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第 11 讲 一次函数的应用
目 录
一、考情分析
二、知识建构
题型01 分配问题
题型02 最大利润问题
题型03 行程问题
题型04 几何问题
题型05 工程问题
题型06 分段计费问题
题型07 体积问题
题型08 调运问题
题型09 计时问题
题型10 现实生活相关问题
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考点要求 新课标要求 命题预测
一次函数的应用在中考中多考察一次函数图象的理
解和信息提取，通常以行程类问题为主。出题时也多和
一次函数 能用一次函数解决实 方程、不等式结合，一次函数的实际应用的题目在中考
的应用 际问题 中难度不大，关键在于函数关系式的建立，主要考查的
是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息，
建立函数关系式是解题的关键.
一次函数的实际应用：
1）一次函数应用问题的求解思路：
①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答；
②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计
问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。
2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤：
①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；
②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式；
③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；
④利用函数的性质解决问题；
⑤写出答案。
3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤：
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①观察图象，获取有效信息；
②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。
【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。
4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及
最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或
线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
题型01 分配问题
【例1】（2023·陕西咸阳·校考一模）某文具商店文具促销给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔
记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，
每本笔记本定价为4元．某顾客准备购买x支钢笔和笔记本(x+10)本，设选择第一种方案购买所需费用为
y 元，选择第二种方案购买所需费用为y 元．
1 2
(1)请分别写出y ，y 与x之间的关系式： ， ；
1 2
(2)若该顾客准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优
惠．
【答案】(1)y =15x+40,y =15.2x+32，
1 2
(2)选择方案②更为优惠，见解析
【分析】（1）根据两种优惠方案，列出函数关系式即可；
（2）将x=10代入两个函数解析式，求出函数值，进行比较即可．
【详解】（1）解：由题意，得：y =15x+4×(x+10−x)=15x+40，
1
y =[15x+4(x+10)]×80%=15.2x+32；
2
（2）当x=10时，y =15×10+40=190；y =15.2×10+32=184
1 2
∵190>184，
∴选择方案②更为优惠．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出一次函数的解析式，是解题的关键．
【变式1-1】（2023·陕西西安·校考一模）李老师计划组织学生暑假去北京研学旅行，经了解，现有甲、乙
两家旅行社比较合适，报价均为每人2000元，且提供的服务完全相同，针对组团旅游的游客，甲旅行社表
示，每人都按八折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按八五折收费，超过20人时，其中
20人每人仍按报价的八五折收费，则超出部分每人按七折收费，假设组团参加甲、乙两家旅行社研学旅行
的人数均为x人．
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(1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团研学旅行的总费用y（元）与x（人）之间的函数关系式；
(2)若李老师组团参加研学旅行的人数共有25人，请你计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助李老师选择收取
总费用较少的一家．
【答案】(1)甲旅行社：y=2000x×0.8=1600x；乙旅行社：¿
(2)甲旅行社
【分析】（1）根据题意可以得到甲、乙两家旅行社收取组团旅游的总费用y（元）与x（人）之间的函数
关系式；
（2）将x=25分别代入（1）中的函数解析式，然后比较大小，即可解答本题．
【详解】（1）解：由题意可得，
甲旅行社：y=2000x⋅0.8=1600x；
当0≤x≤20时，y=2000x⋅0.85=1700x，
当x>20时，y=2000⋅20⋅0.85+(x−20)⋅2000⋅0.7=1400x+6000，
故乙旅行社：¿
（2）解：依题意，把x=25代入y=1600x，
则甲旅行社：y=1600×25=40000；
因为25>20
所以把x=25代入y=1400x+6000中，
则乙旅行社：y=1400×25+6000=41000；
因为41000>40000，
所以选择甲旅行社．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函
数的性质解答．
【变式1-2】（2022·陕西西安·统考三模）某校为改善办学条件，计划购进A、B两种规格的书架，经市场
调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如表：
线下 线上
规
格
单价（元/个） 运费（元/个） 单价（元/个） 运费（元/个）
A 240 0 210 20
B 300 0 250 30
(1)如果在线上购买A、B两种书架20个，共花费y元，设其中A种书架购买x个，求y关于x的函数关系
式；
(2)在（1）的条件下，若购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍，请求出花费最少的购买方案，并计
算按照这种购买方案线上比线下节约多少钱．
【答案】(1)y=−50x+5600
(2)购买A种书架6个，购买B种书架14个；线上比线下节约340元
【分析】（1）设其中A种书架购买x个，则B种书架购买(20−x) 个，根据表中的单价及运费列出函数
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关系式即可；
（2）根据购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍，求出x的取值范围，再根据第（1）小题的函数关
系式，求出y的最小值即线上的花费，再求出线下需要的花费，即可求解．
【详解】（1）由题意得
y=210x+250(20−x)+20x+30(20−x)
整理得y=−50x+5600
（2）由题意得20−x≥2x
20
解得x≤
3
∵−50<0
∴ y随x的增大而减小
∴ 当x=6时，y最小为−300+5600=5300
线下购买时的花费为240×6+300×14=5640
此时，购买B种书架20-6=14个
线上比线下节约5640-5300=340元
所以，购买A种书架6个，购买B种书架14个；线上比线下节约340元．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用和一元一次不等式的应用，准确理解题意，找到数量关系是解题的
关键．
【变式1-3】（2021·贵州六盘水·统考二模）某班举行“学党史”知识竞赛活动，班主任安排小颖购买A，
B两种物品，如图是小颖购买物品前与同学的对话情景：
(1)请计算出A，B两种物品的单价；
(2)本次竞赛活动共需购买20个物品，且A物品的数量不少于B物品数量的一半，请设计出最省钱的购买
方案，并说明理由．
【答案】(1)A种物品的单价是30元，B种物品的单价是15元
(2)A种物品购买7个，B种物品购买13个最省钱，理由见解析
【分析】（1）设A种物品的单价是x元，B种物品的单价是y元，可得¿，即可解得答案；
2
（2）设A种物品购买m个，共需W元，根据A物品的数量不少于B物品数量的一半，可得m≥6 ，W＝
3
30m+15（20﹣m）＝15m+300，根据一次函数性质即可得答案．
【详解】（1）解：设A种物品的单价是x元，B种物品的单价是y元，
根据题意得：¿，
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解得¿，
答：A种物品的单价是30元，B种物品的单价是15元；
（2）解：设A种物品购买m个，B种物品购买（20﹣m）个，共需W元，
∵A物品的数量不少于B物品数量的一半，
20−m
∴m≥ ，
2
2
解得m≥6 ，
3
而W＝30m+15（20﹣m）＝15m+300，
∵15＞0，
∴W随m的增大而增大，
2
∵m≥6 ，m是整数，
3
∴m＝7时，W最小，最小为15×7+300＝405，
∴A种物品购买7个，B种物品购买13个最省钱．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程组和函数关系式．
题型02 最大利润问题
【例2】（2023·云南德宏·统考一模）某房地产开发公司计划建A、B两种户型的经济适用住房共80套，该
公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2122万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和
售价如下表：
A B
成本（万元/套） 25 28
售价（万元/套） 30 34
(1)该公司对这两种户型住房共有几种建房方案？
(2)若该公司所建的两种户型住房可全部售出，则采取哪一种建房方案获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)有11种建房方案．
(2)A型住房建40套，B型住房建40套获得利润最大；最大利润为440万元．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据结合公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2122万元，再建立
不等式组可以解答本题；
（2）根据题意可以得到利润与住房户型的函数关系式，再利用一次函数的性质从而可以解答本题；
【详解】（1）解：设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建(80−x)套，
¿，
1
解得，39 ≤x≤50，
3
∵x取非负整数，
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∴x为40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，
∴有11种建房方案．
（2）设该公司建房获得利润W万元，
由题意知：W =(30−25)x+(34−28)(80−x)=−x+480，
∵k=−1，W随x的增大而减小，
∴当x=40时，
即A型住房建40套，B型住房建40套获得利润最大；最大利润为440万元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问
题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
【变式2-1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）西安白鹿原樱桃以果大、汁多味甜、品质优良等特点远近闻
名．袁浪浪家种植了A，B两个品种的樱桃共4亩，两种樱桃的成本（包括种植成本和设备成本）售价如
表：
品种 种植成本（万元/亩） 设备成本（万元/亩） 售价（万元/亩）
A 1 0.2 3.5
B 1.5 0.3 4.2
设种植A品种樱桃x亩，若4亩地全部种植两种樱桃共获得利润y万元（利润=售价-种植成本-设备成本）．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)若A品种樱桃的种植亩数不少于B品种樱桃种植亩数的1.5倍，则A品种樱桃种植多少亩时利润最大？
并求最大利润．
【答案】(1)y=−0.1x+9.6
(2)种植A品种樱桃种植2.4亩时利润最大，最大利润是9.36万元
【分析】（1）由题意得，y=(3.5−1−0.2)x+(4.2−1.5−0.3)×(4−x)，整理求解即可；
（2）根据A品种樱桃的种植亩数不少于B品种樱桃种植亩数的1.5倍，可以求得x的取值范围，再根据一
次函数的性质，即可得到种植A品种樱桃种植多少亩时利润最大，并求出此时的最大利润．
【详解】（1）解：由题意可得，y=(3.5−1−0.2)x+(4.2−1.5−0.3)×(4−x)=−0.1x+9.6，
∴y与x的函数关系式为y=−0.1x+9.6；
（2）解：∵A品种樱桃的种植亩数不少于B品种樱桃种植亩数的1.5倍，
∴x≥1.5(4−x)，解得x≥2.4，
∵y=−0.1x+9.6，
∵k=−0.1<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=2.4时，y取得最大值，此时y=9.36，
答：种植A品种樱桃种植2.4亩时利润最大，最大利润是9.36万元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键在于明确题意，利用一次函数的
性质和不等式的性质解答．
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【变式2-2】（2023·河南洛阳·统考二模）西峡猕猴桃是河南省西峡县特产．某网店新进甲、乙两种猕猴桃，
已知购进10件甲种猕猴桃和15件乙种猕猴桃需950元，购进15件甲种猕猴桃和20件乙种猕猴桃需1350元．
(1)求甲、乙两种猕猴桃的进货单价；
(2)若该网店购进甲、乙两种猕猴桃共100件，甲种猕猴桃按进价提价20%后的价格销售，乙种猕猴桃按进
价的2倍标价后再打七折销售，若甲、乙两种猕猴桃全部售完后的销售总额不低于5100元（不考虑损耗），
请你帮网店设计利润最大的进货方案，并说明理由．
【答案】(1)甲种猕猴桃的进货单价是50元，乙种猕猴桃的进货单价是30元
(2)当购进甲、乙两种猕猴桃各50件时，销售完后获得的利润最大，最大利润是1100元
【分析】（1）设甲种猕猴桃的进货单价是m元，乙种猕猴桃的进货单价是n元，根据题意列二元一次方程
组求解即可；
（2）由（1）可知甲、乙的进货单价，根据题意可算出甲、乙的销售价格，设购进甲种猕猴桃x件，则购
进乙种猕猴桃(100−x)件，总利润为w元，销售总额为y元，分别列式表示总利润、销售总额，根据题意
解不等式，根据一次函数图像的性质即可求解．
【详解】（1）解：设甲种猕猴桃的进货单价是m元，乙种猕猴桃的进货单价是n元，根据题意可得：
¿，解得¿，
∴甲种猕猴桃的进货单价是50元，乙种猕猴桃的进货单价是30元．
（2）解：由（1）可知，甲种猕猴桃的进货单价是50元，乙种猕猴桃的进货单价是30元，
∵甲种猕猴桃按进价提价20%后的价格销售，乙种猕猴桃按进价的2倍标价后再打七折销售，
∴甲种猕猴桃的售价为50+50×20%=60（元/件），乙种猕猴桃的售价为30×2×70%=42（元/件），
设购进甲种猕猴桃x件，则购进乙种猕猴桃(100−x)件，总利润为w元，销售总额为y元，
∴两种猕猴桃100件全部售完后的总利润为w=(60−50)x+(42−30)(100−x)=−2x+1200，
两种猕猴桃100件全部售完后的销售总额为y=60x+42(100−x)=18x+4200，
∵18x+4200≥5100，
∴x≥50，
∵w=−2x+1200，而−2<0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=50时，w最大是−2×50+1200=1100（元），
∴当购进甲、乙两种猕猴桃各50件时，销售完后获得的利润最大，最大利润是1100元．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组、解一元一次不等式，一次函数图像的性质与销售的问题，理解
题目中的数量关系，掌握解二元一次方程组得方法，解不等式，一次函数图像的增减性等知识是解题的关
键．
【变式2-3】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）2022年第19届亚运会（
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(The19thAsianGamesHangzhou2022)），简称“杭州2022年亚运会”，将于2023年9月23日至10月8
日在中国浙江杭州举行．杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江
南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”．它融合了杭州的历史人文、自然生态和创
新基因，三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进A、B两种杭州亚运会吉祥物礼
盒共50个，共花去7500元，这两种吉祥物礼盒的进价、售价如表：
进价（元/个） 售价（元/个）
A种礼
168 198
盒
B种礼
138 158
盒
(1)求A、B两种吉祥物礼盒分别购进了多少个；
(2)由于销售情况很好，第一次购进的50个礼盒很快就销售完了，专卖店老板又计划用不超过12000元购进
A、B两种礼盒共80个，则应该如何进货，才能使得第二批礼盒全部售完后获得最大利润？最大利润为多
少？
【答案】(1)购进A种吉祥物礼盒20个，购进B种吉祥物礼盒30个；
(2)购进A种礼盒32个，B种礼盒48个售完后获得最大利润，最大利润1920元
【分析】（1）设购进A种吉祥物礼盒x个，则购进B种吉祥物礼盒(50−x)个，根据购进A，B两种杭州亚
运会吉祥物礼盒共花去7500元列方程，解方程即可；
（2）设购进A种礼盒a个，B种礼盒(80−a)个，获得利润为y元，根据两种礼盒进价不超过12000元求出
a的取值范围，再根据总利润=两种礼盒利润之和列出函数解析式，由函数的性质即可求最值．
【详解】（1）解：设购进A种吉祥物礼盒x个，则购进B种吉祥物礼盒(50−x)个，
根据题意：168x+138(50−x)=7500，
解得：x=20，
∴50−x=30，
答：购进A种吉祥物礼盒20个，购进B种吉祥物礼盒30个；
（2）解：设购进A种礼盒a个，B种礼盒(80−a)个，获得利润为y元，
∵购买A、B两种礼盒的费用不超过12000元，
∴168a+138(80−a)≤12000，
解得：a≤32，
根据题意得：y=(198−168)a+(158−138)(80−a)=10a+1600，
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∵10>0，
∴y随a的增大而增大，
∴当a=32时，y有最大值，最大值为10×32+1600=1920，
80−a=80−32=48，
答：购进A种礼盒32个，B种礼盒48个售完后获得最大利润，最大利润1920元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，根据题意正确列方程和解析
式是解题关键．
题型03 行程问题
【例3】（2023·湖南娄底·统考一模）周末，小明和小亮相约到公园游玩．已知小明、小亮家到公园的距离
相同，小明先骑车6min到达超市，购买了一些水果和饮用水，然后再骑车10min到达公园．小明出发
10min后，小亮骑车从家出发直接去公园．下面给出的图象反映的是小明、小亮骑行的情况．请根据相关
信息，解答下列问题：
(1)填表：
小明离开家的时间/
4 6 20
min
1500
(2)填空：
①小明在超市购物的时间是 min；
②超市到公园的距离是 m；
③小亮骑行的速度是 m/min；
④小亮到达公园时，小明距离公园还有 m；
(3)解答：当0≤x≤31时，请直接写出y 关于x的函数解析式．
1
【答案】(1)见解析
(2)①15；②2100；③240；④1260
(3)y =¿
❑1
【分析】此题考查了从函数图象获取信息、列函数解析式、有理数混合运算的应用等知识，看懂图象，读
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懂题意，准确计算是解题的关键；
1500
（1）由图可知，小明的速度为 =250(m/min)，即可求得当x=4时y的值，根据图象即可得到当
6
x=20时y的值；
（2）①由图象可知，小明在超市购物的时间；②根据图象可知，超市到公园的距离；③用路程除以时间
即可得到小亮骑车的速度；④根据第二阶段小明骑行的速度求出小亮到达公园时，小明距离公园的距离即
可；
（3）根据题意和图象，分别写出0≤x≤6、6<x≤21、21<x≤31得到解析式，即可得到答案．
1500
【详解】（1）解：由图可知，小明的速度为 =250(m/min)，
6
∴当x=4时，y=250×4=1000，
由图象可知，当x=20时，y=1500，
填表如下：
小明离开家的时间/
4 6 20
min
150
小明离家距离/m 1000 1500
0
（2）解：①由图象可知，小明在超市购物的时间：21−6=15(min)，
②超市到公园的距离是：3600−1500=2100(m)，
3600
③小亮骑车的速度为 =240(m/min)，
25−10
3600−1500
④第二阶段小明的速度为： =210(m/min)，
31−21
小亮到达公园时，小明距公园还有：
3600−1500−210×(25−21)=1260(m)．
故答案为：①15；②2100；③240；④1260．
（3）解：设当0≤x≤6时，y =kx，把(6,1500)代入得：
❑1
1500=6k，
解得：k=250，
∴此时y =250x；
❑1
当6<x≤21时，y =1500；
❑1
当21<x≤31时，设y =k'x+b，把(21,1500)，(31,3600)代入得：
❑1
¿，
解得：¿，
∴此时y =210x−2910；
❑1
∴y =¿．
❑1
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【变式3-1】（2022·浙江绍兴·统考一模）绍兴首条智慧快速路于今年3月19日正式通车．该快速路上M，
N两站相距20km，甲、乙两名杭州亚运会会务工作志愿者从M站出发前往N站附近的比赛场馆开展服务．
甲乘坐无人驾驶小巴，乙乘坐无人驾驶汽车．图中OC，AB分别表示甲、乙离开M站的路程s(km)与时间
t(min)的函数关系的图象．
(1)填空：甲比乙提前______分钟出发；无人驾驶小巴的速度为______km/min；当乙乘坐无人驾驶汽车到
达N站时，无人驾驶小巴离N站还有______km．
(2)求乙离开M站的路程s(km)与时间t(min)的函数关系式并说明图中两函数图象交点P的实际意义．
2 20
【答案】(1)5； ；
3 3
4 20
(2)s= t− （5≤t≤20），实际意义见解析
3 3
【分析】（1）观察图象可得甲比乙提前5分钟出发；再利用路程除以无人驾驶小巴到达n站所用时间可得
无人驾驶小巴的速度；再用20减去无人驾驶小巴20分钟所行驶的路程，即可求解；
（2）根据题意可得(5,0)，(20,20)两点在函数图象上，再利用待定系数解答，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：甲比乙提前5分钟出发；
20 2
无人驾驶小巴的速度为 = km/min；
30 3
2 20
当乙乘坐无人驾驶汽车到达N站时，无人驾驶小巴离N站还有20− ×20= km；
3 3
2 20
故答案为：5； ；
3 3
（2）解：设s关于时间t的函数关系式为s=kt+b，
∵(5,0)，(20,20)两点在函数图象上，
∴¿ ，解得¿．
4 20
所以s关于时间t的函数关系式为s= t− （5≤t≤20）．
3 3
图中两函数图象交点P的实际意义是乙乘坐的无人驾驶汽车追上甲乘坐的无人驾驶小巴，两车与M站的距
离相等．
【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数的应用，能准确从函数图象获取信息，利用待定
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系数法求函数解析式是解题的关键．
【变式3-2】（2022·江苏无锡·宜兴市实验中学校考二模）疫情期间，某志愿者组织筹集两车物资送往疫情
严重地区．图中的折线、线段分别表示甲，乙两车所走的路程y （千米），y （千米）与时间x（小时）
甲 乙
之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：
(1)由于汽车发生故障，甲车在途中停留了______小时；
(2)甲车排除故障后，立即提速赶往．请问甲车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？
(3)为了保证及时联络，甲、乙两车在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过45千米，请通过计算
说明，按图象所表示的走法是否符合约定．
【答案】(1)2
(2)320千米；
(3)符合
【分析】（1）根据AB段图象直接解答；
（2）根据点D的坐标得到乙车的速度，求出点E的坐标进而得到直线CE的解析式，即可得到答案；
（3）结合函数图象可知在B、C两点处，两车距离最远，结合速度计算距离与45比较可得结论．
【详解】（1）解：甲车途中停留了6-4=2小时，
故答案为：2；
（2）∵D（8，480），
480
∴乙车的速度是y = =60（千米/小时），
乙 8
∴当E的纵坐标为60×7=420，即E（7，420），
设直线CE的解析式为y=kx+b，得
¿，解得¿，
∴y=100x-280，
当x=6时，y=320，
∴甲车在排除故障时，距出发点的路程是320千米；
（3）由图象可知，甲、乙车在第一次相遇后，在B、C处相距最远，
在B处有y -y =6×60−320=40<45，
乙 甲
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38
在C处有y −y =480−60× =24<45，
甲 乙 5
∴按图象所表示的走法符合约定．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的实际应用，正确理解函数图象并得到相
关的信息是解题的关键．
【变式3-3】（2021·河南平顶山·统考二模）小明和小亮相约从学校前往博物馆，其中学校距离博物馆900
米.小明因有事，比小亮晚一些出发，图中y =k t、y =k t+b分别是小明、小亮行驶的路程y与小明追赶
1 1 2 2
时间t之间的关系．
（1）观察图象可知，小亮比小明先走了_______米．
（2）求k 、k 的值，并解释k 的实际意义．
1 2 2
（3）通过计算说明，谁先到博物馆．
【答案】（1）100；（2）k =3，k =2，k 的实际意义是小亮每秒前进2米；（3）小明先到博物馆．
1 2 2
【分析】（1）根据图像直接进行判断即可；
（2）将t=20，y=60代入y =k t，可以求得k 的值；将t=0时，y=100；t=20时，y=140代入
1 1 1
y =k t+b，可以求得k 的值，且k、k 表示小亮和小明的速度；
2 2 2 1 2
（3）根据（2）的结果进行计算即可．
【详解】（1）根据图像可以看出小明走的时候，小亮已经走了100米．
故答案为：100.
（2）将t=20，y=60代入y =k t，得60=20k ，∴k =3；
1 1 1 1
分别将t=0时，y=100；t=20时，y=140代入y =k t+b得
2 2
¿，
解得¿，
所以k =3，k =2．
1 2
其中k 的实际意义是小亮每秒前进2米．
2
（3）由题意可知：从小明开始出发计算：小明用的时间为900=3t，t=300s，
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小亮用的时间为900=2t+100，t=400s，
所以小明先到博物馆．
【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用，正确理解图表中的信息是解题关键．
题型04 几何问题
2
【例4-1】（2021·广东广州·二模）如图所示，直线y= x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为
3
边，在第二象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，则过B、C两点直线的解析式为（ ）
1 1 1
A．y= x+2 B．y=− x+2 C．y= x+2 D．y=−2x+2
3 5 4
【答案】B
【分析】过C作CM垂直于x轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及AC=AB，
利用AAS得到三角形ACM与三角形BAO全等，由全等三角形对应边相等得到CM=OA，AM=OB，由
AM+OA求出OM的长，即可确定出C坐标，然后根据待定系数法即可求得过B、C两点的直线对应的函
数表达式．
2
【详解】解：对于直线y= x+2，令x=0，得到y=2，即B(0,2)，OB=2，
3
令y=0，得到x=−3，即A(−3,0)，OA=3，
过C作CM⊥x轴，可得∠AMC=∠BOA=90°，
∴∠ACM+∠CAM=90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC=90°，AC=BA，
∴∠CAM+∠BAO=90°，
∴∠ACM=∠BAO，
在△CAM和△ABO中，
¿，
∴△CAM≌△ABO(AAS)，
∴AM=OB=2，CM=OA=3，即OM=OA+AM=3+2=5，
∴C(−5,3)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B(0,2)，
∴ ¿，解得¿．
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1
∴过B、C两点的直线对应的函数表达式是y=− x+2．
5
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定
与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
【例题4-2】（2023·江苏盐城·校考三模）如图，菱形ABCD的顶点A(1,0)、B(7,0)在x轴上，
5
∠DAB=60°，点E在边BC上且横坐标为8，点F为边CD上一动点，y轴上有一点P(0,− √3)．当点P
3
到EF所在直线的距离取得最大值时，点F的坐标为 ．
【答案】(6，3√3)
【分析】依据直线EF过定点E，则定点P到直线EF的最大距离就是PE长，利用直线PE的解析式求出直
线EF的解析式，则F点坐标可求出来．
【详解】解：如图，AB=AD=6，
∵∠DAB=60°，
∴D(4，3√3)，
∵点E在边BC上且横坐标?为8，
∴E(8,√3)，C(10，3√3)，
∵直线EF过定点E，
∴PE⊥EF时，点P到EF所在直线的距离取得最大值．
5√3
∵P(0,− )，E(8,√3)，
3
5√3
设PE解析式为y=kx− ，代入点E坐标得，
3
5√3 √3
∴ √3=8k− ，即k= ．
3 3
∴此刻直线EF的k值为：k =−√3，
EF
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设直线EF解析式为：y=−√3x+m，代入点E坐标得：√3=−8√3+m，
∴m=9√3，
∴直线EF的解析式为：y=−√3x+9√3，
令y=3√3，则3√3=−√3x+9√3，解得x=6．
∴此刻点F的坐标为：(6，3√3)．
故答案为：(6，3√3)．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及菱形的性质，本题的关键就是能看到点到直线的最大距离就是P
到定点E的长．
【变式4-1】（（2022·安徽滁州·统考一模）如图，直线l对应的函数表达式为y=x+1，在直线l上，顺次
取点A (1,2)，A (2,3)，A (3,4)，A (4,5)，……，A (n,n+1)，构成的形如“7”的图形的阴影部分面积
1 2 3 4 n
分别为S =3×2−2×1；S =4×3−3×2；S =5×4−4×3；……
1 2 3
猜想并填空：
(1)S =______；
5
(2)S =______（用含n的式子表示）；
n
(3)S +S +S +⋅⋅⋅+S =______（用含n的式子表示，要化简）．
1 2 3 n
【答案】(1)7×6−6×5；（或12）
(2)(n+2)(n+1)−(n+1)n；或2(n+1)
(3)n2+3n
【分析】（1）由题意可知A (5,6)、A (6,7)，再借助矩形面积公式计算即可；
5 6
（2）分别求出S 、S 、S 、S 的表达式，找出规律，根据规律解答即可；
1 2 3 4
（3）根据S 、S 、S 、S 、……、S 的表达式的规律，相加后进行化简计算即可．
1 2 3 4 n
【详解】（1）解：由题意可知A (5,6)、A (6,7)，
5 6
∴S =7×6−6×5=12，
5
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故答案为：7×6−6×5；（或12）
（2）由题意可知：
S =3×2−2×1=2×(1+1)，
1
S =4×3−3×2=2×(2+1)，
2
S =5×4−4×3=2×(3+1)，
3
S =6×5−5×4=2×(4+1)，
4
……
S =(n+2)(n+1)−(n+1)n=2×(n+1)，
n
故答案为：(n+2)(n+1)−(n+1)n；或2(n+1)
（3）S +S +S +⋅⋅⋅+S
1 2 3 n
=3×2−2×1+4×3−3×2+5×4−4×3+⋅⋅⋅+(n+2)(n+1)−(n+1)n
=(n+2)(n+1)−2
=n2+3n
故答案为：n2+3n
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及用代数式表示图象的变化规律问题，根据点的坐
标变化找出阴影部分面积的变化规律是解题关键．
【变式4-2】（（2019·山东青岛·统考二模）阅读材料解答问题：
自主学习：在平面直角坐标系中，对于任意两点的“非常距离”给出如下定义：
若|x﹣x|≥|y﹣y|，则点P 与点P 的“非常距离”为|x﹣x|；
1 2 1 2 1 2 1 2
若|x﹣x|＜|y﹣y|，则点P 与点P 的“非常距离”为|y﹣y|．
1 2 1 2 1 2 1 2
例如：如图1所示，点P（1，2），点P（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P 与点P 的“非常距离”
1 2 1 2
为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段PQ与线段PQ长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线PQ与垂直于x
1 2 1
轴的直线PQ的交点）
2
问题解决：
（1）计算：平面直角坐标系中两点A（﹣1，0），B（2，3）的“非常距离”．
应用拓展：
3
（2）已知点C（ ，0），点D为y轴上的一个动点：
2
①若点C与点D的“非常距离”为3，则点D的坐标为 ；
②在D点运动过程中，点C与点D的“非常距离”的最小值为 ；
问题延伸：
3
（3）已知：E是直线y＝ x+3上的一个动点，如图2，点F的坐标是（0，1），求点E与点F的“非常距
4
离”的最小值及相应点E的坐标．
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3 ( 8 15)
【答案】（1）3；（2）①（0，3）或（0，﹣3）；② （3）E − ,
2 7 7
【分析】（1）根据若|x -x|＜|y-y|，则点P 与点P 的“非常距离”为|y-y|解答即可；
1 2 1 2 1 2 1 2
（2）①根据点D位于y轴上，可以设点D的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|0-y|=3，据
此可以求得y的值；
3 3
②设点D的坐标为（0，y），根据|- -0|≥|0-y|，得出点C与点D的“非常距离”最小值为|- -0|，即可得出
2 2
答案；
3
（2）设点E的坐标为（x， x+3）．根据材料“若|x-x|≥|y-y|，则点P 与点P 的“非常距离”为|x-x|”
0 4 0 1 2 1 2 1 2 1 2
3
知，C、D两点的“非常距离”的最小值为-x= x+2，据此可以求得点E的坐标．
0 4 0
【详解】（1）∵|﹣1﹣2|＝3，|0﹣3|＝3，
∴3＝3
∴点A与点B的“非常距离”为3．
（2）①∵D为y轴上的一个动点，
∴设点D的坐标为（0，y）．
3 3
∵|﹣ ﹣0|＝ ，点C与点D的“非常距离”为3，
2 2
∴|0﹣y|＝3，
解得，y＝3或y＝﹣3，
∴点D的坐标是（0，3）或（0，﹣3），
故答案为（0，3）或（0，﹣3）；
3 3
②当|﹣ ﹣0|≥|0﹣y|时，点C与点D的“非常距离”为 ，
2 2
3
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为 ．
2
3
故答案为 ；
2
（2）如图2，取点E与点F的“非常距离”的最小值时，
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需要根据运算定义“若|x﹣x|≥|y﹣y|，则点P 与点P 的“非常距离”为|x﹣x|”解答，
1 2 1 2 1 2 1 2
此时|x﹣x|＝|y﹣y|，即AE＝AF，
1 2 1 2
3
∵E是直线y＝ x+3上的一个动点，点F的坐标是（0，1），
4
3
∴设点E的坐标为（x， x+3），
0 4 0
3
∴﹣x＝ x+2，
0 4 0
8
此时，x＝﹣ ，
0 7
8
∴点E与点F的“非常距离”的最小值为：|x|＝ ，
0 7
8 15
此时E（﹣ ， ）．
7 7
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，“非常距离”的定义，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题．
【变式4-3】（（2022·河北邢台·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象l 经过
1
2
点A(−2,4)，且与正比例函数y=− x的图象l 交于点B(m,2)，与x轴交于点C．
3 2
(1)求m的值及直线l 的解析式；
1
(2)求S 的面积；
△BOC
(3)设直线x=a与直线l ，l 交于E，F两点，当S =3S 时，请直接写出a的值．
1 2 △EFB △BOC
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【答案】(1)m=−3，y=2x+8
(2)4
(3)a的值为0或−6
2
【分析】（1）把B(m,2)代入y=− x中求出m的值，得到点B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线
3
l 的解析式；
1
（2）求出点C的坐标为(−4,0)，根据三角形面积公式即可得到答案；
（3）分三种情况进行求解即可．
2
【详解】（1）解：把B(m,2)代入y=− x中，解得m=−3，
3
∴B(−3,2)，
将B(−3,2)，A(−2,4)代入y=kx+b中，
得¿
解得¿，
∴直线l 的解析式为y=2x+8；
1
（2）令2x+8=0，解得x=−4，
∴点C的坐标为(−4,0)，
1
∴S = ⋅OC⋅|y |=4；
△BOC 2 B
( 2 )
（3）由题意可知，点E的坐标为(a,2a+8)，点F的坐标为 a,− a ，
3
| 2 | | 8 |
∴EF= 2a+8+ a = 8+ a ，点B到直线x=a的距离为|a+3|，
3 3
∴S =3S =12，
△EFB △BOC
1 ( 8 )
结合图象分析，当a>−3时，S = × 8+ a ×(a+3)=12，解得a =0，a =−6（舍）；
△EFB 2 3 1 2
当a=−3时，不存在S ；
△EFB
1 ( 8 )
当a<−3时，S = × −8− a ×(−a−3)=12，
△EFB 2 3
解得a =0（舍），a =−6，
1 2
综上所述，a的值为0或−6．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象和性质、一元二次方程的解法等知识，
分类讨论和数形结合是解题的关键．
【变式4-4】（（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，
∠D=90°，过点A作AE⊥BC于点E，AB=5，BC=7，BE=3．动点P从点B出发，沿B→A→D运
动，到达点D时停止运动．设点P的运动路程为x，△APE的面积为y ．．
1
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(1)请直接写出y 与x之间的函数关系式以及对应的x的取值范围；
1
(2)请在直角坐标系中画出y 的图象，并写出函数y 的一条性质；
1 1
(3)若直线y 的图象如图所示，结合你所画y 的函数图象，直接写出当y >y 时x的取值范围．（保留一位
2 1 1 2
小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)y =¿
1
(2)当0≤x≤5时，y 随x的增大而减小，当5<x≤9时，y 随x的增大而增大（答案不唯一）
1 1
(3)0≤x<3.3或7.1<x≤9（答案不唯一）
1
【分析】（1）当点P在AB上运动时，由y = ×AE×PH，即可求解；当点P在AD上运动时，同理可解；
1 2
（2）通过取点描点连线绘制图象即可；再观察函数图象即可求解；
（3）观察函数图象即可求解．
【详解】（1）解：∵∠D=90°，AD∥BC，
则CD⊥CE，
即∠C=90°=∠D=∠AEC，
则四边形AECD为矩形，
在Rt△ABE中，AB=5，BE=3，则AE=4=AD，
则矩形AECD为边长为4的正方形；
当点P在AB上运动时，
过点P作PH⊥AE于点H，
1 1 3 6
则y = ×AE×PH= ×4×AP×sin∠BAE=2×(5−x)× =− x+6(0≤x≤5)，
1 2 2 5 5
当点P在AD上运动时，
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同理可得：y =2x−10(5<x≤9)，
1
即y =¿；
1
（2）当x=0时，y =6，当x=5时，y =0，当x=9时，y =8；
1 1 1
将上述坐标描点连线绘制图象如下：
从图象看，当0≤x≤5时，y 随x的增大而减小，当5<x≤9时，y 随x的增大而增大（答案不唯一）；
1 1
（3）从图象看，当y >y 时x的取值范围为：0≤x<3.3或7.1<x≤9（答案不唯一）．
1 2
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、正方形的判别和性质、面积的计算等，其
中（1），要注意分类求解，避免遗漏．
题型05 工程问题
【例5】（2022·山东泰安·统考二模）2020年至2022年，某区计划三年集中攻坚农村公路，提升修建200
公里农村公路．已知A施工队每天修建公路长度是B施工队每天修建公路长度的2倍，若A、B两个施工
队分别独立完成整个任务，A施工队比B施工队少用25天．
(1)求B施工队每天修建公路长度是多少公里；
(2)若该区需付给A施工队的费用为每天40万元，需付给B施工队的费用为每天12万元．考虑到要不超过
20天完成整个工程，该区安排B施工队先单独完成一部分，剩下的部分两个施工队再合作完成．求B施工
队先单独做多少天，该区需付的全部费用最低？最低费用是多少万元？
【答案】(1)B每天修4公里
(2)B单独做5天，该区需付的全部费用最低，总费用为840万元
【分析】（1）设B工程队每天维护道路的长度是x公里，则A工程队每天维护道路的长度是2x公里，根
据工作时间=工作总量÷工作效率结合A工程队单独完成整个任务比B工程队单独完成整个任务少用25天，
即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设B工程队先单独做m天，根据要不超过20天完成整个工程，即可得出关于x的一元一次不等式，
解之即可得出m的取值范围，设该市需付的整个工程费用为w万元，根据总费用=每天需支付给A工程队
的费用×A工程队工作的时间+每天需支付给B工程队的费用×B工程队工作的时间，即可得出w关于m的
函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决问题．
【详解】（1）设B每天修x公里，则A每天修2x公里
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200 200
= +25
x 2x
解得x=4
经检验x=4符合题意．
答：B每天修4公里.
（2）设B单独做m天．总费用为w元
200−4m
W =12m+ (40+12)
4+8
16 2600
=− m+
3 3
16
∵k=− <0
3
∴w随m的增大而减小.
200−4m
又∵m+ ≤2
4+8
m≤5
∴当m=5时，w最小
答：B单独做5天，该区需付的全部费用最低，总费用为840万元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出整个工程费用与B工程队先
单独做的天数之间的关系．
【变式5-1】（（2021·山东淄博·统考二模）为准备参加“全国文明城市”评选，某市计划对200公里的道
路进行维护．已知甲工程队每天维护道路的长度是乙工程队每天维护道路的长度的2倍，若甲、乙两个工
程队分别独立完成整个任务，甲工程队比乙工程队少用25天．
（1）求乙工程队每天维护道路的长度是多少公里；
（2）若该市需付给甲工程队的费用为每天40万元，需付给乙工程队的费用为每天12万元．考虑到要不超
过20天完成整个工程，该市安排乙工程队先单独完成一部分，剩下的部分两个工程队再合作完成，乙工程
队先单独做多少天，该市需付的整个工程费用最低？整个工程费用最低是多少万元？
【答案】（1）4公里；（2）乙工程队先单独做5天，该市需付的整个工程费用最低，整个工程费用最低
是840万元
【分析】（1）设乙工程队每天维护道路的长度是x公里，则甲工程队每天维护道路的长度是2x公里，根
据工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲工程队单独完成整个任务比乙工程队单独完成整个任务少用25
天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
50−m
（2）设乙工程队先单独做m天，则甲、乙两工程队需合作做 天，根据要不超过20天完成整个工程，
3
即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该市需付的整个工程费用为w万元，
根据总费用=每天需支付给甲工程队的费用×甲工程队工作的时间+每天需支付给乙工程队的费用×乙工程队
工作的时间，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决问题．
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【详解】解：（1）设乙工程队每天维护道路的长度是x公里，则甲工程队每天维护道路的长度是2x公里，
依题意得：
200 200
− =25
x 2x
解得：x=4
经检验，x=4是原方程的解，且符合题意．
答：乙工程队每天维护道路的长度是4公里，
200−4m 50−m
（2）设乙工程队先单独做m天，则甲、乙两工程队需合作做 = 天，
4+2×4 3
50−m
依题意得：m+ ≤20
3
解得：m≤5
设该市需付的整个工程费用为w万元，
50−m ( 50−m) 16 2600
则w=40× +12 m+ =− m+
3 3 3 3
16
∵− <0
3
∴w随m的增大而减小，
16 2600
∴当m=5时，w取得最小值，最小值为：− ×5+ =840
3 3
答：乙工程队先单独做5天，该市需付的整个工程费用最低，整个工程费用最低是840万元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出整个工程费用与乙工程队先
单独做的天数之间的关系．
题型06 分段计费问题
【例6】（2023·湖南长沙·校考一模）某地为了鼓励市民节约用水，采取阶梯分段收费标准，共分三个梯段，
0﹣15吨为基本段，15﹣22吨为极限段，超过22吨为较高收费段，且规定每月用水超过22吨时，超过的
部分每吨4元，居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其图象如图所示：
(1)求出基本段每吨水费，若某用户该月用水5吨，问应交水费多少元？
(2)写出y与x的函数解析式．
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(3)若某月一用户交水量48元，则该用户用水多少吨？
【答案】(1)10元
(2)y=¿
(3)21吨
【分析】（1）根据图象可知，用水15吨交水费30元，依此求出基本段每吨水费，再用基本段每吨水费乘
以5吨，可得应交水费；
（2）分0≤x≤15，15<x≤22，x>22三种情况，利用待定系数法即可求出y与x的函数解析式；
（3）根据图象可知，用水15吨交水费30元，用水22吨交水费51元，由于30<48<51，所以该用户用水
大于15吨且小于22吨，将y=48代入（2）中对应的函数解析式，得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵用水15吨交水费30元，
∴基本段每吨水费30÷15=2元，
∴若某用户该月用水5吨，问应交水费2×5=10元；
（2）解：分三种情况：
①当0≤x≤15时，设y=k x，
1
∵(15，30)，在直线y=k x上，
1
∴30=15k ，解得k =2，
1 1
∴y=2x；
②当15<x≤22时，设y=kx+b，
∵(15，30)，(22，51)在直线y=kx+b上，
∴¿，解得¿，
∴y=3x−15；
③当x>22时，同理求得y=4x−37．
综上所述，y与x的函数解析式为y=¿；
（3）解：若某月一用户交水量48元，设该用户用水x吨．
∵用水15吨交水费30元，用水22吨交水费51元，
而30<48<51，
∴15<x<22．
由题意，得3x−15=48，
解得x=21．
答：若某月一用户交水量48元，设该用户用水21吨．
【点睛】此题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，一元一次方程的应用，函数图象
的读图能力．从函数图象中得到有用的信息以及利用分类讨论思想是解题的关键．
【变式6-1】（2021·陕西西安·统考三模）某景区售票处规定：非节假日的票价打7折售票．节假日根据团
队人数x（人）实行分段售票，若x≤10，则按原票价售票；若x>10，则其中10人按原票价售票，超过部
分的按原价打8折售票．某旅行社带团到该景区游览，设在非节假日的购票款为y 元，在节假日的购票款
1
为y 元，y 、y 与x之间的函数图象如图所示．
2 1 2
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（1）图象中m=_______，n=_________．
（2）该旅行社在今年5月1日带甲团（人数超过10人）与5月10日（非节假日）带乙团到该景区游览，
两团合计100人，共付门票款6240元，求甲团人数与乙团人数．
【答案】（1）560，1440；（2）甲团有60人，乙团有40人
【分析】（1）根据图像可知门票定价为80元每人，继而可求得打7折的价格，即可求得m，由题可知10
人之外的另10人花费为80×10×0.8=640元，继而可得n=800+640=1440；
（2）设甲团有m人，乙团有n人，根据题意分情况列出方程组即可求解．
【详解】解：（1）由图可知门票定价为80元每人，
∴10人应花费800元，
∴打7折得到的价格为800×0.7=560元，即m=560，
由题可知10人之外的另10人花费为80×10×0.8=640元，
∴n=800+640=1440，
故答案为：560，1440；
（2）设甲团有a人，乙团有b人，
依题意，得：
¿，
解得¿，
答：甲团有60人，乙团有40人．
【点睛】本题重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题，根据题意中的等量关系建立函数关系式．
【变式6-2】（2021上·江苏镇江·八年级统考期末）某地区的电力资源缺乏，未能得到较好的开发．该地
区一家供电公司为了居民能节约用电，采用分段计费的方法来计算电费．月用电量x（度）与相应电费y
（元）之间的函数图象如图所示．
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(1)月用电量为50度时，应交电费______元．
(2)当x≥100时，求y与x之间的函数关系式．
(3)月用电量为150度时，应交电费______元．
【答案】(1)30
(2)当x≥100时，y与x之间的函数关系式为y=1.4x-80；
(3)130
【分析】（1）通过观察可知，月用电量小于或等于100度时，每度收费0.6元，据此计算即可；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）把x=150代入解析式即可得到答案．
60
【详解】（1）解：月用电量为50度时，应交电费：50× =30（元），
100
故答案为：30；
（2）解：当x≥100时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
∵点（100，60），（200，200）在函数y=kx+b的图象上，
∴¿，
解得¿，
即当x≥100时，y与x之间的函数关系式为y=1.4x-80；
（3）解：当x=150时，y=1.4×150-80=130，
即月用电量为150度时，应交电费130元．
故答案为：130．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，理解一次函数图象上点的坐标特点，掌握待定系数法求函数解
析式的步骤是解题关键．
题型07 体积问题
【例7】（2020·浙江绍兴·统考模拟预测）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个高都为10cm圆柱形容
器（甲、丙的底面积相同），用两个相同的管子在容器的6cm高度处连通（即管子底离容器底6cm，管子
的体积忽略不计）．现三个容器中，只有甲中有水，水位高2cm，如图①所示．若每分钟同时向乙、丙容
器中注入相同量的水，到三个容器都注满水停止，乙、丙容器中的水位h（cm）与注水时间t（min）的图
【28淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
象如图②所示．若乙比甲的水位高2cm时，注水时间m分钟，则m的值为（ ）
13
A．3或5 B．4或6 C．3或 D．5或9
3
【答案】C
【分析】确定a、b的值，再分乙容器的水位达到4cm时、甲容器的水位达到4cm时两种情况，分别求解．
【详解】解：2分钟时，丙的水量达到6cm，而此时乙的水量为2cm，故乙、丙两容器的底面积之比为3：
1，
∵乙、丙两容器的底面积之比为3：1，丙容器注入2分钟到达6cm，
∴乙容器的水位达到6cm所需时间为：a＝2+2＝4（min），
b＝（10﹣2+10×3+10）÷6＝8（min）．
①当2≤x≤4时，设乙容器水位高度h与时间t的函数关系式为h＝kt+b（k≠0），
∵图象经过（2，2）、（4，6）两点，则¿，解得：¿，
∴h＝2t﹣2（2≤x≤4）．
当h＝4时，则2t﹣2＝4，解得t＝3；
②设t分钟后，甲容器水位为4cm，根据题意得：2+6（t﹣4）＝4，
13
解得：t＝ ．
3
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想
解答．
【变式7-1】（2023·河北保定·统考一模）如图1，一个正方体铁块放置在高为90cm的圆柱形容器内，现以
一定的速度往容器内注水，注满容器为止．容器顶部离水面的距离y(cm)与注水时间x(min)之间的函数图
象如图2所示．
【29淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求直线BD的解析式，并求出容器注满水所需的时间．
(2)求正方体铁块的体积．
【答案】(1)15min
(2)27000cm3
【分析】（1）待定系数法求出BD得解析式即可，令y=0时，求出x值；
（2）根据图像确定出正方形的高即可求解．
【详解】（1）解：设直线BD的解析式为y=kx+b，
将点(3,60)和(9,30)代入y=kx+b中，
得¿，解得¿，
∴直线BD的解析式为y=−5x+75．
令y=0，即−5x+75=0，解得x=15，
故容器注满水所需的时间为15min．
（2）解：由图像AB段可知正方体的高为90−60=30(cm)，
即正方体的边长为30cm，
故正方体的体积为30×30×30=27000(cm3)．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解析式．
【变式7-2】（2021·河北石家庄·校考一模）如图，A、B两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时
水箱A中没有水，水箱B中盛满水．现以6dm3/min的流量从水箱B中抽水注入水箱A中，直至水箱A注
满水为止．设注水t(min)，水箱A的水位高度为y (dm)，水箱B中的水位高度为y (dm)，根据图中数据
A B
解答下列问题（抽水水管的体积忽略不计）
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（1）水箱A的容积为______；（提示：容积=底面积×高）
（2）分别写出y 、y 与t之间的函数表达式；
A B
（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差．
【答案】（1）36dm3；（2）y =t(0≤t≤6)，y =−0.6t+6(0≤t≤6)；（3）水位高度差为2dm．
A B
【分析】（1）根据长方体的体积公式计算即可．
（2）根据“水箱A的水位高度＝注入水的体积÷水箱A的底面积”得出yA与t之间的函数表达式；“水箱
B中的水位高度＝6﹣流出水的体积÷水箱B的底面积”得出yB与t之间的函数表达式；
（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，即水箱B中的水还剩下一半，根据（2）的结论可以分别求
出两水箱中水位的高度即可解答．
【详解】解:(1)水箱A的容积为：3×2×6＝36dm3．
故答案为：36dm3．
6t
（2）根据题意得：y = =t(0⩽t⩽6)；
A 2×3
6t
y =6− =−0.6t+6(0⩽t⩽6)；
B 2×5
1
（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，y = ×6=3，
B 2
即﹣0.6t+6＝3，解得t＝5；
当t＝5时，yA＝t＝5．
∴yA﹣yB＝5﹣3＝2．
答：当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，两水箱中水位的高度差为2dm．
【点睛】此题考查了一次函数的应用，熟练掌握注水速度＝注水体积÷注水时间，圆柱体积＝圆柱的底面
积×圆柱的高，这两个公式为解题关键．
【变式7-3】（2023·福建厦门·福建省厦门第六中学校考二模）下面是小明同学的一则日记，请仔细阅读，
并完成相应的任务：
年*月*日 星期日
利用一次函数知识解决化学问题
今天我看到一则化学实验材料：
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如图1，在一支10ml的试管中充满了NO 和O 的混合气体，将其倒立在盛有足量水的烧杯中，这里会发
2 2
生化学反应．
4NO +O +2H O=4HNO ①
2 2 2 3
当NO 和O 的体积比为4:1时，NO 和O 恰好完全反应．如果反应后NO 仍有剩余，则NO 会和水继续
2 2 2 2 2 2
发生化学反应．
3NO +H O =2HNO +NO②
2 2 2 3
化学反应②中参与反应的NO 与生成的NO的体积比为3:1．
2
根据以上材料，我有如下思考：化学反应结束后试管中剩余气体的体积与化学反应前试管中混合气体中的
体积存在怎样的关系？经过分析，我可以建立一次函数模型解决这个问题．
设原混合气体中NO 的体积为xml，O 的体积为(10−x)ml，完全反应后试管内乘余气体的体积为yml．
2 2
情况一：由反应①可知，当NO 和O 的体积比为4:1时，NO 和O 恰好完全反应，此时x=8，y=0．
2 2 2 2
x
情况二：当x<8时，由反应①可知NO 全部参加反应，O 过量，参加反应①的O 的体积 ，剩余O 的体
2 2 2 4 2
x 5x
积为10−x− =10− ．
4 4
5x 5x
因为不溶于水，故完全反应后试管内剩余气体的体积y=10− ，即y=− +10．
4 4
在平面直角坐标系中画出当0<x≤8时的函数图象如图2所示．
【32淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
情况三：当8<x<10时，由反应①可知O 全部参与反应，NO 过量，参与反应①的NO 的体积为
2 2 2
4(10−x)ml，剩余的NO 和水发生反应②，产生不溶于水的NO气体．
2
任务：
(1)根据材料中的内容，求出当8<x<10时，y与x的函数关系式，并在下面的平面直角坐标系中画出该函
数图象；
(2)当完全反应后试管内剩余气体的体积为2ml时，求原混合气体中NO 的体积．
2
5 40
【答案】(1)y= x− ；图象见解析
3 3
(2)6.4ml或9.2ml
【分析】（1）当8<x<10时，进行的反应是②，根据题意可知反应①消耗的NO =4(10−x)，进而得出
2
当8<x<10时，y与x的函数关系式，根据自变量取值范围画出图象．
（2）分情况讨论①当8<x<10时，②当0<x<8时，y=2时，分别代入相应的函数关系式计算．
【详解】（1）解：当8<x<10时，进行的反应是②，
∵反应①消耗的NO =4(10−x) ，
2
∴剩下的气体NO满足
y=[x−4(10−x)]÷3
5 40
= x− ，
3 3
5 40
∴当8<x<10时，y与x的函数关系式为y= x− ．
3 3
函数图象如下图所示：
【33淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
5 40
（2）解：∵①当8<x<10时，y与x的函数关系式为y= x− ，
3 3
∴y=2时，则x=9.2，
5
②当0<x<8时，y与x的函数关系式为y=− x+10，
4
∴y=2是，则x=6.4．
答：原混合气体中NO 的体积为6.4ml或9.2ml．
2
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是理解题意列出函数解析式．
【变式7-4】（2023·河南南阳·统考二模）为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头，避免造成水资源
浪费．课外实践活动中，王老师安排数学兴趣小组“慎思组”和“博学组”两组同学分别做水龙头漏水试
验，“慎思组”同学用于接水的量筒最大容量为200毫升，“博学组”同学用于接水的量筒最大容量为
100毫升．
试验一：“慎思组”同学在做水龙头漏水试验时，每隔10秒观察一次量筒中水的体积，记录的数据如下表
(漏出的水量精确到1毫升)：
2 6
时间x(秒) 10 30 40 50 70
0 0
漏出的水量y(毫 1
2 5 8 11 14 20
升) 7
根据以上信息，请你与他们一起完成以下问题：
(1)在图①的平面直角坐标系中描出上表中数据对应的点，画出y与x的图象，并判断y是x的什么函数，且
求出此函数关系式．
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(2)如果继续试验，请求出至少几秒后量筒中的水会满而溢出．
(3)按此漏水速度，1小时会漏水___________升(精确到0.1升)．
试验二：“博学组”同学根据自己的试验数据画出的图象如图②所示，
(4)为什么图象中会出现与横轴“平行”的部分？请说出你的理由．
3
【答案】(1)图见解析，一次函数，y= x−1
10
(2)670秒
(3)1.1
(4)因为“博学组”接水的量筒40秒后装满就溢出了
【分析】（1）根据图中的数据直接在坐标系中描出各点即可．根据图象可知y是x的一次函数，先设出y
与x的函数关系式为y=kx+b，根据表中数据，得出¿，求出y与x的函数关系式；
3
（2），再根据题意可得不等式 x−1≥200，从而可求可求出多少秒后，量筒中的水会满面开始溢出．
10
（3）根据（1）中的函数关系式，把x=3600秒代入即可求出答案．
（4）根据“博学组”接水的量筒装满后开始溢出，量筒内的水不再发生变化，即可得出图象中会出现与
横轴“平行”的部分的原因．
【详解】（1）解：（1）图像如图①所示．y是x的一次函数．
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设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，
由题意得¿，解得¿
3
∴y= x−1
10
3
（2）令 x−1≥200，
10
解得：x≥670
答：至少670秒后，量筒中的水会满而溢出．
3 3
（3）当x=3600时，y= x−1= ×3600−1=1079(毫升)
10 10
1079毫升=1.079升≈1.1升
故答案为：1.1
（4）∵“博学组”接水的量筒筒40秒后装满后开始溢出，量筒内的水位不再发生变化，
∴图象中会出现与横轴“平行”的部分．
【点睛】本题考查一次函数的应用，正确作图和数据分析是解题的关键．
【变式7-5】（2023·陕西汉中·统考二模）在做测量液体密度的实验中，晓华想对比甲，乙两种液体．他利
用天平测出液体和量杯的总质量y（g），记录此时液体的体积x（cm3），并根据实验数据画出甲、乙两
种液体的总质量y（g）与液体的体积x（cm3）之间的函数关系图像如图．
(1)求乙种液体的总质量y（g）与液体的体积x（cm3）之间的函数关系式；
(2)当甲，乙两种液体的体积都为60cm3时，甲液体的总质量比乙液体的总质量多多少克？
4
【答案】(1)y= x+40
5
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(2)12g
【分析】（1）设乙种液体的总质量y（g）与液体的体积x（cm3）之间的函数关系式为y=kx+b，待定系
数法求解析式即可求解；
4
（2）将x=60代入y= x+40得y=88，根据函数图像可知甲液体的体积为60cm3时，y=100，进而即可
5
求解．
【详解】（1）设乙种液体的总质量y（g）与液体的体积x（cm3）之间的函数关系式为y=kx+b，
将(25,60),(50,80)分别代入得，
¿，
解得：¿，
4
∴y= x+40；
5
4
（2）将x=60代入y= x+40得y=88，
5
∵100−88=12（g），
∴甲液体的总质量比乙液体的总质量多12g．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
题型08 调运问题
【例8】（2021·广西南宁·统考一模）自2020年12月以来，我国全面有序地推进全民免费接种新冠疫苗，
现某国药集团在甲、乙仓库共存放新冠疫苗450万剂，如果调出甲仓库所存新冠疫苗的60%和乙仓库所存
新冠疫苗的40%后，剩余的新冠疫苗乙仓库比甲仓库多30万剂．
（1）求甲、乙两仓库各存放新冠疫苗多少万剂？
（2）若该国药集团需从甲、乙仓库共调出300万剂新冠疫苗运往B市，设从甲仓库调运新冠疫苗m万剂，
请求出总运费W关于m的函数解析式并写出m的取值范围；
其中，从甲、乙仓库调运新冠疫苗到B市的运费报价如下表：
运费定价 调运疫苗不超过130万剂时 调运疫苗超过130万剂时
甲仓库
135元/万剂 不优惠 优惠10%m元/万剂
乙仓库 105元/万剂 不优惠
（3）在（2）的条件下，国家审批此次调运新冠疫苗总运费不高于33000元，请通过计算说明此次调运疫
苗最低总运费是否在国家审批的范围内？
【答案】（1）甲、乙两仓库各存放新冠疫苗分别为240万剂，210万剂；（2）当0＜m≤130时，
W =30m+31500, 当135＜m≤240时，W =16.5m+31500；（3）此次调运疫苗最低总运费不在国家审
批的范围内，理由见解析．
【分析】（1）设甲、乙两仓库各存放新冠疫苗分别为x万剂，y万剂，再根据相等关系列方程组，解方程
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组即可得到答案；
（2）分两种情况讨论，当0＜m≤130时， 当135＜m≤240时，再根据总费用等于运输两种疫苗的费用之
和可得函数关系式；
（3）当0＜m≤130时， 由W =30m+31500≤33000时，可得m≤50, 结合乙的总库存只有210万剂，所
以从甲仓库调运的一定会超过50万剂，所以此种情况不合国家要求，当135＜m≤240时，由
1000 10
W =16.5m+31500≤33000时，可得m≤ =90 , 所以此种情况也不合国家要求，从而可得答案．
11 11
【详解】解：（1）设甲、乙两仓库各存放新冠疫苗分别为x万剂，y万剂，则
x+ y=450
{
x−60%x+30= y−40% y
x+ y=450
整理得：{
3 y−2x=150
x=240
解得：{
y=210
答：甲、乙两仓库各存放新冠疫苗分别为240万剂，210万剂，
（2）当0＜m≤130时，
W =135m+105(300−m)=30m+31500,
当135＜m≤240时，
W =135×(1−10%)m+105(300−m)=16.5m+31500.
（3）当0＜m≤130时，W =30m+31500,
当W =30m+31500≤33000时，
∴m≤50,
即当从甲仓库调运50万剂，但乙的总库存只有210万剂，所以从甲仓库调运的一定会超过50万剂，所以此
种情况不合国家要求，
当135＜m≤240时，
W =16.5m+31500≤33000时，
1000 10
∴m≤ =90 ,
11 11
∴ 此种情况也不合国家要求，
综上：此次调运疫苗最低总运费不在国家审批的范围内．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，列一次函数关系式，一元一次不等式的应用，掌握以上知
识是解题的关键．
【变式8-1】（2022·河南南阳·统考三模）某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2
件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元．
(1)求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？
(2)若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售，已知每件A商
品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元．
若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件．设运往甲地的A商品为x（件），总运费为y
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（元），
①请写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②设投资的总费用为w元，怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总
费用＝购进商品的费用＋运费）
【答案】(1)A种商品的进货单价是200元，B种商品的进货单价是250元
(2)①y=4x+10040，0≤x≤200且x为整数；②调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商
品到乙地可使投资总费用最少，最少费用是125040元
【分析】（1）设A种商品的进货单价是m元，B种商品的进货单价是n元，然后根据购进3件A商品和2
件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元列出方程组求解即可；
（2）①根据总运费=A商品运往甲、乙两地的费用+B商品运往甲、乙两地的费用，列出关系式即可；②根
据投资总费用＝购进商品的费用＋运费结合一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A种商品的进货单价是m元，B种商品的进货单价是n元，
根据题意，得¿，
解得¿，
答：A种商品的进货单价是200元，B种商品的进货单价是250元；
（2）解：①由题意，得
y=20x+25(200−x)+15(240−x)+24[260−(200−x)]=4x+10040，
∴y与x的函数关系式为：y=4x+10040，
自变量x的取值范围是：0≤x≤200且x为整数．
②由题意，得
w=200×200+300×250+4x+10040=4x+125040，
∵k=4>0
∴w随x的增大而增大，
由（1）知：0≤x≤200，
∴当x=0时，w =4×0+125040=125040（元），
最小
此时的调运方案是：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地．
答：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地可使投资总费用最少，最少费用是
125040元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确理解题意，列出方程组和函数关
系式是解题的关键．
【变式8-2】（2020·江西新余·统考一模）在抗击新型冠状病毒期间，科学合理调运各种防控物资是重要任
务之一．在某市的甲、乙、丙、丁四地中，已知某种消毒液甲地需要10吨，乙地需要8吨，正好丙地储备
有12吨，丁地储备有6吨．该市新冠肺炎疫情防控应急指挥部决定将这18吨消毒液全部调往甲、乙两地．
已知消毒液的运费价格如下表（单位：元/吨）．又知从丙地调运2吨到甲地、3吨到乙地共需420元；从
丙地调运4吨到甲地、2吨到乙地共需440元．如果设从丙地调运x吨到甲地．
起点/终点 甲地 乙地
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丙地 a b
丁地 35 70
（1）确定表中a，b的值；
（2）求调运18吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；
（3）求出总运费最低的调运方案，并求出最低运费是多少．
【答案】（1）a＝60，b＝100；（2）y＝－5x+1270；（3）总运费最低的调运方案为：丙地调运10吨到甲
地，丙地调运2吨到乙地，丁地调运0吨到甲地，丁地调运6吨到乙地，最低费用是1220元．
【分析】（1）根据“从丙地调运2吨到甲地、3吨到乙地共需420元；从丙地调运4吨到甲地、2吨到乙
地共需440元”建立二元一次方程组求解即可；
（2）根据“总运费=丙到甲的运费+丙到乙的运费+丁到甲的运费+丁到乙的运费”建立函数关系式，再化
简计算即可；
（3）根据“运往各地的消毒液吨数不小于0”建立不等式组，从而求出x范围，再结合（2）中的关系式求
最小值即可．
【详解】解：（1）由题意可知：¿，
解得：¿，
答：a＝60，b＝100；
（2）从丙地调运x吨到甲地，则丙地调运（12－x）吨到乙地，丁地调运到甲地（10－x）吨，丁地调运到
乙地（x－4）吨，
∴y＝60x+100(12－x)+35(10－x)+70(x－4)＝－5x+1270；
（3）由题意可知：¿，
解得：4≤x≤10，
∵y＝－5x+1270，－5＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝10时，y有最小值，最小值为y＝－5×10+1270＝1220，
∴总运费最低的调运方案为：丙地调运10吨到甲地，丙地调运2吨到乙地，丁地调运0吨到甲地，丁地调
运6吨到乙地，最低费用是1220元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用及解不等式组，弄清题意，正确找出题中的
数量关系是解题的关键．
【变式8-3】（2023上·河北保定·八年级校考期末）“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和
冬残奥会的吉祥物．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连
续两个月的销售情况如表
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销售量/件
月份 销售额/元
冰墩
雪容融
墩
第1个月 100 40 14800
第2个月 160 60 23380
(1)求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格．
(2)若某公司购进冰墩墩200件，雪容融300件，准备把这些吉祥物全部运往甲、乙两地销售．已知每件冰
墩墩运往甲、乙两地的运费分别为8元和10元；每件雪容融运往甲、乙两地的运费分别为7元和11元．若
运往甲地的吉祥物共240件，运往乙地的吉祥物共260件．
①设运往甲地的为冰墩墩a件(80≤a≤120)，总运费为w元，请写出w与a的函数关系式；
②怎样调运、两种吉祥物可使总运费最少？最少总运费是多少元？
【答案】(1)此款“冰墩墩”玩具的零售价格为118元，“雪容融”玩具的零售价格为75元
(2)①w=2a+4340 (80≤a≤120)；②运往甲地的为冰墩墩80件，运往乙地的为冰墩墩120件，运往甲地
的为雪容融160件，运往乙地的为雪容融140件，调运两种吉祥物可使总运费最少，最少总运费是4500元
【分析】（1）设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为x元，“雪容融”玩具的零售价格为y元，利用销售总
额=销售单价×销售数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①设运往甲地的为冰墩墩a件(80≤a≤120)，总运费为w元，则运往乙地的为冰墩墩(200−a)件，运
往甲地的为雪容融(240−a)件，运往乙地的为雪容融(60+a)件，根据题意列出函数关系式即可求解；
②根据一次函数的的性质，结合自变量的范围，即可求解．
【详解】（1）解：设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为x元，“雪容融”玩具的零售价格为y元，
依题意得：¿，
解得：¿；
答：此款“冰墩墩”玩具的零售价格为118元，“雪容融”玩具的零售价格为75元．
（2）①设运往甲地的为冰墩墩a件(80≤a≤120)，总运费为w元，则运往乙地的为冰墩墩(200−a)件，运
往甲地的为雪容融(240−a)件，运往乙地的为雪容融(60+a)件，
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∴w=8a+10(200−a)+7(240−a)+11(60+a)=2a+4340，
∴w=2a+4340 (80≤a≤120)，
②∵w=2a+4340 (80≤a≤120)，
2>0，当a=80时，w最小，最小值为2×80+4340=4500（元）
答：运往甲地的为冰墩墩80件，运往乙地的为冰墩墩120件，运往甲地的为雪容融160件，运往乙地的为
雪容融140件，调运两种吉祥物可使总运费最少，最少总运费是4500元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组与函数关系式是解题
的关键．
题型09 计时问题
【例9】（2023·浙江绍兴·统考三模）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现
了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．某学校STEAM社团在进行项目化学习时依据漏刻的
原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型．该实验小组通过观察，记录水位h(cm)、时间t(min)的数据，
得到表格．
t（min） … 1 2 3 4 …
h（cm） … 1.6 2.0 2.4 2.8 …
为了描述水位h(cm)与时间t(min)的关系，现有以下三种函数模型供选择：h=kt+b(k≠0)，
k
h=at2+bt+c(a≠0)，h= (k≠0)．
t
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，
并画出这个函数的图象．
(2)当水位高度h为4.8cm时，求对应的时间t的值．
【答案】(1)h=0.4t+1.2，见解析
(2)9
【分析】（1）从表中数据可知，水位h(cm)与时间t(min)满足一次函数关系式，设水位h(cm)与时间
t(min)的一次函数关系式为h=kt+b，再用待定系数法求解析式即可；
（2）利用（1）的关系式令h=21，求解t值即可．
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【详解】（1）从表中数据以及描出的点的特征可知：每分钟水位增加的高度相同可知， 水位h(cm)与时
间t(min)满足一次函数关系式．
设水位h(cm)与时间t(min)的一次函数关系式为h=kt+b，
代入表中任意两组数据得：
¿，
解得：¿，
∴h=0.4t+1.2，
∴水位h(cm)与时间t(min)的一次函数关系式为h=0.4t+1.2；
画出的函数图像如下：
（2）由（1）可知，水位h(cm)与时间t(min)的一次函数关系式为h=0.4t+1.2，
当h=4.8时， 4.8=0.4t+1.2
解得：t=9．
答：当水位h为4.8cm时，对应的时间为9min．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值是解题的关键．
【变式9-1】（2023·江西南昌·统考一模）沙漏又称“沙钟”，是我国古代一种计量时间的装置．它是根据
均匀的沙粒从一玻璃球漏到另一个玻璃球的数量来计量时间．其中上面玻璃球中沙粒完全流入下面玻璃球
后立即将沙漏倒置（倒置时间忽略不计），重新进行计时，周而复始．某课外数学小组观察发现：该沙漏
上面玻璃球沙粒剩余量y粒与流入时间t秒成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间在第3秒时，
上面玻璃球剩余沙粒1140粒，当流入时间在第9秒时，上面玻璃球剩余沙粒1020粒．
(1)求出上面玻璃球沙粒余量y粒与流入时间t（秒）之间的函数关系式；
(2)求沙漏恰好完成第一次倒置所需时间．
【答案】(1)y=−20x+1200(x≥0)
(2)60秒
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【分析】（1）设一次函数的解析式y=kx+b，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，沙漏恰好完成第一次倒置，令y=0，即可求解．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式y=kx+b．
将(3,1140)和(9,1020)分别代入．得
¿
解得¿．
∴y=−20x+1200(x≥0)．
（2）解：∵沙漏恰好完成第一次倒置，
∴y=0．
即−20x+1200=0，解得x=60．
∴沙漏恰好完成第一次倒置的时间是60秒．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出一次函数关系式是解题的关键．
题型10 现实生活相关问题
【例10】（2023·陕西渭南·统考二模）千百年来，手杆秤也可算作华夏“国粹”，是我国传统的计重工具，
方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若
秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为
若干次称重时所记录的一些数据．
x（厘米） 1 2 4 8 10 12
y（斤） 0.75 1.00 1.50 2.50 3.00 3.50
(1)在图2中，通过描点的方法画出一次函数的图象，并求y（斤）与x（厘米）
之间的函数表达式；
(2)当秤钩上所挂物重是5.5斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是多少？
1 1
【答案】(1)图象见解析；y= x+
4 2
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(2)20厘米
【分析】（1）先利用描点法画出图象，再利用待定系数法求解函数表达式即可；
（2）把y=5.5代入（1）中解析式求值即可．
【详解】（1）一次函数的图象，如图所示，
设y（斤）与x（厘米）之间的函数表达式为y=kx+b，
把x=1,y=0.75，x=2,y=1代入，得
¿，
解得：¿，
1 1
∴求y（斤）与x（厘米）之间的函数表达式为y= x+ ；
4 2
1 1
（2）当y=5.5时， x+ =5.5，
4 2
解得：x=20
∴当秤钩上所挂物重是5.5斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是20厘米．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知
识解决问题．
【变式10-1】（2021·云南保山·统考一模）公司小李驾驶一辆小车到M市出差，将车停在了M市一个停车
场里，该停车场收费标准如下表：
时段 收费标准 备注
07时—22时 停车3小时以内（含3小时）5元/辆·
（小车） 次，超过3小时，每小时加收3元． 持续几天停车，仅前3小时收费5元；超
白天
过3小时，不足1小时的按1小时计算收
停车
07时—22时 停车3小时以内（含3小时）10元/辆·
费．
（大车） 次，超过3小时，每小时加收5元．
22时—07时
无论停车时间长短10元/辆·次
（小车）
夜间
停车
22时—07时
无论停车时间长短20元/辆·次
（大车）
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（1）设小李白天停车时长为x小时，应交停车总费用为y元，请写出y与x的函数表达式；
（2）如果小李是4月23日上午10：05 时驾车进入停车（开始计时收费），至次日中午12：30时驾驶车
辆驶出停车场（收费计时结束），小李应交停车费多少元？
【答案】（1）y=¿；（2）小李应交停车费60元．
【分析】（1）根据题意，可以写出小李白天停车费y（单位：元）关于停车计时x（单位：小时）的函数
表达式；
（2）分段计算出白天停车时长约为18小时，另加一个晚上，利用（1）所得函数表达式即可求解．
【详解】解：（1）由题意可得，当x≤3时，y=5；
当x＞3时，y=5+(x-3)×3=3x-4，
由上可得，函数表达式是：y=¿；
（2）由题意可得，10：05 至22时，共11时55分，
22时 至第二天07时，收费，10元/辆·次，
07时至12：30，共5时30分，
所以：白天共用时11时55分+5时30分=17时25分≈18小时，
即x=18，代入y=3x−4得：y=50(元)，
所以小李应交停车费10+50=60(元) ．
答：小李应交停车费60元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的费用和写出相应的函数关
系式．
【变式10-2】（2022·河南濮阳·统考一模）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今
已有4000多年的历史．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．
某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋．已知购买4副象棋和4副围棋共需220元，购买5
副象棋和3副围棋共需215元．
(1)求每副象棋和围棋的单价；
(2)学校准备购买象棋和围棋总共120副，围棋的数量不少于40副，且不多于象棋数量，请设计出所需总
费用最少的方案，并求出最少总费用．
【答案】(1)每副象棋的单价为25元，每副围棋的单价为30元
(2)当购买80副象棋，40副围棋时，所需总费用最少，最少总费用为3200元
【分析】（1）设每副象棋的单价为x元，每副围棋的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程
组即可；
（2）设购买象棋m副，则购买围棋(120−m)副，根据题意列出不等式，解不等式求出m的范围，根据题
意列出费用关于m的一次函数，根据一次函数的性质解答即可．
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【详解】（1）解：（1）设每副象棋的单价为x元，每副围棋的单价为y元，
由题意，得：¿，
解得¿，
答：每副象棋的单价为25元，每副围棋的单价为30元．
（2）（2）设购买象棋m副，则购买围棋(120−m)副：
由题意，得：¿，
解得：60≤m≤80．
设总费用为w元，
由题意，得：w=25m+30(120−m)=−5m+3600，
∵−5<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m为最大值80时，总费用最少，
最少为：−5×80+3600=3200（元）
∴当购买80副象棋，40副围棋时，所需总费用最少，最少总费用为3200元．
【点睛】本题考查的是列二元一次方程组、一元一次不等式解实际问题/一次函数的性质等知识，解题的关
键是学会利用一次函数的性质解决最值问题．
【变式10-3】（2021·陕西·统考二模）打车软件的出现很大程度上方便了我们的生活，其中“滴漓出行”
是全球最大的站式多样化出行渠道，现了解到某市“滴滴快车”普通时段的最新收费标准见下表；
里程/千米 收费/元
2千米以下（含2千米） 11.4
2千米以上，每增加1千米 1.95
（1）求“滴滴快车”的收费y（元）与行驶的里程数x（千米）之间的函数关系式；
（2）上周一，李老师乘坐“滴滴快车”从家到学校的车费是15.3元，李老师家距离学校多少千米？已知
王老师家距离学校1.8千米，求王老师乘坐“滴滴快车”从家到学校的车费．
11.4(x≤2)
【答案】（1）y={
；（2）4km；11.4元．
1.95x+7.5(x＞2)
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以分两段范围写出收费y（元）与里程数x（千米）之间的函
数关系式；
（2）先判断李老师车费y=15.3元＞11.4元，然后将其代入y=1.95x+7.5，求出李老师家与学校的距离；先
判断王老师家距离学校x =1.8 km＜2 km，再根据y=11.4求出王老师从家到学校的车费．
【详解】解：（1）由题意可得：
当0＜x≤2时，y=11.4，
当x＞2时，y=11.4+（x-2）×1.95=1.95x+7.5，
11.4(0＜x≤2)
由上可知，y与x之间的函数关系式为y={
；
1.95x+7.5(x＞2)
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（2）因为李老师的车费15.3元＞11.4元，所以x＞2，
当y=15.3即1.95x+7.5=15.3时，得x=4
所以李老师家距学校4km；
因为王老师家距离学校1.8 km＜2 km，所以y=11.4
王老师乘坐“滴滴快车”从家到学校的车费为11.4元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出函数关系式；再根据题目所给的
条件利用一次函数的性质进行解答．
【变式10-4】（2023·河南信阳·校考三模）随着电子信息产业的迅猛发展，智能手机已经走入普通百姓家，
也影响着人们的生活．随着其功能的不断增加，人们使用手机时间、次数急速增加，致使手机电量的使用
时间不断下降，手机充电问题便进入了大家的视线，据相关实验，手机电量E（单位：%）与充电时间t
（单位：h）存在一种函数关系．
某位助农达人在直播期间，两部相同的手机电池电量都剩余30%，为了不耽误助农直播卖农产品，他用第
一部手机一边充电一边直播（建议充电时，不玩手机、避免手机高温）；第二部手机在15分钟后电量剩余
20%时开始充电，已知两部手机的电量E与充电时间t的函数图象如下：
(1)求出线段BC对应的函数表达式；
(2)第一部手机充电时长为多少时，第二部手机电量超过了第一部的手机电量？
【答案】(1)E=40t+10
10
(2)当t> h时，第二部手机电量超过第一部手机电量
13
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出线段DF对应的函数表达式为E =14t+30，根据E>E ，得出40t+10>14t+30，求出t的
1 1
范围即可．
【详解】（1）解：设线段BC对应的函数表达式为E=kt+b(k≠0)，
(1 ) ( 1 )
由图象知，经过 ,20 , 2 ,100 ，
4 4
¿，
解得：¿，
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(1 1)
∴线段BC对应的函数表达式为E=40t+10 ≤t≤2 ．
4 4
（2）解：设线段DF对应的函数表达式为E =k t+b ，由图像知，经过(0,30),(5,100)．
1 1 1
¿，
解得：¿，
∴线段DF对应的函数表达式为E =14t+30，
1
方法一：当E=E 时，40t+10=14t+30，
1
10
解得t= ，
13
10
由图象可知，当t> h时，第二部手机电量超过第一部手机电量．
13
方法二：当E>E 时，40t+10>14t+30，
1
10
解得t> h．
13
10
∴当t> h时，第二部手机电量超过第一部手机电量．
13
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，涉及利用待定系数法求一次函数的解析式，利用不等式或图象比
较大小的具体知识；考查学生从图象中读取信息的能力，分析图象的能力、将实际问题转化为数学问题的
能力．
【变式10-5】（2019·山东青岛·统考一模）某商业集团新建一小车停车场，经测算，此停车场每天需固定
支出的费用（设施维修费、车辆管理人员工资等）为800元．为制定合理的收费标准，该集团对一段时间
每天小车停放辆次与每辆次小车的收费情况进行了调查，发现每辆次小车的停车费不超过5元时，每天来
此处停放的小车可达1440辆次；若停车费超过5元，则每超过1元，每天来此处停放的小车就减少120辆
次．为便于结算，规定每辆次小车的停车费x（元）只取整数，用y（元）表示此停车场的日净收入，且要
求日净收入不低于2512元．（日净收入＝每天共收取的停车费﹣每天的固定支出）
（1）当x ≤5时，写出y与x之间的关系式，并说明每辆小车的停车费最少不低于多少元；
（2）当x＞5时，写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（3）该集团要求此停车场既要吸引客户，使每天小车停放的辆次较多，又要有较大的日净收入．按此要
求，每辆次小车的停车费应定为多少元？此时日净收入是多少？
【答案】（1）y＝1440x﹣800；每辆次小车的停车费最少不低于3元；（2）y＝﹣120x2+2040x﹣800；
（3）每辆次小车的停车费应定为8元，此时的日净收入为7840元．
【分析】（1）根据题意和公式：日净收入＝每天共收取的停车费﹣每天的固定支出，即可求出y与x的关
系式，然后根据日净收入不低于2512元，列出不等式，即可求出x的最小整数值；
（2）根据题意和公式：日净收入＝每天共收取的停车费﹣每天的固定支出，即可求出y与x的关系式；
（3）根据x的取值范围，分类讨论：当x≤5时，根据一次函数的增减性，即可求出此时y的最大值；当x
＞5时，将二次函数一般式化为顶点式，即可求出此时y的最大值，从而得出结论.
【详解】解：（1）由题意得：y＝1440x﹣800
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∵1440x﹣800≥2512，
∴x≥2.3
∵x取整数，
∴x最小取3，即每辆次小车的停车费最少不低于3元．
答：每辆小车的停车费最少不低于3元；
（2）由题意得：
y＝[1440﹣120（x﹣5）]x﹣800
即y＝﹣120x2+2040x﹣800
（3）当x≤5时，
∵1440＞0，
∴y随x的增大而增大
∴当x=5时，最大日净收入y＝1440×5﹣800＝6400（元）
当x＞5时，
y＝﹣120x2+2040x﹣800
＝﹣120（x2﹣17x）﹣800
17
＝﹣120（x﹣ ）2+7870
2
17
∴当x＝ 时，y有最大值．但x只能取整数，
2
∴x取8或9．
1
显然，x取8时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为y＝﹣120× +7870＝7840（元）
4
∵7840元＞6400元
∴每辆次小车的停车费应定为8元，此时的日净收入为7840元．
答：每辆次小车的停车费应定为8元，此时的日净收入为7840元．
【点睛】此题考查的是一次函数和二次函数的综合应用，掌握实际问题中的等量关系、一次函数的增减性
和利用二次函数求最值是解决此题的关键.
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