中，B'O=√AB'2−AO2=6
∴B'点坐标为(−6,0)或(6,0)，
∵A(0,4)，点B(6,8)关于直线AP的对称点B'恰好落在x轴上，
∴点B(6,8)关于直线y=4的对称点B'(6,0)，
∴B'点坐标为(6,0)不合题意舍去，
设直线BB'方程为y=kx+b
将B(6,8)，B'(−6,0)代入得：¿，
2
解得k= ，b=4，
3
2
∴直线BB'的解析式为：y= x+4，
3
3
∴直线AP的解析式为：y=− x+4，
2
3
当y =0时，− x+4=0，
AP 2
8
解得：x= ，
3
8
∴点P的坐标为：( ,0)；
3
故选：A．
【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了用待定系数法确定一次函数的解析式、轴对称的性质、垂线的
关系等知识；本题有一定难度，综合性强，由直线AB的解析式进一步求出直线AP的解析式是解决问题的
关键．
2．（2021·江苏无锡·无锡市侨谊实验中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l 、l 、l 所对
1 2 3
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应的函数表达式分别为y =x+2、y =x−3、y =kx−2k+4（k≠0且k≠1），若l 与x轴相交于点A，l 与
1 2 3 1 3
l 、l 分别相交于点P、Q，则 APQ的面积（ ）
1 2
△
A．等于8 B．等于10 C．等于12 D．随着k的取值变化而变化
【答案】B
【分析】设l 与x轴的交点为B，根据三条直线的解析式，即可求出点P、Q、A、B的坐标，再根据
3
1
S = AB⋅(x −x )即可求出答案．
△APQ 2 P Q
【详解】联立¿，
解得：¿，
∴P(2，4)．
联立¿，
解得：¿，
7−2k 4+k
∴Q( ， )．
1−k 1−k
对于y =x+2，令y =0，则x+2=0，
1 1
解得：x=−2，
∴A(-2，0)．
设l 与x轴的交点为B，
3
对于y =kx−2k+4，令y =0，则kx−2k+4=0，
3 3
2k−4
解得：x= ，
k
2k−4
∴B( ，0)．
k
|2k−4 | |4k−4|
∴AB=|x −x |= +2 = ，
B A k k
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1 1 |4k−4| 4+k −10k |k−1|
∴S = AB⋅(x −x )= × ×(4− )= ×
△APQ 2 P Q 2 k 1−k 1−k k
−10k k−1
当k>1时，S = × =10，
△APQ 1−k k
−10k 1−k
当0<k<1时，S = × =−10（不合题意），
△APQ 1−k k
−10k 1−k
当k<0时，S = × =10．
△APQ 1−k −k
综上可知△APQ的面积为10．
故选B．
【点睛】本题考查一次函数与几何的综合．根据各直线解析式求出其交点坐标，直线与坐标轴交点坐标是
解题关键．
1
3．（2022下·山东日照·九年级校考阶段练习）若关于x的不等式组¿有解，则函数y=（a−3）x2−x− 图象
4
与x轴的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】D
【分析】根据不等式组有解，得到a的取值范围a>2，然后分当a≠3时和当a=3时讨论， 求出当a≠3时二
次函数y=（a-3）x2-x-14的判别式，根据根的判别式的正负即可得到图象与x轴的交点个数；当a=3时是一
次函数，根据一次函数经过的象限判定图象与x轴的交点个数．
【详解】解：∵关于x的不等式组¿有解，
∴3a-2＞a+2，即a＞2，
当a≠3，且a＞2时，
1
令y=0，（a-3）x2-x- =0，
4
1
Δ=（-1）2-4×（a-3）×（- ）=a-2，
4
∵a>2，
∴Δ=a-2>0，
∴函数图象与x轴的交点个数为2．
1
当a=3时，函数变为一次函数y=-x- ，函数图象经过第二、第三、第四象限有，故函数图象与x轴有一个
4
交点，
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综上，函数图象与x轴有1个交点或2个交点．
故选：D．
【点睛】本题考查已知一元一次不等式组有解求参数字母取值范围，二次函数图象与一次函数图象与x轴
交点个数，解答时要注意：当a>2时，要分类讨论，当a=3时，函数是一次函数；当a≠3时，函数是二次
函数．根据一元一次不等式组有解求出a的取值范围是解题的关键．
题型 16 两直线的交点与二元一次方程组的解
1．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）已知关于x，y的方程组¿的解是¿，则直线
y=−x+b与直线y=−2x+3的交点坐标是（ ）
A．(−1,−5) B．(−1,5) C．(0,3) D．(5,−1)
【答案】B
【分析】将x=−1代入方程2x+ y−3=0得到y=5，再根据一次函数与方程的关系即可解答．
【详解】解：∵关于x，y的方程组¿的解是¿，
∴2×(−1)+m−3=0，
∴m=5，
∵方程组¿是由y=−x+b和y=−2x+3组成，
∴关于x，y的方程组¿的解是¿，
∴直线y=−x+b与直线y=−2x+3的交点坐标(−1，5)，
故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，熟记两条直线的交点即为二元一次方程组的解是
解题的关键．
2．（2023·宁夏银川·校考二模）如果直线y=3x+6与y=2x−4交点坐标是(a,b)，则¿是下面哪个方程组
的解（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】D
【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．那么所求方程组的解即为两函数的交
点坐标．
【详解】解：∵直线y=3x+6与y=2x−4交点坐标为(a,b)，
∴解为¿的方程组是¿，
故选：D．
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【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的
一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应
的一次函数图象的交点坐标．
3．（2023·安徽蚌埠·校考二模）在平面直角坐标系中，已知m为常数，且m≠2，m≠3，则关于x的一次
函数y=(m−3)x+4−2m与y=(4−2m)x+m−3的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】观察一次函数解析式，结合选项中的图象，即可求解．
【详解】解：∵y=(m−3)x+4−2m与y=(4−2m)x+m−3中，k,b互换，
A，B选项中，两个一次函数图象与y轴交于负半轴，则4−2m与m−3同号，而图象中直线k的符号异号，
不合题意，
联立¿
解得：x=1，
∴交点的横坐标为1，C选项中，两直线的交点的横坐标为负，不合题意，
故选：D
【点睛】本题考查了一次函数的性质，两直线交点问题，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
4．（2023·湖南长沙·校联考三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与y=mx+n(a<m<0)
的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：①在一次函数y=mx+n的图象中，y的值随着x值的增大
而减小；②方程组¿的解为¿；③方程mx+n=0的解为x=2；④当x=0时，ax+b=−1．其中结论正确的
个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据函数图象，结合一次函数的增减性，判断①即可；根据函数图象，结合一次函数图象的交点
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与二元一次方程组的关系，判断②即可；根据根据函数图象，结合一次函数图象与x轴的交点坐标与方程
的解的关系，判断③即可；根据一次函数图象与y轴交点坐标，判断④即可，综合即可得出答案．
【详解】解：∵由函数图象可知，直线y=mx+n从左至右呈下降趋势，
∴y的值随着x值的增大而减小，故①正确；
∵由函数图象可知，一次函数y=ax+b与y=mx+n(a<m<0)的图象交点坐标为(−3，2)，
∴方程组¿的解为¿，故②正确；
∵由函数图象可知，直线y=mx+n与x轴的交点坐标为(2，0)，
∴方程mx+n=0的解为x=2，故③正确；
∵由函数图象可知，直线y=ax+b过点(0，−2)，
∴当x=0时，ax+b=−2，故④错误；
综上可得：正确的结论有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与二元一次方程的关系、一次函数与坐标轴的交点
问题，解本题的关键是综合应用一次函数的图象与性质解答．
题型 17 求两直线与坐标轴围成的图形面积
1．（2022·河北邢台·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象l 经过点A(−2,4)，
1
2
且与正比例函数y=− x的图象l 交于点B(m,2)，与x轴交于点C．
3 2
(1)求m的值及直线l 的解析式；
1
(2)求S 的面积；
△BOC
(3)设直线x=a与直线l ，l 交于E，F两点，当S =3S 时，请直接写出a的值．
1 2 △EFB △BOC
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【答案】(1)m=−3，y=2x+8
(2)4
(3)a的值为0或−6
2
【分析】（1）把B(m,2)代入y=− x中求出m的值，得到点B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线
3
l 的解析式；
1
（2）求出点C的坐标为(−4,0)，根据三角形面积公式即可得到答案；
（3）分三种情况进行求解即可．
2
【详解】（1）解：把B(m,2)代入y=− x中，解得m=−3，
3
∴B(−3,2)，
将B(−3,2)，A(−2,4)代入y=kx+b中，
得¿
解得¿，
∴直线l 的解析式为y=2x+8；
1
（2）令2x+8=0，解得x=−4，
∴点C的坐标为(−4,0)，
1
∴S = ⋅OC⋅|y |=4；
△BOC 2 B
( 2 )
（3）由题意可知，点E的坐标为(a,2a+8)，点F的坐标为 a,− a ，
3
| 2 | | 8 |
∴EF= 2a+8+ a = 8+ a ，点B到直线x=a的距离为|a+3|，
3 3
∴S =3S =12，
△EFB △BOC
1 ( 8 )
结合图象分析，当a>−3时，S = × 8+ a ×(a+3)=12，解得a =0，a =−6（舍）；
△EFB 2 3 1 2
当a=−3时，不存在S ；
△EFB
1 ( 8 )
当a<−3时，S = × −8− a ×(−a−3)=12，
△EFB 2 3
解得a =0（舍），a =−6，
1 2
综上所述，a的值为0或−6．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象和性质、一元二次方程的解法等知识，
分类讨论和数形结合是解题的关键．
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2．（2023·陕西渭南·统考二模）如图，已知一次函数的图像经过A(−2，0)，B(0，1)两点，与正比例
函数y=−x的图像交于点C．
(1)求一次函数的表达式；
(2)在该一次函数图像上是否存在点P，使得S =6S 如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请
△BOP △AOC
说明理由．
1
【答案】(1)y= x+1
2
(2)存在，点P的坐标为(8，5)或(−8，−3)
【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）先求得点C的坐标，再求得△AOC的面积，进而得到S =6S =4，然后根据三角形的面积公
△BOP △AOC
式可得|x |=±8，最后分点P的横坐标为8和−8两种情况解答即可．
P
【详解】（1）解：设一次函数的表达式为y=kx+b，
∵一次函数的图像过点A(−2，0)，B(0，1)，
∴¿解得¿，
1
∴一次函数表达式为：y= x+1．
2
（2）解：存在，理由如下：
联立¿，解得¿，
( 2 2)
∴点C − , ，
3 3
1 2 2
∴S = ×2× = ，
△AOC 2 3 3
∴S =6S =4
△BOP △AOC
1 1
∴ ⋅BO|x |=4，即 ×1×|x |=4，
2 p 2 p
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∴|x |=±8．
P
1
当点P的横坐标为8时，y = ×8+1=5；
p 2
1
当点P的横坐标为−8时，y = ×(−8)+1=−3．
p 2
综上，在该一次函数图像上存在点P，使得S =6S 点P的坐标为(8，5)或(−8，−3)．
△BOP △AOC
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、一次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合
思想是解答本题的关键．
m
3．（2023·四川广安·统考一模）如图，一次函数y =kx+b(k≠0)与反比例函数y = (m≠0)的图像交于
1 2 x
点A(1,2)和B(−2,a)，与y轴交于点M．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)在y轴上取一点N，当△AMN的面积为2时，求点N的坐标；
2
【答案】(1)反比例函数为y= ，一次函数为y=x+1
x
(2)N(0,5)或(0,−3)
m 2
【分析】（1）把A(1,2)代入y = 求出m=2，得出反比例函数为y= ，求出B(−2,−1)，把A(1,2)，
2 x x
B(−2,−1)，代入y=kx+b得：¿，求出¿，即可求出一次函数解析式；
1
（2）把x=0代入y=x+1中求出M(0,1)，设N(0,n)，则MN=|n−1|，h=1，根据S = MN⋅h=2，
△AMN 2
1
得出 |n−1|×1=2，求出n的值即可得出答案．
2
m m
【详解】（1）解：把A(1,2)代入y = 中，2= ，
2 x 1
∴m=2，
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2
∴反比例函数为y= ，
x
2
把B(−2,a)代入y= 中，a=−1，
x
∴B(−2,−1)，
把A(1,2)，B(−2,−1)，代入y=kx+b(k≠0)得：¿，
解得：¿，
∴一次函数为y=x+1；
（2）解：把x=0代入y=x+1中得y=1，
∴M(0,1)，
∴设N(0,n)，
∴MN=|n−1|，h=1，
1
S = MN⋅h=2，
△AMN 2
1
即 |n−1|×1=2，
2
∴n=5或n=−3，
∴N(0,5)或(0,−3)．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，求一次函数解析式，反比例函数解析式，解题的
关键是熟练掌握待定系数法，准确计算．
题型 18 由直线与坐标轴交点求不等式的解集
1．（2023·江西吉安·校考模拟预测）已知一次函数y=kx+b的图像与x轴交于点A(3,0)，且y随自变量x的
增大而增大，则关于x的不等式kx+b≥0的解集是（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x>3 D．x<3
【答案】A
【分析】根据一次函数图像与性质得到k>0，再由函数图像解不等式的方法步骤，数形结合求解即可得到
答案．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b中，y随自变量x的增大而增大，
∴k>0，
∵一次函数y=kx+b的图像与x轴交于点A(3,0)，
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∴关于x的不等式kx+b≥0的解集表示一次函数图像在x轴上方的部分（包含与x轴交点）所对应的x的范围，
∴关于x的不等式kx+b≥0的解集是x≥3，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数图像与性质、用函数图像解不等式等，熟记一次函数图像与性质，掌握利用函
数图像求解不等式的方法步骤是解决问题的关键．
1．（2023·浙江台州·统考二模）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为(−2,0)，则下列说法：
①y随x的增大而减小；②b>0；③关于x的方程kx+b=0的解为x=−2；④不等式kx+b>0的解集是
x>−2．其中正确的有 ．
【答案】②③④
【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系,一次函数与一元一次不等式的关系对各小
题分析判断即可得解．
【详解】解：根据一次函数y=kx+b的图象可知y随x的增大而增大，故①错误；
因为一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点在y轴正半轴上,所以b>0，故②正确；
因为一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为(−2,0)，关于x的方程kx+b=0的解为x=−2，故③正确；
因为一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为(−2,0)，结合图象可知关于x的不等式kx+b>0的解集
是x>−2，故④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴交点问题，一次函数与一元一次方程的关系，一次函数与一元一次不
等式的关系；掌握数形结合思想是解决此题的关键．
题型 19 根据两条直线交点求不等式的解集
1．（2022·江苏南通·统考中考真题）根据图像，可得关于x的不等式kx>−x+3的解集是（ ）
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A．x<2 B．x>2 C．x<1 D．x>1
【答案】D
【分析】写出直线y＝kx在直线y＝−x＋3上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：根据图象可得：不等式kx＞−x＋3的解集为：x＞1．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图象确定不等式的解集是解
题的关键．
1
2．（2023·广西钦州·统考一模）如图，一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k>0）的图象与直线y= x
2
1
都经过点A(2,1)，当kx+b> x时，x的取值范围是（ ）
2
A．x<2 B．x<1 C．x>1 D．x>2
【答案】D
1
【分析】根据不等式kx+b> x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象上方的自变量的取值范围求解
2
即可．
1
【详解】解：由函数图象可知不等式kx+b> x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象上方的自变量
2
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的取值范围，
1
∵一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k>0）的图象与直线y= x都经过点A(2,1)，
2
1
∴当kx+b> x时，x的取值范围是x>2，
2
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用图象法解不等式是解题的关键．
3．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与
1 1
y= x+1的图象交于点A(2,a)，且不等式 x+1>kx+b的解集为x>2，则k，b的值可能为（ ）
2 2
1
A．k=− ，b=1 B．k=1，b=0 C．k=−1，b=4 D．k=2，b=−1
2
【答案】C
【分析】先求得点A(2,2)再将点A(2,2)代入y=kx+b中可得：2=2k+b，根据不等式的解集结合一次函
1
数的图象可得0<k< 或k<0，再逐一判断选项即可．
2
1 1
【详解】解：将点A(2,a)坐标代入y= x+1可得：a= ×2+1=2，
2 2
∴A(2,2)
再将点A(2,2)代入y=kx+b中可得：2=2k+b，
1
∵不等式 x+1>kx+b的解集为x>2，
2
1
如图所示，0<k< 或k<0，
2
且需满足2=2k+b，
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1
当k=− ，b=1时，不满足2=2k+b，A选项不合题意；B、D选项的k值不合题意；
2
当k=−1，b=4时，满足2=2k+b，C选项符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，以及一次函数与一元一次不等式的解集问题，利用数形结合
的思想是解题的关键．
4．（2023·陕西西安·高新一中校考三模）已知直线y=kx+b(k≠0)过点(−1,0)，且与直线y=3x−6在第
四象限交于点M，则k的取值范围是（ ）
A．−6<k<0 B．−3<k<0 C．k<−3 D．k<−6
【答案】A
【分析】将点(−1,0)代入y=kx+b，可得k=b，所以该直线解析式为y=kx+k，根据题意，两直线在第四
(k+6 9k ) k+6 9k
象限交于点M，易得M , ，故 >0， <0，即可获得答案．
3−k 3−k 3−k 3−k
【详解】解：将点(−1,0)代入y=kx+b，
可得0=−k+b，解得k=b，
∴y=kx+k，
根据题意，直线y=kx+b(k≠0)与直线y=3x−6在第四象限交于点M，
则有kx+k=3x−6，
(k+6 9k )
∴M , ，
3−k 3−k
∵M在第四象限，
k+6 9k
∴ >0， <0，
3−k 3−k
∴−6<k<0．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了两直线交点问题以及不等式组的应用，能够掌握直线交点坐标的求法，牢记象限
内点的坐标特点是解题的关键．
5（2023·河北秦皇岛·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=−x+n的图象与正比例函数
y=2x的图象交于点A(m,4)．
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(1)求m，n的值；
(2)设一次函数y=−x+n的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，求点B，点C的坐标；
(3)写出使函数y=−x+n的值小于函数y=2x的值的自变量x的取值范围；
(4)在x轴上是否存在点P使△PAB为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)m=2，n=6
(2)点B坐标为(6，0)，点C坐标为(0，6)
(3)x>2
(4)存在，点P坐标为(6+4√2，0)或(6−4√2，0)或(−2，0)或(2，0)
【分析】（1）待定系数法求出m，n的值即可；
（2）令x=0,y=0，分别求出相应的函数值和自变量，即可得出结果；
（3）结合图象法，即可得出结论；
（4）分三边两两相等，三种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）正比例函数y=2x的图象过点A(m，4)．
∴4=2m，
∴m=2．
又∵一次函数y=−x+n的图象过点A(2，4)
∴4=−2+n，
∴n=6．
（2）解：由（1）可得，一次函数y=−x+n的解析式为y=−x+6，
∴令y=0，则0=−x+6
∴x=6，
∴点B坐标为(6，0)，
令x=0，则y=6，
∴点C坐标为(0，6)；
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（3）解：由图象可知：在A点右侧，函数y=−x+n的值小于函数y=2x的值；
故x>2；
（4）存在，点P坐标为(6+4√2，0)或(6−4√2，0)或(−2，0)或(2，0)．
∵点A(2，4)，
∴AB=√(2−6) 2+(4−0) 2=4√2，
当AB=BP=4√2时，且点P在x轴上，
则点P(6+4√2，0)或(6−4√2，0)；
当AB=AP时，如图，过点A作AE⊥BO于E，
则点E(2，0)，
∵AB=AP，AE⊥BO，
∴PE=BE=4，
∴点P(−2，0)；
当PA=PB时，
∴∠PBA=∠PAB=45°，
∴∠APB=90°，
∴点P(2，0)，
综上所述：点P坐标为(6+4√2，0)或(6−4√2，0)或(−2，0)或(2，0)．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行
求解，是解题的关键．
6．（2023·广东深圳·校联考一模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函
数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画
出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|=¿．
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结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：
在函数y=|kx−3|+b中，当x=2时，y=−4；当x=0时，y=−1．
(1)求这个函数的表达式；
(2)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；
1 1
(3)已知函数y= x−3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx−3|+b≤ x−3
2 2
的解集．
(4)若方程|x2−6x|−a=0有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______．
|3 |
【答案】(1)y= x−3 −4
2
(2)见解析
(3)1≤x≤4
(4)0<a<9
【分析】（1）把x=2，y=−4；x=0，y=−1代入y=|kx−3|+b求解即可；
|3 |
（2）由y= x−3 −4，得出¿，再根据函数的图象写出函数的性质；
2
（3）根据图象得出不等式的解集；
（4）根据题意画出图象，再根据|x2−6x|−a=0有四个不相等的实数根，得出结果．
【详解】（1）解：∵在函数y=|kx−3|+b中，当x=2时，y=−4；当x=0时，y=−1，
∴¿，
解得¿，
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|3 |
∴这个函数的表达式为y= x−3 −4；
2
|3 |
（2）解：∵y= x−3 −4，
2
∴¿，
3
∴函数y= x−7过点(2,−4)和(4,−1)，
2
3
函数y=− x−1过点(0,−1)和(−2,2)，
2
该函数图象如图所示，
性质：当x>2时，y的值随x的增大而增大；
1
（3）解：由函数的图象可得，不等式|kx−3|+b≤ x−3的解集为：1≤x≤4；
2
（4）解：由|x2−6x|−a=0得a=|x2−6x|，
作出y=|x2−6x|的图象，
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由图象可知，要使方程|x2−6x|−a=0有四个不相等的实数根，则0<a<9，
故答案为：0<a<9．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数图象的画法，由图象写出不等式的解集，解题的关键
是熟练掌握函数的图象和性质并正确画出图象．
1．（2022·江苏南通·统考中考真题）根据图像，可得关于x的不等式kx>−x+3的解集是（ ）
A．x<2 B．x>2 C．x<1 D．x>1
【答案】D
【分析】写出直线y＝kx在直线y＝−x＋3上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：根据图象可得：不等式kx＞−x＋3的解集为：x＞1．
故选：D．
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【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图象确定不等式的解集是解
题的关键．
1
2．（2023·广西钦州·统考一模）如图，一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k>0）的图象与直线y= x
2
1
都经过点A(2,1)，当kx+b> x时，x的取值范围是（ ）
2
A．x<2 B．x<1 C．x>1 D．x>2
【答案】D
1
【分析】根据不等式kx+b> x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象上方的自变量的取值范围求解
2
即可．
1
【详解】解：由函数图象可知不等式kx+b> x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象上方的自变量
2
的取值范围，
1
∵一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k>0）的图象与直线y= x都经过点A(2,1)，
2
1
∴当kx+b> x时，x的取值范围是x>2，
2
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用图象法解不等式是解题的关键．
3．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与
1 1
y= x+1的图象交于点A(2,a)，且不等式 x+1>kx+b的解集为x>2，则k，b的值可能为（ ）
2 2
1
A．k=− ，b=1 B．k=1，b=0 C．k=−1，b=4 D．k=2，b=−1
2
【答案】C
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【分析】先求得点A(2,2)再将点A(2,2)代入y=kx+b中可得：2=2k+b，根据不等式的解集结合一次函
1
数的图象可得0<k< 或k<0，再逐一判断选项即可．
2
1 1
【详解】解：将点A(2,a)坐标代入y= x+1可得：a= ×2+1=2，
2 2
∴A(2,2)
再将点A(2,2)代入y=kx+b中可得：2=2k+b，
1
∵不等式 x+1>kx+b的解集为x>2，
2
1
如图所示，0<k< 或k<0，
2
且需满足2=2k+b，
1
当k=− ，b=1时，不满足2=2k+b，A选项不合题意；B、D选项的k值不合题意；
2
当k=−1，b=4时，满足2=2k+b，C选项符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，以及一次函数与一元一次不等式的解集问题，利用数形结合
的思想是解题的关键．
4．（2023·陕西西安·高新一中校考三模）已知直线y=kx+b(k≠0)过点(−1,0)，且与直线y=3x−6在第
四象限交于点M，则k的取值范围是（ ）
A．−6<k<0 B．−3<k<0 C．k<−3 D．k<−6
【答案】A
【分析】将点(−1,0)代入y=kx+b，可得k=b，所以该直线解析式为y=kx+k，根据题意，两直线在第四
(k+6 9k ) k+6 9k
象限交于点M，易得M , ，故 >0， <0，即可获得答案．
3−k 3−k 3−k 3−k
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【详解】解：将点(−1,0)代入y=kx+b，
可得0=−k+b，解得k=b，
∴y=kx+k，
根据题意，直线y=kx+b(k≠0)与直线y=3x−6在第四象限交于点M，
则有kx+k=3x−6，
(k+6 9k )
∴M , ，
3−k 3−k
∵M在第四象限，
k+6 9k
∴ >0， <0，
3−k 3−k
∴−6<k<0．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了两直线交点问题以及不等式组的应用，能够掌握直线交点坐标的求法，牢记象限
内点的坐标特点是解题的关键．
5（2023·河北秦皇岛·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=−x+n的图象与正比例函数
y=2x的图象交于点A(m,4)．
(1)求m，n的值；
(2)设一次函数y=−x+n的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，求点B，点C的坐标；
(3)写出使函数y=−x+n的值小于函数y=2x的值的自变量x的取值范围；
(4)在x轴上是否存在点P使△PAB为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)m=2，n=6
(2)点B坐标为(6，0)，点C坐标为(0，6)
(3)x>2
(4)存在，点P坐标为(6+4√2，0)或(6−4√2，0)或(−2，0)或(2，0)
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【分析】（1）待定系数法求出m，n的值即可；
（2）令x=0,y=0，分别求出相应的函数值和自变量，即可得出结果；
（3）结合图象法，即可得出结论；
（4）分三边两两相等，三种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）正比例函数y=2x的图象过点A(m，4)．
∴4=2m，
∴m=2．
又∵一次函数y=−x+n的图象过点A(2，4)
∴4=−2+n，
∴n=6．
（2）解：由（1）可得，一次函数y=−x+n的解析式为y=−x+6，
∴令y=0，则0=−x+6
∴x=6，
∴点B坐标为(6，0)，
令x=0，则y=6，
∴点C坐标为(0，6)；
（3）解：由图象可知：在A点右侧，函数y=−x+n的值小于函数y=2x的值；
故x>2；
（4）存在，点P坐标为(6+4√2，0)或(6−4√2，0)或(−2，0)或(2，0)．
∵点A(2，4)，
∴AB=√(2−6) 2+(4−0) 2=4√2，
当AB=BP=4√2时，且点P在x轴上，
则点P(6+4√2，0)或(6−4√2，0)；
当AB=AP时，如图，过点A作AE⊥BO于E，
则点E(2，0)，
∵AB=AP，AE⊥BO，
∴PE=BE=4，
∴点P(−2，0)；
当PA=PB时，
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∴∠PBA=∠PAB=45°，
∴∠APB=90°，
∴点P(2，0)，
综上所述：点P坐标为(6+4√2，0)或(6−4√2，0)或(−2，0)或(2，0)．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行
求解，是解题的关键．
6．（2023·广东深圳·校联考一模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函
数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画
出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|=¿．
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：
在函数y=|kx−3|+b中，当x=2时，y=−4；当x=0时，y=−1．
(1)求这个函数的表达式；
(2)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；
1 1
(3)已知函数y= x−3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx−3|+b≤ x−3
2 2
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的解集．
(4)若方程|x2−6x|−a=0有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______．
|3 |
【答案】(1)y= x−3 −4
2
(2)见解析
(3)1≤x≤4
(4)0<a<9
【分析】（1）把x=2，y=−4；x=0，y=−1代入y=|kx−3|+b求解即可；
|3 |
（2）由y= x−3 −4，得出¿，再根据函数的图象写出函数的性质；
2
（3）根据图象得出不等式的解集；
（4）根据题意画出图象，再根据|x2−6x|−a=0有四个不相等的实数根，得出结果．
【详解】（1）解：∵在函数y=|kx−3|+b中，当x=2时，y=−4；当x=0时，y=−1，
∴¿，
解得¿，
|3 |
∴这个函数的表达式为y= x−3 −4；
2
|3 |
（2）解：∵y= x−3 −4，
2
∴¿，
3
∴函数y= x−7过点(2,−4)和(4,−1)，
2
3
函数y=− x−1过点(0,−1)和(−2,2)，
2
该函数图象如图所示，
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性质：当x>2时，y的值随x的增大而增大；
1
（3）解：由函数的图象可得，不等式|kx−3|+b≤ x−3的解集为：1≤x≤4；
2
（4）解：由|x2−6x|−a=0得a=|x2−6x|，
作出y=|x2−6x|的图象，
由图象可知，要使方程|x2−6x|−a=0有四个不相等的实数根，则0<a<9，
故答案为：0<a<9．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数图象的画法，由图象写出不等式的解集，解题的关键
是熟练掌握函数的图象和性质并正确画出图象．
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√3
21．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在直线l :y= x上，
1 3
顶点B在x轴上，AB垂直x轴，且OB=2√2，顶点C在直线l :y=√3x上，BC⊥l ；过点A作直线l 的垂
2 2 2
线，垂足为C ，交x轴于B ，过点B 作A B 垂直x轴，交l 于点A ，连接A C ，得到第一个△A B C ；
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
过点A 作直线l 的垂线，垂足为C ，交x轴于B ，过点B 作A B 垂直x轴，交l 于点A ，连接A C ，得
1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2
到第二个△A B C ；如此下去，……，则△A B C 的面积是 ．
2 2 2 2023 2023 2023
【答案】24046√3
【分析】解直角三角形得出∠AOB=30°，∠BOC=60°，求出S =√3，证明△ABC∽△A B C ，
△ABC 1 1 1
△ABC∽△A B C ，得出S =4S ，S =42 ⋅S =(22) 2 ⋅S ，总结得出
2 2 2 △A 1 B 1 C 1 △ABC △A 2 B 2 C 2 △ABC △ABC
S =(2n) 2 S =22nS ，从而得出S =22×2023×√3=24046√3．
△A n B n C n △ABC △ABC △A 2023 B 2023 C 2023
【详解】解：∵OB=2√2，
∴B(2√2,0)，
∵AB⊥x轴，
∴点A的横坐标为2√2，
√3
∵l :y= x，
1 3
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√3 2√6
∴点A的纵坐标为 ×2√2= ，
3 3
2√6
∴ AB 3 √3，
tan∠AOB= = =
OB 2√2 3
∴∠AOB=30°，
∵l :y=√3x，
2
∴设C(x ,y )，则y =√3x ，
C C C C
y
∴tan∠BOC= C =√3，
x
C
∴∠BOC=60°，
1
∴OC=OB×cos60°=2√2× =√2，
2
√3
BC=OB×sin60°=2√2× =√6，
2
∵∠AOC =∠BOC−∠AOB=30°，
1
∴∠AOB=∠AOC ，
1
∴OA平分∠BOC，
∵AC ⊥l ，AB⊥OB，
1 2
2√6
∴AC =AB= ，
1 3
∵AB=AC ，OA=OA，
1
∴Rt△OAB≌Rt△OAC ，
1
∴OC =OB=2√2，
1
∴CC =OC −OC=2√2−√2=√2，
1 1
∴S =2S −S −S
△ABC △OAB △ACC △BOC
1
1 2√6 1 2√6 1
=2× ×2√2× − ×√2× − ×√2×√6
2 3 2 3 2
=√3，
∵BC⊥l ，
2
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∴∠BCO=90°，
∴∠CBO=90°−60°=30°，
∵B C ⊥l ，BC⊥l ，B C ⊥l ，
1 1 2 2 2 2 2
∴BC∥B C ∥B C ，
1 1 2 2
∴∠C B O=∠C B O=∠CBO=30°，
1 1 2 2
∴∠C B O=∠C B O=∠CBO=∠AOB，
1 1 2 2
∴AO=AB ，A O=A B ，
1 1 1 2
∵AB⊥x轴，A B ⊥x轴，
1 1
1 1
∴OB= OB ，OB = OB ，
2 1 1 2 2
∵AB⊥x轴，A B ⊥x轴，A B ⊥x轴，
1 1 2 2
∴AB∥A B ∥A B ，
1 1 2 2
AB OB 1 AB OB 1
= = = =
∴ ， ，
A B OB 2 A B OB 4
1 1 1 2 2 2
∵BC∥B C ∥B C ，
1 1 2 2
BC OB 1 BC OB 1
= = = =
∴ ， ，
B C OB 2 B C OB 4
1 1 1 2 2 2
AB BC
=
∴ ，
A B B C
1 1 1 1
∵∠ABC=∠A B C =90°−30°=60°，
1 1 1
∴△ABC∽△A B C ，
1 1 1
同理△ABC∽△A B C ，
2 2 2
∴S =4S ，
△A B C △ABC
1 1 1
S =42 ⋅S =(22) 2 ⋅S ，
△A B C △ABC △ABC
2 2 2
∴S =(2n) 2 S =22nS ，
△A B C △ABC △ABC
n n n
∴S =22×2023×√3=24046√3．
△A B C
2023 2023 2023
故答案为：24046√3．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解直角三角形，三角形面积的计算，平行线的判定和
性质，一次函数规律探究，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是得出一般规律
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S =(2n) 2 S =22nS ．
△A B C △ABC △ABC
n n n
22．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=√3x−√3与x轴交于点A ，
1
以OA 为边作正方形A B C O点C 在y轴上，延长C B 交直线l于点A ，以C A 为边作正方形
1 1 1 1 1 1 1 2 1 2
A B C C ，点C 在y轴上，以同样的方式依次作正方形A B C C ，…，正方形A B C C ，
2 2 2 1 2 3 3 3 2 2023 2023 2023 2022
则点B 的横坐标是 ．
2023
2022
( √3)
【答案】 1+
3
2
√3 2√3 4 ( √3)
【分析】分别求出点点B 的横坐标是1，点B 的横坐标是1+ ，点B 的横坐标是 + = 1+ ，
1 2 3 3 3 3 3
找到规律，得到答案见即可．
【详解】解：当y=0，0=√3x−√3，解得x=1，
∴点A (1,0),
1
∵A B C O是正方形，
1 1 1
∴OA =A B =OC =1，
1 1 1 1
∴点B (1,1)，
1
∴点B 的横坐标是1，
1
√3
当y=1时，1=√3x−√3，解得x=1+ ，
3
( √3 )
∴点A 1+ ,1 ，
2 3
∵A B C C 是正方形，
2 2 2 1
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√3
∴A B =C C =A C =1+ ，
2 2 1 2 2 1 3
( √3 √3)
∴点B 1+ ,2+ ，
2 3 3
√3
即点B 的横坐标是1+ ，
2 3
√3 √3 2
当y=2+ 时，2+ =√3x−√3，解得x= (√3+2)，
3 3 3
(2√3 4 √3)
∴点A + ,2+ ，
3 3 3 3
∵A B C C 是正方形，
3 3 3 2
2√3 4
∴A B =C C =A C = + ，
3 3 2 3 3 2 3 3
2
2√3 4 ( √3)
∴点B 的横坐标是 + = 1+ ，
3 3 3 3
……
2022
( √3)
以此类推，则点B 的横坐标是 1+
2023 3
2022
( √3)
故答案为： 1+
3
【点睛】此题是点的坐标规律题，考查了二次函数的图象和性质、正方形的性质等知识，数形结合是是解
题的关键．
23．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象交x轴于点
1 3
A(8,0)，交y轴于点B．直线y= x− 与y轴交于点D，与直线AB交于点C(6,a)．点M是线段BC上
2 2
的一个动点（点M不与点C重合），过点M作x轴的垂线交直线CD于点N．设点M的横坐标为m．
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(1)求a的值和直线AB的函数表达式；
(2)以线段MN，MC为邻边作▱MNQC，直线QC与x轴交于点E．
24
①当0≤m< 时，设线段EQ的长度为l，求l与m之间的关系式；
5
②连接OQ，AQ，当△AOQ的面积为3时，请直接写出m的值．
3 3
【答案】(1)a= ，y=− x+6
2 4
5 21 27
(2)①l=6− m；② 或
4 5 5
1 3
【分析】（1）根据直线y= x− 的解析式求出点C的坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
2 2
（2）①用含m的代数式表示出MN的长，再根据MN=CQ得出结论即可；②根据面积得出l的值，然后
根据①的关系式的出m的值．
1 3
【详解】（1）∵点C(6,a)在直线y= x− 上，
2 2
1 3 3
∴a= ×6− = ，
2 2 2
( 3)
∵一次函数y=kx+b的图象过点A(8,0)和点C 6, ，
2
∴¿，
解得¿，
3
∴直线AB的解析式为y=− x+6；
4
3
（2）①∵M点在直线y=− x+6上，且M的横坐标为m，
4
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3
∴M的纵坐标为：− m+6，
4
1 3
∵N点在直线y= x− 上，且N点的横坐标为m，
2 2
1 3
∴N点的纵坐标为： m− ，
2 2
3 1 3 15 5
∴|MN|=− m+6− m+ = − m，
4 2 2 2 4
( 3)
∵点C 6, ，线段EQ的长度为l，
2
3
∴|CQ|=l+ ，
2
∵|MN|=|CQ|，
15 5 3
∴ − m=l+ ，
2 4 2
5
即l=6− m；
4
②∵△AOQ的面积为3，
1
∴ OA⋅EQ=3，
2
1
即 ×8×EQ=3，
2
3
解得EQ= ，
4
13 5
由①知，EQ= − m，
2 4
| 5 | 3
∴6− m = ，
4 4
21 27
解得m= 或m= ，
5 5
21 27
即m的值为 或 ．
5 5
【点睛】本题考查一次函数的知识，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式是解题的关键．
24．（2023·山东潍坊·统考中考真题）［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究q+q2+q3+...+qn+…的值，其中0<q<1．
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1 (1) 2 (1) 3 (1) n
例求 + + +⋯+ +⋯的值．
2 2 2 2
方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知
1 (1) 2 (1) 3 (1) n
+ + +⋯+ +⋯的结果等于该正方形的面积，
2 2 2 2
1 (1) 2 (1) 3 (1) n
即 + + +⋯+ +⋯=1．
2 2 2 2
1 1
方法2：借助函数y= x+ 和y=x的图象，观察图②可知
2 2
1 (1) 2 (1) 3 (1) n
+ + +⋯+ +⋯的结果等于a ，a ，a ，…，a …等各条竖直线段的长度之和，
2 2 2 2 1 2 3 n
即两个函数图象的交点到x轴的距离．因为两个函数图象的交点(1,1)到x轴的距为1，
1 (1) 2 (1) 3 (1) n
所以， + + +⋯+ +⋯=1．
2 2 2 2
【实践应用】
2 (2) 2 (2) 3 (2) n
任务一 完善 + + +⋯+ +⋯的求值过程．
3 3 3 3
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2 (2) 2 (2) 3 (2) n
方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知 + + +⋯+ +⋯=______．
3 3 3 3
2 2
方法2：借助函数y= x+ 和y=x的图象，观察图④可知
3 3
因为两个函数图象的交点的坐标为______，
2 (2) 2 (2) 3 (2) n
所以， + + +⋯+ +⋯= ______．
3 3 3 3
3 (3) 2 (3) 3 (3) 2
任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求 + + +⋯+ +⋯的值．
4 4 4 4
任务三 用方法2，求q+q2+q3+⋯+qn+⋯的值（结果用q表示）．
【迁移拓展】
√5+1
长宽之比为 :1的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形．
2
2 4 6 2n
(√5−1) (√5−1) (√5−1) (√5−1)
观察图⑤，直接写出 + + +⋯+ +⋯的值．
2 2 2 2
q √5−1
【答案】任务一，方法1：2；方法2：(2,2)，2；任务二，3；任务三， ；[迁移拓展]
1−q 2
【分析】任务一，仿照例题，分别根据方法1，2进行求解即可；
3 3
任务二，借助函数y= x+ 和y=x得出交点坐标，进而根据两个函数图象的交点到x轴的距离．因为两
4 4
个函数图象的交点(2,2)到x轴的距为2，即可得出结果；
任务三 参照方法2，借助函数y=qx+q和y=x的图象，得出交点坐标，即可求解；
0
[迁移拓展]观察图⑤第一个正方形的面积为 (√5−1) ，第二个正方形的面积为
1×1=1=
2
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(√5+1 ) 2 (√5−1) 2 ，……进而得出则(√5−1) 2 (√5−1) 4 (√5−1) 6 (√5−1) 2n 的值
−1 = + + +⋯+ +⋯
2 2 2 2 2 2
√5+1
等于长宽之比为 :1的矩形减去1个面积为1的正方形的面积，即可求解．
2
2 (2) 2 (2) 3 (2) n
【详解】解：任务一，方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知 + + +⋯+ +⋯= 2
3 3 3 3
故答案为：2．
2 2
方法2：借助函数y= x+ 和y=x的图象，观察图④可知
3 3
因为两个函数图象的交点的坐标为(2,2)，
2 (2) 2 (2) 3 (2) n
所以， + + +⋯+ +⋯= 2．
3 3 3 3
故答案为：(2,2)，2．
3 3
任务二：参照方法2，借助函数y= x+ 和y=x的图象，¿，
4 4
解得：¿
∴两个函数图象的交点的坐标为(3,3)，
3 (3) 2 (3) 3 (3) 2
+ + +⋯+ +⋯=3．
4 4 4 4
( q q )
任务三 参照方法2，借助函数y=qx+q和y=x的图象，两个函数图象的交点的坐标为 , ，
1−q 1−q
q
∴q+q2+q3+⋯+qn+⋯=
1−q
0
(√5−1)
[迁移拓展]根据图⑤，第一个正方形的面积为1×1=1= ，第二个正方形的面积为
2
(√5+1 ) 2 (√5−1) 2
−1 = ，……
2 2
(√5−1) 2 (√5−1) 4 (√5−1) 6 (√5−1) 2n √5+1
则 + + +⋯+ +⋯的值等于长宽之比为 :1的矩形减去1个
2 2 2 2 2
面积为1的正方形的面积，
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(√5−1) 2 (√5−1) 4 (√5−1) 6 (√5−1) 2n √5+1 √5−1
即 + + +⋯+ +⋯= ×1−1=
2 2 2 2 2 2
【点睛】本题考查了一次函数交点问题，正方形面积问题，理解题意，仿照例题求解是解题的关键．
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