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第 09 讲 函数与平面直角坐标系
目 录
题型01 用有序数对表示点的位置
题型02 已知点的坐标确定点到直线的距离
题型03 已知点到直线的距离求点的坐标
题型04 判断点所在的象限
题型05 由点在坐标系的位置确定点的坐标
题型06 由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围
题型07 探索点的坐标规律
题型08 实际问题中用坐标表示地点/路线
题型09 根据方位描述物体具体位置
题型10 平面直角坐标系的面积问题
题型11 函数解析式
题型12 求自变量的取值范围
题型13 求自变量的值或函数值
题型14 函数图象的识别
题型15 从函数图象中获取信息
题型16 动点问题的函数图象
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题型 01 用有序数对表示点的位置
1．（2021·湖北宜昌·统考模拟预测）如果第二列第一行用有序数对（2，1）表示，那么数对（3，6）和
（3，4）表示的位置是（ ）
A．同一行 B．同一列 C．同行同列 D．不同行不同列
【答案】B
【分析】数对中第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，据此可作出判断．
【详解】解：第二列第一行用数对（2，1）表示，则数对（3，6）表示第三列，第六行，数对（3，4）表
示表示第三列，第四行．所以数对（3，6）和（3，4）表示的位置是同一列不同行．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，一般用数对表示点位置的方法是第一个数字表示列，第二个数字
表示行，也有例外，具体题要根据已知条件确定．
2．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知一组数√3，√6，3，2√3，√15，3√2，√21，2√6，…，排列方式
如下：√3，√6，3，2√3；√15，3√2，√21，2√6；…．若3的位置记为(1,3)，3√2的位置记为(2,2)，
则3√5的位置记为 ．
【答案】(4,3)
【分析】根据题意，3个一组，求得45是第15个数，为第4组第3个数，即可求解．
【详解】解：∵√3，√6，3，2√3；√15，3√2，√21，2√6；…．若3的位置记为(1,3)，3√2的位置记
为(2,2)，
∵3√5=√45，
45是第15个数，为第4组第3个数，则3√5的位置记为(4,3)，
故答案为：(4,3)．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，数字类规律，有序数对表示位置，找到规律是解题的关键．
3．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）观察如图所示的象棋棋盘，(5,1)表示“帅”的位置，
马走“日”字，那么“马8进7”（即第8列的马前进到第7列）后的位置可表示为 ．
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【答案】(7,2)
【分析】根据(5,1)表示“帅”的位置，然后根据马走“日”字，可以得出“马8进7”后的位置．
【详解】解：∵(5,1)表示“帅”的位置，
又∵马走“日”字，
∴“马8进7”（即第8列的马前进到第7列）后的位置可表示为：(7,2)．
故答案为：(7,2)．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，明确数对表示位置的方法，是解题的关键．
题型 02 已知点的坐标确定点到直线的距离
1．（2023·贵州贵阳·统考一模）已知点A（1，2），过点A向x轴作垂线，垂足为M，则点M的坐标为
（ ）
A．（1，0） B．（2，0） C．（0，1） D．（0，2）
【答案】A
【分析】根据垂直于x轴的直线上的点的横坐标都相等，x轴上的点的纵坐标为0来进行求解.
【详解】解：∵A(1,2)，点A向x轴作垂线，垂足为M，
∴M点的纵坐标为0，横坐标与A点相等，
即M(1,0).
故选：A．
【点睛】本题主要考查了点的坐标，熟记垂直于x轴的直线上的点的横坐标都相等是解答关键.
2．（2023·四川泸州·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，以点(−3,4)为圆心，4为半径的圆与x轴的位
置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法判断
【答案】C
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【分析】先找出圆心到x轴的距离，再与圆的半径进行比较，若圆心到x轴的距离小于半径，则圆与x轴相
交，大于半径则圆与x相离，若二者相等则相切．
【详解】解：∵圆心的坐标为(−3,4)
∴圆心与x轴距离为4，等于其半径4，
∴以点(−3,4)为圆心，4为半径的圆与x轴的关系为相切．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆与直线的位置关系，点到坐标轴的距离，熟练掌握圆心距与圆到直线距离的大
小关系对应的位置关系是关键．
3．（2021·广东广州·校考二模）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，3），点P（0，y）为y轴上的一个动
点，当y＝ 时，线段PA的长得到最小值．
【答案】3
【分析】根据垂线段最短解决问题即可．
【详解】解：根据垂线段最短得：当PA⊥y轴时，PA的值最短，此时P（0，3），
∴y＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离
等于横坐标的绝对值是解题的关键．
题型 03 已知点到直线的距离求点的坐标
1．（2023·四川成都·成都七中校考三模）已知第二象限内的点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则
P点的坐标是 ．
【答案】(−3,4)
【分析】根据坐标的表示方法，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，且它在第二象限内即可得到点P
的坐标．
【详解】解：∵点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，且它在第二象限内，
∴点P的坐标为(−3,4)．
故答案为：(−3,4)．
【点睛】此题考查了点的坐标，解题关键在于熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横
坐标的长度．
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题型 04 判断点所在的象限
1．（2023·内蒙古包头·包头市第二十九中学校考三模）在平面直角坐标系中，将点P(−3,a2+1)向右平移
4个单位后得到点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】向右平移，横坐标加，纵坐标不变；另a2≥0，故在第一象限．
【详解】P(−3,a2+1)向右平移4个单位后得到点坐标为(1,a2+1)，
∵a2+1>0
∴新点在第一象限．
故选：A
【点睛】本题考查点平移的坐标变化，直角坐标系各象限点的坐标符号，掌握点平移与坐标的联系是解题
的关键．
2．（2023·广东广州·统考二模）在平面直角坐标系中，已知点P(x ,y )，Q(x ,y )，我们把点
1 1 2 2
(x −x ,y −y )叫做点P到点Q的“位移点”，则点A(3,4)到点B(1,2)的“位移点”在第
2 1 2 1
象限．
【答案】三
【分析】先根据“位移点”的定义求出点A到点B的“位移点”，再判断其位置即可．
【详解】解：点A(3,4)到点B(1,2)的“位移点”是(1−3,2−4)，即(−2,−2)，在第三象限；
故答案为：三．
【点睛】本题考查了新定义题型—“位移点”以及点的坐标，正确理解“位移点”的概念，得出点A到点
B的“位移点”是解题的关键．
3．（2023·安徽蚌埠·校联考二模）如果点P(3，a)在第一象限，则点Q(a，−a)在第 象限．
【答案】四
【分析】先根据第一象限的点横纵坐标都为正求出a>0，进而得到−a<0，再根据第四象限的点的坐标特
征即可得到答案．
【详解】解；∵点P(3，a)在第一象限，
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∴a>0，
∴−a<0，
∴点Q(a，−a)在第四象限，
故答案为：四．
【点睛】本题主要考查了坐标系中每个象限内的点的坐标特征，熟知每个象限的点的坐标特征是解题的关
键：第一象限(+，+)，第二象限(−，+)，第三象限(−，−)，第四象限(+，−)．
题型 05 由点在坐标系的位置确定点的坐标
1．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）平面直角坐标系中，点A(−3,2)，B(1,4)，C(x,y)，若AC∥x
轴，则线段BC的最小值及此时点C的坐标分别为（ ）
A．2,(1,2) B．6,(−3,4) C．4,(1,0) D．1,(0,4)
【答案】A
【分析】由AC∥x轴，A(−3,2)，根据坐标的定义可求得y值，根据线段BC最小，确定BC⊥AC，垂
足为点C，进一步求得BC的最小值和点C的坐标．
【详解】解：如图，
∵AC∥x轴，
∴C点的纵坐标为与A点的纵坐标相同，即y=2，
∵当BC⊥AC时，线段BC最短，此时BC∥y轴，
∴此时C点的横坐标与B点的横坐标相同，即x=1，
即C(1,2)，此时BC=4−2=2．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，熟记点到坐标轴的距离与这个点坐标的区别及点到直线垂线段最
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短是解题的关键．
2．（2023顺德区二模）在平面直角坐标系中，点P(−2,3)关于x轴的对称点Q的坐标为（ ）
A．(−2,−3) B．(−3,−2) C．(2,−3) D．(2,3)
【答案】A
【分析】根据两个点关于x轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数即可判断．
【详解】解：因为P(−2，3)与Q点关于x轴对称，
∴Q(−2，−3)，
故选：A．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，解题关键是牢记两个点关于x轴对称，则横坐标相等，
纵坐标互为相反数．
3．（2023·山西吕梁·统考一模）如图，△OAB的顶点O与坐标原点重合，顶点A，B分别在第二、三象限，
且AB⊥ x轴，若AB=2，OA=OB= √5，则点A的坐标为（ ）
A．(−2，1) B．(2，−1)
C．(−2，−1) D．(2，1)
【答案】A
【分析】设AB与x轴交于点C，利用勾股定理求出OC长，根据点所在象限写出坐标．
【详解】解：设AB与x轴交于点C，
∵OA=OB，AB⊥ x轴，
∴AC=BC=1,
∴OC=√OA2−AC2=√ (√5) 2 −12=2，
∵点A在第二象限，
∴点A的坐标为(−2，1)
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故选A．
【点睛】本题考查勾股定理，点的坐标，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
4．（2023·江苏无锡·模拟预测）已知一平面直角坐标系内有点A(−4,3)，点B(1,3)，点C(−2,5)，若在该
坐标系内存在一点D，使CD∥y轴，且S =10，点D的坐标为 ．
△ABD
【答案】(−2,7)或(−2,−1)/(−2,−1)或(−2,7)
【分析】将点A(−4,3)，点B(1,3)，点C(−2,5)的坐标在平面直角坐标系中标出来，由点A和点B的坐标
可知，AB∥x轴，从而可求得AB的长；再由点C的坐标及CD∥y轴，可知点D的横坐标，设点D的纵
坐标为m；然后根据S =10，可得关于m的方程，解得m的值即可．
△ABD
【详解】解：将点A(−4,3)，点B(1,3)，点C(−2,5)的坐标在平面直角坐标系中标出来，如图所示：
∵点A(−4,3)，点B(1,3)，
∴AB∥x轴，
∴AB=1−(−4)=5，
∵点C(−2,5)，CD∥y轴，
∴点D的横坐标为−2，设点D的纵坐标为m，
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∵S =10，
△ABD
1
∴ 5×|m−3|=10，
2
∴m=−1或7．
∴点D的坐标为(−2,7)或(−2,−1)．
故答案为：(−2,7)或(−2,−1)．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的坐标与图形的性质，明确平面直角坐标系中点的坐标特点并数形
结合是解题的关键．
5．（2023·江西吉安·校考模拟预测）线段AB的长度为3且平行与y轴，已知点A的坐标为(−1，2)，则点
B的坐标为 ．
【答案】(−1，5)或(−1，−1)/(−1，−1)或(−1，5)
【分析】根据平行与y轴的直线上的点横坐标相同进行求解即可．
【详解】解：当点B在点A上方时，
∵线段AB的长度为3且平行与y轴，点A的坐标为(−1，2)，
∴点B的坐标为(−1，2+3)，即(−1，5)；
当点B在点A下方时，
∵线段AB的长度为3且平行与y轴，点A的坐标为(−1，2)，
∴点B的坐标为(−1，2−3)，即(−1，−1)；
综上所述，点B的坐标为(−1，5)或(−1，−1)．
故答案为：(−1，5)或(−1，−1)．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
6．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点
△ABC的顶点A、C的坐标分别为(−4,3)、(−1,1)．
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(1)请在图中正确画出平面直角坐标系；
(2)请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，点A，B，C的对应点分别是A'，B'，C'；
(3)点B'的坐标为______________．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)(2，−1)
【分析】（1）选择适合的点为直角坐标系的原点，以此构造平面直角坐标系即可；
（2）先找出A、B、C、三点关于y轴对称的对称点A'、B'、C'，连接三点画出三角形；
（3）由直角坐标系即可得到B'点的坐标．
【详解】（1）解：建立直角坐标系如下图所示：
（2）解：△A'B'C'如图所示：
（3）解：由图可知B'点的坐标为(2，−1)．
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【点睛】本题考查构造平面直角坐标系，轴对称，写出直角坐标系中的点的坐标，能够掌握数形结合思想
是解决本题的关键．
题型 06 由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围
题型07 1．（2023·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，将点A(a,1−a)先向左平移3个单位得点A ，
1
再将A 向上平移1个单位得点A ，若点A 落在第四象限，则a的取值范围是（ ）
1 2 2
A．2<a<3 B．a<2或a>3 C．a>2 D．a>3
【答案】D
【分析】根据平移的性质表示出平移后的点的坐标，再利用第四象限内点的坐标特点得出答案．
【详解】∵将点A(a,1−a)先向左平移3个单位得点A ，
1
∴A 坐标为(a−3,1−a)，
1
∵再将A 向上平移1个单位得点A ，
1 2
∴点A 的坐标为(a−3,2−a)，
2
∵点A 落在第四象限，
2
∴¿，解得：a>3．
故选：D
【点睛】此题考查点的平移规律和象限点的坐标特点，解题关键是明确不同象限点坐标的特点．
2．（2022·山东临沂·统考二模）在平面直角坐标系中，将点P (−x，1−x)先向右平移3个单位得点P，再
1
将P 向下平移3个单位得点P，若点P 落在第四象限，则x的取值范围是（ ）
1 2 2
A．x>3 B．−2<x<3 C．x<−2 D．x<−2或x>3
【答案】B
【分析】利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．
【详解】解：P (-x，1-x)向右平移3个单位，得点P (-x+3，1-x)，
1
再将P(-x+3，1-x)向下平移3个单位得到P (-x+3，1-x-3)，
1 2
∵P 位于第四象限，
2
∴¿，
∴¿，即−2<x<3．
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移
加，下移减．
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3．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）已知点A(a+3,2−3a)在第二象限，则a的取值范围是 ．
【答案】a<−3
【分析】根据第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正列出不等式即可求解．
【详解】解：因为点A(a+3,2−3a)在第二象限，
所以，¿，
解得：a<−3．
故答案为：a<−3
【点睛】本题考查了象限内点的坐标的特征，解题关键是明确第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正．
题型 07 探索点的坐标规律
1．（2021·河南·校联考三模）如图：正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(1,1)，(3,1)；若正方形
ABCD第1次沿x轴翻折，第2次沿y轴翻折，第3次沿x轴翻折，第4次沿y轴翻折，第5次沿x轴翻折，…，
则第2021次翻折后点C对应点的坐标为（ ）
A．(3,−3) B．(3,3) C．(−3,3) D．(−3,−3)
【答案】A
【分析】由A，B的坐标分别为(1,1)，(3,1)，四边形ABCD是正方形，可得C(3,3)，经过第1次翻折后
点C对应点的坐标为(3,−3)，第2次翻折后点C对应点的坐标为(−3,−3)，第3次翻折后点C对应点的坐
标为(−3,3)，第4次翻折后点C对应点的坐标为(3,3)，根据规律即可得经过第2021次翻折后点C对应点
的坐标为(3,−3)．
【详解】解：∵A，B的坐标分别为(1,1)，(3,1)，
∴AB=2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB=2，
∴C(3,3)，
∴第1次翻折后点C对应点的坐标为(3,−3)，第2次翻折后点C对应点的坐标为(−3,−3)，第3次翻折后
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点C对应点的坐标为(−3,3)，第4次翻折后点C对应点的坐标为(3,3)，
而2021=505×4+1，
∴经过第2021次翻折后点C对应点的坐标为(3,−3)，
故选：A．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中的翻折，解题的关键是掌握翻折的规律，理解第2021次翻折和第1次
翻折结果相同．
2．（2022·安徽·校联考模拟预测）如图所示，在台球桌面ABCD上建立平面直角坐标系，点P从(0,1)出发
沿图中箭头方向运动，碰到边界（粗线）会发生反弹（反射角等于入射角）．若点P的运动速度为每秒√2
个单位长度，则第2022秒时点P的坐标为（ ）
A．(0,1) B．(1,0) C．(2,1) D．(3,2)
【答案】C
【分析】根据小球的运动方向可得出小球运动一周所走的路程3√2+√2+3√2+√2=8√2，再由运动速度
得出运动一周所用的时间，从而得出第2022秒的小球所在位置．
【详解】解：根据题意画出图形得：
小球运动一周所走的路程3√2+√2+3√2+√2=8√2，
∵小球以每秒√2个单位长度的速度运动，
∴小球运动一周所用的时间为：8√2÷√2=8（秒），
∴2022÷8=252…6，
∴第2022秒的小球所在位置为点E，
∴点E的坐标为(2，1)．
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故选：C．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，掌握勾股定理以及坐标的表示方法是解题的关键．
3．（2022·黑龙江大庆·大庆外国语学校校考模拟预测）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连
续翻转2019次，点P依次落在点P ,P ,P ,P ,...,P 的位置，则P 的横坐标为（ ）
1 2 3 4 2019 2019
A．2019 B．2018 C．2017 D．2016
【答案】B
【分析】观察图形和各点坐标可知：点P到P 要翻转4次为一个循环，P到P 横坐标刚好加4，P到P 处
4 4 2
横坐标加3，按照此规律，求出P 的横坐标，进而求出答案．
2019
【详解】解：由题意可知：点P到P 要翻转4次为一个循环，P(−1,1)，P (1,1)，P (2,0)，P (3,0)，
4 1 2 3
P (3,0)，P (5,1)，
4 5
P到P 横坐标刚好加4，P到P 处横坐标加3，
4 2
∵2019÷4=504...3，
∴504×4−1=2015，
2015+3=2018，
∴P 的横坐标2018，
2019
故选：B．
【点睛】本题主要考查了规律型：点的坐标，解题关键是根据各点坐标和题意，找出坐标规律．
4．（2023·河南漯河·统考二模）图，在平面直角坐标系中，△A A A ，△A A A ，△A A A ，…都
1 2 3 3 4 5 5 6 7
是等边三角形，其边长依次为2，4，6．…，其中点A 的坐标为(2，0)，点A 的坐标为(1,−√3)，点A
1 2 3
的坐标为(0，0)，点A 的坐标为(2,2√3)…，按此规律排下去，则点A 的坐标为（ ）
4 2024
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A．(1,−1010√3) B．(1,−1011√3) C．(2,1012√3) D．(2，1014√3)
【答案】C
【分析】观察所给图形，发现x轴上方的点是4的倍数，确定点A 在x轴上方，分别求出点A 的坐标为
2020 4
(2,2√3)，点A 的坐标为(2,4√3)，……，点A 的坐标为(2,2n√3)，即可求解．
8 4n
【详解】解：观察所给图形，发现x轴上方的点是4的倍数，
∵2024÷4=506，
∴点A 在x轴上方，
2024
∵A A =4，
3 4
∴A (4，0)，
5
∵A A =6，
5 7
∴A (−2，0)，
7
∵A A =8，
8 7
∴点A 的坐标为(2,4√3)，
8
同理可知，点A 的坐标为(2,2n√3)，
4n
∴点A 的坐标为(2,1012√3)，
2024
故选：C．
【点睛】本题考查点的坐标的变化规律；能够通过所给图形，找到点的坐标规律是解题的关键．
5．（2023·河南周口·校联考三模）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到
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更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成120°角的叶片，以三个叶片的重合点为原点，
水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点A的坐标为(5,5)，
在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动90°，则第2023s时，点A的对应点A 的坐标为（ ）
2023
A．(5,5) B．(−5,5) C．(−5,−5) D．(5,−5)
【答案】B
【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、4s时，点A的对应点A 、A 、A 、A 的坐标，找到规律，
1 2 3 4
进而得出第2023s时，点A的对应点A 的坐标．
2023
【详解】解：∵A(5,5)，
∴A在第一象限的角平分线上，
∵叶片每秒绕原点O顺时针转动90°，
∴A (5,−5)，A (−5,−5)，A (−5,5)，A (5,5)，
1 2 3 4
∴点A的坐标以每4秒为一个周期依次循环，
∵2023÷4=505⋯3，
∴第2023s时，点A的对应点A 的坐标与A 相同，为(−5,5)．
2023 3
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，点的坐标，找到点A的坐标循环的规律是解题的关键．
6．（2023·山东烟台·统考二模）自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺
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旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，8，13，……画出米的螺旋曲线．在平面直角坐标系中，依次
以这组数为半径作90°的圆弧P´P ,P´P ,P´P ,⋯，得到一组螺旋线，连接P P ,P P ,P P ,⋯，得
1 2 2 3 3 4 1 2 2 3 3 4
到一组螺旋折线，如图所示．已知点P ,P ,P 的坐标分别为(−1,0),(0,1),(1,0)，则点P 的坐标为
1 2 3 7
（ ）
A．(6,1) B．(8,0) C．(8,2) D．(9,−2)
【答案】D
【分析】根据图中点的位置，找出规律，利用平移的特点，依次求出各个点的坐标，即可得出答案．
【详解】解：观察发现：P (1,0)先向右平移1个单位，再向上平移1单位得到P (0,1)；
1 2
P (0,1)先向右平移1个单位，再向下平移1单位得到P (1,0)；
2 3
P (1,0)先向左平移2个单位，再向下平移2单位得到P (−1,−2)；
3 4
P (−1,−2)先向左平移3个单位，再向上平移3单位得到P (−4,1)；
4 5
P (−4,1)先向右平移5个单位，再向上平移5单位得到P (1,6)；
5 6
P (1,6)先向右平移8个单位，再向下平移8单位得到P (9,−2)，故D正确．
6 7
故选：D．
【点睛】本题主要考查了点的规律探索，解题的关键是根据图中给出的已知点的位置，找出平移规律．
7．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，Rt△OA A 在平面直角坐标系内，∠OA A =90°，
0 1 0 1
∠A OA =30°，以OA 为直角边向外作Rt△OA A ，使∠OA A =90°，∠A OA =30°，以OA
0 1 1 1 2 1 2 1 2 2
为直角边向外作Rt△OA A ，使∠OA A =90°，∠A OA =30°，按此方法进行下去，得到
2 3 2 3 2 3
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Rt△OA A ，Rt△OA A ，…，Rt△OA A ，若点A (1，0)，则点A 的横坐标为
3 4 4 5 2021 2022 0 2022
．
2022
(2√3)
【答案】−
3
【分析】由30°直角三角形性质解直角三角形求出OA 、OA ，根据图形变化得出规律，即可得出结果．
1 2
【详解】解：∵ A (1，0)
0
∴OA =1
0
∵在Rt△OA A 中，∠OA A =90°，∠A OA =30°，
0 1 0 1 0 1
OA 2√3
∴OA = 0 =
1 cos30° 3
又∵在Rt△OA A 中，∠OA A =90°，∠A OA =30°，
1 2 1 2 1 2
OA (2√3) 2
∴OA = 1 =
2 cos30° 3
3 4 n
(2√3) (2√3) (2√3)
同理可得OA = ，OA = …OA =
3 3 4 3 n 3
2022
(2√3)
∴OA =
2022 3
又∵一次作法角度增加30°，
∴12次为一个循环，
∵2022÷(360°÷30°)=168…6，
∴OA 所在的直线与OA 所在的直线相同，
2022 6
∴点A 在y轴的负半轴上
2022
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2022
(2√3)
∴点A 的横坐标=−OA =− ，
2022 2022 3
2022
(2√3)
故答案为：− ．
3
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，以及三角函数，解题的关键在于能够根据题意找出规律进行求
解．
8．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）如图，已知等边△AOC的边长为1，作OD⊥AC于点D，在x轴
上取点C ，使CC =DC，以CC 为边作等边△A CC ；作CD ⊥A C 于点D ，在x轴上取点C ，使
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
C C =D C ，以C C 为边作等边△A C C ；作C D ⊥A C 于点D ，在x轴上取点C ，使
1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 3
C C =D C ，以C C 为边作等边△A C C ；…，且点A,A ,A ,A ，…都在第一象限，如此下去，则
2 3 2 2 2 3 3 2 3 1 2 3
点D 的坐标为 ．
2023
(22026−5 √3 )
【答案】 ,
22025 22025
【分析】根据等边三角形的性质分别求出C C ,C C ,C C ,⋯,C C 的边长即可解决问题．
1 2 2 3 3 4 n n+1
【详解】∵等边△AOC的边长为1，作OD⊥AC于点D，
1 1
∴OC=1,CC =CD= OC= ，
1 2 2
1 1 1 1
∴OC,CC ,C C ,C C ,C C ,⋯,C C 的长分别为1, , , ,⋯, ，
1 1 2 2 3 3 4 2023 2024 2 22 23 22024
1 1 1 22025−1
OC =OC+CC +C C +C C ⋯+C C =1+ + +⋯+ = ，
2024 1 1 2 2 3 2023 2024 2 22 22024 22024
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22024−1 1 1 22025−3
等边△A C C 的顶点A 的横坐标＝ − × = ，
2024 2023 2024 2024 22023 22023 2 22024
(22025−3 22024−1) 1 22026−5
等边△A C C 的边A C 的中点D 的横坐标为 + × = ，
2024 2023 2024 2024 2024 2023 22024 22023 2 22025
1 √3
其纵坐标为 ×√3= ，
22025 22025
(22026−5 √3 )
∴D 的坐标为 , ．
2023 22025 22025
(22026−5 √3 )
故答案为： , ．
22025 22025
【点睛】本题考查了规律型：点的坐标和等边三角形的性质、解题的关键是发现点的横坐标变化规律．
9．（2023·山东菏泽·菏泽市牡丹区第二十二初级中学校考一模）在平面直角坐标系中一组菱形A C B O，
1 1 1
A C B C ，A C B C ，A C B C ，…按如图方式放置，已知点A (1,0)，A (3,0)，A (5,0)，…，
2 2 2 1 3 3 3 2 4 4 4 3 1 2 3
A (2n−1,0)，点B (0,1)，B (0,3)，B (0,5)，…，B (0,2n−1)，则菱形A C B C 的面积为 ．
n 1 2 3 n 5 5 5 4
【答案】9
【分析】先求出A B 以及C C 的长度，根据菱形的面积公式即可得出答案．
5 5 4 5
【详解】解：∵A (1,0)，A (3,0)，点B (0,1)，B (0,3)，
1 2 1 2
∴C (1,1)，
1
∵菱形A C B O，A C B C ，
1 1 1 2 2 2 1
(3 3)
∴A B 的中点坐标为 , ，
2 2 2 2
由菱形的对角线互相平分可得：C (2,2)，
2
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∴OC =√12+12=√2，
1
C C =√(2−1) 2+(2−1) 2=√2，
1 2
同理可得：C C =√2，C C =√2，
2 3 3 4
根据此规律可得C C =√2，
4 5
又∵A (9，0)，B (0，9)，
5 5
∴A B =√92+92=9√2，
5 5
1
∴菱形A C B C 的面积为 ×√2×9√2=9，
5 5 5 4 2
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查菱形的面积公式，关键是要找出C C 的长度的规律，牢记菱形的面积公式．
n n+1
10．（2023·黑龙江·统考三模）如图，射线OD与x轴所夹的锐角为30°，OA 的长为1，△A A B ，
1 1 2 1
△A A B ，△A A B ，…，△A A B 均为等边三角形，点A ，A ，A ，…，A 在x轴的正半轴
2 3 2 3 4 3 n n+1 n 1 2 3 n+1
上依次排列，点B ，B ，B ，…，B 在射线OD上依次排列，那么点B 的坐标为 ．
1 2 3 n 2023
【答案】(3×22021,22021√3)
【分析】根据等边三角形的性质和∠B OA =30°，得∠B OA =∠A B O=30°，得到
1 2 1 2 1 1
OA =2OA =2，同理求得OA =2n−1 ，根据含30°角的直角三角形的性质可求得△A B A 的边长，
2 1 n n n n+1
得到点B 的坐标．
2023
【详解】解：∵△A A B 为等边三角形，
1 2 1
∴∠B A A =60°，
1 1 2
∵∠B OA =30°，
1 2
∴∠B OA =∠A B O=30°，
1 2 1 1
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∴OA =2OA =2，
2 1
同理可得，OA =2n−1 ，
n
∵∠B OA =30°，∠B A A =60°，
n n+1 n n n+1
∴∠B OA =∠B A A =30°，
n n+1 n n n+1
√3
∴B A =OA =2n−1 ，即△A B A 的边长为2n−1，则其高为 ×2n−1=√3×2n−2 ，
n n n n n n+1 2
1 3
∴点B 的横坐标为 ×2n−1+2n−1= ×2n−1=3×2n−2 ，
n 2 2
∴点B 的坐标为(3×2n−2,√3×2n−2)，
n
∴点B 的坐标为(3×22021，22021√3)．
2023
故答案为：(3×22021，22021√3)．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识点，根据条件找到等边
三角形的边长和OA 的关系是解题的关键．
1
题型 08 实际问题中用坐标表示地点/路线
1．（2022·北京昌平·统考模拟预测）如图所示，从小明家到学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是北
南或西东方向，小明走下面哪条线路最短（ ）
A．(1，3)→(1，2)→(1，1)→(1，0)→(2，0)→(3，0)→(4，0)
B．(1，3)→(0，3)→(2，3)→(0，0)→(1，0)→(2，0)→(4，0)
C．(1，3)→(1，4)→(2，4)→(3，4)→(4，4)→(4，3)→(4，2)→(4，0)
D．以上都不对
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【答案】A
【分析】要想线路最短，就应从小明家出发向右及向下走，而不能向左或向上走，所以选A．
【详解】解：要想路线最短，就只应向右及向下走，
故选：A
【点睛】本题考查了平面直角坐标系的应用以及数学在实际生活的应用，理解线路最短，应始终向着目标
靠近，并明白平面直角坐标系中点的坐标的表示是解题关键．+2. 下面是某古城几个地名的平面示意图，
已知民俗街和博物馆的坐标分别为点C(−3,−1)，E(3,−1)，请仔细观察示意图完成以下问题．
（1）请根据题意在图上建立平面直角坐标系．
（2）在（1）的条件下，写出图上B，D两地点的坐标．
（3）某周末甲，乙，丙，丁等4位同学分别到古城楼，民俗街，文化广场，博物馆四个地点游玩，且每人
只去一个地点，老师打电话问了赵，钱，孙，李等四位同学，赵说：“甲在民俗街，乙在文化广场”；钱
说：“丙在博物馆，乙在民俗街”；孙说：“丁在民俗街，丙在文化广场”；李说：“丁在古城楼，乙在
文化广场”．若知道赵，钱，孙，李每人都只说对了一半，则丙同学游玩的地点是 ．
【答案】（1）详见解析；（2）B(0，4) ， D(-1，-1) ；（3）博物馆
【分析】（1）根据点C或E点可确定原点的位置，然后建立直角坐标系即可；
（2）根据建立的直角坐标系即可直接写出B,D的坐标；
（3）先假设赵说的前半句是对的，然后发现与后面的话相矛盾，则说明赵说的后半句话是对的，然后按
照每个人都对半句进行一一推理即可．
【详解】（1）根据点C的坐标可确定A点即为坐标原点，以此建立直角坐标系如下：
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（2）根据平面直角坐标系，可知B(0，4) ， D(-1，-1)
（3）假设赵说的前半句话“甲在民俗街”对，则钱说的前半句“丙在博物馆”就对，然后孙说的“丁在
民俗街”就对，跟“甲在民俗街”矛盾，故赵说的前半句不对；
所以赵说的“乙在文化广场”对，则钱说的前半句“丙在博物馆”就对，则孙说的“丁在民俗街”就对，
最后李说的“乙在文化广场”这半句是对的
综上所述，甲在古城楼，乙在文化广场，丙在博物馆，丁在民俗街．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系及逻辑推理能力，掌握平面直角坐标系及具备一定的逻辑推理能力
是解题的关键．
题型 09 根据方位描述物体具体位置
1．（2019·浙江金华·统考中考真题）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置
表述正确的是（ ）
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A．在南偏东75º方向处 B．在5km处
C．在南偏东15º方向5km处 D．在南偏东75º方向5km处
【答案】D
【分析】根据方向角的定义解答即可．
【详解】观察图形可得，目标A在南偏东75°方向5km处，
故选D．
【点睛】本题考查了方向角的定义，正确理解方向角的意义是解题关键．
2．（2020·浙江金华·统考模拟预测）小明乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图
所示，每相邻两个圆之间距离是1km（小圆半径是1km），若小艇C在游船的正南方2km，则下列关于小
艇A、B的位置描述，正确的是（ ）
A．小艇A在游船的北偏东60°，且距游船3km
B．游船在的小艇A北偏东60°，且距游船3km
C．小艇B在游船的北偏西30°，且距游船2km
D．小艇B在小艇C的北偏西30°，且距游船2km
【答案】D
【分析】利用方向角的表示方法对各选项进行判断．
【详解】小艇A在游船的北偏东30°，且距游船3km；
小艇B在游船的北偏西60°，且距游船2km；
游船在小艇A的南偏西30°，且距游船3km；
小艇B在小艇C的北偏西30°，且距游船2km．
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标确定位置：是熟练掌握平面内特殊位置的点的坐标特征．理解方向角的表示方法．
3．在一次夏令营活动中，老师将一份行动计划藏在没有任何标记的点C处，只告诉大家两个标志点A，B
的坐标分别为（﹣3，1）、（﹣2，﹣3），以及点C的坐标为（3，2）（单位：km）．
（1）请在图中建立直角坐标系并确定点C的位置；
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（2）若同学们打算从点B处直接赶往C处，请用方位角和距离描述点C相对于点B的位置．
【答案】（1）作图见解析；（2）点C在点B北偏东45°方向上，距离点B的5√2km处．
【分析】(1)、利用点A和点B的坐标得出原点所在的位置，建立平面直角坐标系，进而得出点C的位置；
(2)、利用所画的图形，根据勾股定理得出答案．
【详解】解：（1）根据A（﹣3，1），B（﹣2，﹣3）画出直角坐标系，
描出点C（3，2），如图所示；
（2）BC=5√2，所以点C在点B北偏东45°方向上，距离点B的5√2km处．
【点睛】本题主要考查的是平面直角坐标系的基础知识以及直角三角形的勾股定理，属于基础题型．根据
点A和点B的坐标得出坐标原点的位置是解题的关键．
题型 10 平面直角坐标系的面积问题
1．（2023潮南区模拟）已知A(a,0)和点B(0,5)两点，则直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于
10，则a的值是（ ）
A．−4 B．4 C．±4 D．±5
【答案】C
【分析】根据三角形的面积公式和已知条件列等量关系式求解即可．
【详解】解：假设直角坐标系的原点为O，则直线AB与坐标轴围成的三角形是以OA、OB为直角边的直
角三角形，
∵A(a,0)和点B(0,5)，
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∴OA=|a|，OB=5，
1 1
∴S = ×OA×OB= ×|a|×5=10，
ΔOAB 2 2
∴|a|=4，
∴a=±4．
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角形的面积和直角坐标系的相关知识，需注意坐标轴上到一个点的距离为定值
的点有2个．
2．（2022·辽宁沈阳·沈阳市第一二六中学校考模拟预测）如图，由8个边长为1的小正方形组成的图形，
被线段AB平分为面积相等的两部分，已知点A的坐标是(1,0)，则点B的坐标为（ ）
(11 ) (10 ) (15 ) (18 )
A． ,3 B． ,3 C． ,3 D． ,3
3 3 4 5
【答案】A
【分析】如图所示，过点B作BC⊥y轴于C，设点B的坐标为（m，3），则OC=3，BC=m，根据题意可知
BC+OA
S =7，则 ⋅OC=7，由此求解即可．
梯形OABC 2
【详解】解：如图所示，过点B作BC⊥y轴于C，
由题意得可知点B的纵坐标为3，
设点B的坐标为（m，3），
∴OC=3，BC=m，
∵线段AB平分这8个正方形组成的图形的面积，
1
∴S = ×8+3=7，
梯形OABC 2
BC+OA
∴ ⋅OC=7，
2
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m+1
∴ ×3=7，
2
11
∴m= ，
3
(11 )
∴点B的坐标为 ,3 ，
3
故选A．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，正确作出辅助线构造梯形OABC是解题的关键．
3．如图，将△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A'B'C'．
(1)请画出平移后的图形△A'B'C'；
(2)并写出△A'B'C'各顶点的坐标；
(3)求出△A'B'C'的面积．
【答案】(1)见解析
(2)A'(4，0)，B'(1，3)，C'(2，−2)；
(3)△A'B'C'的面积为6．
【分析】（1）先根据平移的分式确定A'、B'、C'的位置，再将其两两连线，即可；
（2）根据（1）的图形即可求解；
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（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图：△A'B'C'即为所求
；
（2）解：由（1）中的图形，可得A'(4，0)，B'(1，3)，C'(2，−2)；
1 1 1
（3）解：S =3×5− ×1×5− ×3×3− ×2×2=6，
△A'B'C' 2 2 2
即△A'B'C'的面积为6．
【点睛】本题主要考查了坐标系和网格图以及三角形的平移的知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决
问题，属于中考常考题型．
4．（2023·天津东丽·统考一模）如图，四边形ABCD的坐标分别为A(−4,0)，B(2,0)，C(0,4)，
D(−2,6).
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)将△OBC沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△O'B'C'，点O、B、C的对应点分别为点
O'、B'、C'，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动，若△O'B'C'与四边形AOCD重合部分的
面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式.
【答案】(1)20
8 8 9 24 12
(2)当0≤t<2，S=4t−t2；当2≤t≤ ，S=4；当 <t≤4时，S=− t2+ t−
3 3 10 5 5
【分析】（1）过点D作DE⊥OA于点E，由A(−4,0)，B(2,0)，C(0,4)，D(−2,6)，可得OE=2，
OA=4，DE=6，OC=4，AE=4−2=2，再根据S =S +S +S 进行求解即可；
四边形ABCD △ADE 梯形DEOC △COB
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8
（2）根据当0≤t<2时，△O'B'C'与四边形AOCD重合部分是梯形，当2≤t≤ 时，△O'B'C'与四边形
3
8
AOCD重合部分是△O'B'C'，当 <t≤4时，△O'B'C'与四边形AOCD重合部分是四边形，进行分类讨论
3
即可．
【详解】（1）解：过点D作DE⊥OA于点E，
∵A(−4,0)，B(2,0)，C(0,4)，D(−2,6)，
∴OE=2，OA=4，DE=6，OC=4，AE=4−2=2，
∴S =S +S +S
四边形ABCD △ADE 梯形DEOC △COB
1 (4+6)×2 1
= ×2×6+ + ×2×4
2 2 2
=6+10+4
=20；
（2）解：当0≤t<2时，△O'B'C'与四边形AOCD重合部分是梯形，
(4+4−2t)×t
S= =4t−t2 ；
2
8
当2≤t≤ 时，△O'B'C'与四边形AOCD重合部分是△O'B'C'，
3
1
S= ×2×4=4，
2
8
当 <t≤4时，△O'B'C'与四边形AOCD重合部分是四边形，
3
9 24 12
S=− t2+ t− ．
10 5 5
【点睛】本题考查平面直角坐标系与几何图形、二次函数与图形变换、平移的性质，熟练掌握相关知识进
行分类讨论是解题的关键．
5．（2023·陕西榆林·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，BC∥x轴，AD=BC，且A(0，3)，
C(5，−1)，D(7，3)，求四边形ABCD的面积．
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【答案】28
【分析】由A(0，3)，D(7，3)，得到AD∥x轴，AD=7，进而证明四边形ABCD为平行四边形，再由
A(0，3)，C(5，−1)，得到AD与BC的距离为4，由此利用平行四边形面积公式求解即可．
【详解】解：∵A(0，3)，D(7，3)，
∴AD∥x轴，AD=7，
∵BC∥x轴，
∴AD∥BC，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵A(0，3)，C(5，−1)，
∴AD与BC的距离为3−(−1)=4，
∴四边形ABCD的面积=4×7=28．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质与判定，证明四边形ABCD为平行四边形是解题
的关键．
k
6．（2023·河南商丘·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= （x＞0）的图象与矩形
x
OABC的边AB、BC分别交于点M、N，且M为AB的中点，点B(4，3)．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)求△MON的面积．
【答案】(1)y=6x
(2)4.5
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【分析】（1）利用矩形性质和坐标与图形性质求得点M的坐标，再将M代入反比例函数的表达式中求解
即可；
（2）先求得点N坐标，再根据坐标与图形性质和矩形性质，借助割补法求解面积即可．
【详解】（1）解：∵四边形OABC是矩形，B(4，3)，
∴AB∥y轴，AB=3，OA=BC=4，
∵M为AB的中点，
∴M的坐标是(4，1.5)，
k
把M点的坐标代入y= ，得k=4×1.5=6，
x
6
所以反比例函数的解析式是y= ；
x
6
（2）解：将y=3代入y= 中，得x=2，
x
即点N的坐标是(2,3)，
∵四边形OABC是矩形，B(4，3)，M(4，1.5)，
∴∠BCO=∠BAO=∠B=90°， BN=4−2=2，OC=BA=3，CN=2，AM=BM=1.5，
1 1 1
∴△MON的面积S=S −S −S −S =4×3− ×3×2− ×2×1.5− ×4×1.5
矩形OABC △OCN △BMN △OAM 2 2 2
=12−3−1.5−3
=4.5．
【点睛】本题考查坐标与图形性质、矩形的性质、待定系数法求函数表达式，熟练掌握矩形的性质，利用
割补法求解图形面积是解答的关键．
题型 11 函数解析式
1．（2022·湖南长沙·长沙市北雅中学校考二模）雅乐登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1 km
气温下降6°C，登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温为y℃，则y与x的函数关系式
为（ ）
x 6
A．y=5+6x B．y=5−6x C．y=5− D．y=5−
6 x
【答案】B
【分析】根据“大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃”可得向上登高xkm可得气温
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下降了6x℃，即可写出函数关系式．
【详解】由题意得，y与x的函数关系式为y=5−6x，
故选：B．
【点睛】本题考查了列函数关系式，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考一模）函数y=√2x−6的自变量x的取值范围是( )
A．x≤3 B．x≥3 C．x<3 D．x≠3
【答案】B
【分析】根据二次根式√a(a≥0)可得：2x−6≥0，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：2x−6≥0，
解得：x≥3，
故选：B．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式√a(a≥0)是解题的关键．
3．（2023·北京西城·北师大实验中学校考模拟预测）以下表格为摄氏温度和华氏温度部分计量值对应表
摄氏温度值/ 1 3
0 20 40 50
℃ 0 0
华氏温度值/ 5 8
32 68 104 122
℉ 0 6
根据表格信息，当华氏温度的值和摄氏温度的值相等时，这个值是 ．
【答案】−40
【分析】根据题意可得当摄氏温度值为0℃时，华氏温度值为32℉，且摄氏温度值每增加10℃，华氏温
度值增加18℉，可得到华氏温度值与摄氏温度值的函数关系式，即可求解．
【详解】解：根据题意得：当摄氏温度值为0℃时，华氏温度值为32℉，且摄氏温度值每增加10℃，华
氏温度值增加18℉，
设华氏温度值为y，摄氏温度值为x，则
18
华氏温度值与摄氏温度值的函数关系式为y= x+32=1.8x+32，
10
当x= y时，x=1.8x+32，
解得：x=−40，
即当华氏温度的值和摄氏温度的值相等时，这个值是−40．
故答案为：−40
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，求函数值，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．
4．（2023·上海黄浦·统考一模）在一块底边长为20厘米的等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，如果
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矩形的一边与等腰三角形的底边重合且长度为x厘米，矩形另两个顶点分别在等腰直角三角形的两腰上，
设矩形面积为y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 ．（不必写定义域）
1
【答案】y=− x2+10x
2
【分析】根据几何关系先把矩形的另一边用x表示出来，再利用矩形面积公式得到y与x的表达式．
【详解】解：如图所示，由题意，∠B=∠C=45°,∠DFB=∠EGC=90°，FG=x
∴△BDF和△CEG都是等腰直角三角形，
∴BF=DF,CG=EG，
由矩形可知，DF=EG，
∴BF=CG=DF=EG，
20−x 1
∴DF=BF= =10− x，
2 2
∴矩形面积为y=DF·FG= ( 10− 1 x ) x=− 1 x2+10x，
2 2
1
故答案为∶y=− x2+10x．
2
【点睛】本题考查等腰直角三角形、矩形的性质和函数表达式，解题关键是熟知等腰直角三角形和矩形的
性质．
5．（2021·山东济宁·统考中考真题）已知一组数据0，1，x，3，6的平均数是y，则y关于x的函数解析式
是 ．
1
【答案】y= x+2
5
【分析】根据平均数的公式直接列式即可得到函数解析式．
【详解】解：根据题意得：
y=(0+1+x+3+6)÷5
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1
= x+2，
5
1
故答案为：y= x+2．
5
【点睛】本题主要考查平均数的概念，熟练掌握平均数的公式是解决本题的关键．
题型 12 求自变量的取值范围
1
1．（2023·江苏盐城·景山中学校考模拟预测）函数y=− −√x的图象位于（ ）
√x
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件和函数的解析式可得x>0，y<0，进而求解.
1
【详解】解：由函数y=− −√x，可得自变量的范围为：x>0，可得：y<0，
√x
1
所以函数y=− −√x的图象位于第四象限，
√x
故选：A．
【点睛】本题考查了函数的图象，正确求得x>0，y<0是解题的关键.
1
2．（2023·浙江衢州·校考一模）函数y= 的取值范围是 ．
x−1
【答案】x≠1
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于0．
【详解】由x−1≠0，得：x≠1，
故答案为：x≠1．
【点睛】此题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键．
√x+4
3．（2023·湖南娄底·统考一模）函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
x−1
【答案】x≥−4且x≠1
【分析】根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列出不等式，计算即可．
【详解】解：根据题意得：x+4≥0且x−1≠0，
解得：x≥−4且x≠1．
故答案为：x≥−4且x≠1
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【点睛】本题主要考查了求自变量的取值范围，熟知二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．
1
4．（2023·辽宁朝阳·校联考三模）函数y= +(x+1) 0 的自变量的取值范围是 ．
√2−4x
1
【答案】x< 且x≠−1
2
【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，零次幂有意义的条件即可求解．
【详解】解：∵2−4x>0，且x+1≠0
1
解得：x< 且x≠−1．
2
1
故答案为：x< 且x≠−1．
2
【点睛】本题考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，零次幂有意义的
条件，熟练掌握以上性质是解题的关键．
题型 13 求自变量的值或函数值
1．（2022·广东湛江·岭师附中校联考一模）当x=1时，函数y=x2−3的值是（ ）
A．−2 B．−4 C．2 D．4
【答案】A
【分析】将x=1代入函数解析式进行求解即可．
【详解】解：当x=1，y=x2−3=12−3=−2；
故选A．
【点睛】本题考查求函数值，解题的关键是正确的计算．
2．（2021·北京东城·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象不过点(1,1)的是（ ）
1
A．y= B．y=x2 C．y=−x+1 D．y=x3
x
【答案】C
【分析】利用x=1时，求函数值进行一一检验是否为1即可
1 1 1
【详解】解：当x=1时，y= = =1，y= 图象过点(1,1)，选项A不合题意；
x 1 x
当x=1时，y=12=1，y=x2图象过点(1,1)，选项B不合题意；
当x=1时，y=−1+1=0，y=−x+1图象不过点(1,1)，选项C合题意；
当x=1时，y=13=1，y=x3图象过点(1,1)，选项D不合题意；
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故选择：C．
【点睛】本题考查求函数值，识别函数经过点，掌握求函数值的方法，点在函数图像上点的坐标满足函数
解析式是解题关键．
3．（2020·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）根据如图所示的计算程序计算函数y的值，若输入
m=−1,n=2时，则输出y的值是3，若输入m=4,n=3时，则输出y的值是（ ）
A．－5 B．－1 C．1 D．13
【答案】B
m+b
【分析】将m=-1，n=2，y=3代入y= 中求出b=7，再将m=4，n=3代入y=2n-b中即可求解.
2
【详解】∵输入m=-1，n=2时，输出y的值是3，
-1+b
∴ =3
2
解得b=7，
∵m=4，n=3
∴y=2n-b=2×3-7=-1.
故选: B.
【点睛】本题考查函数值：熟练掌握函数值的求法是解题的关键.
4．（2021·重庆沙坪坝·重庆一中校考三模）按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入m=1，n=0，
则输出y的值是（ ）
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A．5 B．2 C．−1 D．−2
【答案】A
【分析】比较m、n的大小，若m≥n，则将m=1代入y=3m+2中求出 y的值即可；若 m<n，则将n=0
代入y=3n−1中，求出 y的值即可．
【详解】解：输入m=1 ， n=0 ，
满足m≥n，
∴将m=1 代入y=3m+2中，
解得：y=5．
故选：A．
【点睛】本题主要考查一次函数的函数值；熟练掌握函数值的求法是解题的关键．
x
5．（2023·上海长宁·统考二模）已知f (x)= ，那么f (√5)= ．
x2−1
√5
【答案】
4
x
【分析】直接把x=√5代入 中进行求解即可．
x2−1
x
【详解】解：∵f (x)= ，
x2−1
√5 √5 √5
∴f (√5)= = = ，
(√5) 2 −1 5−1 4
√5
故答案为： ．
4
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键．
2
6．（2023·山西太原·山西大附中校考一模）对于函数y= ，当x>−2，y的取值范围是 ．
x
【答案】y<−1或y>0
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2
【分析】当x=−2时，y=−1，根据函数y= 的图象和性质即可求解．
x
【详解】解：当x=−2时，y=−1，
2
则于函数y= ，图象在第一、三象限内，在每个象限内,y随x的增大而减小，
x
∴当−2<x<0，y的取值范围是：y<−1，
当x>0时，y的取值范围是：y>0．
故答案为：y<−1或y>0
【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
7．（2023·陕西西安·统考模拟预测）甲、乙两个商场出售相同品牌的运动衣，每件售价均为200元，并且
多买都有一定的优惠甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠20%；乙商场的优惠条件
是：每件优惠15%．某学校运动队需要购买运动衣x件，甲商场收费y 元．乙商场收费y 元．
1 2
(1)分别求出y 、y 与x之间的关系式；
1 2
(2)当购买3件运动衣时，应选择哪个商场购买更优惠？请说明理由．
【答案】(1)y =160x+40，y =170x；
1 2
(2)当购买3件运动衣时，应选乙商场更优惠，理由见解析．
【分析】（1）根据甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠20%；乙商场的优惠条件
是：每件优惠15%．可以得到y ，y 与x之间的关系式；
1 2
（2）将x=3代入（1）中的函数解析式，求出相应的函数值，然后比较大小即可．
【详解】（1）解：y =200+200(x−1)(1−20%)，
1
即y =160x+40；
1
y =200x⋅(1−15%)，
2
即y =170x；
2
（2）当购买3件运动衣时，应选乙商场更优惠．
当x=3时，
y =160×3+40=520；
1
y =170×3=510．
2
∵520>510
∴当购买3件运动衣时，应选乙商场更优惠．
【点睛】本题考查在实际背景下，列函数解析式和求函数值，解答本题的关键是根据题意列出满足条件的
函数关系式．
8．（2023·湖北省直辖县级单位·校考模拟预测）我国是一个严重缺水的国家．为了加强公民的节水意识，
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某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨4元，超过6吨时，超过的部分
按每吨5元收费．该市某户居民5月份用水x吨，应交水费y元．
(1)请写出y与x的函数关系式．
(2)如果该户居民这个月交水费34元，那么这个月该户用了多少吨水？
【答案】(1)y=¿
(2)这个月该户用了8吨水
【分析】（1）根据所给的收费标准列出对应的函数关系式即可；
（2）先求出x>6，再把y=34代入到y=5x−6中进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，y=¿
（2）解：∵4×6=24<34，
∴x>6，
∴5x−6=34，
解得x=8，
∴这个月该户用了8吨水，
答：这个月该户用了8吨水．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，求函数对应的自变量的值，正确列出y与x的函数关系式是解题的
关键．
题型 14 函数图象的识别
1．（2022·北京东城·统考一模）将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，现用一个注水管沿大容
器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h(cm)与注水时间t(s)的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据注水开始一段时间内，当大容器中书面高度小于h时，小水杯中无水进入，此时小水杯水面
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的高度h为0cm；当大容器中书面高度大于h时，小水杯先匀速进水，此时小水杯水面的高度不断增加，
直到h；然后小水杯水面的高度一直保持在h不再发生变化，对各选项进行判断即可．
【详解】解：由题意知，当大容器中书面高度小于h时，小水杯水面的高度h为0cm；
当大容器中书面高度大于h时，小水杯先匀速进水，此时小水杯水面的高度不断增加，直到h；然后小水
杯水面的高度一直保持在h不再发生变化；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，函数的图象．解题的关键在于理解题意，抽象出一次函数．
2．（2022·湖南邵阳·统考一模）小花放学回家走了一段路，在途径的书店买了一些课后阅读书籍，然后发
现时间比较晚了，急忙跑步回到家．若设小花与家的距离为s（米），她离校的时间为t（分钟），则反映
该情景的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分三段分析，最初步行、好奇地围观、急忙跑步，分析函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：由题意得，最初与家的距离s随时间t的增大而减小，在途径的书店买了一些课后阅读书籍
时，时间增大而s不变，急忙跑步时，与家的距离s随时间t的增大而减小，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图象，读懂函数图象的意义是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的运
用．
3．一水池放水，先用一台抽水机工作一段时间后停止，然后再调来一台同型号抽水机，两台抽水机同时
工作直到抽干．设开始工作的时间为t，剩下的水量为s，下面能反映s与t之间的关系的大致图像是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题目中抽水机的工作情况，判断随着开始工作的时间t的增加，剩下的水量s的变化情况即
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可．
【详解】解：根据题意可知随着抽水机工作，剩下的水量越来越少．而且一台抽水机工作的效率比两台抽
水机工作效率慢，所以两台抽水机工作时，剩下的水量减少的速度更快．
故选：D．
【点睛】本题考查用图像表示变量间的关系，正确理解题意是解题关键．
4．（2022·重庆渝中·统考二模）如图所示是我国现存最完整的古代计时工具——元代铜壶滴漏，该滴漏从
上至下通过多级滴漏，使得上层“壶”中的水可以匀速滴入最下层的圆柱形“壶”中，“壶”中漂浮的带
有刻度的木箭随水面匀速缓缓上移，对准标尺就可以读出时辰，如果用x表示时间，用y表示木箭上升的高
度，那么下列图象能表示y与x的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最下层的“壶”是圆柱形，可得最下层的“壶”中水面上升的高度，即“壶”中漂浮的带有
刻度的木箭上升的高度y与时间x是正比例关系，进而即可判断求解．
【详解】解：∵最下层的“壶”是圆柱形，
∴最下层的“壶”中水面上升的高度，即“壶”中漂浮的带有刻度的木箭上升的高度y与时间x是正比例
关系，即y与x的函数图象是正比例函数图象，
故选：A．
【点睛】本题考查函数图象的应用，解题的关键正确解读题意和函数图象．
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题型 15 从函数图象中获取信息
1．（2023·浙江绍兴·统考一模）小刚从家里出发，以400米/分钟的速度匀速骑车5分钟后就地休息了6分
钟，然后以500米/分钟的速度匀速骑回家里掎回家里.s表示离家路程，t表示骑行时间，下列函数图象能表
达这一过程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】因为小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，可求其行驶的路程对照排除错误选项，“在原地休
息”对应在图象上表示时间在增加，而距离不变，即这一线段与x轴平行，“回到原出发地”表示终点的
纵坐标为0，综合分析选出正确答案．
【详解】解：∵400×5=2000（米）=2（千米），
∴小刚以400米/分的速度匀速骑车5分行驶的路程为2千米，
而选项A与B中纵轴表示速度，且速度为变量，这与事实不符，故排除选项A与B，
又∵“回到原出发地”表示终点的纵坐标为0，
∴排除选项C，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象，解题的关键是理解函数图象的意义．
2．（2022·江西·统考中考真题）甲、乙两种物质的溶解度y(g)与温度t(℃)之间的对应关系如图所示，
则下列说法中，错误的是（ ）
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A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B．当温度升高至t ℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大
2
C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g
D．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等
【答案】D
【分析】利用函数图象的意义可得答案．
【详解】解：由图象可知，A、B、C都正确，
当温度为t 时，甲、乙的溶解度都为30g，故D错误，
1
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数的图象，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键．
3．（2022·安徽·统考中考真题）甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计
算．走得最快的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】根据图象，先比较甲、乙的速度；然后再比较丙、丁的速度，进而在比较甲、丁的速度即可．
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【详解】乙在所用时间为30分钟时，甲走的路程大于乙走的路程，故甲的速度较快；
丙在所用时间为50分钟时，丁走的路程大于丙走的路程，故丁的速度较快；
又因为甲、丁在路程相同的情况下，甲用的时间较少，故甲的速度最快，
故选A
【点睛】本题考查了从图象中获取信息的能力，正确的识图是解题的关键．
4．（2022·山东潍坊·中考真题）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生
一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（ ）
A．海拔越高，大气压越大
B．图中曲线是反比例函数的图象
C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系
【答案】D
【分析】根据图象中的数据回答即可．
【详解】解：A．海拔越高，大气压越小，该选项不符合题意；
B．∵图象经过点(2，80)，(4，60)，
∴2×80=160，4×60=240，而160≠240，
∴图中曲线不是反比例函数的图象，该选项不符合题意；
C．∵图象经过点 (4，60)，
∴海拔为4千米时，大气压约为60千帕，该选项不符合题意；
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系，该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
5．（2022·重庆·重庆八中校考一模）如图是自动测温仪记录的图象，它反映了某市某天气温（℃）如何随
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时间的变化而变化．下列从图象中得到的信息正确的是（ ）
A．当日6时的气温最低
B．当日最高气温为26℃
C．从6时至14时，气温随时间的推移而上升
D．从14时至24时，气温随时间的推移而下降
【答案】C
【分析】根据题目中所给函数图象依次判断四个选项即可．
【详解】解：A选项，当日气温最低的时间在6时以前，故A选项不符合题意；
B选项，当日最高气温未达到26℃，故B选项不符合题意；
C选项，从6时至14时，气温随时间的推移而上升，故C选项符合题意；
D选项，从14时至24时，气温随时间的推移先上升然后下降，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查从函数图象中获取信息，正确理解函数图象是解题关键．
6．（2022·贵州毕节·统考中考真题）现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件，某物流公司的汽
车行驶30km后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶1h到达目的地．汽车
行驶的时间x（单位：h）与行驶的路程y（单位：km）之间的关系如图所示，请结合图象，判断以下说法
正确的是（ ）
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A．汽车在高速路上行驶了2.5h B．汽车在高速路上行驶的路程是180km
C．汽车在高速路上行驶的平均速度是72km/h D．汽车在乡村道路上行驶的平均速度是40km/h
【答案】D
【分析】观察图象可得汽车在高速路上行驶了3.5-0.5-1=2h；汽车在高速路上行驶的路程是180-
30=150km；汽车在高速路上行驶的平均速度是150÷2=75km/h；汽车在乡村道路上行驶的平均速度是
（220-180）÷1=40km/h，即可求解．
【详解】解：A、根据题意得：汽车在高速路上行驶了3.5-0.5-1=2h，故本选项错误，不符合题意；
B、汽车在高速路上行驶的路程是180-30=150km，故本选项错误，不符合题意；
C、汽车在高速路上行驶的平均速度是150÷2=75km/h，故本选项错误，不符合题意；
D、汽车在乡村道路上行驶的平均速度是（220-180）÷1=40km/h，故本选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了函数图象的动点问题，明确题意，准确从函数图象获取信息是解题的关键．
7．（2023·江苏常州·统考一模）九年级体能测试中，小苏和小林参加4×30米折返跑，在如图①所示的跑
道上进行．在整个测试过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系
如图②所示．下列叙述正确的是（ ）
A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B．小林跑全程的平均速度大于小苏跑全程的平均速度
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C．小林前9s跑过的路程大于小苏前9s跑过的路程
D．小苏在跑最后60m的过程中，与小林相遇2次
【答案】D
【分析】根据函数图象可得，两人同时出发，小苏先到达终点，小林后到达终点，以此判断A选项；两人
跑过的路程相同，而小苏所用时间比小林短，根据“速度=路程÷时间”即可判断B选项；根据图象即可判
断C选项；由虚线与实线的交点个数得到小苏与小林相遇的次数，以此判断D选项．
【详解】解：根据函数图象可得，两人同时出发，小苏先到达终点，小林后到达终点，故A选项错误，不
符合题意；
两人跑过的路程相同，而小苏所用时间比小林短，由“速度=路程÷时间”可得小苏跑全程的平均速度大于
小林跑全程的平均速度，故B选项错误，不符合题意；
根据函数图象可得，小林前9s跑过的路程小于小苏前9s跑过的路程，故C选项错误，不符合题意；
小苏在跑最后60m的过程中，由函数图象可知，虚线与实线的交点个数为2，所以小苏与小林相遇2次，
故D选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的图象，解题关键是根据函数的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所
需条件，结合实际意义得出正确的结论．
8．（2022·江苏苏州·统考中考真题）一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分
钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的
水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为 ．
29
【答案】
3
【分析】根据函数图像，结合题意分析分别求得进水速度和出水速度，即可求解．
30
【详解】解：依题意，3分钟进水30升，则进水速度为 =10升/分钟，
3
∵3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完直至容器中的水全部排
完，
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8×10−20
则排水速度为 =12升/分钟，
8−3
20
∴ a−8= ，
12
29
解得a= ．
3
29
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查了函数图象问题，从函数图象获取信息是解题的关键．
题型 16 动点问题的函数图象
1（2023·浙江绍兴·统考三模）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针
匀速运动一周，设点P运动的时间为x，线段AP的长为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，
则该封闭图形可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等边三角形、正方形、矩形和圆的性质，分析得到y随x的增大的变化关系，即可完成解答．
【详解】A、点P在开始与结束的两边上直线变化，在顶点A的对边是先逐渐减小再逐渐增加，不符合题
意；
B、点P在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上，先变速增加到顶点A的对角顶点，再变速减小到
另一顶点，符合题意；
C、点P在开始与结束的两边上直线变化，变化的长度不同；在另两边上，先变速增加到顶点A的对角顶
点，再变速减小到另一顶点，变化的长度不同，不符合题意；
D、先变速增加到AP为直径，再变速减小到点P回到出发点A，不符合题意；
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故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，熟练掌握等边三角形、正方形、矩形和圆的性质，理清点P在
各边上时长度AP的变化情况是解题的关键．
2（2023·湖北省直辖县级单位·校联考模拟预测）如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿长方
形的边由B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图
象如图2所示，则△ABC的面积为（ ）
A．10 B．16 C．18 D．20
【答案】A
【分析】根据图2可知当动点P由B→C时，点P运动的路程为4，当x=4和x=9时，△ABP的面积相等，
可得CD=5，进而根据矩形的性质即可求解．
【详解】解：连接BP,AC，由图2知：
当动点P由B→C时，点P运动的路程为9−5=4，
∴BC=4，
当x=4和x=9时，△ABP的面积相等，
∴CD=5，
∵四边形ABCD是长方形，
∴ AB=CD=5，
1
∴S = BC×CD=10
△ABC 2
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．
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3．（2023·北京大兴·统考二模）如图1，点P，Q分别从正方形ABCD的顶点A，B同时出发，沿正方形的
边逆时针方向匀速运动，若点Q的速度是点P速度的2倍，当点P运动到点B时，点P，Q同时停止运动．
图2是点P，Q运动时，△BPQ的面积y随时间x变化的图象，则正方形ABCD的边长是（ ）
A．2 B．2√2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据图2可知，x=2时，点Q运动到点C，点P运动到AB的中点，△BPQ的面积为4，进行计算
即可．
1
【详解】当点Q在CD上运动时，△BPQ的面积为 ×PB×BC
2
当x=2时，△BPQ的面积为4
1
即 ×PB×BC=4
2
此时点P为AB的中点
1 1 (1 )
故 ×PB×BC= × ×BC ×BC=4
2 2 2
解得BC=4
故选：C．
【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，三角形的面积公式，动点问题的函数图象等，解题的关键是根
据图象分析得到x=2时，点Q运动到点C，点P运动到AB的中点，且△BPQ的面积为4．
4．（2023·北京丰台·二模）下面三个问题中都有两个变量：
①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离
开隧道的时间x；
②如图2，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线（圆心O表示王大爷家的位置），他离家的距离y
与散步的时间x；
③如图3，往空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积y与所用
时间x
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其中，变量y与x之间的函数关系大致符合下图的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】根据y值随x的变化情况，逐一判断．
【详解】解：①当货车开始进入隧道时y逐渐变大，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时
y不变且最大，当货车开始离开隧道时y逐渐变小．故①正确；
②王大爷距离家先y逐渐变大，他走的是一段弧线时，此时y不变且最大，之后逐渐离家越来越近直至回
家，即y逐渐变小，故②正确；
③往空杯中匀速倒水，倒满后停止，水的体积逐渐增加，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，这期间，水
量先保持不变，然后逐渐减少，杯中水的体积y与所用时间x，变量y与x之间的函数关系符合图象，故③
正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力．要理解函数图象所代表的实际意义是什么才能从中获取准
确的信息．
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1．（2023·山西·统考中考真题）一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，
每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间
的函数关系式为（ ）
A．y=12−0.5x B．y=12+0.5x C．y=10+0.5x D．y=0.5x
【答案】B
【分析】挂重后弹簧长度等于不挂重时的长度加上挂重后弹簧伸长的长度，据此即可求得函数关系式．
【详解】解：由题意知：y=12+0.5x；
故选：B．
【点睛】本题考查了求函数关系式，正确理解题意是关键．
2．（2012·浙江衢州·中考真题）函数y=√x−1的自变量x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件，求出x−1≥0的解集，再在数轴上表示即可．
【详解】解：∵ √x−1中，x−1≥0，
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∴x≥1，
故在数轴上表示为：
故选：D．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，要注意，不等式的解集包括1．
3．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，动点P从点B出发沿折线BCDA
做匀速运动，设点P运动的路程为x，△PAB的面积为y，下列图象能表示y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分段求出函数关系式，再观察图象可得答案．
1
【详解】解：当P在BC上，即0<x≤4时，y= ×4x=2x，当x=4时，y=8；
2
1
当P在CD上，即4<x≤8时，y= ×4×4=8，
2
1
当P在AD上，即8<x<12时，y= ×4(12−x)=−2x+24；
2
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观察4个选项，符合题意的为D；
故选D
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是分段求出函数关系式．
4．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，关于x的函数y的图象与x轴有且仅有三个交点，分别是
(−3，0)，(−1，0)，(3，0)，对此，小华认为：①当y>0时，−3<x<−1；②当x>−3时，y有最小
值；③点P(m,−m−1)在函数y的图象上，符合要求的点P只有1个；④将函数y的图象向右平移1个或3
个单位长度经过原点.其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】结合函数图象逐个分析即可．
【详解】由函数图象可得：
当y>0时，−3<x<−1或x>3；故①错误；
当x>−3时，y有最小值；故②正确；
点P(m,−m−1)在直线y=−x−1上，直线y=−x−1与函数图象有3个交点，故③错误；
将函数y的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图象与性质，一次函数图象，解题的关键是数形结合．
5．（2023·内蒙古·统考中考真题）将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示，动点P从点A出发，
沿路径A→B→C→D→E→F匀速运动，速度为1cm/s，点P到达终点F后停止运动，△APF的面积
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与点P运动的时间 的关系如图2所示，根据图象获取了以下的信息：
S(cm2)(S≠0) t(s)
①AF=5cm；
②a=6；
③点P从点E运动到点F需要10s；
④矩形纸板裁剪前后周长均为34cm．
其中正确信息的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】利用图表信息结合△APF面积及逐个运动阶段得到计算数据，逐个判断正误即可．
【详解】由矩形及点P运动过程可知：
t=2s时，点P位于点B处，S=5cm2，
1
则AB=2cm，S= ×AF×AB=5cm2 ，
2
∴AF=5cm，①正确；
t=13s时，点P位于点D处，S=25cm2，
1
∴AB+BC+CD=13cm，S= ×AF×FE=25cm2 ，
2
∴EF=10cm=AB+CD，故运动时间为10s，所以③正确；
∴CD=8cm，
∴BC=13−10=3cm，
t=as时，点P位于点C处，
∴a=5 ，所以②错误；
周长=(AF+BC+EF)×2=36cm，所以④错误；
故①③正确，正确得有2个，
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故选C．
【点睛】本题考查动点面积计算问题，能够在不同位置清晰计算面积及结合图表确认拐点位置是解题的关
键．
6．（2023·青海·统考中考真题）生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响，实验得出心率与酒
精浓度的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．酒精浓度越大，心率越高 B．酒精对这种鱼类的心率没有影响
C．当酒精浓度是10%时，心率是168次/分 D．心率与酒精浓度是反比例函数关系
【答案】C
【分析】观察图象即可判断A、B、C选项，根据反比例函数的定义，即可判断D选项．
【详解】解∶由图象可知，酒精浓度越大，心率越低，故A错误；
酒精浓度越大，心率越低，酒精对这种鱼类的心率有影响，故B错误；
由图象可知，当酒精浓度是10%时，心率是168次/分，故C正确；
任意取两个点坐标(5%，192)，(10%，168)，因为192×5%≠168×10%，所以心率与酒精浓度不是反
比例函数关系，故D错误．
故选∶ C．
【点睛】本题考查了观察图象，读取、分析、处理信息的能力，反比例函数定义，根据反比例函数定义判
断是否为反比例函数是解题的关键．
7．（2023·江苏·统考中考真题）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，
从①开始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，
循环进行，全程无需绕过标志物．小华练习了一次2×50m的折返跑，用时18s在整个过程中，他的速度大
小v（m/s）随时间t（s）变化的图像可能是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据速度与时间的关系即可得出答案．
【详解】解：刚开始速度随时间的增大而增大，匀速跑一段时间后减速到②，然后再加速再匀速到①，
由于体力原因，应该第一个50米速度快，用的时间少，第二个50米速度慢，用的时间多，
故他的速度大小v（m/s）随时间t（s）变化的图像可能是D．
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的图象，要根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要
的条件，结合实际意义得出正确的结论．
8．（2023·山东滨州·统考中考真题）由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH>7时溶液
呈碱性，当pH<7时溶液呈酸性．若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶
液的pH与所加水的体积V之间对应关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，NaOH溶液呈碱性，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，pH的值则接近
7，据此即可求解．
【详解】解：∵NaOH溶液呈碱性，则pH>7，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，pH的值则
接近7，
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故选：B．
【点睛】本题考查了函数的图象，数形结合是解题的关键．
9．（2023·湖北·统考中考真题）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注
水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为t,y （细实线）表示铁桶中水面高度，y （粗实
1 2
线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水
池内均无水），则y ,y 随时间t变化的函数图象大致为（ ）
1 2
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．
【详解】解：根据图象知，t=t 时，铁桶注满了水，0≤t≤t ，y 是一条斜线段，t>t ，y 是一条水平线
1 1 1 1 1
段，
当t=t 时，长方体水池开始注入水；当t=t 时，长方体水池中的水没过铁桶，水池中水面高度比之开始变
1 2
得平缓；当t=t 时，长方体水池满了水，
3
∴y 开始是一段陡线段，后变缓，最后是一条水平线段，
2
观察函数图象，选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的
类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
10．（2023·四川·统考中考真题）向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与注水量v
的函数关系的大致图象是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽，再从函数的
图象上看，选出答案．
【详解】解：从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽．
则注入的水量v随水深h的变化关系为：先慢再快，最后又变慢，
那么从函数的图象上看，
C对应的图象变化为先快再慢，最后又变快，不符合；
A、B对应的图象中间没有变化，只有D符合条件．
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的定义及函数的图象的关系，抓住变量之间的变化关系是解题的关键．
1
11．（2023·江苏扬州·统考中考真题）函数y= 的大致图像是( )
x2
A． B． C． D．
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【答案】A
【分析】根据函数自变量的取值范围排除错误选项．
1
【详解】解：函数y= 自变量x的取值范围为x≠0．
x2
对于B、C，函数图像可以取到x=0的点，不符合题意；
对于D，函数图像只有x>0的部分，没有x<0的部分，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了根据函数表达式选函数图像，解题的关键是根据函数表达式分析出图像的特点，进而
对错误选项进行排除．
12．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2√6，点B在x轴
的正半轴上，且∠AOC=60°，将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA'B'C' (点A'
与点C重合)，则点B'的坐标是( )
A．(3√6,3√2) B．(3√2,3√6) C．(3√2,6√2) D．(6√2,3√6)
【答案】B
【分析】延长B'C'交x轴于点D，根据旋转的性质以及已知条件得出∠B'DO=90°，进而求得OD,DB'
的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长B'C'交x轴于点D，
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∵四边形ABCD是菱形，点B在x轴的正半轴上，OB平分∠AOC，∠AOC=60°，
∴∠COB=∠AOB=30°，∠CBA=60°
∵将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，
1
∴∠C'OC=60°，则∠OB'C= ∠C'B'C=30°，AB=CB'
2
∴∠B'OD=60°
∴∠B'DO=90°，
在Rt△CDO中，OC=B'C=2√6
1
∴CD= OC=√6，OD=√3CD=√3×√6=3√2
2
∴DB'=3√6，
∴B'(3√2,3√6)，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，坐标与图形，
熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
13（2023·山西·统考中考真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横
截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P,Q,M均为正六边
形的顶点．若点P,Q的坐标分别为(−2√3,3),(0,−3)，则点M的坐标为（ ）
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A．(3√3,−2) B．(3√3,2) C．(2,−3√3) D．(−2,−3√3)
【答案】A
【分析】连接PF，设正六边形的边长为a，由正六边形的性质及点P的坐标可求得a的值，即可求得点M
的坐标．
【详解】解：连接PF，如图，设正六边形的边长为a，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABO=60°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BAO=30°，
1 √3a
∴OB= a，OA= ，
2 2
3a
∴AC=CE=√3a，OF=OB+BF= ，
2
∵点P的坐标为(−2√3,3)，
3a
∴ =3，
2
即a=2；
3√3a
∴OE=OC+CE= =3√3，EM=2，
2
∴点M的坐标为(3√3,−2)．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，掌握
这些知识是解题的关键．
14．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长
度，以点P为位似中心作正方形PA A A ，正方形PA A A ,…，按此规律作下去，所作正方形的顶点
1 2 3 4 5 6
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均在格点上，其中正方形PA A A 的顶点坐标分别为P(−3,0),A (−2,1),A (−1,0)，A (−2,−1)，则
1 2 3 1 2 3
顶点A 的坐标为（ ）
100
A．(31.34) B．(31,−34) C．(32,35) D．(32,0)
【答案】A
【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律A (n−3，n)．
3n−2
【详解】解：∵A (−2，1)，A (−1，2)，A (0，3)，A (1，4)，⋯，
1 4 7 10
∴A (n−3，n)，
3n−2
∵100=3×34−2，则n=34，
∴A (31，34)，
100
故选：A．
【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律．
15．（2023·海南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为(6,0)，将
△ABO绕着点B顺时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是（ ）
A．(3√3,3) B．(3,3√3) C．(6,3) D．(3,6)
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【答案】B
【分析】过点C作CE⊥OB，由题意可得：∠OBC=60°，OB=OC=6，再利用含30度直角三角形的性
质，求解即可．
【详解】解：过点C作CE⊥OB，如下图：
则∠CEB=90°
由题意可得：∠OBC=60°，OB=OC=6，
∴∠BCE=30°，
1
∴BE= BC=3，
2
∴CE=√CB2−BE2=3√3，OE=OB−BE=3，
∴C点的坐标为(3,3√3)，
故选：B
【点睛】此题考查了旋转的性质，坐标与图形，含30度直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是
作辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握相关基础性质．
16．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐
标是（ ）
A．(3,−3) B．(−3,3) C．(3,3) D．(−3,−3)
【答案】C
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【分析】根据正方形的性质，结合坐标的意义即可求解．
【详解】解：∵边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，
∴OB=BC=3
∴C(3,3),
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形，熟练掌握正方形的性质，数形结合是解题的关键．
1
17．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形ABCD是边长为 的正方形，曲线
2
DA B C D A ⋯是由多段90°的圆心角的圆心为C，半径为CB ；C ´D 的圆心为D，半径为
1 1 1 1 2 1 1 1
⏜
DC ⋯,D´A 、A´B 、B´C 、C ´D ⋯的圆心依次为A、B、C、D循环，则A B 的长是
1 1 1 1 1 1 1 1
2023 2023
（ ）
4045π 2023π
A． B．2023π C． D．2022π
2 4
【答案】A
1
【分析】曲线DA B C D A …是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+ ，得到
1 1 1 1 2 2
1 1 1
AD =A A =4× (n−1)+ ，BA =BB =4× (n−1)+1，得出半径，再计算弧长即可．
n−1 n 2 2 n n 2
【详解】解：由图可知，曲线DA B C D A …是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径
1 1 1 1 2
1
+ ，
2
1 3
∴ AD=A A = ，BA =BB =1，CB =CC = ，DC =DD =2，
1 2 1 1 1 1 2 1 1
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1 3
AD =A A =2+ ，BA =BB =2+1，CB =CC =2+ ，DC =DD =2+2，
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
……，
1 1 1
AD =A A =4× (n−1)+ ，BA =BB =4× (n−1)+1，
n−1 n 2 2 n n 2
1
故A ´B 的半径为BA =BB =4× ×(2023−1)+1=4045，
2023 2023 2023 2023 2
90 4045
∴ A ´B 的弧长= ×4045π= π．
2023 2023 180 2
故选A
nπr
【点睛】此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：l= ，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．
180
18．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，
据传，他在计算1+2+3+4+⋯+100时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到
100×(1+100) n(1+n)
1+2+3+4+⋯+100= ．人们借助于这样的方法，得到1+2+3+4+⋯+n= （n
2 2
是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点A (x ,y )，其中i=1,2,3,⋯,n,⋯，
i i i
且x ,y 是整数．记a =x + y ，如A (0,0)，即a =0,A (1,0)，即a =1,A (1,−1)，即a =0,⋯，以
i i n n n 1 1 2 2 3 3
此类推．则下列结论正确的是（ ）
A．a =40 B．a =43 C．a =2n−6 D．a =2n−4
2023 2024 (2n−1)2 (2n−1)2
【答案】B
【分析】利用图形寻找规律A (n−1,n−1)，再利用规律解题即可．
2n−1
【详解】解：第1圈有1个点，即A (0,0)，这时a =0；
1 1
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第2圈有8个点，即A 到A (1,1)；
2 9
第3圈有16个点，即A 到A (2,2)，；
10 25
依次类推，第n圈，A (n−1,n−1)；
2n−1
由规律可知：A 是在第23圈上，且A (22,22)，则A (20,22)即a =20+22=42，故A选项不
2023 2025 2023 2023
正确；
A 是在第23圈上，且A (21,22)，即a =21+22=43，故B选项正确；
2024 2024 2024
第n圈，A (n−1,n−1)，所以a =2n−2，故C、D选项不正确；
2n−1 2n−1
故选B．
【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．
19．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）已知a+b>0，ab>0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手
盖住的点的坐标可能是（ ）
A．(a，b) B．(−a，b) C．(−a，−b) D．(a，−b)
【答案】D
【分析】由a+b>0，ab>0，得出a>0，b>0，再逐项分析即可得到答案．
【详解】解：∵ ab>0，
∴ a、b同号，
∵ a+b>0，
∴a>0，b>0，
A.(a，b)在第一象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
B.(−a，b)在第二象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
C.(−a，−b)在第三象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
D.(a，−b)在第四象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了点的象限的判断，熟练判断a、b的正负是解题的关键．
20．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，
如果白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0），那么黄河母亲像的坐标是 ．
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【答案】(−4,1)
【分析】根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，然后根据点的坐
标的表示方法写出黄河母亲像的坐标；
【详解】解：如图，
根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，
∴黄河母亲像的坐标是 (−4,1)．
故答案为：(−4,1)．
【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的
坐标特征是解题的关键．
21．（2021·北京·统考二模）如图是房山区行政规划图．如果周口店的坐标是（－2，1），阎村的坐标是
（0，2），那么燕山的坐标是 ，窦店坐标是 ．
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【答案】 （－2，3） （0，0）
【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：燕山的坐标是（-2，3），窦店坐标是（0，0）．
故答案为：（-2，3），（0，0）．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
22．（2022·四川广安·统考中考真题）若点P（m+1，m）在第四象限，则点Q（﹣3，m+2）在第
象限．
【答案】二
【分析】根据点P（m+1，m）在第四象限，可得到−1<m<0，从而得到m+2>0，即可求解．
【详解】解：∵点P（m+1，m）在第四象限，
∴¿，解得：−1<m<0，
∴m+2>0，
∴点Q（﹣3，m+2）在第二象限．
故答案为：二
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【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握四个象限的符号特
点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）是解题的关键．
23．（2022·吉林·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−2,0)，点B在y轴正半轴上，
以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为 ．
【答案】(2,0)
【分析】连接BC，先根据点A的坐标可得OA=2，再根据等腰三角形的判定可得△ABC是等腰三角形，
然后根据等腰三角形的三线合一可得OC=OA=2，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，连接BC，
∵点A的坐标为(−2,0)，
∴OA=2，
由同圆半径相等得：BA=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵BO⊥AC，
∴OC=OA=2（等腰三角形的三线合一），
又∵点C位于x轴正半轴，
∴点C的坐标为(2,0)，
故答案为：(2,0)．
【点睛】本题考查了同圆半径相等、等腰三角形的三线合一、点坐标等知识点，熟练掌握等腰三角形的三
线合一是解题关键．
24．（2022·贵州黔西·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，A (2,0)，B (0,1)，A B 的中点为C ；
1 1 1 1 1
A (0,3)，B (−2,0)，A B 的中点为C ；A (−4,0)，B (0,−3)，A B 的中点为C ；A (0,−5)，
2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4
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B (4,0)，A B 的中点为C ；…；按此做法进行下去，则点C 的坐标为 ．
4 4 4 4 2022
( 2023)
【答案】 −1011,
2
【分析】根据图形找出规律即可解答．由图可知，线段A B 位于第一象限，A B 位于第二象限，A B
1 1 2 2 3 3
位于第三象限，A B 位于第四象限…，每四个循环一次，则可知道A B 在第几象限，写出
4 4 2022 2022
A ，B 的坐标，即可解答．
2022 2022
【详解】2022÷4=505⋯2
∴线段A B 在第二象限；
2022 2022
∴A （0，2023），B （-2022，0）
2022 2022
∵点C 为线段A B 中点，
2022 2022 2022
(0−2022 0+2023) ( 2023)
∴点C 的坐标为 , ，即 −1011,
2022 2 2 2
( 2023)
故答案为： −1011,
2
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，仔细读题找出变化规律是解题的关键．
25．（2023·山东淄博·统考中考真题）若实数m，n分别满足下列条件：
（1）2(m−1) 2−7=−5；
（2）n−3>0．
( 3n−m)
试判断点P 2m−3, 所在的象限．
2
【答案】点P在第一象限或点P在第二象限
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3n−m
【分析】运用直接开平方法解一元二次方程即可；解不等式求出解题，在分情况确定2m−3， 的
2
符号确定点P所在象限解题即可．
【详解】解：2(m−1) 2−7=−5
2(m−1) 2=−5+7
(m−1) 2=1
m−1=1或m−1=−1
m =2，m =0；
1 2
n−3>0，
解得：n>3；
3n−m
∴当m=2，n>3时，2m−3>0， >0，点P在第一象限；
2
3n−m
当m=0，n>3时，2m−3<0， >0，点P在第二象限；
2
【点睛】本题考查点在平面直角系的坐标特征，解不等式，平方根的意义，利用不等式的性质判断点的坐
标特征是解题的关键．
1．（2023·湖北武汉·统考中考真题）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的
1
多边形的面积S=N+ L−1，其中N,L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标
2
系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知A(0,30)，B(20,10),O(0,0)，则△ABO内部的格点个数是
（ ）
A．266 B．270 C．271 D．285
【答案】C
【分析】首先根据题意画出图形，然后求出△ABO的面积和边界上的格点个数，然后代入求解即可．
【详解】如图所示，
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∵A(0,30)，B(20,10),O(0,0)，
1
∴S = ×30×20=300，
△ABO 2
∵OA上有31个格点，
OB上的格点有(2,1)，(4,2)，(6,3)，(8,4)，(10,5)，(12,6)，(14,7)，(16,8)，(18,9)，(20,10)，共10个格
点，
AB上的格点有(1,29)，(2,28)，(3,27)，(4,26)，(5,25)，(6,24)，(7,23)，(8,22)，(9,21)，(10,20)，
(11,19)，(12,18)，(13,17)，(16,14)，(15,15)，(16,14)，(17,13)，(18,12)，(19,11)，共19个格点，
∴边界上的格点个数L=31+10+19=60，
1
∵S=N+ L−1，
2
1
∴300=N+ ×60−1，
2
∴解得N=271．
∴△ABO内部的格点个数是271．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解决问题的关键是掌握数形结合的数学思想．
√3
2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，直线l:y= x+√3与x轴相交于点A，与y轴相交于点
3
B，过点B作BC ⊥l交x轴于点C ，过点C 作B C ⊥x轴交l于点B ，过点B 作B C ⊥l交x轴于点C ，
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
过点C 作B C ⊥x轴交l于点B …，按照如此规律操作下去，则点B 的纵坐标是 ．
2 2 2 2 2022
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(4) 2022
【答案】 √3
3
【分析】先根据30°的特殊直角三角形，如△AOB，△BAC ，△BOC ，△BC B 求出B点，B 点的纵
1 1 1 1 1
坐标，发现规律，即可
√3
【详解】∵l:y= x+√3
3
当y=0时，x=−3
当x=0时，y=√3
故A(−3,0)，B(0,√3)
∴△AOB为30°的直角三角形
∴∠BAO=30°
∵BC ⊥l
1
∴△BAC 为30°的直角三角形
1
∴∠OC B=60°
1
∴△BOC 为30°的直角三角形
1
2
BC = OB
1 √3
∵B C ⊥x轴
1 1
∴B C ∥BO
1 1
∴∠B C B=∠C BO
1 1 1
△BC B 为30°的直角三角形
1 1
2 ( 2 ) 2 4
B C = BC = OB= OB
1 1 √3 1 √3 3
同理：
2 ( 2 ) 2 (4) 2
B C = B C = B C = OB
2 2 √3 1 2 √3 1 1 3
(4) 3
B C = OB
3 3 3
…
(4) n
B C = OB
n n 3
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(4) 2022 (4) 2022
故：B C = OB= √3
2022 2022 3 3
(4) 2022
故答案为： √3
3
【点睛】本题考查30°的特殊直角三角形；注意只用求点B 的纵坐标，即B C 长度
2022 2022 2022
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