文档内容
2022年江西省中考数学试卷
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）下列各数中，负数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．
2．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．a＝﹣b
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．﹣（m﹣n）＝﹣m+n
C．m（m+n）＝m2+n D．（m+n）2＝m2+n2
4．（3分）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母
“H”的个数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．（3分）如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（ ）
A． B．C． D．
6．（3分）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度（t ℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法
中，错误的是（ ）
A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B．当温度升高至t ℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大
2
C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g
D．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）因式分解：a2﹣3a＝ ．
8．（3分）正五边形的外角和为 度．
9．（3分）关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
10．（3分）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人
所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时
采样x人，则可列分式方程为 ．
11．（3分）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形
（如图所示），则长方形的对角线长为 ．12．（3分）已知点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB
为等腰三角形，且腰长为5，则AB的长为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：|﹣2|+ ﹣20；
（2）解不等式组： ．
14．（6分）以下是某同学化简分式（ ﹣ ）÷ 的部分运算过程：
解：
解：原式＝[ ﹣ ]× ①
＝[ ﹣ ]×
②
＝ × ③
…
（1）上面的运算过程中第 步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
15．（6分）某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，
其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选．
（1）“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是 事件；
A．不可能
B．必然
C．随机
（2）若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士
都是共产党员的概率．
16．（6分）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作∠ABC的角平分线；
（2）在图 2 中过点 C 作一条直线 l，使点 A，B 到直线 l 的距离相等．
17．（6分）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE．
（1）求证：△ABC∽△AEB；
（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，点A（m，4）在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，点B在y轴上，OB＝2，将
线段AB向右下方平移，得到线段CD，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴
正半轴上，且OD＝1．
（1）点B的坐标为 ，点D的坐标为 ，点C的坐标为 （用含m的
式子表示）；
（2）求k的值和直线AC的表达式．19．（8分）课本再现
（1）在 O中，∠AOB是 所对的圆心角，∠C是 所对的圆周角，我们在数学课上探索
两者之⊙间的关系时，要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请
你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C
＝ ∠AOB；
知识应用
（2）如图4，若 O的半径为2，PA，PB分别与 O相切于点A，B，∠C＝60°，求PA的长．
⊙ ⊙
20．（8分）图 1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图 2所示的示意图，已知
AB∥CD∥FG，A，D，H，G四点在同一直线上，测得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝
6.2m．（结果保留小数点后一位）
（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；
（2）求雕塑的高（即点G到AB的距离）．
（参考数据：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）在“双减”政策实施两个月后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“‘双
减’前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问卷调查（以下将“参加校外学
科补习班”简称“报班”），根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，
分别得到统计表1和统计图1：
整理描述
表1：“双减”前后报班情况统计表（第一组）
报班数 0 1 2 3 4及以上 合计
人数
类别
“双减” 102 48 75 51 24 m
前
“双减” 255 15 24 n 0 m
后
（1）根据表1，m的值为 ， 的值为 ；分析处理
（2）请你汇总表1和图1中的数据，求出“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比；
（3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图2）．请依
据以上图表中的信息回答以下问题：
①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为 ，“双减”后学生报班个
数的众数为 ；
②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括）．
22．（9分）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线
是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，
着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．
2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水
平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距
离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）c的值为 ；
（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣ ，b＝ ，求基准点K的高度h；
②若a＝﹣ 时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 ；
（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否
超过K点，并说明理由．
六、解答题（本大题共12分）
23．（12分）综合与实践
问题提出
某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板 PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角
三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．
操作发现
（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠
部分的面积为 ；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为 ；一般地，若正
方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S 与S的关系为 ；
1
类比探究
（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于
点M，N．
①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；
②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；
拓展应用
（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝ ），
将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围α成
的图形的面积为S ，请直接写出S 的最小值与最大值（分别用含 的式子表示）．
2 2
α
（参考数据：sin15°＝ ，cos15°＝ ，tan15°＝2﹣ ）2022年江西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）下列各数中，负数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．
【分析】根据负数的定义即可得出答案．
【解答】解：﹣1是负数，2， 是正数，0既不是正数也不是负数，
故选：A．
【点评】本题考查了实数，掌握在正数前面添加“﹣”得到负数是解题的关键．
2．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．a＝﹣b
【分析】根据数轴上右边的数总比左边的大即可得出答案．
【解答】解：根据数轴得：a＜b，|a|＞|b|，故C选项符合题意，A，B，D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．﹣（m﹣n）＝﹣m+n
C．m（m+n）＝m2+n D．（m+n）2＝m2+n2
【分析】根据同底数幂的乘法判断A选项；根据去括号法则判断B选项；根据单项式乘多
项式判断C选项；根据完全平方公式判断D选项．
【解答】解：A选项，原式＝m5，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝﹣m+n，故该选项符合题意；
C选项，原式＝m2+mn，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝m2+2mn+n2，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握（a+b）2＝a2+2ab+b2是解题的关键．
4．（3分）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．
【解答】解：第1个图中H的个数为4，
第2个图中H的个数为4+2，
第3个图中H的个数为4+2×2，
第4个图中H的个数为4+2×3＝10，
故选：B．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每
个图形比上一个图形多2个H是解题的关键．
5．（3分）如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：如图，它的俯视图为：故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看上边看得到的图形是俯视图．注意看
得见的棱画实线，看不见的棱画虚线．
6．（3分）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度（t ℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法
中，错误的是（ ）
A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B．当温度升高至t ℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大
2
C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g
D．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等
【分析】利用函数图象的意义可得答案．
【解答】解：由图象可知，A、B、C都正确，
当温度为t ℃时，甲、乙的溶解度都为30g，故D错误，
1
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的图象，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）因式分解：a2﹣3a＝ a （ a ﹣ 3 ） ．
【分析】直接把公因式a提出来即可．
【解答】解：a2﹣3a＝a（a﹣3）．
故答案为：a（a﹣3）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．
8．（3分）正五边形的外角和为 36 0 度．【分析】根据多边形外角和等于360°即可解决问题．
【解答】解：正五边形的外角和为360度，
故答案为：360．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是掌握多边形外角和等于360°．
9．（3分）关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 1 ．
【分析】根据根的判别式Δ＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4×1×k＝0，
解得：k＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的
关键．
10．（3分）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人
所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时
采样x人，则可列分式方程为 ＝ ．
【分析】由实际问题找到合适的等量关系即可抽象出分式方程．
【解答】解：设甲每小时采样x人，则乙每小时采样（x﹣10）人，根据题意得：
＝ ．
故答案为： ＝ ．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等
量关系是解决问题的关键．
11．（3分）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形
（如图所示），则长方形的对角线长为 ．
【分析】根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，然后利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，
长方形的宽是正方形对角线的一半为1，
则长方形的对角线长＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了正方形的性质，七巧板，矩形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的
性质．
12．（3分）已知点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB
为等腰三角形，且腰长为5，则AB的长为 5 或 2 或 ．
【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．
【解答】解：当AO＝AB时，AB＝5；
当AB＝BO时，AB＝5；
当OA＝OB时，设A（a， ）（a＞0），B（5，0），
∵OA＝5，
∴ ＝5，
解得：a ＝3，a ＝4，
1 2
∴A（3，4）或（4，3），
∴AB＝ ＝2 或AB＝ ＝ ；
综上所述，AB的长为5或2 或 ．
故答案为：5或2 或 ．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论
的思想，当OA＝OB时，求出点A的坐标是解题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）计算：|﹣2|+ ﹣20；
（2）解不等式组： ．
【分析】（1）根据绝对值的性质，算术平方根的意义，零指数幂的意义解答即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大
大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝2+2﹣1，
＝3．
（2）
解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x＞1，
∴不等式组的解集为：1＜x＜3．
【点评】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是
基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此
题的关键．
14．（6分）以下是某同学化简分式（ ﹣ ）÷ 的部分运算过程：
解：
解：原式＝[ ﹣ ]× ①
＝[ ﹣ ]×
②
＝ × ③
…
（1）上面的运算过程中第 ③ 步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
【分析】根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即
可．
【解答】解：（1）第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，
故答案为：③；（2）原式＝[ ﹣ ]× ，
＝[ ﹣ ]× ，
＝ × ，
＝ × ，
＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
15．（6分）某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，
其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选．
（1）“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是 C 事件；
A．不可能
B．必然
C．随机
（2）若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士
都是共产党员的概率．
【分析】（1）根据随机事件的定义即可解决问题；
（2）从甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共
产党员用G表示．从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，然后利
用树状图即可解决问题．
【解答】解：（1）随机抽取1人，甲恰好被抽中”是随机事件；
故答案为：C；
（2）设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党员用G表示．从这4名护士中随机抽
取2人，所有可能出现的结果共有12种，如图所示：
它们出现的可能性相同，所有的结果中，被抽到的两名护士都是共产党员的（记为事件A）的结果有6种，
则P（A）＝ ＝ ，
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，随机事件．解决本题的关键是掌握
列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．
用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（6分）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图
痕迹）．
（1）在图1中作∠ABC的角平分线；
（2）在图 2 中过点 C 作一条直线 l，使点 A，B 到直线 l 的距离相等．
【分析】（1）连接AC，取AC的中点P，作射线BP即可；
（2）利用数形结合的射线画出图形即可．
【解答】解：（1）如图1中，射线BP即为所求；
（2）如图2中，直线l或直线l′即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题
意，灵活运用所学知识解决问题．
17．（6分）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE．（1）求证：△ABC∽△AEB；
（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．
【分析】（1）根据两角相等可得两三角形相似；
（2）根据（1）中的相似列比例式可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ACD＝∠BCA，
∵∠ACD＝∠ABE，
∴∠BCA＝∠ABE，
∵∠BAC＝∠EAB，
∴△ABC∽△AEB；
（2）解：∵△ABC∽△AEB，
∴ ＝ ，
∵AB＝6，AC＝4，
∴ ＝ ，
∴AE＝ ＝9．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性
质和判定是解本题的关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，点A（m，4）在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，点B在y轴上，OB＝2，将
线段AB向右下方平移，得到线段CD，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴
正半轴上，且OD＝1．
（1）点B的坐标为 （ 0 ， 2 ） ，点D的坐标为 （ 1 ， 0 ） ，点C的坐标为 （ m + 1 ， 2 ）
（用含m的式子表示）；（2）求k的值和直线AC的表达式．
【分析】（1）根据OB＝2可得点B的坐标，根据OD＝1可得点D的坐标为（1，0），由平移
规律可得点C的坐标；
（2）根据点C和D的坐标列方程可得m的值，从而得k的值，再利用待定系数法可得直线
AC的解析式．
【解答】解：（1）由题意得：B（0，2），D（1，0），
由平移可知：线段AB向下平移2个单位，再向右平移1个单位，
∵点A（m，4），
∴C（m+1，2），
故答案为：（0，2），（1，0），（m+1，2）；
（2）∵点A和点C在反比例函数y＝ 的图象上，
∴k＝4m＝2（m+1），
∴m＝1，
∴A（1，4），C（2，2），
∴k＝1×4＝4，
设直线AC的表达式为：y＝nx+b，
，
解得： ，
∴直线AC的表达式为：y＝﹣2x+6．
【点评】此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质，根据OB和
OD的长得出平移的规律是解题关键．
19．（8分）课本再现（1）在 O中，∠AOB是 所对的圆心角，∠C是 所对的圆周角，我们在数学课上探索
两者之⊙间的关系时，要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请
你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C
＝ ∠AOB；
知识应用
（2）如图4，若 O的半径为2，PA，PB分别与 O相切于点A，B，∠C＝60°，求PA的长．
⊙ ⊙
【分析】（1）①如图2，当点O在∠ACB的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰三
角形的性质可得结论；②如图3，当O在∠ACB的外部时，作直径CD，同理可理结论；
（2）如图4，先根据（1）中的结论可得∠AOB＝120°，由切线的性质可得∠OAP＝∠OBP＝
90°，可得∠OPA＝30°，从而得PA的长．
【解答】解：（1）①如图2，连接CO，并延长CO交 O于点D，
⊙
∵OA＝OC＝OB，
∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO，
∵∠AOD＝∠A+∠ACO＝2∠ACO，∠BOD＝∠B+∠BCO＝2∠BCO，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠ACO+2∠BCO＝2∠ACB，∴∠ACB＝ ∠AOB；
③如图3，连接CO，并延长CO交 O于点D，
⊙
∵OA＝OC＝OB，
∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO，
∵∠AOD＝∠A+∠ACO＝2∠ACO，∠BOD＝∠B+∠BCO＝2∠BCO，
∴∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD＝2∠ACO﹣2∠BCO＝2∠ACB，
∴∠ACB＝ ∠AOB；
（2）如图4，连接OA，OB，OP，
∵∠C＝60°，
∴∠AOB＝2∠C＝120°，
∵PA，PB分别与 O相切于点A，B，
⊙
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠APO＝∠BPO＝ ∠APB＝ （180°﹣120°）＝30°，
∵OA＝2，
∴OP＝2OA＝4，∴PA＝ ＝2 ．
【点评】本题考查了切线长定理，圆周角定理等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本
题的关键．
20．（8分）图 1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图 2所示的示意图，已知
AB∥CD∥FG，A，D，H，G四点在同一直线上，测得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝
6.2m．（结果保留小数点后一位）
（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；
（2）求雕塑的高（即点G到AB的距离）．
（参考数据：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）
【分析】（1）根据平行四边形的定义可得结论；
（2）过点G作GP⊥AB于P，计算AG的长，利用∠A的正弦可得结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CDG＝∠A，
∵∠FEC＝∠A，
∴∠FEC＝∠CDG，
∴EF∥DG，
∵FG∥CD，
∴四边形DEFG为平行四边形；
（2）解：如图，过点G作GP⊥AB于P，∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG＝EF＝6.2，
∵AD＝1.6，
∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，
Rt△APG中，sinA＝ ，
∴ ＝0.96，
∴PG＝7.8×0.96＝7.488≈7.5．
答：雕塑的高为7.5m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，正确作辅助线构建直角
三角形解决问题．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）在“双减”政策实施两个月后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“‘双
减’前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问卷调查（以下将“参加校外学
科补习班”简称“报班”），根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，
分别得到统计表1和统计图1：
整理描述
表1：“双减”前后报班情况统计表（第一组）
报班数 0 1 2 3 4及以上 合计
人数
类别
“双减” 102 48 75 51 24 m
前
“双减” 255 15 24 n 0 m
后（1）根据表1，m的值为 30 0 ， 的值为 0.0 2 ；
分析处理
（2）请你汇总表1和图1中的数据，求出“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比；
（3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图2）．请依
据以上图表中的信息回答以下问题：
①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为 1 ，“双减”后学生报班个数
的众数为 0 ；
②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括）．
【分析】（1）将表1中“双减前”各个数据求和确定m的值，然后再计算求得n值，从而求
解；
（2）通过汇总表1和图1求得“双减后”报班数为3的学生人数，从而求解百分比；
（3）①根据中位数和众数的概念分析求解；
②根据“双减”政策对学生报班个数的影响结果角度进行分析说明．
【解答】解：（1）m＝102+48+75+51+24＝300，
n＝m﹣（255+15+24）＝6，
∴ ＝ ＝0.02，
故答案为：300；0.02；
（2）汇总表1和图1可得：
0 1 2 3 4及以上 总数
“双减”前 172 82 118 82 46 500“双减”后 423 24 40 12 1 500
×100%＝2.4%，
答：“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比为2.4%；
（3）①“双减”前共调查500个数据，从小到大排列后，第250个和第251个数据均为1，
∴“双减”前学生报班个数的中位数为1，
“双减”后学生报班个数出现次数最多的是0，
∴“双减”后学生报班个数的众数为0，
故答案为：1；0；
②从“双减”前后学生报班个数的变化情况说明：“双减”政策宣传落实到位，参加校
外培训机构的学生大幅度减少，“双减”取得了显著效果．
【点评】本题考查统计的应用，理解题意，对数据进行采集和整理，掌握中位数和众数的概
念是解题关键．
22．（9分）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线
是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，
着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．
2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水
平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距
离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）c的值为 6 6 ；
（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣ ，b＝ ，求基准点K的高度h；
②若a＝﹣ 时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 b ＞ ；
（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否
超过K点，并说明理由．【分析】（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；
（2）①由a＝﹣ ，b＝ ，知y＝﹣ x2+ x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离
为75m，即得基准点K的高度h为21m；
②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣ ×752+75b+66＞21，即可解得
答案；
（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，
76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣ （x﹣25）2+76，
当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点．
【解答】解：（1）∵起跳台的高度OA为66m，
∴A（0，66），
把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：
c＝66，
故答案为：66；
（2）①∵a＝﹣ ，b＝ ，
∴y＝﹣ x2+ x+66，
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，
∴y＝﹣ ×752+ ×75+66＝21，
∴基准点K的高度h为21m；
②∵a＝﹣ ，∴y＝﹣ x2+bx+66，
∵运动员落地点要超过K点，
∴x＝75时，y＞21，
即﹣ ×752+75b+66＞21，
解得b＞ ，
故答案为：b＞ ；
（3）他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为（25，76），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：
66＝a（0﹣25）2+76，
解得a＝﹣ ，
∴抛物线解析式为y＝﹣ （x﹣25）2+76，
当x＝75时，y＝﹣ ×（75﹣25）2+76＝36，
∵36＞21，
∴他的落地点能超过K点．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化
为数学问题．
六、解答题（本大题共12分）
23．（12分）综合与实践
问题提出
某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板 PEF
（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角
三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．
操作发现（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠
部分的面积为 1 ；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为 1 ；一般地，若正方形
面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S 与S的关系为 S ＝ S ；
1 1
类比探究
（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于
点M，N．
①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；
②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；
拓展应用
（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝ ），
将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围α成
的图形的面积为S ，请直接写出S 的最小值与最大值（分别用含 的式子表示）．
2 2
α
（参考数据：sin15°＝ ，cos15°＝ ，tan15°＝2﹣ ）
【分析】（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，
OE与OC重合，此时重叠部分的面积＝△OBC的面积＝ 正方形ABCD的面积＝1；当
OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积＝ 正方形ABCD的面积＝1；一般地，若正
方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S 与S的关系为S ＝ S．利用全等三角形
1 1
的性质证明即可；
（2）①结论：△OMN是等边三角形．证明OM＝ON，可得结论；②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．证明△OCM≌△OCN（SAS），推出
∠COM＝∠CON＝30°，解直角三角形求出OJ，即可解决问题；
（3）如图4﹣1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM＝CN时，△OMN的面积最小，即S
2
最小．如图4﹣2中，当CM＝CN时，S 最大．分别求解即可．
2
【解答】解：（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重
合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积＝△OBC的面积＝ 正方形ABCD的面积＝
1；
当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积＝ 正方形ABCD的面积＝1；
一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S 与S的关系为S ＝ S．
1 1
理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，
ON⊥BC于点N．
∵O是正方形ABCD的中心，
∴OM＝ON，
∵∠OMB＝∠ONB＝∠B＝90°，
∴四边形OMBN是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形OMBN是正方形，
∴∠MON＝∠EOF＝90°，
∴∠MOJ＝∠NOK，
∵∠OMJ＝∠ONK＝90°，
∴△OMJ≌△ONK（AAS），∴S△PMJ ＝S△ONK ，
∴S四边形OKBJ ＝S正方形OMBN ＝ S正方形ABCD ，
∴S ＝ S．
1
故答案为：1，1，S ＝ S．
1
（2）①如图2中，结论：△OMN是等边三角形．
理由：过点O作OT⊥BC，
∵O是正方形ABCD的中心，
∴BT＝CT，
∵BM＝CN，
∴MT＝TN，
∵OT⊥MN，
∴OM＝ON，
∵∠MON＝60°，
∴△MON是等边三角形；
②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．∵CM＝CN，∠OCM＝∠OCN，OC＝OC，
∴△OCM≌△OCN（SAS），
∴∠COM＝∠CON＝30°，
∴∠OMJ＝∠COM+∠OCM＝75°，
∵OJ⊥CB，
∴∠JOM＝90°﹣75°＝15°，
∵BJ＝JC＝OJ＝1，
∴JM＝OJ•tan15°＝2﹣ ，
∴CM＝CJ﹣MJ＝1﹣（2﹣ ）＝ ﹣1，
∴S四边形OMCN ＝2× ×CM×OJ＝ ﹣1．
（3）如图4﹣1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM＝CN时，△OMN的面积最小，即S
2
最小．
在Rt△MOQ中，MQ＝OQ•tan ＝tan ，
∴MN＝2MQ＝2tan ，∴S
2
＝S△OMN ＝ ×MN×OQ＝tan ．
如图4﹣2中，当CM＝CN时，S 最大．
2
同法可证△COM≌△CON，
∴∠COM＝ ，
α
∵∠COQ＝45°，
∴∠MOQ＝45°﹣ ，
α
QM＝OQ•tan（45°﹣ ）＝tan（45°﹣ ），
α α
∴MC＝CQ﹣MQ＝1﹣tan（45°﹣ ），
α
∴S
2
＝2S△CMO ＝2× ×CM×OQ＝1﹣tan（45°﹣ ）．
α
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，
四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于
中考压轴题．
