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第 12 讲 反比例函数的图象、性质及应用
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 反比例函数的相关概念
题型01 用反比例函数描述数量关系
题型02 判断反比例函数
题型03 根据反比例函数的定义求字母的值
考点二 反比例函数的图象与性质
题型01 判断反比例函数图象
题型02 反比例函数点的坐标特征
题型03 已知反比例函数图象，判断其解析式
题型04 由反比例函数解析式判断其性质
题型05 由反比例函数图象分布象限，求k值
题型06 判断反比例函数经过象限
题型07 已知反比例函数增减性，求参数的取值范围
题型08 已知反比例函数增减性，求k值
题型09 由反比例函数的性质比较大小
题型10 求反比例函数解析式
题型11 与反比例函数有关的规律探究问题
考点三 反比例系数k的几何意义
题型01 一点一垂线
题型02 一点两垂线
题型03 两点一垂线
题型04 两点两垂线
题型05 两点和原点
题型06 两曲一平行
考点四 反比例函数与一次函数综合
题型01 一次函数图象与反比例函数图象综合
题型02 一次函数与反比例函数交点问题
题型03 一次函数与反比例函数综合应用
考点五 反比例函数的实际应用
题型01 行程问题
题型02 工程问题
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题型03 物理问题
题型04 分段问题
题型05 几何问题
考点要求 新课标要求 命题预测
反比例函数是非常重要的函数，年年
反比例函数相关 理解与掌握反比例函数相关
都会考，总分值为15分左右，常考考点
概念 概念.
为: 反比例函数图象的性质k的几何意
能画反比例函数的图象，根 义、双曲线上点的坐标特征、反比例函数
k 与一次函数的交点问题以及反比例函数的
据图象和表达式y= (k≠0)探索并
反比例函数的图 x 应用与综合题等.其中前三个考点多以选
象与性质 理解k>0和k<0时图象的变化情况. 择、填空题的形式出题，后三个考点则是
能根据已知条件确定反比例 基础解答题以及压轴题的形式出题.在填空
函数的表达式. 题中,对反比例函数点的坐标特征考察的比
较多，而且难度逐渐增大，常结合其他规
反比例系数k的 理解与掌握反比例系数k的 则几何图形的性质一起出题,多数题目的技
几何意义 几何意义. 巧性较强，复习中需要多加注意.另外压轴
题中也常以反比例函数为背景，考察一些
反比例函数与一 新定义类问题.
次函数综合 综合反比例函数以上特点，考生在复
习该考点时，需要准备堂握其各性质规
反比例函数的实 能用反比例函数解决简单实 律，并日多注意其与几何图形结合题的思
际应用 际问题 考探究.
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考点一 反比例函数的相关概念
k
反比例函数的概念：一般地，形如y= （k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可
x
以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、y=kx−1（k≠0）的形式.
反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数y，等号右边是一个分式；
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②k≠0；
③分母中含有自变量x，且指数为1.
k
1. 反比例函数y= （k≠0）的自变量x的取值为一切非零实数，函数y的取值是一切非零实数.
x
2. 反比例函数的表达式中，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式．
3. 反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k.
题型01 用反比例函数描述数量关系
【例1】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠
杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即F L =F L ．如图，铁架台左侧钩码的个数与位
1 1 2 2
置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F与力臂L满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【答案】C
【分析】根据杠杆平衡条件：F L =F L ，并结合题意可得左侧F L 是定值，从而进行判断．
1 1 2 2 1 1
【详解】由杠杆平衡条件：F L =F L ，
1 1 2 2
∵铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力
F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，
∴右侧力F与力臂L的乘积是定值，即右侧力F与力臂L满足反比例函数关系．
故选：C
【点睛】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数中，自变量x与函数值y的积是定值是解题的关键．
【变式1-1】（2023·北京朝阳·统考一模）下面的三个问题中都有两个变量：
①矩形的面积一定，一边长y与它的邻边x；
②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积S与全村总人口n；
③汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t．
其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
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A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
k
【分析】当两个变量的积为定值时，两个变量之间的函数关系可以用形如y= （k为常数，k≠0）的式子
x
表示，由此逐项判断即可．
【详解】解：由函数图象可知，这两个变量之间成反比例函数关系，
k
①矩形的面积=x⋅y，因此矩形的面积一定时，一边长y与它的邻边x可以用形如y= (k≠0)的式子表示，
x
即满足所给的函数图象；
k
②耕地面积=S⋅n，因此耕地面积一定时，该村人均耕地面积S与全村总人口n可以用形如y= (k≠0)的
x
式子表示，即满足所给的函数图象；
s k
③汽车的行驶速度= ，因此汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t不可以用形如y= (k≠0)的式
t x
子表示，即不满足所给的函数图象；
综上可知：①②符合要求，
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的定义．
【变式1-2】（2022·北京海淀·北京市十一学校校考二模）右图是一种古代计时装置（称为“漏刻”）的示
意图：水从上面的贮水壶慢慢漏入下方的受水壶中，假设漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均
匀升高，那么，就可以根据标尺上的刻度来反映浮子的高度从而计时．现向贮水壶内注水，则在受水壶注
满水之前，浮子的高度与对应注水时间满足的函数关系是（ ）
A．一次函数 B．二次函数 C．反比例函数 D．无法确定
【答案】A
【分析】根据漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀解答即可．
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【详解】解：∵漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀升高
∴浮子的高度与对应注水时间成正比
∴浮子的高度与对应注水时间满足的函数关系是一次函数
故选A．
【点睛】本题考查了判断函数关系，读懂材料，掌握一次函数、二次函数、反比例函数的特点是解答本题
的关键．
题型02 判断反比例函数
【例2】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）下列函数中，不是反比例函数的是（ ）
3 −3 3
A．y=− B．y= C．y= D．3xy=2
x 2x x−1
【答案】C
k
【分析】根据反比例函数解析式y= (k≠0)判断求解．
x
k
【详解】解：根据反比例函数解析式y= (k≠0)，知
x
3
A. y=− ，符合定义，本选项不符合题意；
x
3
−
B. −3 2，符合定义，本选项不符合题意；
y= =
2x x
3
C. y= ，不符合定义，本选项符合题意；
x−1
2
D. 3xy=2，得 3，符合定义，本选项不符合题意．
y=
x
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的定义，理解解析式的特征是解题的关键．
【变式2-1】（2022·福建南平·统考一模）下面四个函数中，图象为双曲线的是（ ）
A．y=5x B．y=2x+3
4
C．y= D．y=x2+2x+1
x
【答案】C
【分析】根据一次函数，反比例函数及二次函数的函数解析式进行判断．
【详解】解：A. y=5x，是正比例函数，图象是直线，故该选项不正确，不符合题意；
B. y=2x+3，是一次函数，图象是直线，故该选项不正确，不符合题意；
4
C. y= ，是反比例函数，图象是双曲线，故该选项正确，符合题意；
x
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D. y=x2+2x+1，是二次函数，图象是抛物线，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查函数的表达式，解题关键是掌握一次函数，反比例函数，二次函数的表达式．
题型03 根据反比例函数的定义求字母的值
【例3】（2022上·山东枣庄·九年级校考期末）已知函数y=(m+1)xm2−5是关于x的反比例函数，则m的值
是 ．
【答案】±2
k
【分析】根据反比例函数的定义：形如y= （k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，即可求出m的值．
x
【详解】∵函数y=(m+1)xm2−5是关于x的反比例函数，
∴m+1≠0，m2−5=−1，
∴m=±2，
故答案为：±2
【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
k
【变式3-1】（2022·江苏南京·校联考一模）已知反比例函数y＝ 的图象经过点（1，3）、（m，n），则
x
mn的值为 ．
【答案】3
【分析】把点的坐标分别代入解析，即可求得k及mn的值．
k
【详解】解：把点（1，3）代入y＝
x
得k=3
3
故反比例函数的解析式为y=
x
3
把点（m，n）代入y= 得mn=3故答案为：3
x
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，理解在函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解决本
题的关键．
2
【变式3-2】（2023·浙江杭州·校考二模）已知点A(−2,m−1)在反比例函数y=− 的图象上，则m=
x
．
【答案】2
【分析】将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出m值．
2
【详解】解：∵点A(−2,m−1)在反比例函数y=− 的图象上，
x
∴−2×(m−1)=−2，
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∴m=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的纵横坐标之积是定值k；理解点坐标与
解析式的关系是解题的关键．
k−1
【变式3-3】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学统考二模）如果反比例函数y= 的图象经过
x
点(−2,1)，则k的值是（ ）
A．1 B．−2 C．−1 D．3
【答案】C
【分析】把点(−2,1)的坐标代入反比例函数解析式中得到一元一次方程并求解即可．
k−1
【详解】解：∵反比例函数y= 的图象经过点(−2,1)，
x
k−1
∴1= ．解得k=−1．故选：C．
−2
【点睛】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握该知识点是解题关键．
在反比例函数中，k≠0与x的指数为-1这两个条件必须同时具备，解决此类问题的容易忽略k≠0的
条件，从而得出错误答案.
考点二 反比例函数的图象与性质
一、反比例函数的图象与性质
1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的
两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
图象特征 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为
原点．
表达 k
y= （k为常数，k≠0）
x
式
图象
性
k>0 k<0
质
经过 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号）
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象限
增减 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
性
①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上;
对称 ②图象关于直线y=x 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上;
性 ③图象关于直线y=−x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支
上.
即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称.
反 比 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
例 函 k
1）设反比例函数的解析式为y= （k为常数，k≠0）；
x
数 解
析 式 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
的 确 3）解方程求出待定系数k；
定 方 4）将所求的k值代入所设解析式中.
法 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的
坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”
这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0
时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置
和函数的增减性，也可以推断出k的符号。
3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象
的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．
题型01 判断反比例函数图象
【例1】（2022·黑龙江绥化·校考三模）当长方形的面积S是常数时，长方形的长a与宽b之间关系的函数
图象是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到函数关系式为ab=S（常数），于是得到a、b是成反比例的量，根据函数关系式即
可得到结论．
S
【详解】解：由长方形的面积公式得，a= ，且b>0，
b
故C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图象，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
【变式1-1】（2023·安徽亳州·统考三模）如图，在△ABC中，∠BAC=20°，AB=AC=2，且始终保持
∠PAQ=100°．设BP=x，CQ= y（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据△ABC是等腰三角形，∠BAC=20°，得到∠ABC=∠ACB=80°，推出
∠ABP=∠ACQ=100°，根据∠PAQ=100°推出∠PAB+∠CAQ=80°，根据三角形的外角等于不相
邻的两内角的和，得到∠ACB=∠CAQ+∠AQC=80°，推出∠AQC=∠PAB，推出△APB∽△QAC，
根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得x与y的函数关系式，即可进行判断．
【详解】∵△ABC中，∠BAC=20°，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=80°
∴∠ABP=∠ACQ=100°
又∵∠PAQ=∠PAB+∠BAC+∠CAQ=100°
∴∠PAB+∠CAQ=80°
∵∠ACB=∠CAQ+∠AQC=80°
∴∠AQC=∠PAB
∴△APB∽△QAC
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PB AB x 2
∴ = ，即 = ．
AC QC 2 y
4
则函数解析式是y= ．
x
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，反比例函数等，熟练掌握等腰三角形性质，三角形外
角性质，相似三角形判定与性质，反比例函数图形与性质，是解决本题的关键．
【变式1-2】（2023·河北沧州·统考模拟预测）在平行四边形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，
CF⊥BD，垂足分别为E、F，已知AE=2，且∠CBF=∠EAF，设EF=x，BF= y，假设x、y能组成
函数，则y与x的函数的图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据平行四边形的性质得到S =S ，然后证明出△AEF∽△BFC，然后利用相似三角
△ABD △BCD
形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S =S ，
△ABD △BCD
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴CF=AE=2，∠AEF=∠BFC=90o，
∵∠CBF=∠EAF，∠AEF=∠BFC，
∴△AEF∽△BFC，
EF AE
∴ = ，
CF BF
x 2
∴ = ，
2 y
4
∴y= ，
x
∴y与x的函数的图象为双曲线在第一象限内的部分．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质等知识，解此题的关键是证明出
△AEF∽△BFC．
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2 2
【变式1-3】（2023·河南信阳·统考一模）参照学习函数y= 的过程与方法，探究函数y= (x≠2)的
x x−2
图象与性质．
1 3 5 7
x … −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 …
2 2 2 2
2 4 4 2 4 1 2 1
y= … −1 −2 ■ 4 2 1 …
x 3 5 3 7 2 5 3
2 1 2 4 2 1
y= … − − −1 m −2 −4 ■ 4 2 1 …
x−2 2 3 3 3 2
m=
(1) __________________．
2
(2)请画出函数y= (x≠2)的图象；
x−2
(3)观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x<2时，y随x的增大而___________；（填“增大”或“减小”）
2 2
②y= 的图象是由y= 的图象向__________平移__________个单位长度而得到的；
x−2 x
③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标）
4
【答案】(1)−
3
(2)见解析
(3)①减小；②右；2；③(2,0)
1 2
【分析】（1）把x= 代入函数y= (x≠2)即可解答；
2 x−2
（2）用一条光滑曲线顺次连接所描的点即可；
（3）数形结合，观察函数图象即可得到答案．
1 2
【详解】（1）解：把x= 代入y= ，
2 x−2
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2
y=
得 1 ，
−2
2
4
∴m=− ，
3
4
故答案为− ；
3
（2）函数图象如图所示：
（3）解：①当x<2时，y随x的增大而减小；
2 2
②y= 的图象是由y= 的图象向右平移2个单位长度而得到的；
x−2 x
③图象关于点(2,0)中心对称；
故答案为：①减小；②右；2；③(2,0)．
【点睛】本题考查了类反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握列表，描点，连线作图及数形结合得
到函数性质．
题型02 反比例函数点的坐标特征
2
【例2】（2023·广西北海·统考模拟预测）下列各点在反比例函数y= 图象上的是（ ）
x
A．(−1,2) B．(2,−1) C．(1,3) D．(−1,−2)
【答案】D
【分析】将每个选项中点的横坐标代入反比例函数解析式中，看函数值是否一致，如果一致，说明点在函
数图象上，反之则不在．
2 2
【详解】A．当x=−1时，y= = =−2≠2，故该选项不正确，不符合题意；
x −1
2 2
B．当x=2时，y= = =1≠−1，故该选项不正确，不符合题意；
x 2
2 2
C．当x=1时，y= = =2≠3，故该选项不正确，不符合题意；
x 1
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2 2
C．当x=−1时，y= = =−2，故该选项正确，符合题意；
x −1
故选：D．
【点睛】本题主要考查点是否在反比例函数图象上，掌握反比例函数变量的求法是解题的关键．
k
【变式2-1】（2023·福建宁德·统考模拟预测）下列四个点中，有三个点在同一反比例函数y= 的图象上，
x
则不在这个函数图象上的点是（ ）
( 1 ) (3 )
A．(1,6) B． − ,12 ， C．(−2,−3) D． ,4
2 2
【答案】B
【分析】由反比例函数表达式的特点可知，在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于k，所以判断点是
否在反比例函的图象上，只要验证一下横、纵坐标的乘积是否与k相等就可以了．
【详解】解：A、k=1×6=6，
1
B、k=− ×12=−6，
2
C、k=(−2)×(−3)=6，
3
D、k= ×4=6，
2
( 1 )
∴不在这个函数图象上的点是 − ,12 ，
2
故选：B．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于
比例系数．
4
【变式2-2】（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，直线y=kx(k>0)与双曲线y= 交于A，B两点，若
x
A(2，m)，则点B的坐标为（ ）
A．(2,2) B．(−2,−1) C．(−2,−2) D．(−1,−4)
【答案】C
【分析】根据反比例函数的对称性进行求解即可．
4
【详解】解：∵直线y=kx(k>0)与双曲线y= 交于A，B两点，
x
∴点A和点B关于原点对称，
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4 4
把A(2，m)代入到y= 中得：m= =2，
x 2
∴A(2，2)，
∴B(−2，−2)，
故选C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的对称性，反比例函数与一次函数的交点问题，正确得到点A和点B
关于原点对称是解题的关键．
2 6
【变式2-3】（2019·吉林长春·中考模拟）如图，函数y＝ （x＞0）、y＝ （x＞0）的图象将第一象限分
x x
成了A、B、C三个部分．下列各点中，在B部分的是（ ）
A．（1，1） B．（2，4） C．（3，1） D．（4，3）
【答案】C
2 6
【分析】根据反比例函数的图象和性质及题意可知，在B部分的点的坐标满足 ＜y＜ ，对其变形，得
x x
2＜xy＜6，然后将选项A、B、C、D的坐标值别代入进行对比，符合要求的即是答案.
2 6
【详解】根据题意可知，在B部分的点的坐标满足 ＜y＜ ，
x x
对其变形，得2＜xy＜6.
选项A，（1，1），xy=1，不符合要求；
选项B，（2，4）,，xy=8，不符合要求；
选项C，（3，1），xy=3，符合要求；
选项D，（4，3）,，xy=12，不符合要求.
故选C.
【点睛】此题考查反比例函数的图象和性质、定义及表达式，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的
关键.
−2
【变式2-4】（2023·陕西渭南·统考一模）已知正比例函数y=ax（a为常数，a≠0）与反比例函数y=
x
的图象的一个交点坐标为(1,m)，则另一个交点的坐标为 ．
【答案】(−1,2)
【分析】正比例函数和反比例函数的图象是中心对称图形，则它们的交点一定关于原点对称．
−2
【详解】∵已知正比例函数y=ax（a为常数，a≠0）与反比例函数y= 的图象的一个交点坐标为
x
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(1,m)，
−2
∴m= =−2
1
∴交点坐标为(1,−2)
∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
∴另一个交点的坐标与点(1,−2)关于原点对称，
∴该点的坐标为(−1,2)．
故答案为：(−1,2)．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与正比例函数的交点关于原点对
称是解题的关键．
k
【变式2-5】（2022·福建漳州·统考模拟预测）已知直线y=2x与双曲线y= 相交于A，B两点．若点
x
A(2,m)，则点B的坐标是 ．
【答案】(−2,−4)
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【详解】解：将A(2,m)带入到y=2x中，得m=4，则A(2,4)
∵点A和点B关于原点对称
∴点B坐标为(−2,−4)．
故答案为：(−2,−4)．
【点睛】本题考查反比例函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称．
k+6
【变式2-6】（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知直线y=kx与双曲线y= 的一个交点的
x
横坐标是2，则另一个交点坐标是 ．
【答案】（-2，-4）
k+6
【分析】根据交点的横坐标是2，得到 =2k，求得k值，确定一个交点坐标为（2，4），根据图象的
2
中心对称性质，确定另一个交点坐标即可．
【详解】∵交点的横坐标是2，
k+6
∴ =2k，
2
解得k=2，
8
故函数的解析式为y=2x，y= ，
x
当x=2时，y=4，
∴交点坐标为（2，4），
根据图象的中心对称性质，
∴另一个交点坐标为（-2，-4），
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故答案为：（-2，-4）．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，函数图象的中心对称问题，熟练掌握交点的意
义，灵活运用图象的中心对称性质是解题的关键．
题型03 已知反比例函数图象，判断其解析式
【例3】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）如图，下列解析式能表示图中变量x，y之间关系的是（ ）
1 1 1 1
A．y= B．|y|= C．y=− D．|y|=−
|x| x |x| x
【答案】B
【分析】根据反比例函数的图象及绝对值的定义即可判断．
【详解】解：根据反比例函数的图象可得：
1 1
第一象限所对应的关系式为：y= ，第四象限所对应的关系式为：y=− ，
x x
1
∴ y与x的关系式为：|y|= ．
x
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象及绝对值的定义，解题关键是熟悉反比例函数的图象．
【变式3-1】（2023·江苏徐州·统考二模）在平面直角坐标系中，对于点P(a,b)，若ab>0，则称点P为
“同号点”．若某函数图象上不存在“同号点”，其函数表达式可以是 ．
1
【答案】y=− （答案不唯一）
x
【分析】根据新定义可得函数图象不在第一，第三象限，从而可得答案．
【详解】解：∵对于点P(a,b)，若ab>0，则称点P为“同号点”．
而某函数图象上不存在“同号点”，
∴函数图象不在第一，第三象限，
1
∴其函数表达式可以是y=− ；
x
1
故答案为：y=− ．
x
【点睛】本题考查的是阅读理解，新定义的含义，反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的分别是
解本题的关键．
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题型04 由反比例函数解析式判断其性质
5
【例4】（2023·山西晋城·统考一模）已知反比例函数y=− ，则下列描述正确的是（ ）
x
A．图象位于第一、三象限
B．y随x的增大而增大
C．图象不可能与坐标轴相交
(3 5)
D．图象必经过点 ，−
2 3
【答案】C
k
【分析】根据反比例函数y= (k≠0)的图象性质进行逐项分析即可作答．
x
5
【详解】解：A、∵y=− ，∴k=−5<0，∴函数的图象在第二、四象限，故选项A不符合题意；
x
5
B、∵y=− ，∴k=−5<0，在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；
x
5
C、反比例函数y=− 的图象不可能与坐标轴相交，选项C符合题意；
x
−5 2 10
3 y= =−5× =− (3 10)
D、当x= 时，则 3 3 3 ，∴函数图象经过点 ，− ，故选项D不符合题意；
2 2 3
2
故选：C．
k
【点睛】本题考查了反比例函数y= (k≠0)的图象性质，当k>0，反比例函数经过第一、三象限；当k<0，
x
反比例函数经过第二、四象限；难度较小．
k
【变式4-1】（2022·江西九江·校考二模）关于反比例函数y= (k≠0)的图象与性质，下列结论中不正确
x
的是（ ）
A．该函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．当k<0时，该函数的图象在第二、四象限
C．该函数的图象与直线y=kx+b有且只有两个交点
D．当k>0时，函数值y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】根据反比例函数的图象与性质，判断作答即可．
k
【详解】解：由反比例函数的图象与性质可知，y= (k≠0)的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，
x
A正确，故不符合要求；
当k<0时，该函数的图象在第二、四象限，B正确，故不符合要求；
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k
联立方程得，¿，即 =kx+b，整理得，kx2+bx−k=0，
x
∴△=b2+4k2>0，
∴该函数的图象与直线y=kx+b有且只有两个交点，C正确，故不符合要求；
当k>0时，函数过第一象限，第三象限，在每个象限内函数值y随x的增大而减小，D错误，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判根式．解题的关键在于对知识的熟练
掌握与灵活运用．
题型05 由反比例函数图象分布象限，求k值
k
【例5】（2023·贵州贵阳·校考一模）反比例函数y= （k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
x
A．5 B．12 C．−5 D．−12
【答案】C
【分析】根据图象，当x=−3时，y<3，则0>k>−9；当x=2时，y<−2，则k<−4，所以−9k>−9，
−3
k
当x=2时，y<−2，即 <−2，则k<−4，
2
∴−92时，反比例函数y= 的图象位于（ ）
x
A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限
【答案】B
【分析】求出k−2>0即可根据反比例函数图象与系数的关系求出答案．
【详解】解：∵k>2，
∴k−2>0，
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k−2
∴反比例函数y= 的图象位于一、三象限，
x
故选B．
k
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握反比例函数y= (k≠0)的
x
性质：当k>0时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象在二、四象
限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
6
【变式6-2】（2023·上海奉贤·统考二模）下列函数图象中，可能是反比例函数y= 的图象的是（ ）
x
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据反比例函数的图象性质进行判断．
6
【详解】解：由k=6>0，可知反比例函数y= 的图象在一、三象限．
x
A. 反比例函数的图象在一、二象限．故选项A不符合题意；
B. 反比例函数的图象与坐标轴相交，错误．故选项B不符合题意；
C. 反比例函数的图象在一、三象限．正确，故选项C符合题意；
D. 反比例函数的图象在二、四象限．错误，故选项D不符合题意；
故选：C．
k
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．反比例函数y= 的图象
x
是双曲线，当k>0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k<0时，它的两个分支分别位于第二、四
象限．
题型07 已知反比例函数增减性，求参数的取值范围
a+3
【例7】（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）反比例函数y= 的图象在每个象限内，y随x的增大而
x
增大，则a的取值范围是（ ）
A．a≥−3 B．a>−3 C．a≤−3 D．a<−3
【答案】D
k
【分析】根据反比例函数y= 中，当k<0时函数图象在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，
x
a+3
故反比例函数y= 中，得出a+3<0，求出a的取值范围即可．
x
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a+3
【详解】解：∵反比例函数y= 的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，
x
∴a+3<0，
解得：a<−3．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握根据反比例函数的增减性求参数范围是解题的关键．
3m+1
【变式7-1】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）在反比例函数y= 图象上有两点A(x ,y )，
x 1 1
B(x ,y )，y <0x ，则有（ ）
2 2 1 2 1 2
1 1 1 1
A．m≤− B．m>− C．m≥− D．m<−
3 3 3 3
【答案】D
【分析】先根据y <0x ，判断出反比例函数的比例系数的正负，求出m的取值范围即可．
1 2 1 2
3m+1
【详解】解：∵在反比例函数y= 图象上有两点A(x ,y )，B(x ,y )，y <0x ，
x 1 1 2 2 1 2 1 2
∴反比例函数的图象在二、四象限，
∴3m+1<0，
1
解得m<− ．
3
故选：D．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出反比例函数的图象在二、四象
限是解答此题的关键．
k
【变式7-2】（2023·湖北武汉·统考三模）若点(m−1,y )和(m+1,y )在y= (k>0)的图象上，若y >y ，
1 2 x 1 2
则m的取值范围是（ ）
A．m>1或m<−1 B．−10，
k
∴y= 图象在第一、三象限，且在每一个象限，y随x的增大而减小，
x
∵m−11，
∴综上所述：m的取值范围是m>1或m<−1，
故选：A．
【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键正确掌握反比例函数的性质和增减性．
3k−2
【变式7-3】（2022上·陕西渭南·九年级统考期末）若反比例函数y= 在每个象限内，y随x的增大
x
而减小，则k的值可能是（ ）
1
A．−1 B．0 C． D．1
2
【答案】D
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【分析】根据反比例函数的增减性可得3k−2>0，即可求解．
3k−2
【详解】解：∵反比例函数y= 在每个象限内，y随x的增大而减小，
x
∴3k−2>0，
2
解得：k> ，
3
∴k的值可能是1．
故选：D
k
【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数y= (k≠0)，当k>0时，图象位于
x
第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象位于第二、四象限内，在每一象
限内，y随x的增大而增大是解题的关键．
题型08 已知反比例函数增减性，求k值
k k
【例8】（2023·安徽芜湖·统考二模）已知函数y = ,y =− (k>0)，当1≤x≤3时，函数y 的最大值为
1 x 2 x 1
a，函数y 的最小值为a−4，则k＝ ．
2
【答案】2
【分析】直接利用反比例函数的性质分别得出k与a的关系，进而得出答案．
k
【详解】解：∵函数y = (k>0)，当1≤x≤3时，函数y 的最大值为a，
1 x 1
∴x=1时，y=k=a，
−k
∵y = (k>0)，当1≤x≤3时，函数y 的最小值为y=a−4，
2 x 2
∴当x=1时，y=−k=a−4，
∴k=4−a，
故a=4−a，
解得：a=2．
则：k=4−2=2．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出k与a的关系是解题关键．
k
【变式8-1】（2023·陕西咸阳·二模）已知反比例函数y= (k≠0)的图象在每个象限内y随x的增大而增大，
x
且当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k的值为 ．
【答案】−6
【分析】根据题意得出k<0，进而根据当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，列出方程，即可
求解．
【24淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
k
【详解】解：∵反比例函数y= (k≠0)的图象在每个象限内y随x的增大而增大，
x
∴k<0，
∵当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，
k k −2k
∴ − = =4，
3 1 3
解得：k=−6，
故答案为：−6．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
k
【变式8-2】已知反比例函数y= (k≠0)，当1≤x≤3时，y的最大值与最小值之差是4，则k= ．
x
【答案】6或-6．
【分析】根据反比例函数的增减性质列解一元一次方程解答即可．
【详解】解：当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小，
∴设x=1时y=a，则当x=3时，y=a-4，
∴a=3（a-4），
解得a=6，
∴k=6；
当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大，
∴设x=1时y=b，则当x=3时，y=b+4，
∴b=3（b+4），
解得b=-6，
∴k=-6；
∴k=6或-6，
故答案为：6或-6．
【点睛】此题考查反比例函数的增减性：当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小，当k<0时，在每
个象限内y随x的增大而增大，以及正确解一元一次方程．
题型09 由反比例函数的性质比较大小
【例9】（2023·广东东莞·校联考一模）若点A(−2,y )、B(−1,y )、C(1,y )都在反比例函数
1 2 3
k2+1
y= （k为常数）的图象上，则y 、y 、y 的大小关系为（ ）
x 1 2 3
A．y 0可知，此函数图象在第一、三象限，根据
反比例函数的性质即可判定．
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【详解】解：∵k2+1>0，
∴反比函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴A(−2,y )、B(−1,y )在第三象限内，C(1,y )在第一象限内，
1 2 3
∵−1>−2，
∴y >y ，
1 2
∴y |x |，则下列结论一定正确的是（ ）
1 2 1 2
A．y + y >0 B．y ⋅y >0 C．y + y <0 D．y −y >0
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】A
【分析】根据反比例函数图象与性质即可得到答案．
6
【详解】解：y= 的k=6>0，
x
【26淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
6
∴反比例函数y= 的图象在第一、三象限，
x
6
∵A(x ,y ),B(x ,y )在反比例函数y= 的图象上，x <0|x |，
1 1 2 2 x 1 2 1 2
∴y <00，
1 2
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数中k与图象的象限关系是解决问题的关键．
k
【变式9-3】（2022·河北邯郸·校考三模）已知反比例函数y= 的图象在第一、第三象限内，设函数图象
x
上有两点A(x ,y )、B(x ,y )，若x y B．y y ，
1 2 1 2
②当0y ，
1 2 1 2
③当x <00，则y y >0 B．若x x <0，则y y <0
1 2 2 3 1 2 1 3
C．若x x <0，则y y >0 D．若x x >0，则y y <0
1 3 2 3 1 3 2 3
【答案】B
【分析】根据反比例函数的性质，当k<0时，图象过二四象限，再根据x 0时，不能判断x 符号，选项错误，不符合题意；
1 2 3
B、当x x <0时，则x <00 时，不能判断x 符号，选项错误，不符合题意；
1 3 2
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
题型10 求反比例函数解析式
k
【例10】（2023·陕西商洛·统考二模）已知A(−1,p)与B(2,p−3)是反比例函数y= 图象上的两个点，
x
则k的值为 ．
【答案】−2
【分析】根据反比例函数中k=xy的特点进行解答即可．
k
【详解】解：∵A(−1,p)与B(2,p−3)是反比例函数y= 图象上的两个点，
x
∴(−1)⋅p=2⋅(p−3)，
解得p=2．
∴k=−1×2=−2
故答案为：−2．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy为定值是解题的关键．
k
【变式10-1】（2022·福建泉州·统考模拟预测）若反比例函数y= 的图象过点(−2,a)、(2,b)，且
x
a−b=−6，则k= ．
【答案】6
k k
【分析】可得− =a， =b，代入a−b=−6，即可求解．
2 2
【详解】解：由题意得
k k
− =a， =b，
2 2
∵ a−b=−6，
k k
∴ − − =−6，
2 2
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解得：k=6；
故答案：6．
【点睛】本题考查了函数图象上点的意义，求反比例函数系数k,理解意义是解题的关键．
k
【变式10-2】（2023·广东广州·校考一模）反比例函数y= 的图象上有一点P(a，b)，且a、b是方程
x
t2−t−2=0的两根，则k= ．
【答案】−2
k
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出ab=−2，然后根据点P(a，b)在反比例函数y= 的图象
x
上求出k=−2即可．
【详解】解：a、b是方程t2−t−2=0的两根，
则有ab=−2，
k
又∵点P(a，b)在反比例函数y= 的图象上，
x
∴ab=k，
∴k=−2．
故答案为：−2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握一
b c
元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x ，x ，满足x +x =− ，x ⋅x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
k
【变式10-3】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）反比例函数y= (k≠0)的图象经过(a,2)，
x
(a+1,1)、(b,6)三点，则b的值为 ．
1
【答案】
3
【分析】根据反比例函数的定义得出a=1，进而即可求解．
k
【详解】解：∵反比例函数y= (k≠0)的图象经过(a,2)，(a+1,1)
x
∴2a=(a+1)×1
解得：a=1，
∴k=2
2
∴反比例数解析式为y= ，
x
2 1
将点(b,6)代入得，6= ，解得：b= ，
b 3
1
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，求得反比例函数的解析式是解题的关键．
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【变式10-4】（2022·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）如图，直线y=−x+3与y轴交于点A，与反比
k
例函数y= (k≠0)的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，AO=3BO，求反比例函数的解析式．
x
4
【答案】y=−
x
【分析】先求出点A的坐标，然后表示出AO、BO的长度，根据AO=3BO，求出点C的横坐标，代入直
线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出即可．
【详解】解：∵直线y=−x+3与y轴交于点A，
当x=0时，y=3
∴A(0,3)，即OA=3，
∵AO=3BO，
∴OB=1，
∴点C的横坐标为−1，
∵点C在直线y=−x+3上，
∴点C(−1,4)，
k
将C(−1,4)代入y= (k≠0)，
x
k
∴4= ，
−1
∴k=−4，
4
∴反比例函数的解析式y=− ．
x
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意确定点C的横坐标并求出纵坐标是解
题的关键．
题型11 与反比例函数有关的规律探究问题
【例11】（2022·河北唐山·统考二模）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP B的顶点A、B
1
k
分别在x轴、y轴上，点P 在反比例函数y= (x>0)的图象上，过P A的中点B 作矩形B A A P ，使顶
1 x 1 1 1 1 2
点P 落在反比例函数的图象上，再过P A 的中点B 作矩形B A A P ，使顶点P 落在反比例函数的图象
2 2 1 2 2 1 2 3 3
上，…，依此规律可得：
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（1）点P 的坐标为
2
（2）作出矩形B A A P 时，落在反比例函数图象上的顶点P 的坐标为 ．
18 17 18 19 19
【答案】
(
2，
1) ( 218， 1 )
2 218
【分析】（1）先根据题意得出P 点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点P，P，P
1 2 3 4
的坐标，找出规律可得出P 的坐标；
n
（2）根据（1）中的规律可得答案．
k
【详解】解：（1）∵正方形OAP B的边长为1，点P 在反比例函数y= （x＞0）的图象上，
1 1 x
∴P（1，1），
1
∴k=1，
1
∴反比例函数的解析式为：y= ，
x
∵B 是PA的中点，
1 1
1
∴PA=AB= ，
2 1 1 2
∴OA=2，
1
( 1)
∴P 2， ．
2 2
( 1)
故答案为： 2， ．
2
（2）由（1）的解同理，得P ( 22， 1 ) ，P ( 23， 1 ) …
3 22 4 23
∴P ( 2n−1， 1 ) ，
n 2n−1
当n=19时，P ( 218， 1 ) ．
19 218
故答案为：
( 218， 1 )
．
218
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，解题的关键是找出规律．
4
【变式11-1】（2023上·湖南·九年级校联考阶段练习）如图，在反比例函数y= 的图象上有A(2,m)、B
x
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1
两点，连接AB，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于点C、D，已知BD= AC，点F 是CD的中点，连
2 1
接AF 、BF ，得到△AF B；点F 是DF 的中点，连接AF 、BF ，得到△AF B；……按照此规
1 1 1 2 1 2 2 2
律继续进行下去，则△AF B的面积为 ．（用含正整数n的式子表示）
n
2n+1
【答案】
2n
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索，先求出A(2,2)，得到AC=2，
OC=2，BD=1，进而求出B(4，1)，得到OD=4，则CD=2，根据梯形面积公式求出S =3，
四边形ACDB
1 3 1 7 1
再分别求出S =1，S = S = ，S = ，S = ，S = ，进而得到规律
△ACF 1 △BDF 1 2 △ACF 2 2 △BDF 2 4 △ACF 3 4 △BDF 3 8
2n−1 1 2n+1
S = ，S = ，则S =S −S −S = ．
△ACF n 2n−1 △DCF n 2n △AF n B 四边形ACDB △ACF n △BDF n 2n
4
【详解】解：∵A(2,m)在反比例函数y= 的图象上，
x
4
∴m= =2，
2
∴A(2,2)，
∵AC⊥x轴，
∴AC=2，OC=2
1
∴BD= AC=1，
2
∵BD⊥x轴，
∴点B的纵坐标为1，
4 4
在y= 中，当y= =1时，x=4，
x x
∴B(4，1)，
∴OD=4，
∴CD=2，
【32淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
AC+BD
∴S = ⋅CD=3，
四边形ACDB 2
∵点F 是CD的中点，
1
1
∴CF =DF = CD=1，
1 1 2
1 1 1 1 1
∴S = AC⋅CF = ×1×2=1，S = BD⋅DF = ×1×1= ，
△ACF 1 2 1 2 △BDF 1 2 1 2 2
∵点F 是DF 的中点，
2 1
1 1 1
∴DF = DF = CD= ，
2 2 1 4 2
3 3
∴CF =CD−DF = CD= ，
2 2 4 2
1 3 1 1
∴S = AC⋅CF = ，S = BD⋅DF = ，
△ACF 2 2 2 2 △BDF 2 2 2 4
∵F 为CF 的中点，
3 2
1 1 1
∴DF = DF = CD= ，
3 2 2 8 4
7
∴CF =CD−DF = ，
3 3 4
1 7 1 1
∴S = AC⋅CF = ，S = BD⋅DF = ，
△ACF 3 2 3 4 △BDF 3 2 3 8
……，
2n−1 1
以此类推可知，S = ，S = ，
△ACF n 2n−1 △DCF n 2n
2n−1 1 3⋅2n−2⋅2n+2−1 2n+1
∴S =S −S −S =3− − = = ，
△AF n B 四边形ACDB △ACF n △BDF n 2n−1 2n 2n 2n
2n+1
故答案为： ．
2n
【变式11-2】（2021上·四川成都·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点
称为整点，正方形边长的整点称为边整点，如图，第一个正方形有4个边整点，第二个正方形有8个边整
点，第三个正方形有12个边整点…按此规律继续作下去，若从内向外共作了5个这样的正方形，那么其边
4
整点的个数共有____个，这些边整点落在函数y= 的图象上的概率是 ．
x
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1
【答案】60,
10
【分析】利用整点的个数与正方形的序号数的关系可得到第四个正方形有4×4个边整点，第五个正方形有
5×4个边整点，则可计算出其边整点的个数为60个，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征可确定这些
4
边整点落在函数y= 的图象上的个数，再利用概率公式求解．
x
【详解】解：第一个正方形有1×4个边整点，
第二个正方形有2×4个边整点，
第三个正方形有3×4个边整点，
第四个正方形有4×4个边整点，
第五个正方形有5×4个边整点，
所以其边整点的个数共有 4+8+12+16+20=60个，
4
这些边整点落在函数y= 的图象上的有（1，4），（4，1），（2，2），（-1，-4），（-4，-1），
x
（-2，-2），
4 6 1
所以些边整点落在函数y= 的图象上的概率= = ．
x 60 10
1
故答案为60， ．
10
【点睛】本题考查了简单随机事件的概率，利用例举法得到所有等可能的结果数为n，再从中选出符合事
件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了解决规律型问题的方法和反
比例函数图象上点的坐标特征．
【变式11-3】（2020上·安徽·九年级校联考阶段练习）如图，等边三角形△OD E ，△E D E ，
1 1 1 2 2
△E D E ，⋅⋅⋅的边OE ，E E ，E E ⋅⋅⋅，在x轴上，顶点D ，D ，D ⋅⋅⋅，在反比例函数
2 3 3 1 1 2 2 3 1 2 3
4√3
y= 的图象上．
x
【34淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（1）第1个等边三角形△OD E 的周长C = ______；第2个等边三角形△E D E 的周长C = ______；第
1 1 1 1 2 2 2
3个等边三角形△E D E 的周长C = ______；⋅⋅⋅；
2 3 3 3
（2）根据（1）的规律，猜想第n（n是正整数）个等边三角形△E D E 的周长C =______；
n−1 n n n
（3）计算：C +C +C +⋅⋅⋅+C ．
1 2 3 10
【答案】（1）12；12√2−12；12√3−12√2；（2）12√n−12√n−1；（3）12√10
4√3
【分析】（1）根据等边三角形的性质可设D (m,√3m)，然后把点D 的坐标代入y= 中即可求出
1 1 x
m，于是可求得第一个等边三角形的边长，进而可得第一个三角形的周长C ；然后设出D 与D 的坐标，
1 2 3
同样的方法即可求出第二个、第三个三角形的周长C 与C ；
2 3
（2）根据（1）题所得的结果解答即可；
（3）按照（2）题的规律和二次根式的加减法则求解即可．
【详解】解：（1）由△OD E 是等边三角形，故可设D (m,√3m)，
1 1 1
∴√3m2=4√3，∴m=2（m=−2舍去），
∴OE =4，即第一个三角形的周长C =12；
1 1
设D (4+n,√3n)，
2
∴(4+n)⋅√3n=4√3，解得n=2√2−2（n=−2√2−2舍去），
∴E E =4√2−4，即第二个三角形的周长C =12√2−12；
1 2 2
设D (4√2+a,√3a)，
3
∴(4√2+a)⋅√3a=4√3，解得a=2√3−2√2（a=−2√3−2√2舍去），
即第三个三角形的周长C =12√3−12√2；
3
故答案为：12；12√2−12；12√3−12√2；
（2）根据（1）的规律，猜想第n（n是正整数）个等边三角形△E D E 的周长C =12√n−12√n−1；
n−1 n n n
故答案为：12√n−12√n−1；
（3）
C +C +C +⋅⋅⋅+C =12+(12√2−12)+(12√3−12√2)+(12√4−12√3)+⋅⋅⋅+(12√10−12√9)
1 2 3 10
=12√10．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、解直角三角形、等边三
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角形的性质以及一元二次方程的解法等知识，熟练掌握上述知识、找到规律是解题的关键．
【变式11-4】（2023·江苏徐州·校考三模）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA =A A =A A ，过点
1 1 2 2 3
2
A ，A ，A ，分别作x轴的垂线与反比例函数y= (x>0)的图象相交于点P ，P ，P ，得△OP A ，
1 2 3 x 1 2 3 1 1
△A P A ，△A P A ，并设其面积分别为S ，S ，S ，以此类推，则S 的值为（ ）
1 2 2 2 3 3 1 2 3 2024
1 1 1 1
A． B． C． D．
1012 2023 2024 2025
【答案】C
【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积
|k|
S是个定值，S= ，由反比例函数解析式中k=2，得出△OA P ，△OA P ，△OA P ，…，
2 1 1 2 2 3 3
1
△OA P 的面积都为1，而A A 为OA 的 ，且△A A P 与△OA P 的高为同一条高，故
n n n−1 n n n n−1 n n n n
1
△A A P 的面积为△OA P 的面积的 ，由△OA P 的面积都为1，得出△A A P 的面积，即为
n−1 n n n n n n n n−1 n n
S 的值，从而得解．
n
【详解】解：连接OP ，OP ，…，OP ，如图所示：
2 3 n
∵过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，
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|k|
S= ，
2
2
∴S= =1，即S =S =S =…=S =1，
2 △OA 1 P 1 △OA 2 P 2 △OA 3 P 3 △OA n P n
又∵OA =A A =A A =…=A A ，
1 1 2 2 3 n−1 n
1 1 1 1
∴A A = OA ，A A = OA ，A A = OA ，…，A A = OA ，
1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 n−1 n n n
∵△A A P 与△OA P 的高为同一条高，
n−1 n n n n
1 1
∴S =S = S = ，
n △A n−1 A n P n n △OA n P n n
1
∴S = ，
2024 2024
故选：C．
k
【点睛】此题属于反比例函数的综合题，涉及的主要知识有：反比例函数y= (k≠0)中k的几何意义，即
x
过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定
要正确理解k的几何意义，图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形
1
面积S的关系即S= |k|.
2
考点三 反比例系数k的几何意义
一、一点一垂线
【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面
1
积为 |k|.
2
y y y y
x x x x
O O O O
y y y y
x x x x
O O O O
【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】(前提：OA=AC)
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y y
y
A A
A
C
C E
E
x x
x
C
O B D O B D O B
|k|
结论：S
△AOB
=S
△COD
S
△AOE
=S四边形CEBD S
△AOC
=
二、一点两垂线
【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为|k|.
y
A
x
O B
【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】
y
y y
A
A E A
E D
C
C F
F G
G
x x x
O B D O B D O C E B
S =S S =S S ▱ =|k|
结论： 矩形ABOE 矩形CDOF 矩形AEFG 矩形CGBD ABCD
三、两点一垂线
【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|
k|，
y y
A
B A
O x x
B O
C C
结论： S = 2S = |k|
△ABC △ABO
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【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分
的两个三角形面积之和．
k
如左图，已知一次函数与反比例函数y= 交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，
x
1 1 1
S =S +S = co•|y |+ co•|y |= co(|y |+|y |)
则 △AOB △AOC △BOC 2 A 2 B 2 A B
y y
A A
C
C x x
O O
B B
k
如右图，已知一次函数与反比例函数y= 交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C，
x
1 1 1
S =S +S = co•|x |+ co•|x |= co(|x |+|x |)
则 △AOB △AOC △BOC 2 A 2 B 2 A B
四、两点两垂线
【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于 2|
k|
y y y y
x x x x
O O O O
五、两点和原点
【39淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
y y y
C C
A A C A D
B B B
M
x x x
O D O E F D O F
一 二 方方方
S ＝S －S －S ．
方法一： △AOB △COD △AOC △BOD 【分割】
S ＝S S ＝S
方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而 △OAM 四边形MEFB，则 △AOB 直
角梯形AEFB．
S ＝S －S －S
方法三： △AOB 四边形COFD △AOC △BOF. 【补形】
1
S ＝S －S ＝ OD•（|y |-|y |）
方法四： △AOB △AOD △BOD 2 A B
1
S ＝S －S ＝ OC•（|x |-|x |）
方法五： △AOB △BOC △AOC 2 B A
【拓展】
y
C A D
B
M
x
O E F
方法一：当AD/AC(或BD/BF)＝m时，则S
四边形OADB
＝m|k|．
方法二：作AE⊥x轴于E，则S
△OAB
＝S
直角梯形AEFB
（类型一）．
六、两曲一平行
【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点
围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解．
类型一 两条双曲线的k值符号相同
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y y = k2/x y y = k2/x y y = k2/x
y = k1/x y = k1/x y = k1/x
x x x
O O O
1 1
结论：S
阴影
＝|k1|-|k2| S
阴影
＝
2
|k1|-
2
|k2|
y y = k2/x y y = k2/x
D B
y = k1/x C y = k1/x
F
x x
O O E A
S
结论：S
阴影
＝|k1|-|k2| S
阴影
＝|k1|-|k2|-
直角梯形AFDE
类型二 两条双曲线的k值符号相同
y = k2/x y = k2/x
y = k2/x y y
y
A B A
A B D
y =k1/x y =k1/x
y =k1/x
x x
x
D O C B O C
C O
1
S ＝S ＝ ( S ＝
结论： △AOB △ACB 2 |k1|+|k2|) 阴影 |k1|+|k2|
以下题型均包括两种类型：已知比例系数求特殊图形面积、以及图形面积求比例系数
题型01 一点一垂线
k
【例1】如图，A是反比例函数y= 的图象上一点，AB⊥ y轴于B，点C在x轴上，若△ABC面积为2，
x
则k的值为（ ）
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A．−4 B．1 C．2 D．4
【答案】D
【分析】连接OA，可得S =S =2，根据反比例函数k的几何意义，可求出k的值．
△ABO △ABC
【详解】解：连接OA，
∵AB⊥ y轴，
∴AB∥x轴，
1
∴S =S =2，即： |k|=2，
△ABO △ABC 2
∴k=4，或k=−4（舍去），
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数k的几何意义以及同底等高的三角形的面积
相等，是解决问题的前提．
【变式1-1】（2023·安徽·九年级专题练习）如图，等腰直角三角形OAB的斜边OB在x轴的负半轴上，顶
k
点A在反比例函数y= (x<0)的图象上，△AOB的面积为4，则k的值为（ ）
x
A．−8 B．8 C．−4 D．4
【42淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】C
【分析】过点A分别作AN⊥x轴于N点，根据等腰三角形三线合一，得ON=BN，利用三角形中线的性
1
质可得S = S ，再根据把反比例函数系数的几何意义，解出k的值，即可．
△ANO 2 △AOB
【详解】过点A分别作AN⊥x轴于N点，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴ON=BN，
1 1
∵S = ×ON×AN，S = ×BN×AN，
△ANO 2 △AOB 2
1
∴S = S ，
△ANO 2 △AOB
∵△AOB的面积为4，
∴S =2，
△ANO
k
∵顶点A在反比例函数y= (x<0)的图象上，
x
1
∴ |k|=2，k<0，
2
∴k=−4．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握三角形
的中线平分三角形的面积是关键．
【变式1-2】（2022上·江西南昌·九年级南昌市第二十八中学校联考期末）若图中反比例函数的表达式均
4
为y= ，则阴影部分面积为2的是（ ）
x
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四
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个图形中阴影部分的面积，即可求解．
【详解】A．阴影面积=xy=4≠2，故A选项不符合题意；
1 1
B．阴影面积= xy= ×4=2，故B选项符合题意；
2 2
1 1
C．阴影面积=2× xy=2× ×4=4，故C选项不符合题意；
2 2
1 1
D．阴影面积4× xy=4× ×4=8，故D选项不符合题意；
2 2
故选：B．
k
【点睛】本题考查了反比例函数y= 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形
x
面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意
义．也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积．
1
【变式1-3】（2022·福建福州·校考模拟预测）如图，在y= 的图象上有两点A、C，过这两点分别向x轴
x
引垂线，交x轴于B、D两点，连结OA、OC，记△ABO、△CDO的面积S ，S ，则S 与S 的大小关系是
1 2 1 2
（ ）
A．S >S B．S S >S D．无法确定
1 2 3 1 3 2 2 3 1
【答案】A
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，即可得到答案．
【详解】∵P ,P ,P 是双曲线上的三点．过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P A O、P A O、
1 2 3 1 1 2 2
P A O，
3 3
|k|
∴S =S =S = ，
1 2 3 2
故选A．
【点睛】本题主要考查反比例函数比例系数的几何意义，掌握反比例函数比例系数的几何意义，是解题的
关键．
2 6
【变式1-5】（2020·吉林四平·统考一模）如图，函数y= （x＞0）和y= （x＞0）的图象将第一象限分
x x
成三个区域，点M是②区域内一点，MN⊥x轴于点N，则 MON的面积可能是（ ）
△
A．0.5． B．1． C．2． D．3.5．
【答案】C
2 6
【分析】分别假设点M在y= 和y= 上，即可得出△MON面积可能的值．
x x
【详解】解：∵点M是②区域内一点，且MN⊥x轴于点N，
2
假设点M落在y= 上，
x
根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为1，
6
假设点M落在y= 上，
x
根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为3，
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∴△MON的面积可能是2，
故选C．
【点睛】考查了反比例函数的图象的知识，解题的关键是了解系数k的几何意义．
【变式1-6】（2020下·山西太原·九年级太原五中校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一
k
象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y= (x>0)的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，
x
若ΔOAB的面积为3，则k的值为 ．
【答案】3
1 3
【分析】连接OC，如图，利用三角形面积公式得到S = S = ，再根据反比例函数系数k的几何
△AOC 2 △OAB 2
1 3
意义得到 |k|= ，然后利用反比例函数的性质确定k的值．
2 2
【详解】连接OC，如图，
∵BA⊥x轴于点A，C是线段AB的中点，
1 3
∴S = S = ，
△AOC 2 △OAB 2
1
而S = |k|，
△AOC 2
1 3
∴ |k|= ，
2 2
而k>0，
∴k=3．
故答案为：3．
【46淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
k
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数y= 图象中任取一点，过这一个点向x
x
轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
9
【变式1-7】（2023·安徽合肥·校考一模）如图，A，B是反比例函数y= 图象上的两点，分别过点A，B
x
作x轴的垂线．已知S =3，则阴影部分面积为（ ）
△EOF
A．3 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】根据反比例函数k的几何意义即可求解．
【详解】解：如图所示，AF⊥x轴于点F，BG ⊥x轴于点G
9
∵反比例函数y=
x
9
∴S =S = ，
△BOG △AOF 2
∵S =3，
△EOF
∴阴影部分的面积S+ 2S =9
△OEF
∴阴影部分面积为3，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
题型02 一点两垂线
【例2】（2023·江苏徐州·统考三模）如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正
k
半轴上，成C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y= 的图象上，OA=1，OC=6，
x
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则正方形ADEF的边长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
6
【分析】先确定B点坐标为(1，6)，可得反比例函数解析式为y= ，设AD=t，则OD=1+t，所以E点
x
坐标为(1+t，t)，根据反比例函数图象上点的坐标特征得(1+t)⋅t=6，解方程求出t的值即可．
【详解】解：∵OA=1，OC=6，
∴B点坐标为(1，6)，
∴k=1×6=6，
6
∴反比例函数解析式为y= ，
x
设AD=t，则OD=1+t，
∴E点坐标为(1+t，t)，
∴(1+t)⋅t=6，
整理得t2+t−6=0，
解得：t =−3（舍去），t =2，
1 2
∴正方形ADEF的边长为2．
故选：B．
k
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象是双曲
x
线，图象上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
k
【变式2-1】（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在反比例函数y= (x>0)的图象上有点P ,P ,P ，它
x 1 2 3
们的纵坐标依次为6，2，1，分别过这些点作x轴与y轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为S ,S ．若
1 2
S =3，则S 的值为（ ）
2 1
【48淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
(k ) (k )
【分析】先根据点P ,P ,P 在反比例函数上得到P ,6 ，P ,2 ，P (k,1)，再根据
1 2 3 1 6 2 2 3
( k) k
S = k− ×(2−1)=3，求出k值，再根据S = ×(6−2)求解即可．
2 2 1 6
k
【详解】解：解：把y=1代入y= ，得y=k，
x
∴P (k,1)，
3
(k ) (k )
同理可得P ,6 ，P ,2 ，
1 6 2 2
( k)
∵S = k− ×(2−1)=3，
2 2
∴k=6
k 2k
∴S = ×(6−2)= =4，
1 6 3
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，根据
( k)
S = k− ×(2−1)=3，求出k值是解题的关键．
2 2
题型03 两点一垂线
k
【例3】（2023上·山东德州·九年级统考期末）如图，直线y=mx与双曲线y= 交于A、B两点．过点A
x
作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM．若S =2，则k的值是（ ）
△ABM
【49淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．2 B．m−2 C．m D．4
【答案】A
【分析】设A坐标为(m,n)，根据直线与双曲线的对称性得到点B坐标为(−m,−n)，即可得到
S =|mn|=2，根据点A在点第一象限，即可得到k=mn=2．
△ABM
【详解】解：设点A坐标为(m,n)，由直线与双曲线的对称性得点A和点B关于原点对称，
∴点B坐标为(−m,−n)，
1 1
∴S =S +S = |mn|+ |mn|=|mn|=2，
△ABM △AOM △BOM 2 2
∵点A在点第一象限，
∴k=mn=2．
故选：A
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义和中心对称性，熟知反比例函数的中心对称性根据点A坐
标确定点B的坐标是解题关键．
4
【变式3-1】（2023·广西贵港·统考一模）如图，点A(m，1)和B(−2，n)都在反比例函数y= 的图象上，
x
过点A分别向x轴y轴作垂线，垂足分别是M、N，连接OA、OB、AB，若四边形OMAN的面积记作S ，
1
△OBA面积记作S ，则（ ）
2
A．S :S =2:1 B．S :S =1:2
1 2 1 2
C．S :S =4:3 D．S :S =4:5
1 2 1 2
【答案】C
【分析】根据图象上点的坐标特征求出A(4，1)，B(−2，−2)，根据反比例函数比例系数k的几何意义
求得S =4，然后根据S =S −S −S ❑ 求得S =3，即可求解．
1 2 △ABK △AON 梯形 ONKB 2
4
【详解】解：∵点A(m，1)和B(−2，n)都在反比例函数y= 的图象上．
x
【50淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴m=4，n=−2，
∴点A(4，1)，B(−2，−2)，
∵过点A分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为点M，N．
∴S =4，
1
如图，过点B作BK⊥ AN交AN的延长线于点K，
∴AN=4，ON=1，AK=6，KB=3，
1 1 1
∴S =S −S −S ❑ = ×6×3− ×4×1− ×(1+3)×2=3，
2 △ABK △AON 梯形 ONKB 2 2 2
∴S :S =4:3．
1 2
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数比例系数k的几何意义，分别求得S 、
1
S 的值是解题的关键．
2
【变式3-2】（2022下·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx（m≠0，m为常数）
k
与双曲线y= （k≠0，k为常数）交于点A，B，若A(−1,a),B(b,−3).，过点A作AM⊥x轴，垂足
x
为M，连接BM,，则ΔABM的面积是（ ）
A．2 B．m−1 C．3 D．6
【答案】C
【分析】根据反比例的图象关于原点中心对称得到点A与点B关于原点中心对称，则S ❑ =S ❑ ，
△ OAM △ OBM
k
A(−1,3),(1,−3)，代入解析式求得k=−3，然后根据反比例函数y= (k≠0)系数k的几何意义即可得
x
【51淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1 3
到S = |k|= ，进一步得出S =2S =3．
△AOM 2 2 △ABM △AOM
k
【详解】解：∵直线y=mx（m≠0，m为常数）与双曲线y= （k≠0，k为常数）交于点A，B，
x
∴点A与点B关于原点中心对称，
∴S ❑ =S ❑ ，
△ OAM △ OBM
∵A(−1,a),B(b,−3)，
∴a=3,b=1，
∴A(−1,3),(1,−3)，
∴k=−1×3=−3，
∵AM⊥x轴，垂足为M，
1 3
∴S = |k|= ，
△AOM 2 2
∵S ❑ =S ❑ ，
△ OAM △ OBM
∴S =2S =3，
△ABM △AOM
故选：C．
k
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，反比例函数y= (k≠0)系数k的几何意义：从反比例函数
x
k
y= (k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
x
k
【变式3-3】（2019下·河南南阳·八年级统考期末）如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y= 的
x
图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC.若△ABC的面积为2.
（1）求k的值；
k
（2）直接写出：①点A坐标____________；点B坐标_____________；②当 ≤2x时，x的取值范围
x
__________________；
（3）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）k=2；（2）①(1,2)，(−1,−2)；②x≥1或0>x≥−1；（3）存在，D坐标为(−5,0)或
(√5,0)，(−√5,0)或(5,0).
【52淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段
k
AB的中点，故 BOC的面积等于 AOC的面积，都等于1，然后由反比例函数y= 的比例系数k的几何
x
△ 1 △
意义，可知 AOC的面积等于 |k|，从而求出k的值；
2
（2）联立两△函数即可求出坐标，根据图象可写出范围.
（3）设点D坐标为(m,0)连结AD、BD，再根据勾股定理解答即可.
【详解】解：（1）由题意知：点A与点B关于原点对称，点O为AB中点，
1
所以S =S = S
ΔBOC ΔAOC 2 ΔABC
又 S =2
△ABC
所以S =1
△AOC
1
所以 |k|=1
2
k=2
（2）已知两函数交于A，B两点，
故¿
①点A坐标(1,2)，点B坐标(−1,−2)
②根据图象可得即是反比例函数在正比例函数下方的范围：x≥1或0>x≥−1.
（3）设点D坐标为(m,0)连结AD、BD；
∴AD2=22+(m−1) 2
或BD2=(−2) 2+(m+1) 2
或AB2=(2+2) 2+(1+1) 2
当AD2=AB2+BD2或AB2=AD2+BD2或BD2=AB2+AD2时，
三角形ABD为直角三角形，解得m=−5或m=±√5或m=5
所以点D坐标为(−5,0)或(√5,0)，(−√5,0)或(5,0)
【点睛】本题主要考查函数图象的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数
解析式是解题的关键．
【53淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型04 两点两垂线
【例4】（2023·吉林长春·校考一模）如图，在▱ABCD中，AB∥x轴，点B、D在反比例函数
k
y= (k≠0)的图象上，若▱ABCD的面积是20，则k的值是（ ）
x
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】A
( k )
【分析】先根据平行四边形的性质得到AB=CD，CD∥x轴，设B m， ，则
m
k ( k ) 2k
OA= ，CD=AB=m，即可得到D −m，− ，即可求出AC= ，再根据平行四边形面积公式进
m m m
行求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AB∥x轴，
∴CD∥x轴，
( k )
设B m， ，
m
k
∴OA= ，CD=AB=m，
m
( k )
∴D −m，− ，
m
k
∴OC= ，
m
2k
∴AC= ，
m
∵▱ABCD的面积是20，
∴AC⋅AB=20，
2k
∴ ⋅m=20，
m
【54淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴k=10，
故选A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质，正确用含k的式子表示出
AC，AB是解题的关键．
m
【变式4-1】（2021·河南许昌·统考一模）如图，点A是第一象限内双曲线y＝ （m＞0）上一点，过点A
x
n n
作AB∥x轴，交双曲线y＝ （n＜0）于点B，作AC∥y轴，交双曲线y＝ （n＜0）于点C，连接BC．若
x x
9
△ABC的面积为 ，则m，n的值不可能是（ ）
2
1 10 1 5
A．m＝ ，n＝﹣ B．m＝ ，n＝﹣
9 9 4 4
C．m＝1，n＝﹣2 D．m＝4，n＝﹣2
【答案】A
m
【分析】设A的坐标为（x， ），分别表示出点B和点C的坐标，再根据三角形的面积公式得出
x
(m−n) 2=9m，再将各个选项中的值代入比较，据此进行判断即可．
m
【详解】解：∵点A是第一象限内双曲线y＝ （m＞0）上一点，
x
m
∴设A的坐标为（x， ），
x
n
∵AB∥x轴，AC∥y轴，且B、C两点在y＝ （n＜0）上，
x
nx m n
∴B的坐标为（ ， ），C的坐标为（x， ），
m x x
nx m n
∴AB=x− ，AC= - ，
m x x
9
∵△ABC的面积为 ，
2
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1 9
∴ AC×BA= ，
2 2
∴ ( x−
nx
)
(m
-
n)
=9，
m x x
∴(m−n) 2=9m，
∵将m和n的值代入，只有选项A中不符合．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，三角形形的面积等知识及综合应用知识、解决问题的能
力．
m
【变式4-2】（2022·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第六十八中学校考模拟预测）如图，A，B是函数y= （m
x
＞0）的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（ ）
A．S=m B．S=2m C．m2m
【答案】B
【分析】根据A、B两点在曲线上可设A、B两点的坐标，再根据三角形面积公式列出方程，即可得到答案．
【详解】设点A（x，y），则点B（-x，-y），
∴xy=m，
∴AC=2y，BC=2x，
1 1
∴S = AC·BC= ·2y·2x=2xy=2m，
△ABC 2 2
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是根
据反比例函数关系式得到所求三角形的两直角边的积．
题型05 两点和原点
k
【例5】（2023·辽宁营口·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= (x>0)的图象与边长
x
是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，△OMN的面积为10．则k的值是( )
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A．12 B．10 C．8 D．24
【答案】D
【分析】由正方形OABC的边长是6，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为6，求得
( k) (k )
M 6， ，N ，6 ，根据三角形的面积列方程得到M、N的坐标，然后利用待定系数法确定函数解
6 6
析式．
【详解】解：∵正方形OABC的边长是6，
∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，
( k) (k )
∴M 6， ，N ，6 ，
6 6
k k
∴BN=6− ，BM=6− ，
6 6
∵△OMN的面积为10，
1 k 1 k 1 ( k) 2
∴6×6− ×6× − ×6× − × 6− =10，
2 6 2 6 2 6
∴k=24（负值已舍），
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，正方形的性质，由三角形的面积公式列出方程并解
答是解题的关键．
【变式5-1】（2023·福建宁德·统考一模）如图，已知直线l与x，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数
k
y= (x<0)的图象交于C，D两点，连接OC，OD． 若△AOC和△COD的面积都为3，则k的值是
x
（ ）
A．−2 B．−3 C．−4 D．−6
【57淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】C
【分析】先证S =S ，再根据△AOC和△COD的面积都为3，得到S =S =S ，得到
△AOC △BOD △AOC △BOD △COD
|k|
AC=CD=BD，作CE⊥ y轴于H，再证得△ACE∼△ABO，根据相似三角形的性质得到 =2，即可
2
解得．
k
【详解】∵直线l与反比例函数y= (x<0)相交并与x，y轴分别交于A，B两点，
x
∴AC=BD，
作OH⊥ AB，
1 1
∵AC=BD，△BOD= BD⋅OH，△AOC= AC⋅OH，
2 2
∴S =S =3，
△AOC △BOD
∵△AOC和△COD的面积都为3，
∴S =S =S =3，
△AOC △BOD △COD
∴AC=CD=BD，
作CE⊥ y轴于H，
∵CE∥BO，∠ACE=∠ABO，
∴△ACE∼△ABO，
AE AC 1
∴ = = ，
AO AB 3
AE 1
∴ = ，
OE 2
S 1
∴ △ACE = ，
S 2
△OCE
∴S =2，
△OCE
|k|
∴ =2，
2
∴k=4（舍去）k=−4．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质是解题的关键．
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k
【变式5-2】（2023·广东东莞·校考一模）如图，点A，C为函数y= (x<0)图象上的两点，过A，C分别
x
作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好
3
为OC的中点．当△AEC的面积为 时，k的值为（ ）
4
A．−1 B．−2 C．−3 D．−4
【答案】B
3 1
【分析】先根据中点定义得出S =S = ，在根据k的几何意义得S =S = |k|，进而得出
△ACE △AEO 4 △ABO △CDO 2
3
S =S = ，然后根据相似三角形的性质求出S ，即可得出答案．
四边形BECD △AEO 4 △OCD
【详解】∵点E是CO的中点，
3
∴S =S = ．
△ACE △AEO 4
∵点A，C在反比函数图象上，
1
∴S =S = |k|，
△ABO △CDO 2
3
∴S =S = ．
四边形BECD △AEO 4
OE 1
∵ = ，BE∥CD，
OC 2
∴△OBE∼△ODC，
S 1
∴ △OBE = ，
S 4
△OCD
∴S =1，
△OCD
则|k|=2．
∵反比例函数位于第二象限，
∴k=−2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，相似三角形的性质和判定，求三角形的面积等，确
定各三角形面积之间的关系是解题的关键．
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【变式5-3】（2021·河北唐山·统考一模）下列图形中，阴影部分面积与另外三个不同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，得M(1,3)，N(3,1)，根据直角坐标系的性质，对各个选项中阴影部分面积分别计算，
即可得到答案．
【详解】根据题意，得：M(1,3)，N(3,1)
1 1
选项A中，阴影部分面积= ×1×3+ ×1×3=3
2 2
1 1
选项B中，阴影部分面积= ×1×3+ ×1×3=3
2 2
1 1 1
选项C中，阴影部分面积=3×3− ×1×3− ×1×3− ×(3−1)×(3−1)=4
2 2 2
1
选项D中，阴影部分面积= ×1×(3+3)=3
2
故选：C．
【点睛】本题考查了直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握坐标的性质，从而完成求解．
【变式5-4】（2023·吉林长春·校考一模）如图，平面直角坐标系中，直线CD分别与x轴、y轴分别交于点
k
D、C，点A、B为线段CD的三等分点，且A、B在反比例函数y= (x>0,k>0)的图象上，若△AOD的
x
面积为12，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
( k ) k
【分析】作AM⊥x轴于M，设A m, ，则OM=m,AM= ，由题意可知OD=3m,然后利用三角形
m m
1 1 k
面积公式得到 OD⋅AM= ×3m× =12，求得k=8．
2 2 m
【详解】作AM⊥x轴于M，则AM∥OA，
【60淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
( k ) k
设A m, ，则OM=m,AM=
m m
∵AM∥OA，
∴△DAM∼△DCO，
∵点A、B为线段CD的三等分点，
DM DA 2
∴ = = ，
OD DC 3
∴OD=3OM=3m
∵S =12，
△AOD
1 1 k
∴ OD⋅AM= ×3m× =12，
2 2 m
∴k=8，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，三角形面积，表示出A
的坐标以及OD的长是解题的关键．
【变式5-5】（2023·浙江温州·统考一模）如图，点A，B在x轴的正半轴上，以AB为边向上作矩形ABCD，
k
过点D的反比例函数y= 的图象经过BC的中点E．若△CDE的面积为1，则k的值为（ ）
x
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
( k) ( 2k)
【分析】根据题意设点E坐标为 a, ，则C a, ，根据△CDE的面积为1，，得到
a a
1 1 a k
CD⋅CE= ⋅ ⋅ =1，解得k=4．
2 2 2 a
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【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，E为BC的中点，
∴AD=BC，∠C=90°，
( k) ( 2k) k
设E a, ，则C a, ，CE= y −y = ，
a a C E a
2k k a
∴y = y = ，则x = = ，
C D a D y 2
D
a
∴CD=x −x = ，
C D 2
1 1 a k
∵△CDE的面积为1，即： CD⋅CE= ⋅ ⋅ =1，
2 2 2 a
∴k=4，
故选：D
( k)
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，根据题意设点E坐标为 a, ，然
a
后表示其他点坐标及线段长度是解题的关键．
k
【变式5-6】（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测）如图，矩形OABC，双曲线y= (x>0)分别
x
27
交AB、BC于F、E两点，已知OA=4，OC=3，且S = ，则k的值为（ ）
△BEF 8
9
A．2 B． C．3 D．6
4
【答案】C
(4 )
【分析】设F点的坐标为(4,m)，可求得点E的坐标为 m,3 ，根据三角形面积公式得到
3
1 ( 4 ) 27
S = (3−m) 4− m = ，解得m的值，即可求得F点的坐标，据此即可求得．
△BEF 2 3 8
【详解】解：∵四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，
∴设F点坐标为(4,m)，点E的纵坐标为3，
4
∴4m=3x，解得x= m，
3
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(4 )
∴E点坐标为 m,3 ，
3
1 ( 4 ) 27
则S = (3−m) 4− m = ，
△BEF 2 3 8
81
整理得：(m−3) 2= ，
16
3 21
解得m= 或m= (不合题意，舍去)，
4 4
( 3)
∴F 4, ，
4
k
∵双曲线y= (x>0)分别交AB、BC于F、E两点，
x
3
∴k=4× =3，
4
故选：C．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式和矩形的性质，利用面积求得点的坐标是解题的关键．
题型06 两曲一平行
2
【例6】（2023·河南周口·统考二模）如图，过反比例函数y= (x>0)的图象上一点A作AB⊥ y轴交反
x
k
比例函数y= (x<0)的图象于点B，连接OA，OB，若S =4，则k的值为（ ）
x △OAB
A．8 B．6 C．−8 D．−6
【答案】D
【分析】利用反比例函数系数k的几何意义，先求出S ，再求出S ，进而求出k的值即可．
△AOC △BOC
【详解】解：记AB与x轴的交点为C，
2
∵点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，且AB⊥ y轴，
x
1
∴S = ×|2|=1，
△AOC 2
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∵S =4，
△AOB
∴S =4−1=3，
△BOC
1
∴ |k|=3，
2
根据图象可知：k<0，
∴k=−6，
故选：D．
【点睛】此题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
6
【变式6-1】（2023·青海西宁·统考二模）如图，点A在反比例函数y= 的图象上，点B在反比例函数
x
k
y= 的图象上，点C,D在x轴上．若四边形ABCD是正方形，且面积为9，则k的值为（ ）
x
A．11 B．15 C．−11 D．−15
【答案】B
【分析】根据正方形性质求出A、B纵坐标，利用图形即可求出B横坐标，最后将点B代入反比例函数中即
可求出答案.
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，且面积为9，
∴AB=AD=BC=3，
∴A的纵坐标为3，B的纵坐标为3.
6
∵点A在反比例函数y= 的图象上，
x
6
∴A的横坐标为：x = =2，
A 3
∴B的横坐标为：2+3=5.
∴B(5,3).
k
∵点B在反比例函数y= 的图象上，
x
∴k=3×5=15.
故选：B.
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键.
【变式6-2】（2023·辽宁铁岭·校考二模）如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y
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3 k
轴上，点B在反比例函数y= (x>0)的图象上，点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，若平行四边形
x x
OABC的面积是7，则k=（ ）
A．−4 B．−5 C．−6 D．−7
【答案】A
【分析】连接OB，根据反比例函数系数k的几何意义得到|k|+3=7，进而即可求得k的值．
【详解】解：连接OB，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴AB⊥x轴，
1 1 3
∴S = |k|，S = ×3= ，
△AOD 2 △BOD 2 2
1 3
∴S =S +S = |k|+ ，
△AOB △AOD △BOD 2 2
∴S =2S =|k|+3，
平行四边形OABC △AOB
∵平行四边形OABC的面积是7，
∴|k|+3=7，即|k|=4，
∵在第四象限，
∴k=−4，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例系数k的几何意义、平行四边形的面积，熟知在反比例函数的图象上任意一点
1
向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|是解答此题的关键．
2
k
【变式6-3】（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，设点P作反比例函数y= 1 (x>0)的图象上，
x
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k
PC⊥x轴于点C，交反比例函数y= 2 (x>0)的图象于点A，PD⊥ y轴于点D，交反比例函数
x
k
y= 2 (x>0)的图象于点B，则四边形PAOB的面积为（ ）
x
A．k +k B．k −k C．k k D．k −k
1 2 1 2 1 2 2 1
【答案】B
1
【分析】根据题意得k >k >0，S =k ，S =S = k ，即可得四边形PAOB的面积．
1 2 矩形OCPD 1 △AOC △DBO 2 2
k k
【详解】解：∵点P在反比例函数y= 1 (x>0)的图象上，PC⊥x轴于点C，交反比例函数y= 2 (x>0)
x x
k
的图象于点A，PD⊥ y轴于点D，交反比例函数y= 2 (x>0)的图象于点B，
x
∴k >k >0，
1 2
S =k ，
矩形OCPD 1
1
S =S = k ，
△AOC △DBO 2 2
1 1
∴四边形PAOB的面积为：S −S −S =k − k − k =k −k ，
矩形OCPD △AOC △DBO 1 2 2 2 2 1 2
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数中k的几何意
义．
1
【变式6-4】（2021·贵州铜仁·校考一模）如图，点A是反比例函数y＝ （x＞0）图象上一点，过点A作
1 x
k
x轴的平行线，交反比例函数y = （x＞0）的图象于点B，连接OA、OB，若△OAB的面积为1，则k的
2 x
值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
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【答案】A
【分析】延长BA，与y轴交于点C，由AB与x轴平行，得到BC垂直于y轴，利用反比例函数k的几何意
义表示出三角形AOC与三角形BOC面积，由三角形BOC面积减去三角形AOC面积表示出三角形AOB面
积，将已知三角形AOB面积代入求出k的值即可．
【详解】解：延长BA，与y轴交于点C，
∵AB//x轴，
∴BC⊥y轴，
1 k
∵A是反比例函数y＝ （x＞0）图象上一点，B为反比例函数y＝ （x＞0）的图象上的点，
1 x 2 x
1 k
∴S AOC＝ ，S BOC＝ ，
2 2
△ △
k 1
∵S AOB＝1，即 − =1，
2 2
△
解得：k＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．
k
【变式6-5】（2022·山东日照·统考中考真题）如图，矩形OABC与反比例函数y = 1（k 是非零常数，
1 x 1
k
x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数y = 2（k 是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，
2 x 2
ON．若四边形OMBN的面积为3，则k-k=（ ）
1 2
3 3
A．3 B．-3 C． D．−
2 2
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【答案】B
【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
k
【详解】解：∵点M、N均是反比例函数y = 1（k 是非零常数，x>0）的图象上，
1 x 1
1
∴S =S = k ，
△OAM △OCN 2 1
k
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y = 2（k 是非零常数，x>0）的图象上，
2 x 2
∴S OABC=k，
矩形 2
∴S =S OABC-S OAM-S OCN=3，
四边形OMBN 矩形
∴k-k=3， △ △
2 1
∴k-k=-3，
1 2
故选：B．
k
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y= 图象中任取一点，过
x
这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
3
【变式6-6】（2023·安徽·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在函数y=− (x<0)和
x
6
y= (x>0)的图象上，点B，C在x轴上，则点D的坐标为（ ）
x
A．(1,3) B．(2,3) C．(2,2) D．(3,2)
【答案】B
【分析】设AD与y轴交于点P，由反比例函数中k的几何意义可知
6
S =S +S =3+6=9从而可求出y =3．再将y =3代入y= (x>0)，可求得 x=2，
正方形ABCD 矩形ABOP 矩形DCOP D D x
即D(2,3)．
【详解】解：如图，设AD与y轴交于点P，
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3 6
∵正方形ABCD的顶点A，D分别在函数y=− (x<0)和y= (x>0)的图象上，点B，C在x轴上，
x x
∴S =|−3|=3，S =|6|=6，
矩形ABOP 矩形DCOP
∴S =S +S =3+6=9．
正方形ABCD 矩形ABOP 矩形DCOP
∴正方形的边长为3，即CD=3，
∴y =3．
D
6
将y =3代入y= ，得
D x
6
3= ，
x
解得：x=2，
∴D(2,3)．
故选：B．
k
【点睛】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义．掌握过反比例函数y= (k≠0)图象上任意一点作x
x
轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为|k|是解题关键．
3
【变式6-7】（2023·山西临汾·统考二模）如图，点A在反比例函数y= (x<0)的图象上，点B在反比例
x
k
函数y= (x>0)的图象上，连接AB，AB与y轴交于点C，且AB∥x轴，BC=2AC，D是x正半轴上一
x
点，连接AD，BD，则△ABD的面积为（ ）
7 9 5
A．3 B． C． D．
2 2 2
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【答案】C
【分析】过A作AE⊥x轴交x轴于E，过B作BF⊥x轴交x轴于F，可求S =3，从而可求
矩形ACOE
S =6，可得AB⋅AE=9，即可求解．
矩形OCBF
【详解】解：如图，过A作AE⊥x轴交x轴于E，过B作BF⊥x轴交x轴于F，
∴S =3，
矩形ACOE
∵BC=2AC，
∴S =2S =6，
矩形OCBF 矩形ACOE
∴AB⋅AE=9，
1 9
∴S = AB⋅AE= ．
△ABD 2 2
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，理解k的几何意义是解题的关键．
5
【变式6-8】（2023·河南驻马店·统考三模）如图，点B在反比例函数y=− (x<0)的图象上，点C在反
x
3
比例函数y= (x>0)的图象上，BC∥x轴，且A为x轴上任一点．则△ABC的面积为（ ）
x
A．3.5 B．4 C．5.5 D．6
【答案】B
【分析】连接OB、OC，根据k的几何意义，结合平行线的性质求解即可.
【详解】解：连接OB、OC，设BC与y轴交于点D，
∵BC∥x轴，
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1 1
∴S = ×|−5|=2.5,S = ×|3|=1.5，
△OBD 2 △OCD 2
∴S =S =S +S =2.5+1.5=4，
△ABC △OBC △OBD △OCD
故选：B.
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，理解k的几何意义并正确运用是解题的关键.
6
【变式6-9】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P是函数y= (x>0)图
x
2
象上的一个动点，过点P作PQ⊥ y轴交函数y=− (x<0)的图象于点Q，点M、N在x轴上(M在N的左
x
侧，且MN=PQ，连接QM、PN，这关于四边形PQMN的面积的结论正确的是（ ）
A．8 B．12
C．24 D．四边形PQMN的面积无法确定
【答案】A
【分析】先证得四边形PQMN是平行四边形，然后根据反比例函数比例系数k的几何意义得到
1
S =S +S =4，即可利用S = S 即可求解．
△POQ △POD △QOD △POQ 2 平 行四PQM边N 形
【详解】解：连接OQ、OP，
6 2
∵点P是函数y= (x>0)图象上的一个动点，过点P作PQ⊥ y轴于D，交函数y=− (x<0)的图象于点
x x
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Q，
∴PQ∥MN，
∵MN=PQ，
∴四边形PQMN是平行四边形，
1
∴S = S ，
△POQ 2 平 行四PQM边N 形
∴PQ∥x轴，
1 1
∴S = ×6=3，S = ×|−2|=1，
△POD 2 △QOD 2
∴S =S +S =4，
△POQ △POD △QOD
∴四边形PQMN的面积为8，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，
1
这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|，且保持不变．
2
k
【变式6-10】（2021·江苏扬州·统考中考真题）如图，点P是函数y= 1 (k >0,x>0)的图象上一点，过点
x 1
k
P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数y= 2 (k >0,x>0)的图象于点C、D，连接OC、
x 2
k −k (k −k ) 2
OD、CD、AB，其中k >k ，下列结论：①CD//AB；②S = 1 2；③S = 1 2 ，其中
1 2 △OCD 2 △DCP 2k
1
正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①
【答案】B
k PD PC
【分析】设P（m， 1），分别求出A，B，C，D的坐标，得到PD，PC，PB，PA的长，判断 和
m PB PA
的关系，可判断①；利用三角形面积公式计算，可得△PDC的面积，可判断③；再利用
S =S −S −S −S 计算△OCD的面积，可判断②．
△OCD OAPB △OBD △OCA △DPC
k k
【详解】解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在y= 1上，点C，D在y= 2上，
x x
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k
设P（m， 1），
m
k k k k
则C（m， 2），A（m，0），B（0， 1），令 1= 2，
m m m x
k m k m k
则x= 2 ，即D（ 2 ， 1），
k k m
1 1
k k k −k k m m(k −k )
∴PC= 1− 2= 1 2，PD=m− 2 = 1 2 ，
m m m k k
1 1
k −k
m(k −k ) 1 2
1 2 PC m k −k PD PC
∵PD k k −k ， = = 1 2 ，即 = ，
= 1 = 1 2 PA k k PB PA
PB m k 1 1
1 m
又∠DPC=∠BPA，
∴△PDC∽△PBA，
∴∠PDC=∠PBC，
∴CD∥AB，故①正确；
1 1 m(k −k ) k −k (k −k ) 2
△PDC的面积= ×PD×PC= × 1 2 × 1 2 = 1 2 ，故③正确；
2 2 k m 2k
1 1
S =S −S −S −S
△OCD OAPB △OBD △OCA △DPC
1 1 (k −k ) 2
=k − k − k − 1 2
1 2 2 2 2 2k
1
(k −k ) 2
=k −k − 1 2
1 2 2k
1
2k (k −k ) (k −k ) 2
= 1 1 2 − 1 2
2k 2k
1 1
2k 2−2k k −(k −k ) 2
= 1 1 2 1 2
2k
1
k 2−k 2
= 1 2 ，故②错误；
2k
1
故选B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键
是表示出各点坐标，得到相应线段的长度．
1
【变式6-11】（2021·全国·九年级专题练习）如图，点C在反比例函数y= 的图象上，CA∥y轴，交反比
x
3 3
例函数y= 的图象于点A，CB∥x轴，交反比例函数y= 的图象于点B，连结AB、OA和OB，已知CA＝
x x
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2，则△ABO的面积为 ．
【答案】4
3 1
【分析】设A（a， ），则C（a， ），根据题意求得a＝1，从而求得A（1，3），C（1，1），进一步
a a
求得B（3，1），然后作BE⊥x轴于E，延长AC交x轴于D，根据S ABO＝S AOD＋S
梯形
ABED﹣S BOE
和反比例函数系数k的几何意义得出S ABO＝S ABED，即可求得△结果． △ △
梯形
3 △ 1
【详解】解：设A（a， ），则C（a， ），
a a
∵CA＝2，
3 1
∴ − ＝2，
a a
解得a＝1，
∴A（1，3），C（1，1），
∴B（3，1），
作BE⊥x轴于E，延长AC交x轴于D，
3
∵S ABO＝S AOD＋S ABED﹣S BOE，S AOD＝S BOE= ，
梯形 2
△ △ △ △ △
1
∴S ABO＝S ABED= （1＋3）（3﹣1）＝4；
梯形 2
△
故答案为：4.
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义和三角形的面积，得出S ABO=S ABED是解题的关键．
梯形
△ 4
【变式6-12】（2021·湖南湘潭·统考中考真题）如图，点A(a,2)在反比例函数y= 的图象上，AB//x
x
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k
轴，且交y轴于点C，交反比例函数y= 于点B，已知AC=2BC．
x
（1）求直线OA的解析式；
k
（2）求反比例函数y= 的解析式；
x
k
（3）点D为反比例函数y= 上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的面积．
x
2
【答案】（1）y=x；（2）y=− ；（3）3.
x
【分析】（1）先求解A的坐标，再把A的坐标代入正比例函数y=mx，解方程即可得到答案；
（2）利用AC=2BC, 先求解B的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可；
2
（3）设D(n,− ), 而A(2,2),E为AD的中点，利用中点坐标公式求解D,E的坐标，再利用
n
1
S =S +S = OE(|x |+|x |)，计算即可得到答案.
△OAD △ODE △OAE 2 A D
4
【详解】解：（1）∵ 点A(a,2)在反比例函数y= 的图象上，
x
∴2a=4,a=2, 则A(2,2),
∴AC=2,
设直线AO为：y=mx,
∴2m=2, 则m=1,
所以直线AO为：y=x,
（2）∵ AB//x轴， AC=2BC=2．
∴BC=1,
∴B(−1,2),
∴k=xy=−1×2=−2,
2
所以反比例函数为：y=− .
x
2
（3）设D(n,− ), 而A(2,2),E为AD的中点，
n
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1
∴x = (2+n)=0,
E 2
∴n=−2,
3
∴D(−2,1),E(0, ),
2
1
∴S =S +S = OE(|x |+|x |)
△OAD △ODE △OAE 2 A D
1 3
= × ×(2+2)=3.
2 2
【点睛】本题考查的利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，图形与坐标，中点坐标公式，
熟练应用以上知识解题是关键.
考点四 反比例函数与一次函数综合
1.涉及自变量取值范围
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对 y1>y2时
自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如
x>x x y2时，x的取值范围为 A或 B ；同理，当y10时，y=kx,y= 图象在第一，三象限；k<0时，
x
k
y=kx,y= 图象在第二，四象限，判断求解．
x
【详解】解：∵k <00时，y随x的增
x
大而增大，则一次函数y=x+b的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据反比例函数的增减性可知b<0，根据一次函数图象与系数的关系可得一次函数y=x+b的图
象经过第一，三，四象限，不经过第二象限，由此即可得到答案．
b
【详解】解：∵反比例函数y= （b为常数），当x>0时，y随x的增大而增大，
x
∴b<0，
∴一次函数y=x+b的图象经过第一，三，四象限，不经过第二象限，
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数图象与其系数之间的关系，反比例函数与其系数之间的关系，解题的关键是
k
熟练掌握反比例函数y= (k≠0)的性质：当k>0时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而
x
减小；当k<0时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大； 对于一次函数y=kx+b，当
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k>0，b>0时，一次函数y=kx+b经过第一、二、三象限，当k>0，b<0时，一次函数y=kx+b经过第
一、三、四象限， 当k<0，b>0时，一次函数y=kx+b经过第一、二、四象限，当k<0，b<0时，一
次函数y=kx+b经过第二、三、四象限是解题的关键．
【变式1-2】（2023·湖南邵阳·统考二模）若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数
c
y=ax−b与反比例函数y= 在同一坐标系内的大致图象为（ ）
x
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与
反比例函数图象的大致图象．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴b>0，
∴−b<0
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c<0，
c
∴直线y=ax−b经过第一，三，四象限，反比例函数y= 图象分布在第二、四象限，
x
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．
k−b
【变式1-3】（2023·广东广州·统考二模）已知反比例函数y= (k−b≠0)的函数值在每一象限内y随x
x
的增大而减小，且k=|b|，则一次函数y=kx＋b的图象所经过的象限是（ ）
A．一、二、四 B．一、二、三 C．一、三、四 D．二、三、四
【答案】C
k−b
【分析】根据反比例函数y= (k−b≠0)的函数值在每一象限内y随x的增大而减小得到k−b>0，结
x
合k=|b|得到k>0，b<0，结合一次函数的性质即可得到答案；
k−b
【详解】解：∵反比例函数y= (k−b≠0)的函数值在每一象限内y随x的增大而减小，
x
∴k−b>0，
∵k=|b|，
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∴k>0，b<0，
∴一次函数y=kx＋b的图象经过一、三、四象限，
故选C；
【点睛】本题考查反比例函数的性质与一次函数的性质，解题的关键是根据反比例函数的性质得到k>0，
b<0．
题型02 一次函数与反比例函数交点问题
1
【例2】（2023·浙江·模拟预测）若函数y=kx(k>0)与函数y= 的图象相交于A,C两点，AB垂直x轴于
x
B，则△ABC的面积为（ ）
A．1 B．2 C．k D．k2
【答案】A
【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积
1
S是个定值，S =2S = |k|.
△ABC △AOB 2
【详解】解：如图：
设点A的坐标为(x,y)，则xy=1，
1 1
故△ABO的面积为 xy= ，
2 2
∵△ABO与△CBO同底等高，
∴S =2S =1，
△ABC △ABO
故选：A．
k
【点睛】主要考查了反比例函数y= 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩
x
形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何
意义，图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即
1
S= |k|．
2
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3
【变式2-1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，函数y= 与y=x+1的图象交于点
x
(m,n)，则代数式(m−n) 2 ⋅
(1
−
1)
的值为( )
n m
1 1
A．3 B．−3 C． D．−
3 3
【答案】D
3
【分析】把点 (m,n) 分别代入 y= 与 y=x+1 中， 得 mn=3,n=m+1， 进而求解即可．
x
3
【详解】解：∵函数y= 与y=x+1的图象交于点(m,n)，
x
∴mn=3，n=m+1，
∴m−n=−1，
1 1 m−n −1 1
− = = =− ，
n m mn 3 3
∴(m−n) 2 ⋅
(1
−
1)
n m
=(−1) 2× ( − 1)
3
1
=− ．
3
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标适合解析式是解题的
关键．
6
【变式2-2】（2022·福建泉州·统考模拟预测）如图，函数y=− (x<0)和y=kx−1(k≠0)的图象相交于
x
6
点A(m，3)，则关于x的不等式1− >kx的解集为（ ）
x
A．x<−2 B．x>3 C．−2−2
【答案】C
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【分析】确定交点A的坐标，再根据函数图象进行判断即可．
6
【详解】解：∵函数y=− (x<0)过点A(m，3)，
x
∴m=−2，
∴点A(−2，3)，
又∵y=kx−1的图象过点A(−2，3)，
6 6
由图象可知，关于x的不等式1− >kx的解集，即− >kx−1的解集为−2y ，则x
2 x 1 2
的取值范围是（ ）
A．x<−4 B．−4−1 D．x<−1
【答案】B
【分析】找到直线在双曲线上方时，自变量的取值范围即可．
【详解】解：由图象可知，y >y 时，x的取值范围是−40)的图象交于点A(1,2),B(m,−1)．则关于x的不等式ax+b> 的解集是（ ）
x x
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A．x<−2或01 D．−12
【答案】C
k k 2 2 2
【分析】将A(1,2)代入y= ，得，2= ，解得k=2，则y= ，将B(m,−1)代入y= 得，−1= ，解
x 1 x x m
k
得m=−2，即B(−2,−1)，根据不等式ax+b> 的解集是一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的x
x
的取值范围，进行求解即可．
k k
【详解】解：将A(1,2)代入y= ，得，2= ，解得k=2，
x 1
2
∴y= ，
x
2 2
将B(m,−1)代入y= 得，−1= ，解得m=−2，
x m
∴B(−2,−1)，
k
由图象知，不等式ax+b> 的解集是−21，
x
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式，图象法解不等式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
m
【变式2-5】（2023·广东广州·校考一模）如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于
x
A、B两点，点A的坐标为(2，3)，点B的坐标为(n，1)．
(1)求反比例函数与一次函数表达式；
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m
(2)结合图象，直接写出不等式
时x的取值范围．
x
【答案】(1)24
(2)−33
【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质综合题，待定系数法求解析式，
( k) ( k ) k
（1）首先根据题意得到A 3, ，B − ,−4 ，然后证明出A、B两点关于原点对称，得到3= ，求出
3 4 4
k=12，进而得到A(3,4)，B(−3,−4)，然后利用三角形面积公式求解即可；
k
（2）利用待定系数法求出经过AB两点的直线y=k'x，然后利用图象即可求出k'x>
时x的取值范围．
x
解题的关键是利用待定系数法求出反比例函数和一次函数解析式．
k
【详解】（1）∵点A、B是反比例函数y= 的图象上一点，AC⊥x轴，BC⊥ y轴，C(3,−4)
x
( k) ( k )
∴A 3, ，B − ,−4
3 4
∵AB经过原点，
∴A、B两点关于原点对称，
k
∴3= ，
4
∴k=12，
∴A(3,4)，B(−3,−4)，
∴AC=8，BC=6，
1 1
∴Rt△ACB的面积= AC⋅BC= ×8×6=24；
2 2
（2）∵A(3,4)，
∴将A(3,4)代入y=k'x得，4=3k'
4
解得k'=
3
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4
∴经过AB两点的直线y= x；
3
由图象可得，
k
当−33时，k'x>
．
x
题型03 一次函数与反比例函数综合应用
2
【例3】（2023·广东潮州·二模）如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A、B，
x
点A、B的横坐标分别为1，−2，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D．
(1)求一次函数的解析式；
2
(2)对于反比例函数y= ，当y<−1时，写出x的取值范围；
x
1
(3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S ＝ S ，请求出点P的坐标．
BDP 2 ODA
△ △
【答案】(1)y=x+1
(2)−20)的图象经过线段OB的中点D，并与
x
AB、BC分别交于点B、F．一次函数y=k x+b的图象经过E、F两点．
2
(1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式．
(2)点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标．
1 5 2
【答案】(1)一次函数的解析式为y=− x+ ，反比例函数表达式为y=
2 2 x
(17 )
(2) ,0
5
【分析】（1）由矩形的性质及中点坐标公式可得D(2,1)，从而可得反比例函数表达式；再求出点E、F
坐标可用待定系数法解得一次函数的解析式；
（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．求出直线E'F的解析式后
令y=0，即可得到点P坐标．
【详解】（1）解： ∵四边形OABC为矩形，OA=BC=2，OC=4，
∴B(4,2)．
由中点坐标公式可得点D坐标为(2,1)，
k
∵反比例函数y= 1 (x>0)的图象经过线段OB的中点D，
x
∴k =xy=2×1=2，
1
2
故反比例函数表达式为y= ．
x
1
令y=2，则x=1；令x=4，则y= ．
2
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1
故点E坐标为(1,2)，F(4, )．
2
设直线EF的解析式为y=k x+b，代入E、F坐标得：¿，
2
解得：¿，
1 5
故一次函数的解析式为y=− x+ ．
2 2
（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．如图．
由E坐标可得对称点E' (1,−2)，
设直线E'F的解析式为y=mx+n，代入点E'、F坐标，得：¿，
解得：¿．
5 17
则直线E'F的解析式为y= x− ，
6 6
17
令y=0，则x= ．
5
17
∴点P坐标为( ，0)．
5
17
故答案为：( ，0)．
5
【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质，反比例函数图象与一次函数图象的交点，中点坐标公式，矩
形的性质，待定系数法求函数解析式，最短路径问题（将军饮马）．解题关键在于牢固掌握待定系数法求
函数解析式、将军饮马解题模型．
【变式3-2】（2021·广东江门·校考三模）如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(1,0)，点
k 2
D(4,4)在反比例函数y= (x>0)的图象上，直线y= x+b经过点C，与y轴交于点E，与x轴交于点
x 3
M，连接AC、AE．
(1)求k、b的值；
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(2)求△ACE的面积；
(3)在x轴上取点P，求出使PC−PE取得最大值时点P的坐标．
【答案】(1)k的值为16，b的值为−2；
(2)△ACE的面积为6
(3)点P的坐标为(−9,0)
k
【分析】（1）将点D(4,4)代入反比例函数y= (x>0)，利用待定系数法即可求出k的值；根据坐标两点
x
的公式，求得AD=5，再根据菱形的性质，得到CD=5，CD∥AB，进而得到C(9,4)，将C(9,4)代入
2
y= x+b，利用待定系数法即可求出b的值；
3
（2）先求出直线CE与坐标轴的交点坐标E(0,−2)和M(3,0)，再求出 S =4，S =2，即可得到
△AMC △AME
△ACE的面积；
（3）作E(0,−2)关于x轴的的对称点E'(0,2)，连接PE'，连接CE'并延长交x轴于P'，连接P'E，根据坐
标两点的公式，求得√85，再根据轴对称的性质，得到PE=PE'，进而得到PC−PE=PC−PE'，即当
P、E'、C不构成三角形，即P、E'、C共线时，PC−PE取最大值√85，此时P与P'重合，利用待定系数
2
法求出直线CE'的解析式为y= x+2，令y=0，即可求出点P的坐标．
9
k
【详解】（1）解：∵点D(4,4)在反比例函数y= (x>0)的图象上，
x
k
∴4= ，
4
解得：k=16；
∵点A的坐标为(1,0)，点D的坐标为(4,4)，
∴AD=√(4−1) 2+(4−0) 2=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AD=5，CD∥AB，
∴CD∥x轴，
∴C(9,4)，
2 2
将C(9,4)代入y= x+b，得：4= ×9+b，
3 3
解得：b=−2，
∴k的值为16，b的值为−2；
2
（2）解：由（1）知，直线CE解析式为y= x−2，
3
2
令x=0，则y=−2，令y=0，则 x−2=0，解得：x=3，
3
∴E(0,−2)，M(3,0)，
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∴OM=3，
∵点A的坐标为(1,0)，
∴OA=1，
∴AM=OM−OA=3−1=2，
1 1 1 1
∴S = AM⋅|y |= ×2×4=4，S = AM⋅|y |= ×2×2=2，
△AMC 2 C 2 △AME 2 E 2
∴S =S +S =4+2=6；
△ACE △AMC △AME
∴△ACE的面积为6；
（3）解：如图，作E(0,−2)关于x轴的的对称点E'(0,2)，连接PE'，连接CE'并延长交x轴于P'，连接
P'E，
∵C(9,4)，E'(0,2)，
∴CE'=√(9−0) 2+(4−2) 2=√85，
∵E、E'关于x轴对称，
∴PE=PE'，
∴PC−PE=PC−PE'，
当P、E'、C构成三角形时，PC−PE'10W时，即 >10，解得00)
R
(2)见解析
(3)当P大于6W，R的取值范围为05000，
∴这种摆放方式不安全．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
题型04 分段问题
【例4】（2021·四川乐山·统考中考真题）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时
间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．
学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x<10和10≤x<20时，图象是线段；
当20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分．
（1）求点A对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合
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题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
【答案】（1）20；（2）能，见解析
【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入，即可得出A对应的指标值
（2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出
5 900 32
x+20≥36(0≤x<10)， ≥36(200)，由图可知点(20,45)在y= 的图象上，
x x
∴k=20×45=900，
900
∴y= ．将x=45代入
x
将x=45代入得：
900
点A对应的指标值为 =20．
45
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，将A(0,20)、B(10,45)代入y=kx+b中，
得¿，解得¿．
5
∴直线AB的解析式为y= x+20．
2
32
由题得¿，解得 ≤x≤25．
5
32 93
∵25− = >17，
5 5
∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.
【点睛】本题考查一次函数的解析式、反比例函数的解析式、不等式组的解集、利用函数图象解决实际问
题是中考的常考题型。
【变式4-1】（2022·江苏徐州·统考二模）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种
新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间
的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)求这天的温度y与时间x(0≤x≤24)的函数关系式；
(2)解释线段BC的实际意义；
(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬
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菜避免受到伤害？
【答案】(1)y＝¿；
(2)线段BC表示恒温系统设定恒温为20℃；
(3)恒温系统最多可以关闭10小时，才能使蔬菜避免受到伤害．
【分析】（1）应用待定系数法分段求出函数解析式即可；
（2）根据函数图象结合题意回答即可；
200
（3）把y＝10代入y＝ 中，即可求得结论．
x
【详解】（1）解：设线段AB解析式为y＝kx＋b（k≠0），
1 1
∵线段AB过点（0，10），（3，15），
代入得¿，解得：¿，
5
∴线段AB的解析式为：y＝ x＋10（0≤x＜6），
3
∵B在线段AB上，当x＝6时，y＝20，
∴点B坐标为（6，20），
∴线段BC的解析式为：y＝20（6≤x＜10），
k
设双曲线CD解析式为：y＝ 2（k≠0），
x 2
∵C（10，20），
∴k＝200，
2
200
∴双曲线CD的解析式为：y＝ （10≤x≤24）；
x
∴y关于x的函数解析式为：y＝¿；
（2）线段BC表示恒温系统设定恒温为20℃；
200
（3）把y＝10代入y＝ 中，解得：x＝20，
x
∴20−10＝10，
答：恒温系统最多可以关闭10小时，才能使蔬菜避免受到伤害．
【点睛】本题是以实际应用为背景的函数综合题，主要考查求一次函数、反比例函数和常数函数的关系式．
解答时应注意临界点的应用．
【变式4-2】（2023·山东枣庄·统考一模）电灭蚊器的电阻y（kΩ）随温度x（℃）变化的大致图象如图所
示，通电后温度由室温10℃上升到30℃时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到30℃时，电阻
4
下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加 kΩ．
15
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(1)当10≤x≤30时，求y与x之间的关系式；
(2)电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过5kΩ？
60
【答案】(1)y=
x
1
(2)12≤x≤41
4
m
【分析】（1）设y与x之间的关系式为y= ，把点(10,6)代入，即可求解；
x
( 4 )
（2）当x>30时，设y与x的关系式为y=kx+b，根据题意可得函数图象过点(30,2)，点 31,2 ，再代
15
入，然后分别求出y=5时，两函数的函数值，即可求解．
m
【详解】（1）解：当10≤x≤30时，设y与x之间的关系式为y= ，
x
根据题意得：该函数图象过点(10,6)，
∴m=xy=10×6=60．
60
∴当10≤x≤30时，y与x的关系式为：y= ；
x
60
（2）解：∵y= ，
x
60
∴当x=30时，y= =2．
3
根据题意得：该函数图象过点(30,2)，
4
∵温度每上升1℃，电阻增加 kΩ．
15
( 4 )
∴该函数图象过点 31,2 ，
15
∴¿，解得：¿，
4
∴当x>30时，y与x的关系式为：y= x−6；
15
60
对于y= 当y=5时，x=12；
x
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4 1
对于y= x−6当y=5时，x=41 ；
15 4
1
答：温度x取值范围是12≤x≤41 时，电阻不超过5kΩ．
4
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用，求出两函数解析式是解题的关键．
【变式4-3】（2022·福建福州·福建省福州屏东中学校考一模）“姹紫嫣红苗木种植基地”尝试用单价随天
数而变化的销售模式销售某种果苗，利用30天时间销售一种成本为10元/株的果苗，售后经过统计得到此
果苗，单价在第x天（x为整数）销售的相关信息，如图表所示：
销售量n（株） n＝-x＋50
当1≤x≤20时，m＝______
销售单价
420
m（元/株） 当21≤x≤30时，m=10+
x
1≤x≤20
(1)求出表中当 时，m与x间的函数关系式；
(2)“吃水不忘挖井人”，为回馈本地居民，基地负责人决定将这30天中，其中获利最多的那天的利润全部
捐出，进行“精准扶贫”．试问：基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱？
1
【答案】(1)m= x+20
2
1225
(2)基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠 元
2
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设该基地第x天的利润为W，根据利润=（售价-成本）×数量列出W关于x的关系式，然后根据二次
函数与反比例函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知当1≤x≤20时，m与x间的函数关系式满足一次函数关系式，故可设当
1≤x≤20时，m与x间的函数关系式为m=kx+b，
∵¿，
∴¿，
1
∴当1≤x≤20时，m与x间的函数关系式为m= x+20；
2
（2）解：设该基地第x天的利润为W，
由题意得：W =¿，
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1 1 1225
当1≤x≤20时，W =− x2+15x+500=− (x−15) 2+ ，
2 2 2
1
∵− <0，
2
1225
∴当x=15时，W最大为 ；
2
当21≤x≤30时，
∵21000>0，
21000
∴ 随x增大而减小，即W随x增大而减小，
x
∴当x=21时，W最大为580，
1225
∵ >580，
2
1225
∴基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠 元．
2
【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数，反比例函数的应用，正确理解题意列出函数关系式是解题
的关键．
题型05 几何问题
【例5】（2023·广东清远·统考三模）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点
k
（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y= (x>0)的图象与BC边交于点E．
x
(1)当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．
(2)当k为何值时，△CEF的面积最大，最大面积是多少？
3 (3 )
【答案】(1)y= (x>0)，E ,2
x 2
3
(2)当k=3时，S =
最大 值 4
【分析】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，
以及二次函数的性质．
（1）当F为AB的中点时，点F的坐标为(3,1)，由此代入求得函数解析式，把y=2代入解析式即可求得E
坐标；
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（2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可．
熟练掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数、二次函数的性质是解本题的关键．
【详解】（1）解：在矩形OABC中，OA=3，OC=2，
∴B(3,2)，
∵F为AB的中点，
∴F(3,1)，
k
∵点F在反比例函数y= (k>0)的图象上，
x
∴k=3，
3
∴该函数的解析式为y= (x>0)，
x
3
把y=2代入y= ，
x
3
得x= ，
2
(3 )
∴E ,2 ；
2
(k ) ( k)
（2）由题意知E，F两点坐标分别为E ,2 ，F 3, ，
2 3
1 1 ( 1 )1
∴S = BF⋅CE= × 2− k k，
△EFC 2 2 3 2
1 1
= k− k2
2 2
1
=− (k2−6k+9−9)
12
1 3
=− (k−3) 2+ ，
12 4
k
在边AB上，不与A，B重合，即0< <2，
3
解得00)的图象与边AC交于点E．
x
(1)当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；
(2)连接EF、AB，求证：EF∥AB；
(3)如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．
【答案】(1)E(4,4)
(2)见解析
12
(3)y=
x
【分析】（1）先求出F点的坐标，进而得到反比例函数的解析式，再求出E点坐标即可；
（2）分别求出直线EF,AB的解析式，即可得证；
（3）过点E作EM⊥x轴，交OB于点M，证明△EMG∽△GBF，列出比例式，求出BG的长，再利用勾
股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：∵矩形AOBC中，OB=8,OA=4，
∴B(8,0)，C(8,4)，
当点F运动到边BC的中点时：F(8,2)，
∴k=2×8=16，
16
∴y= ，
x
k
∵反比例函数y= (k>0)的图象与边AC交于点E，
x
∴y =4，
E
∴x =16÷4=4；
E
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∴E(4,4)；
（2）如图：
( k) (k )
∵F 8, ,E ,4 ，设直线EF的解析式为：y=ax+b，
8 4
则：¿，解得：¿，
1 k
∴直线EF：y=− x+ +4；
2 8
设：直线AB:y=mx+n，
∵A(0,4),(8,0)，
∴¿，解得：¿，
1
∴直线AB：y=− x+4，
2
∴EF∥AB；
（3）如图，过点E作EM⊥x轴，交OB于点M，则四边形AEMO为矩形，
∴EM=AO=4，
∵翻折，
∴∠ECF=∠EGF=90°,EC=EG,CF=FG，
∵∠EMG=∠FBG=∠EGF=90°，
∴∠EGM=∠BFG，
∴△EMG∽△GBF，
EM EG
∴ = ，
BG FG
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( k) (k )
∵F 8, ,E ,4 ，
8 4
k k k
∴FG=CF=4− ，EG=CE=8− ，BF= ，
8 4 8
k
8−
4 4
∴ = ，
BG k
4−
8
∴BG=2，
在Rt△FBG中，FG2=BG2+BF2，
∴ ( 4− k) 2 =22+ (k) 2 ，
8 8
∴k=12，
12
∴y= ．
x
【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定
理．利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
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