文档内容
专题 01 集合与常用逻辑用语（核心考点精
讲精练）
1. 5年真题考点分布
集合5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2019年全国I，第1题,5
集合的交集 一元二次不等式的解法
分
2019年全国II，第1题,5
集合的交集 一元二次不等式的解法
分
2019年全国III，第1
集合的交集 一元二次不等式的解法
题,5分
2020年全国I，第2题,5 一元二次不等式的解法、含参不等
集合的交集
分 式
2020年全国II，第1题,5
集合的并集、补集 无
分
2020年全国III，第1
集合的交集、点集 无
题,5分
2021年全国甲，第1题,5
集合的交集 无
分
2021年全国乙，第2题,5
集合的交集、子集 无
分
2022年全国甲，第1题,5
集合的并集、补集 解一元二次方程
分
2022年全国乙，第3题,5
集合的补集 无
分
2023年全国甲，第1题,5
集合的并集、补集 整数、余数
分
2023年全国乙，第2题,5
集合的交集、并集、补集 无
分
常用的逻辑用语5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分1 百】2021年全国甲，第7题,5
充分性、必要性 数列的增减性
分
2021年全国乙，第3题,5 “或”、“且”、“非”
三角函数、指数函数
分 命题的真假
2023年全国甲，第7题,5
充分性、必要性 三角函数的平方关系
分
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容集合是全国卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为 5分；常
用的逻辑用语偶尔考查。
【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合的关系
2.能正确处理含参的讨论问题，掌握集合的交、并、补运算和性质
3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合的计算问
题
4.会解一元二次不等式、一元二次方程、简单的分式不等式、简单的含绝对
值的不等式
5.掌握充分条件、必要条件的判断；命题的真假判断；“或”、“且”、
“非”的应用
【命题预测】本节内容是全国卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一
个集合，然后通过集合的运算得出答案。
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分2 百】知识讲解
一、集合与元素
1.集合中元素的三个特征: 确定性 、 互异性 、无序性.
元素的互异性,即集合中不能出现相同的元素,此性质常用于求解含参数的集合问题.
2.集合与元素的关系是属于或 不属于 的关系,用符号“ ∈ ”或“∉”表示.
3.集合的表示法: 列举法 、 描述法 、 图示法 .
4.常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N¿(N ) Z Q R
+
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分3 百】N¿(N ) N 0
正整数集与自然数集的区别： + 比 少一个元素
二、集合间的基本关系
表示
文字语言 符号语言 记法
关系
集合 A 中的 任意一个
A B
子集 元素 都是集合 B 中的 x∈A x∈B
或 B A
元素
⊆
⇒
⊂⊇
A B
基
集合A是集合B的子集,
¿
本
真子集 且集合 B 中 至少 有 A B,且∃x∈B,x∉A
关 ⊃
一个元素不属于集合A A B
系
⊆ ¿
或
集合A,B的元素完全 相
相等 A B,且B A A=B
同
⊆ ⊆
空集是任何集合的子集 ∅⊆A
空集 ⊂
空集是任何非空集合的真子集 ∅ A(A≠∅)
¿
在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如A B，则
要考虑
A=∅和 A≠∅两种可能.
⊆
若 A 为有限集合，含有n个元素的集合有2n个子集,有2n-1个非空子集,有2n-1个真子
集,有2n-2个非空真子集.
三、集合的基本运算
表示 文字 符号
图形语言 记法
运算 语言 语言
属于集合A
{x|x∈A,
且属于集合
交集 且 A ∩ B
B的元素组
x∈B}
成的集合
属于集合
A 或
{x|x∈A
并集 属于集合 A ∪ B
或x∈B}
B的元素
组成的集合
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分4 百】全集U中
不 属 {x|x∈
补集 于集合A U,且x C A
的元素组 ∉ A} U
成的集合
三种集合运算的性质
(1)并集的性质：
A∪∅=A；A∪A=A；A∪B=B∪A； A∪B=A⇔B⊆A
.
(2)交集的性质：
A∩∅=∅；A∩A=A；A∩B=B∩A； A∩B=A⇔A⊆B
.
A∪(C A)=U A∩(C A)=∅ C (C A)=A
(3)补集的性质： U ； U ； U U ；
C (A∩B)=(C A)∪(C B) C (A∪B)=(C A)∩(C B)
U U U ； U U U .
{x|y=x2 +1} {y|y=x2 +1} {(x，y)|y=x2 +1}
【思考】 集合 ， ， 相等吗?
{x|y=x2 +1} =R {y|y=x2 +1} =[1，+∞) {(x，y)|y=x2 +1}
提示 不相等. ， ， 是抛
y=x2 +1
物线 上的点组成的集合.
四、常用的逻辑用语
1、命题
用语言、符号或式子表达的,可以 判断真假 的陈述句叫作命题,其中 判断为真 的
语句叫作真命题, 判断为假 的语句叫作假命题.
2、充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的 必要 条件
p⇒q且q⇒/ p p是q的 充分不必要 条件
p⇒/ q且q⇒p p是q的 必要不充分 条件
p⇔q p是q的 充要 条件
p⇒/ q且q⇒/ p p是q的 既不充分也不必要 条件
3、全称量词和存在量词
（1）全称量词:短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫作全称量词,用符号“ ∀
”表示.
（2）存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫作存在量词,用符号“
∃ ”表示.
4、全称量词命题、存在量词命题的否定
命题
语言表示 符号表示 命题的否定
名称
全称量词命题 对M中任意一个x,有p(x)成立 ∀ x ∈ M , p ( x ) ∃x∈M, ¬ p ( x )
存在量词命题 存在M中的一个x,使p(x)成立 ∃x∈M,p(x) ∀x∈M,¬p(x)
5、四种命题
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分5 百】（1）四种命题的真假性：
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 真 假
假 假 假 假
（2）四种命题的真假性之间的关系：
①两个命题互为逆否命题，它们有 相同的 真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
6、联结词“且”、“或”、“非”
（1）用联结词“且”把命题(0,θ)(θ∈R)和命题ρ<0联结起来，得到一个新命题，记作−ρ>0．
当(−ρ,θ)、(ρ,θ)都是真命题时，(−ρ,θ)是 真命题 ；
当(ρ,π+θ)、ρ>0,0≤θ≤2π两个命题中有一个命题是假命题时，(ρ,θ)是假命题．
（2）用联结词“或”把命题(ρ,θ)和命题ρ y 2 = = ρ x s 2 i + n y θ 2 , , t x a = nθ ρ = co x y s ( θ x , ≠0) 联结起来，得到一个新命题，记作r ．
当ρ=r、C(a,0)两个命题中有一个命题是真命题时，(a>0)是真命题；
当a、ρ=2acosθ两个命题 都是假命题 时，C(a, π )是假命题．
2
（3）对一个命题(a>0)全盘否定，得到一个新命题，记作a ．
若ρ=2asinθ是真命题，则θ=α(ρ≥0)必是 假命题 ；
若θ=α(ρ∈R)是 假命题 ，则A(a,0)(a>0)必是真命题．
考点一、集合与元素
1．（2023年全国高考甲卷数学（文）第1题）设全集 ，集合
，则
N∪(C M)=（
）
U
A． B． C． D．
【命题意图】
本题考察有限集合中，求补集，求并集，难度：容易
【答案】A
【详解】因为全集 ，集合 ，所以
C M={2,3,5}，
U
又 ，所以N∪(C M)={2,3,5}
U
2．（2020年全国统一高考新课标Ⅲ数学（理）第1题）已知集合 ，
，则 中元素的个数为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分6 百】A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】采用列举法列举出 中元素的即可.
【详解】由题意， 中的元素满足 ，且 ，由 ，得 ，
所以满足 的有 ，
故 中元素的个数为4.
3．（2020年全国统一高考新课标Ⅰ数学（理）第2题）设集合A={x| }，B={x|
}，且 ，则a= （ ）
A．–4 B．–2 C．2 D．4
【答案】B
【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即
可确定实数a的值.
【详解】求解二次不等式 可得： ，求解一次不等式 可
得： .
由于 ，故： ，解得： .
【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计
算求解能力.
A={x|2x−3>0}
1．已知集合 ，下列表示正确的是（ ）
0∈A,2∈A 0∉A,2∈A 0∈A,2∉A 0∉A,2∉A
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先写出集合A,然后逐项验证即可
{ 3}
A= x|x>
【详解】由题知 2 ,对比选项知，B正确, ACD 错误
2．已知集合 ,则 中所含元素的个数为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】列举法得出集合 ，共
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分7 百】含 个元素．
3．已知集合 ，若 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据交集结果得到 ， 或 ，检验后得到答案.
【详解】因为 ，所以 ， 或 ，
当 时， ，与集合元素的互异性矛盾，舍去；
当 时， ，与集合元素的互异性矛盾，舍去；
当 时， ，满足集合元素互异性，满足要求.
考点二、集合间的基本关系
1．（2021年全国高考乙卷数学（理） 第2题）已知集合 ，
，则S∩T=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可得 ，由此可得出结论.
【详解】任取 ，则 ，其中 ，所以， ，故 ，因此，
.
2．（2013年全国统一考试新课标1卷数学（理）改编）已知集合A＝{x|x2－2x＜0}，B＝
{x|－ ＜x＜ }，则（ ）
A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．B A D．A B
【答案】D
【详解】依题意A＝{x|0＜x＜2}，又因为B＝{x|－ ＜x＜ }，所以A B.
1．设集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的描述确定 、 的元素，进而判断它们的包含关系即可.
【详解】由 且 ，即 ，而
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分8 百】所以 为 的子集，则 .
2．已知集合 是平行四边形 ， 是矩形 ， 是正方形 ，
是菱形 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D A，矩形与正方形是平行四边形的特
殊情形，所以B A，C A，正方形是矩形，所以C B．
⊆
考点三、集合的基本运算
⊆ ⊆ ⊆
1．（2023年全国甲卷数学（理） 第1题）设集合
，U为整数集，
C
U
(A∪B)=（
）
A． B．
C． D．
【命题意图】
本题考察对整数形式的无限集合的理解，求并集，求补集，难度：容易
【答案】A
【详解】因为整数集 ，
，所以，
C (A∪B)=
．
U
2．（河北省石家庄市2023届高三三模数学试题）如图，集合
A，B
均为
U
的子集，
(C A)∩B
U 表示的区域为（ ）
A．I B．II C．III D．IV
【答案】D
【分析】由补集和交集的概念求解即可.
C A
【详解】由补集的概念， U 表示的区域如下图所示阴影区域，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分9 百】∴(C A)∩B
表示的区域为下图所示阴影区域，
U
即为图中的区域 Ⅳ.
3．（河北省2023届高三模拟（三）数学试题）已知集合 ，
，若 ，且 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出集合 ，然后根据 的关系，结合 进行分析即可.
【详解】因为 或 ，所以 或
，
由 ，所以当 时， 不成立，所以集合 为空集，
满足题意，
当 时， ，由 ，所以 ，所以有
，
综上所述实数 的取值范围是 ，
1．已知集合 ， ，则 （ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分10百】A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解不等式可求得集合 ，由交集定义可得结果.
【详解】由 得： ，解得： ，即 ，
又 ， .
2．已知集合 ， ，则下图中阴影部分表示的集合为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，用列举法表示集合A，再结合韦恩图列式求解作答.
【详解】依题意，
A={−1,0,1,2,3}
，而阴影部分表示的集合是A∩¿¿（
C
R
B
），
又 B={x∈R|x<1} ，则 C R B={x∈R|x≥1} ，所以A∩¿¿（ C R B ） ={1,2,3} .
A={x|2≤3x−1≤8} B={x|x≤a或x≥a+1} C B ⊆A
3．已知集合 ， ，若（ R ） ，则实数
a的取值范围是（ ）
(1,2) (1,2] [1,2] [1,2)
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出集合A，然后根据（ C R B ） ⊆A 的关系，进行分析即可.
A={x|1≤x≤3} C B ={x|a3 A∩B= x|−16
B≠∅ A∩B=∅ 2a+1<−2 a−1>5 2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分18百】( 3)
综上所述 −∞，− ∪(6,+∞).
2
a∈
【名师点睛】当集合中出现参数表示取值或者表示范围时，重点考虑集合是否为空集
8．（四川省广安市邻水实验学校2017-2018学年高二上学期第一次月考数学试题）已知集
合 ， ，则 中元素的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【详解】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以 为圆心， 为
半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线 上所有的点组成的集合，又圆
与直线 相交于两点 ， ，则 中有2个元素.故选
B.
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和
化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解
题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否
满足互异性.
9．“ ”是“方程 表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】利用方程为表示双曲线的条件，求得 的取值范围，再根据充分条件和必要条件
的定义判断条件和结论的关系.
【详解】因为方程 表示双曲线，所以 ，解得 或 ，
因为由 可推出 或 ，，但是由 或 ，不能推出 ，
所以“ ”是“方程 表示双曲线”的充分不必要条件，
10．设 ， 是非零向量，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答
案.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分19百】【详解】由 表示单位向量相等，则 同向，但不能确定它们模是否相等，即不能
推出 ，
由 表示 同向且模相等，则 ，所以“ ”是“ ”的必要而不充分
条件.
【真题感知】
U={1,2,3,4,5}
1．（2022年全国高考乙卷数学（理）第3题）设全集 ，集合M满足
C A={1,3}
U ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先写出集合 ,然后逐项验证即可
【详解】由题知 ,对比选项知， 正确, 错误
2．（2019年全国统一高考新课标Ⅲ数学（理）第1题）已知集合
，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出集合B再求出交集.
【详解】 ，∴ ，则 ，
【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.
3．（2020年全国统一高考新课标Ⅱ数学（理）第1题）已知集合U={−2，−1，0，1，2，
3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则C (A∪B)=（ ）
U
A．{−2，3} B．{−2，2，3} C．{−2，−1，0，3} D．{−2，−1，0，2，
3}
【答案】A
【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.
【详解】由题意可得： ，则C (A∪B)={2,3}.
U
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分20百】4．（2021年全国高考甲卷数学（理）第1题）设集合 ，
则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据交集定义运算即可
【详解】因为 ，所以 ,
【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本
概念即可求解.
5．（2022年全国高考甲卷数学（理）第1题）设全集 ，集合
，则C (A∪B)=（ ）
U
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】由题意， ，所以 ,所以
C (A∪B)={−2,0}.
U
6．（2017年全国统一考试新课标2卷数学（理）第1题）设集合 ，
．若 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵ 集合 ， ，
∴ 是方程 的解，即 ∴
∴ ，故选C
7．（2018年全国统一考试全国卷II数学（理）第1题）已知集合
，则 中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】A
【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分21百】【详解】
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；所以共有9个，
【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.
8．（2021年全国甲卷数学（理）第7题）等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲：
，乙： 是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当 时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 是递增数列时，必有
成立即可说明 成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为 时，满足 ，但是 不是递增数列，所以甲不
是乙的充分条件．
若 是递增数列，则必有 成立，若 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛
盾的，则 成立，所以甲是乙的必要条件．
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须
要给予其证明过程．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分22百】
