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第 12 讲 反比例函数的图象、性质及应用
目 录
题型01 用反比例函数描述数量关系
题型02 判断反比例函数
题型03 根据反比例函数的定义求字母的值
题型04 判断反比例函数图象
题型05 反比例函数点的坐标特征
题型06 已知反比例函数图象，判断其解析式
题型07 由反比例函数解析式判断其性质
题型08 由反比例函数图象分布象限，求k值
题型09 判断反比例函数经过象限
题型10 已知反比例函数增减性，求参数的取值范围
题型11 已知反比例函数增减性，求k值
题型12 由反比例函数的性质比较大小
题型13 求反比例函数解析式
题型14 与反比例函数有关的规律探究问题
题型15 已知比例系数求特殊图形面积
题型16 已知图形面积求比例系数
题型17 一次函数图象与反比例函数图象综合
题型18 一次函数与反比例函数交点问题
题型19 一次函数与反比例函数综合应用
题型20 反比例函数的实际应用
题型21 反比例函数与几何综合
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题型 01 用反比例函数描述数量关系
1．（2022·北京昌平·统考二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（单
位：千帕）随气球内气体的体积V（单位：立方米）的变化而变化，P随V的变化情况如下表所示，那么在
这个温度下，气球内气体的气压P与气球内气体的体积V的函数关系最可能是
V（单位：立方
64 48 38.4 32 24 …
米）
P（单位：千帕） 1.5 2 2.5 3 4 …
A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数
【答案】D
【分析】根据PV =96结合反比例函数的定义判断即可．
96
【详解】由表格数据可得PV =96，即P= ，
V
∴气球内气体的气压P与气球内气体的体积V的函数关系最可能是反比例函数，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数，掌握反比例函数的定义是解题的关键．
2．（2023·北京西城·统考二模）下面的三个问题中都有两个变量：
①京沪铁路全程为1463km，某次列车的平均速度y(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间x(单位：h)；
②已知北京市的总面积为1.68×104km2，人均占有面积y(单位：km2/人)与全市总人口x(单位：人)；
1
③某油箱容量是50L的汽车，加满汽油后开了200km时，油箱中汽油大约消耗了 ．油箱中的剩油量yL与
4
加满汽油后汽车行驶的路程xkm．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )
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A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】分别求出三个问题中变量y与变量x之间的函数关系式即可得到答案．
1463
【详解】解：①由平均速度等于路程除以时间得：y= ，符合题意；
x
1.68×104 16800
②由人均面积等于总面积除以总人口得：y= ，即y= ，符合题意；
x x
1 1 1
③由加满汽油后开了200km时，油箱中汽油大约消耗了 ，可知每公里油耗为： ×50÷200= (L)，再
4 4 16
由油箱中的剩油量等于油箱容量减去耗油量，耗油量等于每公里油耗乘以加满汽油后汽车行驶的路程得：
1
y=50− x，不符合题意；
16
综上分析可知，变量 y与变量x之间的函数关系可以用该图象表示的是①②．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的识别，正确列出三个问题中的函数关系式是解题的关
键．
题型 02 判断反比例函数
1．（2020·浙江杭州·模拟预测）下列函数y是x的反比例函数的是（ ）
a 1 1
A．y=√3x B．y= C．y= D．y=
x x2 3x
【答案】D
【分析】利用反比例函数定义对四个选项分析解答即可．
【详解】解：A．由y=√3x得y是x的正比例函数，那么A不符合题意．
a
B．由y= (a≠0)得y是x的反比例函数，那么B不符合题意．
x
1
C．由y= 得y是x2的反比例函数，那么C不符合题意．
x2
1
D．由y= 得y是x的反比例函数，那么D符合题意．
3x
故选：D．
【3 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
k
【点睛】本题主要考查了反比例函数定义，关键在于掌握形如y= （k为常数，k≠0）的函数称为反比例
x
函数．
2．（2022·河南焦作·统考模拟预测）在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
x −√5 y
A．y=2x+1 B．y= C．y= D． =2
2 x x
【答案】C
k
【分析】根据反比例函数的意义分别进行分析即可，形如：y＝ (k≠0)或y=kx－1或xy=k的函数是反比例
x
函数．
【详解】A. y=2x+1，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意；
x
B. y= ，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意；
2
−√5
C. y= ，是反比例函数，故该选项正确，符合题意；
x
y
D. =2，不是反比例数，故该选项不正确，不符合题意；
x
故选C
k
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的几种形式是解题的关键．y＝ (k≠0)或y=kx－1
x
或xy=k的函数是反比例函数
题型 03 根据反比例函数的定义求字母的值
2
1．（2023·云南楚雄·统考二模）已知反比例函数y=− 的图象过点P(a,b)，则代数式ab的值为（ ）
x
1 1
A．−2 B．2 C．− D．
2 2
【答案】A
【分析】根据反比例函数的性质，即图象经过的点的坐标满足函数表达式，进行求解即可．
2
【详解】解：∵函数y=− 的图象过点P(a,b)，
x
∴ab=−2．
故选：A．
【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握图象经过的点的坐标满足函数表达式是解题的关键．
2．（2023·山西阳泉·统考二模）若点A(2,6),B(−3,m)在同一个反比例函数的图象上，则m的值为（ ）
A．1 B．−1 C．4 D．−4
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象上的点的特征，列式计算即可．
【详解】解：∵点A(2,6),B(−3,m)在同一个反比例函数的图象上，
∴2×6=−3m，
∴m=−4；
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的特征．熟练掌握反比例函数图象上点的横纵坐标之积等于k，是解
题的关键．
k
3．（2023·浙江台州·统考一模）若反比例函数y= (k≠0)的图象经过点(2,k−n2−2)，则k的取值范围为
x
（ ）．
A．k≤−2 B．k≤−4 C．k≥2 D．k≥4
【答案】D
k
【分析】将点(2,k−n2−2)代入y= (k≠0)，求出k的值，再根据2n2≥0，即可求出k的取值范围．
x
k
【详解】∵反比例函数y= (k≠0)的图象经过点(2,k−n2−2)，
x
∴ 2(k−n2−2)=k
∴k=2n2+4
∵2n2≥0
∴k≥4
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数，熟知将点坐标代入解析式左右相等是解题的关键．
√3
4．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，反比例函数y= 的图象经过
x
2ab
(a，m+3√3)，(b，m)两点，则代数式 的值是（ ）
2a−2b+7ab
2 2
A． B．− C．2 D．−2
3 3
【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】C
√3 √3 1 1
【分析】根据题意得到 =m+3√3， =m，从而得到 − =3，进一步得到a−b=−3ab，代入变形
a b a b
后的代数式即可求得．
√3
【详解】解：∵反比例函数y= 的图象经过(a，m+3√3)，(b，m)两点，
x
√3 √3
∴ =m+3√3， =m，
a b
√3 √3
∴ − =3√3，
a b
1 1
∴ − =3，
a b
b−a
∴ =3，
ab
∴a−b=−3ab，
2ab 2ab
∴ = =2，
2a−2b+7ab −6ab+7ab
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的坐标适合解析式是解题的关
键．
a+3
5．（2021·云南昭通·统考一模）若函数y= 是关于x的反比例函数，则a满足的条件是 ．
x
【答案】a≠−3
【分析】根据反比例函数定义，a+3≠0，求解即可．
a+3
【详解】解：∵y= 是关于x的反比例函数
x
∴a+3≠0
所以a≠−3
故答案为：a≠−3
【点睛】本题考查反比例函数的定义，根据定义去解题是常考内容，也是解题的切入点．
2a
6．（2021·云南红河·统考一模）已知关于x的反比例函数y= 经过点(1,b)，则b= ．
xa
【答案】2
【分析】根据反比例函数的定义即可求出a的值，即得出该反比例函数的解析式．再将点(1，b)代入该反比
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例函数的解析式即可求出b的值．
2a
【详解】∵y=
是关于x的反比例函数，
xa
∴a=1，
2
∴y= ，
x
∵该反比例函数经过点(1，b)，
2
∴b= =2．
1
故答案为：2．
【点睛】本题考查反比例函数的定义与反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数的定义求出a的值
是解答本题的关键．
7．（2019·湖南益阳·统考一模）若函数y=(k−1)x|k|−2是反比例函数，则k= ．
【答案】−1
【分析】由题意根据反比例函数的定义列出关于k的方程，然后解方程即可．
【详解】解：根据题意，得
|k|−2=−1，且k−1≠0，
解得，k=−1．
故答案是：−1．
k
【点睛】本题考查反比例函数的定义，注意掌握重点是将一般式y= (k≠0)转化为y=kx−1(k≠0)的形式
x
题型 04 判断反比例函数图象
1
1．（2022·河北保定·校考一模）函数y=− 的图象所在的象限是（ ）
√x
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第二象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得x>0，进而可得y<0，即可判断函数所在的
象限.
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1
【详解】解：∵函数y=− 中自变量x的取值范围是x>0，
√x
∴y的取值范围是y<0，
1
∴函数y=− 的图象所在的象限是第四象限；
√x
故选：D.
【点睛】本题考查了函数的图象、二次根式有意义的条件和分式有意义的条件等知识，正确判断出x、y的
取值范围是关键.
5 3
2（2023·河北廊坊·校考三模）若函数y= (x>0)和函数y=− (x<0)在同一平面直角坐标系的图象如图所
x x
示，则坐标系的纵轴是（ ）
A．y B．y C．y D．y
1 2 3 4
【答案】B
【分析】根据反比例函数k的取值分析即可得到答案．
【详解】解：∵5>0，−3<0，
5 3
∴ y= (x>0)的图象在第一象限，y=− (x<0)的图象在第二象限，
x x
∵5>|−3|，
3
∴函数y=− (x<0)的图象更靠近坐标轴，
x
∴坐标系的纵轴是：y ，
2
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
1
3．（2023·江苏盐城·景山中学校考三模）下列四个函数图象中，y=x+ 的大致图象（ ）
x
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】列表，描点，连线，即可画出函数图像，从而判断．
【详解】解：列表：
x … −3 −2 −1 1 2 3 …
10 5 5 10
y … − − −2 2 …
3 2 2 3
画图如下：
故选C．
【点睛】本题考查了函数图像，解题的关键是能根据函数图像的画法画出草图．
3 3
4．（2023·山东潍坊·统考二模）定义新运算：a⊕b=¿，例如：3⊕5= ，3⊕(−5)=− ，则
5 −5
y=3⊕x(x≠0)的图象是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得函数关系式，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案．
【详解】解：由题意得：y=3⊕x=¿，
3
当x>0时，反比例函数y= 在第一象限，
x
3
当x<0时，反比例函数y=− 在第二象限，
x
又因为反比例函数图象是双曲线，因此B选项符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的图象是双曲线．
1 2
5．（2023·河北沧州·统考二模）如图，把函数y= (x<0)和函数y=− (x<0)的图象画在同一平面直角
x x
坐标系中，则坐标系的原点可能是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】D
【分析】根据同一个自变量对应的函数值的大小即可判断出函数图象离横轴的距离．
2 1
【详解】解：∵当x<0时， > ，
x x
2 1
∴函数y=− (x<0)的图象比函数y= (x<0)离横轴远，且都不与横轴相交，
x x
∴坐标系的原点可能是点Q，
故选：D．
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【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，
两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支无限接近x和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交，|k|越大，
反比例函数的图象离坐标轴的距离越远．
1
6．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，反比例函数y= ，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为 ．
x
【答案】π
1
【分析】根据反比例函数的图象的性质可得：图中两个阴影面积的和是 圆的面积，再根据扇形面积公式求
4
解即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形，
1
∴图中两个阴影面积的和是 圆的面积，
4
90°π×22
∴S = =π．
阴影 360°
故答案为：π．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象的性质和勾股定理，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到
阴影部分与圆之间的关系．
题型 05 反比例函数点的坐标特征
b
1．（2023·安徽滁州·校考一模）已知正比例函数y=ax与反比例函数y= 的图象交于点A(m,n)，则这个函
x
数图象的另一个交点为（ ）
A．(b,a) B．(−a,b) C．(m,−n) D．(−m,−n)
【答案】D
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b
【分析】利用正比例函数y=ax与反比例函数y= 的图象都关于原点对称，即可求解．
x
b
【详解】解：∵正比例函数y=ax与反比例函数y= 的图象都关于原点对称，两函数图象交于点A(m,n)，
x
∴这个函数图象的另一个交点为(−m,−n)，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数图象的性质，掌握反比例函数与正比例函数图象的性质是解题
的关键．
2．（2022·山东滨州·阳信县实验中学校考模拟预测）互不重合的两点A(x ,y )，B(x ,y )皆落于反比例函
1 1 2 2
7
数y= 图象上，当直线AB与第二象限角平分线垂直时，x ⋅x 的值等于（ ）
x 1 2
A．−1 B．1 C．−7 D．7
【答案】C
【分析】由直线AB与第二象限角平分线垂直可知A、B关于直线y=−x对称，即有x =−y ，x =−y ，再
1 2 2 1
根据两点均在反比例函数图象，可得x ⋅y =x ⋅y =7，问题随之得解．
1 1 2 2
【详解】解：根据题意A、B关于直线y=−x对称，
∴x =−y ，x =−y ，
1 2 2 1
7
∵互不重合的两点A(x ,y )，B(x ,y )皆落于反比例函数y= 图象上，
1 1 2 2 x
∴x ⋅y =x ⋅y =7，
1 1 2 2
∴x ⋅x =x ⋅(−y )=−x y =−7，
1 2 1 1 1 1
故选：C．
【点睛】本题主要考考查了反比例函数的性质，轴对称的性质，根据A、B关于直线y=−x对称，得出
x =−y ，x =−y ，是解答本题的关键．
1 2 2 1
3．（2022·陕西西安·陕西师大附中校考三模）若点P(m+1,7)与点Q(4,n)是正比例函数y=ax(a≠0)图象
k
与反比例西数y= (k≠0)图象的两个不同的交点，则m+n= ．
x
【答案】−12
【分析】根据正比例函数与反比例函数图象都关于原点对称，则交点也关于原点对称，进而求得m,n的值，
即可求解．
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k
【详解】解：∵点P(m+1,7)与点Q(4,n)是正比例函数y=ax(a≠0)图象与反比例西数y= (k≠0)图象
x
的两个不同的交点，
∴m+1=−4,n=−7，
解得m=−5,n=−7，
∴m+n=−12，
故答案为：−12．
【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数图象的性质，关于原点对称的点的坐标特征，掌握以上知识是
解题的关键．
4．（2022·北京·北京市第五中学分校校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k＞0）与双曲
2
线y= 的交于M（x，y），N（x，y）两点，则x•y 的值为 ．
x 1 1 2 2 1 2
【答案】−2
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点找出M、N两点坐标的关系，再根据反比例函数图象上点的坐标
特点解答即可．
【详解】∵y=kx(k>0)图像关于(0，0)中心对称，
∵k>0，
∴图像经过一、三象限，
2
y= 图像也关于(0，0)中心对称，
x
∵2>0，
∴图像经过一、三象限，
2
又∵M、N为y=kx与y= 交点，
x
∴M、N也关于原点中心对称，且一个在第三象限，一个在第一象限，
2 2
∴M(x， )，N(−x，− )，
1 x 1 x
1 1
( 2 )
∴x y=x ⋅ − =−2，
1 2 1 x
1
⋅
故答案为−2．
【点睛】本题考查了反比例函数图像的对称性，准确掌握利用过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对
称是解答本题的关键．
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k
5．（2021·贵州遵义·统考二模）已知点A(m,n)在双曲线y= 上，点B(−m,n)在直线y=2x−3k上，则
x
2 1
+ 的值为 ．
n m
【答案】-3
k
【分析】将点A(m,n)代入反比例函数y= 中得到mn=k，将点B(−m,n)代入y=2x−3k中得到
x
2 1
2m+n=−3k，最后对 + 通分再整体代入求值即可．
n m
k
【详解】解：∵点A(m,n)在双曲线y= 上，
x
∴mn=k，
∵点B(−m,n)在直线y=2x−3k上，
∴n=−2m−3k，即2m+n=−3k
2 1 2m+n −3k
∴ + = = =−3，
n m mn k
故答案为：−3．
【点睛】本题考查了反比例函数及一次函数上点的坐标特点，点在函数上，将点的坐标代入解析式即可得到
等式，然后再代入求值．
题型 06 已知反比例函数图象，判断其解析式
k
1．（2023·山东济南·统考一模）反比例函数y= 在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
x
A．9 B．18 C．25 D．36
【答案】C
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【分析】根据图象，当x=6时，函数值在3和6之间，代入解析式即可求解．
k
【详解】解：当x=6时，y= ，
6
∵30时，y >y
1 2
D．过点B作x轴的垂线，垂足为点H，连AH，若S =6，则k=6
ΔABH
【答案】B
k k k k
【分析】反比例函数y= 的图像上有两点A(−3,y )和B(3,y )，可得y = =− ，y = 可得y ≠ y
x 1 2 1 −3 3 2 3 1 2
k
可判断A，当y =3时，可求k=−9，再求y = =−3，可判断B，当k>0时，函数图像在一、三象限，在
1 2 3
每个象限内y随x的增大而减小，由−3<0<3，可得点A在第三象限，点B在第一象限，y <00时，函数图像在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
∵−3<0<3，
∴点A在第三象限，点B在第一象限，y <00时， k=S =3，k=6，
2 ΔOBH
1
当k<0时，− k=S =3，k=−6，
2 ΔOBH
若S =6，k=6或k=−6，
ΔABH
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故选项D不正确．
故选择：B．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数性质是解题关键．
k
3．（2021上·江西南昌·九年级统考期末）下列关于反比例函数y= （k<0）的说法中，正确的是（ ）
x
A．双曲线在第一、第三象限 B．当x>0时，函数值y>0
C．当x>0时，y随x的增大而增大 D．当x<0时，y随x的增大而减小
【答案】C
【分析】根据反比例函数图像的性质判断即可．
k
【详解】∵反比例函数y= (k<0)
x
∴反比例函数图像在二、四象限，在第二象限内当x<0时，y>0，在第四象限内当x>0时y<0，且在每个
象限内y随x增大而增大
A、双曲线在第一、第三象限，故选项错误；
B、当x>0时，函数值y>0，故选项错误；
C、当x>0时，y随x增大而增大，故选项正确；
D、当x<0时，y随x增大而减小，故选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质，熟练掌握反比例函数图像的性质是解题关键．
2
4．在平面直角坐标系xOy中，P为反比例函数y= （x＞0）的图象上的动点，则线段OP长度的最小值是
x
．
【答案】2
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2
【详解】根据题意可得：当P为直线y=x与反比例函数y= （x＞0）的交点时则线段OP长度的最小，
x
2
y= x=√2 x=−√2
由{ x得：{ 或{ （舍去），
y=√2 y=−√2
y=x
则P点的坐标为（√2，√2），
则线段OP=√ (√2) 2+(√2) 2 =2，
故答案为2．
题型 08 由反比例函数图象分布象限，求 k 值
k
1．（2023·河北保定·保定市第十七中学校考三模）如图，函数y= 在第一象限的图象将所标三整点分隔开，
x
则整数k的值可能是（ ）
A．10 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【分析】根据三个点的坐标求出8
2 2 2 2
【答案】C
【分析】根据反比例函数图象位于第一、三象限，可得1−2m>0，解不等式即可求解.
1−2m
【详解】解：∵反比例函数y= 图象位于一、三象限，
x
∴1−2m>0，
1
解得：m< ，
2
故选：C.
【点睛】本题主要考查反比例函数图象性质，解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数图象的性质.
k k k
3．（2022上·浙江台州·九年级统考期末）如图，为反比例函数y= 1，y= 2，y= 3在同一坐标系的图象，
x x x
则k ，k ，k 的大小关系为（ ）
1 2 3
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A．k >k >k B．k >k >k C．k >k >k D．k >k >k
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
【答案】A
【分析】先根据函数图象所在的象限判断出k 、k 、k 的符号，再用取特殊值的方法确定符号相同的反比例
1 2 3
函数的取值．
k k k
【详解】解：由图知，y= 3的图象在第二象限，y= 1，y= 2，的图象在第一象限，
x x x
∴k >0，k >0，k <0，
1 2 3
k k
又当x=1时，由图象可得 2< 1，
1 1
∴k k >k ．
1 2 3
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象的性质．k<0时，反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内，
y随x的增大而增大；k>0时，反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
题型 09 判断反比例函数经过象限
2022
1．（2022·海南省直辖县级单位·统考二模）反比例函数y=− 的图象在（ ）
x
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质即可解答．
【详解】解：∵k=-2022<0，
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∴图象在第二、四象限，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键．
k k
2．（2022·黑龙江哈尔滨·统考一模）已知点M(1，−m2−1)在双曲线y= 上，则双曲线y= 一定分布在
x x
（ ）象限
A．一、二 B．一、三 C．二、三 D．二、四
【答案】D
【分析】根据图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k可得k=-m2-1＜0，再根据当k＜0，双曲
线的两支分别位于第二、第四象限，可得答案．
k
【详解】解：∵点M（1，-m2-1）在双曲线y= 上，
x
∴k=1•（-m2-1）＜0，
k
∴双曲线y= 一定分布在第二、四象限，
x
故选：D．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质和反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象
上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
题型 10 已知反比例函数增减性，求参数的取值范围
k
1．（2023·陕西咸阳·校考三模）在平面直角坐标系中，点A(−1,y ),B(2,y )在反比例函数y= （k为常
1 2 x
数，k≠0）的图象上，且y >y ，则k的取值范围是 ．
1 2
【答案】k<0
k k
【分析】k>0时，反比例函数y= (k≠0)的图象在第一、三象限，k<0时，反比例函数y= (k≠0)的图象
x x
在第二、四象限，再利用y >y 确定点A(−1,y )，B(2,y )的位置即可求解．
1 2 1 2
k
【详解】解：∵点A(−1,y ),B(2,y )在反比例函数y= (k≠0)的图象上，且y >y ，
1 2 x 1 2
∴点A(−1,y )在第二象限，点B(2,y )在第四象限，
1 2
【23淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
k
∴反比例函数y= (k≠0)的图象在第二、四象限，
x
∴k<0．
故答案为：k<0．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．
m+3
2．（2023·四川成都·校考三模）在平面直角坐标系xOy中，对于每一象限内的反比例函数y= 图像，y
x
的值都随x值的增大而增大，则m的取值范围是 ．
【答案】m<−3
【分析】根据反比例函数的性质得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
m+3
【详解】解：∵对于每一象限内的反比例函数y= 图像，y的值都随x值的增大而增大，
x
∴m+3<0，
解得：m<−3，
故答案为：m<−3．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键．
4−m
3．（2023·陕西西安·统考二模）已知点(−2,a)和(3,b)在反比例函数y= 的图像上，若a>b，则m的
x
取值范围是 ．
【答案】m>4
【分析】根据当−2<0<3时，a>b，可知图象在第二、四象限，据此求解即可．
【详解】∵当−2<0<3时，a>b
∴图象在第二、四象限
∴4−m<0
∴m>4
故答案为：m>4．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是关键．
题型 11 已知反比例函数增减性，求 k 值
k
1．（2023·河南周口·校联考三模）若反比例函数y= （k为无理数）的图象在每个象限内，y随x的增大而
x
减小，则k的值可以为
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【答案】√2(答案不唯一)
【分析】根据该函数图象在每个象限内，y随x的增大而减小，得出k>0，然后再根据k为无理数，得出k
的值即可．
【详解】解：∵该函数图象在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴由反比例函数的图象性质可知k>0，
又∵k为无理数，
∴k的值可以是√2(答案不唯一)．
故答案为：√2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，无理数的定义，解题的关键是熟练掌握反比例函数的增减性，
k
反比例函数y= (k≠0)，当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小，当k<0时，在每个象限内y随x的
x
增大而增大．
k
2．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）A(2,y ),B(3,y )为反比例函数y= (k≠0)上的两个点，
1 2 x
若y 0，再根据完全平方式求得k值即可求解．
k
【详解】解：∵在反比例函数y= (k≠0)的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，
x
∴k>0，
∵整式x2−kx+9是一个完全平方式，
∴−k=±2×3=±6，
∴k=6，
6
∴该反比例函数的解析式为y= ，
x
6
故答案为：y= ．
x
【点睛】本题考查反比例函数的性质、完全平方式，熟知完全平方式的结构特征和反比例函数的性质是解答
的关键．
题型 12 由反比例函数的性质比较大小
m2+1
1．（2022·广东江门·校考模拟预测）已知点(−4,y )，(−1,y )，(6,y )都在反比例函数y= 的图象
1 2 3 x
上，则y ，y ，y 的大小关系是 （从小到大）．
1 2 3
【答案】y 0，利用反比例函数的性质可得出y 0，
∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限，且同一象限内y随x的增大而减小，
∵−4<−1<0<6，
∴y 0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象
限内y随x的增大而减小”是解题的关键．
2．（2023·广东广州·统考一模）物理学中，在压力F不变的情况下，某物体承受的压强P与它的受力面积S
成反比例函数关系，则下表中压强P 与P 的大小关系为：P P ．（填“>”，“=”或“<”）
1 2 1 2
S/m2 1 2 3
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P/Pa P 300 P
1 2
【答案】＞
【分析】根据表格数据求得反比例函数解析式，根据反比例数的性质即可求解．
F
【详解】解：∵压强P与它的受力面积S成反比例函数关系，设P= ，
S
依题意F=2×300=600，
600
∴反比例数解析式为：P= ，600>0，
S
∴P随S的增大而减小，
∵1<3，
∴P >P ，
1 2
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
题型 13 求反比例函数解析式
1．（2023上·河南许昌·九年级许昌市第一中学校考期末）已知：y是x的反比例函数，当x=−4时，y=3，
当2y>−6
【分析】首先设出函数解析式，再利用待定系数法把x=−4，y=3代入解析式求得k的值，得到函数解析
式后，再根据解析式和x的取值范围，求得y的取值范围即可．
k
【详解】解：设函数解析式为：y= ，
x
把x=−4，y=3代入，得k=−12，
12
∴反比例函数的解析式为：y=− ．
x
12 12
把x=2代入y=− 中得， y=− =−6；
x 2
12 12
把x=3代入y=− 中得， y=− =−4；
x 3
∵k=−12<0，
∴在每个象限内y随x增大而增大，
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∴当20)图象上，过P A的中点B 作矩形B A A P ，使顶点P 落在
1 x 1 1 1 1 2 2
k k
反比例函数y= 图象上，再过P A 的中点B 作矩形B A A P ，使顶点P 落在反比例函数y= 图象上，
x 2 1 2 2 1 2 3 3 x
k
…，依此规律，作出矩形B A A P 时，落在反比例函数y= 图象上的顶点P 的坐标为 ．
18 17 18 19 x 19
1
【答案】(218， )
218
【分析】先根据题意得出P 点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点P ，P 的坐标，找
1 2 3
出规律即可得出结论．
k
【详解】解：∵正方形OAP B的边长为1，点P 在反比例函数y= (x>0)的图象上，
1 1 x
∴P (1,1)，
1
∴k=1，
1
∴在反比例函数的解析式为：y= ，
x
∵B 是P A的中点，
1 1
1
∴P A =AB = ，
2 1 1 2
∴OA =2，
1
1
∴P (2, )，
2 2
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1
同理，P (22, )，
3 22
…
1
∴P (2n−1 ， )，
n 2n−1
1
∴顶点P 的坐标为(218， )．
19 218
1
故答案为：(218， )．
218
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，找出规律是解题的关键．
2
3．（2019·安徽合肥·校联考一模）如图，点B 在反比例函数y= (x>0)的图像上，过点B分别作x轴和y轴
x
(3 )
的垂线，垂足分别为C 和A，点C 的坐标为(1,0)，取x轴上一点C ,0 ，过点C 作x轴的垂线交反比例
0 0 1 2 1
函数图像于点B ，过点B 作线段B A ⊥BC 交于点A ，得到矩形A B C C ，依次在x轴上取点
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
(5 )
C (2,0),C ,0 ⋯，按此规律作矩形，则矩形A B C C （n 为正整数） 的面积为 .
2 3 2 n n n n−1
2
【答案】
n+2
【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义即可得到矩形ABCO的面积=2，矩形ABC C 的面积=
0 1 1 1 0
4 (3 ) 2 ( 3) 2 1 (5 ) 4 2
× −1 = ，矩形ABC C 的面积= 2− ×1= = ，矩形ABC C 的面积= −2 × = ，…于是
3 2 3 2 2 2 1 2 4 2 3 3 3 2 2 5 5
1 2×2 2
得到矩形A B C C （n为正整数）的面积为= × = ．
n n n n−1 2 n+2 n+2
【详解】解：矩形ABCO的面积=2，
0
4 (3 ) 2
矩形ABC C 的面积= × −1 = ，
1 1 1 0 3 2 3
【34淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
( 3) 2 1
矩形ABC C 的面积= 2− ×1= = ，
2 2 2 1 2 4 2
(5 ) 4 2
矩形ABC C 的面积= −2 × = ，
3 3 3 2 2 5 5
…
1 2×2 2
矩形A B C C （n为正整数）的面积为= × = ．
n n n n−1 2 n+2 n+2
2
故答案为 ．
n+2
k
【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y= 图象中任取一点，过这一
x
个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
3 1 2 3 4 5 6
4．（2023·湖北恩施·统考一模）如图，直线y= x与曲线y= ,y= ,y= ,y= ,y= ,y= ,…分别
4 x x x x x x
交于点A ,A ,A ,A ,A ,A ,⋅⋅⋅，过点A ,A ,A ,A ,A ,A ,⋅⋅⋅作x轴和y轴的垂线，围成如图所
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
示的“7字形”阴影部分，分别记作S ,S ,S ,⋅⋅⋅，则S +S +S +⋅⋅⋅+S = ．
1 2 3 1 2 3 2023
【答案】2023
【分析】根据反比例函数的几何意义可得到规律S =S −S =1，由此即可得到答
n 矩形A B OC 矩形A B OC
2n 2n 2n 2n−1 2n−1 2n−1
案．
【详解】解：如图所示，由反比例函数比例系数的几何意义可得：
S =S −S =2−1，
1 矩形A B OC 矩形A B OC
2 2 2 1 1 1
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S =S −S =4−3=1，
2 矩形A B OC 矩形A B OC
4 4 4 3 3 3
S =S −S =6−5=1
3 矩形A B OC 矩形A B OC
6 6 6 5 5 5
…
∴S =S −S =2n−(2n−1)=1，
n 矩形A B OC 矩形A B OC
2n 2n 2n 2n−1 2n−1 2n−1
∴S +S +S +⋅⋅⋅+S =1×2023=2023，
1 2 3 2023
故答案为：2023
【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解
题的关键．
5．（2023·山东聊城·统考一模）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA =A A =A A =……，过点A ，
1 1 2 2 3 1
2
A ，A ，……分别作x轴的垂线与反比例函数y= (x≠0)的图像相交于点P ，P ，P ，……，得直角三
2 3 x 1 2 3
角形OP A ，A P A ，A P A ，……，并设其面积分别为S ，S ，S ，……，则S 的值为
1 1 1 2 2 2 3 3 1 2 3 2023
．
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1
【答案】
2023
【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S
|k|
是个定值，S= ，由反比例函数解析式中k=2，得出△OA P ，△OA P ，△OA P ，…，△OA P
2 1 1 2 2 3 3 n n
1
的面积都为1，而A A 为OA 的 ，且△A A P 与△OA P 的高为同一条高，故△A A P 的面积
n−1 n n n n−1 n n n n n−1 n n
1
为△OA P 的面积的 ，由△OA P 的面积都为1，得出△A A P 的面积，即为S 的值．
n n n n n n−1 n n n
【详解】解：连接OP ，OP ，…，OP ，如图所示：
2 3 n
∵过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，
|k|
S= ，
2
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2
∴S= =1，即S =S =S =…=S =1，
2 △OA 1 P 1 △OA 2 P 2 △OA 3 P 3 △OA n P n
又∵OA =A A =A A =…=A A ，
1 1 2 2 3 n−1 n
1 1 1 1
∴A A = OA ，A A = OA ，A A = OA ，…，A A = OA ，
1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 n−1 n n n
∵△A A P 与△OA P 的高为同一条高，
n−1 n n n n
1 1
∴S =S = S = ，
n △A n−1 A n P n n △OA n P n n
1 1
∴S =S = S = ，
2023 △A 2022 A 2023 P 2023 2023 △OA 2023 P 2023 2023
1
故答案为： ．
2023
k
【点睛】此题属于反比例函数的综合题，涉及的主要知识有：反比例函数y= (k≠0)中k的几何意义，即
x
过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要
正确理解k的几何意义，图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积
1
S的关系即S= |k|．
2
题型 15 已知比例系数求特殊图形面积
6
1．（2023·江苏宿迁·沭阳县怀文中学校联考一模）如图，A为双曲线y= 上的一点，AB⊥x轴，垂足为B，
x
2 2
AB交双曲线y= 于E，AC⊥y轴，垂足为C，AC交双曲线y= 于D，连接DE，则△ADE的面积是
x x
．
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4
【答案】
3
6
【分析】设A(a, ) ，求得D、 E的坐标，进而求得AD、AE，最后根据三角形的面积公式求得结果．
a
6 2 a 6
【详解】设 A(a, )，则 E(a, )，D( , )，
a a 3 a
1 2 6 2 4
∴AD=a− a= a，AE= − = ，
3 3 a a a
1 2 4 4
∴S = × a× = ，
△ADE 2 3 a 3
4
故答案为： ．
3
【点睛】此题考查了反比例函数的图象与性质，矩形的性质，三角形的面积，解题的关键用A点的横坐标表
示AD与 AE．
2．（2022·山西大同·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、D分别在x轴，y轴上，AB⊥x轴，
2 4
与y = (x>0)交于点B，与y = (x>0)交于点C，四边形OBCD为平行四边形，平行四边形OBCD的面
1 x 2 x
积是 ；
【答案】2
【分析】如图，过C作CK⊥y轴于K，而AB⊥x轴，可得S =4，∠CKD=∠OAB=90°，
矩形ACKO
AO=CK，证明Rt△ABO≌Rt△KDC，可得S =1，从而可得平行四边形OBCD的面积是4−1−1=2．
△CKD
【详解】解：如图，过C作CK⊥y轴于K，而AB⊥x轴，
∴四边形ACKO是矩形，
∴S =4，∠CKD=∠OAB=90°，AO=CK，
矩形ACKO
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∵四边形OBCD为平行四边形，
∴BO=CD，
∴Rt△ABO≌Rt△KDC，
1
∵S = ×2=1，
△ABO 2
∴S =1，
△CKD
∴平行四边形OBCD的面积是4−1−1=2；
故答案为：2
【点睛】本题考查的是反比例函数k值的几何意义，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记反
比例函数k的几何意义是解本题的关键．
3．（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，顶点A、B分别在反比例函数
2 4 OA
y=− (x<0)与y= (x>0)的图象上，则 的值为 ．
x x OB
√2
【答案】
2
【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，根据反比例函数k的几何意义，相似三角
形的判定和性质，得△BDO∽△OCA，则
S
△ACO=
(OA) 2
=
1
，求出
OA
，即可．
S OB 2 OB
△BDO
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【详解】过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
2 4
∵A、B分别在反比例函数y=− (x<0)与y= (x>0)的图象上，
x x
∴|OA×CO|=|−2|=2，|OD×BD|=|−4|=4，
∴S =2，S =4，
△ACO △BDO
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠OBD=∠AOC，
在△ACO和△ODB中，
∴¿，
∴△BDO∽△OCA，
∴
S
△ACO=
(OA) 2
=
1
，
S OB 2
△BDO
OA √2
∴ = ．
OB 2
√2
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查反比例函数和相似三角形的知识，解题的关键是掌握反比例函数k的几何意义，相似三角
形的判定和性质．
2
4．（2022·湖南郴州·校考模拟预测）如图，在反比例函数y= (x>0)的图象上，有点P ,P ,P ,P 它们
x 1 2 3 4
2
的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴y= 的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左
x
到右依次为S ,S ,S ，则S +S +S = ．
1 2 3 1 2 3
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3
【答案】
2
【分析】根据反比例函数的几何意义，可知图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P 向x轴、y轴引垂
1
线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，据此作答．
2
【详解】解：∵反比例函数y= (x>0)的图象上，有点P ,P ,P ,P 它们的横坐标依次为1，2，3，4．
x 1 2 3 4
( 2) ( 1)
∴可得点P 、P 、P 、P 坐标分别为：(1,2)，(2,1)， 3, ， 4, ．
1 2 3 4 3 2
∵S =1×(2−1)=1，
1
( 2) 1
S =1× 1− = ，
2 3 3
(2 1) 1
S =1× − = ，
3 3 2 6
1 1 3
∴S +S +S =1+ + = ．
1 2 3 3 6 2
3
故答案为： ．
2
k
【点睛】本题主要考查了反比例函数y= 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得
x
矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几
何意义．
4
5．（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数y= 的图像交于A，B
x
两点，点C在x轴上，且AC=OA，则△ABC的面积为 ．
【42淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】8
1
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，根据反比例函数k的意义，得出S = ×4=2，根据反比例函数图
△AOD 2
象与正比例函数图象中心对称的性质得出AO=BO，由AC=OA，得出OD=DC，进而得出
1 1
S = S = S ，即可求解．
△AOD 2 △AOC 4 △ABC
【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥x轴于点D，
4
∵正比例函数与反比例函数y= 的图像交于A，B两点
x
1
∴AO=BO，S = ×4=2
△AOD 2
1
∴S = S
△AOC 2 △ABC
又∵AC=OA，AD⊥x轴，
∴OD=DC，
1 1
∴S = S = S
△AOD 2 △AOC 4 △ABC
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∴S =4S =8，
△ABC △AOD
故答案为：8．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的性质，反比例函数k的几何意义，三线合一的性质，熟练掌
握以上知识是解题的关键．
16
6．（2023·广东佛山·佛山市汾江中学校考三模）如图，A是函数y= (x>0)图象上的一点，过点A作y轴
x
的垂线，垂足为C，过点A作x轴的垂线，垂足为B，则四边形ABOC的面积是 ．
【答案】16
【分析】直接根据反比例函数比例系数k的几何意义求解．
16
【详解】解：∵A是函数y= (x>0)图象上的一点，AC⊥CO,AB⊥BO
x
又CO⊥BO，
∴四边形ABOC是矩形
∴矩形ABOC的面积S=AC⋅AB=|xy|=|k|=16．
故答案为：16．
k
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y= 图象中任取一点，过这一个点向
x
x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
5
7．（2023·江苏南京·统考二模）如图，正比例函数y=kx与反比例函数y= 的图像交于A,B两点．若
x
AC∥x轴，BC∥y轴，则S = ．
△ABC
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【答案】10
【分析】根据正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，得到A,B两点关于原点对称，设点
( 5) ( 5)
A a, ，则：B −a,− ，进而求出点C的坐标，利用面积公式进行求解即可．
a a
5
【详解】解：∵正比例函数y=kx与反比例函数y= 的图像交于A,B两点，
x
∴A,B两点关于原点对称，
( 5) ( 5)
设：A a, ，则：B −a,− ，
a a
∵AC∥x轴，BC∥y轴，
( 5)
∴C −a, ，∠ABC=90°，
a
10
∴BC= ，AC=2a，
a
1 1 10
∴S = AC⋅BC= ⋅2a⋅ =10；
△ABC 2 2 a
故答案为：10．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．熟练掌握正比例函数与反比例函数的图象均关于原点
对称，是解题的关键．
12 4
8．（2023·江苏徐州·校考三模）如图，点A、点D分别在反比例函数y=− 、y= 的图象上，点B、C
x x
在x轴上，若四边形ABCD为正方形，点D在第一象限，则点D的坐标是 ．
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【答案】D(1,4)
【分析】设线段AD与y轴相交于点M，根据反比例函数系数k的即可意义可得S =4，S =12，
▭OCDM ▭OBAM
再根据ABCD为正方形，即可求出CD，从而得到答案．
【详解】解：设线段AD与y轴相交于点M，如图所示，
12 4
反比例函数分别为y=− 、y= ，
x x
∴S =4，S =12，
▭OCDM ▭OBAM
∴S =S +S =4+12=16，
□ABCD ▭OCDM ▭OBAM
∵四边形ABCD为正方形，
∴CD=4，
即点D的纵坐标为4，
4
把y=4代入y= 得：x=1，
x
∵点D在第一象限，
∴点D的坐标是D(1,4)，
故答案为：D(1,4)．
【点睛】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义．掌握过反比例函数)图象上任意一点作x轴、y轴的垂
线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为是|k|解题关键．
12
9．（2023·陕西西安·校考三模）如图，点A是反比例函数y=− (x<0)图象上一点，连接OA．过点A作
x
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AB⊥y轴于点B，C为AB的中点，连接OC并延长交反比例函数的图象于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，
则四边形BCDE的面积为 ．
【答案】3
1
【分析】根据反比例函数k的几何意义可得S =6，S =6，根据中线的性质得出S = S =3，
△AOB △DOE △BOC 2 △AOB
进而即可求解．
12
【详解】解：∵点A是反比例函数y=− (x<0)图象上一点，AB⊥y轴于点B，
x
|−12|
∴S = =6，
△AOB 2
∵C为AB的中点，
1
∴S = S =3，
△BOC 2 △AOB
12
∵点D是反比例函数y=− (x<0)图象上一点，DE⊥y轴于点E，
x
∴S =6，
△DOE
∴四边形BCDE的面积为S −S =6−3=3，
△DOE △BOC
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
k
10．（2023·河北·统考二模）如图，A，B是双曲线y= 上的两点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂
x
足为C，连接OA，过点B作BE⊥x轴，垂足为E.若△ADO的面积为1，D为OB的中点.
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（1）四边形DCEB的面积为 ；
（2）k的值为 ；
（3）若A，B两点的横坐标恰好是方程x2−3x+2=0的两个不同实根，则点E到直线OA的距离为
.
8 2 16√73 16
【答案】 1 /2 / √73
3 3 73 73
|k|
【分析】（1）根据反比例函数比例系数k的几何意义可得S =S = ，进而可得答案；
△AOC △BOE 2
S 1
（2）先证明△ODC∼△OBE，然后根据相似三角形的性质结合D为OB的中点可得 △ODC = ，得出
S 4
△OBE
1 4
S = ，进而可得S = ，即可求解；
△COD 3 △AOC 3
（3）解方程求出方程的两根，进而可得A、B两点的坐标，然后连接AE，作EM⊥OA于M，利用等积法
求解即可得出答案.
|k|
【详解】解：（1）根据题意得：S =S = ，
△AOC △BOE 2
∴四边形DCEB的面积=△ADO的面积=1，
故答案为：1；
（2）∵AC⊥x轴，BE⊥x轴，
∴AC∥BE，
∴△ODC∼△OBE，
∵D为OB的中点，
OD 1
∴ = ，
OB 2
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S 1
∴ △ODC = ，
S 4
△OBE
∴四边形DCEB的面积=3S =1，
△CDO
1
∴S = ，
△COD 3
4
∴S = ，
△AOC 3
|k|
∵S = ,k>0，
△AOC 2
8
∴k= ；
3
8
故答案为： ；
3
（3）解方程x2−3x+2=0，得x =1,x =2，
1 2
( 8) ( 4)
∴A 1, ,B 2, ，
3 3
∴OE=2,AC=
8
，AO=
√
12+
(8) 2
=
√73
，
3 3 3
连接AE，作EM⊥OA于M，
1 1
则S = EO⋅AC= AO⋅EM，
△AOE 2 2
8
2×
3 16√73
∴EM= = ，
√73 73
3
16√73
故答案为： .
73
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【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定和性质、解一元二次方程以及等面积
法求三角形的高等知识，具有一定的综合性，熟练掌握相关知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键.
11．（2023·湖南长沙·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，点C在
1
反比例函数y= （x>0）的图像上，且四边形OACB为矩形，则下列说法正确的是 ．（填序号）
x
①当点B，C不动，点A在x轴上运动时，△ABC的面积不变；
②当点A，C不动，点B在y轴上运动时，△ABC的面积不变：
③当点A，B不动，点C在反比例函数的图像上运动时，△ABC的面积不变．
【答案】 /
①②②① 1
【分析】设A到BC的距离为h，由S = BC·h，于是得到要使ΔABC的面积不变，则BC的长度不变，
ΔABC 2
1
A到BC的距离h不变，设B到AC的距离为h ，由S = AC·h ，于是得到要使ΔABC的面积不变，则
1 ΔABC 2 1
AC的长度不变，B到AC的距离为h ，于是得到结论．
1
【详解】解：设A到BC的距离为h，
∵点B，C不动
∴BC的长度不变
∵BC与x轴平行
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∴A到BC的距离h不变
1
∵S = BC·h，
ΔABC 2
∴不管点A怎么移动，ΔABC的面积就不变，故①正确，
同理②正确
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义
是解题的关键．
题型 16 已知图形面积求比例系数
k
1．（2023·河北沧州·校考三模）如图，矩形OABC与反比例函数y = 1（k 是非零常数，x>0）的图象交
1 x 1
k
于点M，N，与反比例函数y = 2（k 是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形
2 x 2
OMBN的面积为3，则k −k 的值为 ．
1 2
【答案】−3
【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
【详解】解：∵ y 、y 的图象均在第一象限，
1 2
∴k >0，k >0，
1 2
k
∵点M，N均在反比例函数y = 1（k 是非零常数，x>0）的图象上，
1 x 1
1
∴S =S = k ，
△OAM △OCN 2 1
k
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y = 2（k 是非零常数，x>0）的图象上，
2 x 2
【51淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴S =k ，
矩形OABC 2
∴S =S −S −S =3，
四边形OMBN 矩形OABC △OAM △OCN
∴k −k =3，
2 1
∴k −k =−3，
1 2
故答案为：−3．
k
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y= 图象中任取一点，过这
x
一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围城的矩形的面积是定值|k|．
k
2．（2023·广东东莞·校联考一模）如图，点A是反比例函数y= 图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，
x
点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为4，则k= ．
【答案】−4
【分析】本题考查反比例函数k的几何意义．根据题意可得出四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的
面积为4，可求出直角三角形AOB的面积为2，再根据反比例函数k的几何意义求出答案．
【详解】解：连接OA，
∵AB⊥y，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵平行四边形ABCD的面积为4，即，AB⋅OB=4，
1 1
∴S = AB•OB=2= |k|，
△AOB 2 2
∴k=−4或k=4（舍去）
故答案为：−4．
【52淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
k 5
3．（2023·安徽亳州·统考三模）如图，点A是函数y= (k<0，x<0)图象上一点，点B是函数y= (x>0)
x x
图象上一点，点C在x轴上，连接AB，CA，CB．若AB∥x轴，S =4，则k= ．
△ACB
【答案】−3
1 5 1
【分析】连接OA、OB、CM，根据反比例函数系数k的几何意义可得S = ×|5|= ，S = |k|，
△OBM 2 2 △OAM 2
1 5 1 5
由平行线的性质可得S =S = |k|，S =S = ，从而得到 |k|+ =4，最后进行计算即可．
△OAM △CAM 2 △BOM △BCM 2 2 2
【详解】解：连接OA、OB、CM，
k 5
∵点A是函数y= (k<0，x<0)图象上一点，点B是函数y= (x>0)图象上一点，
x x
1 5 1
∴S = ×|5|= ，S = |k|，
△OBM 2 2 △OAM 2
又∵AB∥x轴，
1 5
∴S =S = |k|，S =S = ，
△OAM △CAM 2 △BOM △BCM 2
∵S =4，
△ACB
1 5
∴ |k|+ =4，
2 2
【53淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得：k=±3，
又∵k<0，
∴k=−3，
故答案为：−3．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行线的性质，反比例函数系数k的几何意义：反比例函
数上任意一点作x轴或y轴的垂线，与坐标原点构成的三角形的面积等于k的绝对值的一半，理解反比例函数
系数k的几何意义是正确解答的关键．
k
4．（2023·河北石家庄·统考二模）如图，A，B是双曲线y= 上的两点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点
x
D，垂足为C，连接OA，过点B作BE⊥x轴，垂足为E．若△ADO的面积为1，D为OB的中点．
（1）四边形DCEB的面积为 ；
（2）k的值为 ；
（3）若A，B两点的横坐标恰好是方程x2−3x+2=0的两个不同实根，则点E到直线OA的距离为
．
8 2 16√73 16
【答案】 1 /2 / √73
3 3 73 73
【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义得到△AOC与△BOE面积相等，进而得到四边形CDBE面积与
△AOD面积相等，即可得到结果；
（2）证明△COD∽△EOB，根据D为OB中点，得到面积之比为1：4，求出△COD面积，得到△BOE面
积，即可确定出k的值；
（3）先根据因式分解法解一元二次方程，确定点A的坐标，根据勾股定理可得OA的长，最后根据三角形面
积公式可得结论．
k
【详解】解：（1）∵A、B是双曲线y= 上的两点，AC⊥x轴，BE⊥x轴，
x
∴S =S ，即S +S =S +S ，
△AOC △BOE △AOD △COD △COD 四边形CDBE
∵S =1，
△AOD
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∴S =S =1，
四边形CDBE △AOD
故答案为：1；
（2）∵AC⊥x轴，BE⊥x轴，
∴AC∥BE，
∴△COD∽△EOB，
∵D为OB中点，
∴S ：S =1：4，
△COD △BOE
∴S ：S =1：3，
△COD 四边形CDBE
1
∴S = ，
△DOC 3
4
∴S = ，
△BOE 3
8
∴k= ；
3
8
故答案为： ；
3
（3）∵x2−3x+2=0，
∴(x−1)(x−2)=0，
∴x =1，x =2，
1 2
∴点A的横坐标为1，点B的横坐标为2，
8
当x=1时， 3 8，
y= =
1 3
( 8)
∴A 1， ，
3
∴OA=
√
12+
(8) 2
=
√73
，
3 3
连接AE，设点E到OA的距离为h，
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1 8 1 1
∴S = ×2× = AO⋅h= AO•h，
△OAE 2 3 2 2
16√73 16√73
∴h= ，即点E到直线OA的距离是 ．
73 73
16√73
故答案为： ．
73
【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特点，相似三角形的判定和
性质，解一元二次方程，勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解本题的关键．
5．（2023·山西大同·统考模拟预测）如图在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对角线交于原点O，
k
顶点A,B在反比例函数y= 的图象上，若CD垂直x轴于点D，平行四边形的面积为8，则k= ．
x
【答案】−4
1
【分析】根据平行四边形的性质得S = S ，再由反比例函数比例系数k的几何意义即可求得k的
△ODC 4 ▱ABCD
值．
【详解】解：∵平行四边形ABCD的对角线交于原点O，
1
∴S = S =2，
△ODC 4 ▱ABCD
∵CD垂直x轴，
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1
∴ |k|=S =2，
2 △ODC
∵k<0，
∴k=−4，
故答案为：−4．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数比例系数k的几何意义，掌握这两个知识是关键．
3 k 3
6．（2023·安徽合肥·校考三模）已知反比例函数y = ,y = 在第一象限的图象如图，过y = 图象上的任
1 x 2 x 1 x
k
意一点A，作x轴的平行线交y = 图象于点B，交y轴于点C，若S =3，则k的值为 ．
2 x △ABO
【答案】9
1 3
【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S = |k|，S = ，再利用
△OBC 2 △OAC 2
1 3
S −S =S 得到 |k|− =3，然后解关于k的绝对值方程即可．
△OBC △OAC △AOB 2 2
【详解】解：∵AB∥x轴，
1 1 3
∴S = |k|，S = ×3= ，
△OBC 2 △OAC 2 2
∵S −S =S ，
△OBC △OAC △AOB
1 3
∴ |k|− =3，
2 2
而k>0，
∴k=9．
故答案为：9．
k
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y= 图象中任取一点，过这一个点
x
向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
7（2023·陕西商洛·校考三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OB在x轴的负
【57淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
k
半轴上，顶点A在反比例函数y= （x<0）的图象上，若△ABC的面积为4，则k的值是 ．
x
【答案】−4
1
【分析】过点A作AF⊥OB交x轴于F，利用等腰直角三角形性质可得AF=OF=FB= OB，根据
2
1
S = OB⋅AF=OF⋅AF=2S =4，求得△AFO的面积，应用|k|的几何意义求k．
△AOB 2 △AFO
【详解】解：如图，过点A作AF⊥OB交x轴于F，
∵∠BAO=90°，OA=AB，AF⊥OB，
1
∴AF=OF=FB= OB，
2
1
∴S = OB⋅AF=OF⋅AF=2S =4，
△AOB 2 △AFO
∴S =2
△AFO
k
∵顶点A在反比例函数y= （x<0）的图象上
x
∴|k|=2S =2×2=4，
△AFO
k
∵反比例函数y= （x<0）的图象在二象限，
x
∴k=−4
故答案为：−4．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，知道
|k|=2S 是解题的关键．
△AFO
【58淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
k
8（2023·内蒙古·二模）如图，反比例函数y= （k≠0）与矩形OABC一边交于点E，且点E为线段AB中点，
x
若△ODE的面积为3，则k的值为 ．
【答案】4
【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出D或E的横纵坐
标的积即是反比例函数的比例系数．
【详解】解：∵四边形OABC是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
( k)
设B点的坐标为(a，b)，则D的坐标为 a， ，
a
∵E为线段AB的中点，
(1 )
∴E a，b ，
2
∵D、E在反比例函数的图象上，
1
∴ ab=k，
2
∵S =S ❑ −S −S −S
△ODE 矩形 OCBA △AOE △OCD △BDE
1 1 1 1 ( k)
=ab− k− k− ⋅ a⋅ b− =3，
2 2 2 2 a
解得：k=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函
数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式，本题属于中等题型．
2
9．（2023·广东深圳·校考三模）在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y= (x>0)图象上的一点，如图，
x
k
将线段OA向左平移，平移后的对应线段为O' A'，点A'落在反比例函数y= 的图象上，已知线段OA扫过的
x
面积为5，则k= ．
【59淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】−3
【分析】设点A
(2
,a
) ，根据平移的性质可得A'(k
,a
)
，根据线段OA扫过的面积为5和平行四边形的性质
a a
2−k
可得 ×a=5，即可求得．
a
【详解】解：设点A
(2
,a
) ，根据平移的性质可得A'(k
,a
)
，
a a
2 k 2−k
则A A'= − = ，
a a a
2−k
故线段OA扫过的面积为 ×a=5，
a
解得2−k=5，
∴k=−3，
故答案为：−3．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，平移的性质，解题的关键是通过平行四边形的
面积公式进行求解．
6 k
10．（2023·江苏南通·统考二模）如图，已知反比例函数y=− (x<0)和y= (x>0)的图象分别经过点A、
x x
B，线段AB交x轴于点C，交y轴于点D，以AB为斜边在AB上方作Rt△AEB，使AE∥x轴，BE交x轴
EF 3 AD 1
于点F．若 = , = ，则k的值为 ．
FB 2 CB 2
【60淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】−16
AC EF 3 AD 1
【分析】由平行线等分线段定理可得 = = ，设AC=3k,BC=2k，则AB=5k，根据 = 可得
CB FB 2 CB 2
AG AD 1
AD=k，进而得到BD=4k；再根据平行线等分线段定理可得 = = ；设A(a,b)，则
EG BD 4
2 2 ( 2 )
AG=−a,EF=b进而得到EG=4 AG=−4a，FB= EF= b，可知B −4a,− b ；再根据反比例函数
3 3 3
( 2 )
图象的性质可得ab=−6、k=−4a× − b ，最后进行计算即可解答．
3
【详解】解： 如图：由题意可得：AE∥CF
AC EF 3
∴ = = ，
CB FB 2
设AC=3k,BC=2k，则AB=5k
AD 1
∵ =
CB 2
∴AD=k
∴BD=AB−AD=4k
由题意可得：DG∥BE
AG AD 1
∴ = =
EG BD 4
设A(a,b)，则AG=−a,EF=b
2 2
∴EG=4 AG=−4a，FB= EF= b
3 3
( 2 )
∴B −4a,− b
3
6 k
∵反比例函数y=− (x<0)和y= (x>0)的图象分别经过点A、B
x x
( 2 )
∴ab=−6， k=−4a× − b
3
8 8
∴k= ab= ×(−6)=−16．
3 3
【61淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故答案为−16．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像图象的性质、平行线等分线段定理等知识点，根据平行线等分线段
定理得到系列比例线段是解答本题的关键．
k
11．（2023·内蒙古包头·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A,B在反比例函数y= (k>0)第一象
x
限的图象上（点B在点A的右侧），过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接
AB，若OC=CD，四边形ABDC的面积为6，则k的值为 ．
【答案】8
( k) ( k )
【分析】由AC⊥x，BD⊥x，可知四边形ABDC是梯形，再根据OC=CD，设点A a, ，B 2a, ，
a 2a
( k k)
k k a +
则AC= ，BD= ，CD=a，再利用梯形的面积公式可得 2a a ，即可求出结果．
a 2a =6
2
【详解】解：∵AC⊥x，BD⊥x，
∴∠ACD=∠DBC=90°，
∴AC∥BD，
∴四边形ABDC是梯形，
∵OC=CD，
∴OD=2OC，
( k) ( k ) k k
设点A a, ，B 2a, ，则AC= ，BD= ，CD=a，
a 2a a 2a
【62淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
( k k)
a +
∴ 2a a ，解得：k=8，
=6
2
故答案为：8．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，由梯形的面积得到关于
k的方程是解题的关键．
题型 17 一次函数图象与反比例函数图象综合
k
1．（2023·湖南邵阳·统考一模）在同一坐标系中，函数y= 和y=kx+2的图象大致是（ ）
x
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数和反比例函数图象的性质进行判断即可．
【详解】解：∵两个函数的比例系数均为k，
∴两个函数图象必有交点，
y=kx+2交y轴的正半轴，符合这两个条件的选项只有选项C，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象的综合判断，解题的关键是熟练掌握一次函数和反比例
函数的性质．
2．（2023·广东广州·统考二模）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则反比例函数
a
y= (a≠0)和一次函数y=bx+c在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）．
x
A． B． C． D．
【答案】C
【63淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向上，得出a>0，与y轴交点在y轴的负半轴，得
b
出c<0，利用对称轴x＝− >0，得出b<0，然后对照四个选项中的图象判定即可．
2a
【详解】解：因为二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，得出a>0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出
b
c<0，利用对称轴x＝− >0，得出b<0，
2a
a
所以一次函数y=bx+c经过二、三、四象限，反比例函数y= 经过一、三象限．
x
a
A. 一次函数y=bx+c经过一、三、四象限，反比例函数y= 经过二、四象限，不符合题意；
x
a
B. 一次函数y=bx+c经过一、二、三象限，反比例函数y= 经过二、四象限，不符合题意；
x
a
C. 一次函数y=bx+c经过二、三、四象限，反比例函数y= 经过一、三象限，符合题意；
x
a
D. 一次函数y=bx+c经过一、三、四象限，反比例函数y= 经过一、三象限，不符合题意；
x
故选：C．
【点睛】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图象，熟记一次函
数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键．
题型 18 一次函数与反比例函数交点问题
1
1．（2023·浙江·模拟预测）若函数y=kx(k>0)与函数y= 的图象相交于A,C两点，AB垂直x轴于B，则
x
△ABC的面积为（ ）
A．1 B．2 C．k D．k2
【答案】A
【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S
1
是个定值，S =2S = |k|.
△ABC △AOB 2
【详解】解：如图：
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设点A的坐标为(x,y)，则xy=1，
1 1
故△ABO的面积为 xy= ，
2 2
∵△ABO与△CBO同底等高，
∴S =2S =1，
△ABC △ABO
故选：A．
k
【点睛】主要考查了反比例函数y= 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形
x
面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义，
1
图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S= |k|．
2
2．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）如图，在平面直角坐标系，一次函数y =kx+b与
1
m
y = (m>0)的函数图象交于A(−2，a)和B(1，b)两点，当y 1 B．−21
【答案】C
【分析】根据图找到二次函数大于一次函数的部分即可得出答案．
【65淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
m
【详解】解：∵一次函数y =kx+b与y = (m>0)的函数图象交于A(−2，a)和B(1，b)两点，
1 2 x
∴当y 0）与双曲线y=− (x<0)交于点A，与直
x
线y=2x+4交于点B，当△OAB面积最小时，a的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
1 4
【分析】求得x 、x ，得到AB= a−2+ ，利用三角形面积公式列式，根据二次函数的性质即可求解．
A B 2 a
【详解】解：∵y=a，
4
∴a=− ，a=2x +4，
x B
A
4 1
∴x =− ，x = a−2，
A a B 2
【67淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1 4
∴AB= a−2+ ，
2 a
∴S =
1(1
a−2+
4)
⋅a=
1
a2−a+2=
1
(a2−4a+4−4)+2=
1
(a−2) 2+1，
△OAB 2 2 a 4 4 4
1
∵ >0，
4
∴当a=2时，S 有最小值，最小值为1，
△OAB
故选：B．
【点睛】本题是反比例函数和一次函数的综合题，利用函数的解析式表示点的坐标，并表示线段的长，解题
的关键是利用二次函数的性质解决问题．
k
6．（2020·四川巴中·统考二模）如图，直线y=−x+b与反比例函数y= 的图象相交于A(1,4)，B(4,n)
x
两点，延长AO交反比例函数的图象于点C，连接OB．
(1)求k和b的值；
k
(2)根据图象直接写出 −(−x+b)>0的解集；
x
2
(3)在y轴上是否存在一点P，使得S = S ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
△PAC 5 △AOB
【答案】(1)b=5，k=4；
(2)x>4或00的解集为x>4或00)的图
1 2 x
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1 1
象交于A(6，− )，B( ，n)两点，与y轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线E，
2 2
DE与y轴交于点F．
(1)求y 与y 的解析式；
1 2
(2)观察图象，直接写出y 0)
1 2 2 x
1
(2) 0)的图象交于A(6,− )，B( ,n)两点，
1 2 x 2 2
∴ ¿，¿，
解得：¿，¿，
13 3
∴ y 与y 的解析式为：y =x− ，y =− (x>0)；
1 2 1 2 2 x
（2）从图象上可以看出，当x在AB两点之间时，y 0），y=−x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
x
当△ABC的面积为3时，求b的值：
(3)若函数y=x2−2（x≥m）的图象记为W ，将其沿直线x=m翻折后的图象记为W ．当W ，W 两部分组
1 2 1 2
成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)函数y=x+2的图象上不存在“等值点”，函数y=x2−x的图象上有两个“等值点”(0,0)或
(2,2)
(2)b的值为−2√3或4√3
9
(3)m<− 或−10)的图象上有两个“等值点”A(√3,√3)，同理求出
x
1 1 1 1 1
B( b, b)，根据△ABC的面积为3可得 × |b|×|√3− b|=3，求解即可；
2 2 2 2 2
（3）先求出函数y=x2−2的图象上有两个“等值点”(−1,−1)或(2,2)，再利用翻折的性质分类讨论即可．
【详解】（1）解：在y=x+2中，令x=x+2，得0=2不成立，
∴函数y=x+2的图象上不存在“等值点”；
在y=x2−x中，令x2−x=x，
解得：x =0，x =2，
1 2
∴函数y=x2−x的图象上有两个“等值点”(0,0)或(2,2)；
3 3
（2）解：在函数y= (x>0)中，令x= ，
x x
解得：x=√3，
∴A(√3,√3)，
在函数y=−x+b中，令x=−x+b，
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1
解得：x= b，
2
1 1
∴B( b, b)，
2 2
∵BC⊥x轴，
1
∴C( b,0)，
2
1
∴BC= |b|，
2
∵△ABC的面积为3，
1 1 1
∴ × |b|×|√3− b|=3，
2 2 2
当b<0时，b2−2√3b−24=0，
解得b=−2√3，
当0≤b<2√3时，b2−2√3b+24=0，
∵Δ=(−2√3) 2 −4×1×24=−84<0，
∴方程b2−2√3b+24=0没有实数根，
当b≥2√3时，b2−2√3b−24=0，
解得：b=4√3，
综上所述，b的值为−2√3或4√3；
（3）解：令x=x2−2，
解得：x =−1，x =2，
1 2
∴函数y=x2−2的图象上有两个“等值点”(−1,−1)或(2,2)，
①当m<−1时，W ，W 两部分组成的图象上必有2个“等值点”(−1,−1)或(2,2)，
1 2
W :y=x2−2(x≥m)，
1
W :y=(x−2m) 2−2(x2时，W ，W 两部分组成的图象上没有“等值点”，
1 2
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9
综上所述，当W ，W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m<− 或−10)的图象如图（2），该函数图象上是否存在点C，使d(O,C)=2？若存在，求出其坐标；
x
若不存在，请说明理由；
【拓展运用】
(3)函数y=x2−4x+6(x≥0)的图象如图（3），D是图象上一点，求d(O,D)的最小值及对应的点D的坐标．
【答案】(1)①4，②(1,4)
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(2)不存在，理由见解析
15 3 9
(3)d(O,D)的最小值为 ，点D坐标为（ ， ）
4 2 4
【分析】（1）①根据题目所给“折线距离”的定义，即可解答；②根据题意可得
d(O,D)=|x−0|+|y−0|=|x−0|+|−2x+6|，即可求解；
|3|
（2）根据题意可得：d(O,C)=|m|+ =2得出m2−2m+3=0，再根据一元二次方程根的判别式，即可得
m
出结论；
（3）根据n2−4n+6=(x−2) 2+2>0可得d(O,D)=n2−3n+6= ( n− 3) 2 + 15 ，即可得出结论．
2 4
【详解】（1）解：①∵O(0,0)，A(−3,1)，
∴d(O,A)=|−3−0|+|1−0|=4，
故答案为：4；
②∵y=−2x+6(0≤x≤3)，
∴y≥0
∴d(O,D)=|x−0|+|y−0|=|x−0|+|−2x+6|=−x+6=5，
解得：x=1；
∴B(1,4)，
故答案为：(1,4)；
( 3)
（2）解：不存在，理由如下：设点C m, (m>0)，
m
∵d(O,C)=2，
|3|
∴|m|+ =2，
m
∵m>0，
3
∴m+ =2，
m
即m2−2m+3=0
∵Δ<0，
∴此方程没有实数根
∴不存在符合条件的点C．
（3）解：设点D为(n,n2−4n+6)(n≥0)，
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∴d(O,D)=|n|＋|n2−4n+6|，
∵n2−4n+6=(x−2) 2+2>0，
∴d(O,D)=n+n2−4n+6
=n2−3n+6
( 3) 2 15
= n− + ，
2 4
3 15
∴当n= 时，d(O,D)的最小值为 ，
2 4
(3 9)
此时点D坐标为 , ．
2 4
【点睛】本题主要考查了一次函数，反比例函数，二次函数的应用，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握
化简绝对值的方法，以及二次函数的性质．
题型 20 反比例函数的实际应用
1．（2023·河北保定·统考一模）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积v（单位：m3 )变化时，气体
的密度ρ（单位：kg/m3 )随之变化．已知密度ρ与体积v是反比例函数关系，它的图象如图所示．则正确的
是（ ）
7
A．函数解析式为ρ= B．容器内气体的质量是5v
v
C．当ρ≤8kg/m3时，v≥1.25m3 D．当ρ=4kg/m3时，v=3m3
【答案】C
【分析】利用待定系数法确定反比例函数的解析式，再逐一判定即可．
k
【详解】解：设ρ= ，
v
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k k
将(2,5)代入ρ= 得5= ，
v 2
解得k=10，
10
∴ρ= ，故A选项错误，不符合题意；
v
v是体积单位，故B选项说法不符合题意；
10
将V =8代入ρ= 得ρ=1.25．
8
∴当ρ≤8kg/m3时，v≥1.25m3正确，故C选项符合题意；
10
将ρ=4kg/m3代入ρ= 得v=2.5m3，故D选项错误，不符合题意．
v
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据题意确定反比例函数的解析式，难度不大．
2．（2023·山西晋中·校联考模拟预测）在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，
即所做的功一定时，功率P（w）与做功所用的时间t（s）成反比例函数关系，图象如图所示，下列说法不
正确的是（ ）
60000
A．P与t的函数关系式为P= B．当t=5s时，P=12000w
t
C．当t>5s时，P>12000w D．p随t的增大而减小
【答案】C
【分析】求得解析式，进而根据反比例函数的图象，即可求解．
【详解】解：功率P（w）与做功所用的时间t（s）成反比例函数关系，
k
设解析式为P= ，
t
∵过点(15,4000)，
∴k=60000，
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60000
∴解析式为P= ，故A选项正确，不合题意，
t
当t=5s时，P=12000w，故B选项正确，不合题意，
当t>5s时，P<12000w，故C选项不正确，符合题意，
∵k=60000>0
∴在第一象限，p随t的增大而减小，故D选项正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】反比例函数的应用，关键是求得解析式．
3．（2023·河南新乡·统考三模）为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行
药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）成正
比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图象如图所示．
则下列说法不正确的是（ ）
3
A．药物燃烧时，y关于x的函数关系式为y= x(0≤x≤8)
4
B．药物燃烧4min时，才开始对杀灭病毒起效
C．从消毒开始，至少需要30min学生才能回到教室
D．本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为16min
【答案】D
【分析】A．用待定系数法求出函数解析式即可判断A正确，不符合题意；
3
B．把y=3代入y= x求出x的值即可判断B正确，不符合题意；
4
C．求出反比例函数解析式，把y=1.6代入反比例函数解析式，求出x的值，即判断C正确，不符合题意；
D．把y=3代入反比例函数解析式，求出x的值，即判断D错误，符合题意．
【详解】解：A．设药物燃烧时，y关于x的函数关系式为y=kx(k≠0)，把(8,6)代入得：
8k=6，
3
解得：k= ，
4
3
∴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为y= x(0≤x≤8)，故A正确，不符合题意；
4
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3 3
B．把y=3代入y= x得： x=3，
4 4
解得：x=4，
∴药物燃烧4min时，才开始对杀灭病毒起效，故B正确，不符合题意；
k' k'
C．设消毒药物燃烧结束后，室内空气中的含药量y与时间x的函数解析式为y= ，把(8,6)代入得：6= ，
x 8
解得：k'=48，
48
∴y= ，
x
48
把y=1.6代入得：1.6= ，
x
解得：x=30，
∴从消毒开始，至少需要30min学生才能回到教室，故C正确，不符合题意；
48
D．把y=3代入得：3= ，
x
解得：x=16，
16−4=12(min)，
∴本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12min，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的实际应用，求一次函数和反比例函数的解析式，从函数图
象中获取信息，解题的关键是数形结合，求出一次函数和反比例函数解析式．
4．（2023·山西长治·统考模拟预测）学校科技兴趣小组为探索如图所示的电路中电压U(V)、电流I(A)、电
U
阻R(Ω)三者之间的关系，测得数据如下，根据数据猜想得到三者之间为：I= ．由此可得，当电阻
R
R=110Ω时，电流I= A．
R(Ω) 100 200 220 400
I(A) 2.2 1.1 1 0.55
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【答案】2
【分析】根据题意和表格中的数据，可以得到U的值是一个定值，然后将R=110代入函数解析式，求出I的
值即可．
【详解】解：由题意可得，
U
I= ，由表格可知：当R=220时，I=1，
R
U
∴ I= ，
220
解得U=220，
220
∴ I= ，
R
220
当R=110时，I= =2，
110
故答案为：2．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出U的值．
5．（2023·广东江门·江门市怡福中学校考一模）如图是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中
10
线段PA是竖直高度为6米的平台，PO垂直于水平面，滑道分为两部分，其中AB段是双曲线y= 的一部
x
分，BCD段是抛物线的一部分，两滑道的连接点B为抛物线的顶点，且B点的竖直高度为2米，当甲同学滑
到C点时，距地面的距离为1米，距点B的水平距离CE为√2米．
(1)求滑道BCD所在抛物线的解析式；
(2)求甲同学从点A滑到地面上D点时，所经过的水平距离；
(3)在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道BCD落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于45°，
OP 1
且由于实际场地限制， ≥ ，请直接写出OD长度的取值范围．
OD 2
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1
【答案】(1)y=− (x−5) 2+2
2
16
(2) 米
3
(3)7≤OD≤12
【分析】（1）B点既在双曲线上，又在抛物线上，根据题中数据可求出B点坐标．又因为点B为抛物线的顶
点，且B点到地面的距离为2米，当甲同学滑到C点时，距地面的距离为1米，距点B的水平距离CF为2米．
据此可求出解析式；
（2）依据前面的解析式求出A、C的横坐标，它们的差距即为所经过的水平距离；
（3）先判断OD的最小值，再根据已知求出OD最大值即可．
【详解】（1）解：依题意，B点到地面的距离为2米，
10
设B点坐标为(x，2)，代入 y= ，
x
解得x=5，
∵C点距地面的距离为1米，距点B的水平距离CE为√2 米，
∴C的坐标 (√2+5，1)，
由题意得：B(5，2)，
故设滑道BCD所在抛物线的解析式为 y=a(x−5) 2+2，
将C的坐标(√2+5，1)代入，得 a(√2+5−5) 2+2=1，
1
解得：a=− ，
2
1
则 y=− (x−5) 2+2；
2
1
（2）令y=0，− (x−5) 2+2=0，
2
解得：x =7,x =3 (不合题意，舍去)，
1 2
10
又将 y=6 代入 y= ，
x
5
解得 x= ，
3
5 16
甲同学从点A滑到地面上D点时，所经过的水平距离为 7− = (米)．
3 3
【86淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（3）根据上面所得B (5，2)，D (7，0)时，此时∠BDO=45°，
则D点不可往左，可往右，则OD最小值为7，
OP 1
又∵ ≥ ，
OD 2
∴OD≤2OP=12，
∴7≤OD≤12．
∴OD长度的取值范围为7≤OD≤12．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二次
函数解决实际问题，体现了数学建模思想．
6．（2022·湖北咸宁·校考模拟预测）崇阳县白霓镇回头岭村近年大力打造乡村旅游文化品牌，农村特色美
食、农家乐、采摘园、观光养殖场等初具规模，2021年仅桑葚采摘园收入6万元，2022年桑葚产量比2021
年增加了1000千克，且每千克价格比2021年上涨了3元，故收入比2021年提高了50%．已知2021年每千
克价格不低于14元
(1)求2022年桑葚每千克的价格；
(2)村委会计划扩大桑葚采摘园的规模，将今年收入的30%投入扩建，已知新建采摘园每亩资金不低于1200
元，那么最多可以将桑葚采摘园的面积扩大多少？
【答案】(1)2022年桑葚每千克的价格为18元；
(2)最多可以将桑葚采摘园的面积扩大22.5亩．
【分析】（1）设2022年桑葚每千克的价格为x元，根据题意列得分式方程，解方程即可得解；
（2）设可以将桑葚采摘园的面积扩大m亩，新建采摘园每亩资金为t元，求得m关于t的反比例函数，利用
函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设2022年桑葚每千克的价格为x元，则2021年桑葚每千克的价格为(x−3)元，2021年
60000 (60000 )
桑葚产量为 千克，2022年桑葚产量为 +1000 千克，
x−3 x−3
(60000 )
由题意得 +1000 x=60000×(1+50%)，
x−3
解得x =18，x =15，
1 2
经检验，x =18，x =15，都是分式方程的解，
1 2
∵2021年每千克价格不低于14元，
∴x−3≥14，
∴x≥17，
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∴x=15应舍去，只取x=18，
答：2022年桑葚每千克的价格为18元；
（2）解：设可以将桑葚采摘园的面积扩大m亩，新建采摘园每亩资金为t元，
60000×(1+50%)×30% 27000
则m= = ，其中t≥1200，
t t
∵m是t的反比例函数，且27000>0，
∴m随t的增大而减少，
27000
∴当t=1200时，m有最大值，最大值为 =22.5，
1200
答：最多可以将桑葚采摘园的面积扩大22.5亩．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是正确找出题中的数量关系，列出
方程或函数关系式．
7．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）由物理学知识知道，在力F（单位：N）的作用下，物体会在力F的方
向上发生位移s（单位：m），力F所做的功W（单位：J）满足W =Fs，当W为定值时，F与s之间的函数
图象如图所示，点P(2,7.5)为图象上一点．
(1)试确定F与s之间的函数关系式．
(2)当F=5时，s是多少？
15
【答案】(1)F=
s
(2)3
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把F=5代入（1）所求解析式中求出s的值即可．
【详解】（1）解：∵W =Fs，
W
∴F= ，
s
∵点P(2,7.5)为图象上一点，
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W
∴7.5= ，
2
∴W =15，
15
∴F= ；
s
15 15
（2）解：在F= 中，当F=5时，5= ，
s s
解得s=3．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
8．（2023·辽宁抚顺·统考三模）某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量
的气体，当温度不变时：气球内气体的气压P(KPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)请写出这一函数的解析式；
(2)当气球内气体的体积为1m3时，气体的气压是多少？
(3)当气球内气体的气压为40KPa，气体的体积是多少？
(4)当气球内的气压大于150KPa时，气球将会爆炸，为了安全起见，气球内气体的体积应不小于多少？
60
【答案】(1)P=
V
(2)60KPa
(3)1.5m3
(4)0.4m3
【分析】（1）根据温度=气体的气压P×气体体积V，求温度，再确定P与V的函数关系式；
（2）把V =1代入（1）中的函数关系式求P即可；
（3）把P=40代入（1）中的函数关系式求V即可；
60
（4）依题意P≤150，即P= ≤150，解不等式即可．
V
k k
【详解】（1）设P= ，将A(0.5，120)代入可得120= ，解得k=60，
V 0.5
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60
∴P= ；
V
60
（2）当V =1时，P= =60；
V
当气球内气体的体积为1m3时，气体的气压是60KPa；
60
（3）当P=40时，40= ，解得V =1.5；
V
当气球内气体的气压为40KPa，气体的体积是1.5m3；
60
（4）当P≤150时，P= ≤150，解得V ≥0.4，
V
即气球内气体的体积应不小于0.4m3．
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题．
9．（2023·甘肃平凉·校考三模）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变
化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注
意力指标数y随时间x（分）变化的函数图像如图所示，当0≤x<10和10≤x<20时，图像是线段；当
20≤x≤40时，图像是双曲线的一部分，根据函数图像回答下列问题：
(1)当20≤x<40时，注意力指标数y与时间x之间的函数关系为______．
(2)当0≤x<10时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式；
(3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要21分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的
讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由．
960
【答案】(1)y= (20≤x<40)
x
(2)y=2.4x+24(0≤x<10)
(3)能，理由见解析
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据待定系数法求解即可；
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（3）要求21分钟注意力指标数都不低于36，则根据函数表达式求出注意力指数不低于36的x的取值范围
即可．
【详解】（1）解∶ 当20≤x≤40时，图像是双曲线的一部分，
k
设y= ，
x
k
则 =48，解得k=960，
20
960
∴y= (20≤x<40)；
x
960
（2）解：当x=40时，y= =24，
40
∴D(40,24)，A(0,24)，
当0≤x<10时，图像是线段，则该段函数是一次函数，
设y=mx+n，
则¿，解得¿，
∴y=2.4x+24(0≤x<10)；
（3）解：当y≥36时，
对于y=2.4x+24，则有2.4x+24≥36，解得x≥5，
960 960 80
对于y= ，则有 ≥36，解得x≤ ，
x x 3
80
∴当5≤x≤ 时，注意力指标数都不低于36，
3
80 2
而 −5=21 >21．
3 3
∴张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，运用待定系数法求解出相关函数表达式以及正确的
理解图像是解题的关键．
10．（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）小明家的电热水壶接通电源就进入自动程序，
开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，会沸腾1分钟后自动停止加热，水温开始下降，此时水温y
（℃）与通电时间x(min)成反比例关系，直至水温降至20℃时热水壶又自动开机加热，重复上述程序
（如图所示）．
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(1)求反比例图像CD段的函数关系式，并求自变量x的取值范围．
(2)小明治疗肠胃病需服用地衣芽狍杆菌活菌胶囊，它是活菌制剂，医嘱要求：至少在饭后半小时用温开水
（水温不能高于40℃）送服，若小明在早饭后立即通电开机，请问他至少需要等多长时间才可以直接用热
水壶的水送服活菌片？
500
【答案】(1)y= (5≤x≤25)
x
(2)他至少需要等37.5分钟才可以直接用热水显的水送服活菌片
【分析】（1）由题意得出点B坐标为(4，100)，点C坐标为(5，100)，再用待定系数法求出反比例函数的
解析式，令y=20时，求出x的值，即可得到x的范围，从而得解；
（2）根据题意可得从水温20∘C开机加热到100∘C、沸腾停止加热、再到水温下降回20∘C为一个周期共用时
25分钟，小于30分钟，算出水温第二次加热到40∘C所需时间与30分钟进行比较，也是小于30分钟，最后
算出水温第二次下降到40∘C所需时间，与30分钟进行比较即可得到答案．
100−20
【详解】（1）解：由题意可得：开机加热到100∘C所需时间为： =4（分钟），
20
∴点B坐标为(4，100)，点C坐标为(5，100)，
k
∴设反比例图像CD段的函数关系式y= ，
x
把点C(5，100)代入得：
k
100= ，
5
解得：k=500，
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500
∴y= ，
x
500
令y=20时，代入y= ，
x
解得：x=25，
则点C(25，20)
500
∴反比例图像CD段的函数关系式：y= (5≤x≤25)；
x
（2）解：由（1）可知：
∵从水温20∘C开机加热到100∘C、沸腾停止加热、再到水温下降回20∘C为一个周期共用时25分钟，25<30，
40−20
当水温第二次加热到40∘C所需时间为：25+ =26<30，
20
500
当水温第二次下降到40∘C所需时间为：25+ =37.5>30，
40
∴他至少需要等37.5分钟才可以直接用热水显的水送服活菌片．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，待定系数法求反比例函数的解析式，读懂题意，正确求出
反比例函数的解析式是解题的关键．
11．（2023·贵州贵阳·统考三模）山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，是中国面食
文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）．厨师将一定质量
的面团做成拉面时，面条的总长度y(m)是面条横截面面积x(mm2)的反比例函数，其图象经过A(4,32)，
B(a,80)两点（如图）．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求a的值，并解释它的实际意义．
128
【答案】(1)y= (x>0)
x
(2)a=1.6，实际意义：当面条的横截面积为1.6 mm2时，面条长度为80m
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【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）将(a,80)代入解析式，进行求解即可，根据题意，进行解释即可.
k
【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为y= (x>0)，
x
将(4,32)代入得k=128，
128
∴y与x之间的函数关系式为y= (x>0)；
x
128
（2）解：将(a,80)代入y= ，可得：a=1.6，
x
实际意义：当面条的横截面积为1.6 mm2时，面条长度为80m．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用．读懂题意，正确的求出反比例函数的解析式，利用反比例函数的
性质进行求解，是解题的关键．
题型 21 反比例函数与几何综合
1．如图，点D是 ▱OABC内一点，AD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=√3，∠BDC=120°，
9 k
S = √3，若反比例函数y= (x<0)的图像经过C，D两点，则k的值是（ ）
△BCD 2 x
A．−6√3 B．−6 C．−12√3 D．−12
【答案】C
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，延长BD交CE于点F，可证明 COE≌△ABE（AAS），则OE=BD=
△
1 9
√3；由S BDC= •BD•CF= √3可得CF=9，由∠BDC=120°，可知∠CDF=60°，所以DF=3√3，所以点D
2 2
△
的纵坐标为4√3；设C（m，√3），D（m+9，4√3），则k=√3m=4√3（m+9），求出m的值即可求出k
的值．
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【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，延长BD交CE于点F，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴AB∥OC，AB=OC，
∴∠COE=∠ABD，
∵BD∥y轴，
∴∠ADB=90°，
∴△COE≌△ABD（AAS），
∴OE=BD=√3，
1 9
∵S BDC= •BD•CF= √3，
2 2
△
∴CF=9，
∵∠BDC=120°，
∴∠CDF=60°，
∴DF=3√3．
∴点D的纵坐标为4√3，
设C（m，√3），D（m+9，4√3），
k
∵反比例函数y= （x＜0）的图像经过C、D两点，
x
∴k=√3m=4√3（m+9），
∴m=-12，
∴k=-12√3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合问题，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，设出关键
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点的坐标，并根据几何关系消去参数的值是本题解题关键．
6
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(5,0)，点B是函数y= (x>0)图象上的一个动点，过
x
2
点B作BC⊥y轴交函数y=− (x<0)的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接
x
AB，CD．有如下四个结论：
①四边形ABCD可能是菱形；
②四边形ABCD可能是正方形；
③四边形ABCD的周长是定值；
④四边形ABCD的面积是定值．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
【答案】D
(6 ) ( 2 )
【分析】根据题意可得四边形ABCD是平行四边形，设点B ,a ，则C − ,a ，根据BC=AB，可得关
a a
于a的方程，有解，可得①正确；若四边形ABCD是正方形，则AB⊥x轴，AB⊥BC，BC=AB，可得到点
B，C的坐标，从而得到AB≠BC，可得②错误；取a的不同的数值，可得③错误；根据平行四边的面积，
可得平行四边的面积等于8，可得④正确，即可求解．
【详解】解：如图，
∵BC⊥y轴，
∴BC∥AD，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
(6 ) ( 2 )
设点B ,a ，则C − ,a ，
a a
①若四边形ABCD是菱形，则BC=AB，
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6 ( 2) 8
∴BC= − − = ，
a a a
∵点A的坐标是(5,0)，
∴AB= √ ( 5− 6) 2 +a2，
a
∴ 8 = √ ( 5− 6) 2 +a2，解得：a4+25a2−60a−28=0，该方程有解，
a a
∴四边形ABCD可能是菱形，故①正确；
②若四边形ABCD是正方形，则AB⊥x轴，AB⊥BC，BC=AB，
∵点A的坐标是(5,0)，
∴点B的横坐标为5，
6
∵点B是函数y= (x>0)图象上，
x
6
∴点B的纵坐标为 ，
5
6
∴AB=
5
∵BC⊥y轴，
6
∴点C的纵坐标为 ，
5
2
∵点C是函数y=− (x<0)的图象的一点，
x
5
∴点C的横坐标为− ，
3
( 5) 20
∴此时BC=5− − = ≠AB，
3 3
∴四边形ABCD不可能是正方形，故②错误；
③若a=1时，点B(6,1)，则C(−1,1)，
∴AD=BC=7，CD=AB=√(6−5) 2+12=√2，
∴此时四边形ABCD的周长为2(7+√2)=14+2√2，
若a=2时，点B(3,2)，则C(−1,2)，
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∴AD=BC=4，CD=AB=√(3−5) 2+22=2√2，
∴此时四边形ABCD的周长为2(4+2√2)=8+4√2，
∴四边形ABCD的周长不是定值，故③错误；
(6 ) ( 2 )
∵B ,a ，C − ,a ，
a a
6 ( 2) 8
∴AD=BC= − − = ，点B到x轴的距离为a，
a a a
8
∴四边形ABCD的面积为 ×a=8，
a
∴四边形ABCD的面积是定值，故④正确；
∴正确的有①④．
故选：D
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，菱形的判定，正方形的判定，平
行四边形的周长、面积公式，利用数形结合思想解答是解题的关键．
k k k
3．如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y= 1和y= 2的图象上，若∠BCD=60°，则 1 的值为
x x k
2
（ ）
2 √3 1
A．√3 B． C．− D．−
3 3 3
【答案】D
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1
【分析】连接AC、BD，根据菱形的性质和反比例函数的对称性，即可得出∠BOC=90°，∠BCO=
2
OB √3
∠BCD=30°，解直角三角形求得tan30°= = ，作 BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，证得
OC 3
S OB 2
OMB∽△CNO，得到 ΔBOM =( ) ，根据反比例函数系数 k的几何意义即可求得结果．
S OC
ΔCON
△
【详解】解：连接AC、BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
k k
∵菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y= 1和y= 2的图象上，
x x
∴A与C、B与D关于原点对称，
∴AC、BD经过点O，
∴∠BOC=90°，
1
∵∠BCO= ∠BCD=30°，
2
OB √3
∴tan30°= = ，
OC 3
作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，
∵∠BOM+∠NOC=90°=∠NOC+∠NCO，
∴∠BOM=∠NCO，
∵∠OMB=∠CNO=90°，
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∴ΔOMB∽ΔCNO，
S OB 2
∴ ΔBOM =( ) ，
S OC
ΔCON
1
k
2 1 1
∴ = ，
1 3
− k
2 2
k 1
∴
1=−
，
k 3
2
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性
质，反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质．
k
4．如图，点A在双曲线y= （k>0，x>0）上，点B在直线l：y=mx−2b（m>0，b>0）上，A与B关
x
于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，有以下结论：①A(b,3b)②当b=2时，
√3
k=4√3③m= ④S =2b2 则所有正确结论的序号是 ．
3 四边形AOCB
【答案】 /
【分析】
②
①根
③
据
③
菱
②
形的性质和勾股定理计算点A的坐标即可判断；②根据①中的坐标，直接将b=2代入即
可判断；③先求出点B的坐标，再代入一次函数的解析式可判断；④根据菱形的面积=底边×高即可可解答．
【详解】解：如图：①y=mx−2b中，当x=0时，y=−2b，
∴C(0,−2b)，
∴OC=2b，
∵四边形AOCB是菱形，
∴AB=OC=OA=2b，
∵A与B关于x轴对称，
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∴AB⊥OD，AD=BD=b，
∴OD=√(2b) 2−b2=√3b，
∴A(√3b,b)；故①不正确；
②当b=2时，点A的坐标为：(2√3,2)，
∴k=2√3×2=4√3，故②正确；
③∵A(√3b,b)，A与B关于x轴对称，
∴B(√3b,−b)，
∵点B在直线y=mx−2b上，
∴√3bm−2b=−b，
√3
∴m= ，故③正确；
3
④菱形AOCB的面积=AB⋅OD=2b⋅√3b=2√3b2，故④不正确；
所以本题结论正确的有：②③．
故答案为：②③．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题、坐标与图形性质、勾股定理，关于x轴对称、
菱形的性质等知识点，掌握函数图象上的点满足对应函数的解析式是解本题的关键．
5．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，
1
tan∠ABO=3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是y= ，则图
x
像经过点D的反比例函数的解析式是 ．
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3
【答案】y=−
x
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设OB=x，OA=3x，结合正方形的性质，
1
全等三角形的判定和性质，得到ΔADF≌ΔBAO≌ΔCBE，然后表示出点C和点D的坐标，求出x2=
，
2
即可求出答案．
【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图：
OA
∵tan∠ABO= =3，
OB
设OB=x，OA=3x，
∴点A为（−3x，0），点B为（0，−x）；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC，∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠ADF+∠DAF=∠DAF+∠BAO，
∴∠ADF=∠BAO，
同理可证：∠ADF=∠BAO=∠CBE，
∵∠AFD=∠BOA=∠CEB=90°，
∴ΔADF≌ΔBAO≌ΔCBE，
∴OA=FD=EB=3x，OB=FA=EC=x，
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∴OE=OF=2x，
∴点C的坐标为（x，2x），点D的坐标为（−2x，3x），
1
∵点C在函数y= 的函数图像上，
x
1
∴2x2=1，即x2=
；
2
1
∴−2x·3x=−6x2=−6× =−3，
2
3
∴经过点D的反比例函数解析式为y=− ；
x
3
故答案为：y=− ．
x
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数的性质，三角函数，余角的性
质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的表示出点C和点D的坐标，从而进行解题．
1 3
6．如图，A，C是双曲线y= 上关于原点对称的点，B，D是双曲线y=− 上关于原点对称的点，圆弧
x x
BA´D与BC´D围成了一个封闭图形，当线段AC与BD都最短时，图中阴影部分的面积为 ．
16π
【答案】 −8√3
3
1
【分析】设点A(x， )，要使当线段AC与BD都最短，就是使OA最短，利用勾股定理表示出OA与x的
x
函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出OA的最小值，即可求出AC的值；
再利用同样的方法可求出BC的长；再证明 ABC是等边三角形，然后利用扇形的面积公式和三角形的面
积公式可求出阴影部分的面积． △
1
【详解】解：设点A(x， )， 要使当线段AC与BD都最短，就是使OA最短，
x
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√ 1 2 √ 1 2
∴OA= x2+( ) = (x− ) +2，
x x
1
∴当x− =0时，OA的最小值为√2，
x
∴x=1（负值舍去），
∴点A（1，1），点C(−1,−1)；
∴AC=2√2，
3
设点B(m，− ) ， 要使当线段BD都最短，就是使OB最短，
m
√ 3 2 √ 3 2
∴OB= x2+( ) = (x− ) +6，
x x
3
∴当x− =0时，OB的最小值为√6，
x
∴x=-√3（负值舍去），
∴点B(−√3，√3) ， 点D(√3，−√3)；
∵点B和点D，点A和点C关于原点对称，
∴BC=AB=CD=AD，
∴BC=√ (√2) 2+(√6) 2=2√2，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC=AB，
∴r=2√2，
1 1 16π
∴S阴影部分=4( π(2√2) 2 − ×2√2×√6)= −8√3．
6 2 3
16π
故答案为： −8√3
3
【点睛】本题考查了反比例函数，线段最值，二次函数求最值，等边三角形，弓形面积的计算，解题关键
在于求出线段的最值．
7．如图，直线AD：y=3x+3与坐标轴交于A、D两点，以AD为边在AD右侧作正方形ABCD，过C作
k
CG⊥y轴于G点．过点C的反比例函数y= (k≠0)与直线AD交于E、F两点．
x
【10淘4 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证：△AOD≌△DGC；
(2)求E、F两点坐标；
k
(3)填空：不等式3x+3> 的取值范围是______．
x
【答案】(1)见解析
(2)E(1，6)，F(−2，−3)
(3)−21
【分析】（1）根据正方形的性质，得AD=CD，∠ADC=90°，结合CG⊥y轴，得
∠CDG+∠DCG=90°，则∠ADO=∠DCG，证明△AOD≌△DGC(AAS)；
（2）根据直线AD：y=3x+3与坐标轴交于A、D两点，易得D(0，3)，A(−1，0)，结合
△AOD≌△DGC(AAS)，得CG=OD=3，DG=OA=1，所以C(3，2)，即可作答；
k
（3）结合（2）中的E(1，6)，F(−2，−3)，由图象知，不等式3x+3> 的取值范围是−21．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠ADO+∠CDG=90°，
∵CG⊥y轴，
∴∠CGD=90°，
∴∠CDG+∠DCG=90°，
∴∠ADO=∠DCG，
在△AOD和△DGC中，
¿，
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∴△AOD≌△DGC(AAS)
（2）解：依题意，直线AD：y=3x+3，
令x=0，则y=3，
∴D(0，3)，
∴OD=3，
令y=0，则3x+3=0，
∴x=−1，
∴A(−1，0)，
∴OA=1，
由（1）知，△AOD≌△DGC，
∴CG=OD=3，DG=OA=1，
∴C(3，2)，
k
故将点C代入反比例函数y= 中，
x
得k=2×3=6，
6
∴反比例函数的解析式为y= ①，
x
∵直线AD的解析式为y=3x+3②，
联立①②得¿，
解得¿或¿，
∴E(1，6)，F(−2，−3)
（3）解：由图象知，结合（2）中的E(1，6)，F(−2，−3)，
k
不等式3x+3> 的取值范围是−21．
x
【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的应用，一次函数与反比例函数的交点问题，涉及正方形的性质
以及全等三角形的判定与性质，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
8．阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作
出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步
骤如下：
①建立直角坐标系，将已知锐角∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合；
1
②在直角坐标系中，绘制函数y= 的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P；
x
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1
③以P为圆心、以2OP为半径作弧，交函数y= 的图象于点R；
x
④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q；
1
⑤连接OM，得到∠MOB．则∠MOB= ∠AOB．
3
思考问题：
( 1) ( 1)
(1)设P a, ，R b, ，求直线OM的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线
a b
OM上；
1
(2)证明：∠MOB= ∠AOB．
3
4 4
(3)如图2，若直线y=x与反比例函数y= (x≠0)交于点C，D为反比例函数y= (x≠0)第一象限上的一
x x
个动点，使得∠COD=30°．求用材料中的方法求出满足条件D点坐标．
1
【答案】(1)y= x，证明见解析
ab
(2)见解析
(3)D(4−2√3,4+2√3)或 D(4−2√3,4−2√3)
( 1) ( 1)
【分析】（1）由PM∥x轴，MR∥y轴，P a, ，R b, ，即可得出M点的坐标，即可，再将点Q
a b
的坐标代入解析式即可判断点Q是否在直线OM上；
（2）连接PR，交OM于点S，由矩形的性质和平行线的性质即可得到结论；
（3）先求出点C(2,2)，可得OC=2√2，然后分两种情况讨论：当D点在OC下方时，当D点在OC上方
时，即可求解．
【详解】（1）解：设直线OM的函数表达式为y=kx，
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由题意得：∠PQR=∠QRM=∠PQR=90°，
∴四边形PQRM为矩形，
( 1) ( 1)
∵P a, ，R b, ，
a b
( 1) ( 1)
∴M b, ，Q a, ，
a b
( 1) 1
把点M b, 代入y=kx得：k= ，
a ab
1
∴直线OM的函数表达式为y= x，
ab
( 1) 1
∵Q的坐标 a, 满足y= x，
b ab
∴点Q在直线OM上；
（2）解：连接PR，交OM于点S，
由题意得四边形PQRM是矩形，
1 1
∴PR=QM，SP= PR，SM= QM，
2 2
∴SP=SM，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠1+∠2=2∠2
∵PR=2PO，
∴PS=PO．
∴∠4=∠3=2∠2，
∵PM∥x轴，
∴∠2=∠5，
1
∴∠AOB=∠4+∠5=3∠5，即∠MOB= ∠AOB．
3
4
（3）解：∵直线y=x与反比例函数y= (x≠0)交于点C，
x
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4
∴x= ，解得：x=2或−2（舍去），
x
∴C(2,2)，
∴OC=2√2，
4
当D点在OC下方时，如图，以C为圆心，2OC为半径画弧，交反比例函数y= (x≠0)于点E，作
x
EF∥y轴，作CF∥x轴，连接OF并延长交反比例与点F，作CG∥EF，连接EG，CE与OF交于点H，
∠COD=30°，CE=2OC=4√2，GH=≥=2√2，
作GI⊥EC于I，则GI=√2，HI=√6，EI=2√2−√6，
¿=√(√2) 2+(2√2−√6) 2=2√3−2，
4
则y =2−(2√3−2)=4−2√3，x = =4+2√3，
E E 4−2√3
即D(4−2√3,4+2√3)，
同理，当D点在OC上方时，有D(4−2√3,4−2√3)．
【点睛】此题在考查三等分角的作法时，综合考查了待定系数法求函数解析式的方法、矩形的性质以及三
角形外角的性质等，综合性较强．
8
9．如图，点B是反比例函数y= （x>0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C，反比
x
k
例函数y= （x>0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于
x
点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．
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（1）填空：k=_________；
（2）求ΔBDF的面积；
（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．
【答案】（1）2 （2）3 （3）见解析
8 x 4 k
【分析】（1）根据题意设点B的坐标为（x， ），得出点M的坐标为（ ， ），代入反比例函数y=
x 2 x x
（x>0），即可得出k；
|k| |8|
（2）连接OD，根据反比例函数系数k的性质可得S = =1，S = =4，可得
ΔAOD 2 ΔAOB 2
S =4−1=3，根据OF//AB，可得点F到AB的距离等于点O到AB距离，由此可得出答案；
ΔBOD
（3）设B(x ,y )，D(x ,y )，可得x ⋅y =8，x ⋅y =2，根据y = y ，可得x =4x ，同理
B B D D B B D D B D B D
BE 3 BD 3 CF CE 1 OC AB 4
y =4 y ，可得 = ， = ，证明ΔEBD∽ΔECF，可得 = = ，根据 = = ，得
B E EC 1 AB 4 BD BE 3 BD BD 3
OC 4
出 = ，根据O，G关于C对称，可得OC=CG，CG=4CF，FG=3CF，可得BD=FG，再根据
CF 1
BD//FG，即可证明BDFG是平行四边形．
8
【详解】解：（1）∵点B在y= 上，
x
8
∴设点B的坐标为（x， ），
x
x 4
∴OB中点M的坐标为（ ， ），
2 x
k
∵点M在反比例函数y= （x>0），
x
x 4
∴k= · =2，
2 x
故答案为：2；
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|k|
（2）连接OD，则S = =1，
ΔAOD 2
，
|8|
∵S = =4，
ΔAOB 2
∴S =4−1=3，
ΔBOD
∵OF//AB，
∴点F到AB的距离等于点O到AB距离，
∴S =S =3；
ΔBDF ΔBDO
（3）设B(x ,y )，D(x ,y )，
B B D D
x ⋅y =8，x ⋅y =2，
B B D D
又∵y = y ，
B D
∴x =4x ，
B D
同理y =4 y ，
B E
BE 3 BD 3
∴ = ， = ，
EC 1 AB 4
∵AB//BC，
∴ΔEBD∽ΔECF，
CF CE 1
∴ = = ，
BD BE 3
OC AB 4
∵ = = ，
BD BD 3
OC 4
∴ = ，
CF 1
∴O，G关于C对称，
∴OC=CG，
∴CG=4CF，
∴FG=CG−CF=4OF−CF=3CF，
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又∵BD=3CF，
∴BD=FG，
又∵BD//FG，
∴BDFG是平行四边形．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性
质，灵活运用知识点是解题关键．
1
10．已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y= (x>0)图象上的一个动点，连结AO,AO的延
x
k
长线交反比例函数y= (k>0,x<0)的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E．
x
（1）如图1，过点B作BF⊥x轴于点F，连结EF．
①若k=1，求证：四边形AEFO是平行四边形；
②连结BE，若k=4，求△BOE的面积．
k
（2）如图2，过点E作EP//AB，交反比例函数y= (k>0,x<0)的图象于点P，连结OP．试探究：对
x
于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．
【答案】（1）①证明见解析，②1；（2）不改变，见解析
【分析】（1）①计算得出AE=OF=a，利用平行四边形的判定方法即可证明结论；
1
②证明△AEO∽△BDO，利用反比例函数k的几何意义求得2 AO 2 ，即可求解；
=( )
2 BO
1 k
（2）点A的坐标为(a， )，点P的坐标为(b， )，可知四边形AEGO是平行四边形，由
a b
b
△AEO∽△GHP，利用相似三角形的性质得到关于 的一元二次方程，利用三角形的面积公式即可求解．
a
【112淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
【详解】（1）①证明：设点A的坐标为(a， )，
a
1
则当k=1时，点B的坐标为(−a，− )，
a
∴AE=OF=a，
∵AE⊥y轴，
∴AE//OF，
∴四边形AEFO是平行四边形；
②解：过点B作BD⊥y轴于点D，
∵AE⊥y轴，
∴AE//BD，
∴△AEO∽△BDO，
S AO 2
∴ △AEO =( ) ，
S BO
△BDO
1
AO 1
∴当k=4时，则2 AO 2 ，即 = ．
=( ) BO 2
2 BO
∴S =2S =1；
△BOE △AOE
（2）解 不改变．
理由如下：
过点P作PH⊥x轴于点H，PE与x轴交于点G，
1 k
设点A的坐标为(a， )，点P的坐标为(b， )，
a b
1 k
则AE=a，OE= ，PH=− ，OH=b，
a b
由题意，可知四边形AEGO是平行四边形，
【113淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴OG=AE=a，∠HPG=∠OEG=∠EOA，且∠PHG=∠OEA=90°，
∴△AEO∽△GHP，
AE EO
GH=−a−b， = ，
GH PH
1
a a
即 = ，
−a−b k
−
b
b a
∴ +1= k，
a b
b 2 b
∴( ) + −k=0，
a a
b −1±√1+4k
解得 = ，
a 2
∵a，b异号，k≥0，
b −1−√1+4k
∴ = ，
a 2
1 1 1 b 1+√1+4k
∴S = × ×(−b)=− × = ．
△POE 2 a 2 a 4
∴对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积不会发生变化．
．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定
和性质，解一元二次方程，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【114淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
k
1．（2022·海南·统考中考真题）若反比例函数y= (k≠0)的图象经过点(2,−3)，则它的图象也一定经过
x
的点是（ ）
A．(−2,−3) B．(−3,−2) C．(1,−6) D．(6,1)
【答案】C
k
【分析】先利用反比例函数y= (k≠0)的图象经过点(2,−3)，求出k的值，再分别计算选项中各点的横
x
纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
k
【详解】解：∵反比例函数y= (k≠0)的图象经过点(2,−3)，
x
∴k＝2×（﹣3）＝﹣6，
∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6，
（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，
1×（﹣6）＝﹣6，
,6×1＝6≠﹣6，
则它一定还经过（1，﹣6），
故选：C．
k
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= (k≠0)的图象是双曲线，图象上
x
的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
2．（2022·湖北宜昌·统考中考真题）已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）
是反比例函数关系．根据下表判断a和b的大小关系为（ ）
I/A 5 … a … … … b … 1
R/Ω 20 30 40 50 60 70 80 90 100
A．a>b B．a≥b C．aa>b>1
故选：A
【点睛】本题考查双曲线图像的性质；解题关键是根据表格判断出双曲线在第一象限，单调递减
3．（2022·山东潍坊·中考真题）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生
一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（ ）
A．海拔越高，大气压越大
B．图中曲线是反比例函数的图象
C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系
【答案】D
【分析】根据图象中的数据回答即可．
【详解】解：A．海拔越高，大气压越小，该选项不符合题意；
B．∵图象经过点(2，80)，(4，60)，
∴2×80=160，4×60=240，而160≠240，
∴图中曲线不是反比例函数的图象，该选项不符合题意；
C．∵图象经过点 (4，60)，
∴海拔为4千米时，大气压约为60千帕，该选项不符合题意；
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系，该选项符合题意；
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故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
4．（2022·河北·统考中考真题）某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若
m个人共同完成需n天，选取6组数对(m,n)，在坐标系中进行描点，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
12
【分析】根据题意建立函数模型可得mn=12，即n= ，符合反比例函数，根据反比例函数的图象进行判
m
断即可求解．
1
【详解】解：依题意， ·m·n=1
12
∴mn=12，
12
∴n= ，m,n>0且为整数．
m
故选C．
【点睛】本题考查了反比例数的应用，根据题意建立函数模型是解题的关键．
5．（2023·山东济南·统考中考真题）已知点A(−4,y )，B(−2,y )，C(3,y )都在反比例函数
1 2 3
k
y= (k<0)的图象上，则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
x 1 2 3
A．y 0，y >0，
1 2
∵函数图象在第二象限内为增函数，−4<−2<0，
∴00，∴C(3,y )点在第四象限，
3
∴y <0，
3
∴y ，y ，y 的大小关系为y 0，b>0，
∴ab>0，
ab
∴反比例函数y= 的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意；
x
B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴a<0，b>0，
∴ab<0，
ab
∴反比例函数y= 的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意；
x
C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，
∴a>0，b<0，
∴ab<0，
ab
∴反比例函数y= 的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意；
x
D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴a<0，b>0，
∴ab<0，
ab
∴反比例函数y= 的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意；
x
故选D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决
本题的关键．
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3 n
7．（2023·福建·统考中考真题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y= 和y= 的图象的四
x x
个分支上，则实数n的值为（ ）
1 1
A．−3 B．− C． D．3
3 3
【答案】A
3
【分析】如图所示，点B在y= 上，证明△AOC≌△OBD，根据k的几何意义即可求解．
x
【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点A,B分别作x轴的垂线，垂足分别为C,D，点B在
3
y= 上，
x
∵OB=OA，∠AOB=∠BDO=∠ACO=90°，
∴∠CAO=90°−∠AOC=∠BOD．
∴△AOC≌△OBD．
3 |n|
∴S =S = = ．
△AOC △OBD 2 2
∵A点在第二象限，
∴n=−3．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数的k的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
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k 1
8．（2023·广西·统考中考真题）如图，过y= (x>0)的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交y=−
x x
的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S ，S ，
1 2
5
S ，S ，若S +S +S = ，则k的值为（ ）
3 4 2 3 4 2
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
( 1 ) ( 1) ( 1 1)
【分析】设A(a,b)，则B − ,b ，D a,− ，C − ,− ，根据坐标求得S =ab=k，S =S =1，
b a b a 1 2 4
( 1) ( 1) 1
推得S = − × − = ，即可求得．
3 b a 2
( 1 ) ( 1) ( 1 1)
【详解】设A(a,b)，则B − ,b ，D a,− ，C − ,−
b a b a
k
∵点A在y= (x>0)的图象上
x
则S =ab=k，
1
1
同理∵B，D两点在y=− 的图象上，
x
则S =S =1
2 4
5 1
故S = −1−1= ，
3 2 2
( 1) ( 1) 1
又∵S = − × − = ，
3 b a 2
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1 1
即 = ，
ab 2
故ab=2，
∴k=2，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
2 3
9．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，点A在函数y= (x>0)的图象上，点B在函数y= (x>0)的
x x
图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
1
【分析】延长BA交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到S = ×2=1，S =3，根
△ADO 2 矩形OCBD
据四边形ABCO的面积等于S −S ，即可得解．
矩形OCBD △ADO
【详解】解：延长BA交y轴于点D，
∵AB∥x轴，
∴DA⊥y轴，
2
∵点A在函数y= (x>0)的图象上，
x
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1
∴S = ×2=1，
△ADO 2
3
∵BC⊥x轴于点C，DB⊥y轴，点B在函数y= (x>0)的图象上，
x
∴S =3，
矩形OCBD
∴四边形ABCO的面积等于S −S =3−1=2；
矩形OCBD △ADO
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解题的关
键．
10．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，一次函数y =k x+b(k >0)的图像与反比例函数
1 1 1
k
y = 2 (k >0)的图像相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为−2，当y 1 B．x<−2或01 D．−20)的图像与反比例函数y = 2 (k >0)的图像相交于
1 1 1 2 x 2
A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为−2，
∴当x<−2或0y ,y' x y' =k，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多；
3 3 3 3
综上所述：甲学校优秀人数<乙学校优秀人数=丁学校优秀人数<丙学校优秀人数，
∴在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图像与性质的实际应用题，读懂题意，并熟练掌握反比例函数的图像与性质
是解决问题的关键．
k
12．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y= (k>0,x>0)的
x
图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连结AB，
AB=3√2，则k的值为（ ）
A．3 B．3√2 C．4 D．6
【答案】C
【分析】过点A,B分别作y,x轴的垂线，垂足分别为E,D，AE,BD交于点C，得出B的横坐标为1，A的
纵坐标为1，设A(k,1)，B(1,k)，则AC=k−1,BC=k−1，根据AB=3√2，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点A，B分别作y，x轴的垂线，垂足分别为E，D，AE，BD交于点C，
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依题意，B的横坐标为1，A的纵坐标为1，设A(k,1)，B(1,k)
∴C(1,1)，
则AC=k−1,BC=k−1，
又∵∠ACB=90°，AB=3√2，
∴(k−1) 2+(k−1) 2=(3√2) 2
∴k−1=3（负值已舍去）
解得：k=4，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
k
13．（2023·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，若函数y= (k≠0)的图象经过点A(−3,2)和
x
B(m,−2)，则m的值为 ．
【答案】3
【分析】先把点A坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B代入即可求出m的值．
k
【详解】解：∵函数y= (k≠0)的图象经过点A(−3,2)和B(m,−2)
x
∴把点A(−3,2)代入得k=−3×2=−6，
−6
∴反比例函数解析式为y= ，
x
−6
把点B(m,−2)代入得：−2= ，
m
解得：m=3，
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故答案为：3．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数
图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键．
k
14．（2023·河北·统考中考真题）如图，已知点A(3,3),B(3,1)，反比例函数y= (k≠0)图像的一支与
x
线段AB有交点，写出一个符合条件的k的数值： ．
【答案】4（答案不唯一，满足3≤k≤9均可）
k
【分析】先分别求得反比例函数y= (k≠0)图像过A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符
x
合条件k的值即可．
k
【详解】解：当反比例函数y= (k≠0)图像过A(3,3)时，k=3×3=9；
x
k
当反比例函数y= (k≠0)图像过B(3,1)时，k=3×1=3；
x
∴k的取值范围为3≤k≤9
∴k可以取4．
故答案为4（答案不唯一，满足3≤k≤9均可）．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键．
15．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F
均在x轴正半轴上，点D在边BC上，BC=2CD，AB=3．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则
这个反比例函数的表达式是 ．
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18
【答案】y=
x
【分析】设正方形CDEF的边长为m，根据BC=2CD，AB=3，得到B(3,2m)，根据矩形对边相等得到
OC=3，推出E(3+m,m)，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到3×2m=(3+m)m，得到
18
m=3，推出y= ．
x
【详解】解：∵四边形OABC是矩形，
∴OC=AB=3，
设正方形CDEF的边长为m，
∴CD=CF=EF=m，
∵BC=2CD，
∴BC=2m，
∴B(3,2m)，E(3+m,m)，
k
设反比例函数的表达式为y= ，
x
∴3×2m=(3+m)m，
解得m=3或m=0（不合题意，舍去），
∴B(3,6)，
∴k=3×6=18，
18
∴这个反比例函数的表达式是y= ，
x
18
故答案为：y= ．
x
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【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性
质，k的几何意义．
k
16．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y= (x<0)的图像上，
x
2
顶点B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC= ，
3
则k= ．
8
【答案】−
3
6 2 9
【分析】方法一：根据△AOC的面积为3，得出OC= = ，AC= a，在Rt△AOC中，
3a a 2
4√5
AC2=AO2+OC2，得出a2= ，根据勾股定理求得DO=√5a，根据k的几何意义，即可求解．
15
AD 4 4
方法二：根据已知得出 = 则S = S ，即可求解．
AC 9 △AOD 9 △AOC
2
【详解】解：方法一：∵cos∠OAC= ，
3
AD AO 2
∴cos∠OAC= = =
AO AC 3
设AD=2a，则AO=3a，
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9
∴AC= a
2
∵矩形OABC的面积是6，AC是对角线，
1
∴△AOC的面积为3，即 AO×OC=3
2
6 2
∴OC= =
3a a
在Rt△AOC中，AC2=AO2+OC2
即 (9 a ) 2 =(3a) 2+ (2) 2
2 a
81−36 4
即
a2=
4 a2
4√5
解得：a2=
15
在Rt△ADC中，DO=√AO2−AD2=√5a
∵对角线AC∥x轴，则AD⊥OD，
4√5 8
∴|k|=2S =2a×√5a=2√5a2=2√5× = ,
△AOD 15 3
∵反比例函数图象在第二象限，
8
∴k=− ，
3
2
方法二：∵cos∠OAC= ，
3
AD AO 2
∴cos∠OAC= = =
AO AC 3
设AD=2a，则AO=3a，
9
∴AC= a，
2
AD 2a 4
= =
∴AC 9 9，
a
2
4 8 8
∴2S = ×2S = ×6= ，
△AOD 9 △AOC 9 3
∵k<0，
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8
∴k=− ，
3
8
故答案为：− ．
3
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数k的几何意义，余弦的定义，熟练掌握反比例函数的性质是
解题的关键．
2 k
17．（2023·江苏无锡·统考中考真题）已知曲线C 、C 分别是函数y=− (x<0),y= (k>0,x>0)的
1 2 x x
图像，边长为6的正△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），现将△ABC
绕原点O顺时针旋转，当点B在曲线C 上时，点A恰好在曲线C 上，则k的值为 ．
1 2
【答案】6
【分析】画出变换后的图像即可（画△AOB即可），当点A在y轴上，点B、C在x轴上时，根据△ABC为
OB 1
等边三角形且AO⊥BC，可得 = ，过点A、B分别作x轴垂线构造相似，则△BFO∽OEA，根据
OA √3
相似三角形的性质得出S =3，进而根据反比例函数k的几何意义，即可求解．
△AOE
【详解】当点A在y轴上，点B、C在x轴上时，连接AO，
∵ △ABC为等边三角形且AO⊥BC，则∠BAO=30°，
OB √3
∴ tan∠BAO=tan30°= = ，
OA 3
如图所示，过点A,B分别作x轴的垂线，交x轴分别于点E,F，
∵ AO⊥BO，∠BFO=∠AEO=∠AOB=90°，
∴ ∠BOF=90°−∠AOE=∠EAO，
∴ △BFO∽OEA，
∴
S
△BFO =
(OB) 2
=
1
，
S OA 3
△AOE
|−2|
∴ S = =1，
△BFO 2
∴ S =3，
△AOE
∴ k=6．
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【点睛】本题考查了反比例函数的性质，k的几何意义，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造
相似三角形是解题关键．
18．（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方
k
形OACD，ABEF．反比例函数y= (k>0)的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，
x
QN⊥y轴于点N．若OA=2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．
【答案】24
【分析】设OA=4a，则AB=2a，从而可得A(4a,0)、B(6a,0)，由正方形的性质可得C(4a,4a)，由
( k ) 1
QN⊥y轴，点P在CD上，可得P ,4a ，由于Q为BE的中点，BE⊥x轴，可得BQ= AB=a，
4a 2
k k
则Q(6a,a)，由于点Q在反比例函数y= (k>0)的图象上可得k=6a2，根据阴影部分为矩形，且长为 ，
x 4a
宽为a，面积为6，从而可得12×4ak×a=6，即可求解．
【详解】解：设OA=4a，
∵OA=2AB，
∴AB=2a，
∴OB=AB+OA=6a，
∴B(6a,0)，
在正方形ABEF中，AB=BE=2a，
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∵Q为BE的中点，
∴BQ=12AB=a，
∴Q(6a,a)，
k
∵Q在反比例函数y= (k>0)的图象上，
x
∴k=6a×a=6a2，
∵四边形OACD是正方形，
∴C(6a,6a)，
∵P在CD上，
∴P点纵坐标为4a，
k
∵P点在反比例函数y= (k>0)的图象上，
x
k
∴P点横坐标为x= ，
4a
( k )
∴P ,4a ，
4a
∵∠HMO=∠HNO=∠NOM=90°，
∴四边形OMHN是矩形，
k
∴NH= ，MH=a，
4a
k
∴S =NH×MH= ×a=6，
▭OMHN 4a
∴k=24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知
识是解题的关键．
( 5) ( 5) k
19．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，点A a, 和B b, 在反比例函数y= (k>0)的图象上，
a b x
15 a
其中a>b>0．过点A作AC⊥x轴于点C，则△AOC的面积为 ；若△AOB的面积为 ，则 =
4 b
．
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5
【答案】 2
2
( 5) 5
【分析】根据A a, ，得出OC=a,AC= ，根据三角形面积公式，即可求出△AOC的面积；过点B作
a a
5 5
BD⊥x轴于点D，BD交OA于点E，根据S =S +S = ，S =S +S = ，得
△OBD △ODE △OBE 2 △AOC △ODE 四边形DCAE 2
a b 3
出S =S ，进而得出S =S ，根据梯形面积公式，列出方程，化简得 − = ，令
△OBE 四边形DCAE △AOB 梯形BDCA b a 2
a 1 3 a
x= ，则x− = ，求出x的值，根据a>b>0，得出 >1，即x>1，即可解答．
b x 2 b
( 5)
【详解】解：∵A a, ，
a
5
∴OC=a,AC= ，
a
1 1 5 5
∴S = OC⋅AC= ⋅a⋅ = ，
△AOC 2 2 a 2
过点B作BD⊥x轴于点D，BD交OA于点E，
( 5)
∵B b, ，
b
5
∴OD=b,BD= ，
b
1 1 5 5
∴S = OD⋅BD= ⋅ ⋅b= ，
△OBD 2 2 b 2
5 5
∵S =S +S = ，S =S +S = ，
△OBD △ODE △OBE 2 △AOC △ODE 四边形DCAE 2
∴S =S ，
△OBE 四边形DCAE
∴S =S +S =S +S =S ，
△AOB △OBE △ABE 四边形DCAE △ABE 梯形BDCA
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1 1 (5 5) 15
∴S = CD(AC+BD)= ×(a−b) + = ，
梯形BDCA 2 2 a b 4
a b 3
整理得： − = ，
b a 2
a
令x= ，
b
1 3
则x− = ，
x 2
1
解得：x =− （舍），x =2，
1 2 2
∵a>b>0，
a
∴ >1，即x>1，
b
a
∴ =2，
b
5
故答案为： ，2．
2
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，
灵活运用面积关系建立方程．
20．（2023·广东·统考中考真题）某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单
48
位：Ω)的函数表达式为I= ，当R=12Ω时，I的值为 A．
R
【答案】4
48
【分析】将R=12Ω代入I= 中计算即可；
R
【详解】解：∵R=12Ω，
48 48
∴I= = =4 (A)
R 12
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故答案为：4．
【点睛】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键．
8
21．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数y= (x>0)的图象上有P ,P ,P ,⋯P 等
x 1 2 3 2024
点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分
的面积从左到右依次为S ,S ,S ,⋯,S ，则S +S +S +⋯+S = ．
1 2 3 2023 1 2 3 2023
2023
【答案】
253
【分析】求出P ,P ,P ,P …的纵坐标，从而可计算出S ,S ,S ,S …的高，进而求出S ,S ,S ,S
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
…，从而得出S +S +S +…+S 的值．
1 2 3 n
【详解】当x=1时，P 的纵坐标为8，
1
当x=2时，P 的纵坐标为4，
2
8
当x=3时，P 的纵坐标为 ，
3 3
当x=4时，P 的纵坐标为2，
4
8
当x=5时，P 的纵坐标为 ，
5 5
…
则S =1×(8−4)=8−4；
1
8 8
S =1×(4− )=4− ；
2 3 3
8 8
S =1×( −2)= −2；
3 3 3
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8 8
S =1×(2− )=2− ；
4 5 5
…
8 8
S = − ；
n n n+1
8 8 8 8 8 8 8n
S +S +S +…+S =8−4+4− + −2+2− +⋯+ − =8− = ，
1 2 3 n 3 3 5 n n+1 n+1 n+1
8×2023 2023
∴S +S +S +…+S = = ．
1 2 3 2023 2024 253
2023
故答案为： ．
253
8 8
【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是求出S = − ．
n n n+1
1 1
22．（2022·湖南长沙·统考中考真题）若关于x的函数y，当t− ≤x≤t+ 时，函数y的最大值为M，最
2 2
M−N
小值为N，令函数h= ，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
2
(1)①若函数y=4044x，当t=1时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数y=kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
2
(2)若函数y= （x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；
x
(3)若函数y=−x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值．
若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
k k
【答案】(1)①2022；②k>0时，h= ，k<0时，h=−
2 2
1
(2)
2
31
(3)t=2时，存在k=−
8
【分析】（1）①根据新定义结合正比例函数的性质即可求解；②根据新定义结合一次函数的性质即可求
解；
（2）根据新定义结合反比例函数的性质列出h，根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据新定义结合二次函数的性质即可求解．
1 1 1 3
【详解】（1）解：①当t=1时，则1− ≤x≤1+ ，即 ≤x≤ ，
2 2 2 2
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∵ y=4044x，k=4044 >0，y随x的增大而增大，
3 1
4044× −4044×
M−N 2 2 ，
∴h= = =2022
2 2
1 1
②若函数y=kx+b，当k>0时，t− ≤x≤t+ ，
2 2
( 1) ( 1)
∴ M=k t+ +b,N=k t− +b，
2 2
M−N k
∴h= = ，
2 2
( 1) ( 1)
当k<0时，则M=k t− +b,N=k t+ +b，
2 2
M−N k
∴h= =− ，
2 2
k k
综上所述，k>0时，h= ，k<0时，h=− ，
2 2
2
（2）解：对于函数y= (x≥1)，
x
∵ 2>0，x≥1，函数在第一象限内，y随x的增大而减小，
1
∴t− ≥1，
2
3
解得t≥ ，
2
1 1
当t− ≤x≤t+ 时，
2 2
2 4 2 4
M= = ,N= =
∴ 1 2t−1 1 2t+1，
t− t+
2 2
M−N 1( 4 4 ) 2(2t+1)−2(2t−1) 4 4
∴h= = − = = = ，
2 2 2t−1 2t+1 (2t−1)(2t+1) (2t−1)(2t+1) 4t2−1
3
∵当t≥ 时，4t2−1随t的增大而增大，
2
3
∴当t= 时，4t2−1取得最小值，此时h取得最大值，
2
4 4 1
最大值为h= = =
；
(2t−1)(2t+1) 2×4 2
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（3）对于函数y=−x2+4x+k =−(x−2) 2+4+k，
a=−1<0，抛物线开口向下，
x<2时，y随x的增大而增大，
x>2时，y随x的增大而减小，
当x=2时，函数y的最大值等于4+k，
1 1
在t− ≤x≤t+ 时，
2 2
1 3 ( 1) 2 ( 1) ( 1) 2 ( 1)
①当t+ <2时，即t< 时，N=− t− +4 t− +k，M=− t+ +4 t+ +k，
2 2 2 2 2 2
M−N 1{ ( 1) 2 ( 1) [ ( 1) 2 ( 1) ]}
∴ h= = − t+ +4 t+ +k− − t− +4 t− +k = 2−t，
2 2 2 2 2 2
1 3
∴ h的最小值为 （当t= 时），
2 2
1
若 =4+k，
2
7
解得k=− ，
2
3 7
但t< ，故k=− 不合题意，故舍去；
2 2
1 5 ( 1) 2 ( 1) ( 1) 2 ( 1)
②当t− >2时，即t> 时，M=− t− +4 t− +k，N=− t+ +4 t+ +k，
2 2 2 2 2 2
M−N
∴ h= = t−2，
2
1 5
∴ h的最小值为 （当t= 时），
2 2
1
若 =4+k，
2
7
解得k=− ，
2
5 7
但t> ，故k=− 不合题意，故舍去
2 2
1 1 3 5
③当t− ≤2≤t+ 时，即 ≤t≤ 时，M=4+k，
2 2 2 2
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( 1) ( 1) 3
i)当2− t− ≥ t+ −2时，即 ≤t≤2时
2 2 2
( 1) 2 ( 1)
N=− t− +4 t− +k
2 2
( 1) 2 ( 1)
4+k+ t− −4 t− −k
M−N 2 2 1 5 25
h= = = t2− t+
2 2 2 2 8
5 1 3
∵对称轴为t= ， >0，抛物线开口向上，在 ≤t≤2上，
2 2 2
1
当t=2时，h有最小值 ，
8
1
∴ =4+k
8
31
解得k=−
8
( 1) ( 1) 5
ii)当 2− t− < t+ −2时，即20，抛物线开口向上，在2 的解集：_________．
x+a x
【答案】(1)−4
(2)①④
(3)x<0或x>4
【分析】（1）根据“左加右减”的规律即可求解；
（2）根据平移的性质得出①正确；类比反比例函数图象的性质即可判断②④，根据平移的性质将y=−x
向左平移a个单位，得出y=−x−a，即可判断③；
（3）根据题意，画出两个函数图象，结合图象即可求解．
1 1
【详解】（1）解：∵函数y= 的图象向右平移4个单位得到函数y= 的图象，
x x−4
∴a=−4；
故答案为：−4．
1 1
（2）解：∵y= 可以看作是由y= 向左平移a (a>0)个单位得到的，
x+a x
1
∵函数y= 图象的对称中心为(0，0)，将其对称中心向左平移a个单位，
x
则对称中心为(−a,0)，故①正确，
②类比反比例函数图象，可得x≠−a，故函数图象不是连续的，
在直线x=−a两侧， y随x的增大而减小；故②错误；
1
③∵y= 关于y=−x对称，
x
同①可得，y=−x向左平移a个单位得到：y=−(x+a)=−x−a
∴图象关于直线y=−x−a对称；故③不正确；
1
④∵平移后的对称中心为(−a,0)，左右平移图象后，y= 与y轴没有交点，
x+a
∴y的取值范围为y≠0．故④正确，
故答案为：①④．
（3）∵a=−4，
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1 1
∴不等式 >
x−4 x
1 1
如图所示，在第三象限内和第一象限内， > ，
x−4 x
∴x<0或x>4，
故答案为：x<0或x>4．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的平移，平移的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解
题的关键．
24．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观
6
察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数y= −|x|的图象，并探究该函
|x|
数性质．
(1)绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ ．
﹣
x …… ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 1 2 3 4 5 ……
1
﹣
y …… ﹣3.8 ﹣2.5 ﹣1 1 5 5 a ﹣2.5 ﹣3.8 ……
1
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
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6
(2)探究函数性质，请写出函数y＝ -|x|的一条性质： ；
|x|
(3)运用函数图象及性质
6
①写出方程 -|x|＝5的解 ；
|x|
6
②写出不等式 -|x|≤1的解集 ．
|x|
【答案】(1)①1；②见解析，③见解析
6
(2)y= −|x|的图象关于y轴对称轴（答案不唯一）
|x|
(3)①x=1或x=−1；②x≤−2或x≥2
【分析】（1）①把x=2代入解析式即可得a的值；②③按要求描点，连线即可；
（2）观察函数图象，可得函数性质；
（3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案．
6
【详解】（1）①列表：当x=2时，a= −|2|=1，
|2|
故答案为：1；
②描点，③连线如下：
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6
（2）观察函数图象可得：y= −|x|的图象关于y轴对称，
|x|
6
故答案为：y= −|x|的图象关于y轴对称；
|x|
（3）①观察函数图象可得：当y=5时，x=1或x=-1，
6
−|x|=5的解是x=1或x=-1，
|x|
故答案为：x=1或x=-1，
②观察函数图象可得，当x≤-2或x≥2时，y≤1，
6
∴ −|x|≤1的解集是x≤-2或x≥2，
|x|
故答案为：x≤-2或x≥2．
【点睛】本题考查了列表描点画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获取信息
是解题的关键．
25．（2023·四川达州·统考中考真题）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电
池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值R =2Ω）亮度的实验（如图），
L
U
已知串联电路中，电流与电阻R、R 之间关系为I= ，通过实验得出如下数据：
L R+R
L
R/Ω … 1 a 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
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a= b=
(1) _______， _______；
12 12
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数y= (x≥0)，结合表格信息，探究函数y= (x≥0)的图象
x+2 x+2
与性质．
12
①在平面直角坐标系中画出对应函数y= (x≥0)的图象；
x+2
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是_________．
12 3
(3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时， ≥− x+6的解集为________．
x+2 2
【答案】(1)2，1.5
(2)①见解析；②函数值y逐渐减小
(3)x≥2或x=0
【分析】（1）根据解析式求解即可；
（2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论；
（3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论．
12
【详解】（1）解：由题意，I= ，
R+2
12
当I=3时，由3= 得a=2，
a+2
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12
当R=6时，b= =1.5，
6+2
故答案为：2，1.5；
12
（2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数y= (x≥0)的图象如图：
x+2
②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y逐渐减小，
故答案为：函数值y逐渐减小；
3
（3）解：当x=2时，y=− ×2+6=3，当x=0时，y=6，
2
12 3
∴函数y= (x≥0)与函数y=− x+6的图象交点坐标为(2,3)，(0,6)，
x+2 2
3
在同一平面直角坐标系中画出函数y=− x+6的图象，如图，
2
12 3
由图知，当x≥2或x=0时， ≥− x+6，
x+2 2
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12 3
即当x≥0时， ≥− x+6的解集为x≥2或x=0，
x+2 2
故答案为：x≥2或x=0．
【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数
的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键．
k
26．（2022·浙江温州·统考中考真题）已知反比例函数y= (k≠0)的图象的一支如图所示，它经过点
x
(3,−2)．
(1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．
(2)求当y≤5，且y≠0时自变量x的取值范围．
6
【答案】(1)y=− ，见解析
x
6
(2)x≤− 或x>0
5
【分析】（1）将图中给出的点(3,−2)代入反比例函数表达式，即可求出解析式，并画出图象；
6 6
（2）当y=5时，5=− ，解得x=− ，结合图象即可得出x的取值范围．
x 5
k
【详解】（1）解：（1）把点(3,−2)代入表达式y= (k≠0)，
x
k
得−2= ，
3
∴k=−6，
6
∴反比例函数的表达式是y=− ．
x
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反比例函数图象的另一支如图所示．
6 6
（2）当y=5时，5=− ，解得x=− ．
x 5
由图象可知，当y≤5，且y≠0时，
6
自变量x的取值范围是x≤− 或x>0．
5
【点睛】本题主要考查的是反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．
27．（2023·贵州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数
k
y= (x>0)的图象分别与AB,BC交于点D(4,1)和点E，且点D为AB的中点．
x
(1)求反比例函数的表达式和点E的坐标；
k
(2)若一次函数y=x+m与反比例函数y= (x>0)的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D,E之
x
间的部分时（点M可与点D,E重合），直接写出m的取值范围．
4
【答案】(1)反比例函数解析式为y= ，E(2，2)
x
(2)−3≤m≤0
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【分析】（1）根据矩形的性质得到BC∥OA，AB⊥OA，再由D(4,1)是AB的中点得到B(4，2)，从
而得到点E的纵坐标为2，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E的坐标即可；
（2）求出直线y=x+m恰好经过D和恰好经过E时m的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，AB⊥OA，
∵D(4,1)是AB的中点，
∴B(4，2)，
∴点E的纵坐标为2，
k
∵反比例函数y= (x>0)的图象分别与AB,BC交于点D(4,1)和点E，
x
k
∴1= ，
4
∴k=4，
4
∴反比例函数解析式为y= ，
x
4 4
在y= 中，当y= =2时，x=2，
x x
∴E(2，2)；
（2）解：当直线 y=x+m经过点E(2，2)时，则2+m=2，解得m=0；
当直线 y=x+m经过点D(4，1)时，则4+m=1，解得m=−3；
k
∵一次函数y=x+m与反比例函数y= (x>0)的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D,E之间
x
的部分时（点M可与点D,E重合），
∴−3≤m≤0．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质等等，灵活运用所
学知识是解题的关键．
k
28．（2023·江西·统考中考真题）如图，已知直线y=x+b与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A(2,3)，
x
k
与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数y= (x>0)的图象于点C．
x
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(1)求直线AB和反比例函数图象的表达式；
(2)求△ABC的面积．
6
【答案】(1)直线AB的表达式为y=x+1，反比例函数的表达式为y=
x
(2)6
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）由一次函数解析式求得点B的坐标，再根据BC∥x轴，可得点C的纵坐标为1，再利用反比例函数
表达式求得点C坐标，即可求得结果．
k
【详解】（1）解：∵直线y=x+b与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A(2,3)，
x
∴k=2×3=6，2+b=3，即b=1，
6
∴直线AB的表达式为y=x+1，反比例函数的表达式为y= ．
x
（2）解：∵直线y=x+1的图象与y轴交于点B，
∴当x=0时，y=1，
∴B(0,1)，
k
∵BC∥x轴，直线BC与反比例函数y= (x>0)的图象交于点C，
x
∴点C的纵坐标为1，
6
∴ =1，即x=6，
x
∴C(6,1)，
∴BC=6，
1
∴S = ×2×6=6．
△ABC 2
【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、一次函
数与y轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
29．（2023·浙江台州·统考中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同
的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计
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悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h=20cm．
(1)求h关于ρ的函数解析式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h=25cm，求该液体的密度ρ．
20
【答案】(1)h= ．
ρ
(2)该液体的密度ρ为0.8g/cm3．
k
【分析】（1）由题意可得，设h= ，把ρ=1，h=20代入解析式，求解即可；
ρ
（2）把h=25cm代入（1）中的解析式，求解即可．
k
【详解】（1）解：设h关于ρ的函数解析式为h= ，
ρ
把ρ=1，h=20代入解析式，得k=1×20=20．
20
∴h关于ρ的函数解析式为h= ．
ρ
20 20
（2）解：把h=25代入h= ，得25= ．
ρ ρ
解得：ρ=0.8．
答：该液体的密度ρ为0.8g/cm3．
【点睛】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活
利用反比例函数的性质进行求解．
30．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点A(−1，6)，
(3 )
B ,a−3 ，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
a
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(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)点M在x轴上，若S =S ，求点M的坐标．
△OAM △OAB
6
【答案】(1)反比例函数解析式为y=− ，一次函数的解析式为y=−2x+4
x
( 8 ) (8 )
(2)M点的坐标为 − ,0 或 ,0
3 3
k k
【分析】（1）设反比例函数解析式为y= 1，将A(−1，6)代入y= 1，根据待定系数法，即可得到反比
x x
(3 )
例函数解析式，将B ,a−3 代入求得的反比例函数，解得a的值，得到B点坐标，最后根据待定系数
a
法即可求出一次函数解析式；
（2）求出点C的坐标，根据S =S +S 求出S ，分两种情况：M在O点左侧；M点在O点
△OAB △OAC △OBC △OAB
右侧，根据三角形面积公式即可解答．
k
【详解】（1）解：设反比例函数解析式为y= 1，
x
k k
将A(−1，6)代入y= 1，可得6= 1 ，解得k =−6，
x −1 1
6
∴反比例函数的解析式为y=− ，
x
(3 ) 6 3(a−3)
把B ,a−3 代入y=− ，可得 =−6，
a x a
解得a=1，
经检验，a=1是方程的解，
∴B(3,−2)，
设一次函数的解析式为y=k x+b，
2
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将A(−1，6)，B(3,−2)代入y=k x+b，
2
可得¿，
解得¿，
∴一次函数的解析式为y=−2x+4；
（2）解：当y=0时，可得0=−2x+4，
解得x=2，
∴C(2,0)，
∴OC=2，
1 1
∴S =S +S = ×2×6+ ×2×2=8，
△OAB △OAC △OBC 2 2
∵S =S ，
△OAM △OAB
1
∴S =8= ×6×OM，
△OAM 2
8
∴OM= ，
3
( 8 )
M在O点左侧时，M − ,0 ；
3
(8 )
M点在O点右侧时，M ,0 ，
3
( 8 ) (8 )
综上，M点的坐标为 − ,0 或 ,0 ．
3 3
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数，一次函数与三角形面积问题，熟练求出S
△OAB
是解题的关键．
31．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n与反比例函数
k
y= 的图象在第一象限内交于A(a,4)和B(4,2)两点，直线AB与x轴相交于点C，连接OA．
x
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(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
k
(2)当x>0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式mx+n≥ 的解集；
x
(3)过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，求梯形OCBD的面积．
8
【答案】(1)反比例函数为：y= ，一次函数为y=−x+6．
x
(2)2≤x≤4
(3)9
8
【分析】（1）利用B(4,2)可得反比例函数为y= ，再求解A(2,4)，再利用待定系数法求解一次函数的解
x
析式即可；
（2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合x>0可得答案；
（3）求解OA的解析式为：y=2x，结合过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，B(4,2)，可得D(1,2)，
BD=4−1=3，由AB为y=−x+6，可得C(6,0)，OC=6，再利用梯形的面积公式进行计算即可．
k
【详解】（1）解：∵反比例函数y= 过B(4,2)，
x
∴k=8，
8
∴反比例函数为：y= ，
x
8 8
把A(a,4)代入y= 可得：a= =2，
x 4
∴A(2,4)，
∴¿，解得：¿，
∴一次函数为y=−x+6．
（2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合x>0可得
k
不等式mx+n≥ 的解集为：2≤x≤4．
x
（3）∵A(2,4)，同理可得OA的解析式为：y=2x，
∵过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，B(4,2)，
∴y =2，
D
∴x =1，即D(1,2)，
D
∴BD=4−1=3，
∵AB为y=−x+6，
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当y=0，则x=6，即C(6,0)，
∴OC=6，
1
∴梯形OCBD的面积为： (3+6)×2=9．
2
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，利用图象解不等式，坐标与
图形面积，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
32．（2023·山东济南·统考中考真题）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用
木栏围住，木栏总长为am．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy=8，满足条件的(x,y)可看成是反比例函数
8
y= 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+ y=10，满足条件的(x,y)可看成一次函
x
数y=−2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(x,y)就可以看成两个函数图象交点
的坐标．
8
如图2，反比例函数y= (x>0)的图象与直线l ：y=−2x+10的交点坐标为(1,8)和_________，因此，木
x 1
栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=___________m，BC=
__________m．
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（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a=6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=−2x+a．发现直线y=−2x+a可以看成是直线y=−2x通
8
过平移得到的，在平移过程中，当过点(2,4)时，直线y=−2x+a与反比例函数y= (x>0)的图象有唯一
x
交点．
（3）请在图2中画出直线y=−2x+a过点(2,4)时的图象，并求出a的值．
【拓展应用】
8
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y=−2x+a与y= 图象在第一象限内交
x
点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）(4,2)；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，a=8；（4）8≤a≤17
【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；
（2）根据a=6得出，y=−2x+6，在图中画出y=−2x+6的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，
若有交点，则能围成，否则，不能围成；
（3）过点(2,4)作l 的平行线，即可作出直线y=−2x+a的图象，将点(2,4)代入y=−2x+a，即可求出a
1
的值；
8
（4）根据存在交点，得出方程−2x+a= (a>0)有实数根，根据根的判别式得出a≥8，再得出反比例函
x
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8
数图象经过点(1,8)，(8,1)，则当y=−2x+a与y= 图象在点(1,8)左边，点(8,1)右边存在交点时，满足题
x
意；根据图象，即可写出取值范围．
8
【详解】解：（1）∵反比例函数y= (x>0)，直线l ：y=−2x+10，
x 1
∴联立得：¿，
解得：¿，¿，
∴反比例函与直线l ：y=−2x+10的交点坐标为(1,8)和(4,2)，
1
当木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=4m，BC=2m．
故答案为：(4,2)4；2．
（2）不能围出．
∵木栏总长为6m，
∴2x+ y=6，则y=−2x+6，
画出直线y=−2x+6的图象，如图中l 所示：
2
8
∵l 与函数y= 图象没有交点，
2 x
∴不能围出面积为8m2的矩形；
（3）如图中直线l 所示，l 即为y=−2x+a图象，
3 3
将点(2,4)代入y=−2x+a，得：4=−2×2+a，
解得a=8；
8
（4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， y=−2x+a与y= 图象在第一象限内交点的存在
x
问题，
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8
即方程−2x+a= (a>0)有实数根，
x
整理得：2x2−ax+8=0，
∴Δ=(−a) 2−4×2×8≥0，
解得：a≥8，
8 8
把x=1代入y= 得：y= =8，
x 1
∴反比例函数图象经过点(1,8)，
8 8
把y=1代入y= 得：1= ，解得：x=8，
x x
∴反比例函数图象经过点(8,1)，
令A(1,8)，B(8,1)，过点A(1,8)，B(8,1)分别作直线l 的平行线，
3
8
由图可知，当y=−2x+a与y= 图象在点A左边，点B右边存在交点时，满足题意；
x
把(8,1)代入y=−2x+a得：1=−16+a，
解得：a=17，
∴8≤a≤17．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关
系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据．
33．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=kx+2与x，y轴分别相
m
交于点A，B，与反比例函数y= (x>0)的图象相交于点C，已知OA=1，点C的横坐标为2．
x
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(1)求k，m的值；
(2)平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平
行四边形，求点D的坐标．
【答案】(1)k=2，m=12；
(2)点D的坐标为(√6，2√6+2)或(√7−1，2√7)
【分析】（1）求得A(−1，0)，利用待定系数法即可求得直线的式，再求得C(2，6)，据此即可求解；
( 12) | 12|
（2）设点D(a，2a+2)，则点E a， ，利用平行四边形的性质得到 2a+2− =2，解方程即可
a a
求解．
【详解】（1）解：∵OA=1，
∴A(−1，0)，
∵直线y=kx+2经过点A(−1，0)，
∴0=−k+2，解得，k=2，
∴直线的解析式为y=2x+2，
∵点C的横坐标为2，
∴y=2×2+2=6，
∴C(2，6)，
m
∵反比例函数y= (x>0)的图象经过点C，
x
∴m=2×6=12；
12
（2）解：由（1）得反比例函数的解析式为y= ，
x
令x=0，则y=2×0+2=2，
∴点B(0，2)，
( 12)
设点D(a，2a+2)，则点E a， ，
a
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∵以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∴DE=OB=2，
| 12| 12 12
∴ 2a+2− =2，整理得2a+2− =2或2a+2− =−2，
a a a
12
由2a+2− =2得2a2+2a−12=2a，
a
整理得a2=6，
解得a=±√6，
∵a>0，
∴a=√6，
∴点D(√6，2√6+2)；
12
由2a+2− =−2得2a2+2a−12=−2a，
a
整理得a2+2a−6=0，
解得a=±√7−1，
∵a>0，
∴a=√7−1，
∴点D(√7−1，2√7)；
综上，点D的坐标为(√6，2√6+2)或(√7−1，2√7)．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，解一元二次方程，用方
程的思想解决问题是解本题的关键．
34．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点
k
C(3，0)，顶点A、B(6，m)恰好落在反比例函数y= 第一象限的图象上．
x
(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式；
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(2)在x轴上是否存在一点P，使△ABP周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
6 1
【答案】(1)y= ，y=− x+4
x 2
(2)在x轴上存在一点P(5,0)，使△ABP周长的值最小,最小值是2√5+4√2．
【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥x轴于点D，证明△ACE≌△CBD(AAS)，则
CD=AE=3,BD=EC=m，由OE=3−m得到点A的坐标是(3−m,3)，由A、B(6，m)恰好落在反比例
k
函数y= 第一象限的图象上得到3(3−m)=6m，解得m=1，得到点A的坐标是(2,3)，点B的坐标是(6,1)，
x
进一步用待定系数法即可得到答案；
（2）延长AE至点A'，使得EA'=AE，连接A'B交x轴于点P，连接AP，利用轴对称的性质得到
AP=A'P，A'(2,−3)，则AP+PB=A'B，由AB=2√5知AB是定值，此时△ABP的周长为
AP+PB+AB=AB+A'B最小，利用待定系数法求出直线A'B的解析式，求出点P的坐标，再求出周长
最小值即可．
【详解】（1）解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥x轴于点D，
则∠AEC=∠CDB=90°，
∵点C(3，0)，B(6，m)，
∴OC=3,OD=6, BD=m，
∴CD=OD−OC=3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°,AC=BC，
∵∠ACE+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠ACE=∠CBD，
∴△ACE≌△CBD(AAS)，
∴CD=AE=3,BD=EC=m，
∴OE=OC−EC=3−m，
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∴点A的坐标是(3−m,3)，
k
∵A、B(6，m)恰好落在反比例函数y= 第一象限的图象上．
x
∴3(3−m)=6m，
解得m=1，
∴点A的坐标是(2,3)，点B的坐标是(6,1)，
∴k=6m=6，
6
∴反比例函数的解析式是y= ，
x
设直线AB所对应的一次函数的表达式为y=px+q，把点A和点B的坐标代入得，
¿，解得¿,
1
∴直线AB所对应的一次函数的表达式为y=− x+4，
2
（2）延长AE至点A'，使得EA'=AE，连接A'B交x轴于点P，连接AP，
∴点A与点A'关于x轴对称，
∴AP=A'P，A'(2,−3)，
∵AP+PB=A'P+PB=A'B，
∴AP+PB的最小值是A'B的长度，
∵AB=√(2−6) 2+(3−1) 2=2√5，即AB是定值，
∴此时△ABP的周长为AP+PB+AB=AB+A'B最小，
设直线A'B的解析式是y=nx+t，
则¿，
解得¿，
∴直线A'B的解析式是y=x−5，
当y=0时，0=x−5，解得x=5，
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即点P的坐标是(5,0)，
此时AP+PB+AB=AB+A'B=2√5+√(2−6) 2+(−3−1) 2=2√5+4√2，
综上可知，在x轴上存在一点P(5,0)，使△ABP周长的值最小，最小值是2√5+4√2．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求
两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
35．（2023·吉林·统考中考真题）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）
会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们
的部分对应值：
1
频率f（MHz） 15 50
0
3
波长λ（m） 20 6
0
(1)求波长λ关于频率f的函数解析式．
(2)当f =75MHz时，求此电磁波的波长λ．
300
【答案】(1)λ= ；
f
(2)4m
k
【分析】（1）设解析式为λ= (k≠0)，用待定系数法求解即可；
f
（2）把f =75MHz值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长λ．
k
【详解】（1）解：设波长λ关于频率f的函数解析式为λ= (k≠0)，
f
k
把点(10,30)代入上式中得： =30，
10
解得：k=300，
300
∴λ= ；
f
300
（2）解：当f =75MHz时，λ= =4，
75
答：当f =75MHz时，此电磁波的波长λ为4m．
【点睛】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，
利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．
36．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物
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高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的
反比例函数，当x=6时，y=2．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．
12
【答案】(1)y=
x
(2)4cm
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）把y=3代入反比例函数解析式，求出y的值即可．
k
【详解】（1）由题意设y= ，
x
把x=6，y=2代入，得k=6×2=12．
12
∴y关于x的函数解析式为y= ．
x
12
（2）把y=3代入y= ，得x=4．
x
∴小孔到蜡烛的距离为4cm．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及求函数值，能正确掌握待定系数法是解答本题
的关键．
37．（2023·河南·统考中考真题）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系
k
中，以反比例函数y= 图象上的点A(√3,1)和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E
x
在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作A´C，连接BF．
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(1)求k的值；
(2)求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．
【答案】(1)√3
(2)半径为2，圆心角为60°
2
(3)3√3− π
3
k
【分析】（1）将A(√3,1)代入y= 中即可求解；
x
（2）利用勾股定理求解边长，再利用三角函数求出∠AOD的度数，最后结合菱形的性质求解；
（3）先计算出S =2√3，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合k的几何意义可求出
菱形AOCD
S =√3，从而问题即可解答．
△FBO
k
【详解】（1）解：将A(√3,1)代入y= 中，
x
k
得1= ，
√3
解得：k=√3；
（2）解：∵过点A作OD的垂线，垂足为G，如下图：
∵A(√3,1)，
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∴AG=1,OG=√3，
∴OA=√ (√3) 2+12=2，
∴半径为2；
1
∵AG= OA，
2
AG 1
∴sin∠AOG= = ，
OG 2
∴∠AOG=30°，
由菱形的性质知：∠AOG=∠COG=30°，
∴∠AOC=60°，
∴扇形AOC的圆心角的度数：60°；
（3）解：∵OD=2OG=2√3，
∴S =AG×OD=1×2√3=2√3，
菱形AOCD
1 1 2
∵S = ×πr2= ×π×22= π，
扇形AOC 6 6 3
如下图：由菱形OBEF知，S =S ，
△FHO △BHO
|k| √3
∵S = = ，
△BHO 2 2
√3
∴S =2× =√3，
△FBO 2
2 2
∴S =S +S −S =√3+2√3− π=3√3− π．
阴影部分面积 △FBO 菱形AOCD 扇形AOC 3 3
【点睛】本题考查了反比例函数及k的几何意义，菱形的性质、勾股定理、圆心角，解题的关键是掌握k的
几何意义．
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38．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+5与y轴交于点A，
k
与反比例函数y= 的图象的一个交点为B(a,4)，过点B作AB的垂线l．
x
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E
恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
4
【答案】(1)点A的坐标为(0,5)，反比例函数的表达式为y= ；
x
(2)点C的坐标为(6,9)或(−4,−1)
( 1 11)
(3)点P的坐标为 − , ；m的值为3
4 4
【分析】（1）利用直线y=−x+5解析式可的点C的坐标，将点B(a,4)代入y=−x+5可得a的值，再将
点B代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解；
（2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是AB的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法
1
求直线l的解析式y=x+3，C点坐标为(t，t+3)，根据S = AM⋅|x −x |=5(x ,x 分别代表点B
△ABC 2 B C B C
与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解；
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（3） 位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的
对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到E(−4,−1)，由△PAB∽△PDE得到AB∥DE，
继而得到直线AB与直线DE的解析式中的一次项系数相等，设直线DE的解析式是：y=−x+b ，将
2
E(−4,−1)代入y=−x+b 求得DE的解析式是：y=−x−5，再将直线DE与双曲线的解析式联立求得
2
D(−1,−4)，再用待定系数法求出AD的解析式是y=9x+5，利用直线AD的解析式与直线l的解析式联
( 1 11) 5 15
立求得点P的坐标为 − , ，再用两点间的距离公式得到BP= √2，EP= √2从而求得
4 4 4 4
EP
m= =3．
BP
【详解】（1）解：令x=0，则y=−x+5=5
∴点A的坐标为(0,5)，
将点B(a,4)代入y=−x+5得：4=−a+5
解得：a=1
∴B(1,4)
k k
将点B(1,4)代入y= 得：4=
x 1
解得：k=4
4
∴反比例函数的表达式为y= ；
x
（2）解：设直线l于y轴交于点M，直线y=−x+5与x轴得交点为N，
令y=−x+5=0解得：x=5
∴N(5,0)，
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∴OA=ON=5，
又∵∠AON=90°，
∴∠OAN=45°
∵A(0,5)，B(1,4)
∴AB=√(1−0) 2+(4−5) 2=√2
又∵直线l是AB的垂线即∠ABM=90°，∠OAN=45°，
∴AB=BM=√2，AM=√AB2+BM2=2
∴M(0,3)
设直线l的解析式是：y=k x+b ，
1 1
将点M(0,3)，点B(1,4)代入y=k x+b 得：¿
1 1
解得：¿
∴直线l的解析式是：y=x+3，
设点C的坐标是(t，t+3)
1 1
∵S = AM⋅|x −x |= ×2×|1−t|=5，(x ,x 分别代表点B与点C的横坐标)
△ABC 2 B C 2 B C
解得： t=−4或6，
当t=−4时，t+3=−1；
当t=6时，t+3=9，
∴点C的坐标为(6,9)或(−4,−1)
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，
4
∴点E是直线l与双曲线y= 的另一个交点，
x
将直线l与双曲线的解析式联立得：¿
解得：¿或¿
∴E(−4,−1)
画出图形如下：
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又∵△PAB∽△PDE
∴∠PAB=∠PDE
∴AB∥DE
∴直线AB与直线DE的解析式中的一次项系数相等，
设直线DE的解析式是：y=−x+b
2
将点E(−4,−1)代入y=−x+b 得：−1=−(−4)+b
2 2
解得：b =−5
2
∴直线DE的解析式是：y=−x−5
4
∵点D也在双曲线y= 上，
x
4
∴点D是直线DE与双曲线y= 的另一个交点，
x
将直线DE与双曲线的解析式联立得：¿
解得：¿或¿
∴D(−1,−4)
设直线AD的解析式是：y=k x+b
3 3
将点A(0,5)，D(−1,−4)代入y=k x+b 得：¿
3 3
解得：¿
∴直线AD的解析式是：y=9x+5，
又将直线AD的解析式与直线l的解析式联立得：¿
解得：¿
( 1 11)
∴点P的坐标为 − ,
4 4
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√ ( 1 ) 2 (11 ) 2 5
∴BP= − −1 + −4 = √2
4 4 4
√[ 1 ] 2 [11 ] 2 15
EP= − −(−4) + −(−1) = √2
4 4 4
EP
∴m= =3
BP
【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综
合−几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的
性质是解题的关键．
2
39．（2023·广东广州·统考中考真题）已知点P(m,n)在函数y=− (x<0)的图象上．
x
(1)若m=−2，求n的值；
(2)抛物线y=(x−m)(x−n)与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为
E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设△GMN的外接圆圆心为C，⊙C与y轴的另一个交点为F，当m+n≠0时，是否存在四边形FGEC为
平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)n的值为1；
( √6 7) (√6 7)
(2)①m=−√2；②假设存在，顶点E的坐标为 − ，− ，或 ，− ．
2 2 2 2
2 2
【分析】（1）把m=−2代入y=− (x<0)得n=− =1，即可求解；
x −2
m+n 1 1
（2）①x= ，得y=(x−m)(x−n)=− (m−n) 2=−2− (m+n) 2≤−2，即可求解；
2 4 4
1 1 (m+n 1)
②求出直线TS的表达式为：y=− m(x− m)−1，得到点C的坐标为 ，− ；由垂径定理知，
2 2 2 2
1
点C在FG的中垂线上，则FG=2(y −y )=2×(− +2)=3；由四边形FGEC为平行四边形，则
C G 2
1 7
CE=FG=3= y −y =− −y ，求出y =− ，进而求解．
C E 2 E E 2
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2 2
【详解】（1）解：把m=−2代入y=− (x<0)得n=− =1；
x −2
故n的值为1；
（2）解：①在y=(x−m)(x−n)中，令y=0，则(x−m)(x−n)=0，
解得x=m或x=n，
∴M(m,0)，N(n,0)，
2
∵点P(m,n)在函数y=− (x<0)的图象上，
x
∴mn=−2，
m+n 1 1
令x= ，得y=(x−m)(x−n)=− (m−n) 2=−2− (m+n) 2≤−2，
2 4 4
即当m+n=0，且mn=−2，
则m2=2，解得：m=−√2（正值已舍去），
即m=−√2时，点E到达最高处；
②假设存在，理由：
对于y=(x−m)(x−n)，当x=0时，y=mn=−2，即点G(0,−2)，
m+n 1 m+n
由①得M(m,0)，N(n,0)，G(0,−2)，E( ，− (m−n) 2 )，对称轴为直线x= ，
2 4 2
OG 2
由点M(m,0)、G(0,−2)的坐标知，tan∠OMG= = ，
OM −m
(1 )
作MG的中垂线交MG于点T，交y轴于点S，交x轴于点K，则点T m，−1 ，
2
1
则tan∠MKT=− m，
2
1 1
则直线TS的表达式为：y=− m(x− m)−1．
2 2
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m+n 1 1 1
当x= 时，y=− m(x− m)−1=− ，
2 2 2 2
(m+n 1)
则点C的坐标为 ，− ．
2 2
1
由垂径定理知，点C在FG的中垂线上，则FG=2(y −y )=2×(− +2)=3．
C G 2
∵四边形FGEC为平行四边形，
1
则CE=FG=3= y −y =− −y ，
C E 2 E
7
解得：y =− ，
E 2
1 7
即− (m−n) 2=− ，且mn=−2，
4 2
则m+n=±√6，
( √6 7) (√6 7)
∴顶点E的坐标为 − ，− ，或 ，− ．
2 2 2 2
【点睛】本题为反比例函数和二次函数综合运用题，涉及到一次函数基本知识、解直角三角形、平行四边
形的性质、圆的基本知识，其中（3），数据处理是解题的难点．
40．（2023·四川凉山·统考中考真题）阅读理解题：
阅读材料：
1
如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα= ，则
2
1
tanβ= ．
3
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1
证明：设BE=k，∵tanα= ，∴AB=2k，
2
易证△AEB≌△EFC(AAS)
∴EC=2k,CF=k，
∴FD=k,AD=3k
DF k 1
∴tanβ= = = ，
AD 3k 3
1 1
若α+β=45°时，当tanα= ，则tanβ= ．
2 3
1 1
同理：若α+β=45°时，当tanα= ，则tanβ= ．
3 2
根据上述材料，完成下列问题：
m
如图2，直线y=3x−9与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺
x
时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知
OA=5．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；
(3)求直线AE的解析式．
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12
【答案】(1)y= (x>0)
x
1 1
(2)tan∠BAM= ，tan∠NAE=
3 2
1
(3)y= x+1
2
【分析】（1）首先求出点B(3,0)，然后设A(a,3a−9)，在Rt△AOM中，利用勾股定理求出a=4，得到
m
A(4,3)，然后代入y= (x>0)求解即可；
x
（2）首先根据A(4,3)，B(3,0)得到MO=4，BO=3，求出MB=1，AM=3，然后利用正切值的概念求
BM 1
出tan∠BAM= = ，然后证明出四边形NOMA是矩形，得到∠BAM+∠NAE=45°，然后由
AM 3
1 1
tan∠BAM= 即可求出tan∠NAE= ；
3 2
1
（3）首先根据矩形的性质得到AN=OM=4，NO=AM=3，然后利用tan∠NAE= 求出NE=2，进而
2
得到E(0,1)，然后设直线AE的解析式为y=kx+b，利用待定系数法将E(0,1)和A(4,3)代入求解即可．
【详解】（1）将y=0代入y=3x−9得，x=3，
∴B(3,0)，
m
∵直线y=3x−9与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A，
x
∴设A(a,3a−9)，
∵AM⊥x，OA=5，
∴在Rt△AOM中，OM2+AM2=AO2，
∴a2+(3a−9) 2=52，
7
∴解得a =4，a = ，
1 2 5
∵点A的横坐标要大于点B的横坐标，
7
∴a = 应舍去，
2 5
∴a=4，
∴A(4,3)，
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m
∴将A(4,3)代入y= (x>0)，解得m=12；
x
12
∴反比例函数的解析式为y= (x>0)；
x
（2）∵A(4,3)，B(3,0)，
∴MO=4，BO=3，
∴MB=1，AM=3，
∵AM⊥x，
BM 1
∴tan∠BAM= = ，
AM 3
∵AN⊥y，∠NOM=90°，
∴四边形NOMA是矩形，
∴∠NAM=90°，
∵将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，
∴∠BAE=45°，
∴∠BAM+∠NAE=45°，
1
∵tan∠BAM= ，
3
1
∴tan∠NAE= ；
2
（3）∵四边形NOMA是矩形，
∴AN=OM=4，NO=AM=3，
1
∵AN⊥y，tan∠NAE= ，
2
NE 1 NE 1
∴ = ，即 = ，
AN 2 4 2
∴解得NE=2，
∴OE=ON−NE=1，
∴E(0,1)，
∴设直线AE的解析式为y=kx+b，
∴将E(0,1)和A(4,3)代入得，¿，
∴解得¿，
1
∴直线AE的解析式为y= x+1．
2
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【点睛】此题考查了反比例函数，一次函数和几何综合题，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，
解题的关键是正确理解材料的内容．
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