文档内容
2022年浙江省衢州市中考数学试卷
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）计算结果等于2的是（ ）
A．|﹣2| B．﹣|2| C．2﹣1 D．（﹣2）0
3．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，﹣2）落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）如图是某品牌运动服的S号，M号，L号，XL号的销售情况统计图，则厂家应生产最
多的型号为（ ）
A．S号 B．M号 C．L号 D．XL号
5．（3分）线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若a＝1，b＝3，则c的长度可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（3分）某班环保小组收集废旧电池，数据统计如下表．问1节5号电池和1节7号电池的
质量分别是多少？设1节5号电池的质量为x克，1节7号电池的质量为y克，列方程组，
由消元法可得x的值为（ ）
5号电池（节） 7号电池（节） 总质量（克）
第一天 2 2 72
第二天 3 2 96
A．12 B．16 C．24 D．26
7．（3分）不等式组 的解集是（ ）
A．x＜3 B．无解 C．2＜x＜4 D．3＜x＜4
8．（3分）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG
长，即可算得物高EG．令BG＝x（m），EG＝y（m），若a＝30cm，b＝60cm，AB＝1.6m，则y
关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝ x B．y＝ x+1.6
C．y＝2x+1.6 D．y＝ +1.6
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°．分别以点A，C为圆心，大于 AC的长为半
径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为
半径画弧，交BC于点H，连结AG，AH．则下列说法错误的是（ ）
A．AG＝CG B．∠B＝2∠HAB C．△CAH≌△BAG D．BG2＝CG⋅CB
10．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的
值为（ ）
A． 或4 B． 或﹣ C．﹣ 或4 D．﹣ 或4
二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算 （ ）2＝ ．
12．（4分）不透明袋子里装有仅颜色不同的4个白球和2个红球，从袋子中随机摸出一球，“摸出红球”的概率是 ．
13．（4分）如图，AB切 O于点B，AO的延长线交 O于点C，连结BC．若∠A＝40°，则∠C
的度数为 ．⊙ ⊙
14．（4分）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x
（cm）满足的一元二次方程： （不必化简）．
15．（4分）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y＝ （x＞0）
的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC ＝6，则k＝
．
16．（4分）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，A，B是两侧山脚的入口，从B
出发任作线段BC，过C作CD⊥BC，然后依次作垂线段DE，EF，FG，GH，直到接近A点，
作AJ⊥GH于点J．每条线段可测量，长度如图所示．分别在BC，AJ上任选点M，N，作
MQ⊥BC，NP⊥AJ，使得 ＝ ＝k，此时点P，A，B，Q共线．挖隧道时始终能看见P，Q
处的标志即可．（1）CD﹣EF﹣GJ＝ km．
（2）k＝ ．
三、解答题（本题共有8小题，第17～19小题每题6分，第20～21小题每题8分，第22～23
小题每题10分，第24小题12分，共66分．请务必写出解答过程）
17．（6分）（1）因式分解：a2﹣1．
（2）化简： + ．
18．（6分）已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．
19．（6分）如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点
在格点上），并写出结论．
（1）在图1中画一条线段垂直AB．
（2）在图2中画一条线段平分AB．
20．（8分）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．
（1）求证：CD∥AB．
（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．21．（8分）【新知学习】在气象学上，“入夏”由两种平均气温与22℃比较来判断：
衢州市2021年5月5日～5月14日的两种平均气温统计表（单位：℃）
2021年5月 5日 6日 7日 8日 9日 10 11 12 13 14
日 日 日 日 日
（日平均气温） 20 21 22 21 24 26 25 24 25 27
（五天滑动平 … … 21.6 22.8 23.6 24 24.8 25.4 … …
均气温）
注：“五天滑动平均气温”指某一天及其前后各两天的日平均气温的平均数，如：
5月8日
＝ （ 5月6日+ 5月7日+ 5月8日+ 5月9日+ 5月10日 ）＝ （21+22+21+24+26）＝22.8（℃）．
已知2021年的 从5月8日起首次连续五天大于或等于22℃，而
5月8日
对应着
5月6日
～
5月10日
，其中第一个大于或等于22℃的是
5月7日
，则5月7日即为我市2021年的“入夏
日”．
【新知应用】已知我市2022年的“入夏日”为图中的某一天，请根据信息解决问题：
（1）求2022年的
5月27日
．
（2）写出从哪天开始，图中的 连续五天都大于或等于22℃．并判断今年的“入夏日”．
（3）某媒体报道：“夏天姗姗来迟，衢州2022年的春天比去年长．”你认为这样的说法正
确吗？为什么？（我市2021年和2022年的入春时间分别是2月1日和2月27日）
22．（10分）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．燃油车 新能源车
油箱容积：40升 电池电量：60千瓦时
油价：9元/升 电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米 续航里程：a千米
每千米行驶费用：_____元
每千米行驶费用： 元
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为
多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
23．（10分）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE
为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动
轨迹近似抛物线y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE
上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．
（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．
（2）当a＝ 时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．
（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的
对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据： ≈1.73，
≈2.24）
24．（12分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD为对角线．点E是边AB延长线上的任意一点，
连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．
（1）求证：∠DBG＝90°．（2）若BD＝6，DG＝2GE．
①求菱形ABCD的面积．
②求tan∠BDE的值．
（3）若BE＝AB，当∠DAB的大小发生变化时（0°＜∠DAB＜180°），在AE上找一点T，使
GT为定值，说明理由并求出ET的值．2022年浙江省衢州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图
形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的
图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中
心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自
身重合．
2．（3分）计算结果等于2的是（ ）
A．|﹣2| B．﹣|2| C．2﹣1 D．（﹣2）0
【分析】根据绝对值、负整数指数幂、零指数幂解决此题．
【解答】解：A．根据绝对值的定义，|﹣2|＝2，那么A符合题意．
B．根据绝对值的定义，﹣|2|＝﹣2，那么B不符合题意．
C．根据负整数指数幂， ，那么C不符合题意．
D．根据零指数幂，（﹣2）0＝1，那么D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查绝对值、负整数指数幂、零指数幂，熟练掌握绝对值、负整数指数幂、
零指数幂是解决本题的关键．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，﹣2）落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据第三象限中点的坐标特征：横坐标为负数，纵坐标为负数，由此可确定A点位置．
【解答】解：∵﹣1＜0，﹣2＜0，
∴点A（﹣1，﹣2）在第三象限，
故选：C．
【点评】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握平面直角坐标系中各象限点
的坐标特点是解题的关键．
4．（3分）如图是某品牌运动服的S号，M号，L号，XL号的销售情况统计图，则厂家应生产最
多的型号为（ ）
A．S号 B．M号 C．L号 D．XL号
【分析】利用四个型号的数量所占百分比解答即可
【解答】解：∵32%＞26%＞24%＞18%，
∴厂家应生产最多的型号为M号．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形统计图和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，
必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
5．（3分）线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若a＝1，b＝3，则c的长度可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边直接列式计算即可．
【解答】解：∵线段a＝1，b＝3，
∴3﹣1＜c＜3+1，即2＜c＜4．
观察选项，只有选项A符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系定理，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之
差小于第三边是解题的关键．
6．（3分）某班环保小组收集废旧电池，数据统计如下表．问1节5号电池和1节7号电池的
质量分别是多少？设1节5号电池的质量为x克，1节7号电池的质量为y克，列方程组，
由消元法可得x的值为（ ）5号电池（节） 7号电池（节） 总质量（克）
第一天 2 2 72
第二天 3 2 96
A．12 B．16 C．24 D．26
【分析】根据题意可得2x+2y＝72，3x+2y＝96．，联立成二元一次方程组求解即可．
【解答】解：由题意得：
，
解得 ，
故选：C．
【点评】此题考查二元一次方程组的实际运用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关
系，列出方程组．
7．（3分）不等式组 的解集是（ ）
A．x＜3 B．无解 C．2＜x＜4 D．3＜x＜4
【分析】先解出每个不等式，再求公共解集即可．
【解答】解： ，
解不等式①得x＜4，
解不等式②得x＞3，
∴不等式组的解集为3＜x＜4，
故选：D．
【点评】本题考查解不等式组，解题的关键是掌握求不等式公共解集的方法．
8．（3分）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图
2的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG
长，即可算得物高EG．令BG＝x（m），EG＝y（m），若a＝30cm，b＝60cm，AB＝1.6m，则y
关于x的函数表达式为（ ）A．y＝ x B．y＝ x+1.6
C．y＝2x+1.6 D．y＝ +1.6
【分析】根据题意和图形，可以得到AF＝BG＝xm，EF＝EG﹣FG，FG＝AB＝1.6m，EG＝
ym，然后根据相似三角形的性质，可以得到y与x的函数关系式．
【解答】解：由图2可得，
AF＝BG＝xm，EF＝EG﹣FG，FG＝AB＝1.6m，EG＝ym，
∴EF＝（y﹣1.6）m，
∵CD⊥AF，EF⊥AF，
∴CD∥EF，
∴△ADC∽△AFE，
∴ ，
即 ，
∴ ，
化简，得y＝ x+1.6，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题
意，利用数形结合的思想解答．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°．分别以点A，C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为
半径画弧，交BC于点H，连结AG，AH．则下列说法错误的是（ ）
A．AG＝CG B．∠B＝2∠HAB C．△CAH≌△BAG D．BG2＝CG⋅CB
【分析】根据基本作图得到DE垂直平分AC，GH＝GC，再根据线段垂直平分线的性质得
到AF＝CF，GF⊥AC，GC＝GA，于是可对A选项进行判断；通过证明FG为△ACH的中
位线得到FG∥AH，所以AH⊥AC，则可计算出∠HAB＝18°，则∠B＝2∠HAB，于是可对B
选项进行判断；计算出∠BAG＝72°，∠AGB＝72°，而△ACH为直角三角形，则根据全等三
角形的判定方法可对C选项进行判断；通过证明△CAG∽△CBA，利用相似比得到CA2＝
CG•CB，然后利用AB＝GB＝AC可对D选项进行判断．
【解答】解：由作法得DE垂直平分AC，GH＝GC，
∴AF＝CF，GF⊥AC，GC＝GA，所以A选项不符合题意；
∵CG＝GH，CF＝AF，
∴FG为△ACH的中位线，
∴FG∥AH，
∴AH⊥AC，
∴∠CAH＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝36°，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝108°，
∴∠HAB＝108°﹣∠CAH＝18°，
∴∠B＝2∠HAB，所以B选项不符合题意；
∵GC＝GA，
∴∠GAC＝∠C＝36°，
∴∠BAG＝108°﹣∠GAC＝72°，∠AGB＝∠C+∠GAC＝72°，
∵△ACH为直角三角形，
∴△CAH与△BAG不全等，所以C选项符合题意；
∵∠GCA＝∠ACB，∠CAG＝∠B，∴△CAG∽△CBA，
∴CG：CA＝CA：CB，
∴CA2＝CG•CB，
∵∠BAG＝∠AGB＝72°，
∴AB＝GB，
而AB＝AC，
∴AC＝GB，
∴BG2＝CG•CB，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了
全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质和相似三角形的判定与性质．
10．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的
值为（ ）
A． 或4 B． 或﹣ C．﹣ 或4 D．﹣ 或4
【分析】分两种情况讨论：当a＞0时，﹣a＝﹣4，解得a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，9a﹣
a＝﹣4，解得a＝﹣ ．
【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为（1，﹣a），
当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，
∵y的最小值为﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，解得a＝﹣ ；
综上所述：a的值为4或﹣ ，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函
数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算 （ ）2＝ 2 ．
【分析】直接计算即可．
【解答】解：原式＝2．
故答案是2．
【点评】本题考查了二次根式的乘方．掌握乘方的含义是关键．
12．（4分）不透明袋子里装有仅颜色不同的4个白球和2个红球，从袋子中随机摸出一球，
“摸出红球”的概率是 ．
【分析】用红色球的个数除以球的总个数即可．
【解答】解：∵袋子中共有4+2＝6个除颜色外其它都相同的球，其中红球有2个，
∴从袋子中随机摸出一个小球，摸出的球是红球的概率是 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可
能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
13．（4分）如图，AB切 O于点B，AO的延长线交 O于点C，连结BC．若∠A＝40°，则∠C
的度数为 25 ° ．⊙ ⊙
【分析】连接OB，先根据切线的性质求出∠AOB，再根据OB＝OC，∠AOB＝∠C+∠OBC
即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OB．∵AB是 O切线，
∴OB⊥A⊙B，
∴∠ABO＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠AOB＝90°﹣∠A＝50°，
∵OC＝OB，
∴∠C＝∠OBC，
∵∠AOB＝∠C+∠OBC，
∴∠C＝25°．
故答案为：25°．
【点评】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余等知识，解题的
关键是添加辅助线构造直角三角形．
14．（4分）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x
（cm）满足的一元二次方程： 1 5 x （ 1 0 ﹣ x ）＝ 36 0 （不必化简）．
【分析】根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可．
【解答】解：由题意可得：长方体的高为：15cm，宽为：（20﹣2x）÷2（cm），
则根据题意，列出关于x的方程为：15x（10﹣x）＝360．
故答案为：15x（10﹣x）＝360．
【点评】此题主要考查了有实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出长方体的棱长是解题关键．
15．（4分）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y＝ （x＞0）
的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC ＝6，则k＝
．
【分析】作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，设C（m， ），则OM＝m，CM＝ ，根据平行
线分线段成比例求出DN，BN，OA，MN，再根据面积公式即可求出k的值．
【解答】解：如图，作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，
设C（m， ），
则OM＝m，CM＝ ，
∵OE∥CM，AE＝CE，
∴ ＝ ＝1，
∴AO＝m，
∵DN∥CM，CD＝2BD，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴DN＝ ，
∴D的纵坐标为 ，∴ ＝ ，
∴x＝3m，
即ON＝3m，
∴MN＝2m，
∴BN＝m，
∴AB＝5m，
∵S△ABC ＝6，
∴5m• ＝6，
∴k＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例，解题时注意：
反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
16．（4分）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，A，B是两侧山脚的入口，从B
出发任作线段BC，过C作CD⊥BC，然后依次作垂线段DE，EF，FG，GH，直到接近A点，
作AJ⊥GH于点J．每条线段可测量，长度如图所示．分别在BC，AJ上任选点M，N，作
MQ⊥BC，NP⊥AJ，使得 ＝ ＝k，此时点P，A，B，Q共线．挖隧道时始终能看见P，Q
处的标志即可．
（1）CD﹣EF﹣GJ＝ 1. 8 km．
（2）k＝ ．
【分析】（1）根据图中三条线段所标数据即可解答；（2）连接AB，过点A作AZ⊥CB，交CB的延长线于点Z．易得AZ＝1.8，BZ＝4＝2.6，证明
△BMQ∽△BZA，即可解答．
【解答】解：（1）CD﹣EF﹣GJ＝5.5﹣1﹣2.7＝1.8（km）；
（2）连接AB，过点A作AZ⊥CB，交CB的延长线于点Z．
由矩形性质得：AZ＝CD﹣EF﹣GJ＝1.8，
BZ＝DE+FG﹣CB﹣AJ＝4.9+3.1﹣3﹣2.4＝2.6，
∵点P，A，B，Q共线，
∴∠MBQ＝∠ZBA，
又∵∠BMQ＝∠BZA＝90°，
∴△BMQ∽△BZA，
∴ ＝k＝ ＝ ＝ ．
故答案为：1.8； ．
【点评】本题重点考查矩形性质和相似三角形的判定和性质，解题关键是恰当作出辅助线．
三、解答题（本题共有8小题，第17～19小题每题6分，第20～21小题每题8分，第22～23
小题每题10分，第24小题12分，共66分．请务必写出解答过程）
17．（6分）（1）因式分解：a2﹣1．
（2）化简： + ．
【分析】（1）应用因式分解﹣运用公式法，平方差公式进行计算即可得出答案；
（2）运算异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通
分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，进行计算即可得出答案．
【解答】解 （1）a2﹣1＝（a﹣1）（a+1）；
（2） ．【点评】本题主要考查了分式的加减法及因式分解﹣运用公式法，熟练掌握分式的加减法
及因式分解﹣运用公式法的方法进行求解是解决本题的关键．
18．（6分）已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．
【分析】根据邻补角的定义得出∠ACB＝∠ACD，利用ASA证明△ACB≌△ACD，根据全等
三角形的性质即可得解．
【解答】证明：∵∠3＝∠4，
∴∠ACB＝∠ACD，
在△ACB和△ACD中，
，
∴△ACB≌△ACD（ASA），
∴AB＝AD．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用ASA证明△ACB≌△ACD是解题的关
键．
19．（6分）如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点
在格点上），并写出结论．
（1）在图1中画一条线段垂直AB．
（2）在图2中画一条线段平分AB．
【分析】（1）利用数形结合的思想作出图形即可；
（2）利用矩形的对角线互相平分解决问题即可．
【解答】解：（1）如图1中，线段EF即为所求（答案不唯一）；（2）如图2中，线段EF即为所求（答案不唯一）．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，
解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
20．（8分）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．
（1）求证：CD∥AB．
（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据圆周角定理可得，∠ACD＝∠DBA，由已知条件可得∠CAB＝∠ACD，再
根据平行线的判定方法即可得出答案；
（2）连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．由∠ACD＝30°，可得∠ACD＝∠CAB＝30°，
根据圆周角定理可得∠AOD＝∠COB＝60°，即可得出∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝
60°，∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，即可算出S扇形BOD ＝ 的面积，在Rt△ODE中，
根据三角函数可算出DE＝cos30°OD的长度，即可算出S△BOD ＝ 的面积，根据S
阴影
＝S扇形BOD ﹣S△BOD 代入计算即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵ ＝ ，
∴∠ACD＝∠DBA，
又∵∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴CD∥AB．
（2）如图，连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．∵∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴S扇形BOD ＝ ．
在Rt△ODE中，
∵DE＝sin60°•OD＝ ＝ ，
∴S△BOD ＝ ＝ ＝ ，
∴S阴影 ＝S扇形BOD ﹣S△BOD ＝ ．
∴S阴影 ＝ ．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握
扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
21．（8分）【新知学习】在气象学上，“入夏”由两种平均气温与22℃比较来判断：
衢州市2021年5月5日～5月14日的两种平均气温统计表（单位：℃）
2021年5月 5日 6日 7日 8日 9日 10 11 12 13 14
日 日 日 日 日
（日平均气温） 20 21 22 21 24 26 25 24 25 27
（五天滑动平 … … 21.6 22.8 23.6 24 24.8 25.4 … …
均气温）
注：“五天滑动平均气温”指某一天及其前后各两天的日平均气温的平均数，如：
5月8日
＝ （ 5月6日+ 5月7日+ 5月8日+ 5月9日+ 5月10日 ）＝ （21+22+21+24+26）＝22.8（℃）．
已知2021年的 从5月8日起首次连续五天大于或等于22℃，而
5月8日
对应着
5月6日
～
5月10日
，其中第一个大于或等于22℃的是
5月7日
，则5月7日即为我市2021年的“入夏
日”．【新知应用】已知我市2022年的“入夏日”为图中的某一天，请根据信息解决问题：
（1）求2022年的
5月27日
．
（2）写出从哪天开始，图中的 连续五天都大于或等于22℃．并判断今年的“入夏日”．
（3）某媒体报道：“夏天姗姗来迟，衢州2022年的春天比去年长．”你认为这样的说法正
确吗？为什么？（我市2021年和2022年的入春时间分别是2月1日和2月27日）
【分析】（1）根据算术平均数的定义解答即可；
（2）根据统计图数据解答即可；
（3）根据统计图数据解答即可．
【解答】解（1） （℃）；
（2）从5月27日开始， 连续五天都大于或等于22℃，我市2022年的“入夏日”为5月
25日；
（3）不正确．因为今年的入夏时间虽然比去年迟了18天，但是今年的入春时间比去年迟了
26天，所以今年的春天应该比去年还短．
【点评】本题考查了算术平均数，掌握算术平均数的计算方法解答的关键．
22．（10分）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车 新能源车
油箱容积：40升 电池电量：60千瓦时
油价：9元/升 电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米 续航里程：a千米
每千米行驶费用：_____元
每千米行驶费用： 元
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为
多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应
的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
【解答】解：（1）由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为： ＝ （元），
即新能源车的每千米行驶费用为 元；
（2）①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，
∴ ﹣ ＝0.54，
解得a＝600，
经检验，a＝600是原分式方程的解，
∴ ＝0.6， ＝0.06，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；
②设每年行驶里程为xkm，
由题意得：0.6x+4800＞0.06x+7500，
解得x＞5000，
答：当每年行驶里程大于5000km时，买新能源车的年费用更低．
【点评】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是
明确题意，列出相应的分式方程和不等式．
23．（10分）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE
为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动
轨迹近似抛物线y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE
上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．
（2）当a＝ 时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．
（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的
对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据： ≈1.73，
≈2.24）
【分析】（1）由图2可知：C（8，16），E（40，0），利用待定系数法可得出结论；
（2）当 时， ，联立 ，可得出点P的横坐标，
比较即可得出结论；
（3）①猜想a与v2成反比例函数关系．将（100，0.250）代入表达式，求出m的值即可．将
（150，0.167）代入 进行验证即可得出结论；
②由K在线段 上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x+20，得 ．由
得v2＝320，比较即可．
【解答】解：（1）由图2可知：C（8，16），E（40，0），
设CE：y＝kx+b（k≠0），
将C（8，16），E（40，0）代入得： ，解得 ，
∴线段CE的函数表达式为 （8≤x≤40）．（2）当 时， ，
由题意得 ，
解得x ＝0（舍去），x ＝22.5．
1 2
∴P的横坐标为22.5．
∵22.5＜32，
∴成绩未达标．
（3）①猜想a与v2成反比例函数关系．
∴设 ，
将（100，0.250）代入得 ，解得m＝25，
∴ ．
将（150，0.167）代入 验证： ，
∴ 能相当精确地反映a与v2的关系，即为所求的函数表达式．
②由K在线段 上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x+20，得 ．
由 得v2＝320，
又∵v＞0，
∴ ．
∴当v≈18m/s时，运动员的成绩恰能达标．
【点评】本题属于函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，反比例函数的应用及二
次函数综合应用，熟知待定系数法求函数解析式是解题关键．
24．（12分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD为对角线．点E是边AB延长线上的任意一点，
连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．
（1）求证：∠DBG＝90°．
（2）若BD＝6，DG＝2GE．
①求菱形ABCD的面积．
②求tan∠BDE的值．（3）若BE＝AB，当∠DAB的大小发生变化时（0°＜∠DAB＜180°），在AE上找一点T，使
GT为定值，说明理由并求出ET的值．
【分析】（1）由菱形的性质得CB＝AB，CD＝AD，可证明△ABD≌△CBD，得∠CBD＝
∠ABC，而∠CBG＝ ∠EBC，所以∠DBG＝ （∠ABC+∠EBC）＝90°；
（2）①连结AC交BD于点K，交DE于点L，由∠AKB＝90°，AB＝5，DK＝BK＝ BD＝3，
根据勾股定理可求得AK＝4，则AC＝8，即可由S菱形ABCD ＝ AC•BD求出菱形ABCD的
面积；
②先由∠DKL＝∠DBG＝90°证明AC∥BG，则 ＝ ＝1，所以DL＝GL＝ DG，再由
DG＝2GE得GE＝ DG，则DL＝GL＝GE，即可由CD∥AB，得 ＝ ＝ ，可求得CL
＝ AC＝ ，所以KL＝4﹣ ＝ ，再求出tan∠BDE的值即可；
（3）过点G作GT∥BC，交AE于点T，由∠DKL＝∠DBG＝90°可知，当∠DAB的大小发生
变化时，始终都有BG∥AC，由△BGE∽△ALE得 ＝ ＝1，所以EG＝LG，同理可得
DL＝LG，再证明△ETG∽△EAD，得 ＝ ＝ ＝ ，即可求得GT＝ ，说明GT为定
值，再求出ET的值即可．
【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝AB，CD＝AD，
∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，
∴∠CBD＝∠ABD＝ ∠ABC，
∵∠CBG＝∠EBG＝ ∠EBC，
∴∠DBG＝∠CBD+∠CBG＝ （∠ABC+∠EBC）＝ ×180°＝90°．
（2）解：①如图2，连结AC交BD于点K，交DE于点L，
∵AC⊥BD，
∴∠AKB＝90°，
∵AB＝5，BD＝6，
∴BK＝DK＝ BD＝3，
∴AK＝ ＝ ＝4，
∴CK＝AK＝4，
∴AC＝8，
∴S菱形ABCD ＝ AC•BD＝ ×8×6＝24.
②∵∠DKL＝∠DBG＝90°，
∴AC∥BG，
∴ ＝ ＝1，
∴DL＝GL＝ DG，
∵DG＝2GE，
∴GE＝ DG，
∴DL＝GL＝GE，
∵CD∥AB，
∴ ＝ ＝ ，
∴CL＝ AC＝ ×8＝ ，∴KL＝4﹣ ＝ ，
∴tan∠BDE＝ ＝ ＝ ．
（3）解：如图3，过点G作GT∥BC，交AE于点T，则GT为定值，
理由：连结AC交BD于点K，交DE于点L，
∵∠DKL＝∠DBG＝90°，
∴当∠DAB的大小发生变化时，始终都有BG∥AC，
∴△BGE∽△ALE，
∵BE＝AB，
∴ ＝ ＝1，
∴EG＝LG，
∵KL∥BG，
∴ ＝ ＝1，
∴DL＝LG＝EG＝ ED，
∵AD∥BC，
∴GT∥AD，
∴△ETG∽△EAD，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∵BE＝AB＝DA＝5，
∴GT＝ DA＝ ×5＝ ，
∴GT为定值；
∵EA＝BE+AB＝10，
∴ET＝ EA＝ ×10＝ ．【点评】此题重点考查菱形的性质、平行线的判定、平行线分线段成比例定理、相似三角形的
判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键，此题综合性强，难
度较大，属于考试压轴题．
