文档内容
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第 09 讲 函数与平面直角坐标系
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 平面直角坐标系
题型01 用有序数对表示点的位置
考点二 点的坐标特征与变换
题型01 判断点所在的象限
题型02 由点到坐标轴的距离判断点的坐标
题型03 由点的坐标确定点到坐标轴的距离
题型04 由点在坐标系的位置确定点的坐标
题型05 由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围
题型06 探索点的坐标规律
类型一 沿坐标系水平运动的点的规律探查
类型二 沿坐标系翻折运动的点的规律探查
类型三 绕原点呈“回”字形运动的点的规律探查
类型四 图形变换中点的规律探查
类型五 新定义问题中点的规律探查
考点三 坐标方法的简单应用
题型01 实际问题中用坐标表示位置
题型02 用方位角和距离确定物体位置
题型03 根据方位描述确定物体位置
题型04 平面直角坐标系中面积问题
类型一 直接利用面积公式求面积
类型二 已知三角形面积求点的坐标
类型三 利用割补法求面积
类型四 利用补形法求面积
类型五 与图形面积相关的存在性问题
考点四 函数
题型01 函数的概念辨析
题型02 根据实际问题列函数解析式
题型03 求自变量的取值范围
题型04 求自变量的值或函数值
题型05 函数图象的识别
题型06 从函数图象中获取信息
题型07 用描点法画函数图象
题型08 动点问题的函数图象
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考点要求 新课标要求 命题预测
平面直角坐
理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系.
标系
在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由
点的位置写出坐标.
该专题内容是初中
对给定的正方形，会选择合适的平面直角坐标系，写出它的
代数最重要的部
顶点坐标，体会可以用坐标表达简单图形.
分，是代数的基
点的坐标 在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知
础，非常重要，年
特征与变换 顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的
年都会考查，分值
关系.
在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿 为10分左右.预计
坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间 2024年各地中考还
的关系. 将出现，在选择、
在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的 填空题中出现的可
坐标方法的
位置.
能性较大．
简单应用
在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置.
探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的
意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例;
能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析;
函数 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值;
能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系
理解函数值的意义;
结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论.
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考点一 平面直角坐标系
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有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）.
相关概念 具体内容
定义 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系.
平
两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取 向右 方向为正方向；
面
竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取 向上 方向为正方向.（见图一）
直
角
原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点.
坐
标 坐标平面 坐标系所在的平面叫做坐标平面.
系
x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限.
象限
按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.（见图一）
对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应
点的坐标
的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作
A(a，b). （见图二）
1. 有序数对（a，b）与（b，a）顺序不同，含义也不同.
2. 坐标轴上的点不属于任何象限.
3. 坐标平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标.
4. 坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即
坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系.
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题型01 用有序数对表示点的位置
【例1】．（2023·吉林·统考一模）在学习有序数对时，老师和同学们用如图所示的密码表玩听声音猜动物
的游戏．当听到“叮叮-叮，叮叮叮-叮叮，叮-叮”时，分别对应的字母是“C，A，T”，表示的动物是猫．
当听到“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”时，表示的动物是（ ）
A．牛 B．鱼 C．狗 D．猪
【答案】C
【分析】根据题意，声音的前一部分表示列数，后一部分表示行数，举出即可求解．
【详解】解：依题意，“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”，对应的字母分贝为D，O，G，
故选：C．
【点睛】本题考查了用有序实数对表示位置，理解题意是解题的关键．
【变式1-1】嘉嘉乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的小艇A，B，C的位置如图所示，
每相邻两个圆之间距离是1km，小圆半径是1km．若小艇B相对于游船的位置可表示为(−60°，2)，小艇
C相对于游船的位置可表示为(0°,−1)向东偏为正，向西偏为负，下列关于小艇A相对于游船的位置表示
正确的是( )
A．小艇A(30°，3) B．小艇A(−30°，3)
C．小艇A(30°，−3) D．小艇A(60°，3)
【答案】A
【分析】根据向东偏为正，向西偏为负，可得横坐标，根据每两个圆环之间距离是1千米，可得答案．
【详解】解：图中小艇A相对于游船的位置表示(30°，3)，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，利用方向角表示横坐标，利用圆环间的距离表示纵坐标，注意向东偏
为正，向西偏为负．
【变式1-2】（2023长阳县一模）如图是济南市地图简图的一部分，图中“济南西站”、“雪野湖”所在
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区域分别是（ ）
D E F
4 遥墙国际机场
5 济南西站 野生动物世界
6 济南国际园博园 七星台风景区 雪野湖
A．E4，E6 B．D5，F5 C．D6，F6 D．D5，F6
【答案】D
【分析】观察已知表格，由行列定位法确定位置即可知道答案．
【详解】解：由行列定位法知，图中“济南西站”、“雪野湖”所在区域分别是：D5，F6故选：D
【点睛】本题考查行列定位法确定位置，熟记相关的知识点是解题的关键．
【变式1-3】（2023·北京海淀·校考一模）小杰与同学去游乐城游玩，他们准备根据游乐城平面示意图安排
游玩顺序，如果用(8,5)表示入口处的位置，(6,1)表示高空缆车的位置，那么攀岩的位置可以表示为 ，
的位置离入口最近．
【答案】 (0,7) 天文馆
【分析】先根据入口和高空缆车的位置，确定原点，并建立平面直角坐标系，即可进行解答．
【详解】解：∵(8,5)表示入口处的位置，(6,1)表示高空缆车的位置，
∴可建立如图所示平面直角坐标系：
由图可知：攀岩的位置可以表示为(0,7)，天文馆的位置离入口最近．
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故答案为：(0,7)，天文馆．
【点睛】本题主要考查了根据题意建立平面直角坐标系，解题的关键是根据(8,5)表示入口处的位置，(6,1)
表示高空缆车的位置，确定原点位置．
在同一平面内，表示物体的位置需要用两个数，而且这两个数顺序不同，表示的位置也不同. 用有
序数对表示位置时，必须明确前后两个数表示的实际意义.
考点二 点的坐标特征与变换
一、点的坐标特征
第一象限 x＞0，y＞0
第二象限 x＜0，y＞0
在象限内
第三象限 x＜0，y＜0
第四象限 x＞0，y＜0
x轴 y=0
坐标轴上
点P(x，y)
y轴 x=0
的位置
原点 x=y=0
在角平分线上 第一、三象限 x=y
第二、四象限 x= -y
平行x轴 所有点的 纵 坐标相等
在平行坐标轴的直线上
平行y轴 所有点的 横 坐标相等
二、点的坐标变化
变换方式 具体变换过程 变换后的坐标
向左平移a个单位 （x-a，y）
向右平移a个单位 (x+a，y)
平移变换
向上平移a个单位 (x，y+a)
向下平移a个单位 (x，y-a)
点P(x，y)
简单记为“点的平移右加左减，上加下减”
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关于x轴对称 (x，-y)
关于y轴对称 (-x，y)
对称变换
关于原点对称 (-x，-y)
简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变”
关于x=m对称 (2m-x，y)
关于y=n对称 (x，2n-y)
绕原点顺时针旋转90° （y，-x）
绕原点顺时针旋转180° (-x，-y)
旋转变换
绕原点逆时针旋转90° （-y，x）
绕原点逆时针旋转180° (-x，-y)
三、点到坐标轴的距离
y
在平面直角坐标系中，已知点P(a,b)， 则
a
P（a,b）
1）点P到x轴的距离为|b|；
b
2）点P到y轴的距离为|a|；
3）点P到原点O的距离为P＝ √a2+b2.
O x
四、坐标系内点与点之间的距离
点M（x，y）与点N（x，y）之间的直线距离（线段长度）：|MN|=√（x −x ) 2+(y −y ) 2
1 1 2 2 2 1 2 1
若AB∥x轴，则A(x ,y),B(x ,y)的距离为|x −x |；
A B A B
若AB∥y轴，则A(x,y ),B(x,y )的距离为|y −y |；
A B A B
1）原点既是x轴上的点，又是y 轴上的点.
2）点的横坐标或纵坐标为0，说明点在 y轴上或在x轴上.
3）已知点的坐标可以求出点到x 轴、y轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值.
4）点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面：
①到x 轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；
②距离都是非负数，而坐标可以是负数.
5）因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐
标变大，向下平移纵坐标变小.
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题型01 判断点所在的象限
【例1】（2023松阳县二模）在平面直角坐标系中，点P(1,−2)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据平面直角坐标系内各点的坐标特征即可解答．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点P(1,−2)位于第四象限．
故答案为：D．
【点睛】本题主要考查了坐标系内各点的坐标特征，掌握第四象限内的点的横坐标大于零，纵坐标小于零
是解答本题的关键．
【变式1-1】在平面直角坐标系中，若点A(−1，a+b)与点B(a−b,3)关于y轴对称，则点C(−a,b)落在
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】直接利用关于y轴对称的性质得出a,b的值，进而结合各象限内点的坐标特点得出答案．
【详解】∵点A(−1，a+b)与点B(a−b,3)关于y轴对称，
∴¿，
解得：¿，
则点C(−a,b)即C(−2,1)在第二象限．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征，正确得出a,b的值是解题关键．
【变式1-2】（2023·陕西宝鸡·统考三模）二次函数y=(x+m) 2+n的图像如图所示，则点(m,n)所在的象
限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据函数解析式得出顶点为（−m,n），根据图像可得−m>0，n<0，即可得出m<0，则
点(m,n)所在的象限即可判定．
【详解】解：∵二次函数y=(x+m) 2+n，
∴顶点为（−m,n），
由函数图像可知，抛物线的顶点在第四象限，
∴−m>0，n<0，
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∴m<0，
∴点(m,n)在第三象限．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的性质，先分析信息，再进行判断是解题的
关键．
【变式1-3】（2023·福建泉州·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，点P(−5,a2+1)所在的象限是
（ ）.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据平方数的非负性判断出点P的纵坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】∵a2≥0
∴a2+1≥1
∴点P(−5,a2+1)所在的象限是第二象限．
故选：B．
【点睛】此题考查各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题关键．
【变式1-4】（2023遂溪县三模）已知a0，
∴点P(a−b,ab)在第二象限．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的特征，熟练掌握各象限内点的坐标符号是解决本题的关键．
【变式1-5】（2023·浙江台州·台州市书生中学统考一模）若点P(a,b)在第二象限，则点Q(−b,−a)在
第 象限．
【答案】二
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数判断出a、b的正负情况，再根据各象限内点的
坐标特征解答．
【详解】∵点P(a,b)在第二象限，∴a<0,b>0，∴点Q(−b,−a)在第二象限．故答案为：二．
记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二
象限(- ,+)；第三象限(- ,- )；第四象限(+,-)．
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题型02 由点到坐标轴的距离判断点的坐标
【例2】在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，它到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标
为( )
A．(3，1) B．(−3，1) C．(−1，3) D．(1，−3)
【答案】C
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数以及点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y
轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【详解】解：∵点P在第二象限内，
∴点P的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∵点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，
∴点P的坐标为(−1，3)．
故选：C
【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离
等于横坐标的绝对值是解题的关键．
【变式2-1】（2023邯郸市三模）已知点P在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴距离是4，则点P的坐
标为（ ）
A．(4,−2) B．(−4,2) C．(−2,4) D．(2,−4)
【答案】A
【分析】根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴
的距离是横坐标的绝对值，可得答案．
【详解】解：由到x轴的距离是2，到y轴的距离是4，得：
|x|=4，|y|=2．
∴x=±4，y=±2
又点P位于第四象限，
∴x>0，y<0，
∴x=4，y=−2，
∴ P点坐标为(4,−2)，
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值得出
|x|=4，|y|=2是解题关键．
【变式2-2】（2022温江区二模）若点P在第二象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是1，则点P的坐
标是（ ）
A．(3,1) B．(−1,3) C．(−1,−3) D．(−3,1)
【答案】B
【分析】根据到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值进行求解即可．
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【详解】解：∵点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是1，
∴点P的横坐标的绝对值为1，纵坐标的绝对值为3，
又∵点P在第二象限，
∴点P的坐标为(−1,3)，
故选B．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系各象限坐标符号的特征和点到坐标轴的距离，熟记相关基础知识是解
决本题的关键．
题型03 由点的坐标确定点到坐标轴的距离
【例3】（2023·湖南长沙·统考一模）已知第三象限的点P(−4，−5)，那么点P到x轴的距离为
（ ）
A．−4 B．4 C．−5 D．5
【答案】D
【分析】根据到x轴的距离是纵坐标的绝对值求解即可．
【详解】解：点P(−4，−5)到x轴的距离为|−5|=5，
故选：D．
【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，解题关键是熟记到x轴的距离是纵坐标的绝对值．
【变式3-1】（2023·广东广州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是A(−2,1)，AB=5，
且∠AOB=90°．那么点B的到x轴的距离是（ ）
A．2 B．4 C．2√5 D．√5
【答案】B
【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，进而得出∠BOD=∠CAO，根据
sin∠BOD=sin∠CAO，即可求解．
【详解】解：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，则∠ACO=∠ODB=90°，
∠CAO+∠AOC=90°，
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∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠BOD=∠CAO，
∴ sin∠BOD=sin∠CAO，
CO BD
∴ = ，
AO BO
又∵A的坐标是(−2,1)，
∴ AC=1，CO=2，
∴ AO=√AC2+OC2=√5，
∵ AB=5，∠AOB=90°，
∴ BO=√AB2−AO2=2√5，
2 BD
∴ = ，
√5 2√5
解得：BD=4，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，通过作垂线构造相似三角形是解决问题的关键．
题型04 由点在坐标系的位置确定点的坐标
【例4】（2023福州一中一模）已知在平面直角坐标系中，矩形ABCD的三个顶点的坐标为A(−1,2)，
B(−1,−1)，C(3,−1)，则第四个顶点D的坐标为( )
A．(2,2) B．(3,2) C．(3,3) D．(2,3)
【答案】B
【分析】根据题意描出点A,B,C，结合矩形的定义即可求解．
【详解】解：如图所示，矩形ABCD的三个顶点的坐标为A(−1,2)，B(−1,−1)，C(3,−1)，
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∴D(3,2),
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的等定义，数形结合是解题的关键．
【变式4-1】（2023·贵州贵阳·统考三模）若一个点的坐标为(−1,3)，则这个点在如图所示的平面直角体
系上的位置是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】B
【分析】根据(−1,3)的坐标信息可得点在第二象限，从而可得答案．
【详解】解：一个点的坐标为(−1,3)，
则这个点在如图所示的平面直角坐标系上的位置是点N，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平面直角坐标系内点的坐标特点，根据点的坐标确定点所在的象限是解本题的关键．
【变式4-2】（2020·江苏连云港·中考真题）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶
点M、N的坐标分别为(3,9)、(12,9)，则顶点A的坐标为 ．
【答案】(15,3)
【分析】先根据条件，算出每个正方形的边长，再根据坐标的变换计算出点A的坐标即可．
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【详解】解：设正方形的边长为a，
则由题设条件可知：3a=12−3
解得：a=3
∴点A的横坐标为：12+3=15，点A的纵坐标为：9−3×2=3
故点A的坐标为(15,3)．
故答案为：(15,3)．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，根据图形和点的特征计算出点的坐标是解题的关键．
【变式4-3】（2023·山东临沂·统考二模）如图是棋盘的一部分，已知建立适当的平面直角坐标系后，棋盘
中“相”的坐标是(4,2)，“馬”的坐标是(−2,2)，则“帅”的坐标是 ．
【答案】(0，1)
【分析】先利用已知点坐标得出原点位置，进而确定“帅”的坐标即可．
【详解】解：由棋盘中“相”的坐标是(4，2)，“馬”的坐标是(−2,2)，
则建立如图所示坐标系：
“帅”的坐标是(0，1)．
故答案为：(0，1)．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解答本题的关键．
【变式4-4】点A(3,1)关于点P(1,0)的对称点B的坐标是 ．
【答案】(−1,−1)
【分析】根据题意可得P为AB的中点，再由中点坐标公式计算，即可求解．
【详解】解：∵A(3,1)关于点P(1,0)的对称点为B，
∴P为AB的中点，
设B点的坐标为(x,y)，
∴¿，解得：¿
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∴B点的坐标为(−1,−1)．
故答案为：(−1,−1)．
【点睛】本题主要考查了中点坐标公式，解题的关键是熟练掌握中点坐标公式．
【变式4-5】长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，若AD＝10，点B的坐标为（﹣6，6），
则点C的坐标为 ．
【答案】（4，6）
【分析】由题意易得BC//AD，则点B与点C的纵坐标相等，然后根据两点距离公式可进行求解．
【详解】解：在长方形ABCD中，BC//AD，
∴点B与点C的纵坐标相等，
设点C(x,3)，
∵AD＝10，
∴BC＝10，
∴x=−6+10=4，
∴C（4，6）；
故答案为：（4，6）．
【点睛】本题主要考查坐标与图形，熟练掌握求一个点的坐标是解题的关键．
【变式4-6】（2023东台市一模）在平面直角坐标系中，直线AB平行于y轴，A点坐标为(−3,2)，B点坐
标可能为（ ）
A．(4,2) B．(−3,4) C．(3,−4) D．(−4,2)
【答案】B
【分析】根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，进行判断即可．
【详解】解：∵直线AB平行于y轴，
∴点A,B的横坐标相同，
∵A点坐标为(−3,2)，
∴B点坐标的横坐标为−3，
所以A,C,D，不符合题意，B，符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查坐标系下点的规律探究．熟练掌握平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，是解题的关
键．
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题型05 由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围
【例5】（2023新桥区三模）点P(m+3,m+1)在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标是（ ）
A．(2,0) B．(0,−2) C．(4,0) D．(0,−4)
【答案】A
【分析】由纵坐标为0可得：m+1=0，进而求解m的值，则问题得解．
【详解】解：由点P(m+3,m+1)在直角坐标系的x轴上，可得：
m+1=0，解得：m=−1，
∴m+3=−1+3=2，
∴点P(2,0)；
故选A．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系里点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系里x轴上点的坐标特点是解
题的关键．
【变式5-1】（2023·浙江杭州·统考二模）点M(m,n)在y轴上，则点M的坐标可能为（ ）
A．(−4,−4) B．(4,4) C．(−2,0) D．(0,2)
【答案】D
【分析】根据y轴上点的横坐标为0求出m的值，即可得到答案．
【详解】∵点M(m,n)在y轴上，
∴m=0，
∴点M的坐标可能为(0,2)．
故选：D．
【点睛】本题考查点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0，x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．
【变式5-2】在平面直角坐标系中，点M(m−1,2m)在x轴上，则点M的坐标是（ ）
A．(1,0) B．(−1,0) C．(0,2) D．(0,−1)
【答案】B
【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0，得出m的值进而得出M的坐标．
【详解】解：点M(m−1,2m)在x轴上，则2m=0，
解得m=0，
∴M(−1,0)，
故选：B．
【点睛】本题考查了x轴上的点的坐标特征，掌握x轴上的点的纵坐标为0是解题的关键．
【变式5-3】（2023·江苏盐城·景山中学校考模拟预测）若点P(−m，m−3)关于原点对称的点在第二象
限，则m的取值范围为（ ）
A． m>3 B．03
【答案】C
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【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出对应点，进而利用第二象限点的坐标特点得出答案．
【详解】解：点P(−m，m−3)关于原点的对称点为(m，3−m)，
∵(m，3−m)在第二象限，
∴¿，
解得m<0，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标以及解一元一次不等式组，两个点关于原点对称时，它
们的坐标符号相反．
【变式5-4】）如果点P(x,y)关于原点对称的点在第四象限，则（ ）
A．x<0，y>0 B．x>0，y≥0 C．x>0，y<0 D．x>0，y≤0
【答案】A
【分析】首先根据题意判断出P点在第二象限，再根据第二象限内点的坐标特点即可得到答案．
【详解】解：∵P(x,y)关于原点对称的点在第四象限，
∴P点在第二象限，
∴x<0，y>0．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，以及各象限内点的坐标符号，关键是判断出P点
所在象限．
【变式5-5】（2023·山西太原·太原市实验中学校考三模）若点A(m−4，1−2m)在第三象限，那么m的
值满足（ ）
1 1
A． C．m<4 D．m>4
2 2
【答案】A
【分析】根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数列出不等式组，然后求解即可．
【详解】解：∵点A(m−4，1−2m)在第三象限，
∴¿，
1
解得： 0，m−3=−4<0，由第四象限(+,−)，可知点P(−m,m−3)在第四象
限；
当点P在x轴上时，由x轴上的点的纵坐标为0可得m−3=0，解得m=3．
故答案为：四；3．
【变式5-7】（2023梅溪湖中学三模）在平面直角坐标系中，已知点M(1−a，a+2)在y轴上，则a的值
是 ．
【答案】1
【详解】根据y轴上点的横坐标为0列方程求解即可．
【解答】解：因为点M(1−a，a+2)在y轴上，
所以1−a=0，
解得a=1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键.
【变式5-8】（2023·江苏泰州·统考二模）若点P(a，2a−1)在一、三象限角平分线的下方，则a的取值
范围是 ．
【答案】a<1
【分析】根据一、三象限夹角平分线上点的特点，得出关于a的不等式，解不等式即可．
【详解】解：∵点P(a，2a−1)在一、三象限角平分线的下方，
∴a−(2a−1)>0，
解得：a<1．
故答案为：a<1．
【点睛】本题主要考查了象限内点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握一、三象限夹角平分线上点的特点，
列出不等式．
【变式5-9】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，若▱ABCD的
顶点A，B，C，D的坐标分别为(0，3)，(2，−1)，(m，−1)，(−4，3)，求m的值及▱ABCD的面积．
【答案】m=−2，▱ABCD的面积=16．
【分析】设BC与y轴交于点E．根据平行四边形的性质和各个坐标特点得出AD∥BC∥x轴，
AD=BC=4，从而求出AE=4；根据B(2，−1)，C(m，−1)及AD=BC=4即可求出m=−2，根据平
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行四边形的面积公式即可求得面积．
【详解】解：如图，设BC与y轴交于点E．
在▱ABCD中，A(0，3)，D(−4，3)，
则有：AD∥BC∥x轴，AD=BC=4，
∴∠AEB=90°
∵A(0，3)，B（(2，−1)
∴AE=4
∵B(2，−1)，C(m，−1)
∴2−m=4，
∴m=−2
又∵AE⊥BC
∴▱ABCD的面积=AE×BC=4×4=16．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及坐标与图形，熟练掌握性质定理是解题的关键．
【变式5-10】（2023·陕西汉中·统考一模）已知点A(2a,3a+1)是平面直角坐标系中的点．若点A在第三
象限，且到两坐标轴的距离和为9，请确定点A的坐标．
【答案】A(−4,−5)
【分析】根据第三象限点的坐标特征与点到坐标轴的距离，列出方程并求解，即可确定点A的坐标．
【详解】解：∵点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9，
∴−2a+[−(3a+1)]=9，
∴−2a−3a−1=9，
∴−5a=10，
∴a=−2，
∴2a=−4，3a+1=−5，
∴A(−4,−5)．
【点睛】本题考查了点的坐标特征，点到坐标轴的距离，解题关键是熟练掌握点的坐标特征：第一象限
(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
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题型06 探索点的坐标规律
类型一 沿坐标系水平运动的点的规律探查
【例6】（2023泰安六中二模）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原
点运动到点(1,1)，第2次接着运动到点(2,0)，第3次接着运动到点(3,2)，…，按这样的运动规律，经过第
2022次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．(2022,0) B．(2022,1) C．(2022,2) D．(2021,0)
【答案】A
【分析】观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是1，0，2，0，…4个数一个循
环，进而可得经过第2022次运动后，动点P的坐标．
【详解】解：观察点的坐标变化可知：
第1次从原点运动到点(1，1)，
第2次接着运动到点(2，0)，
第3次接着运动到点(3，2)，
第4次接着运动到点(4，0)，
第5次接着运动到点(5，1)，
…
按这样的运动规律，
发现每个点的横坐标与次数相等，
纵坐标是1，0，2，0；4个数一个循环，
所以2022÷4=505…2，
所以经过第2022次运动后，
动点P的坐标是(2022，0)．
故选：A．
【点睛】本题考查了规律型−点的坐标，解决本题的关键是观察点的坐标变化寻找规律．
【变式6-1】（2023·河南安阳·统考一模）在平面直角坐标系中，将若干个边长为2个单位长度的等边三角
形按如图所示的规律摆放，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边OA →
1
A A →A A →A A →A A …的路线运动，设第n秒运动到点P （n为正整数），则点P 的坐标是
1 2 2 3 3 4 4 5 n 2023
（ ）
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A．(2022,0) B．(2022,−√3) C．(2023,√3) D．(2023,−√3)
【答案】C
【分析】通过观察可得，A 每6个点的纵坐标规律：√3，0，√3，0，−√3，0，点A 的横坐标规律：1，
n n
2，3，4，5，6，…，n，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边“
OA →A A →A A →A A →A A …”的路线运动，1秒钟走一段，P运动每6秒循环一次，点P
1 1 2 2 3 3 4 4 5
运动n秒的横坐标规律：1，2，3，4，5，6，…，n，点P的纵坐标规律：√3，0，√3，0，−√3，
0，…，确定P 循环的点即可．
2023
【详解】解：过点A 作A B⊥x轴于B，
1 1
∵图中是边长为2个单位长度的等边三角形，
∴OB=BA =1，
2
∴A B=√OA 2−OB2=√3，
1 1
∴A (1，√3)，A (2，0)，
1 2
同理A (3，√3)，A (4，0)，
3 4
A (5，−√3)，A (6，0)，
5 6
A (7，√3)，
7
…
∴A 中每6个点的纵坐标规律：√3，0，√3，0，−√3，0，
n
点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边“
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OA →A A →A A →A A →A A …” 的路线运动，1秒钟走一段，
1 1 2 2 3 3 4 4 5
∴P运动每6秒循环一次，
∴点P的纵坐标规律：√3，0，√3，0，−√3，0，…，
点P的横坐标规律： 1，2，3，4，5，6，…，n，
∵2023÷6=337…1，
∴点P 的纵坐标为√3，
2023
∴点P 的横坐标为2023，
2023
∴点P 的坐标(2023，√3)，
2023
故选C．
【点睛】本题考查点的坐标变化规律，平面直角坐标系中点的特点及等边三角形的性质，勾股定理，确定
点的坐标规律是解题的关键．
【变式6-2】（2023下·广西南宁·七年级广西大学附属中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，
一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A (0,1)，
1
A (1,1)，A (1,0)，A (2,0)，……，那么点A 的坐标为 ．
2 3 4 2023
【答案】(1011,0)
【分析】动点在平面直角坐标系中按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，只要求出前几个坐标，
根据规律找坐标即可．
【详解】解：根据题意可知，A (0,1)，A (1,1)，A (1,0)，A (2,0)，A (2,1)，A (3,1)，A (3,0)，
1 2 3 4 5 6 7
A (4,0)，……，
8
∴坐标变换的规律为每移动4次，它的纵坐标都能为1，横坐标向右移动力2个单位长度，也就是移动次
数的一半，
∴2023÷4=505⋯⋯3，
∴点A 的纵坐标为0，横坐标为0+2×505+1=1011，
2023
∴点A 的坐标(1011,0)，
2023
故答案为：(1011,0)．
【点睛】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律
解题．
【变式6-3】（2023芜湖区三模）如图，点A(0,1)，点A (2,0)，点A (3,2)，点A (5,1)...，按照这样的
1 2 3
规律下去，点A 的坐标为 ．
2023
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【答案】(3035,1011)
【分析】观察图形可得奇数点的规律为：A (2,0)，A (5,1)，A (8,2)…..A (3n−1,n−1)，偶数点
1 3 5 2n−1
的规律为：A (3,2)，A (6,3)，A (9,4)……A (3n,n+1)，根据规律求解即可．
2 4 6 2n
【详解】解：由图像可得，奇数点的规律为：A (2,0)，A (5,1)，A (8,2)…..A (3n−1,n−1)，
1 3 5 2n−1
偶数点的规律为：A (3,2)，A (6,3)，A (9,4)……A (3n,n+1)，
2 4 6 2n
∵2023是奇数，即2n−1=2023，
∴n=1012，
∴A 的坐标为(3035,1011)，
2023
故答案为：(3035,1011)．
【点睛】本题主要考查点的坐标规律，根据图形准确找到平面内点的坐标的变化规律是解答此题的关键．
类型二 沿坐标系翻折运动的点的规律探查
【例7】（2023·河南驻马店·校考一模）如图1， Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，将△
ABC放置在平面直角坐标系中，使点A与原点重合，点C在x轴正半轴上．将△ ABC按如图2方式顺时针
滚动(无滑动)，则滚动2022次后，点B的横坐标为( )
A．2022+673 √5 B．2022+674 √5 C．2023+674 √5 D．2023+673 √5
【答案】C
【分析】根据三角形滚动规律得出每3次一循环，由已知可得三角形周长为3+ √5，进而可得滚动2022次
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后，点B的横坐标．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=1，BC=2，
∴AB=√AC2+BC2=√5
∴△ABC的周长为3+ √5，
根据题意可得，每滚动3次，点B的横坐标增加3+ √5，
∵2022÷3=674，
∴滚动2022次后，点B的横坐标增加了674×(3+ √5)，
∴滚动2022次后，点B的横坐标为1+674×(3+)=2023+674 √5，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，坐标规律，找到规律是解题的关键．
【变式7-1】（2023·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到
△AB C 的位置，点B、O分别落在点B 、C 处．点B 在x轴上，再将△AB C 绕点B 顺时针旋转到
1 1 1 1 1 1 1 1
△A B C 的位置，点C 在x轴上，将△A B C 绕点C 顺时针旋转到△A B C 的位置，点A 在x轴上，
1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2
依次进行下去……，若点A(3，0)，B(0，4)，则点B 的横坐标为 ．
2021
【答案】12128
【分析】然后通过旋转发现，B、B 、B …每偶数之间的B相差12个单位长度，根据这个规律可以求得
2 4
B 的横坐标，进而可得点B 的坐标．
2020 2021
【详解】解：∵点A(3，0)，B(0，4)，
∴OA=3，OB=4，
∴AB =√32+42= 5，
∴OA+AB +B C =3+5+4=12，
1 1 2
观察图象可知，点B 的纵坐标为4，
2020
∵2020÷2=1010，
∴点B 的横坐标为1010×12=12120，
2020
12120+3+5=12128
∴点B 的坐标为(12128，0)．
2021
故答案为12128．
【点睛】本题考查坐标与图形变化−旋转，规律型：点的坐标，解题的关键是循环探究规律，利用规律解
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决问题，属于中考常考题型．
【变式7-2】（2023·山东泰安·新泰市实验中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形
OA B C 的两边在坐标轴上，以它的对角线OB 为边作正方形OB B C ，再以正方形OB B C 的对角
1 1 1 1 1 2 2 1 2 2
线OB 为边作正方形OB B C ，以此类推…、则正方形OB B C 的顶点B 的坐标是 ．
2 2 3 3 2018 2019 2019 2019
【答案】(−21009,21009)
【分析】首先求出B 、B 、B 、B 、B 、B 、B 、B 、B 的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据
1 2 3 4 5 6 7 8 9
规律计算出点B 的坐标．
2019
【详解】解：∵边长为1的正方形OA B C 的两边在坐标轴上，
1 1 1
∴B 点坐标为(1,1)，OB =√2 ，
1 1
∵正方形OB B C 是正方形OA B C 的对角线OB为边，
1 2 2 1 1 1
∴OB =2，
2
∴B 点坐标为(0,2)，
2
同理可知OB =2√2，B 点坐标为(−2,2)，
3 3
同理可知OB =4，B 点坐标为(−4,0)，
4 4
B 点坐标为(−4,−4)，B 点坐标为(0,−8)，
5 6
B (8,−8)，B (16,0)，B (16,16)，
7 8 9
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来
的√2倍，
∴当k为自然数，
如果n=8k+1时，那么B (24k,24k)；
n
如果n=8k+2时，那么B (0,24k+1)；
n
如果n=8k+3时，那么B (−24k+1,24k+1)；
n
如果n=8k+4时，那么B (−24k+2,0)；
n
如果n=8k+5时，那么B (−24k+2,−24k+2)；
n
如果n=8k+6时，那么B (0,−24k+3)；
n
如果n=8k+7时，那么B (24k+3,−24k+3)；
n
如果n=8k+8时，那么B (24k+4,0)；
n
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∵2019÷8=252⋯3，B (−24k+1,24k+1)，252×4+1=1009
8k+3
∴B (−21009,21009)．
2019
故答案为：(−21009,21009)．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，规律型：点的坐标以及分类讨论思想，解答本题的关键是由点坐标
的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的√2倍，
此题难度较大．
【变式7-3】．（2023·河南安阳·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点
A(2，−2)，D(4，−2)，规定把正方形ABCD“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这
样连续经过2023次变换后，正方形ABCD的中心的坐标为（ ）
A．(−3，2026) B．(3，2026) C．(−3，−2026) D．(3，−2026)
【答案】C
【分析】先由正方形的顶点A(2，−2)，D(4，−2)，求得正方形ABCD的边长为2，则顶点C(4，−4)，
所以正方形ABCD的中心的坐标为(3，−3)，可求得经过n次变换，正方形ABCD的中心的横坐标为
(−1) n×3，纵坐标为−3−n，求出当n=2023时，代数式(−1) n×3和−3−n的值，即得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，A(2，−2)，D(4，−2)，
∴AB=AD=4−2=2，
∴C(4，−4)，
∵点A(2，−2)、点C(4，−4)关于正方形ABCD的中心对称，
∴正方形ABCD的中心的坐标为(3，−3)，
∵把正方形ABCD“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，
∴经过一次变换，正方形ABCD的中心的坐标为(−3，−4)，
经过二次变换，正方形ABCD的中心的坐标为(3，−5)，
……
经过n次变换，正方形ABCD的中心的横坐标为(−1) n×3，纵坐标为−3−n，
当n=2023时，(−1) n×3=(−1) 2023×3=−3，−3−n=−3−2023=−2026，
∴这样连续经过2023次变换后，正方形ABCD的中心的坐标为(−3，−2026)，
故选：C．
【点睛】此题重点考查坐标与图形、轴对称的性质、平移的性质等知识，正确地找到经过n次变换后正方
形ABCD中心的坐标的变化规律是解题的关键．
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类型三 绕原点呈“回”字形运动的点的规律探查
【例8】（2023·河南安阳·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，竖直向上平移1
个单位长度，再水平向左平移1个单位长度，得到点P (−1,1)；接着竖直向下平移2个单位长度，再水平
1
向右平移2个单位长度，得到点P ；接着竖直向上平移3个单位长度，再水平向左平移3个单位长度，得
2
到点P ；接着竖直向下平移4个单位长度，再水平向右平移4个单位长度，得到点P ；⋅⋅⋅，按此作法进
3 4
行下去，则点P 的坐标为（ ）
2023
A．(−1012,1012) B．(−1011,1011) C．(1011,−1011) D．(1012,−1012)
【答案】A
【分析】观察图象可知，奇数点在第二象限，由题意得P (−1，1)，P (−2，2)…，可得
1 3
P (−n，n)，即可求解．
2n−1
【详解】解：观察图象可知，奇数点在第二象限，
∵P (−1，1)，
1
∴P (−2，2)，P (−3，3)，⋅⋅⋅，P (−n，n)，
3 5 2n−1
∴2n−1=2023，
∴n=1012，
∴P (−1012，1012)．
2023
故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形变化—平移，点的规律探索等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律
解决问题，属于中考常考题型．
【变式8-1】（2021·山东滨州·校考一模）如图，在单位为1的方格纸上，△AAA，△AAA，
1 2 3 3 4 5
△AAA，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△AAA 的顶点坐标
5 6 7 1 2 3
分别为A（2，0），A（1，1），A（0，0）．则依图中所示规律，A 的坐标为 ．
1 2 3 2021
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【答案】（1012，0）
【分析】首先确定点的角码与坐标的变化规律，利用规律确定答案即可．
【详解】解：∵各三角形都是等腰直角三角形，
∴直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，
A（0，0），A（﹣2，0），A （﹣4，0）…，
3 7 11
∵2021÷4＝505余1，
∴点A 在x轴正半轴，纵坐标是0，横坐标是（2021+3）÷2＝1012，
2021
∴A 的坐标为（1012，0）．
2021
故答案为：（1012，0）．
【点睛】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据2021是奇数，求出点的角码是奇数时的变化规律是解题
的关键．
【变式8-2】（2023·山东东营·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=−x的图象分别
为直线l 、l ，点(1，0)作 x轴的垂线交l 于点A ，过点 A 作y轴的垂线交l 于点A ，过点A 作x轴的垂
1 2 1 1 1 2 2 2
线交l 于点A ，过点A 作y轴的垂线交l 于点A ，…依次进行下去．则点A 的横坐标为 ．
1 3 3 2 4 2023
【答案】−21011
【分析】首先根据题意，分别写出A ，A ，A ，A ，A 的坐标，从中找出点A 的坐标的规律，代
1 2 3 4 5 2n+1
入计算即可得出点A 的横坐标．
2023
【详解】解：∵过点(1，0)作x轴的垂线交l 于点A ，
1 1
∴A (1，2)，
1
把y=2代入y=−x，得x=−2，即A (−2，2)，
2
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把x=−2代入y=2x，得y=−4，即A (−2，−4)，
3
同理可得A (4，−4)，A (4，8)，
4 5
∴A ((−2) n，2×(−2) n)（n为自然数），
2n+1
∵2023=1011×2+1，
∴A 的坐标为((−2) 1011，2×(−2) 1011)，
2023
即A (−21011，−21011)．
2023
∴点A 的横坐标为−21011，
2023
故答案为：−21011．
【点睛】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征及变化规律，解本题的关键在根据题意正确找出点的
规律．
【变式8-3】（2023·四川广安·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的
坐标为(1,1)，A´A 是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；A´A 是以点O为圆心，OA 为半径的圆弧，
1 1 2 1
A´A 是以点C为圆心，C A 为半径的圆弧，A´A 是以点A为圆心，A A 为半径的圆弧，继续以点B，
2 3 2 3 4 3
O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线A A A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点A 的坐标是
1 2 3 4 5 2023
．
【答案】(−2023,1)
【分析】将四分之一圆孤对应的A点坐标看作顺时针旋转90°，再根据A、A 、A 、A 、A 的坐标找到
1 2 3 4
规律即可．
【详解】解：∵A(1,1)，且A 为A点绕B点顺时针旋转90°所得，
1
∴A (2,0)，
1
又∵A 为A 点绕O点顺时针旋转90°所得，
2 1
∴A (0,−2)，
2
又∵A 为A 点绕C点顺时针旋转90°所得，
3 2
∴A (−3,1)，
3
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由此可得出规律：A 为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转90°，且半径为1、2、3、⋯、
n
n，每次增加1，
又∵2023÷4=505⋯⋯3，
故A 为以点C为圆心，半径为2022的 A 顺时针旋转90°所得，
2023 2022
∴A (−2023,1)，
2023
故答案为：(−2023,1)．
【点睛】本题考查了点坐标规律探索问题，通过点的变化，结合画弧的方法以及部分点的坐标探索出坐标
变化的规律是解题的关键．
类型四 图形变换中点的规律探查
【例9】（2023·河南郑州·校考三模）小星利用平面直角坐标系绘制了如下风车图形，他先将△OBA固定
在坐标系中，其中A(2，4)，B(2，0)，接着他将△OBA绕原点O逆时针转动90°至△OB A ，称为
1 1
第一次转动，然后将△OB A 绕原点O逆时针转动90°至△OB A ，称为第二次转动，……那么按照这
1 1 2 2
种转动方式，转动2023次后，点A的坐标为（ ）
A．(4,−2) B．(−2,−2√5) C．(2√5,−2) D．(2,4)
【答案】A
【分析】根据每次转动90°可知，4次一个循环，分别求出第一次到第四次的点A的坐标，利用规律解决问
题即可．
【详解】解：第一次转动后，点A的坐标为(−4,2)；
第二次转动后，点A的坐标为(−2,−4)；
第三次转动后，点A的坐标为(4,−2)；
第四次转动后，点A的坐标为(2,4)；
每次转动90°可知，4次一个循环，
∵2023÷4=505⋯3，
∴转动2023次后，点A的坐标为(4,−2)，
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故选：A
【点睛】本题考查坐标与图形变化−旋转，规律型：点的坐标，解题的关键是掌握探究规律的方法，属于
中考常考题型．
【变式9-1】（2021·海南海口·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA B ，
1 1
第二次将△OA B 变换成△OA B ，第三次将△OA B 变换成△OA B ，…，将△OAB进行n次变换，
1 1 2 2 2 2 3 3
得到△OA B ，观察每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测A 的坐标是 ，A 的坐
n n 5 n
标是 ．
【答案】 (32,3) (2n,3)
【分析】根据图形写出点A系列的坐标，根据具体数值找到规律即可．
【详解】解：∵A(1,3),A (2,3),A (4,3),A (8,3),A (16,3) ⋯，
1 2 3 4
∴A 的横坐标为2n，A 纵坐标都为3，
n n
∴A (2n,3)
n
∴A (25,3)，即A (32，3)
5 5
故答案为：(32,3)；(2n,3)．
【点睛】本题考查点坐标的规律，涉及乘方知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【变式9-2】（2022·江苏连云港·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对
称变换，若原来点A坐标是（a，b），则经过第2022次变换后所得的A点坐标是 ．
【答案】（－a，－b）
【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2022除以4，然后根据商和余数的情况确定
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出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．
【详解】解：∵点A第一次关于x轴对称后在第四象限，
点A第二次关于y轴对称后在第三象限，
点A第三次关于x轴对称后在第二象限，
点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
∴每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2022÷4=505…2，
∴经过第2022次变换后所得的A点与第2次变换的位置相同，在第三象限，坐标为（-a，-b），
故答案为：（-a，-b）．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组
依次循环是解题的关键．
类型五 新定义问题中点的规律探查
【例10】（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考三模）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表
示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列
表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点O(0,0)按序列“011⋯”作变换．表示点O先向
右平移一个单位得到O (1,0)，再将O (1,0)绕原点顺时针旋转90°得到O (0,−1)，再将O (0,−1)绕原
1 1 2 2
点顺时针旋转90°得到O (−1,0)⋯依次类推．点(0,1)经过“011011011”变换后得到点的坐标为( )
3
A．(−1,−1) B．(−1,0) C．(1,0) D．(1,1)
【答案】A
【分析】根据题意得出点坐标变化规律，进而得出变换后的坐标位置，进而得出答案．
【详解】解：点(0,1)按序列“011011011”作变换，表示点(0,1)先向右平移一个单位得到(1,1)，再将(1,1)绕
原点顺时针旋转90°得到(1,−1)，再将(1,−1)绕原点顺时针旋转90°得到(−1,−1)，然后右平移一个单位
得到(0,−1)，再将(0,−1)绕原点顺时针旋转90°得到(−1，0)，再将(−1，0)绕原点顺时针旋转90°得到
(0,1)，然后右平移一个单位得到(1,1)，再将(1,1)绕原点顺时针旋转90°得到(1,−1)，再将(1,−1)绕原点
顺时针旋转90°得到(−1,−1)．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律，坐标平移与旋转，得出点坐标变化规律是解题关键．
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【变式10-1】我们把1，1，2，3，5，8，13，21⋯这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这
列数为半径作90°圆弧P´P ，P´P ，P´P ，⋯，得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P P ，P P ，
1 2 2 3 3 4 1 2 2 3
P
3
P
4
，⋯，得到螺旋折线（如图），已知点P
1
(0,1)，P
2
(−1,0)，P
3
(0,−1)，则该折线上的点P
7
的坐标
为（ ）
A．(2,−8) B．(2,−9) C．(3,−8) D．(3,−9)
【答案】B
【分析】观察图象，推出P 的位置，即可解决问题．
7
【详解】解：观察发现：
P (0,1)先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到P (−1,0)；
1 2
P (−1,0)先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到P (0,−1)；
2 3
P (0,−1)先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到P (2,1)；
3 4
P (2,1)先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到P (−1,4)；
4 5
P (−1,4)先向左平移5个单位，再向下平移5个单位得到P (−6,−1)；
5 6
P (−6,−1)先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到P (2,−9)；
6 7
故选：B．
【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律等知识，解题的关键是理解题意，确定P 的位置．
7
【变式10-2】（2022·重庆万州·重庆市万州国本中学校校考一模）我校数学课外小组，在坐标纸上为学校
的一块空地设计植树方案如下：第k棵种植在点P （x ，y ）处，其中x =1,y =1，当k≥2时，¿，其中
k k k 1 1
[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.6]=2,[0.2]=0，并且，称第k棵树的位置为“第y 行第x 列”．
k k
五个同学得出了下面一些结论：
[k−1] [k−1] [k−2]
甲：k=5时， =0; 乙：k=11时， − =1；
5 5 5
丙：第6棵树种植在点P （6，2）处； 丁：每一行种植5棵树；
0
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戊：第2022棵树的位置为“第404行第2列”．
以上结论正确的个数是（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据题中的规律，仔细阅读，根据取整的定义，求出P，P，…，然后对个选项进行一一计算即
1 2
可．
【详解】解：当x =1,y =1时，P（1,1），
1 1 1
[1]
∴当k=2时，x-x=1-5( -0)=1,
2 1 5
∴x=1+1=2,
2
1
∴y=y+[ ]=1，
2 1 5
∴P（2，1），
2
([3−1] [3−2])
∴当k=3时，x-x=1-5 − =1，
3 2 5 5
∴x=1+2=3，
3
1
∴y=y+[ ]=1，
3 2 5
∴P（3，1），
3
([4−1] [4−2])
∴当k=4时，x-x=1-5 − =1，
4 3 5 5
∴x=3+1=4
4
3 2
∴y=y+[ ]-[ ]=1，
4 3 5 5
∴P（4，1），
4
([5−1] [5−2])
∴当k=5时，x-x=1-5 − =1，
5 4 5 5
∴x=4+1=5，
5
4 3
∴y=y+[ ]-[ ]=1，
5 4 5 5
∴P（5，1），
5
([6−1] [6−2])
当k=6时，x-x=1-5 − =1，
6 5 5 5
∴x=5+1-5=1，
6
5 4
∴y=y+[ ]-[ ]=1+1=2，
5 4 5 5
∴P(1，2)
6
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当7≤k≤10时， P，P，P，P 的坐标分别为（2,2），（3,2），（4,2），（5，3），
7 8 9 10
([11−1] [10−2])
当k=11时，x -x =1-5 − =1，
11 10 5 5
∴x =1，
11
∴y =3，
11
∴P(1，3)
6
当12≤k≤15时， P ，P ，P ，P 的坐标分别为（2,3），（3,3），（4,3），（5，3），
12 13 14 15
通过以上数据分析可以得出，当k=1+5m时，P 的坐标为（1+m+1）,而后面的四个点的纵坐标均为m+1，
k
横坐标分别为2，3，4，5，
[k−1] [5−1] [4]
k=5时, = = =0，故甲正确；
5 5 5
[k−1] [k−2] [11−1] [11−2]
k=11时， − = − =2−1=1，故乙正确；
5 5 5 5
第6棵树种植在点P(1，2)处，故丙不正确；
6
1-5棵，纵坐标均为1,6-10棵纵坐标均为2，…，每行种植5棵树，故丁正确；
2022=404×5+2，第2022棵树的位置为“第404行第2列”．故戊正确；
故正确的个数有4个．
故选择C．
【点睛】本题考查新定义，仔细阅读，掌握新定义的实质，理解符号[a]的意义是解题关键．
【变式10-3】（2020·广东深圳·校考模拟预测）对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，
b）=（−a，b），如f（1，2）=（−1，2）；g（a，b）=（b，a），如g（1，2）=（2，1），据此得
g[f(5，−9)]= ．
【答案】（−9，−5）
【分析】根据两种变换的规则，先计算f（5，−9）=（−5，−9），再计算g（−5，−9）即可．
【详解】g（f（5，−9））=g（−5，−9）=（−9，−5）．
故答案为（−9，−5）
【点睛】本题考查了点的坐标，理解新定义的变化规则是解题的关键．
【变式10-4】对有序数对(x,y)的一次操作变换记为P (x,y)，定义其变换法则如下：
1
P (x,y)=(x+ y,x−y)；且规定P (x,y)=P [P (x,y)]（n为大于1的整数)．如P (1,2)=(3,−1)，
1 n 1 n−1 1
P (1,2)=P [P (1,2)]=P (3,−1)=(2,4),P (1,2)=P [P (1,2)]=P (2,4)=(6,−2)．则P (1,−1)=
2 1 1 1 3 1 2 1 2020
．
【答案】(21010,−21010)
【分析】本题考查了点的坐标规律探究，读懂题目信息，理解操作方法并观察出点的纵坐标的指数的变化
规律是解题的关键．
【详解】解：依题意可得P (1,−1)=(0,2)，
1
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P (1,−1)=P [P (1,−1)]=P (0,−2)=(2,−2)，
2 1 1 1
P (1,−1)=P [P (1,−1)]=P (2,−2)=(0,4)=(0,22)，
3 1 2 1
P (1,−1)=P [P (1,−1)]=P (0,4)=(4,−4)=(22,−22)，
4 1 3 1
P (1,−1)=P [P (1,−1)]=P (22,−22)=(0,23)，
5 1 4 1
…，
P (1,−1)=(21010,−21010)．
2020
故答案为：(21010,−21010)．
1. 解决与点坐标变化有关的规律问题一般方法：
1)若点的坐标在坐标轴上或象限内循环(周期)变化时，先求出第一个循环周期内相关点的坐标，然后
找出所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置，从而求出坐标；
2)点的坐标是成倍递推变化时，先求出前几个点的坐标，然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之
间存在的规律．
2. 解决与点坐标变化有关的规律问题的注意事项：
1）求什么找什么的规律；
2）变化规律最好用算式而不是得数表示；
3）找算式中数字与序号间的变化规律；
4）找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规律（点的坐标题型首先用这一条）.
考点三 坐标方法的简单应用
用坐标表示地理位置的方法
1）选择一个适当的参照点为原点建立直角坐标系，并确定x轴、y轴的正方向；
2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出长度单位；
3）坐标平面内画出这些点，并写出各点的坐标和各个地点的名称.
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题型01 实际问题中用坐标表示位置
【例1】（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如
果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和
（5，4），则教学楼的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）
【答案】D
【分析】根据综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），先确定坐标原点以及坐标系，再根据教学
楼的位置可得答案．
【详解】解：如图，根据综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），画图如下：
∴教学楼的坐标为：(2,2).
故选D
【点睛】本题考查的是根据位置确定点的坐标，熟练的根据已知条件建立坐标系是解本题的关键．
【变式1-1】（2023·山西晋城·校联考模拟预测）北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、
开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗．爱好天文的小祺将自己观
察到的北斗七星画在如图所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点的坐标为
(−4,2)，表示“开阳”的点的坐标为(0,3)，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为 ．
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【答案】(5,−1)
【分析】根据“摇光”的点的坐标与“开阳”的点的坐标先判断平面直角坐标系的原点，确定x轴，y轴，
根据坐标系确定表示“天权”的点的坐标即可．
【详解】解：由表示“摇光”的点的坐标为(−4,2)与表示“开阳”的点的坐标为(0,3)得：平面直角坐标系，
如图：
可知：表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为(5,−1)；
故答案为：(5,−1)．
【点睛】本题考查了利用坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x、y轴的位置．
【变式1-2】（2021·吉林长春·模拟预测）如图是利用网格画出的长春市轨道交通线网图，若建立适当的平
面直角坐标系，则表示解放大路的点的坐标为(0,−4)，表示伪皇宫的点的坐标为(4,2)，则表示胜利公园
的点的坐标是 ．
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【答案】(0,0)
【分析】直接利用解放大路的点的坐标为（0，-4），表示伪皇宫的点的坐标为（4，2），进而建立平面直
角坐标系得出原点位置即可．
【详解】解：根据解放大路的点的坐标为（0，-4），表示伪皇宫的点的坐标为（4，2），建立平面直角坐
标系如图所示：
由坐标系可判断胜利公园的点的坐标是：(0,0)
故答案为：(0,0)．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
题型02 用方位角和距离确定物体位置
【例2】（2023·河北石家庄·校联考二模）一艘海上搜救船在巡逻过程中发现点A处有一艘船发出求救信号，
如图是搜救船上显示的雷达示意图，图上标注了以搜救船为中心的等距线（图中所示的同心圆，单位：海
里）及角度，要让搜救船在第一时间抵达故障船所在的位置，应该将搜救船的航行方案调整为（ ）
A．向北偏西150°方向航行4海里 B．向南偏西120°方向航行3海里
C．向北偏西60°方向航行4海里 D．向东偏北150°方向航行3海里
【答案】C
【分析】根据方向角的定义：以正南或正北为基准，到目标所在线形成的小于90°的角，进行判断即可．
【详解】解：根据方向角的定义可知，搜救船的航行方案调整为向北偏西60°方向航行4海里，
故选：C．
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【点睛】本题考查利用方向角确定位置．熟练掌握方向角的定义，是解题的关键．
【变式2-1】（2023·河北唐山·统考一模）如图，从N地观测M地，发现M地在N地的北偏东30°29'方向
上，则从M地观测N地，可知N地在M地的（ ）
A．北偏东30°29'方向上 B．南偏西30°29'方向上
C．北偏东59°31'方向上 D．南偏西59°31'方向上
【答案】B
【分析】根据方位角定义找到基点结合上北下南左西右东及平行线性质即可得到答案
【详解】解：由题意可得，
，
∠1=∠2=30°29'，
∴N地在M地的南偏西30°29'方向上，
故选B；
【点睛】本题主要考查方位角计算及平行线性质，解题的关键是掌握方位角在基点位置画出东南西北．
【变式2-2】（2022·河北石家庄·校联考三模）某学校在某商城的南偏西60°方向上，且距离商城1500m，
则下列表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据各选项的单位长度及图示可得到两地的距离均为1500m，从而将问题转化为判断两地的相对
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方向，再根据方向角的定义，即可解答．
【详解】解：A、某商城在某学校的南偏西60°方向上，且距离商城1500m，故A不符合题意；
B、某学校在某商城的南偏西30°方向上，且距离商城1500m，故B不符合题意；
C、某学校在某商城的南偏西60°方向上，且距离商城1500m，故C符合题意；
D、某商城在某学校的南偏西30°方向上，且距离商城1500m，故D不符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查了位置的确定，解题关键是掌握方向角的表示方法．
【变式2-3】（2022·河北保定·统考一模）在“爱我河北”白色垃圾清理活动中，小霞同学从B点出发，沿
北偏西20°方向到达C地，已知∠C=70°，此时营地A在C的( ) ．
A．北偏东20°方向上 B．北偏东70°方向上
C．南偏西50°方向上 D．北偏西70°方向上
【答案】C
【分析】过点C作CH∥BE，CG∥AF，根据两直线平行，内错角相等，再根据三角形的内角和进行解答即
可．
【详解】解：过点C作CH∥BE，CG∥AF，
由题意点C在点B的北偏西20°方向，
∴∠CBE=20°，
∵CH∥BE，
∴∠HCB=∠CBE=20°，
∵∠ACB=70°，
∴∠ACH=70°-20°=50°，
∴点A在点C的南偏西50°方向．
故选：C．
【点睛】本题考查的是方向角的概念，从运动的角度，根据方位角的度数，再结合三角形的内角和与平行
线的性质求解是解答此题的关键．
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题型03 根据方位描述确定物体位置
【例3】（2022·浙江杭州·统考一模）在平面内，下列数据不能确定物体位置的是（ ）
A．北偏东30° B．钱塘明月4号楼301室
C．金惠路97号 D．东经118°，北纬40°
【答案】A
【分析】根据平面内的点与有序实数对一一对应对各选项进行判断．
【详解】解：塘明月4号楼301室、金惠路97号、东经118°，北纬40°都可确定物体位置，
北偏东30°只能确定方向，但不能确定具体物体的位置．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的
坐标特征．
【变式3-1】（2020·河北·统考中考真题）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出
发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（ ）
A．从点P向北偏西45°走3km到达l
B．公路l的走向是南偏西45°
C．公路l的走向是北偏东45°
D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l
【答案】A
【分析】根据方位角的定义及勾股定理逐个分析即可．
【详解】解：如图所示，过P点作AB的垂线PH，
选项A：∵BP=AP=6km，且∠BPA=90°，∴△PAB为等腰直角三角形，∠PAB=∠PBA=45°，
又PH⊥AB，∴△PAH为等腰直角三角形，
√2
∴PH= PA=3√2km，故选项A错误；
2
选项B：站在公路上向西南方向看，公路l的走向是南偏西45°，故选项B正确；
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选项C：站在公路上向东北方向看，公路l的走向是北偏东45°，故选项C正确；
1
选项D：从点P向北走3km后到达BP中点E，此时EH为△PEH的中位线，故EH= AP=3，故再向西走
2
3km到达l，故选项D正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了方位角问题及等腰直角三角形、中位线等相关知识点，方向角一般以观测者的位置为
中心，所以观测者不同，方向就正好相反，但角度不变．
题型04 平面直角坐标系中面积问题
类型一 直接利用面积公式求面积
特征：当三角形的一边在x轴或y轴上时，常用这种方法.
【例4】（2023·天津河西·统考一模）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(√3，0)，
(0，1)，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的面积等于（ ）
√3
A． B．√3 C．2√3 D．4√3
2
【答案】C
【分析】根据菱形的对角线互相平分求算出AC、BD的长度，再根据菱形面积等于对角线乘积的一半计
算．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(√3，0)，(0，1)，
∴AO=OC=√3，OB=OD=1
∴AC=2√3，BD=2
1
∴菱形ABCD的面积= ×2√3×2=2√3．
2
故选：C．
【点睛】本题考查菱形的性质以及坐标与图形的性质，掌握菱形的对角线互相平分以及菱形面积等于对角
线乘积的一半是解题关键．
【变式4-1】如图，等边△ABC的顶点A在y轴上，顶点B、C在x轴上，直线y=− √3 x+ √3经过点A、
C，则等边△ABC的面积是( )
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A．4 B．2√3 C．√5 D．√3
【答案】D
【分析】分别令x,y=0，得出A,C的坐标，进而根据等边三角形的性质得出BC=2，进而根据三角形面
积公式即可求解．
【详解】解：当y=0时，− √3 x+ √3 =0，
解得：x=1，
∴点C的坐标为(1，0)，
∴OC=1；
当x=0时，y=− √3 ×0+ √3 = √3，
∴点A的坐标为(0, √3 )，
∴OA= √3．
∵△ABC为等边三角形，AO⊥BC，
∴BC=2OC=2×1=2，
1 1
∴S = BC×OA= ×2×√3=√3，
△ABC 2 2
∴等边△ABC的面积是√3．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题、坐标与图形，求得A,C的坐标是解
题的关键．
【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，点A(3,5)，点C，B分别在x轴，y轴负半轴上，若AB=BC，
且AB⊥BC，则△BOC的面积是（ ）
15
A． B．12 C．15 D．24
2
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【答案】B
【分析】过点A作AE⊥ y轴，垂足为E，由AAS可证△BOC≌△AEB可得OC=EB，AE=OB=3，可得
OC=BE=8，进而求出结果．
【详解】过点A作AE⊥ y轴，垂足为E，
∵ AE⊥ y轴，OB⊥OC，
∴ ∠AEB=∠BOC=90°，
∴ ∠EAB+∠ABE=90°
∵ BC⊥ AB，
∴ ∠ABC=90°，
∴ ∠CBO+∠ABE=90°，
∴ ∠CBO=∠EAB，
∵ BC=AB，
∴ △BOC≌△AEB (AAS)，
∴ OC=BE，BO=AE，
∵ A(3,5)，
∴ AE=OB=3，OE=5
∴ BE=5+3=8，
∴ OC=8，
1
∴ S = ×CO·BO=12．
△BOC 2
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，构建合适的全等三角形是解本题的
在求几何图形面积时，线段的长度往往通过计算某些点横坐标之差的绝对值，或纵坐标之差的绝对
值去实现. (横坐标相减时最好用右边的数减左边的数，纵坐标相减时用上边的数减下边的数，这样所
得结果就是边或高的长度，就不用绝对值符号了).
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类型二 已知三角形面积求点的坐标
解题方法：已知面积求点的坐标时，应先画出图形，再看图形的面积跟哪些线段有关系，当用坐标表示线
段长度时，应取坐标的绝对值.
【例5】（2023定远县一模）△ABC三个顶点均在平面直角坐标系中网格的格点上，每一个小正方形的边
长均为1．按下列要求画图（画图只能借助无刻度的直尺，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
(1)把△ABC沿直线AC翻折，画出翻折后的△ACB ；
1
(2)找出格点D并画出直线AD，使直线AD将△ABC分成面积相等的两部分；
(3)在y轴上存在点P，使△BPC的面积等于3，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)(0,0)或(0,4)
【分析】（1）找到点B关于AC的对称点B ，连接AB 、B C即可；
1 1 1
（2）过点B作AC的平行线，取BD=AC，作直线AD，由全等三角形的性质可知直线AD经过BC中点，
将△ABC分成面积相等的两部分；
（3）设BC交y轴于点Q，点P为y轴上一点，则有S =S +S ，根据面积公式计算可得PQ=2，
△BPC △BPQ △CPQ
结合点Q坐标确定点P的坐标即可．
【详解】（1）解：如图，找到点B关于AC的对称点B ，连接AB 、B C即可；
1 1 1
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（2）如图，过点B作AC的平行线，取BD=AC，作直线AD，则直线AD将△ABC分成面积相等的两部
分；
（3）如图，设BC交y轴于点Q，由图可知点Q(0,2)，
设点B到y轴的距离为h ，点C到y轴的距离为h ，由图可知h =2，h =1，
1 2 1 2
则S =S +S
△BPC △BPQ △CPQ
1 1
= PQ⋅h + PQ⋅h
2 1 2 2
1
= PQ(h +h )
2 1 2
1
= PQ×3
2
1
∵△BPC的面积等于3，即 PQ×3=3，
2
解得PQ=2，
∴点P的坐标为(0,0)或(0,4)．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、基本作图、轴对称、三角形面积等知识，熟练掌握基本作图方法及
相关知识是解题关键．
【变式5-1】已知点A(1,0)，B(0,2)，点P在x轴上，且三角形PAB的面积是3，则点P的坐标是（ ）
A．(0，−4) B．(−2，0)
C．(0，−4)或(0,8) D．(4，0)或(−2，0)
【答案】D
【分析】根据三角形的面积求出AP的长，再分点P在点A的左边与右边两种情况讨论求解．
【详解】解：∵点B(0,2)，
1
∴S = AP×2=3，
△PAB 2
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解得AP=3，
若点P在点A的左边，则OP=AP−OA=3−1=2，
此时，点P的坐标为(−2,0)，
若点P在点A的右边，则OP=AP+OA=3+1=4，
此时，点P的坐标为(4,0)，
综上所述，点P的坐标为(4,0)或(−2,0)，
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
【变式5-2】已知A(a,0)，B(0,10)，C(5,0)三点，且三角形ABC的面积等于20，则a的值为（ ）
A．1或−9 B．9 C．1或9 D．9或−9
【答案】C
【分析】根据已知可得：CA=|a−5|，BO=10，然后三角形的面积公式列式计算即可解答．
【详解】解：∵A(a,0)，B(0,10)，C(5,0)，
∴CA=|a−5|，BO=10，
∵三角形ABC的面积等于20，
1
∴ AC⋅BO=20，
2
1
即 ×|a−5|⋅10=20，
2
∴|a−5|=4，
∴a−5=4或a−5=−4，
∴a=9或a=1，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．
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类型三 利用割补法求面积
特征：将不规则图形分割为规则图形计算面积，可根据题的特点灵活选择解法.
【例6】已知三角形三个顶点的坐标,求三角形面积常用的方法是割补法,将三角形面积转化成若干个特殊的
四边形和三角形的面积的和与差.现给出三点坐标:A(-1,4),B(2,2),C(4,-1),则S = .
三角形ABC
【答案】2.5
【分析】利用直角坐标系及割补法即可求解.
【详解】解析:根据平面直角坐标系中各个点的坐标,可以确定各条线段的长,从而可求出三角形的面积.
S =S - S - S
三角形ABC 三角形AEC 三角形ADB 梯形DECB
1 1 1
= AE·CE- AD·BD- DE·(CE+BD)
2 2 2
1 1 1
= ×5×5- ×3×2- ×2×(5+2)
2 2 2
25
= -3-7
2
5
= =2.5.
2
【点睛】此题主要考查直角坐标系的面积求解，解题的关键是熟知坐标点的含义及割补法的应用.
【变式6-1】（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的
负半轴上，点B在y轴的负半轴上，且OA=3OB，以AB为边向上作正方形ABCD，点C在反比例函数
2 k
y = 的图像上，点D在反比例函数y = 的图像上，DC交y轴于点E．
1 x 2 x
(1)求k的值；
(2)求四边形AOED的面积．
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【答案】(1)k=−6
41
(2)
6
【分析】（1）过点C作CF⊥ y轴于点F，过点D作DH⊥CF交CF的延长线于点H，设OB=a，则
OA=3a，根据全等三角形的判定和性质得出BF=OA=CH=3a，OB=FC=DH=a，根据题意确定点C
的坐标为(a,2a)，点D的坐标为(−2a,3a)，即可求解；
( 7)
（2）连接OD，设直线CD的解析式为y=mx+n，利用待定系数法确定点E的坐标为 0, ，结合图形求
3
解即可．
【详解】（1）解：如图，过点C作CF⊥ y轴于点F，过点D作DH⊥CF交CF的延长线于点H，
设OB=a，则OA=3a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠AOB=∠BFC=90°，
∴∠ABO+∠CBF=90°，∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠ABO=∠BCF，
同理∠CDH=∠BCF，
∴△AOB≌△BFC≌△CHD，
∴BF=OA=CH=3a，OB=FC=DH=a，
∴OF=BF−OB=2a，
∴点C的坐标为(a,2a)，点D的坐标为(−2a,3a)，
2
∵点C在y = 上，
1 x
∴2a2=2，即a2=1，
k
又点D在y = 上，
2 x
∴−2a×3a=k，
∴k=−6a2=−6；
（2）如图，连接OD，
由（1）知a=1，
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∴A(−3,0)，C(1,2)，D(−2,3)，
设直线CD的解析式为y=mx+n，
将点C(1,2)，D(−2,3)代入，得¿
解得¿
( 7)
∴点E的坐标为 0, ，
3
1
∴S =S +S = (OA⋅|y |+OE⋅|x |)
四 边形AOED △AOD △OED 2 D D
1 ( 7 )
= × 3×3+ ×2
2 3
41
= ．
6
【点睛】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质及反比例函数的应用，一次函数解析式的
确定，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
【变式6-2】阅读以下材料，并解决问题：
小明遇到一个问题：在平面直角坐标系xOy中，点A(1,4)，B(5,2)，求△OAB的面积．小明用割补法解决
了此问题，如图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，则
S =S +S −S
△OAB △OAM 梯形AMNB △OBN
1 1 1
= ×1×4+ ×(2+4)(5−1)− ×5×2=9
2 2 2
解决问题后小明又思考，如果将问题一般化，是否会有好的结论，于是它首先研究了点A，B在第一象限
内的一种情形：如图，点A(x ,y )，B(x ,y )，其中x y
1 1 2 2 1 2 1 2
（1）请你帮助小明求出这种情形下△OAB的面积．（用含x ，x ，y ，y 的式子表示）
1 2 1 2
（2）小明继续研究发现，只要将（1）中求得的式子再取绝对值就可以得到第一象限内任意两点A，B
（点O，A，B不共线）与坐标原点O构成的三角形△OAB的面积公式，请利用此公式解决问题：已知点
A(a,a+2)，B(b,b)在第一象限内，探究是否存在点B，使得对于任意的a>0，都有S =3？若存在，
△OAB
求出点B的坐标；若不存在说明理由．
1
【答案】（1）S = (x y −x y )；（2）存在，B(3,3).
△AOB 2 2 1 1 2
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【分析】(1)把点的坐标转化成对应线段的长，按照图形面积的分割方式，代入化简即可；
(2)把坐标代入（1）中的结论中，计算，是否存在b值，存在，说明有这样的点B，反之，没有.
【详解】（1）如图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，则
S =S +S −S
△OAB △OAM 梯 形AMN△BOBN
1 1 1
= x y + ×(y + y )(x −x )− x y
2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2
1 1 1 1 1 1
= x y + y x − x y + x y − x y − x y
2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2
1 1
= y x − x y .
2 1 2 2 1 2
1
（2）根据（1）的结论，得 |b(a+2)−ab|=3，
2
即|b|=3，
∵点B在第一象限，
∴b=3，
故存在这样的点B，且为B(3,3).
【点睛】本题考查了坐标系中图形面积的计算，通过分解坐标，把点的坐标转化为对应线段的长，适当分
割图形是计算面积的关键.
【变式6-3】（2023·陕西铜川·统考三模）如图，抛物线y=ax2+3x+c(a≠0)与x轴交于点A(−2,0)和点
B，与y轴交于点C(0,8)，顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．
(1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
(2)求四边形ABDC的面积；
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3
(3)P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S = S 时，求点P的坐标．
△PBC 5 △ABC
1
【答案】(1)y=− x2+3x+8,y=−x+8
2
(2)70
(3)点P的坐标为(2,12)或P(6,8)
【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式，然后令y=0，求得B点的坐标，进而求得BC的解析式；
25
（2）设抛物线的对称轴l与x轴交于点H，根据解析式得出顶点D的坐标为(3, )，进而根据
2
S =S +S +S 即可求解；
四 边形ABDC △AOC 梯形OCDH △BDH
3
（3）依题意得出S = S =24，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．设点
△PBC 5 △ABC
1 1
P(t,− t2+3t+8)，F(t,−t+8)，则PF=− t2+4t，进而根据三角形面积公式建立方程，解方程即可
2 2
求解．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+3x+c(a≠0)过点A(−2，0)和C(0，8)，
∴¿，
解得¿，
1
∴抛物线的解析式为y=− x2+3x+8，
2
1
令y=0，得− x2+3x+8=0，
2
解得x =−2，x =8，
1 2
∴点B的坐标为（8，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把点B(8，0)，C(0，8)分别代入y=kx+b，
得¿，
解得¿，
∴直线BC的解析式为y=−x+8；
（2）如图1，设抛物线的对称轴l与x轴交于点H，
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1 1 25
∵抛物线的解析式为y=− x2+3x+8=− (x−3) 2+ ，
2 2 2
25
∴顶点D的坐标为(3, )，
2
∴S =S +S +S
四 边形ABDC △AOC 梯形OCDH △BDH
1 1 1
= AO⋅OC+ (OC+DH)⋅OH+ HB⋅HD
2 2 2
1 1 25 1 25
= ×2×8+ ×(8+ )×3+ ×5×
2 2 2 2 2
=70；
1 1
（3）∵S = AB⋅OC= ×10×8=40，
△ABC 2 2
3
∴S = S =24，
△PBC 5 △ABC
如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．
1
设点P(t,− t2+3t+8)，
2
∵点F在直线BC上，
∴F(t,−t+8)，
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1
∴PF=− t2+4t，
2
1 1
∴S = PF⋅(OG+GB)= PF⋅OB=24，
△PBC 2 2
1 1
∴ (− t2+4t)×8=24，
2 2
解得t =2，t =6，
1 2
∴点P的坐标为(2,12)或P(6,8)．
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，面积问题，熟练掌握二次函数的性质
是解题的关键．
【变式6-4】对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积．下面我
们再研究一种求某些三角形或四边形面积的新方法：
如图1，2所示，分别过三角形或四边形的顶点A，C作水平线的铅垂线l ，l ，l ，l 之间的距离d叫做水
1 2 1 2
平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点D，称线段BD的长叫做这个三角形的铅垂高；如
图2所示，分别过四边形的顶点B，D作水平线l ，l ，l ，l 之间的距离h叫做四边形的铅垂高．
3 4 3 4
【结论提炼】
1
容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S= dh”
2
【结论应用】
为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系．
已知：如图3，点A(−5,2)，B(5,0)，C(0,5)，则△ABC的水平宽为10，铅垂高为______，所以△ABC面
积的大小为______．
【再探新知】
三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着
这个问题，我们进行如下探索：
（1）在图4所示的平面直角坐标系中，取A(−4,2)，B(1,5)，C(4,1)，D(−2,−4)四个点，得到四边形
ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是______；用其它的
1
方法进行计算得到其面积的大小是______，由此发现：用“S= dh”这一方法对求图4中四边形的面积
2
______．（填“适合”或“不适合”）
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（2）在图5所示的平面直角坐标系中，取A(−5,2)，B(1,5)，C(4,2)，D(−2,−3)四个点，得到了四边
形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是______，用其它
1
的方法进行计算得到面积的大小是______，由此发现：用“S= dh”这一方法对求图5中四边形的面积
2
______．（“适合”或“不适合”）
（3）在图6所示的平面直角坐标系中，取A(−4,2)，B(1,5)，C(5,1)，D(−1,−5)四个点，得到了四边
1
形ABCD．通过计算发现：用“S= dh”这一方法对求图6中四边形的面积______．（填“适合”或
2
“不适合”）
【归纳总结】
我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到：当四边形满足某些条件时，可以用“
1 1
S= dh”来求面积．那么，可以用“S= dh”来求面积的四边形应满足的条件是：______．
2 2
【答案】结论应用：4，20；
再探新知：（1）36，37.5，不合适；
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（2）36，36，合适；
（3）合适；
归纳总结：一条对角线等于水平宽或铅垂高．
【分析】结论应用：直接代入公式即可；
再探新知：（1）求出水平宽，铅垂高，代入公式求出面积，再利用矩形面积减去周围四个三角形面积可
得答案；
（2）（3）与（1）同理；
1
归纳总结：当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S= dh”来求面积．
2
1
【详解】解：结论应用：由图形知，铅垂高为4，S ABC= ×10×4=20，
2
△
故答案为：4，20；
再探新知：
（1）∵四边形ABCD的水平宽为8，铅垂高为9，
∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36，
利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为：
1 1 1 1
8×9- ×2×6− ×3×5− ×6×5− ×3×4=37.5，
2 2 2 2
1
∴用“S= dh”这一方法对求图4中四边形的面积不合适，
2
故答案为：36，37.5，不合适；
（2）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为8，
∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36，
利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为：
1 1 1 1
8×9- ×3×5− ×6×5− ×3×6− ×3×3=36，
2 2 2 2
1
∴用“S= dh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适，
2
故答案为：36，36，合适；
（3）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为10，
∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小
45，
利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为：
1 1 1 1
10×9- ×5×7− ×4×6− ×5×3− ×4×4=45，
2 2 2 2
1
∴用“S= dh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适，
2
故答案为：合适；
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1
归纳总结：当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S= dh”来求面积，
2
故答案为：一条对角线等于水平宽或铅垂高．
【点睛】本题主要考查了图形的面积，坐标与图形，割补法求不规则图形的面积等知识，由特殊到一般，
采用类比的方法是解题的关键．
类型四 利用补形法求面积
特征：当所求图形的边都不在x轴或y轴上时，一般用该方法.
【例7】【知识呈现】
当三角形的三边都不与坐标轴平行时，对于三角形的面积因不易求出底边和高的长度，所以不能直接利用
三角形的面积公式来求，但可以将不规则图形运用补法或割法转化成规则的图形（如长方形，梯形），再
运用和、差关系进行求解．
【问题解答】
在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(−1,3)，B(−3,−1)，C(2,1)．
(1)如图1，分别以点A，B，C向坐标轴作垂线构造长方形BDEF，求△ABC的面积；
(2)在图1中过点A作AG∥y轴交BC于点G，如图2．
①求AG的长；
②猜想：△ABC的面积S与DE·AG的数量关系式为______．
【答案】(1)8
DE·AG
(2)①3.2 ②S=
2
【分析】（1）根据S =S −S −S −S 即可求得答案．
△ABC 矩形BDEF △ABD △ACE △BCF
1 1
（2）①根据S =S +S = ×2×AG+ ×3×AG=8即可求得答案．②根据
△ABC △ABG △ACG 2 2
1 1 1
S =S +S = ×2×AG+ ×3×AG= ×5AG，DE=5即可求得答案．
△ABC △ABG △ACG 2 2 2
【详解】（1）S =S −S −S −S =20−4−3−5=8．
△ABC 矩形BDEF △ABD △ACE △BCF
（2）①根据题意可得
1 1
S =S +S = ×2×AG+ ×3×AG=8．
△ABC △ABG △ACG 2 2
解得
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AG=3.2．
1 1 1
②因为S =S +S = ×2×AG+ ×3×AG= ×5AG，DE=5，可得
△ABC △ABG △ACG 2 2 2
DE·AG DE·AG
S = ，即S= ．
△ABC 2 2
DE·AG
故答案为：S= ．
2
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系与几何图形，能采用补法和割法求图形面积是解题的关键．
【变式7-1】在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，已知点A的坐标是(−4，3)．
(1)点B的坐标为（______，_______），点C的坐标为（_______，_____）．
(2)△ABC的面积是______．
(3)作点C关于y轴的对称点C'，那么A、C'两点之间的距离是_______．
【答案】(1)3；0；﹣2；5
(2)10
(3)2√10
【分析】（1）根据坐标系写出答案即可；
（2）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积可得△ABC的面积；
（3）首先确定C'位置，然后再利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）点B的坐标为(3,0)，点C的坐标为(−2,5)，
故答案为：3；0；−2；5；
1 1 1
（2）△ABC的面积是：7×5− ×3×7− ×2×2− ×5×5=10，
2 2 2
故答案为：10；
（3）A、C'两点之间的距离是：AC'=√22+62=2√10，
故答案为：2√10．
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【点睛】本题考查了直角坐标系中点的坐标，关于y轴对称的点坐标、三角形面积，以及勾股定理的应用，
解题的关键是掌握直角坐标系中坐标的表示，线段长度的计算及面积的计算．
类型五 与图形面积相关的存在性问题
【例8】（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）如图，在直角坐标系中，已知A(0,a)、B(b,0)、C(b,c)
三点，其中a、b，c满足关系式|a−2|+(b−3) 2+√c−4=0．
(1)求a、b、c的值；
(2)如果在第二象限内有一点P(m,1)，请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
(3)在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的
坐标，若不存在，请说明理由？
【答案】(1)a=2，b=3，c=4
(2)3−m
(3)存在点P(−3,1)使S =S
四 边形ABOP △ABC
【分析】（1）用非负数的性质求解；
（2）把四边形ABOP的面积看成两个三角形面积和，用m来表示；
（3）先求出△ABC的面积，根据题意，列出m方程即可解决问题．
【详解】（1）解：∵|a−2|+(b−3) 2+√c−4=0，
∴a−2=0，b−3=0，c−4=0，
∴a=2，b=3，c=4；
1 1
（2）解：∵S = ab= ×2×3=3，
△ABO 2 2
1
S = ×2×(−m)=−m，
△APO 2
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∴S =S +S =3+(−m)=3−m，
四 边形ABOP △ABO △APO
即S =3−m；
四 边形ABOP
1 1
（3）解：∵S = cb= ×4×3=6，
△ABC 2 2
∵S =S
四 边形ABOP △ABC
∴3−m=6，
则m=−3，
∴存在点P(−3,1)使S =S ．
四 边形ABOP △ABC
【点睛】本题考查了四边形综合题，属于掌握非负数的性质，三角形及四边形面积的求法，解决本题的关
键是根据非负数的性质求出a，b，c．
【变式8-1】（2023云梦县中考模拟）如图在平面直角坐标系中，已知A(a，0)，B(b，0)，
M(−1.5，−2)，其中a、b满足|a+1|+(b−3) 2=0．
(1)求△ABM的面积；
(2)在x轴上求一点P，使得△AMP的面积与△ABM的面积相等；
(3)在y轴上存在使△BMP的面积与△ABM的面积相等的P点，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)S =4；
△ABM
(2)P(−5，0)；
( 4) ( 28)
(3)点P的坐标为 0， 或 0，− ．
9 9
【分析】（1）先根据非负性的性质求出a、b的值，再根据三角形面积公式求解即可；
（2）设点P(p，0)，根据三角形面积公式进行求解即可得到答案；
4 ( 4)
（3）设BM交y轴于点D，设P(0，q)，D(0，d)，先利用面积法求出d=− ．则D 0，− ，再根
3 3
1 ( 4)
据S =S ，得到 ×|q− − |×[3−(−1.5)]=4，由此即可得到答案．
△ABM △BMP 2 3
【详解】（1）解：∵|a+1|+(b−3) 2=0，且|a+1|≥0，(b−3) 2≥0，
∴a+1=0，b−3=0，
∴a=−1，b=3，
∴A(−1，0)，B(3，0)，
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1 1
∴S = AB⋅|y |= ×4×2=4；
△ABM 2 M 2
（2）解：设点P(p，0)．
1
由题意得S ❑ = ×|−1−p|×2=4，
△AM P 2
∴p=3或p=−5．
当p=3时，△AMP与△ABM重合，不合题意，舍去，
∴点P(−5，0)；
（3）解：如图②，设BM交y轴于点D，设P(0，q)，D(0，d)．
1 1 1 1
∵S = OD⋅(x −x )= OB⋅(−y )= ×3×2= ×[3−(−1.5)]×(−d)=3，
△BOM 2 B M 2 C 2 2
4
∴d=− ．
3
( 4)
∴D 0，− ．
3
∵S =S ，
△ABM △BMP
1
∴ PD⋅(x −x )=4，
2 B M
1 ( 4)
∴ ×|q− − |×[3−(−1.5)]=4，
2 3
4 28
解得q= 或− ．
9 9
( 4) ( 28)
∴点P的坐标为 0， 或 0，− ．
9 9
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，绝对值方程，非负数的性质，解题的关在于能够熟练
掌握非负数的性质，求出a、b的值．
在平面直角坐标系中,解决与面积有关的问题时,要会求出点到坐标轴的距离.在求面积时,要会应用
转化方法,将图形补成规则的图形或将图形分割成规则的图形进行求解.
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考点四 函数
一、函数的相关概念：
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量.
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量.
函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都
有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数.
函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围.
确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数；
2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零；
3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零；
4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零；
5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义.
函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a
时的函数值.
函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式.
函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：
1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在.
2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解.
二、函数的三种表示法及其优缺点
解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示
法叫做解析法.
列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法.
图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法.
优点 缺点
解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实
际问题中有的函数值不一定能用解析式表示
列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量
与函数值的对应关系，有局限性
图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系
1）常量和变量的区分：在某个变化过程中，该量的值是否发生变化。
2）函数概念的解读：①有两个变量。
②一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。
③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。
资643料）整当理已【知淘宝函店数铺解：析向式阳及百分自百变】量的值，欲求函数值时，实质就是求代数式的值.
4）当已知函数解析式，且给出函数值,，欲求相应的自变量的值时，实质就是解方程.
5）当给定函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式.1）常量和变量的区分：在某个变化过程中，该量的值是否发生变化。
2）函数概念的解读：①有两个变量。
②一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。
③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。
3）当已知函数解析式及自变量的值，欲求函数值时，实质就是求代数式的值.
4）当已知函数解析式，且给出函数值,，欲求相应的自变量的值时，实质就是解方程.
5）当给定函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式.
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题型01 函数的概念辨析
4
【例1】（2023恩平市二模）球的体积是V，球的半径为R，则V = πR3 ，其中变量和常量分别是
3
（ ）
4 4
A．变量是V，R；常量是 ，π B．变量是R，π；常量是
3 3
4
C．变量是V，R，π；常量是 D．变量是V，R3；常量是π
3
【答案】A
【分析】根据常量和变量的概念解答即可．
4
【详解】解：球的体积是V，球的半径为R，则V = πR3 ，
3
4
其中变量是V，R；常量是 ，π
3
故选：A．
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【点睛】本题考查了常量和变量，掌握概念是解题的关键．
【变式1-1】（2021下·福建福州·九年级福建省福州延安中学校考阶段练习）观察表1和表2，下列判断
正确的是（ ）
表1：
x −2 1
y 1 2 3 4
1
表2：
x −2 2 −1 1
y 4 1
2
A．y 是x的函数，y 不是x的函数 B．y 和y 都是x的函数
1 2 1 2
C．y 不是x的函数，y 是x的函数 D．y 和y 都不是x的函数
1 2 1 2
【答案】C
【分析】根据函数的定义：如果对于一个变量m的一个值，变量n都有唯一的值与之对应，那么n就是
m的函数，由此求解即可．
【详解】解：观察表格可知，一个x的值有两个y 的值与之对应，故y 不是x的函数，一个x的值都有唯
1 1
一的y 与值对应，故，y 是x的函数，
2 2
故选C．
【点睛】本题主要考查了函数的概念，解题的关键在于能够熟练掌握函数的概念．
【变式1-2】（2023西安铁一中分校一模）下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：根据函数的定义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，
故D正确．
故选D．
【变式1-3】（2023·山东德州·二模）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是 ．（填序
号即可）
①圆的周长C是半径r的函数；
②表达式y=√x中，y是x的函数；
③如表中，n是m的函数；
m −3 −2 −1 1 2 3
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n −2 −3 −6 6 3 2
④如图中，曲线表示y是x的函数．
【答案】①②③
【分析】根据函数的定义与函数的表示方法逐一分析即可得到答案．
【详解】解：①圆的周长C是半径r的函数；表述正确，故①符合题意；
②表达式y=√x中，y是x的函数；表述正确，故②符合题意；
③由表格信息可得：对应m的每一个值，n都有唯一的值与之对应，故③符合题意；
在④中的曲线，当x>0时的每一个值，y都有两个值与之对应，故④不符合题意；
故答案为：①②③
【点睛】本题考查的是函数的定义，函数的表示方法，理解函数定义与表示方法是解本题的关键．
题型02 根据实际问题列函数解析式
【例2】（2023·安徽六安·统考二模）某登山队大本营所在地的气温为8°C．海拔每升高1km，气温下降
6°C．队员由大本营向上登高xkm，气温为y°C，则y与x的函数关系式为（ ）
3 3
A．y=8+6x B．y=8−6x C．y=6− x D．y=8− x
4 4
【答案】B
【分析】根据“大本营所在地的气温为8°C，海拔每升高1km，气温下降6°C”可得向上登高xkm可得
气温下降了6x°C，即可写出函数关系式．
【详解】解：由题意得，y与x的函数关系式为y=8−6x，
故选：B．
【点睛】本题考查了列函数关系式，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式2-1】（2023·重庆·统考一模）油箱中存油40升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，剩余
油量（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（ ）
A．Q=0.2t B．Q=40−0.2t C．Q=0.2t+40 D．Q=0.2t−40
【答案】B
【分析】利用油箱中存油量减去流出油量等于剩余油量，根据等量关系列出函数关系式即可．
【详解】解：由题意得：流出油量是0.2t，
则剩余油量：Q=40−0.2t，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了列函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
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【变式2-2】（2023·河南新乡·统考三模）下面的四个问题中都有两个变量：
①圆的面积y与它的半径x；
②物体的质量y与它的密度x；
③将游泳池中的水匀速放出，直至放完，游泳池中的剩余水量y与放水时间x；
④某工程队匀速铺设一条地下管道，铺设剩余任务y与施工时间x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的有（ ）
A．①②③④ B．③④ C．①③ D．②④
【答案】B
【分析】根据题意分别列出每个问题中的函数关系式，进而即可求解.
【详解】解：①圆的面积y与它的半径x的关系为：y=πx2，是二次函数关系，不可以用如图所示的图
象表示；
②物体的质量y与它的密度x的关系为：y=xV，V表示体积，不可以用如图所示的图象表示；
③将游泳池中的水匀速放出，直至放完，设游泳池中原来有水为V，放水速度为a，则游泳池中的水的剩
余水量y与放水时间x的关系为：y=V −ax，可以用如图所示的图象表示；
④某工程队匀速铺设一条地下管道，设总任务为m，铺设的速度为v，则铺设剩余任务y与施工时间x的
关系为：y=m−vx，可以用如图所示的图象表示；
故选：B.
【点睛】本题考查了列出实际问题中的函数关系式与函数图象的关系，正确得出每个问题中的函数关系
式是解题的关键.
【变式2-3】（2023·河南省直辖县级单位·统考二模）下面的五个问题中都有两个变量：
①一个容积固定的游泳池，游泳池注满水的过程中注水速度y与所用时间x；
②汽车匀速行驶时，行驶的距离y与行驶的时间x；
③小明打篮球投篮时，篮球离地面的高度y与篮球离开手的时间x；
④三角形面积一定时，它的底边长y与底边上的高x；
⑤矩形面积一定时，周长y与一边长x；
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图像表示的是（ ）
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A．①② B．②④ C．①④ D．①④⑤
【答案】C
k
【分析】题中变量y与变量x之间的函数关系如图所示的图像表示反比例函数y= ，再由五个问题中的
x
两个变量的函数关系逐一验证即可得到答案．
k
【详解】解：由题可知变量y与变量x之间的函数关系为反比例函数y= ，
x
①一个容积固定的游泳池，游泳池注满水的过程中注水速度y与所用时间x，则注水量k（定值）=xy，
k
从而变量y与变量x之间的函数关系为反比例函数y= ，符合题意；
x
y
②汽车匀速行驶时，行驶的距离y与行驶的时间x，则速度k（定值）= ，从而变量y与变量x之间的函
x
数关系为正比例函数y=kx，不符合题意；
③小明打篮球投篮时，篮球离地面的高度y与篮球离开手的时间x，从而变量y与变量x之间的函数关系为
二次函数y=ax2+bx+c，不符合题意；
1
④三角形面积一定时，它的底边长y与底边上的高x，则三角形面积k（定值）= xy，从而变量y与变量
2
2k
x之间的函数关系为反比例函数y= ，符合题意；
x
( y )
⑤矩形面积一定时，周长y与一边长x，则矩形面积k（定值）= −x x，从而变量y与变量x之间的函
2
2k
数关系为y= +2x，不符合题意；
x
∴五个问题中变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图像表示的是①④，
故选：C．
【点睛】本题考查函数图像，读懂题意，找到各个问题中变量之间的函数关系是解决问题的关键．
【变式2-4】（2023·河南开封·统考一模）请写出一个图象经过(2，−2)的函数的解析式 ．
【答案】y=−x(答案不唯一)
【分析】写出一个经过点（2，−2）的一次函数即可．
【详解】解：经过点A(2,−2)的函数的解析式可以为y=−x，
故答案为：y=−x（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上的点一定满足其函数解析式是解题
的关键．
题型03 求自变量的取值范围
√x+2
【例3】（2023·湖北恩施·统考一模）函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
x
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A．x≥−2且x≠0 B．x≥−2 C．x>−2或x≠0 D．x>−2
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】解：根据题意得：¿，
解得：x≥−2且x≠0，
故选：A．
【点睛】本题考查的函数的自变量的取值范围，分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，
求解不等式组的解集，熟练的根据代数式有意义的条件求解函数的自变量的取值范围是解本题的关键．
1
【变式3-1】在函数y= +√x−2中，自变量x的取值范围是（ ）
x−2
A．x≥2 B．x≥−2 C．x>2 D．x>−2
【答案】C
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意得：x−2≥0且x−2≠0，
解得：x>2．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当
函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函
数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．
√ 1
【变式3-2】（2023·江苏苏州·统考一模）函数y= 中自变量x的取值范围是（ ）
x−1
A．x>1 B．x≥1 C．x<1 D．x≠1
【答案】A
【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，即可解答．
√ 1
【详解】解：由y= 得：x−1>0，解得x>1．
x−1
故选：A．
【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义得条件，熟知分式分母不为0及二次根式根号里面需要大于
等于0是解题的关键．
【变式3-3】（2022上·四川资阳·九年级统考期末）函数y=√x−1的自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≥1/1≤x
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数即可得到x−1≥0，进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：x−1≥0，
解得：x≥1，
∴函数y=√x−1的自变量x的取值范围是x≥1，
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非
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负数是解此题的关键．
函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：
①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；
②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．
题型04 求自变量的值或函数值
【例4】（2023·贵州贵阳·统考二模）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（ ）
1
A．y=x+1 B．y=−2x C．y=x2−1 D．y=
x
【答案】B
【分析】将(0,0)代入各选项进行判断即可．
【详解】解：A、当x=0时，y=1，不经过原点，故本选项不符合题意；
B、当x=0时，y=0，经过原点，故本选项符合题意；
C、当x=0时，y=−1，不经过原点，故本选项不符合题意．
1
D、y= 中x≠0，故不经过原点，故本选项不符合题意；
x
故选：B．
【点睛】本题考查了函数图象上点的坐标特征，注意代入判断，难度一般．
【变式4-1】（2023·上海浦东新·校考三模）已知函数f (x)=2x−x2，则f (3)= ．
【答案】−3
【分析】将x=3代入该函数解析式进行计算可得此题结果．
【详解】解：∵f (x)=2x−x2，
∴f (3)=2×3−32=−3，
故答案为：−3．
【点睛】此题考查了运用实数的计算，求解函数值的能力，关键是能准确代入、计算．
题型05 函数图象的识别
【例5】（2023·安徽滁州·校联考模拟预测）下列各幅图象中，可以大致反映成熟的苹果从树上掉下来时，
速度随时间变化情况的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】苹果下落时，在重力的作用下速度逐渐增大，据此求解即可．
【详解】解：苹果下落时重力势能转化为动能，速度随时间的增大而变大，根据此特点可知，选项C符
合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数图象，试题跨物理学科，是生活中的常见现象，解题的关键是识别函数图象．
【变式5-1】（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，
AB长15千米，甲以15千米/时的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10千米/小时的速度匀速
跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C，下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时
内运动路程y（千米）与时间x（小时）函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别求出甲乙两人到达C地的时间，再结合已知条件即可解决问题．
【详解】解；由题意得：甲跑到B地所花费的时间为：15÷15=1h，甲在B地休息的时间为0.5h，甲从
B地跑到C地花费的时间为：(20−15)÷10=0.5h，总共花费时间为1+0.5+0.5=2h，
5
乙跑到C地所花费的时间为：20÷12= h<2h，
3
由此可知正确的图象是A，
故选：A．
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【点睛】本题考查函数图象，路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是理解题意求出两人到达C地
的时间，属于中考常考题型．
【变式5-2】（2023·河南南阳·统考二模）已知两个函数关系：①小明从家匀速步行到图书馆，看了一会
书后，搭上爸爸的顺风车匀速回家．设所用时间为x（分钟），离家的距离为y（千米）；②将挂在弹簧
测力计下方的一个铁块匀速浸入水中，在铁块完全浸没到水中后稍停片刻，再以比之前快的速度匀速将
铁块拉出水中，过程所用时间为x（s），铁块所受浮力为y（N）；则它们的图象符合下图的是（ ）
A．① B．② C．①② D．都不符合
【答案】C
【分析】根据题中的语境，分别判断即可．
【详解】解：①小明从家匀速步行到图书馆，看了一会书后，搭上爸爸的顺风车匀速回家．设所用时间
为x（分钟），离家的距离为y（千米），
开始时y随x的增大而增大，看书过程中y的值不变，回家时y随x的增大而减小，因为回家的速度比去
图书馆的速度快，所以回家的速率比离家的速率大，
故①符合题意；
②将挂在弹簧测力计下方的一个铁块匀速浸入水中，在铁块完全浸没到水中后稍停片刻，再以比之前快
的速度匀速将铁块拉出水中，过程所用时间为x（s），铁块所受浮力为y（N），
开始时y随x的增大而增大，铁块完全浸没到水后稍停片刻过程中y的值不变，再以比之前快的速度匀速
将铁块拉出水中，y随x的增大而减小，且减小的速率比增大的速率大，
故②符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了函数的图象，注意看清楚因变量和自变量分别表示的含义是解题的关键．
【变式5-3】（2023·湖南永州·校考二模）2023年1月22日，电影《流浪地球2》在万达广场上映，小赵
一家开车去观看．最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了几分钟，为了按时到达剧场，小赵在
不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶．在此行驶过程中，汽车离家的距离y（千米）与
行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】理解横轴和纵轴表示的实际量，然后根据实际情况：汽车离家的距离y(千米)与行驶时间t的函
数关系，来判断函数的变化对应的实际情况，再进行逐一判断，即可求解．
【详解】解：随着时间t的增加，汽车离家的距离y在增加，由此判断排除C、D错误；由于途中停车加
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油耽误了几分钟，此时时间t的增加，但车离家的距离y没有变化，后来加快了速度，仍保持匀速行进，
所以后来的函数图象的走势应比前面匀速前进的走势要陡．
故选：B．
【点睛】本题考查了函数图象的实际应用，理解横纵坐标表示是实际意义，会根据意义判断函数的变化
对应的实际情况是解题的关键．
【变式5-4】（2023·安徽滁州·校考二模）如图表示甲乙两车某个行驶过程中速度随时间变化的图象．则
表示乙的行驶路程正好是甲行驶路程4倍的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别表示出甲、乙行驶的路程，进而得出答案．
【详解】A、由图象可得：甲行驶的路程为：vt，
乙行驶的路程为：4vt，故乙的行驶路程是甲行驶路程四倍，故此选项正确，符合题意；
B、由图象可得：甲行驶的路程为：2vt，
乙行驶的路程为：4vt，故乙的行驶路程是甲行驶路程2倍，故此选项错误，不符合题意；
C、由图象可得：甲行驶的路程为：2vt，
乙行驶的路程为：2vt，故甲的行驶路程与乙行驶路程相等，故此选项错误，不符合题意；
D、由图象可得：甲行驶的路程为：2vt，
乙行驶的路程为：2vt，故甲的行驶路程与乙行驶路程相等，故此选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了函数图象，正确表示出甲、乙行驶的路程是解题关键．
题型06 从函数图象中获取信息
【例6】（2023·广东湛江·统考一模）在我国川西高原某山脉间有一河流，当河流中的水位上升到一定高
度时因河堤承压有溃堤的危险．于是水利工程师在此河段的某处河堤上修了一个排水的预警水库连通另
一支流．当河流的水位超过警戒位时就有河水流入预警的水库中，当水库有一定量的积水后，就会自动
打开水库的排水系统流入另一支流．当河流的水位低于警戒位时水库的排水系统的排水速度则变慢．假
设预警水库的积水时间为x分钟，水库中积水量为y吨，图中的折线表示某天y与x的函数关系，下列说法
中：
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①这天预警水库排水时间持续了80分钟；
②河流的水位超过警戒位时预警水库的排水速度比进水速度少25吨/分；
③预警水库最高积水量为1500吨；
④河流的水位低于警戒位时预警水库的排水速度为30吨/分．
其中正确的信息判断是( )
A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
【答案】D
【分析】本题考查函数图象；根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从
而可以解答本题．
【详解】解：由图象得：0～10分，水库开始积水，
10～30分，水库有一定量的积水，水库的排水系统打开，
30～80分时，水库停止进水，只排水，
这天预警水库排水时间持续了80−10=70分钟，故①错误；
1500−1000
=25(吨/分)，也就是水位超过警戒位时预警水库的排水速度比进水速度少25吨/分，②正
30−10
确；
从图象看出预警水库积水量为1500吨时停止进水，并不能反映出预警水库的最高积水量，③错误；
从图象看出河流的水位低于警戒位时预警水库的排水速度为1500÷(80−30)=30(吨/分)，④正确．
故选：D．
【变式6-1】（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考二模）周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一
路线从A地出发前往B地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙
8
骑行25分钟后，甲以原速的 继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在
5
此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，
则甲到B地后乙距离B地 m．
【答案】3600
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【分析】根据图象易得v =300m/s，进而求出v =250m/s，则甲加速后的速度为：v' =400m/s，
乙 甲 甲
由图可知，甲在第86分钟到达B地，即可求出A、B两地距离为29400m，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
1500
v = =300(m/s)，
乙 5
∴25×300−(25−5)v =2500，
甲
则v =250m/s，
甲
8
甲加速后的速度为：v' =250× =400(m/s)，
甲 5
由图可知，甲在第86分钟到达B地，
∴A、B两地距离为250×(25−5)+400×(86−25)=29400(m)，
∴甲到B地后乙与B地距离为：29400−300×86=3600(m)，
故答案为：3600．
【点睛】本题主要考查了根据函数图象获取信息，解题的关键是正确理解函数图象，根据图象获取正确
数据．
题型07 用描点法画函数图象
【例7】（2023·广东深圳·校考模拟预测）请结合图像完成下列问题：
(1)请在图中画出函数：y=|x|+4的图像；
(2)结合图像直接写出方程：|x|+4=−x+6的解为：_______；
(3)在图中画出函数y=x2−2|x|+4的图像，并结合图像直接写出方程：x2−4|x|+3=x+3的解为：
．
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【答案】(1)作图见解析
(2)x=1
(3)x=0或x=−3或x=5，作图见解析
【分析】（1）先列表、然后描点、再连线即可得出函数图象；
（2）作出一次函数y=−x+6的函数图象，然后根据函数图象得出方程：|x|+4=−x+6的解即可；
（3）先列表、然后描点、再连线即可得出函数图象；方程x2−4|x|+3=x+3可以变为
x2−2|x|+4=2|x|+x+4，作出函数y=2|x|+x+4的函数图象，最后找出两个函数图象的交点，即可得
出x2−4|x|+3=x+3的解．
【详解】（1）解：列表：
x … −10 −5 0 5 10 …
y=|x|+4 … 14 9 4 9 14 …
描点，连线，如图所示：
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（2）解：如图，一次函数y=−x+6与函数y=|x|+4的交点的横坐标为1，
∴方程|x|+4=−x+6的解为x=1，
故答案为：x=1．
（3）解：列表：
x … −3 −2 −1 0 1 2 3 …
y=x2−2|x|+4 … 7 4 3 4 3 4 7 …
描点，连线：
方程x2−4|x|+3=x+3可以变为x2−2|x|+4=2|x|+x+4，
如图，函数y=x2−2|x|+4的图象与函数y=2|x|+x+4的图象交点的横坐标为：0，−3，5，
∴方程x2−2|x|+4=2|x|+x+4的解为x=0或x=−3或x=5，
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即方程x2−4|x|+3=x+3的解为x=0或x=−3或x=5．
【点睛】本题主要考查了用描点法作函数图象，根据函数图象求方程的解，解题的关键是熟练掌握函数
图象的作图方法，数形结合．
【变式7-1】（2023·河南周口·校联考三模）某班数学兴趣小组对函数y=−2|x−1|+3的图象与性质进
行了探究，探究过程如下：
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 …
y=−2|x−1|+3 … −5 m −1 1 3 1 n −3 −5 …
填空：m=______，n=______；
(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象：
(3)观察函数图象，写出该函数的两条性质：①______；②______；
(4)点A(a,b)是该函数图象上一点，现已知点A在直线y=2的下方，且b>−2，那么a的取值范围是
______．
【答案】(1)−3；−1
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(2)见解析
(3)① 该函数图象是轴对称图形；②该函数有最大值3(答案不唯一)
(4)−1.5−2，
∴−1.5
