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专题 01 集合与常用逻辑用语
1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=
A．–4 B．–2
C．2 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.
【详解】求解二次不等式 可得 ，
求解一次不等式 可得 .
由于 ，故 ，
解得 .
故选B．
【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则
A．{−2，3} B．{−2，2，3}
C．{−2，−1，0，3} D．{−2，−1，0，2，3}
【答案】A
【解析】
【分析】
首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得 ，则 .
.
故选A
【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.
3．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合 ， ，则 中
元素的个数为
A．2 B．3
C．4 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
采用列举法列举出 中元素的即可.
【详解】由题意， 中的元素满足 ，且 ，
由 ，得 ，
所以满足 的有 ，
故 中元素的个数为4.
故选C．
【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
4．【2020年高考天津】设全集 ，集合 ，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【分析】
首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.
【详解】由题意结合补集的定义可知 ，则 .
故选C．
【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.
5．【2020年高考北京】已知集合 ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据交集定义直接得结果.
【详解】 ，
故选D．
【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
6．【2020年高考天津】设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】求解二次不等式 可得： 或 ，
据此可知： 是 的充分不必要条件.
故选A．
【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=
A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}
C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合并集概念求解.
【详解】 .
故选C
【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.
8．【2020年高考浙江】已知集合P= ，Q= ，则P Q=
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
.
根据集合交集定义求解
【详解】 .
故选B.
【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．“l ，m，n共面”是“l ，m，n两
两相交”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】【分析】
将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.
【详解】依题意， 是空间不过同一点的三条直线，
当 在同一平面时，可能 ，故不能得出 两两相交.
当 两两相交时，设 ，根据公理 可知 确定一个平面 ，
而 ，根据公理 可知，直线 即 ，所以 在同一平面.
综上所述，“ 在同一平面”是“ 两两相交”的必要不充分条件.
故选B.
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理 和公理 的运用，属于中档题.
10．【2020年高考北京】已知 ，则“存在 使得 ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.
【详解】(1)当存在 使得 时，
若 为偶数，则 ；
若 为奇数，则 ；
(2)当 时， 或 ， ，即 或
，
亦即存在 使得 ．所以，“存在 使得 ”是“ ”的充要条件.
故选C．
【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应
用，属于基础题.
11．【2020年高考江苏】已知集合 ，则 _____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合的交集即可计算.
【详解】∵ , ，
∴ .
故答案为 .
【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．
12．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设有下列四个命题：
p：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
1
p：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
2
p：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
3
p：若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．
4
则下述命题中所有真命题的序号是__________．
① ② ③ ④
【答案】①③④
【解析】
【分析】
利用两交线直线确定一个平面可判断命题 的真假；利用三点共线可判断命题 的真假；利用异面
直线可判断命题 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.
【详解】对于命题 ，可设 与 相交，这两条直线确定的平面为 ；
若 与 相交，则交点 在平面 内，
同理， 与 的交点 也在平面 内，
所以， ，即 ，命题 为真命题；
对于命题 ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题 为假命题；
对于命题 ，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题 为假命题；
对于命题 ，若直线 平面 ，
则 垂直于平面 内所有直线，
直线 平面 ， 直线 直线 ，
命题 为真命题.
综上可知， ， 为真命题， ， 为假命题，
为
真命题， 为假命题，
为真命题， 为真命题.
故答案为①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能
力，属于中等题.
1．【2020·四川省高三二模(理)】已知集合 ， ，若 ，则
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】B
【解析】因为 ,所以 ,所以 或 .
若 ，则 ,满足 .
若 ，解得 或 .若 ，则 ，满足 .若 ，
显然不成立，综上 或 ，故选B．
2．【2020·湖南省高三二模(理)】设 ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题得 ， ，所以 .
故选B．
【点睛】本题考查集合的运算，二次不等式求解，准确计算是关键，是基础题.
3．【2020届山西省高三高考考前适应性测试数学(理)试题】已知集合 ，
，则 中元素的个数是A． 0 B． 1
C． 2 D． 3
【答案】C
【解析】 ，解得 或 ，故 中有两个元素.故选C．
4．【重庆市巴蜀中学2019-2020学年高三下学期高考适应性月考(六)数学(理)试题】已知集合
，集合 ，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A，B，再用交集的定义求解.
， 或 ，
所以 ，
故选：D．
5．【2020届辽宁省葫芦岛市普通高中高三上学期学业质量监测(期末)数学(理)】 ，
，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 ， ，
所以 .
故选：C．6．【2020届安徽省芜湖市高三下学期教育教学质量监测理科数学试题】已知集合 ，6
，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意 ，
，
所以 .
故选：A．
7．【2020届山东省淄博市高三网考数学试题】 命题“ ”的否定是
A． B．
C． D．
【答案】A．
【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为 ，故选A。
8．【甘肃省天水市一中2020届高三一轮复习第一次模拟考试(理)】设函数 (e为自然底数)，
则使 成立的一个充分不必要条件是
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】 ，
解得： ；
又“ ”可以推出“ ”，
但“ ”不能推出“ ”，
所以“ ”是“ ” 充分不必要条件.
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等价转化思想及充分、必要条件的概念，属于基础题.
9．【2020届陕西省咸阳市高三第三次高考模拟数学(理)试题】“ ”是“方程 表
示双曲线”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若方程表示双曲线，则 ，所以 ，
即“ ”是“方程 表示双曲线”的充分不必要条件.
故选：A．
10．【2020·安徽省高三二模(理)】已知平面 内一条直线l及平面 ，则“ ”是“ ”的
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由面面垂直的定义知，当“l⊥β”时，“α⊥β”成立，
当 时， 不一定成立，
即“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选：B．
【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.
11．【2020·天津高三其他】已知直线 ， 和平面 ，若 ， ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由线面垂直的判定定理得：若 ， ，则“ ”不能推出“ ”，
由“ ”，根据线面垂直的性质定理，可得“ ”，
即“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选B．
【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的判定，以及线面垂直的判定定理和性质定理的应用，其中
解答中熟记线面垂直的判定定理和性质定理，合理利用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，
着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
12．【2020·河北省正定中学高三月考(理)】命题“ ， ”的否定是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“ ， ”的否定是：
“ ， ”，故选C.
【点睛】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题.
13．【2020·江西省高三其他(理)】命题“ ， ”的否定是
A． ， B． ，
C． ， D． ，【答案】B
【解析】根据命题否定的定义可得结果为： ， ，故选B.
14．【2020·安庆市第二中学高三期末(理)】设 ，则“ ”是“直线 与直线
平行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】当 时，两条直线的方程分别为： ， ，此时两条直线平
行；
若两条直线平行，则 ，所以 或 ，经检验，两者均符合，
综上，“ ”是“直线 与直线 平行” 的充分不必要条件，
故选A.
【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若 则 ”是真命题，“若 则
”是假命题，则 是 的充分不必要条件；若“若 则 ”是真命题，“若 则 ”是真命题，则
是 的充分必要条件；若“若 则 ”是假命题，“若 则 ”是真命题，则 是 的必要不充分
条件；若“若 则 ”是假命题，“若 则 ”是假命题，则 是 的既不充分也不必要条件.
15．【2020·山东省高三一模】南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出
祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这
两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，
夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为 ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为 ，则“ 总相等”是“ 相等”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据祖暅原理，当 总相等时， 相等，所以充分性成立；
当两个完全相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截得的面积未必相
等，所以必要性不成立.
所以“ 总相等”是“ 相等”的充分不必要条件.
故选A.
16．【2020·银川三沙源上游学校高三二模(理)】已知命题 ：“ ， ”，命题 ：“
， ””若“ ”是真命题，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】若命题 ：“ ， ，为真命题，
则 ，
若命题 ：“ ， ”为真命题，
则 ，解得 ，
若命题“ ”为真命题，则 ， 都是真命题，
则 ，
解得： ．
故实数 的取值范围为 ．
故选A．
【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决
本题的关键．
17．【2020·天津高三其他】下列命题中错误的是
A．若 为假命题，则 与 均为假命题
B．已知向量 ， ，则 是 的充分不必要条件
C．命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，则 ”
D．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
【答案】B
【解析】若“ ”为假命题，则p与q均为假命题，正确；
已知向量 ， ，则“ ”可得 ，解得 或 ，所以
“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以B不正确；
命题“若 ，则 的逆否命题为“若 ，则 ”，满足逆否命题的
形式，正确；
命题“ ， ”的否定是“ ， ”满足命题的否定形式，
正确；
故选B．
【点睛】本题考查亩土地真假的判断与应用，四种命题的逆否关系，复合命题的真假，充要条件等知
识，是基本知识的考查．
