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第 13 讲 二次函数的图象与性质
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 二次函数的相关概念
题型01 判断函数类型
题型02 判断二次函数
题型03 已知二次函数的概念求参数值
题型04 利用待定系数法求二次函数的解析式
类型一 一般式
类型二 顶点式
类型三 交点式
考点二 二次函数的图象与性质
题型01 根据二次函数解析式判断其性质
题型02 将二次函数的一般式化为顶点式
题型03 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
题型04 利用五点法绘二次函数图象
题型05 二次函数平移变换问题
题型06 已知抛物线对称的两点求对称轴
题型07 根据二次函数的对称性求函数值
题型08 根据二次函数的性质求最值
题型09 根据二次函数的对称性求字母的取值范围
题型10 根据二次函数的最值求字母的取值范围
题型11 根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围
题型12 根据二次函数的增减性求字母的取值范围
考点三 二次函数与各项系数之间的关系
题型01 根据二次函数图象判断式子符号
题型02 二次函数图象与各项系数符号
题型03 二次函数、一次函数综合
题型04 二次函数、一次函数、反比例函数图象综合
题型05 两个二次函数图象综合
考点四 二次函数与方程、不等式
题型01 求二次函数与坐标轴交点坐标
题型02 求二次函数与坐标轴交点个数
题型03 抛物线与x轴交点问题
题型04 根据二次函数图象确定相应方程根的情况
题型05 图象法确定一元二次方程的近似根
题型06 求x轴与抛物线的截线长
题型07 图象法解一元二次不等式
题型08 根据交点确定不等式的解集
题型09 二次函数与斜三角形相结合的应用方法
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考点要求 新课标要求 命题预测
二次函数的相关 通过对实际问题的分析，体会
概念 二次函数的意义.
二次函数作为初中三大函数中考点最多，
能画二次函数的图象，通过图 出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中
象了解二次函数的性质，知道二次函数 考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分
二次函数的图象 系数与图象形状和对称轴的关系. 值为15-20分，预计2024年各地中考还会考.
与性质 会求二次函数的最大值或最小 而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集
中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与
值，并能确定相应自变量的值，能解决
方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等
相应的实际问题.
几大方面.题型变化较多，考生复习时需要熟练
二次函数与各项 理解二次函数与各项系数的关
掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考
系数的关系 系.
点的复习.
知道二次函数和一元二次方程
二次函数与方
之间的关系，会利用二次函数的图象求
程、不等式
一元二次方程的近似解.
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考点一 二次函数的相关概念
二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x
是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
二次函数的结构特征：1）函数关系式是整式；
2）自变量的最高次数是2；
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3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零.
根据实际问题列二次函数关系式的方法：
1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系；
2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系；
3）列出相应二次函数的关系式.
二次函数的常见表达式：
名称 解析式 前提条件
一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用
一般式求其表达式.
顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常
数，a≠0），顶点坐标是（h， 用顶点式求其表达式.
k）
交点式 y＝a（x–x）（x–x） (a≠0) 其中x，x 是二次函数与x轴的交点的横坐标，若
1 2 1 2
题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式
求其表达式.
相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化.
2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法.
二次函数的特殊形式：1)当b＝0时， y＝ax²＋c（a≠0）
2)当c＝0时， y＝ax²＋bx （a≠0）
3)当b＝0，c＝0时， y＝ax²（a≠0）
题型01 判断函数类型
【例1】（2022·北京·统考一模）线段AB=5．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段AB运动
至点B，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆．设点的运动时间为t，正方形APCD周
长为y，⊙B的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
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A．正比例函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，正比例函数关系
C．正比例函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系
【答案】C
【分析】根据题意分别列出与，与的函数关系，进而进行判断即可．
【详解】解：依题意：AP=t，BP=5-t,
故y=4t，S=（5-t）2
故选择：C
【点睛】本题考查了列函数表达式，正比例函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关
键．
【变式1-1】（2021上·北京海淀·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=10，
动点M、N分别从A、C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长的速度移动，
点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长的速度移动．设运动的时间为t，点M、C之间的距离为
y，△MCN的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
【答案】D
【分析】求出y与t，S与t满足的函数关系式，再根据函数的类型进行判断即可．
【详解】解：由题意得，AM＝t，CN＝2t，
∴MC＝AC−AM＝5−t，
即y＝5−t，
1
∴S＝ MC•CN＝5t−t2，
2
因此y是t的一次函数，S是t的二次函数，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数，理解一次函数、二次函数的意义是正确解答的前提，求出y与t，
S与t的函数关系式是正确判断的关键．
【变式1-2】（2023·北京·统考二模）如图，某小区有一块三角形绿地ABC，其中∠B=90°，AB=BC．
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计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN，使点P，M，N分别在边AC，BC，AB上．记
PM=xm，PN= ym，图中阴影部分的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变
化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系
【答案】A
【分析】先求出∠A=∠C=45°，再证明△PCM、△APN都是等腰直角三角形，从而推出y=−x+BC，
1 1
S= x2+ (BC−x) 2 ，由此即可得到答案．
2 2
【详解】解：∵∠B=90°，AB=BC，
∴∠A=∠C=45°，
∵四边形PMBN是矩形，
∴∠PMB=∠PMC=∠PNB=∠PNA=90°，PN=BM，
∴△PCM、△APN都是等腰直角三角形，
∴CM=PM，AN=PN=BM，
∴PM+PM=CM+BM=BC，即x+ y=BC，
1 1 1 1
∴y=−x+BC，S= PM⋅CM+ PN⋅AN= x2+ (BC−x) 2
2 2 2 2
1 1 1 1
∴S= PM⋅CM+ PN⋅AN= x2+ (BC−x) 2 ，
2 2 2 2
∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，
故选A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，列函数关系式，二次函数的定义等
等，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
题型02 判断二次函数
【例2】（2023·山东济宁·校联考三模）以下函数式二次函数的是（ ）
A．y=ax2+bx+c B．y=(2x−1) 2−4x2 .
a b
C． y= + +c(a≠0) D．y=(x−1)(x−2)
x2 x
【答案】D
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【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次
函数，进行判断．
【详解】解：A、当a=0时，y=ax2+bx+c不是二次函数，故本选项错误；
B、由y=(2x−1) 2−4x2得到y=−4x+1，是一次函数，故本选项错误；
C、该等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误；
D、由原函数解析式得到y=x2−3x+2，符合二次函数的定义，故本选项正确．
应选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的定义，掌握定义，会根据定义进行判断是解题的关键．
【变式2-1】（2023·辽宁鞍山·统考一模）下列函数是二次函数的是（ ）
1
A．y=x+ B．y=ax2+bx+c C．y=3(x−1) 2 D．y=3x
3
【答案】C
【分析】二次函数的解析式必须是含自变量的整式，二次项系数不为0．
1
【详解】解：A、y=x+ 是一次函数，故本选项不符合题意；
3
B、y=ax2+bx+c二次项系数a不能确定是否为0，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、y=3(x−1) 2是二次函数，故本选项符合题意；
D、y=3x是正比例函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】解题关键是掌握二次函数的定义及条件：二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，
a≠0，自变量最高次数为2．
【变式2-2】（2023·广东云浮·校考一模）关于x的函数y=(a−b)x2+1是二次函数的条件是（ ）
A．a≠b B．a=b C．b=0 D．a=0
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义，直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵y=(a−b)x2+1是二次函数，
∴a−b≠0，
解得：a≠b，
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的条件，二次函数二次项系数不为0．
判断一个函数是不是二次函数的方法：在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简、整理(去括号、
合并同类项)后，能写成y=ax²+bx+c(a≠0)的形式，那么这个函数就是二次函数，否则,它就不是二次
函数.
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题型03 已知二次函数的概念求参数值
【例3】（2022·山东济南·模拟预测）若y=(m2+m)xm2−m是二次函数，则m的值等于（
）
A．−1 B．0 C．2 D．−1或2
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义求解即可，形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数为二次函数．
【详解】解：y=(m2+m)xm2−m是二次函数，则m2−m=2且m2+m≠0
由m2−m=2可得m=2或m=−1，
由m2+m≠0可得m≠0，m≠−1，
综上m=2
故答案为：C
【点睛】此题考查了二次函数的定义，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握二次函数的定义．
题型04 利用待定系数法求二次函数的解析式
类型一 一般式
【例4】（2023·陕西西安·高新一中校考三模）二次函数=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中x与
y的部分对应值如下表，下列结论，正确的个数有（ ）
x −1 0 1 3
y −1 3 5 3
①ac<0
②当x>1时，y的值随x值的增大而减小；
③4是方程ax2+(b−2)x+c+9=0的一个根；
④当−10
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】利用待定系数法先求解抛物线的解析式为：y=−x2+3x+3；可得ac<0，可判①；根据函数的
3 3
对称轴为直线x= ，函数图象开口向下，可得当x≥ 时，y的值随x值的增大而减小；可得②不符合题意；
2 2
由ax2+(b−2)x+c+9=0可化为x2−x−12=0，可判断③符合题意；由
ax2+(b−1)x+c=−x2+2x+3=0时，可得x=3或x=−1，可得当−10；
可得④符合题意；从而可得答案．
【详解】解：当x=0时，y=3，则c=3；
当x=−1时，y=−1；当x=1时，y=5，
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则有¿，
∴¿，
∴y=−x2+3x+3；
①ac<0，故①符合题意；
3
②函数的对称轴为直线x= ，函数图象开口向下，
2
3
∴当x≥ 时，y的值随x值的增大而减小；故②不符合题意；
2
③ax2+(b−2)x+c+9=0可化为x2−x−12=0，
∴x=4或x=−3；故③符合题意；
④ax2+(b−1)x+c=−x2+2x+3=0时，
∴x=3或x=−1，
∴当−10；故④符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练的掌握二次
函数的图象与性质进而作出准确的判断是解本题的关键．
【变式4-1】（2023·天津河北·统考三模）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x
与函数值y的部分对应值如下表：
x … −2 −1 0 1 2 …
y=ax2+bx+c … 1 m −2 −2 n …
1
且当x=− 时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：①abc<0；②−2和3是关于x的方程
2
20
ax²+bx+c=1的两个根，③00，
3 3 9
故①错误；
1 1
把x=−2代入方程 x2− x−2=1，
2 2
1 1
左边= ×(−2) 2− ×(−2)−2=1，右边=1，
2 2
∴左边=右边
1 1
把x=3代入方程 x2− x−2=1，
2 2
1 1
左边= ×32− ×3−2=1，右边=1，
2 2
∴左边=右边
∴−2和3是关于x的方程ax2+bx+c=1的两个根；
故②正确；
1 1
把x=−1，y=m，代入y= x2− x−2，得
2 2
1 1
m= ×(−1) 2− ×(−1)−2=0，
2 2
1 1
把x=2，y=n，代入n= x2− x−2，得
2 2
1 1
n= ×22− ×2−2=−2
2 2
∴m+n=0−2=−2<0，
故③错误；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确
定出对称轴是解题的关键．
【变式4-2】（2023·浙江·一模）已知二次方程x2+bx+c=0的两根为−1和5，则对于二次函数
y=x2+bx+c，下列叙述正确的是（ ）
A．当x=2时，函数的最大值是9． B．当x=−2时，函数的最大值是9．
C．当x=2时，函数的最小值是−9． D．当x=−2时，函数的最小值是−9．
【答案】C
【分析】根据二次方程x2+bx+c=0的两根为−1和5，求出b，c的值，从而得出函数解析式，再根据函数
的性质求最值．
【详解】解：∵二次方程x2+bx+c=0的两根为−1和5，
∴ ¿，
解得¿，
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∴二次函数y=x2+bx+c=x2−4x−5=(x−2) 2−9，
∵1>0，
∴当x=2时，y有最小值，最小值为−9，
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，关键是求函数解析式．
类型二 顶点式
【例5】（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）一个二次函数的图象与抛物线y=3x2的形状相同，且
顶点为(1，4)，那么这个函数的关系式是 ．
【答案】y=3x2−6x+7或y=−3x2+6x+1
【分析】根据题意，可设该二次函数的解析式为y=±3(x−h) 2+k，再结合其顶点为(1，4)，计算即可得
出答案．
【详解】解：∵一个二次函数的图象与抛物线y=3x2的形状相同，
∴可设该二次函数的解析式为y=±3(x−h) 2+k，
∵该二次函数的顶点为(1，4)，
∴该二次函数的解析式为y=±3(x−1) 2+4，
∴该二次函数的解析式为y=3x2−6x+7或y=−3x2+6x+1．
故答案为：y=3x2−6x+7或y=−3x2+6x+1．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，理解图象形状相同的两个二次函数其二次项系数的绝
对值相等是解题关键．
【变式5-1】（2022上·江苏南京·九年级统考期末）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像的顶点坐标为
（1，m），与y轴的交点为（0，m－2），则a的值为 ．
【答案】－2
【分析】利用待定系数法求解函数解析式即可求解．
【详解】解：根据题意，设该二次函数的解析式为y=a(x－1)2+m，
将（0，m－2）代入得：a+m=m－2，
解得：a=－2，
故答案为：－2．
【点睛】本题考查待定系数法求解二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解函数解析式的方法步骤，设
为顶点式求解是解答的关键．
类型三 交点式
【例6】（2023·江苏扬州·统考二模）已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(−1,0)、(3,0)和(0,3)，
当x=2时，y的值为 ．
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【答案】3
【分析】根据题意可得交点式y=a(x−3)(x+1)，然后把(0,3)代入求出a值，即可求出二次函数表达式．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(−1,0)、(3,0)
∴抛物线的解析式为y=a(x−3)(x+1)，
把(0,3)代入得：−3a=3，解得：a=−1，
∴函数的解析式为y=−(x−3)(x+1)，
即y=−x2+2x+3，
∴当x=2时，y=−22+2×2+3=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
【变式6-1】（2022·安徽宿州·校考模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于点A(−1,0)和
B(3,0)，与y轴交于点C，且OC=3．
（1）抛物线的顶点坐标为 ．
（2）点M，N是抛物线上的两个动点，且这两个点之间的水平距离为定值s(1≤s≤2)，设h为点M，N的
纵坐标之和的最大值，则h的最大值为 ．
15
【答案】 (1,4) 7.5/
2
【分析】（1）先用待定系数法求得抛物线的解析式，然后化成顶点式，即可写出抛物线的顶点坐标．
（2）先设出点M、N的横坐标，然后表示出两点纵坐标之和，再求二次函数的最值，并结合s的取值范围
即可确定h的最大值．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1，0)和B(3,0)
∴设y=a(x+1)(x−3)，
将点C(0,3)代入得：3=a(0+1)(0−3)
解得：a=−1
∴函数的表达式是：y=−(x+1)(x−3)=−x2+2x+3
化为顶点式：y=−(x−1) 2+4
∴抛物线的顶点坐标为(1,4)
故答案为：(1,4)
（2）如图．
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依据题意，点M、点N均在抛物线y=−x2+2x+3上，
故设点M(t,−t2+2t+3),N[t+s,−(t+s) 2+2(t+s)+3]
则：h=−t2+2t+3−(t+s) 2+2(t+s)+3
整理成关于t为自变量的二次函数得：h=−2
(
t−
2−s) 2
+
(
8−
1 s2)
2 2
2−s
当t= 时，h最大，
2
1
h =8− s2
最大 2
∵1≤s≤2，
1 1
∴s=1时， h最大，此时h =8− s2=8− ×12=7.5
最大 2 2
2−s 1 (1 15) (3 15)
此时t= = ，点M , 、N ,
2 2 2 4 2 4
故答案为：7.5
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、顶点坐标、最大值，解题的关键是熟练掌握二次函数的最大值
求法．
求二次函数解析式的一般方法：
1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二
次函数的解析式.
2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可
求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
3）交点式y=a(x-x)(x-x).当抛物线与x轴的两个交点为(x,0)、(x,0)时，可设y=a(x-x)(x-x)，
1 2 1 2 1 2
再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
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考点二 二次函数的图象与性质
一、二次函数的图象与性质
二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，
图象特征
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
y y y y
y
h>0,k>0
a>0 k>0
h<0 h>0
x x x x x
O O O O h<0,k<0 O
图
象 y
y y
y y h<0,k>0
x x x x
O O
a<0 O k<0 h<0 O h>0
h>0,k<0
x
O
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=−
2a
b 4ac−b2
(− ，
顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) 2a 4a
)
a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值；
最 a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.
值
4ac−b2
【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或 ）.
4a
增 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.
减
a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.
性
二、二次函数的图象变换
1）二次函数的平移变换
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平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀
向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减
向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减
2）二次函数图象的翻折与旋转
变换前 变换方式 变换后 口诀
绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变
y=a(x-h)²+k
绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号
沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变
沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号
三、二次函数的对称性问题
抛物线的对称性的应用，主要体现在：
1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标；
2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.
解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对
x +x
称轴可表示为直线x= 1 2 .
2
解题技巧：
b
1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=− 的差的绝对值相等；
2a
b
2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=− 对称；
2a
3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的
图象于x轴对称.
四、二次函数的最值问题
自变量取值范围 图象 最大值 最小值
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b
y 当 x=− 时，二次函
2a
x
a>0 4ac−b2
O 数取得最小值
4a
全体实数
b
y 当 x=− 时，二次函
2a
a<0 4ac−b2
x 数取得最大值
4a
O
当x=x2时，二次函数取 b
y 当 x=− 时，二次函
2a
得最大值y2
y
2
x
4ac−b2
数取得最小值
x O x 4a
1 2
当x=x1时，二次函数取 b
y 当 x=− 时，二次函
2a
得最大值y1
y
1
x 4ac−b2
x1≤x≤x2 a>0 x x 数取得最小值
1 2 4a
y
2
当x=x2时，二次函数取 当x=x1时，二次函数取
y
得最大值y2 得最小值y1
x
1 x
O x
2
y
2
y
1
备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导.
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y
y
y
x
1 x
x
O x x 1 x
2
x O x O x
1 2 2
y
1
y y
y 2 2
1
y
2
y
1
1. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小)
是不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围.
2. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关.
3. 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式 y=a(x-h)2+k的形式，因为二次函数平移遵循
“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式.
题型01 根据二次函数解析式判断其性质
【例1】（2022·广东江门·鹤山市沙坪中学校考模拟预测）关于二次函数y=x2+2x−8，下列说法正确的
是（ ）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为(0，−9)
C．图象与x轴的交点坐标为(−2,0)和(4,0)
D．y的最小值为−9
【答案】D
【分析】把二次函数的解析式化成顶点式和交点式，再利用二次函数的性质就可以判断各个选项中的结论
是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵二次函数y=x2+2x−8=(x+1) 2−9=(x+4)(x−2)，
∴该函数的对称轴是直线x=−1，在y轴的左侧，故选项A错误；
当x=0时，y=−8，即该函数与y轴交于点(0，−8)，故选项B错误；
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当y=0时，x=2或x=−4，即图象与x轴的交点坐标为(2,0)和(−4,0)，故选项C错误；
当x=−1时，该函数取得最小值y=−9，故选项D正确．
故选：D
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，把二次函数解析式化为顶点式和交点式是解题的关键．
【变式1-1】（2022·福建龙岩·校考模拟预测）若A(−6,y )，B(−3,y )，C(1,y )为二次函数y=x2−m
1 2 3
图象上的三点，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y 0开口向上，则x<0时，y随x的增大而减小，即可判断y ，y ，y 的大小关系．
1 2 3
【详解】解：由二次函数y=x2−m可得a=1>0，对称轴为y轴，
即x=−1时的函数值与x=1时的函数值相等，等于y ，
3
当x<0时，y随x的增大而减小，
∵−6<−3<−1，
∴y 1时，
y>0．
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】将解析式化为顶点式，进而判断①②③，令y=0，得出与x轴的交点，根据函数图象即可判断④，
即可求解．
【详解】解：∵y=x2+4x−5=(x+2) 2−9，a=1>0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−2，当x<−2时，y随x的增大而减小；
故①正确，②错误，③正确；
令y=0，即x2+4x−5=0，
解得：x =1，x =−5，
1 2
∴抛物线开口向上，与x轴交于(1,0)，(−5,0)，
∴当x<−5或x>1时，y>0，
故④正确，
综上所述，正确的有：①③④，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，抛物线与x轴的交点，解题的关键是明确题意，利用二次函数
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的性质解答．
1
【变式1-3】（2022·湖北武汉·校考三模）抛物线y=a(x−h) 2+k（a、h、k是常数，a<0，0y ．其中正确
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
的结论是 （填写序号）．
【答案】②③④
【分析】根据题意，画出二次函数的图象，采用数形结合思想求解．
【详解】解：根据题意，抛物线抛物线y=a(x−h) 2+k的图象如图示：
对称轴是直线x=h，过点A(−1,0)，
①：根据图象可知：k>0，所以①是错的；
②：根据抛物线的对称性可知，抛物线也过点(2h+1,0)，所以②是正确的；
③：一元二次方程a(x−h) 2+k=0的根就是抛物线y=a(x−h) 2+k与x轴的交点横坐标，
根据题意和图象可知，有一个交点在1和2之间．所以③是正确的；
④：根据图象可知，y > 0，y <0，
1 ❑ 2
∴y >y ，
1 2
所以④是正确的．
故正确结论为：②③④．
【点睛】掌握二次函数的性质，结合数形结合思想是解题的关键．
【变式1-4】（2023·江苏南京·校考三模）已知整式M=a2−2a，下列关于整式M的值的结论：
①M的值可能为4；
②当a>1时，M的值随a的增大而增大；
③当a为小于0的实数时，M的值大于0；
④不存在这样的实数a，使得M的值小于−1．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的知识，二次函数的图象和性质，依次判断，即可．
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【详解】①当M=4，
∴M=a2−2a=4，
解得：a =1+√5，a =1−√5，
1 2
∴M的值可能为4，
∴①正确；
②设函数的解析式为：M=a2−2a，如图1
b
∴对称轴为：x=− =1，函数图象的开口向上，
2a
∴当a>1，函数M随a的增大而增大，
∴②正确；
③同理，当x<1，函数M随a的增大而减小，
∴当a<0时，函数M在y轴是上方，即M>0，
∴③正确；
④设函数的解析式为：M=a2−2a，如图1
∴当a=1时，函数M有最小值，最小值为：−1
∴无论a取任何数，M≥−1
∴④正确；
综上所述：正确的为：①②③④
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握解一元二次方程，二次函数
图象和性质，实数的性质．
题型02 将二次函数的一般式化为顶点式
【例2】（2022·广东湛江·统考一模）将二次函数y=x2+4x−7化为y=a(x+h) 2+k的形式，正确的是（
）
A．y=(x+4) 2−7 B．y=(x+2) 2−11
C．y=(x+2) 2−7 D．y=(x+2) 2−15
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【答案】B
【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，即得答案．
【详解】解：y=x2+4x−7=x2+4x+4−7−4
y=x2+4x+4−7−4
y=(x+2) 2−11
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线的一般式y=ax2+bx+c转化为顶点式，需注意的是：第一，提取二次项系数
而不是两边同时除以二次项系数，第二，当二次项系数是负数时，括号内需注意符号的变化．
【变式2-1】（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考三模）关于二次函数
y=−x2+2x+2的最值，说法正确的是（ ）
A．最小值为 1 B．最小值为 2 C．最大值为 3 D．最大值为−1
【答案】C
【分析】将二次函数解析式一般式化为顶点式即y=−x2+2x+2=−(x−1) 2+3，再根据二次函数的性质即
可解答．
【详解】解：∵二次函数的解析式为y=−x2+2x+2，
∴y=−x2+2x+2=−(x−1) 2+3，
∵a=−1<0，
∴y=−x2+2x+2有最大值为3；
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式2-2】（2023·浙江温州·校考三模）抛物线y=x2−2ax+b的顶点落在一次函数y=−2x+4的图象
上，则b的最小值为 ．
【答案】3
【分析】首先求出抛物线y=x2−2ax+b的顶点坐标，然后代入一次函数y=−2x+4，然后利用二次函数
的性质求解即可．
【详解】解：y=x2−2ax+b=(x−a) 2−a2+b，
∴顶点坐标为(a,−a2+b)，
∵抛物线y=x2−2ax+b的顶点落在一次函数y=−2x+4的图象上，
∴(a,−a2+b)在一次函数y=−2x+4的图象上，
∴−a2+b=−2a+4
∴b=a2−2a+4=(a−1) 2+3
∵1>0，
∴抛物线开口向上，
∴当a=1时，b有最小值3．
【22淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故答案为：3．
【点睛】此题考查了二次函数的最值，二次函数的顶点式，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【变式2-3】（2023·江苏南通·统考二模）若抛物线y=−x2+4x−n的顶点在x轴的下方，则实数n的取值
范围是 ．
【答案】n>4/44，
故答案为：n>4．
【点睛】本题考查了抛物线的顶点式解析式，解题关键是理解当顶点纵坐标小于0时，顶点位于x轴下方．
【变式2-4】（2024·上海杨浦·统考一模）已知二次函数y=−x2+4x−3．
(1)用配方法将函数y=−x2+4x−3的解析式化为y=a(x+m) 2+k的形式，并指出该函数图像的对称轴和顶
点坐标；
(2)设该函数的图像与x轴交于点A、B，点A在点B左侧，与y轴交于点C，顶点记作D，求四边形ADBC
的面积．
【答案】(1)y=−(x−2) 2+1，对称轴为直线x=2，顶点坐标(2,1)；
(2)4．
【分析】（1）利用配方法把二次函数的一般形式改写成顶点式，即可得到函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）令x=0求出与y轴交点坐标，令y=0求出与x轴交点坐标，然后求面积即可；
本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握配方法和顶点式的相关性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得：y=−x2+4x−3=−(x−2) 2+1，
∴对称轴为直线x=2，顶点坐标(2,1)；
（2）根据题意画图，
令x=0，则y=−3，
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∴点C(0,−3)，则OC=3，
令y=0，则−x2+4x−3=0，解得x =1，x =3，
1 2
∴A(1,0)，B(3,0)，
∴AB=2，
由（1）得：D(2,1)，
∴S =S +S ，
四 边形ADBC △ABC △ABD
1 1
= ×2×3+ ×2×1，
2 2
=4．
题型03 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
【例3】（2022·福建龙岩·统考模拟预测）若二次函数y=a2x2+bx−c的图象过不同的六点A(−1,n)，
B(5,n−1)，C(6,n+1)，D(4,y )，E(√2,y )，F(2,y )，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3 1 2 3
A．y y ，又点E到对称轴距离小于2−√2<1，点D到对称轴的距离大于4− =1.5，得出y >y ．
2 3 2 1 2
【详解】由二次项系数可知，抛物线开口向上，
∵ A(−1,n)，B(5,n−1)，C(6,n+1)，
∴点A的对称点A' (x ,n)的横坐标x 须满足5y ，
2 3
5 5
又点E到对称轴距离小于 −√2<1.5，点D到对称轴的距离大于4− =1.5，
2 2
∴ y >y ，
1 2
从而y >y >y ，
1 2 3
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．
【变式3-1】（2023·浙江·模拟预测）已知a、b(00时，函数有最小值
1
D．如果m<0，当x> 时，y随x的增大而减小
2
【答案】D
【分析】A、把m=1代入解析式，判断即可；B、把m=2代入解析式，判断即可；C、当m>0时，开口向
1
上，判断最值即可；D、当m<0时，可知对称轴在y轴右侧，但与 无法比较，即可判断．
2
【详解】解：A、m=1时，y=x2+1，对称轴是y轴，故A选项正确，不符合题意；
B、m=2时，y=2x2−x，x=0时，y=0，所以过(0,0)，故B选项正确，不符合题意；
C、m>0时，即二次函数开口向上，所以有最小值，故C选项正确，不符合题意；
1−m 1−m 1
D、m<0时，对称轴为直线x=− >0，即对称轴在y轴右侧，但无法判断− 与 的大小，故D
2m 2m 2
选项不正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
【变式3-3】（2023·浙江杭州·校考二模）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过不同的两点A(2−m,n)，
B(m,n)，下列说法正确的是（ ）
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A．若m>2时都有n>c，则a<0
B．若m>1时都有nc，则a>0
D．若m<0时都有n0
【答案】C
【分析】根据A、B两点的纵坐标相同，可求得抛物线的对称轴为直线x=1，再由对称轴公式即可求得答
案；
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(2−m,n)，B(m,n)两点，
2−m+m
∴抛物线的对称轴为直线x= =1．
2
对于A选项，若m>2时，
∴2−m<0<1．
又n>c，
∴此时，y随x的增大而减小．
∴抛物线开口向上．
∴a>0，故A不符合题意；
对于B选项，若m>1时，
∴0<10或a<0．
∴选项B不符合题意．
若m<0时，
∴m<0<1．
又n>c，
∴此时，y随x的增大而减小．
∴抛物线开口向上．
∴a>0，故C符合题意．
若m<0时，
∴m<0<1．
又ny ≥ y ，则|x −x |<|x −x |
1 3 2 1 2 2 3
D．若y >y ≥ y ，则|x −x |>|x −x |
1 3 2 1 2 2 3
【答案】D
【分析】先将抛物线的解析式化为顶点式，然后得到函数的顶点即为点B，再由a的正负分情况讨论，得到
y之间的大小关系．
a a 3
【详解】解：∵ y=− x2+ax+c=− (x−3) 2+ a+c，
6 6 2
3
∴函数的顶点坐标为(3, a+c)，即为点B，
2
当a>0时，抛物线开口向下，则当x越靠近3时，y的值越大，
∴当|x −x |≤|x −x |时，y ≥ y ≥ y ，
1 2 3 2 2 1 3
当|x −x |≥|x −x |时，y ≥ y ≥ y ，
1 2 3 2 2 3 1
当a<0时，抛物线开口向上，则当x越靠近3时，y的值越小，
∴当|x −x |≥|x −x |时，y ≥ y ≥ y ，
1 2 3 2 2 1 2
故选项A，B无法确定，不符合题意；
当y >y ≥ y 时，y 是最小值，此时a<0，开口向上，则当x越靠近3时，y的值越小，
1 3 2 2
∴|x −x |>|x −x |，故选项C不正确，选项D正确，符合题意．
1 2 2 3
故选D
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟知由抛物线的开口方向和点到对称轴的距离大小决定对应y值
的大小是解题关键．
题型04 利用五点法绘二次函数图象
【例4】（2023·广东深圳·校考模拟预测）请结合图像完成下列问题：
(1)请在图中画出函数：y=|x|+4的图像；
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(2)结合图像直接写出方程：|x|+4=−x+6的解为：_______；
(3)在图中画出函数y=x2−2|x|+4的图像，并结合图像直接写出方程：x2−4|x|+3=x+3的解为：
．
【答案】(1)作图见解析
(2)x=1
(3)x=0或x=−3或x=5，作图见解析
【分析】（1）先列表、然后描点、再连线即可得出函数图象；
（2）作出一次函数y=−x+6的函数图象，然后根据函数图象得出方程：|x|+4=−x+6的解即可；
（3）先列表、然后描点、再连线即可得出函数图象；方程x2−4|x|+3=x+3可以变为
x2−2|x|+4=2|x|+x+4，作出函数y=2|x|+x+4的函数图象，最后找出两个函数图象的交点，即可得出
x2−4|x|+3=x+3的解．
【详解】（1）解：列表：
【28淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
x … −10 −5 0 5 10 …
y=|x|+4 … 14 9 4 9 14 …
描点，连线，如图所示：
（2）解：如图，一次函数y=−x+6与函数y=|x|+4的交点的横坐标为1，
∴方程|x|+4=−x+6的解为x=1，
故答案为：x=1．
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（3）解：列表：
x … −3 −2 −1 0 1 2 3 …
y=x2−2|x|+4 … 7 4 3 4 3 4 7 …
描点，连线：
方程x2−4|x|+3=x+3可以变为x2−2|x|+4=2|x|+x+4，
如图，函数y=x2−2|x|+4的图象与函数y=2|x|+x+4的图象交点的横坐标为：0，−3，5，
∴方程x2−2|x|+4=2|x|+x+4的解为x=0或x=−3或x=5，
【30淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
即方程x2−4|x|+3=x+3的解为x=0或x=−3或x=5．
【点睛】本题主要考查了用描点法作函数图象，根据函数图象求方程的解，解题的关键是熟练掌握函数图
象的作图方法，数形结合．
【变式4-1】（2023·广东深圳·校考模拟预测）已知，抛物线y=2x2−4．
(1)列表，描点，在平面直角坐标系中画出y=2x2−4的图象．
(2)将y=2x2−4的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，求所得新抛物线的解析式．
【答案】(1)见解析
(2)y=2(x−2) 2−1
【分析】（1）采用“五点作图”法即可求解；
（2）左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解．
【详解】（1）解：列表如下：
【31淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
−2 −1 0 1 2
4 −2 −4 −2 4
图象如图所示：
（2）解：将y=2x2−4的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
可得：y=2(x−2) 2−4+3
即：y=2(x−2) 2−1
【点睛】本题考查二次函数的图象及平移．掌握二次函数的平移规律是关键．
【变式4-2】（2023·广东深圳·统考模拟预测）在初中函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图
象，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小丽同学学习二次函数后，对函数y=x2−2|x|
（自变量x可以是任意实数）图象与性质进行了探究．请同学们阅读探究过程并解答：
(1)作图探究：
①下表是y与x的几组对应值：
x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 …
y … 8 3 0 m 0 −1 0 n 8 …
m=___________，n=___________；
②在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象：
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(2)深入思考：
根据所作图象，回答下列问题：
①方程x2−2|x|=0的解是___________；
②如果y=x2−2|x|的图象与直线y=k有4个交点，则k的取值范围是___________；
(3)延伸思考：
将函数y=x2−2|x|的图象经过怎样的平移可得到y =(x+1) 2−2|x+1|−2的图象？请写出平移过程．
1
【答案】(1)① −1；3；②图见解析
(2)① x=−2或x=0或x=2；② −11)向下平
移2个单位，所得抛物线顶点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合a的取值范围判断新抛物线的顶点所在的
象限即可．
【详解】解：∵y=−x2+(a+1)x+a=− ( x−
a+1) 2
+a+
(a+1) 2
，
2 4
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(a+1 (a+1) 2 )
∴该抛物线顶点坐标是 ,a+ ，
2 4
(a+1 (a+1) 2 )
将其向下平移2个单位，得到的抛物线的顶点坐标是 ,a+ −2 ，
2 4
∵a>1，
∴a+1>2，a+3>4
a+1
则 >0，
2
(a+1) 2 4a+(a2+2a+1)−8 a2+6a+9−16 (a+3) 2−16
a+ −2= = = >0，
4 4 4 4
(a+1 (a+1) 2 )
∴平移后抛物线的顶点坐标是 ,a+ −2 一定在第一象限，
2 4
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数
的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．
【变式5-4】（2022·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）将抛物线y=ax2−2ax+1平移，使得平移后的
抛物线与x轴相交于A、B两点，若AB=2，则下列平移方式正确的是（ ）
A．向上平移2个单位 B．向下平移2个单位
C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位
【答案】D
【分析】设平移方式为向上平移c个单位，平移后的抛物线解析式为y=ax2−2ax+1+c，设交点A为
−2a 1+c
(x ,0)，交点B为(x ,0)，则x ，x 为ax2−2ax+1+c=0的两个根，x +x =− =2，x ⋅x = ，
1 2 1 2 1 2 a 1 2 a
1+c
由AB=|x −x |=√(x +x ) 2−4x x =2求得 =0，进而可得平移方式．
1 2 1 2 1 2 a
【详解】解：设平移方式为向上平移c个单位，若解得c为负值，则为向下平移−c个单位，
平移后的抛物线解析式为y=ax2−2ax+1+c，
设交点A为(x ,0)，交点B为(x ,0)，
1 2
则x ，x 为ax2−2ax+1+c=0的两个根，
1 2
−2a 1+c
∴x +x =− =2，x ⋅x = ，
1 2 a 1 2 a
则AB=|x −x |=√(x +x ) 2−4x x =2，
1 2 1 2 1 2
√ 1+c √ 1+c
即： 22−4× = 4−4× =2，
a a
1+c
∴ =0，
a
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∴c=−1，即：向下平移1个单位，
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，一元二次方程根与系数的关系，熟知“上加下减，左
加右减”的法则是解答此题的关键．
题型06 已知抛物线对称的两点求对称轴
【例6】（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知二次函数y=a(x−h) 2+k(a>0)，其图象过点
A(0，2)，B(8，2)，则h的值应该是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h,由于A、B的纵坐标都是2，求得对称轴为
直线x=4，即可得出h=4．
【详解】由解析式可知抛物线的对称轴为直线x=h,
∵点A(0，2)，B(8，2)，它们的纵坐标相同，
0+8
∴对称轴为直线x= =4，
2
∴h=4．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解题的关键
是利用对应值确定对称轴，再利用二次函数的性质求解．
【变式6-1】（2022·广东江门·鹤山市沙坪中学校考模拟预测）如果抛物线y=ax2+bx+c经过
(−6，−3)、(4，−3)，那么抛物线的对称轴是 ．
【答案】直线x=−1
【分析】二次函数y=ax2+bx+c图象是轴对称图形，经过(−6，−3)、(4，−3)，为一对对称点，于
是得对称轴x=(−6+4)÷2=−1．
【详解】解：由抛物线y=ax2+bx+c经过(−6,−3)、(4,−3)，得(−6,−3)、(4,−3)关于对称轴对
称，即对称轴过(−6,−3)、(4,−3)的中点，x=(−6+4)÷2=−1，
故答案为：直线x=−1．
【点睛】本题考查二次函数图象的轴对称性质，中点坐标公式，理解二次函数的轴对称性是解题的关键．
【变式6-2】（2023·福建福州·校考三模）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c过点(m+1,m)，
(3−m,m)，直线y=x+3与抛物线交于A，B两点，取AB中点C，则C的横坐标为 ．
【答案】2.5
【分析】根据二次函数的对称性求出对称轴，可得一次项系数，联立两个函数解析式得到一个一元二次方
程，根据中点公式与根与系数的关系直接求解即可．
【详解】∵二次函数y=x2+bx+c过点(m+1,m)，(3−m,m)，
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m+1+3−m b
∴对称轴x= =2=− ，
2 2
解得b=−4，则y=x2−4x+c，
∵直线y=x+3与抛物线交于A，B两点，
∴¿，得x2−5x+c−3=0，
∵取AB中点C，
−5
−
∴C的横坐标为x +x 1 ．
1 2= =2.5
2 2
故答案为：2.5
【点睛】此题考查二次函数的性质和中点坐标公式以及一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是先通
过对称性求出对称轴，然后通过联立两函数解析式求交点坐标，最终通过中点公式求出中点横坐标．
题型07 根据二次函数的对称性求函数值
【例7】（2023·上海普陀·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，点A(1,4)关于抛物线y=a(x+2) 2的对称
轴对称的点的坐标是 ．
【答案】(−5,4)
【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据轴对称的性质求解．
【详解】解：∵y=a(x+2) 2的对称轴为直线x=−2，
∴A关于x=−2的对称点为：(−5,4)，
故答案为：(−5,4)．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．
【变式7-1】（2023·湖南衡阳·统考一模）如果三点P (1,y )，P (3,y )和P (4,y )在抛物线
1 1 2 2 3 3
y=−x2+6x+c的图象上，那y ，y ，y 之间的大小关系是 ．
1 2 3
【答案】y >y >y /y 3时，y随x的增大而减小，P (1,y )关于称轴是直线x=3的对称点是(5,y )，
1 1 1
∵3<4<5，
∴y >y >y ．
2 3 1
故答案为：y >y >y ．
2 3 1
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的
关键．
【变式7-2】（2023·江苏南通·统考一模）抛物线y=ax2+bx+c经过点(−3,y )和(5,y )，顶点坐标为
1 2
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(m,n)，若y >y >n，则m的取值范围是（ ）
1 2
A．m<−3 B．m<1 C．m>1 D．m>5
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质及二次函数图像上点的坐标特征得出m的取值范围．
【详解】解：∵抛物线顶点坐标为(m,n)，
∴抛物线对称轴为x=m，
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(−3,y )和(5,y )，y >y >n，
1 2 1 2
−3+5
∴ 1，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质及二次函数图像上点的坐标特征，准确找到对称轴，利用对称轴表示出
−3+5
8，则下列大小比较正确的是（ ）
1 2 1 2
A．y >y >m B．y >y >m C．m>y >y D．m>y >y
1 2 2 1 1 2 2 1
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y=−(x−4) 2+m的开口向下，有最大值为m，对称轴为直线
x=4，根据x <48，设A(x ,y )的对称点为A (x ，y )，得出x +x =8，则在对称轴右
1 2 1 2 1 1 1 0 1 1 0
侧，y随x的增大而减小，则当4y >y ．
0 2 1 2
【详解】解：∵y=−(x−4) 2+m，
∴a=−1<0，
∴当x=4时，有最大值为y=m，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线y=−(x−4) 2+m对称轴为直线x=4，
设A(x ,y )的对称点为A (x ，y )，即x >4，
1 1 1 0 1 0
x +x
∴ 1 0=4，
2
∴x +x =8，
1 0
∵x +x >8，
1 2
∴x +x >x +x ，
1 2 1 0
∴x >x ，
2 0
∴4y >y ．
1 2
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，则
b
抛物线上的点的坐标满足其解析式；当a<0，抛物线开口向下；对称轴为直线x=− ，在对称轴左侧，
2a
y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小．
【变式7-4】（2023·浙江·统考二模）二次函数y=ax2+bx+1(a，b是常数，a≠0)的图象过点(5,6)，下列
选项正确的是( )
A．若对称轴为直线x=1，则a<0 B．若对称轴为直线x=2，则a<0
C．若对称轴为直线x=3，则a<0 D．若对称轴为直线x=4，则a>0
【答案】C
【分析】先求得抛物线与y轴交于(0,1)，然后根据抛物线的对称轴求得对称点，根据抛物线对称轴的右侧
的增减性即可求解．
【详解】解：由y=ax2+bx+1，当x=0时，y=1，即抛物线与y轴交于(0,1)
若对称轴为直线x=1，则(0,1)关于x=1对称的点为(2,1)，
又二次函数y=ax2+bx+1(a，b是常数，a≠0)的图象过点(5,6)，
在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向上，即a>0，故A错误
若对称轴为直线x=2，则(0,1)关于x=2对称的点为(4,1)，
又二次函数y=ax2+bx+1(a，b是常数，a≠0)的图象过点(5,6)，
在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向上，即a>0，故B错误
若对称轴为直线x=3，则(0,1)关于x=3对称的点为(6,1)，
又二次函数y=ax2+bx+1(a，b是常数，a≠0)的图象过点(5,6)，
在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向下，即a<0，故C正确
若对称轴为直线x=4，则(0,1)关于x=4对称的点为(8，1)，
又二次函数y=ax2+bx+1(a，b是常数，a≠0)的图象过点(5,6)，
在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向下，即a<0，故D错误
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
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题型08 根据二次函数的性质求最值
【例8】（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知函数y=x2−2x+3，当0≤x≤4时，y有最大值a，最小值
b，则a+b的值为（ ）
A．13 B．5 C．11 D．14
【答案】A
【分析】直接利用配方法求出二次函数最小值b，进而利用二次函数增减性得出a的值，即可得出答案．
【详解】解：y=x2−2x+3
整理得：y=(x−1) 2+2
故当x=1时，y有最小值b为2；
当x=4时，y有最大值a为11；
故a+b=11+2=13；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数的最值，利用二次函数增减性得出其最值是解题的关键．
【变式8-1】（2023·河南周口·统考一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公
式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记
a+b+c
p= ，则其面积S=√p(p−a)(p−b)(p−c)，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若p=5,c=2，
2
则此三角形面积的最大值为（ ）
√15
A．√3 B． C．√15 D．5
2
【答案】C
a+b+c
【分析】将p=5，c=2代入p= ，求出b=8−a，利用海伦公式，得到
2
S=√5(5−a)(5−b)(5−2)=√15(5−a)[5−(8−a)]=√15(5−a)(a−3)，设y=(5−a)(a−3)=−a2
+8a−15，利用二次函数的性质，求最值即可．
a+b+c a+b+2
【详解】解：将p=5，c=2代入p= ，得5= ，
2 2
∴a+b=8，
∴b=8−a．
三角形的面积S=√5(5−a)(5−b)(5−2)=√15(5−a)[5−(8−a)]=√15(5−a)(a−3)．
设y=(5−a)(a−3)=−a2 +8a−15，
8
它是a的二次函数，开口向下，当a=− =4时，y取最大值1，
−2
此时，面积S取最大值为√15．
故选C．
【41淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解并掌握海伦公式，将面积的最大值转化为二次函数
求最值．
【变式8-2】（2023·安徽六安·统考一模）若a≥0，b≥0，且2a+b=2，2a2−4b的最小值为m，最大值
为n，则m+n=（ ）
A．−14 B．−6 C．−8 D．2
【答案】B
【分析】先用a表示b，然后代入2a2−4b中，利用配方法进行配方，再根据a≥0，b≥0确定a的取值范
围，根据二次函数的增减性确定m，n的值，即可得出答案．
【详解】解：∵2a+b=2，
∴b=2−2a，
设y=2a2−4b
=2a2−4(2−2a)
=2a2+8a−8
=2(a2+4a−4)
=2(a2+4a+4−8)
=2[(a+2) 2−8]
=2(a+2) 2−16，
∵a≥0，b≥0，
∴¿，
解得：0≤a≤1，
∵2>0，
∴抛物线开口向上，对称轴为a=−2，
当a>−2时，y随a的增大而增大，
当a=0时，y最小，即m=2×22−16=−8，
当a=1时，y最大，即n=2×32−16=2，
∴m+n=−8+2=−6．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，用a表示b，转化为关于a的二次函数，根据a的取值范围
确定最大值和最小值是解题的关键．
【变式8-3】（2023·河北保定·统考模拟预测）对于二次函数y=−(x−m) 2+1，已知m>3，当−1≤x≤3
时，有下列说法：
①若y的最大值为−8，则m=4；
②若y的最小值为−8，则m=6；
③若m=5，则y的最大值为−3．
则上达说法（ ）
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A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③正确 D．均不正确
【答案】C
【分析】根据二次函数y=−(x−m) 2+1可得对称轴为直线x=m，由a=−1<0，可得抛物线开口向下，再
由m>3，所以当−1≤x≤3时，抛物线单调递增，从而可得x=3时，y有最大值，x=−1时，y有最小值，
把x=3、y=−8和x=−1、y=−8分别代入解析式求得m的值，再根据m的取值范围进行判断①②即可；
把x=3、m=5，代入解析式求得y的最大值即可判断③．
【详解】解：二次函数y=−(x−m) 2+1图象的对称轴为直线x=m，
∵a=−1<0，
∴抛物线开口向下，
因为m>3，所以当−1≤x≤3时，函数y=−(x−m) 2+1单调递增，
若y的最大值为−8，则−(3−m) 2+1=−8，解得m=6或m=0（舍去），故①错误；
若y的最小值为−8，则−(−1−m) 2+1=−8，解得m=2或m=−4，此时不存在m，故②错误；
若m=5，则y=−(x−5) 2+1，所以y的最大值为−(3−5) 2+1=−3，故③正确，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
题型09 根据二次函数的对称性求字母的取值范围
【例9】（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）已知抛物线y=x2+bx+c（c为常数）经过点
(p,m)、(q,m)、(4,c)，当1≤q−p<6时，m的取值范围为（ ）
15
A．c− ≤m0，
∴该二次函数图象开口向上，离对称轴越远函数值越大，
∵6−3>3−2，
∴再2≤x≤6之间，当x=6时，函数有最大值y=62−6×6+5=5，
当x=3时，函数有最小值y=32−6×3+5=−4，
∴当2≤x≤6时，y的取值范围是−4≤ y≤5．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握a>0时，函数开口向上，在对称轴左边，
y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，a<0时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x
的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
【变式11-2】（2023上·陕西西安·九年级陕西师大附中统考期末）已知二次函数y=ax2+bx+c，函数y
与自变量x的部分对应值如下表所示：
x … −1 0 1 3 …
y … −2 3 6 6 …
当03
【答案】B
【分析】利用待定系数法求函数解析式，即可求得开口方向，对称轴，函数的最值，然后根据二次函数的
性质，可以得到当0y ，则m的取值范围是（ ）
0 2 1
A．m<−3 B．m>−3 C．m<−2 D．m>−2
【答案】A
4a
【分析】先求出抛物线的对称轴x=− =−2，再根据二次函数的性质，当点A(m，y )和
2a 1
B(m+2，y )在直线x=−2的左侧时，则m<−4；当点A(m，y )和B(m+2，y )在直线x=−2的两
2 1 2
侧时，则m+2−(−2)<−2−m，然分别解两个不等式即可得到m的范围．
4a
【详解】解：抛物线y=ax2+4ax+c(a≠0)的对称轴为直线x=− =−2，
2a
∵C为抛物线的顶点，
∴x =−2，
0
∵y ≥ y >y ，
0 2 1
∴抛物线开口向下，
∵y ≥ y >y ，
0 2 1
∴当点A(m，y )和B(m+2，y )在直线x=−2的左侧时，m+2<−2，解得m≤−4；
1 2
当点A(m，y )和B(m+2，y )在直线x=−2的两侧，m+2−(−2)<−2−m，解得m<−3；且点
1 2
A(m，y )和B(m+2，y )在两侧应加上在两侧的条件m<−24时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A．a≥−3 B．−3≤a<4 C．a<4 D．−3≤a≤4
【答案】D
【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，从而解得a≥−3，然后求出抛物线的对称轴，结合抛
物线开口向上，且当x>4时，y随x的增大而增大，可得a≤4，从而得出选项．
【详解】解：y=x2−2ax+a2−2a−6
∵图象与x轴有交点，
∴△=(−2a) 2−4(a2−2a−6)≥0，
解得a≥−3；
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−2a
∵抛物线的对称轴为直线x=− =a
2
抛物线开口向上，且当x>4时，y随x的增大而增大，
∴a≤4，
∴实数a的取值范围是−3≤a≤4．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性
质是解题的关键．
【变式12-2】（2023·四川资阳·统考二模）已知抛物线y=ax2−2x+c，当x≤1时，y随x的增大而减小，
则a的取值范围为（ ）
A．−10，a<0两种情况讨论求解即可．
【详解】解：①当a>0时，抛物线开口向上，
∵当x≤1时，y随x的增大而减小，
−2
∴− ≥1，
2a
解得，a≤1，
∴0 C．0 时y 0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开
口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)．
a<0 开口向下
b=0 坐标轴是y轴
b
ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异
ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧
c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置．
c
c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
二、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论
自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论
x轴的上方 4a-2b+c >0
-2 4a-2b+c
x轴上 4a-2b+c =0
x轴的下方 4a-2b+c <0
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x轴的上方 a-b+c >0
-1 a-b+c
x轴上 a-b+c =0
x轴的下方 a-b+c <0
x轴的上方 a+b+c >0
1 a+b+c
x轴上 a+b+c =0
x轴的下方 a+b+c <0
x轴的上方 4a+2b+c >0
2 4a+2b+c
x轴上 4a+2b+c =0
x轴的下方 4a+2b+c <0
题型01 根据二次函数图象判断式子符号
【例1】（2023·广东湛江·校考一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的大致
图象如图所示，则下列结论错误的有（ ）个．
b
（1）a<0,b<0,c>0；（2）− =1；（3）a+b+c<0；（4）关于x的方程ax2+bx+c=−1有两个不
2b
相等的实数根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质一一判断即可．
【详解】解：（1）错误．∵开口向下，∴a<0，
b
− >0,∴b>0，
2a
∵抛物线交y轴的负半轴，∴c<0．
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b
（2）错误．根据图象可知：− >0,
2a
（3）错误．根据图象，当x=1时，y=a+b+c=0．
（4）正确．观察图象可知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=−1有两个交点，所以关于x的方程
x2+bx+c=−1有两个不相等的实数根．
所以错误的有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质和图象、二次函数与x轴的交点等知识．关键在于结合图象利用二次函
数的性质解题．
【变式1-1】（2022·黑龙江齐齐哈尔·校考三模）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于点
A(−1，0)，对称轴为x=1，与x轴的另一个交点为B，点C为抛物线顶点.下列结论：①abc<0；②
1
4a+2b+c>0；③3a+b>0；④c<4b；⑤若△ABC是等腰三角形时，a= ，其中结论正确的有（ ）
2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据图示，对称轴，可以判断a，b，c的正负关系，并确定b=−2a，由此即可求解．
【详解】解：由函数图象可知，a<0，b>0，c>0，
∴abc<0，故①正确；
∵抛物线对称轴为直线x=1，A(−1，0)、B关于对称轴对称，
∴B的坐标为(3，0)，
∴当x=2时，函数值y>0，
即：4a+2b+c>0，故②正确；
∵对称轴为直线x=1，
b
∴− =1，b=−2a，
2a
∴3a+b=3a−2a=a<0，故③错误；
由A点坐标可得：a−b+c=0，
将b=−2a代入可得：c=−3a，
∴c−4b=−3a−4(−2a)=5a<0，
即：c<4b，故④正确；
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由题意，A、B是关于对称轴对称的，C为顶点，
∴△ABC始终为等腰三角形，无论a取何值，也不会影响△ABC是等腰三角形的结论，
1
∴△ABC为等腰三角形时，不一定只能推出a= ，也可能是其他结果，故⑤错误；
2
∴正确的有：①②④，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，能够准确根据图像信息分析出基本式子的结果，并灵活变
形是解题关键．
【变式1-2】（2022·广东深圳·统考模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下
列4个结论：①abc>0；②b2<4ac；③2c<3b；④a+b>m(am+b)（m≠1），其中正确的结论有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与 y 轴交点位置，可判断 a,b,c 的符号及 a 与 b
的数量关系，从而判断①；由抛物线与 x 轴有两个交点可判断②；由 x=−1 时， y<0，可判断③；由
x=1时，y取最大值判断④；
【详解】∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线对称轴为直线 x=1，
b
∴− =1，
2a
∴b=−2a>0，
∵抛物线与 y 轴交点在 x 轴上方，
∴c>0，
∴abc<0，①错误；
∵抛物线与 x 轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴b2>4ac，②错误；
∵b=−2a，
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b
∴a=− ，
2
由图象可得 ：x=−1 时， y<0，
3
∴a−b+c=− b+c<0，
2
∴2c<3b， ③正确；
∵x=1 时，函数取最大值，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥m(am+b)，④正确；
故选B
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质掌握二次函数与方程及不
等式的关系
【变式1-3】（2023·浙江·模拟预测）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b>0，②
c<0，③b2−4ac>0，④a+b+c>0，⑤4a+2b+c>0．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，且对称轴为直线x=1，与x轴有2个交点，
b
可得a<0，c<0，− =1，b2−4ac>0，故②③正确；从而得到b=−2a>0，故①正确；再由当x=1时，
2a
y>0，可得a+b+c>0，故④正确；然后根据二次函数图像的对称性可得当x=2时，y<0，从而得到
4a+2b+c<0，故⑤错误，即可．
【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，且对称轴为直线x=1，与x轴有2个交
点，
b
∴a<0，c<0，− =1，b2−4ac>0，故②③正确；
2a
∴b=−2a>0，故①正确；
当x=1时，y>0，
∴a+b+c>0，故④正确；
∵当x=0时，y=c<0，且对称轴为直线x=1，
∴当x=2时，y<0，
∴4a+2b+c<0，故⑤错误；
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综上所述，正确的有4个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
【变式1-4】（2023·辽宁鞍山·校考一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的图
象，根据图象判断：①c<0；②a−c>0；③a−b+c>0；④2a−3b=0；⑤2c−5b>0．其中正确的结
论序号是（ ）
A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②④⑤
【答案】B
【分析】抛物线与y轴交点的位置判断①；开口方向结合c的符号，判断②，特殊点和对称轴，判断③④⑤．
b 1
【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，a>0，对称轴为直线x=− = ，
2a 3
∴3b=−2a，
∴2a+3b=0，故④错误；
抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0，故①正确；
∴−c>0，
∴a−c>0；故②正确；
由图可知，当x=−1时，y=a−b+c>0，故③正确；
∴2a−2b+2c>0，
∵3b=−2a，
∴−3b−2b+2c>0，
∴2c−5b>0；故⑤正确；
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．从图象中有效的获取信息，熟练掌握二次函数的性质，是解题
的关键．
题型02 二次函数图象与各项系数符号
【例2】（2022·陕西西安·校考模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)，且a+b+c=−1，
a−b+c=−3，则下列结论中错误的是（ ）
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A．抛物线与x轴负半轴必有一个交点 B．2a+2b+c>0
C．abc>0 D．当0≤x≤2时，y =3a
最大
【答案】C
【分析】先由a+b+c=−1，a−b+c=−3化简得到a、b、c之间的关系，然后将抛物线的解析式化简，
进而判断函数的性质．
【详解】解：A、∵a+b+c=−1，a−b+c=−3，
∴c=−2−a，b=1，抛物线经过点(1,−1)，(−1,−3)，
∴y=ax2+x−a−2，
∵a>0，
∴抛物线开口向上，
∴函数图象与x轴负半轴必有一个交点，故选项A正确，不符合题意；
B、∵c=−2−a，b=1，
∴2a+2b+c=2a+2−2−a=a>0，故选项B正确，不符合题意；
C、∵c=−2−a=−(2+a)<0，b=1，a>0，
∴abc<0，故选项C错误，符合题意；
D、∵y=ax2+x−a−2，
1
∴函数的对称轴直线x=− <0，
2a
∴当0≤x≤2时，函数值y随x的增大而增大，
∴当x=2时，y =4a+2−a−2=3a，故选项D正确，不符合题意；
最大
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的解析式，解题的关键是熟知二次函数图象与系数之间的
关系．
【变式2-1】（2022·湖北随州·校考模拟预测）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变
量x与函数值y的部分对应值如表：
x … −1 0 1 2 …
y … m −2 −2 n …
1 20
且当x=− 时，对应的函数值y>0.有以下结论：①abc>0；②0n+2b；④
2 3
1
P (t−1,y )和P (t+1,y )在该二次函数的图象上，则当实数t> 时，y >y ．其中正确的结论是（ ）
1 1 2 2 2 1 2
A．①② B．①③④ C．①②③ D．①③
【答案】D
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质以及图象上点的坐标特征，可以得到各个小题中的结论是否
正确，从而可以解答本题．
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1
【详解】解：由表格数据和当x=− 时，与其对应的函数值y>0可知，该函数图象开口向上，对称轴是直
2
1
线x= ，
2
∴a>0，b<0，c=−2<0，
∴abc>0，故①正确；
∵x=0和x=1时对应的函数值都是−2，
∴c=−2，a+b+c=−2，
∴a+b=0即a=−b，
∴二次函数表达式为y=ax2−ax−2，
∵m=a+a−2=2a−2，n=4a−2a−2=2a−2，
∴m+n=4a−4，
1
∵当x=− 时，与其对应的函数值y>0，
2
1 1 8
∴ a+ a−2>0，则a> ，
4 2 3
20
∴4a−4> ，
3
20
∴m+n> ，故②错误；
3
∵4a+c=4a−2，n+2b=2a−2−2a=−2，a>0，
∴4a−2>−2，即4a+c>n+2b，故③正确；
∵P (t−1,y )和P (t+1,y )在该二次函数的图象上，
1 1 2 2
∴y =a(t−1) 2−a(t−1)−2，y =a(t+1) 2−a(t+1)−2，
1 2
若y >y ，则a(t−1) 2−a(t−1)−2>a(t+1) 2−a(t+1)−2，
1 2
即a(t−1) 2−a(t−1)>a(t+1) 2−a(t+1)，
∵a>0，
∴(t−1) 2−(t−1)>(t+1) 2−(t+1)，
1
解得t< ，故④不正确，
2
综上，正确的是①③，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，综合性较强，解题的关键是熟练掌握二次函数基本性质及图象特
征，根据已知列方程或不等式，结合二次函数的图象的性质来解决对应的问题．
【变式2-2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）下表按照横坐标由小到大列出了y关于x的二次函数图像上
一些不同的点，图像上任意一点纵坐标均不大于7，下列说法错误的是（ ）
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x 0 m 2 n
y=ax2+bx+c c 6 7 6
A．当c>0时，抛物线与坐标轴有3个交点
B．当x=m+n时，y=c
C．若以A(m,6)，B(n,6)，D(2,7)为顶点的三角形为等腰直角三角形，则△ABC周长为2√2+2
D．若直线y=kx+b，经过(4,8)，若b>8，则y=kx+b和y=ax2+bx+c的图像有一个交点
【答案】D
【分析】由图象上任意一点纵坐标均不大于7，可得抛物线顶点坐标及开口方向，从而可得抛物线与x轴有
2个交点，由c>0可判断选项A，由抛物线的对称性及对称轴可得m+n的值，从而判断选项B，由三角形
ABC为等腰直角三角形及A，B，C三点坐标可得直角三角形的边长，从而判断选项C，由直线y=kx+b
经过(4,8)，(0,b)及b>8可得直线与抛物线无交点，从而判断选项D．
【详解】∵图象上任意一点纵坐标均不大于7，
∴抛物线顶点坐标为(2,7)且抛物线开口向下，
∴抛物线与x轴有2个交点，
∵抛物线与y轴交点坐标为(0,c)，
∴当c>0时，抛物线与坐标轴有3个交点，选项A正确；
∵抛物线经过(m,6)，(n,6)，抛物线对称轴为直线 x=2，
m+n
∴x= =2，即m+n=4，
2
∵抛物线经过点(0,c)，
∴抛物线经过(4,c)，
∴当x=m+n时， y=c，选项B正确；
∵等腰直角三角形的三个顶点为A(m,6)，B(n,6)，D(2,7)，
√2
∴AB=2×(7−6)=2，AD=BD= AB=√2，
2
∴△ABC周长为2√2+2，选项C正确；
∵直线y=kx+b与y轴交点坐标为(0,b)，
∵b>8，
∴(0,b)，(4,8)均在抛物线顶点(2,7)上方，
∴直线与抛物线无交点，选项D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的
关系．
【变式2-3】（2022·湖南株洲·校考二模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点
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A(−1,0)，与y轴的交点B在(0,−2)和(0,−1)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：
1 2
①abc>0；②4a+2b+c>0；③4ac−b2<−4a；④ c．其中正确结论有（ ）
3 3
A．①②⑤ B．①④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
【答案】C
【分析】根据抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线的对称轴公式可判断b与a的关系，由抛物线与y
轴的交点判断c的取值范围，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判
断．
【详解】解：由图象可知该二次函数图象开口向上，与y轴的交点位于x轴下方，对称轴为直线x=1，
b
∴a>0，c<0，x=− =1，
2a
∴b=−2a<0，
∴abc>0，故①正确；
由图象可知当x=−1时，二次函数值为0，
又∵对称轴为直线x=1，
∴当x=3时，二次函数值为0，
∴当x=2时，二次函数值小于0，即y=4a+2b+c<0，故②错误；
③∵该抛物线图象与y轴的交点B在(0,−2)和(0,−1)之间，，对称轴为直线x=1，
∴顶点的纵坐标要小于−1，
4ac−b2
∴ <−1．
4a
∵a>0，
∴4ac−b2<−4a，故③正确；
∵该抛物线图象与y轴的交点B在(0,−2)和(0,−1)之间，
∴−20，
∴b>c，故⑤正确．
综上可知正确的为①③④⑤．
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用．
【变式2-4】（2023·江西萍乡·统考模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，
a≠0),a+b+c=0，下列结论错误的是（ ）
A．若抛物线经过点(−3,0),则b=2a
B．若b=c，则方程cx2+bx+a=0一定有根x=−2
C．抛物线与x轴一定有两个不同的公共点
D．点A(x ,y ),B(x ,y )在抛物线上，若0y
1 1 2 2 1 2 1 2
【答案】C
【分析】将点(−3,0)代入抛物线的解析式，再结合a+b+c=0即可对选项A进行判断；先由
a+b+c=0，b=c可得出a=−2c，且c≠0，然后将b=c，a=−2c代入方程cx2+bx+a=0，并解出方
程的两个根，进而可对选项B进行判断；先由a+b+c=0得b=−（a+c），然后再对方程的判别式的符
号进行判定即可对选项C进行判断；先由a+b+c=0得−b=a+c，结合01，进而可判定点A(x ,y ),B(x ,y )在对称轴左侧的抛物线上，进而再根据抛物线的性
2 2a 1 1 2 2
质即可对结论D进行判断．
【详解】解：①将点(−3,0)代入y=ax2+bx+c，得：9a−3b+c=0，
∵a+b+c=0，
∴c=−(a+b)，
∴9a−3b−(a+b)=0，
整理得：b=2a，故选项A正确，不符合题意；
②∵a+b+c=0，b=c，
∴a=−(b+c)=−2c，
∵a≠0，
∴c≠0，
∴方程cx2+bx+a=0可转化为：cx2+cx−2c=0，
∵c≠0，
∴x2+x−2=0，
解得：x =1,x =−2，故选项B正确，不符合题意；
1 2
③∵a+b+c=0，
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∴b=−(a+c)，
∴判别式Δ=b2−4ac=[−(a+c)] 2 −4ac=(a−c) 2≥0，
∴该抛物线与x轴有公共点，故选项C不正确，符合题意；
④∵a+b+c=0，
∴−b=a+c，
b a+c 1 c
∵抛物线的对称轴为x=− = = + ，
2a 2a 2 2a
∵01，即： > ，
a 2a 2
1 2
∴x= + >1，
2 2a
∴该抛物线的对称轴在直线x=1的右侧，
∵x y ，
1 2
故选项D正确，不符合题意．
综上所述：结论错误是选项C．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，解答此题的关键熟练掌握二次函数的对称轴、与x轴的
交点，函数的增减性．
【变式2-5】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则化简
√a2−2ab+b2−|b+c|−|a−c|= ．
【答案】2c
b
【分析】根据抛物线开口方向得到a>0，根据对称轴为直线x=− >0得到b<0，根据抛物线与y轴的交
2a
点在x轴下方得到c<0，则a−b>0，b+c<0，a−c>0，再根据二次根式的性质得到原式
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=√(a−b) 2−|b+c|−|a−c|=|a−b|−|b+c|−|a−c|，然后去绝对值、合并即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
b
∵对称轴为直线x=− >0，
2a
∴b<0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c<0，
∴a−b>0，b+c<0，a−c>0，
∴原式=√(a−b) 2−|b+c|−|a−c|
=|a−b|−|b+c|−|a−c|
=a−b+b+c−(a−c)
=a−b+b+c−a+c
=2c．
故答案为：2c．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，当
a>0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=−b2a；抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)；当b2−4ac>0，抛
物线与x轴有两个交点；当b2−4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2−4ac<0，抛物线与x轴没有交
点．也考查了二次根式的性质与绝对值的化简．
题型03 二次函数、一次函数综合
【例3】（2023·广东河源·统考二模）在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c与一次函数
y=cx+a的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】考查了抛物线和直线的图象，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，可先由二次函
数y=ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=cx+a图象相比较看是否一致．
【详解】解：A、由抛物线y=ax2+x+c，可知图象开口向下，交y轴的正半轴，可知a<0，c>0，由直
线y=cx+a可知，图象过二，三，四象限c<0，a<0，故此选项不符合题意；
B、由抛物线y=ax2+bx+c，可知图象开口向下，交y轴的负半轴，可知a<0，c<0，由直线y=cx+a可
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知，图象过一，二，三象限，c>0，a>0，故此选项不符合题意；
C、由抛物线y=ax2+bx+c，可知图象开口向上，交y轴的负半轴，可知a>0，c<0，由直线y=cx+a可
知，图象过一，二，四象限，c<0，a>0，故此选项符合题意；
D、由抛物线y=ax2+bx+c，可知图象开口向上，交y轴的正半轴，可知a>0，c>0，由直线y=cx+a可
知，图象过一，三，四象限，c>0，a<0，故此选项不符合题意；
故选：C．
【变式3-1】（2012·江苏淮安·统考一模）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c
的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数和二
次函数中a、c的正负情况，即可判断哪个选项是正确的，解答本题的关键是明确一次函数和二次函数的性
质，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：A、一次函数y=ax+c中a>0，c>0，二次函数y=ax2+c中a<0，c>0，故选项不符合题
意；
B、一次函数y=ax+c中a<0，c>0，二次函数y=ax2+c中a<0，c>0，故选项符合题意；
C、一次函数y=ax+c中a<0，c<0，二次函数y=ax2+c中a>0，c<0，故选项不符合题意；
D、一次函数y=ax+c中a<0，c>0，二次函数y=ax2+c中a>0，c<0，故选项不符合题意；
故选：B．
【变式3-2】（2023·广东广州·统考二模）已知二次函数y=ax²+bx(a≠0)的图象如图所示，则一次函数
y=ax+b(a≠0)的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数系数与图象的关系以及一次函数与二次函数的图象的综合判断，通过分析二
次函数图象得到a,b的符号是解题关键．
【详解】解：根据已知二次函数图象，抛物线开口向下，则可知a<0，
【64淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
b
由抛物线对称轴在y轴右侧，则对称轴为直线x=− >0，
2a
∴b>0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，
故应选：C
题型04 二次函数、一次函数、反比例函数图象综合
【例4】（2023·山东菏泽·菏泽市牡丹区第二十二初级中学校考一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图
c
所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y= 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
x
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，与y轴交于负半轴，得a>0，c<0，根据二次函数
c
的对称轴可得b>0，从而即可得到一次函数y=ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y= 经过二、四
x
象限，即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a>0，c<0，
b
∵二次函数的对称轴为x=− <0，
2a
∴b>0，
c
∴一次函数y=ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y= 经过二、四象限，
x
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数的图形、一次函数的图形、反比例函数的图形，根据二次函数的图象得到
a>0，c<0，b>0，是解题的关键．
【变式4-1】（2023·湖南邵阳·统考二模）若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数
c
y=ax−b与反比例函数y= 在同一坐标系内的大致图象为（ ）
x
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与
反比例函数图象的大致图象．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴b>0，
∴−b<0
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c<0，
c
∴直线y=ax−b经过第一，三，四象限，反比例函数y= 图象分布在第二、四象限，
x
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．
【变式4-2】（2023·江西宜春·校考二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=αx+b和反比例函数
c
y= 的图象如右图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是（ ）
x
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象可得a>0,b<0，根据反比例函数可得c<0，据此即可求解．
【详解】解：∵一次函数y=αx+b的图象经过一、三、四象限，
∴a>0,b<0，
c
∵反比例函数y= 的图象在第二、四象限，
x
∴c<0，
∴抛物线的开口向上，对称轴在y轴的右侧，与y轴交于负半轴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断，熟练掌握以上函数图象的性质是解
题的关键．
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【变式4-3】（2023·山东滨州·统考二模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象，则一次函数
a+2b+4c
y=cx+b2−4ac与反比例函数y= 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
4x
A． B． C． D．
【答案】A
a+2b+4c
【分析】根据抛物线的图象，判断出c，b2−4ac， 的符号，进而判断一次函数、反比例函数
4
的图象的位置即可得出答案．
1 (1 a+2b+4c)
【详解】解：由抛物线的图象可知：横坐标为 的点，即 , 在第一象限，
2 2 4
a+2b+4c
因此 >0，
4
a+2b+4c
所以反比例函数y= 的图象分布在一、三象限；
4x
由于抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，因此c>0，抛物线开口向下，与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
因此一次函数y=cx+b2−4ac经过一、二、三象限；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数和反比例函数的图象与解析式的系数关系，熟练掌握函数解
析式的系数对图像的影响是解题的关键．
题型05 两个二次函数图象综合
1
【例5】（2022·四川绵阳·统考三模）抛物线y＝ （x-h）2＋k与y =a(x+3) 2−1交于点A，分别交y轴
1 2 2
于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确
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1 5
结论是： ①a= ；②点（√2，m）、（√33，n）及（ ，p）都在y 上，则p＜n＜m；③y≥y，则x≤1；
2 2 1 1 2
13
④PQ＝ ．
4
A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④
【答案】A
1
【分析】根据题意得：抛物线y＝ （x-h）2＋k与y =a(x+3) 2−1的对称轴分别为直线x=h和x=−3，
1 2 2
设直线x=h和x=−3分别交BC于点M、N，则MN=h+3，根据BC=10，可得MN=5，从而得到h=2，可得
1 5 1 5
得到y = (x−2) 2+ ，进而得到点A（1，3），继而得到a= ，故①错误；根据点（ ，P）关于对称轴
1 2 2 4 2
x=2的对称点为 (3 ,p ) ，且√2<√33< 3 <2，可得P＜n＜m，故②正确；根据y≥y，可得x≤1或x≥13，故
2 2 1 2
( 9) ( 5) 9 5 13
③错误；分别求出点P 0, ,Q 0, ，可得PQ= − = ，故④正确；即可求解．
2 4 2 4 4
1
【详解】解∶ 根据题意得：抛物线y＝ （x-h）2＋k与y =a(x+3) 2−1的对称轴分别为直线x=h和
1 2 2
x=−3，
如图，设直线x=h和x=−3分别交BC于点M、N，则MN=h+3，
∴AM=BM，AN=CN，
1
∴MN=AN+AM= BC，
2
∵BC=10，
∴MN=5，
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∴h+3=5，
∴h=2，
∵点B（3，3），
1 5
∴3＝ （3-2）2＋k，解得： k= ，
2 2
1 5
∴y = (x−2) 2+ ，
1 2 2
∵BC∥x轴，
∴点A、C的纵坐标为3，
1 5
令y =3，则 (x−2) 2+ =3，
1 2 2
解得：x =1,x =3，
1 2
∴点A（1，3），
把点A（1，3）代入y =a(x+3) 2−1，得：
2
1
3=a(1+3) 2−1，解得： a= ，故①错误；
4
1 5
∵y = (x−2) 2+ ，且对称轴为直线x=2，
1 2 2
∴当x＞2时，y 随x的增大而增大；当x＜2时，y 随x的增大而减小，
1 1
∵(√2) 6=8,(√33) 6 =9, (3) 6 = 729 ，
2 64
3
∴√2<√33< <2，
2
5 (3 )
∵点（ ，p）关于对称轴x=2的对称点为 ,p ，
2 2
∴p＜n＜m，故②正确；
1
∵a= ，
4
1
∴y = (x+3) 2−1，
2 4
∵y≥y，
1 2
1 5 1
∴ (x−2) 2+ ≥ (x+3) 2−1，
2 2 4
整理得：x2−14x+13≥0，
解得：x≤1或x≥13，故③错误；
1 5 1 9 1 1 3 5
∵y = (x−2) 2+ = x2−2x+ ，y = (x+3) 2−1= x2+ x+ ，
1 2 2 2 2 2 4 4 2 4
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9 5
当x=0时，y = ，y = ，
1 2 2 4
( 9) ( 5)
∴点P 0, ,Q 0, ，
2 4
9 5 13
∴PQ= − = ，故④正确；
2 4 4
∴正确的有②④．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想
解答是解题的关键．
【变式5-1】（2023下·江苏南京·九年级南京钟英中学校考阶段练习）函数y ，y 在同一平面直角坐标系
1 2
中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数y= y + y 的图像可能是（ ）
1 2
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数图像的开口大小与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．
【详解】解：设y =a x2+b x+c ，y =a x2+b x+c ，
1 1 1 1 2 2 2 2
由图像知，a >0，b <0，c <0，a <0，b >0，c >0，|c |>|c |，
1 1 1 2 2 2 2 1
∴c +c >0，
1 2
∵函数y 的图像开口大于函数y 的图像开口，
1 2
∴|a|<|a |，
1 2
∴a +a <0，
1 2
b b
∵− 1 >− 2 >0，
2a 2a
1 2
b a
∴0> 2> 2>−1，
b a
1 1
∴b <−b ，
2 1
∴b +b <0，
1 2
b +b
∴− 1 2 >0，
2(a +a )
1 2
∵y= y + y =(a +a )x2+(b +b )x+(c +c )，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴函数y= y + y 的图像是抛物线，开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
1 2
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A．图像开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴上，故此选项符合题意；
B．图像开口向上，故此选项不符合题意；
C．图像对称轴在y轴的左侧，故此选项不符合题意；
D．图像开口向上，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．注意：
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的|a|越大，图像开口越小．
【变式5-2】（2021上·山东青岛·九年级校考期末）已知二次函数y =ax2+bx+c和y =bx2+ax+c，
1 2
a>b，则下列说法正确的是（ ）
A．当x<0时，y y D．当x>1时y bx2+ax+c和ax2+bx+cy 时，ax2+bx+c>bx2+ax+c，
1 2
整理得(a−b)x2−(a−b)x>0，
∵a>b，
∴x2−x>0，解得x<0或x>1；
当y b，
∴x2−x<0，解得00
1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0
0个交点 没有实数根 b2-4ac<0
二次函数与不等式的关系:
b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
图象 y y y
x
x O x
1 2 x x
O x (x ) O
1 2
与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点
ax2＋bx＋c>0 xx2 b 取任意实数
x≠−
2a
的解集情况
ax2＋bx＋c<0 x10判断开口方向，根据根的判别式判断交点个数，令x=1求出函数值，判断是否经过(1,0)，
再求出顶点坐标，判断所在象限．
【详解】解：在y=x2−(m+1)x+m中，
1>0，故开口向上，故①正确；
∵Δ=[−(m+1)] 2 −4×1×m=(m−1) 2≥0，
∴当m=1时，抛物线与x轴有一个交点，
由于抛物线与y轴有一个交点，故与坐标轴有2个交点，故②错误；
令x=1，则y=0，
故一定过点(1,0)，故③正确；
y=x2−(m+1)x+m，
−(m+1) m+1 (m−1) 2
当x=− = 时，y=− ≤0，
2×1 2 4
(m+1 (m−1) 2 )
∴顶点 ,− 一定不在第二象限，故④正确；
2 4
∴正确的有①③④，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是熟知每个象限中点的坐标特征．
题型03 抛物线与x轴交点问题
【例3】（2023·安徽滁州·校考二模）若二次函数y=x2+2x−2m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的
值为 ．
1
【答案】− /−0.5
2
【分析】由题意可知，方程x2+2x−2m只有一个实数根，再根据一元二次方程根的判断式，即可求出m
的值．
【详解】解：∵函数y=x2+2x−2m的图象与x轴有且只有一个交点，
∴Δ=22−4×1×(−2m)=0，
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1
解得：m=−
,
2
1
故答案为：− ．
2
【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点和一元二次方程关系，一元二次方程根的判别式，解题关键是
掌握①Δ>0，方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有2个交点；②Δ=0，方程有两个相等的实数根，
抛物线与x轴有1个交点；③Δ<0，方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
【变式3-1】（2023·辽宁鞍山·校考一模）函数y=kx2−8x−8的图象和x轴有交点，则k的取值范围是
．
【答案】k≥−2
【分析】分类讨论：①当k=0，函数y=kx2−8x−8的图象和x轴有交点；②当k≠0，函数
y=kx2−8x−8的图象和x轴有交点，即方程kx2−8x−8=0有实数根，由此即可求解．
【详解】分类两种情况讨论：
①当k=0，函数y=kx2−8x−8=−8x−8，该函数的图象和x轴必有有交点；
②当k≠0，函数y=kx2−8x−8的图象和x轴有交点，
即方程kx2−8x−8=0有实数根，
则Δ=(−8) 2−4k×(−8)≥0
∴k≥−2
∴k≥−2且k≠0
综上所述，k的取值范围是k≥−2．
故答案为：k≥−2
【点睛】本题考查了函数与x轴的交点，一元二次方程根的判别式，运用分类讨论是解题的关键．
【变式3-2】（2022·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）函数y=ax2−(3a+1)x+2a+1
（a为常数）的图象与坐标轴只有两个交点，则a= ．
1
【答案】0或− 或−1
2
【分析】当a=0时，可知满足条件，当a≠0时，分当函数图象过原点时和不过原点，当过原点时，可知满
足条件，当不过原点时，可知二次函数图象与x轴只有一个交点，令y=0，得到一个关于x的一元二次方
程，可知该方程有两个相等的实数根，由一元二次方程根的判别式等于0可求得a的值．
【详解】解：当a=0时，函数为y=−x+1，与坐标轴只有两个交点，满足条件；
当a≠0时，分两种情况：
1
①当函数图象过原点时，则有2a+1=0，解得a=− ，此时满足条件；
2
②当函数图象不过原点时，令y=0可得ax2−(3a+1)x+2a+1=0，
因其与y轴有一个交点，所以该方程有两个相等的实数根，
∴ Δ=0，即(3a+1) 2−4a(2a+1)=0，整理可得a2+2a+1=0，
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解得a=−1，
1
综上可知a的值为0或− 或−1．
2
1
故答案为：0或− 或−1．
2
【点睛】本题主要考查函数与坐标轴的交点，由条件得出函数图象与x轴只有一个交点是解题的关键，注
意分类讨论思想的应用．
【变式3-3】（2023·湖北武汉·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考模拟预测）已知抛物线
y=kx2−2(k+2)x+k+2．
（1）若对称轴在直线x=−1处，则k= ；
（2）若顶点在y轴上，则k= ；
（3）若抛物线与y轴交点在y轴负半轴上，则k的取值范围为 ；
（4）若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为 ．
【答案】 −1 −2 k<−2 k>−2且k≠0
b
【分析】（1）根据对称轴x=− =−1求解即可；
2a
b
（2）根据对称轴x=− =0求解即可；
2a
（3）根据c=k+2<0，求解即可；
（4）根据Δ=b2−4ac>0且k≠0，求解即可．
−2(k+2)
【详解】解：（1）对称轴在直线x=−1处，即x=− =−1，解得k=−1；
2k
−2(k+2)
（2）抛物线的顶点在y轴上，即x=− =0，解得：k=−2；
2k
（3）抛物线与y轴交点在y轴负半轴上，即k+2<0，解得k<−2；
2
（4）抛物线与x轴有两个交点，则Δ=[2(k+2)] −4k(k+2)>0，且k≠0
解得，k>−2且k≠0．
故答案为：−1；−2；k<−2；k>−2且k≠0
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质．
【变式3-4】（2021·安徽安庆·统考一模）已知函数y＝（a﹣1）x2﹣2ax+a﹣3的图象与两坐标轴共有两个
交点，则a的值为 ．
3
【答案】1或3或
4
【分析】分三种情况讨论：当a﹣1＝0时，函数为一次函数，与坐标轴共有两个交点；当a﹣1≠0，此函数
为二次函数，若a﹣3＝0，抛物线经过原点且抛物线与x轴有两个交点；若 ＝（﹣2a）2﹣4（a﹣1）（a
3 1
﹣3）＝0，解得a＝ ，抛物线解析式为y＝﹣ （x+3）2，抛物线的顶点为△（﹣3，0），则抛物线与两坐
4 4
【77淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
标轴共有两个交点．
【详解】当a﹣1＝0时，即a＝1时，函数为y＝﹣2x﹣2，此一次函数与坐标轴共有两个交点；
当a﹣1≠0，此函数为二次函数，
若a﹣3＝0，抛物线解析式为y＝2x2﹣6x，抛物线经过原点且抛物线与x轴有两个交点；
若 ＝0，抛物线的顶点在x轴上，即 ＝（﹣2a）2﹣4（a﹣1）（a﹣3）＝0，
3
解△得：a＝ ， △
4
1 3 9 1
抛物线解析式为y＝﹣ x2﹣ x﹣ ＝﹣ （x+3）2，抛物线的顶点为（﹣3，0），则抛物 线与x轴和y
4 2 4 4
轴各一个交点，则与坐标轴共有两个交点．
3
综上所述，a的值为1或3或 ．
4
3
故答案为：1或3或
4
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交
点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b2-4ac决定抛物线与
x轴的交点个数：△＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=0时，抛物线与x轴有1个交点；△＜0时，抛
物线与x轴没有交点．
题型04 根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【例4】（2022·河北邢台·校考三模）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的位置如图所示，甲、乙、丙三人
关于x的一元二次方程ax2+bx+c+m=0(a≠0)的根的情况 判断如下，其中
正确的有（ ）
甲：当m=1时，该方程没有实数根；
乙：当m=3时，该方程有两个相等实数根；
丙：当m=5时，该方程有两个不相等的实数根．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】先把一元二次方程ax2+bx+c+m=0(a≠0)的根的情况转化为直线y=−m与抛物线
y=ax2+bx+c的交点问题，再根据抛物线的最大值为−2，然后结合图形分类讨论即可．
【详解】解：∵ax2+bx+c+m=0，
∴ax2+bx+c=−m，
由图象可知，y=ax2+bx+c的最大值为−2，
∴当m=1时，−1>−2，
∴直线y=−m与抛物线y=ax2+bx+c没有公共点，
∴方程ax2+bx+c+m=0无实数根，故甲说法正确；
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当m=3时，−3<−2，
∴直线y=−m与抛物线y=ax2+bx+c有两个公共点，
∴方程ax2+bx+c+m=0有两个不相等的实数根，故乙说法错误；
当m=5时，−5<−2，
∴直线y=−m与抛物线y=ax2+bx+c有两个公共点，
∴方程ax2+bx+c+m=0有两个不相等的实数根，故丙说法正确；
∴说法正确的有甲、丙，共2个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了抛物线与直线的交点问题，关键是把方程的解转化为抛物线与直线的交点问题．
【变式4-1】（2023·辽宁大连·统考二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是
（ ）
A．抛物线开口向上 B．方程ax2+bx+c=0的解为x =1，x =3
1 2
C．抛物线对称轴为直线x=2 D．抛物线与y轴交点坐标为(0,2)
【答案】D
【分析】根据图象可得开口方向、与y轴交点坐标、与x轴的交点坐标，由此可求对称轴和对应方程的解．
【详解】A.由图象得：抛物线开口向上，故此结论正确；
B.由图象得：与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)，所以方程ax2+bx+c=0的解为x =1，x =3，故此结论正
1 2
确；
C.3−x=x−1，解得x=2，所以抛物线对称轴为直线x=2，故此结论正确；
D.由图象得：顶点坐标为(2,−1)，可设y=a(x−1)(x−3)，−1=a(2−1)(2−3)，解得a=1，
∴y=x2−4x+3抛物线与y轴交点坐标为(0,3)，故此结论错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了由二次函数的图象获取开口方向、与坐标轴交点坐标和对称轴问题，正确获取信息，
理解二次函数与坐标轴的交点坐标，与对应方程之间的关系，会求对称轴是解题的关键．
【变式4-2】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）数形结合是我们学习数学的一种重要思想方法，请运用数形
结合的思想方法判断方程x3−x−1=0的根的情况是（ ）
A．有3个实数根 B．有2个实数根 C．有1个实数根 D．无实数根
【答案】C
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1 1
【分析】把原方程变形为x2−1= ，可得方程x3−x−1=0的根的个数为函数y=x2−1与函数y= 的交
x x
点的个数，再画出两函数图象，结合图象，即可求解．
【详解】解：根据题意得：x≠0，
∵x3−x−1=0，
1 1
∴x2−1− =0，即x2−1=
，
x x
1
∴方程x3−x−1=0的根的个数为函数y=x2−1与函数y= 的交点的个数，
x
画出两函数图象，如下：
1
观察图象得：函数y=x2−1与函数y= 有1个交点，
x
∴方程x3−x−1=0有1个实数根．
故选：C
【点睛】本题主要考查了反比例函数和二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
题型05 图象法确定一元二次方程的近似根
【例5】（2023·四川成都·校考三模）在探究关于x的二次三项式x2+12x−15的值时，小明计算了如下四
组值：
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2+12x−15 −0.59 0.84 2.29 3.76
小明说，他通过这四组值能得到方程x2+12x−15=0的一个近似根，这个近似根的个位是 ，十分位
是 ．
【答案】 1 1
【分析】根据表格可得−0.59<0<0.84，则方程x2+12x−15=0的一个近似根取值范围为：1.10 B． D． 0，再根据线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，可
得当x=4时，y=9m−3≤0，当x=5时，y=16m−3>0，进而即可求解．
【详解】解：∵y=mx2−2mx+m−3=m(x−1) 2−3，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,−3)，
∴m>0．
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∵线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，
∴这些整数为−2，−1，0，1，2，3，4.
∵m>0，
∴当x=4时，y=9m−3≤0，当x=5时，y=16m−3>0，
1 3
∴m≤ 且m> ，
3 16
3 1
∴ 0
时，x的取值范围是（ ）
A．x<−1 B．x>3 C．−13
【答案】D
【分析】写出函数图象在x轴上方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：由图可知，当x<−1或x>3时，y>0．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是关键．
【变式7-2】（2022·江苏苏州·统考二模）若二次函数y＝－x2＋b的图像经过点（0，4），则不等式－x2＋
b≥0的解集为（ ）
A．－2≤x≤2 B．x≤2 C．x≥－2 D．x≤－2或x≥2
【答案】A
【分析】先求出二次函数表达式，再求出与x轴的交点坐标的横坐标，画出图像，利用数形结合的思想解
答即可．
【详解】解：将（0，4）代入y＝－x2＋b中得b=4，
∴y＝－x2＋4
设y＝－x2＋4与x轴交于A，B两点，
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令y=0，即－x2＋4=0，解得x =−2,x =2
1 2
∴A（2，0）B（-2，0）
图像如下：
由图像可得：当－x2＋4≥0时的解集为：－2≤x≤2，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
题型08 根据交点确定不等式的解集
k
【例8】（2023·山东威海·统考一模）如图，在同一直角坐标系中抛物线y =ax2+bx+c与双曲线y = 交
1 2 x
于A(x ,y )，B(x ,y )，C(x ,y )三点，则满足y x 或x x D．xx
a b c a b c
【答案】B
【分析】观察函数图象，找到抛物线在双曲线下方时的自变量的取值范围即可求解．
【详解】解：观察函数图象，可知当y 0）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数y=|ax2+bx+c|的图象如
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b
图所示，则下列结论：①a<0 ②bc<0 ③− =1 ④若m的取值范围是10，故错误；
（2）由（1）可知，当a<0,b>0；当a>0,b<0；而c>0，则bc<0或bc>0，故错误；
−1+3 b
（3）对称轴为 =1=− ，故正确；
2 2a
（4）如图，
当m=1时，一次函数是直线m ；当m=3时，一次函数是直线m ；由图可知，10 B．a≤− C．a≤− 或a>0 D．a≥−
3 3 3
【答案】C
【分析】由直线y=kx−2k+2过定点(2,2)，抛物线y=ax2−2ax−3a的对称轴为直线x=1，再分两种情
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况讨论即可．
【详解】解：∵y=kx−2k+2=k(x−2)+2，
∴直线y=kx−2k+2过定点(2,2)，
而抛物线y=ax2−2ax−3a的对称轴为直线x=1，
如图，当a>0时，
而直线y=kx−2k+2与抛物线y=ax2−2ax−3a总有公共点，
∴4a−4a−3a≤2，
2
解得：a≥− ，
3
∴此时a>0；
当a<0时，如图，
而直线y=kx−2k+2与抛物线y=ax2−2ax−3a总有公共点，
∴4a−4a−3a≥2，
2
解得：a≤− ；
3
2
综上：a>0或a≤− ．
3
故选：C．
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【点睛】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，利用数形结合，将交点问题转化为不等式问题是求解
本题的关键．
m
【变式8-3】（2022·山东济宁·校考二模）如图，二次函数y =ax2+bx+c的图像与反比例函数y = 的图
1 2 x
(1 )
像交于A ,3 ，C(−1,−1)，B(1,1)三点．若y >y ，则x的取值范围是（ ）
3 1 2
A．−11
1 1
C．−1
3 3
【答案】C
【分析】直接利用函数图像结合其交点横坐标得出x的求值范围．
【详解】如图所示：
当y >y 时，即反比例函数图像在二次函数图像下方部分，
1 2
1
故x的取值范围是：−1
