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第 12 讲 反比例函数的图象、性质及应用
目 录
题型01 用反比例函数描述数量关系
题型02 判断反比例函数
题型03 根据反比例函数的定义求字母的值
题型04 判断反比例函数图象
题型05 反比例函数点的坐标特征
题型06 已知反比例函数图象，判断其解析式
题型07 由反比例函数解析式判断其性质
题型08 由反比例函数图象分布象限，求k值
题型09 判断反比例函数经过象限
题型10 已知反比例函数增减性，求参数的取值范围
题型11 已知反比例函数增减性，求k值
题型12 由反比例函数的性质比较大小
题型13 求反比例函数解析式
题型14 与反比例函数有关的规律探究问题
题型15 已知比例系数求特殊图形面积
题型16 已知图形面积求比例系数
题型17 一次函数图象与反比例函数图象综合
题型18 一次函数与反比例函数交点问题
题型19 一次函数与反比例函数综合应用
题型20 反比例函数的实际应用
题型21 反比例函数与几何综合
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题型 01 用反比例函数描述数量关系
1．（2022·北京昌平·统考二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（单
位：千帕）随气球内气体的体积V（单位：立方米）的变化而变化，P随V的变化情况如下表所示，那么在
这个温度下，气球内气体的气压P与气球内气体的体积V的函数关系最可能是
V（单位：立方
64 48 38.4 32 24 …
米）
P（单位：千帕） 1.5 2 2.5 3 4 …
A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数
2．（2023·北京西城·统考二模）下面的三个问题中都有两个变量：
①京沪铁路全程为1463km，某次列车的平均速度y(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间x(单位：h)；
②已知北京市的总面积为1.68×104km2，人均占有面积y(单位：km2/人)与全市总人口x(单位：人)；
1
③某油箱容量是50L的汽车，加满汽油后开了200km时，油箱中汽油大约消耗了 ．油箱中的剩油量yL与
4
加满汽油后汽车行驶的路程xkm．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
题型 02 判断反比例函数
1．（2020·浙江杭州·模拟预测）下列函数y是x的反比例函数的是（ ）
a 1 1
A．y=√3x B．y= C．y= D．y=
x x2 3x
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2．（2022·河南焦作·统考模拟预测）在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
x −√5 y
A．y=2x+1 B．y= C．y= D． =2
2 x x
题型 03 根据反比例函数的定义求字母的值
2
1．（2023·云南楚雄·统考二模）已知反比例函数y=− 的图象过点P(a,b)，则代数式ab的值为（ ）
x
1 1
A．−2 B．2 C．− D．
2 2
2．（2023·山西阳泉·统考二模）若点A(2,6),B(−3,m)在同一个反比例函数的图象上，则m的值为（ ）
A．1 B．−1 C．4 D．−4
k
3．（2023·浙江台州·统考一模）若反比例函数y= (k≠0)的图象经过点(2,k−n2−2)，则k的取值范围为
x
（ ）．
A．k≤−2 B．k≤−4 C．k≥2 D．k≥4
√3
4．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，反比例函数y= 的图象经过
x
2ab
(a，m+3√3)，(b，m)两点，则代数式 的值是（ ）
2a−2b+7ab
2 2
A． B．− C．2 D．−2
3 3
a+3
5．（2021·云南昭通·统考一模）若函数y= 是关于x的反比例函数，则a满足的条件是 ．
x
2a
6．（2021·云南红河·统考一模）已知关于x的反比例函数y= 经过点(1,b)，则b= ．
xa
7．（2019·湖南益阳·统考一模）若函数y=(k−1)x|k|−2是反比例函数，则k= ．
题型 04 判断反比例函数图象
1
1．（2022·河北保定·校考一模）函数y=− 的图象所在的象限是（ ）
√x
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A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第二象限 D．第四象限
5 3
2（2023·河北廊坊·校考三模）若函数y= (x>0)和函数y=− (x<0)在同一平面直角坐标系的图象如图所
x x
示，则坐标系的纵轴是（ ）
A．y B．y C．y D．y
1 2 3 4
1
3．（2023·江苏盐城·景山中学校考三模）下列四个函数图象中，y=x+ 的大致图象（ ）
x
A． B． C． D．
3 3
4．（2023·山东潍坊·统考二模）定义新运算：a⊕b=¿，例如：3⊕5= ，3⊕(−5)=− ，则
5 −5
y=3⊕x(x≠0)的图象是（ ）
A． B． C． D．
1 2
5．（2023·河北沧州·统考二模）如图，把函数y= (x<0)和函数y=− (x<0)的图象画在同一平面直角
x x
坐标系中，则坐标系的原点可能是（ ）
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A．点M B．点N C．点P D．点Q
1
6．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，反比例函数y= ，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为 ．
x
题型 05 反比例函数点的坐标特征
b
1．（2023·安徽滁州·校考一模）已知正比例函数y=ax与反比例函数y= 的图象交于点A(m,n)，则这个函
x
数图象的另一个交点为（ ）
A．(b,a) B．(−a,b) C．(m,−n) D．(−m,−n)
2．（2022·山东滨州·阳信县实验中学校考模拟预测）互不重合的两点A(x ,y )，B(x ,y )皆落于反比例函
1 1 2 2
7
数y= 图象上，当直线AB与第二象限角平分线垂直时，x ⋅x 的值等于（ ）
x 1 2
A．−1 B．1 C．−7 D．7
3．（2022·陕西西安·陕西师大附中校考三模）若点P(m+1,7)与点Q(4,n)是正比例函数y=ax(a≠0)图象
k
与反比例西数y= (k≠0)图象的两个不同的交点，则m+n= ．
x
4．（2022·北京·北京市第五中学分校校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k＞0）与双曲
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2
线y= 的交于M（x，y），N（x，y）两点，则x•y 的值为 ．
x 1 1 2 2 1 2
k
5．（2021·贵州遵义·统考二模）已知点A(m,n)在双曲线y= 上，点B(−m,n)在直线y=2x−3k上，则
x
2 1
+ 的值为 ．
n m
题型 06 已知反比例函数图象，判断其解析式
k
1．（2023·山东济南·统考一模）反比例函数y= 在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
x
A．9 B．18 C．25 D．36
4−k
2．（2022·河南省直辖县级单位·统考一模）若反比例函数y= 的图象经过点(−5,−2)，则下列各点在
x
k
该函数y= 图象上的为（ ）
x
A．(2,5) B．(−1,6) C．(6,2) D．(−2,−3)
k
3．（2021·陕西汉中·统考一模）如图，正比例函数y＝x和反比例函数y＝ （k≠0）的图象在第一象限交于
x
点A，且OA＝2，则k的值为 ．
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题型 07 由反比例函数解析式判断其性质
6
1．（2022·福建龙岩·校联考一模）已知反比例函数y＝ ，下列结论正确的是（ ）
x
A．图象在第二、四象限
B．图象与y轴的交点为（0，6）
C．图象经过点（3，2）
D．函数值y随x的增大而减小
k
2．（2021·湖北武汉·华中科技大学附属中学校考一模）已知，反比例函数y= 的图像上有两点A(−3,y )
x 1
和B(3,y )，则下列叙述正确的是（ ）
2
A．y = y
1 2
B．当y =3时，y =−3
1 2
C．k>0时，y >y
1 2
D．过点B作x轴的垂线，垂足为点H，连AH，若S =6，则k=6
ΔABH
k
3．（2021上·江西南昌·九年级统考期末）下列关于反比例函数y= （k<0）的说法中，正确的是（ ）
x
A．双曲线在第一、第三象限 B．当x>0时，函数值y>0
C．当x>0时，y随x的增大而增大 D．当x<0时，y随x的增大而减小
2
4．在平面直角坐标系xOy中，P为反比例函数y= （x＞0）的图象上的动点，则线段OP长度的最小值是
x
．
题型 08 由反比例函数图象分布象限，求 k 值
k
1．（2023·河北保定·保定市第十七中学校考三模）如图，函数y= 在第一象限的图象将所标三整点分隔开，
x
则整数k的值可能是（ ）
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A．10 B．8 C．7 D．6
1−2m
2．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）反比例函数y= 图象位于一、三象限，则m的取值范围是
x
（ ）
1 1 1 1
A．m≥ B．m≤ C．m< D．m>
2 2 2 2
k k k
3．（2022上·浙江台州·九年级统考期末）如图，为反比例函数y= 1，y= 2，y= 3在同一坐标系的图象，
x x x
则k ，k ，k 的大小关系为（ ）
1 2 3
A．k >k >k B．k >k >k C．k >k >k D．k >k >k
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
题型 09 判断反比例函数经过象限
2022
1．（2022·海南省直辖县级单位·统考二模）反比例函数y=− 的图象在（ ）
x
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
k k
2．（2022·黑龙江哈尔滨·统考一模）已知点M(1，−m2−1)在双曲线y= 上，则双曲线y= 一定分布在
x x
（ ）象限
A．一、二 B．一、三 C．二、三 D．二、四
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题型 10 已知反比例函数增减性，求参数的取值范围
k
1．（2023·陕西咸阳·校考三模）在平面直角坐标系中，点A(−1,y ),B(2,y )在反比例函数y= （k为常
1 2 x
数，k≠0）的图象上，且y >y ，则k的取值范围是 ．
1 2
m+3
2．（2023·四川成都·校考三模）在平面直角坐标系xOy中，对于每一象限内的反比例函数y= 图像，y
x
的值都随x值的增大而增大，则m的取值范围是 ．
4−m
3．（2023·陕西西安·统考二模）已知点(−2,a)和(3,b)在反比例函数y= 的图像上，若a>b，则m的
x
取值范围是 ．
题型 11 已知反比例函数增减性，求 k 值
k
1．（2023·河南周口·校联考三模）若反比例函数y= （k为无理数）的图象在每个象限内，y随x的增大而
x
减小，则k的值可以为
k
2．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）A(2,y ),B(3,y )为反比例函数y= (k≠0)上的两个点，
1 2 x
若y ”，“=”或“<”）
1 2 1 2
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S/m2 1 2 3
P/Pa P 300 P
1 2
题型 13 求反比例函数解析式
1．（2023上·河南许昌·九年级许昌市第一中学校考期末）已知：y是x的反比例函数，当x=−4时，y=3，
当20)图象上，过P A的中点B 作矩形B A A P ，使顶点P 落在
1 x 1 1 1 1 2 2
k k
反比例函数y= 图象上，再过P A 的中点B 作矩形B A A P ，使顶点P 落在反比例函数y= 图象上，
x 2 1 2 2 1 2 3 3 x
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k
…，依此规律，作出矩形B A A P 时，落在反比例函数y= 图象上的顶点P 的坐标为 ．
18 17 18 19 x 19
2
3．（2019·安徽合肥·校联考一模）如图，点B 在反比例函数y= (x>0)的图像上，过点B分别作x轴和y轴
x
(3 )
的垂线，垂足分别为C 和A，点C 的坐标为(1,0)，取x轴上一点C ,0 ，过点C 作x轴的垂线交反比例
0 0 1 2 1
函数图像于点B ，过点B 作线段B A ⊥BC 交于点A ，得到矩形A B C C ，依次在x轴上取点
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
(5 )
C (2,0),C ,0 ⋯，按此规律作矩形，则矩形A B C C （n 为正整数） 的面积为 .
2 3 2 n n n n−1
3 1 2 3 4 5 6
4．（2023·湖北恩施·统考一模）如图，直线y= x与曲线y= ,y= ,y= ,y= ,y= ,y= ,…分别
4 x x x x x x
交于点A ,A ,A ,A ,A ,A ,⋅⋅⋅，过点A ,A ,A ,A ,A ,A ,⋅⋅⋅作x轴和y轴的垂线，围成如图所
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
示的“7字形”阴影部分，分别记作S ,S ,S ,⋅⋅⋅，则S +S +S +⋅⋅⋅+S = ．
1 2 3 1 2 3 2023
5．（2023·山东聊城·统考一模）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA =A A =A A =……，过点A ，
1 1 2 2 3 1
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2
A ，A ，……分别作x轴的垂线与反比例函数y= (x≠0)的图像相交于点P ，P ，P ，……，得直角三
2 3 x 1 2 3
角形OP A ，A P A ，A P A ，……，并设其面积分别为S ，S ，S ，……，则S 的值为
1 1 1 2 2 2 3 3 1 2 3 2023
．
题型 15 已知比例系数求特殊图形面积
6
1．（2023·江苏宿迁·沭阳县怀文中学校联考一模）如图，A为双曲线y= 上的一点，AB⊥x轴，垂足为B，
x
2 2
AB交双曲线y= 于E，AC⊥y轴，垂足为C，AC交双曲线y= 于D，连接DE，则△ADE的面积是
x x
．
2．（2022·山西大同·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、D分别在x轴，y轴上，AB⊥x轴，
2 4
与y = (x>0)交于点B，与y = (x>0)交于点C，四边形OBCD为平行四边形，平行四边形OBCD的面
1 x 2 x
积是 ；
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3．（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，顶点A、B分别在反比例函数
2 4 OA
y=− (x<0)与y= (x>0)的图象上，则 的值为 ．
x x OB
2
4．（2022·湖南郴州·校考模拟预测）如图，在反比例函数y= (x>0)的图象上，有点P ,P ,P ,P 它们
x 1 2 3 4
2
的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴y= 的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左
x
到右依次为S ,S ,S ，则S +S +S = ．
1 2 3 1 2 3
4
5．（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数y= 的图像交于A，B
x
两点，点C在x轴上，且AC=OA，则△ABC的面积为 ．
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16
6．（2023·广东佛山·佛山市汾江中学校考三模）如图，A是函数y= (x>0)图象上的一点，过点A作y轴
x
的垂线，垂足为C，过点A作x轴的垂线，垂足为B，则四边形ABOC的面积是 ．
5
7．（2023·江苏南京·统考二模）如图，正比例函数y=kx与反比例函数y= 的图像交于A,B两点．若
x
AC∥x轴，BC∥y轴，则S = ．
△ABC
12 4
8．（2023·江苏徐州·校考三模）如图，点A、点D分别在反比例函数y=− 、y= 的图象上，点B、C
x x
在x轴上，若四边形ABCD为正方形，点D在第一象限，则点D的坐标是 ．
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12
9．（2023·陕西西安·校考三模）如图，点A是反比例函数y=− (x<0)图象上一点，连接OA．过点A作
x
AB⊥y轴于点B，C为AB的中点，连接OC并延长交反比例函数的图象于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，
则四边形BCDE的面积为 ．
k
10．（2023·河北·统考二模）如图，A，B是双曲线y= 上的两点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂
x
足为C，连接OA，过点B作BE⊥x轴，垂足为E.若△ADO的面积为1，D为OB的中点.
（1）四边形DCEB的面积为 ；
（2）k的值为 ；
（3）若A，B两点的横坐标恰好是方程x2−3x+2=0的两个不同实根，则点E到直线OA的距离为
.
11．（2023·湖南长沙·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，点C在
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1
反比例函数y= （x>0）的图像上，且四边形OACB为矩形，则下列说法正确的是 ．（填序号）
x
①当点B，C不动，点A在x轴上运动时，△ABC的面积不变；
②当点A，C不动，点B在y轴上运动时，△ABC的面积不变：
③当点A，B不动，点C在反比例函数的图像上运动时，△ABC的面积不变．
题型 16 已知图形面积求比例系数
k
1．（2023·河北沧州·校考三模）如图，矩形OABC与反比例函数y = 1（k 是非零常数，x>0）的图象交
1 x 1
k
于点M，N，与反比例函数y = 2（k 是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形
2 x 2
OMBN的面积为3，则k −k 的值为 ．
1 2
k
2．（2023·广东东莞·校联考一模）如图，点A是反比例函数y= 图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，
x
点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为4，则k= ．
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k 5
3．（2023·安徽亳州·统考三模）如图，点A是函数y= (k<0，x<0)图象上一点，点B是函数y= (x>0)
x x
图象上一点，点C在x轴上，连接AB，CA，CB．若AB∥x轴，S =4，则k= ．
△ACB
k
4．（2023·河北石家庄·统考二模）如图，A，B是双曲线y= 上的两点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点
x
D，垂足为C，连接OA，过点B作BE⊥x轴，垂足为E．若△ADO的面积为1，D为OB的中点．
（1）四边形DCEB的面积为 ；
（2）k的值为 ；
（3）若A，B两点的横坐标恰好是方程x2−3x+2=0的两个不同实根，则点E到直线OA的距离为
．
5．（2023·山西大同·统考模拟预测）如图在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对角线交于原点O，
k
顶点A,B在反比例函数y= 的图象上，若CD垂直x轴于点D，平行四边形的面积为8，则k= ．
x
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3 k 3
6．（2023·安徽合肥·校考三模）已知反比例函数y = ,y = 在第一象限的图象如图，过y = 图象上的任
1 x 2 x 1 x
k
意一点A，作x轴的平行线交y = 图象于点B，交y轴于点C，若S =3，则k的值为 ．
2 x △ABO
7（2023·陕西商洛·校考三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OB在x轴的负
k
半轴上，顶点A在反比例函数y= （x<0）的图象上，若△ABC的面积为4，则k的值是 ．
x
k
8（2023·内蒙古·二模）如图，反比例函数y= （k≠0）与矩形OABC一边交于点E，且点E为线段AB中点，
x
若△ODE的面积为3，则k的值为 ．
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2
9．（2023·广东深圳·校考三模）在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y= (x>0)图象上的一点，如图，
x
k
将线段OA向左平移，平移后的对应线段为O' A'，点A'落在反比例函数y= 的图象上，已知线段OA扫过的
x
面积为5，则k= ．
6 k
10．（2023·江苏南通·统考二模）如图，已知反比例函数y=− (x<0)和y= (x>0)的图象分别经过点A、
x x
B，线段AB交x轴于点C，交y轴于点D，以AB为斜边在AB上方作Rt△AEB，使AE∥x轴，BE交x轴
EF 3 AD 1
于点F．若 = , = ，则k的值为 ．
FB 2 CB 2
k
11．（2023·内蒙古包头·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A,B在反比例函数y= (k>0)第一象
x
限的图象上（点B在点A的右侧），过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接
AB，若OC=CD，四边形ABDC的面积为6，则k的值为 ．
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题型 17 一次函数图象与反比例函数图象综合
k
1．（2023·湖南邵阳·统考一模）在同一坐标系中，函数y= 和y=kx+2的图象大致是（ ）
x
A． B． C． D．
2．（2023·广东广州·统考二模）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则反比例函数
a
y= (a≠0)和一次函数y=bx+c在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）．
x
A． B． C． D．
题型 18 一次函数与反比例函数交点问题
1
1．（2023·浙江·模拟预测）若函数y=kx(k>0)与函数y= 的图象相交于A,C两点，AB垂直x轴于B，则
x
△ABC的面积为（ ）
A．1 B．2 C．k D．k2
2．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）如图，在平面直角坐标系，一次函数y =kx+b与
1
m
y = (m>0)的函数图象交于A(−2，a)和B(1，b)两点，当y 1 B．−21
2023
3．（2023·湖南娄底·统考一模）已知函数y=x−2与y= 的图象交于点P(a,b)，则代数
x
a3−a2+b2−2023a−ab的值是（ ）
A．−2018 B．2027 C．6070 D．−6062
4．（2023·湖北鄂州·统考二模）数形结合是数学中的一种重要思想方法，在解题中运用数形结合常常可以
k
优化解题思路，简化解题过程．如图，直线y=x+1与双曲线y= (k≠0)相交于点A(1,2),B(−2,−1)．根
x
k
据图象可知关于x的方程x+1= 的解是（ ）
x
A．−2或1 B．−1或2 C．1或2 D．−2或−1
4
5．（2023·广西梧州·统考二模）如图，直线y=a（a是常数，a>0）与双曲线y=− (x<0)交于点A，与直
x
线y=2x+4交于点B，当△OAB面积最小时，a的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
k
6．（2020·四川巴中·统考二模）如图，直线y=−x+b与反比例函数y= 的图象相交于A(1,4)，B(4,n)
x
两点，延长AO交反比例函数的图象于点C，连接OB．
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(1)求k和b的值；
k
(2)根据图象直接写出 −(−x+b)>0的解集；
x
2
(3)在y轴上是否存在一点P，使得S = S ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
△PAC 5 △AOB
k
7．（2023·广东东莞·一模）如图，已知直线y=−x+4与反比例函数y= 的图象相交于点A(−2，a)，并
x
且与x轴相交于点B．
(1)求a的值；求反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
k
(3)求不等式−x+4− <0的解集（直接写出答案）．
x
题型 19 一次函数与反比例函数综合应用
m
1．（2023·四川遂宁·射洪中学校考一模）如图，已知一次函数y =kx+b的图象与函数y = (x>0)的图
1 2 x
1 1
象交于A(6，− )，B( ，n)两点，与y轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线E，
2 2
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DE与y轴交于点F．
(1)求y 与y 的解析式；
1 2
(2)观察图象，直接写出y 0），y=−x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
x
当△ABC的面积为3时，求b的值：
(3)若函数y=x2−2（x≥m）的图象记为W ，将其沿直线x=m翻折后的图象记为W ．当W ，W 两部分组
1 2 1 2
成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
3．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，已知A(0,2)，B(1,0)，连接AB，以AB为边在第一象限内作正
k
方形ABCD，直线BD与反比例函数y= (k≠0)相交于D，E两点，连接CE，交x轴于点F．
x
(1)求k的值及直线DE的解析式；
(2)求△DEC的面积．
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4．（2023·湖北鄂州·统考二模）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此往往不能沿直线
行走到目的地，只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，
对两点A(x ,y )和B(x ,y )，用以下方式定义两点间的“折线距离”：d(A,B)=|x −x |+|y −y |．
1 1 2 2 1 2 1 2
【数学理解】
(1)①已知点A(−3,1)，则d(O,A)=___________；
②函数y=−2x+6(0≤x≤3)的图象如图（1），B是图象上一点，若d(O,B)=5，则点B的坐标为________；
3
(2)函数y= (x>0)的图象如图（2），该函数图象上是否存在点C，使d(O,C)=2？若存在，求出其坐标；
x
若不存在，请说明理由；
【拓展运用】
(3)函数y=x2−4x+6(x≥0)的图象如图（3），D是图象上一点，求d(O,D)的最小值及对应的点D的坐标．
题型 20 反比例函数的实际应用
1．（2023·河北保定·统考一模）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积v（单位：m3 )变化时，气体
的密度ρ（单位：kg/m3 )随之变化．已知密度ρ与体积v是反比例函数关系，它的图象如图所示．则正确的
是（ ）
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7
A．函数解析式为ρ= B．容器内气体的质量是5v
v
C．当ρ≤8kg/m3时，v≥1.25m3 D．当ρ=4kg/m3时，v=3m3
2．（2023·山西晋中·校联考模拟预测）在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，
即所做的功一定时，功率P（w）与做功所用的时间t（s）成反比例函数关系，图象如图所示，下列说法不
正确的是（ ）
60000
A．P与t的函数关系式为P= B．当t=5s时，P=12000w
t
C．当t>5s时，P>12000w D．p随t的增大而减小
3．（2023·河南新乡·统考三模）为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行
药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）成正
比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图象如图所示．
则下列说法不正确的是（ ）
3
A．药物燃烧时，y关于x的函数关系式为y= x(0≤x≤8)
4
B．药物燃烧4min时，才开始对杀灭病毒起效
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C．从消毒开始，至少需要30min学生才能回到教室
D．本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为16min
4．（2023·山西长治·统考模拟预测）学校科技兴趣小组为探索如图所示的电路中电压U(V)、电流I(A)、电
U
阻R(Ω)三者之间的关系，测得数据如下，根据数据猜想得到三者之间为：I= ．由此可得，当电阻
R
R=110Ω时，电流I= A．
R(Ω) 100 200 220 400
I(A) 2.2 1.1 1 0.55
5．（2023·广东江门·江门市怡福中学校考一模）如图是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中
10
线段PA是竖直高度为6米的平台，PO垂直于水平面，滑道分为两部分，其中AB段是双曲线y= 的一部
x
分，BCD段是抛物线的一部分，两滑道的连接点B为抛物线的顶点，且B点的竖直高度为2米，当甲同学滑
到C点时，距地面的距离为1米，距点B的水平距离CE为√2米．
(1)求滑道BCD所在抛物线的解析式；
(2)求甲同学从点A滑到地面上D点时，所经过的水平距离；
(3)在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道BCD落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于45°，
OP 1
且由于实际场地限制， ≥ ，请直接写出OD长度的取值范围．
OD 2
6．（2022·湖北咸宁·校考模拟预测）崇阳县白霓镇回头岭村近年大力打造乡村旅游文化品牌，农村特色美
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食、农家乐、采摘园、观光养殖场等初具规模，2021年仅桑葚采摘园收入6万元，2022年桑葚产量比2021
年增加了1000千克，且每千克价格比2021年上涨了3元，故收入比2021年提高了50%．已知2021年每千
克价格不低于14元
(1)求2022年桑葚每千克的价格；
(2)村委会计划扩大桑葚采摘园的规模，将今年收入的30%投入扩建，已知新建采摘园每亩资金不低于1200
元，那么最多可以将桑葚采摘园的面积扩大多少？
7．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）由物理学知识知道，在力F（单位：N）的作用下，物体会在力F的方
向上发生位移s（单位：m），力F所做的功W（单位：J）满足W =Fs，当W为定值时，F与s之间的函数
图象如图所示，点P(2,7.5)为图象上一点．
(1)试确定F与s之间的函数关系式．
(2)当F=5时，s是多少？
8．（2023·辽宁抚顺·统考三模）某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量
的气体，当温度不变时：气球内气体的气压P(KPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)请写出这一函数的解析式；
(2)当气球内气体的体积为1m3时，气体的气压是多少？
(3)当气球内气体的气压为40KPa，气体的体积是多少？
(4)当气球内的气压大于150KPa时，气球将会爆炸，为了安全起见，气球内气体的体积应不小于多少？
9．（2023·甘肃平凉·校考三模）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变
化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注
意力指标数y随时间x（分）变化的函数图像如图所示，当0≤x<10和10≤x<20时，图像是线段；当
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20≤x≤40时，图像是双曲线的一部分，根据函数图像回答下列问题：
(1)当20≤x<40时，注意力指标数y与时间x之间的函数关系为______．
(2)当0≤x<10时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式；
(3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要21分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的
讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由．
10．（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）小明家的电热水壶接通电源就进入自动程序，
开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，会沸腾1分钟后自动停止加热，水温开始下降，此时水温y
（℃）与通电时间x(min)成反比例关系，直至水温降至20℃时热水壶又自动开机加热，重复上述程序
（如图所示）．
(1)求反比例图像CD段的函数关系式，并求自变量x的取值范围．
(2)小明治疗肠胃病需服用地衣芽狍杆菌活菌胶囊，它是活菌制剂，医嘱要求：至少在饭后半小时用温开水
（水温不能高于40℃）送服，若小明在早饭后立即通电开机，请问他至少需要等多长时间才可以直接用热
水壶的水送服活菌片？
11．（2023·贵州贵阳·统考三模）山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，是中国面食
文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）．厨师将一定质量
的面团做成拉面时，面条的总长度y(m)是面条横截面面积x(mm2)的反比例函数，其图象经过A(4,32)，
B(a,80)两点（如图）．
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(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求a的值，并解释它的实际意义．
题型 21 反比例函数与几何综合
1．如图，点D是 ▱OABC内一点，AD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=√3，∠BDC=120°，
9 k
S = √3，若反比例函数y= (x<0)的图像经过C，D两点，则k的值是（ ）
△BCD 2 x
A．−6√3 B．−6 C．−12√3 D．−12
6
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(5,0)，点B是函数y= (x>0)图象上的一个动点，过
x
2
点B作BC⊥y轴交函数y=− (x<0)的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接
x
AB，CD．有如下四个结论：
①四边形ABCD可能是菱形；
②四边形ABCD可能是正方形；
③四边形ABCD的周长是定值；
④四边形ABCD的面积是定值．
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所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
k k k
3．如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y= 1和y= 2的图象上，若∠BCD=60°，则 1 的值为
x x k
2
（ ）
2 √3 1
A．√3 B． C．− D．−
3 3 3
k
4．如图，点A在双曲线y= （k>0，x>0）上，点B在直线l：y=mx−2b（m>0，b>0）上，A与B关
x
于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，有以下结论：①A(b,3b)②当b=2时，
√3
k=4√3③m= ④S =2b2 则所有正确结论的序号是 ．
3 四边形AOCB
5．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，
1
tan∠ABO=3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是y= ，则图
x
像经过点D的反比例函数的解析式是 ．
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1 3
6．如图，A，C是双曲线y= 上关于原点对称的点，B，D是双曲线y=− 上关于原点对称的点，圆弧
x x
BA´D与BC´D围成了一个封闭图形，当线段AC与BD都最短时，图中阴影部分的面积为 ．
7．如图，直线AD：y=3x+3与坐标轴交于A、D两点，以AD为边在AD右侧作正方形ABCD，过C作
k
CG⊥y轴于G点．过点C的反比例函数y= (k≠0)与直线AD交于E、F两点．
x
(1)求证：△AOD≌△DGC；
(2)求E、F两点坐标；
k
(3)填空：不等式3x+3> 的取值范围是______．
x
8．阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作
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出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步
骤如下：
①建立直角坐标系，将已知锐角∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合；
1
②在直角坐标系中，绘制函数y= 的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P；
x
1
③以P为圆心、以2OP为半径作弧，交函数y= 的图象于点R；
x
④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q；
1
⑤连接OM，得到∠MOB．则∠MOB= ∠AOB．
3
思考问题：
( 1) ( 1)
(1)设P a, ，R b, ，求直线OM的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线
a b
OM上；
1
(2)证明：∠MOB= ∠AOB．
3
4 4
(3)如图2，若直线y=x与反比例函数y= (x≠0)交于点C，D为反比例函数y= (x≠0)第一象限上的一
x x
个动点，使得∠COD=30°．求用材料中的方法求出满足条件D点坐标．
8
9．如图，点B是反比例函数y= （x>0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C，反比
x
k
例函数y= （x>0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于
x
点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．
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（1）填空：k=_________；
（2）求ΔBDF的面积；
（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．
1
10．已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y= (x>0)图象上的一个动点，连结AO,AO的延
x
k
长线交反比例函数y= (k>0,x<0)的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E．
x
（1）如图1，过点B作BF⊥x轴于点F，连结EF．
①若k=1，求证：四边形AEFO是平行四边形；
②连结BE，若k=4，求△BOE的面积．
k
（2）如图2，过点E作EP//AB，交反比例函数y= (k>0,x<0)的图象于点P，连结OP．试探究：对
x
于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．
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k
1．（2022·海南·统考中考真题）若反比例函数y= (k≠0)的图象经过点(2,−3)，则它的图象也一定经过
x
的点是（ ）
A．(−2,−3) B．(−3,−2) C．(1,−6) D．(6,1)
2．（2022·湖北宜昌·统考中考真题）已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）
是反比例函数关系．根据下表判断a和b的大小关系为（ ）
I/A 5 … a … … … b … 1
R/Ω 20 30 40 50 60 70 80 90 100
A．a>b B．a≥b C．a0)的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交y=−
x x
的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S ，S ，
1 2
5
S ，S ，若S +S +S = ，则k的值为（ ）
3 4 2 3 4 2
A．4 B．3 C．2 D．1
2 3
9．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，点A在函数y= (x>0)的图象上，点B在函数y= (x>0)的
x x
图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
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10．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，一次函数y =k x+b(k >0)的图像与反比例函数
1 1 1
k
y = 2(k >0)的图像相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为−2，当y 1 B．x<−2或01 D．−20,x>0)的
x
图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连结AB，
AB=3√2，则k的值为（ ）
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A．3 B．3√2 C．4 D．6
k
13．（2023·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，若函数y= (k≠0)的图象经过点A(−3,2)和
x
B(m,−2)，则m的值为 ．
k
14．（2023·河北·统考中考真题）如图，已知点A(3,3),B(3,1)，反比例函数y= (k≠0)图像的一支与
x
线段AB有交点，写出一个符合条件的k的数值： ．
15．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F
均在x轴正半轴上，点D在边BC上，BC=2CD，AB=3．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则
这个反比例函数的表达式是 ．
k
16．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y= (x<0)的图像上，
x
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2
顶点B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC= ，
3
则k= ．
2 k
17．（2023·江苏无锡·统考中考真题）已知曲线C 、C 分别是函数y=− (x<0),y= (k>0,x>0)的
1 2 x x
图像，边长为6的正△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），现将△ABC
绕原点O顺时针旋转，当点B在曲线C 上时，点A恰好在曲线C 上，则k的值为 ．
1 2
18．（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方
k
形OACD，ABEF．反比例函数y= (k>0)的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，
x
QN⊥y轴于点N．若OA=2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．
( 5) ( 5) k
19．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，点A a, 和B b, 在反比例函数y= (k>0)的图象上，
a b x
15 a
其中a>b>0．过点A作AC⊥x轴于点C，则△AOC的面积为 ；若△AOB的面积为 ，则 =
4 b
．
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20．（2023·广东·统考中考真题）某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单
48
位：Ω)的函数表达式为I= ，当R=12Ω时，I的值为 A．
R
8
21．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数y= (x>0)的图象上有P ,P ,P ,⋯P 等
x 1 2 3 2024
点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分
的面积从左到右依次为S ,S ,S ,⋯,S ，则S +S +S +⋯+S = ．
1 2 3 2023 1 2 3 2023
1 1
22．（2022·湖南长沙·统考中考真题）若关于x的函数y，当t− ≤x≤t+ 时，函数y的最大值为M，最
2 2
M−N
小值为N，令函数h= ，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
2
(1)①若函数y=4044x，当t=1时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数y=kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
2
(2)若函数y= （x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；
x
(3)若函数y=−x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值．
若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
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k k
23．（2023·湖北十堰·统考中考真题）函数y= 的图象可以由函数y= 的图象左右平移得到．
x+a x
1 1
(1)将函数y= 的图象向右平移4个单位得到函数y= 的图象，则a=____；
x x+a
1
(2)下列关于函数y= 的性质：①图象关于点(−a,0)对称；②y随x的增大而减小；③图象关于直线
x+a
y=−x+a对称；④y的取值范围为y≠0．其中说法正确的是________（填写序号）；
1 1
(3)根据（1）中a的值，写出不等式 > 的解集：_________．
x+a x
24．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观
6
察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数y= −|x|的图象，并探究该函
|x|
数性质．
(1)绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ ．
﹣
x …… ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 1 2 3 4 5 ……
1
﹣
y …… ﹣3.8 ﹣2.5 ﹣1 1 5 5 a ﹣2.5 ﹣3.8 ……
1
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
6
(2)探究函数性质，请写出函数y＝ -|x|的一条性质： ；
|x|
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(3)运用函数图象及性质
6
①写出方程 -|x|＝5的解 ；
|x|
6
②写出不等式 -|x|≤1的解集 ．
|x|
25．（2023·四川达州·统考中考真题）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电
池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值R =2Ω）亮度的实验（如图），
L
U
已知串联电路中，电流与电阻R、R 之间关系为I= ，通过实验得出如下数据：
L R+R
L
R/Ω … 1 a 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
a= b=
(1) _______， _______；
12 12
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数y= (x≥0)，结合表格信息，探究函数y= (x≥0)的图象
x+2 x+2
与性质．
12
①在平面直角坐标系中画出对应函数y= (x≥0)的图象；
x+2
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是_________．
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12 3
(3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时， ≥− x+6的解集为________．
x+2 2
k
26．（2022·浙江温州·统考中考真题）已知反比例函数y= (k≠0)的图象的一支如图所示，它经过点
x
(3,−2)．
(1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．
(2)求当y≤5，且y≠0时自变量x的取值范围．
27．（2023·贵州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数
k
y= (x>0)的图象分别与AB,BC交于点D(4,1)和点E，且点D为AB的中点．
x
(1)求反比例函数的表达式和点E的坐标；
k
(2)若一次函数y=x+m与反比例函数y= (x>0)的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D,E之
x
间的部分时（点M可与点D,E重合），直接写出m的取值范围．
k
28．（2023·江西·统考中考真题）如图，已知直线y=x+b与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A(2,3)，
x
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k
与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数y= (x>0)的图象于点C．
x
(1)求直线AB和反比例函数图象的表达式；
(2)求△ABC的面积．
29．（2023·浙江台州·统考中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同
的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计
悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h=20cm．
(1)求h关于ρ的函数解析式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h=25cm，求该液体的密度ρ．
30．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点A(−1，6)，
(3 )
B ,a−3 ，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
a
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)点M在x轴上，若S =S ，求点M的坐标．
△OAM △OAB
31．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n与反比例函数
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k
y= 的图象在第一象限内交于A(a,4)和B(4,2)两点，直线AB与x轴相交于点C，连接OA．
x
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
k
(2)当x>0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式mx+n≥ 的解集；
x
(3)过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，求梯形OCBD的面积．
32．（2023·山东济南·统考中考真题）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用
木栏围住，木栏总长为am．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy=8，满足条件的(x,y)可看成是反比例函数
8
y= 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+ y=10，满足条件的(x,y)可看成一次函
x
数y=−2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(x,y)就可以看成两个函数图象交点
的坐标．
8
如图2，反比例函数y= (x>0)的图象与直线l ：y=−2x+10的交点坐标为(1,8)和_________，因此，木
x 1
栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=___________m，BC=
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__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a=6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=−2x+a．发现直线y=−2x+a可以看成是直线y=−2x通
8
过平移得到的，在平移过程中，当过点(2,4)时，直线y=−2x+a与反比例函数y= (x>0)的图象有唯一
x
交点．
（3）请在图2中画出直线y=−2x+a过点(2,4)时的图象，并求出a的值．
【拓展应用】
8
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y=−2x+a与y= 图象在第一象限内交
x
点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
33．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=kx+2与x，y轴分别相
m
交于点A，B，与反比例函数y= (x>0)的图象相交于点C，已知OA=1，点C的横坐标为2．
x
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(1)求k，m的值；
(2)平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平
行四边形，求点D的坐标．
34．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点
k
C(3，0)，顶点A、B(6，m)恰好落在反比例函数y= 第一象限的图象上．
x
(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使△ABP周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
35．（2023·吉林·统考中考真题）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）
会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们
的部分对应值：
1
频率f（MHz） 15 50
0
3
波长λ（m） 20 6
0
(1)求波长λ关于频率f的函数解析式．
(2)当f =75MHz时，求此电磁波的波长λ．
36．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物
高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的
反比例函数，当x=6时，y=2．
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(1)求y关于x的函数解析式；
(2)若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．
37．（2023·河南·统考中考真题）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系
k
中，以反比例函数y= 图象上的点A(√3,1)和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E
x
在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作A´C，连接BF．
(1)求k的值；
(2)求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．
38．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+5与y轴交于点A，
k
与反比例函数y= 的图象的一个交点为B(a,4)，过点B作AB的垂线l．
x
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(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E
恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
2
39．（2023·广东广州·统考中考真题）已知点P(m,n)在函数y=− (x<0)的图象上．
x
(1)若m=−2，求n的值；
(2)抛物线y=(x−m)(x−n)与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为
E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设△GMN的外接圆圆心为C，⊙C与y轴的另一个交点为F，当m+n≠0时，是否存在四边形FGEC为
平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
40．（2023·四川凉山·统考中考真题）阅读理解题：
阅读材料：
1
如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα= ，则
2
1
tanβ= ．
3
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1
证明：设BE=k，∵tanα= ，∴AB=2k，
2
易证△AEB≌△EFC(AAS)
∴EC=2k,CF=k，
∴FD=k,AD=3k
DF k 1
∴tanβ= = = ，
AD 3k 3
1 1
若α+β=45°时，当tanα= ，则tanβ= ．
2 3
1 1
同理：若α+β=45°时，当tanα= ，则tanβ= ．
3 2
根据上述材料，完成下列问题：
m
如图2，直线y=3x−9与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺
x
时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知
OA=5．
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(1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；
(3)求直线AE的解析式．
52
