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专题01 集合与逻辑用语（选题题8种考法）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考法一 数集的运算
【例1-1】（2023·全国·统考高考真题）设全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得 ，则 .故选：A.
【例1-2】（2023·北京·统考高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意， ， ，
根据交集的运算可知， .故选：A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）设全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为全集 ，集合 ，所以 ，
又 ，所以 ，故选：A.
2．（2022·全国·统考高考真题）设全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意， ，所以 ,
所以 .故选：D.
3．（2023·全国·统考高考真题）设集合 ，集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得 ，则 ，选项A正确；
，则 ，选项B错误；
，则 或 ，选项C错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】或 ，则 或 ，选项D错误；故选：A.
考法二 点集运算
【例2】（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若集合 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 ，解得： 或 ，故 .故选：A
【变式】
1．（2023·四川雅安·校考模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．［1，2]
【答案】C
【解析】 .故选:C.
2.（2022·河南省直辖县级单位）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C．M D．N
【答案】D
【解析】 ，
因为当 时， ，所以函数 过点 ，所以 ，所以 .
故选：D.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3（2023北京）已知集合 ， ，则 中元素的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以 为圆心， 为半径的单位圆上所有点组成
的集合，集合B表示直线 上所有的点组成的集合，又圆 与直线 相交于两点 ，
，则 中有2个元素.故选B.
考法三 （真）子集个数
【例3-1】（2023·河南·校联考二模）集合 的子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
集合 的子集个数为 .故选：D.
【例3-2】（2023·山东·校联考模拟预测）满足条件 的集合 有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】C
【解析】∵ ，
∴ 或 或 或 ，共4个．故选：C．
【变式】
1．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）若集合 ，集合 ，
则 的子集个数为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．5 B．6 C．16 D．32
【答案】C
【解析】由 得 ，所以 ，
解不等式 得 ，
所以 ，所以 的子集个数为 .
故选：C
2．（2023·上海宝山·上海交大附中校考三模）已知 ，集合 ，若集合
恰有8个子集，则 的可能值有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意易知， ，均是集合 中的元素，
又集合 恰有8个子集，故集合 只有三个元素，
有 ，则结合诱导公式易知，
可取的值是4或5.
故选：B
3．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）已知集合 ，集合 ，则集
合 的真子集个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】联立 可得 ，因为 ，解得 ，
所以，方程组 的解为 或 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以， ，
所以，集合 的真子集个数为 .故选：C.
考法四 集合求参
【例4-1】（2023·吉林·统考模拟预测）已知集合 ，若 ，则实数
（ ）
A． 或1 B．0或1 C．1 D．
【答案】B
【解析】由集合 ，
对于方程 ，
当 时，此时方程无解，可得集合 ，满足 ；
当 时，解得 ，要使得 ，则满足 ，可得 ，
所以实数 的值为 或 .
故选：B.
【例4-2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知集合 ，
，若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，故 ．
故选：C．
【例4-3】（2023·江苏镇江）若集合 ,则能使 成立的所有
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时,即 , 时成立;
当 时,满足 ,解得 ;
综上所述: .
故选:C.
【例4-4】（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，
则 的元素个数为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．无法确定
【答案】A
【解析】 时， 与圆相交有两个交点
时， ∴直线与圆相交，有两个交点故选：A
【变式】
1（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考一模）集合 ， ，且
，实数 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或 或
【答案】D
【解析】由集合 ，且 ，
又由 ，可得 ，
当 时，此时集合 ，满足 ；
当 时，可得 ，要使得 ，则满足 或 ，解得 或 ，
综上可得，实数 的值为 或 或 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：D.
2．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知集合 ， ，若
且 ，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 或 ，
因为 ，所以 ，
①当 时， ，满足题意；
②当 时， ，
要使 ，则 ，解得 ，
综上所述，实数m的取值范围是 ．
故选：B.
3．（2023·河北·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，且 ，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 或 ，所以 或 ，由 ，
所以当 时， 不成立，所以集合 为空集， 满足题意，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，由 ，所以 ，
所以有 ，综上所述实数 的取值范围是 ，故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， .若 ，
则实数 （ ）
A．-3 B． C． D．3
【答案】B
【解析】因为 ，所以直线 与直线 平行，
所以 所以 . 经检验，当 时，两直线平行.故选：B.
考法五 韦恩图
【例5】（2023·福建龙岩·统考二模）若全集 ，集合 ，则
图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知 ，即 ，
又 ，故阴影部分为 .故选：D
【变式】
1．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）已知 为实数集，集合 或 ，
，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由Ven图可知，阴影部分表示为 ，
因为 ， 或 ，所以 ，
所以 ，故选：C.
2．（2023·广东广州·广州六中校考三模）设全集
，则图中阴影部分所表示的集合
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题设得 ，则 ，
由图知：阴影部分为 .
故选：D
3．（2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测）图中阴影部分所表示的集合是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】如图，
对于A， ，则 ，故A正确；
对于B， ，则 ，故B错误；
对于C， ， ，故 ，故C正确；
对于D， ，故D错误，故选：AC．
考法六 充分、必要条件
【例6-1】（2022·天津·统考高考真题）“ 为整数”是“ 为整数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当 为整数时， 必为整数；
当 为整数时， 比一定为整数，
例如当 时， .
所以“ 为整数”是“ 为整数”的充分不必要条件.
故选：A.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例6-2】（2022·北京·统考高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是
“存在正整数 ，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数.
若 为单调递增数列，则 ，
若 ，则当 时， ；若 ，则 ，
由 可得 ，取 ，则当 时， ，
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.故选：C.
【变式】
1．（2022·浙江·统考高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
【答案】A
【解析】因为 可得：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，充分性成立；
当 时， ，必要性不成立；
所以当 ， 是 的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2023·北京·统考高考真题）若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】解法一：
因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 .
所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法二：
充分性：因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 .
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法三：
充分性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以充分性成立；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】必要性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
3．（2023·全国·统考高考真题）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数
列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲： 为等差数列，设其首项为 ，公差为 ，
则 ，
因此 为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 为常数，设为 ，
即 ，则 ，有 ，
两式相减得： ，即 ，对 也成立，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲： 为等差数列，设数列 的首项 ，公差为 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，因此 为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 ，
即 ， ，
当 时，上两式相减得： ，当 时，上式成立，
于是 ，又 为常数，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.故选：C
考法七 含有一个量词命题
【例7-1】（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
故“ ， ”的否定是“ ， ”，
故选：B．
【例7-2】（2023·山西吕梁·统考二模）已知命题 ： ， ，则 为真命题的一个充分
不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设命题为真，即 在 上恒成立，所以 ，
则 为真命题的一个充分不必要条件应该是 的一个真子集，故选：A．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例7-3】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）若命题“ ，使 成
立”的否定是真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】若“ ，使 成立”的否定是：
“ ，使 ”为真命题，
即 ；令 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
故选：C.
【变式】
1．（2023·河南·模拟预测）已知命题p：“ ， ”，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以“ ， ”的否定是“ ， ”．
故选：C．
2.（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知命题“ ， ”为真命题，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为命题“ ， ”为真命题，
所以，命题“ ， ”为真命题，所以， 时， ，
因为， ，所以，当 时， ，当且仅当 时取得等号.
所以， 时， ，即实数 的取值范围是 故选：C
3.（2023·甘肃兰州·校考一模）若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(－1，1) D．(－1，1]
【答案】A
【解析】命题：存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0的否定是：对任意的 ， .
若对任意的 ， 为真命题，则：
当 时， ，显然不是恒成立，故舍去；
当 时， ，且 ，解得 .综上所述， .
又因为原命题：存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0是真命题，故任意的 ， 是假命题.
故 .故选： .
考法八 新定义集合
【例8】（2023·河南郑州·统考模拟预测）若 且 ， ，则称a为集合A的孤立元素．若
集合 ，集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】集合 的三元子集有 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ，共20个．
满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为 ， ， ， ，一共4种．
由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率 ．
故选：C．
【变式】
1．（2023·云南保山·统考二模）定义集合运算： ，设 ，
，则集合 的所有元素之和为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
【答案】A
【解析】由题设知 ， 所有元素之和为 ，故选：A.
2．（2023·安徽蚌埠·统考二模）对于数集 ， ，定义 ， ，
，若集合 ，则集合 中所有元素之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据新定义，数集 ， ，定义 ， ，
，集合 ， ， ，则可知所有元素的和为 ，
故选：D.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）对于集合A，B，定义集合 且 ，已知集合
， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】结合新定义可知 ，又 ，
所以 ．故选：A
4．（2023·北京·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知集合 满足：① ，② ，
必有 ，③集合 中所有元素之和为 ，则集合 中元素个数最多为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】B
【解析】对于条件① ，② ，必有 ，
若集合中所有的元素是由公差为 的等差数列构成，例如 ，集合中有 个元
素，
又 则该集
合满足条件①②，不符合条件③，故符合条件③的集合 中元素个数最多不能超过10个，
故若要集合 满足：① ，② ，必有 ，③集合 中所有元素之和为 ，最多
有10个元素，例如 .故选：B.
一．单选题
1．（2023·天津·统考高考真题）已知集合 ，则 （ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，而 ，所以 .故选：A
2．（2023·全国·统考高考真题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】方法一：因为 ，而 ，所以 ．
故选：C．
方法二：因为 ，将 代入不等式 ，只有 使不等式成立，所以
．故选：C．
3．（2022·天津·统考高考真题）设全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，故 ，故选：A.
4．（2022·全国·统考高考真题）集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，所以 ．故选：A.
5．（2022·全国·统考高考真题）设集合 ，则 （ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，所以 ．故选：A.
6．（2022·全国·统考高考真题）设全集 ，集合M满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知 ,对比选项知， 正确, 错误故选:
7．（2022·北京·统考高考真题）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由补集定义可知： 或 ，即 ，
故选：D．
8．（2022·全国·统考高考真题）若集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，故 ，
故选：D
9．（2023·全国·统考高考真题）设集合 ， ，若 ，则 （ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】因为 ，则有：
若 ，解得 ，此时 ， ，不符合题意；
若 ，解得 ，此时 ， ，符合题意；
综上所述： .
故选：B.
10．（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）设全集 ，集合 ，
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】全集 ，集合 ，
或 ，
所以 ，
则 ．
故选：B．
11．（2023·河南·模拟预测）已知集合 中恰有两个元素，则a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由集合 中恰有两个元素，得 ，解得 ．故选：B．
12．（2023·辽宁·校联考三模）若 为全体实数，集合 ．集合 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 的子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．16 D．32
【答案】D
【解析】由集合 得 且 ，
由集合 可得 或 ，
故子集个数为 ．
故选: ．
13．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）已知集合 ， .若
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 得： 或 ，即 ，
， ， ，即实数 的取值范围为 .
故选：B.
14．（2023·河南·校联考模拟预测）设集合 ，若 ，则实数 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【解析】集合 ，则 ，且 ，解得 ，且 ，
由 ，得 ，或 ，
解 ，得 或 （舍去）；解 ，得 （舍去）或 （舍去），
所以 .
故选：A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】15．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）已知集合 ， ，
若 ，则实数b的值为（ ）
A．1 B．0或1 C．2 D．1或2
【答案】D
【解析】由 中不等式解得： ，因为 ，所以 ， ，
， ，且 ， 或2，故选：D．
16．（2023·山东德州·三模）已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
，
因为 ，所以 ，解得 .故选：B.
17．（2023·福建宁德·福鼎市第一中学校考模拟预测）命题“ ”为真命题的一个充分不必
要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，则 ，即 ，
∴a的取值范围
由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为 的真子集，
结合选项可知B对应的集合为 为 的真子集，其它都不符合，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴符合的只有B，
故选：B.
18．（2023·四川宜宾·统考二模）命题：存在唯一 ，使得 是真命题，则实数 的值是
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】不妨设 ，显然 的定义域为 关于原点对称，
且有 ，
所以函数 是 上的偶函数，
由题意可知函数 在 上有且仅有一个零点，
则只能 ，
否则若 则由偶函数的性质可知 ，此时与题意矛盾，
所以 ，解得 ，
此时有 ，且当且仅当 时， ，故 符合题意.
故选：B.
19．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）不等式“ ”是“ ”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 ，解得 ， ，解得 ，
因为 ，但 ，
故“ ”是“ ”成立的充分不必要条件.
故选：A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】20．（2023·河南·模拟预测）“不等式 恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， 恒成立，
当 时，则 ，解得 ，
综上所述，不等式 恒成立时， ，
所以选项中“不等式 恒成立”的一个充分不必要条件是 .
故选：D.
21．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）已知集合 ，
则集合 的子集个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】集合B中圆的半径为1，圆心 到集合A中直线的距离 ，
所以直线与圆相交，有两个交点，
所以集合 中有两个元素，其子集个数为4.
故选：A.
22．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知集合
，则集合 的真子集的个数为（ ）
A．3 B．7 C．15 D．31
【答案】A
【解析】方法一：联立 ，解得 或 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】,
集合 的真子集的个数为 .
方法二：在同一直角坐标系中画出函数 以及 的图象，由图象可知两图形有2个交点，所
以 的元素个数为2，进而真子集的个数为 .
故选：A.
23．（2023·河南郑州·统考模拟预测）若 且 , ,则称a为集合A的孤立元素．若集合
,集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】集合 的三元子集个数为 ，
满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为
，一共35种，
由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率 ．
故选：C．
24（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【答案】D
【解析】若 ，则 ，
故 ，即 ．
又 ，故 或 ，充分性不成立；
若 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以必要性成立．
故选：D．
25．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考一模）若向量 ，则“ ”是“向量 的
夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】向量 ，由向量 的夹角为钝角，
即有 ，解得 且 ，
即“ ”不能推出“ 且 ”即“向量 的夹角为钝角”；
“向量 的夹角为钝角”即“ 且 ”能推出“ ”；
故“ ”是“ 且 ”的必要不充分条件，
即“ ”是“向量 的夹角为钝角”的必要不充分条件．
故选：B．
26．（2023·河南·模拟预测）“ ”是“函数 在区间 上单调递增”的
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】二次函数 图象的对称轴为 ，
若函数 在区间 上单调递增，
根据复合函数的单调性可得 ，即 ，
故“ ”是“函数 在区间 上单调递增”的充分不必要条件．
故选：A．
27．（2023·全国·统考高考真题）设甲： ，乙： ，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】当 时，例如 但 ，
即 推不出 ；
当 时， ，
即 能推出 .
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
28．（2023·全国·统考高考真题）设全集 ,集合 ，
（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为整数集 ， ，所以，
．
故选：A．
29．（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若 ，
则 （ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【解析】依题意，等差数列 中， ，
显然函数 的周期为3，而 ，即 最多3个不同取值，又
，
则在 中， 或 ，
于是有 ，即有 ，解得 ，
所以 ， .
故选：B
30．（2023·湖南永州·统考一模）“函数 在 上单调递减”是“函数 是
偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B
【解析】由题意，
在 中，
当函数在 上单调递减时， ，
在 中，函数是偶函数，
∴ ，解得： ，
∴“函数 在 上单调递减”是“函数 是偶函数”的必要不充分条件，
故选：B.
二、多选题
31．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A． ，
B． ，
C．若命题“ ， ”为真命题，则实数 的取值范围为
D．若 ， ，使得 ，则实数 的最小值为
【答案】BD
【解析】对于A，因为 ， ，开口向上， ，
，故A错误；
对于B，令 ，则 ，即为 ，而 在 上单调
递减，故 ，故B正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C，显然 ，且 ，解得 ，故C错误；
对于D，当 时， ，当 时， ，故 ，所以
，故D正确.
故选：BD．
32．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）若对任意 ， ，则称 为“影子关系”集
合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】根据“影子关系”集合的定义，
可知 ， ， 为“影子关系”集合，
由 ，得 或 ，当 时， ，故不是“影子关系”集合．
故选：ABD
33．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知函数 ，设 ，则
成立的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】函数 的定义域为 ， ，
即函数 是 上的偶函数，当 时， ，
求导得 ，则函数 在 上单调递增，
对于A，取 ，满足 ，而 ，A不是；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于B，取 ，满足 ，而 ，B不是；
对于CD， ，于是 ，由函数 是偶函数得 ，CD是.
故选：CD
34．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）以下说法正确的有（ ）
A．“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
C．“ ”是“ ”的充分不必要条件
D．设 ， ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
【答案】CD
【解析】A选项， ，解得 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，A选项错误.
B选项，因为由 ，得 ，即 ，
命题“ ， ”的否定是“ ， ”，所以B选项错误.
C选项， ；
所以 ，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
所以C选项正确.
D选项，由于 ，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，
所以D选项正确.
故选：CD
35．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）下面命题正确的是（ ）
A．“ ”是“ ”的充分不必要条件
B．命题“若 ，则 ”的否定是“存在 ， ”
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．设 ，则“ 且 ”是“ ”的必要不充分条件
D．设 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
【答案】AD
【解析】对A， ，得到： 或 ，由 可以得到 ，但是，若 ， 显然
成立，但 不成立，故A正确；
由全称量词命题的否定易知B错误；
对C，由“ 且 ”，显然可以得出“ ”，故C错误；
对D， 且 ，则由 无法得到 ，但是由 可以得到 ，故D正确.
故选：AD.
36．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考模拟预测）已知条件p： ；条件q：
.若p是q的必要条件，则实数a的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由 ，得 或 ，
由 ，得 .
因为 是 的必要不充分条件，可知 或 ，解得 或 .
故选：BC.
37．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知条件p： ，条件q： ，且
p是q的必要条件，则m的值可以是（ ）
A． B． C．- D．0
【答案】BCD
【解析】设 ， ,
因为p是q的必要条件，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，由 无解可得 ，符合题意；
当 时， 或 ，当 时，由 解得 ，
当 时，由 解得 .
综上， 的取值为0， ， .
故选：BCD
38．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知 表示空间内两条不同的直线，则使 成立的必要不充分
条件是（ ）
A．存在平面 ，有 B．存在平面 ，有
C．存在直线 ，有 D．存在直线 ，有
【答案】AC
【解析】A：若 ，则直线 可以平行，也可以相交，还可以异面；若 ，则存在平面 ，
有 ，所以本选项正确；
B：若 ，则 ，即垂直于同一平面的两条直线平行；若 ，则存在平面 ，有
，所以本选项不正确；
C：若 ，则直线 可以平行，也可以相交，还可以异面；若 ，则存在直线 ，有
，所以本选项正确；
D：若 ，则 ，即平行于同一直线的两直线平行，若 ，则存在直线 ，有 ，所
以本选项不正确，
故选：AC
39.（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）下列说法正确的是（ ）
A．“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件
B．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
C．若 ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D． 的最大值为
【答案】AD
【解析】对于A，“若 ，则 ”是假命题，因为 ，而 ；“若 ，则 ”是
假命题，
因为 ，而 ，即“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，A正确；
对于B，命题“ ， ”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
因此它的否定是“ ， ”，B错误；
对于C，当 时， 成立，因此 成立，不一定有 ，C错误；
对于D，函数 的定义域为 ， ，
而函数 在 上单调递增，因此当 时， ，D正确.
故选：AD
40．（2023·山东济南·济南外国语学校校考模拟预测）下列各组集合不表示同一集合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，集合 都是单元素集，而元素 与 不同，A不是；
对于B，集合 的元素为有序实数对，而集合 的元素为实数，B不是；
对于C，集合 都含有两个元素4，5，只是排列顺序不同，而集合的元素具有无序性，C是；
对于D，集合 有两个元素1，2，而集合 只有一个元素 ，D不是.
故选：ABD
三、填空题
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】41．（2023·河南·校联考模拟预测）已知集合 有15个真子集，则
的一个值为 .
【答案】 （或 ，或 ，填其中一个即可）
【解析】由集合 有15个真子集，
可得集合 中含有4个元素，则 有4个因数，则除1和它本身 外，还有2个因数，
所以 的值可以为 ，故 的一个值为6（或8，或10）.
故答案为： （或 ，或 ，填其中一个即可）.
42．（2023·上海青浦·统考二模）已知集合 ，若 ，则实数 的
取值范围为 .
【答案】
【解析】由 解得 ，所以 ，
由于 ，所以 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
43．（2023·北京东城·统考二模）若 ，则实数 的一个取值为
.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】因为 ，
且当 时，即 时， ，
当 时，即 时，才有可能使得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 的两根刚好是 时，即 ，此时 的解集为 刚好满足
，
所以 ，所以实数 的一个取值可以为 .
故答案为:
44．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）数列 的前n项和为 ，且 ，则“ ”
是“ ”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必
要”中的一种）
【答案】充分不必要
【解析】当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
因为 满足上式，
所以 ，
所以 ， ，
所以 成立，
由 可得 ，
，
，
所以此时满足 ，但不一定 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要
45．（2023·山东潍坊·统考二模）若“ ”是“ ”的一个充分条件，则 的一个可能值是
.
【答案】 （只需满足 即可）
【解析】由 可得 ，则 ，
所以， ，解得 ，
因为“ ”是“ ”的一个充分条件，故 的一个可能取值为 .
故答案为： （只需满足 即可）.
46．（2023·全国·模拟预测）若“ ”是“函数 对一切 恒有意义”
的充分条件，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数 对一切 恒有意义，
即 在 上恒成立，
即 恒成立．
由“ ”是“函数 对一切 恒有意义”的充分条件，
故 在 上恒成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ， 为关于b的一次函数，
要使 在 上恒成立，只需 ，
即 ，注意到 ，
解得 ．
所以a的取值范围是 .
故答案为： .
47．（2023·上海松江·统考一模）已知集合 .设函数 的值域为 ，
若 ，则实数 的取值范围为
【答案】
【解析】由 得 ，即 ，所以 ，解得 .所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 解得 ，所以实数 的取值范围为 .故答案为： .
48．（2023·重庆·校联考三模）已知集合 （其中 为虚数单位），则满足条件的
集合M的个数为 .
【答案】8
【解析】 周期为4，当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ，所以集合 的子集个数为 个.
故答案为：8个.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】49．（2023·陕西渭南·统考一模）设三元集合 ，则 .
【答案】1
【解析】依题意 ， ，
所以 ，所以 ， ，
此时两个集合都是 ，符合题意.
所以 .
故答案为：
50．（2023·江西九江·校考模拟预测）满足条件 的集合M的个数为 ．
【答案】6
【解析】因为 ，
所以 ，因此 ，或 ，或 ，或 ，或 ，或
，共6个，
故答案为：6
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
