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第 11 讲 一次函数的应用
目 录
一、考情分析
二、知识建构
题型01 分配问题
题型02 最大利润问题
题型03 行程问题
题型04 几何问题
题型05 工程问题
题型06 分段计费问题
题型07 体积问题
题型08 调运问题
题型09 计时问题
题型10 现实生活相关问题
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考点要求 新课标要求 命题预测
一次函数的应用在中考中多考察一次函数图象的理
解和信息提取，通常以行程类问题为主。出题时也多和
一次函数 能用一次函数解决实 方程、不等式结合，一次函数的实际应用的题目在中考
的应用 际问题 中难度不大，关键在于函数关系式的建立，主要考查的
是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息，
建立函数关系式是解题的关键.
一次函数的实际应用：
1）一次函数应用问题的求解思路：
①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答；
②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计
问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。
2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤：
①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；
②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式；
③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；
④利用函数的性质解决问题；
⑤写出答案。
3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤：
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①观察图象，获取有效信息；
②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。
【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。
4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及
最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或
线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
题型01 分配问题
【例1】（2023·陕西咸阳·校考一模）某文具商店文具促销给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔
记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，
每本笔记本定价为4元．某顾客准备购买x支钢笔和笔记本(x+10)本，设选择第一种方案购买所需费用为
y 元，选择第二种方案购买所需费用为y 元．
1 2
(1)请分别写出y ，y 与x之间的关系式： ， ；
1 2
(2)若该顾客准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优
惠．
【答案】(1)y =15x+40,y =15.2x+32，
1 2
(2)选择方案②更为优惠，见解析
【分析】（1）根据两种优惠方案，列出函数关系式即可；
（2）将x=10代入两个函数解析式，求出函数值，进行比较即可．
【详解】（1）解：由题意，得：y =15x+4×(x+10−x)=15x+40，
1
y =[15x+4(x+10)]×80%=15.2x+32；
2
（2）当x=10时，y =15×10+40=190；y =15.2×10+32=184
1 2
∵190>184，
∴选择方案②更为优惠．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出一次函数的解析式，是解题的关键．
【变式1-1】（2023·陕西西安·校考一模）李老师计划组织学生暑假去北京研学旅行，经了解，现有甲、乙
两家旅行社比较合适，报价均为每人2000元，且提供的服务完全相同，针对组团旅游的游客，甲旅行社表
示，每人都按八折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按八五折收费，超过20人时，其中
20人每人仍按报价的八五折收费，则超出部分每人按七折收费，假设组团参加甲、乙两家旅行社研学旅行
的人数均为x人．
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(1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团研学旅行的总费用y（元）与x（人）之间的函数关系式；
(2)若李老师组团参加研学旅行的人数共有25人，请你计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助李老师选择收取
总费用较少的一家．
【答案】(1)甲旅行社：y=2000x×0.8=1600x；乙旅行社：¿
(2)甲旅行社
【分析】（1）根据题意可以得到甲、乙两家旅行社收取组团旅游的总费用y（元）与x（人）之间的函数
关系式；
（2）将x=25分别代入（1）中的函数解析式，然后比较大小，即可解答本题．
【详解】（1）解：由题意可得，
甲旅行社：y=2000x⋅0.8=1600x；
当0≤x≤20时，y=2000x⋅0.85=1700x，
当x>20时，y=2000⋅20⋅0.85+(x−20)⋅2000⋅0.7=1400x+6000，
故乙旅行社：¿
（2）解：依题意，把x=25代入y=1600x，
则甲旅行社：y=1600×25=40000；
因为25>20
所以把x=25代入y=1400x+6000中，
则乙旅行社：y=1400×25+6000=41000；
因为41000>40000，
所以选择甲旅行社．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函
数的性质解答．
【变式1-2】（2022·陕西西安·统考三模）某校为改善办学条件，计划购进A、B两种规格的书架，经市场
调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如表：
线下 线上
规
格
单价（元/个） 运费（元/个） 单价（元/个） 运费（元/个）
A 240 0 210 20
B 300 0 250 30
(1)如果在线上购买A、B两种书架20个，共花费y元，设其中A种书架购买x个，求y关于x的函数关系
式；
(2)在（1）的条件下，若购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍，请求出花费最少的购买方案，并计
算按照这种购买方案线上比线下节约多少钱．
【答案】(1)y=−50x+5600
(2)购买A种书架6个，购买B种书架14个；线上比线下节约340元
【分析】（1）设其中A种书架购买x个，则B种书架购买(20−x) 个，根据表中的单价及运费列出函数
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关系式即可；
（2）根据购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍，求出x的取值范围，再根据第（1）小题的函数关
系式，求出y的最小值即线上的花费，再求出线下需要的花费，即可求解．
【详解】（1）由题意得
y=210x+250(20−x)+20x+30(20−x)
整理得y=−50x+5600
（2）由题意得20−x≥2x
20
解得x≤
3
∵−50<0
∴ y随x的增大而减小
∴ 当x=6时，y最小为−300+5600=5300
线下购买时的花费为240×6+300×14=5640
此时，购买B种书架20-6=14个
线上比线下节约5640-5300=340元
所以，购买A种书架6个，购买B种书架14个；线上比线下节约340元．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用和一元一次不等式的应用，准确理解题意，找到数量关系是解题的
关键．
【变式1-3】（2021·贵州六盘水·统考二模）某班举行“学党史”知识竞赛活动，班主任安排小颖购买A，
B两种物品，如图是小颖购买物品前与同学的对话情景：
(1)请计算出A，B两种物品的单价；
(2)本次竞赛活动共需购买20个物品，且A物品的数量不少于B物品数量的一半，请设计出最省钱的购买
方案，并说明理由．
【答案】(1)A种物品的单价是30元，B种物品的单价是15元
(2)A种物品购买7个，B种物品购买13个最省钱，理由见解析
【分析】（1）设A种物品的单价是x元，B种物品的单价是y元，可得¿，即可解得答案；
2
（2）设A种物品购买m个，共需W元，根据A物品的数量不少于B物品数量的一半，可得m≥6 ，W＝
3
30m+15（20﹣m）＝15m+300，根据一次函数性质即可得答案．
【详解】（1）解：设A种物品的单价是x元，B种物品的单价是y元，
根据题意得：¿，
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解得¿，
答：A种物品的单价是30元，B种物品的单价是15元；
（2）解：设A种物品购买m个，B种物品购买（20﹣m）个，共需W元，
∵A物品的数量不少于B物品数量的一半，
20−m
∴m≥ ，
2
2
解得m≥6 ，
3
而W＝30m+15（20﹣m）＝15m+300，
∵15＞0，
∴W随m的增大而增大，
2
∵m≥6 ，m是整数，
3
∴m＝7时，W最小，最小为15×7+300＝405，
∴A种物品购买7个，B种物品购买13个最省钱．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程组和函数关系式．
题型02 最大利润问题
【例2】（2023·云南德宏·统考一模）某房地产开发公司计划建A、B两种户型的经济适用住房共80套，该
公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2122万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和
售价如下表：
A B
成本（万元/套） 25 28
售价（万元/套） 30 34
(1)该公司对这两种户型住房共有几种建房方案？
(2)若该公司所建的两种户型住房可全部售出，则采取哪一种建房方案获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)有11种建房方案．
(2)A型住房建40套，B型住房建40套获得利润最大；最大利润为440万元．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据结合公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2122万元，再建立
不等式组可以解答本题；
（2）根据题意可以得到利润与住房户型的函数关系式，再利用一次函数的性质从而可以解答本题；
【详解】（1）解：设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建(80−x)套，
¿，
1
解得，39 ≤x≤50，
3
∵x取非负整数，
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∴x为40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，
∴有11种建房方案．
（2）设该公司建房获得利润W万元，
由题意知：W =(30−25)x+(34−28)(80−x)=−x+480，
∵k=−1，W随x的增大而减小，
∴当x=40时，
即A型住房建40套，B型住房建40套获得利润最大；最大利润为440万元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问
题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
【变式2-1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）西安白鹿原樱桃以果大、汁多味甜、品质优良等特点远近闻
名．袁浪浪家种植了A，B两个品种的樱桃共4亩，两种樱桃的成本（包括种植成本和设备成本）售价如
表：
品种 种植成本（万元/亩） 设备成本（万元/亩） 售价（万元/亩）
A 1 0.2 3.5
B 1.5 0.3 4.2
设种植A品种樱桃x亩，若4亩地全部种植两种樱桃共获得利润y万元（利润=售价-种植成本-设备成本）．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)若A品种樱桃的种植亩数不少于B品种樱桃种植亩数的1.5倍，则A品种樱桃种植多少亩时利润最大？
并求最大利润．
【答案】(1)y=−0.1x+9.6
(2)种植A品种樱桃种植2.4亩时利润最大，最大利润是9.36万元
【分析】（1）由题意得，y=(3.5−1−0.2)x+(4.2−1.5−0.3)×(4−x)，整理求解即可；
（2）根据A品种樱桃的种植亩数不少于B品种樱桃种植亩数的1.5倍，可以求得x的取值范围，再根据一
次函数的性质，即可得到种植A品种樱桃种植多少亩时利润最大，并求出此时的最大利润．
【详解】（1）解：由题意可得，y=(3.5−1−0.2)x+(4.2−1.5−0.3)×(4−x)=−0.1x+9.6，
∴y与x的函数关系式为y=−0.1x+9.6；
（2）解：∵A品种樱桃的种植亩数不少于B品种樱桃种植亩数的1.5倍，
∴x≥1.5(4−x)，解得x≥2.4，
∵y=−0.1x+9.6，
∵k=−0.1<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=2.4时，y取得最大值，此时y=9.36，
答：种植A品种樱桃种植2.4亩时利润最大，最大利润是9.36万元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键在于明确题意，利用一次函数的
性质和不等式的性质解答．
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【变式2-2】（2023·河南洛阳·统考二模）西峡猕猴桃是河南省西峡县特产．某网店新进甲、乙两种猕猴桃，
已知购进10件甲种猕猴桃和15件乙种猕猴桃需950元，购进15件甲种猕猴桃和20件乙种猕猴桃需1350元．
(1)求甲、乙两种猕猴桃的进货单价；
(2)若该网店购进甲、乙两种猕猴桃共100件，甲种猕猴桃按进价提价20%后的价格销售，乙种猕猴桃按进
价的2倍标价后再打七折销售，若甲、乙两种猕猴桃全部售完后的销售总额不低于5100元（不考虑损耗），
请你帮网店设计利润最大的进货方案，并说明理由．
【答案】(1)甲种猕猴桃的进货单价是50元，乙种猕猴桃的进货单价是30元
(2)当购进甲、乙两种猕猴桃各50件时，销售完后获得的利润最大，最大利润是1100元
【分析】（1）设甲种猕猴桃的进货单价是m元，乙种猕猴桃的进货单价是n元，根据题意列二元一次方程
组求解即可；
（2）由（1）可知甲、乙的进货单价，根据题意可算出甲、乙的销售价格，设购进甲种猕猴桃x件，则购
进乙种猕猴桃(100−x)件，总利润为w元，销售总额为y元，分别列式表示总利润、销售总额，根据题意
解不等式，根据一次函数图像的性质即可求解．
【详解】（1）解：设甲种猕猴桃的进货单价是m元，乙种猕猴桃的进货单价是n元，根据题意可得：
¿，解得¿，
∴甲种猕猴桃的进货单价是50元，乙种猕猴桃的进货单价是30元．
（2）解：由（1）可知，甲种猕猴桃的进货单价是50元，乙种猕猴桃的进货单价是30元，
∵甲种猕猴桃按进价提价20%后的价格销售，乙种猕猴桃按进价的2倍标价后再打七折销售，
∴甲种猕猴桃的售价为50+50×20%=60（元/件），乙种猕猴桃的售价为30×2×70%=42（元/件），
设购进甲种猕猴桃x件，则购进乙种猕猴桃(100−x)件，总利润为w元，销售总额为y元，
∴两种猕猴桃100件全部售完后的总利润为w=(60−50)x+(42−30)(100−x)=−2x+1200，
两种猕猴桃100件全部售完后的销售总额为y=60x+42(100−x)=18x+4200，
∵18x+4200≥5100，
∴x≥50，
∵w=−2x+1200，而−2<0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=50时，w最大是−2×50+1200=1100（元），
∴当购进甲、乙两种猕猴桃各50件时，销售完后获得的利润最大，最大利润是1100元．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组、解一元一次不等式，一次函数图像的性质与销售的问题，理解
题目中的数量关系，掌握解二元一次方程组得方法，解不等式，一次函数图像的增减性等知识是解题的关
键．
【变式2-3】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）2022年第19届亚运会（
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(The19thAsianGamesHangzhou2022)），简称“杭州2022年亚运会”，将于2023年9月23日至10月8
日在中国浙江杭州举行．杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江
南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”．它融合了杭州的历史人文、自然生态和创
新基因，三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进A、B两种杭州亚运会吉祥物礼
盒共50个，共花去7500元，这两种吉祥物礼盒的进价、售价如表：
进价（元/个） 售价（元/个）
A种礼
168 198
盒
B种礼
138 158
盒
(1)求A、B两种吉祥物礼盒分别购进了多少个；
(2)由于销售情况很好，第一次购进的50个礼盒很快就销售完了，专卖店老板又计划用不超过12000元购进
A、B两种礼盒共80个，则应该如何进货，才能使得第二批礼盒全部售完后获得最大利润？最大利润为多
少？
【答案】(1)购进A种吉祥物礼盒20个，购进B种吉祥物礼盒30个；
(2)购进A种礼盒32个，B种礼盒48个售完后获得最大利润，最大利润1920元
【分析】（1）设购进A种吉祥物礼盒x个，则购进B种吉祥物礼盒(50−x)个，根据购进A，B两种杭州亚
运会吉祥物礼盒共花去7500元列方程，解方程即可；
（2）设购进A种礼盒a个，B种礼盒(80−a)个，获得利润为y元，根据两种礼盒进价不超过12000元求出
a的取值范围，再根据总利润=两种礼盒利润之和列出函数解析式，由函数的性质即可求最值．
【详解】（1）解：设购进A种吉祥物礼盒x个，则购进B种吉祥物礼盒(50−x)个，
根据题意：168x+138(50−x)=7500，
解得：x=20，
∴50−x=30，
答：购进A种吉祥物礼盒20个，购进B种吉祥物礼盒30个；
（2）解：设购进A种礼盒a个，B种礼盒(80−a)个，获得利润为y元，
∵购买A、B两种礼盒的费用不超过12000元，
∴168a+138(80−a)≤12000，
解得：a≤32，
根据题意得：y=(198−168)a+(158−138)(80−a)=10a+1600，
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∵10>0，
∴y随a的增大而增大，
∴当a=32时，y有最大值，最大值为10×32+1600=1920，
80−a=80−32=48，
答：购进A种礼盒32个，B种礼盒48个售完后获得最大利润，最大利润1920元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，根据题意正确列方程和解析
式是解题关键．
题型03 行程问题
【例3】（2023·湖南娄底·统考一模）周末，小明和小亮相约到公园游玩．已知小明、小亮家到公园的距离
相同，小明先骑车6min到达超市，购买了一些水果和饮用水，然后再骑车10min到达公园．小明出发
10min后，小亮骑车从家出发直接去公园．下面给出的图象反映的是小明、小亮骑行的情况．请根据相关
信息，解答下列问题：
(1)填表：
小明离开家的时间/
4 6 20
min
1500
(2)填空：
①小明在超市购物的时间是 min；
②超市到公园的距离是 m；
③小亮骑行的速度是 m/min；
④小亮到达公园时，小明距离公园还有 m；
(3)解答：当0≤x≤31时，请直接写出y 关于x的函数解析式．
1
【答案】(1)见解析
(2)①15；②2100；③240；④1260
(3)y =¿
❑1
【分析】此题考查了从函数图象获取信息、列函数解析式、有理数混合运算的应用等知识，看懂图象，读
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懂题意，准确计算是解题的关键；
1500
（1）由图可知，小明的速度为 =250(m/min)，即可求得当x=4时y的值，根据图象即可得到当
6
x=20时y的值；
（2）①由图象可知，小明在超市购物的时间；②根据图象可知，超市到公园的距离；③用路程除以时间
即可得到小亮骑车的速度；④根据第二阶段小明骑行的速度求出小亮到达公园时，小明距离公园的距离即
可；
（3）根据题意和图象，分别写出0≤x≤6、6−3时，S = × 8+ a ×(a+3)=12，解得a =0，a =−6（舍）；
△EFB 2 3 1 2
当a=−3时，不存在S ；
△EFB
1 ( 8 )
当a<−3时，S = × −8− a ×(−a−3)=12，
△EFB 2 3
解得a =0（舍），a =−6，
1 2
综上所述，a的值为0或−6．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象和性质、一元二次方程的解法等知识，
分类讨论和数形结合是解题的关键．
【变式4-4】（（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，
∠D=90°，过点A作AE⊥BC于点E，AB=5，BC=7，BE=3．动点P从点B出发，沿B→A→D运
动，到达点D时停止运动．设点P的运动路程为x，△APE的面积为y ．．
1
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(1)请直接写出y 与x之间的函数关系式以及对应的x的取值范围；
1
(2)请在直角坐标系中画出y 的图象，并写出函数y 的一条性质；
1 1
(3)若直线y 的图象如图所示，结合你所画y 的函数图象，直接写出当y >y 时x的取值范围．（保留一位
2 1 1 2
小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)y =¿
1
(2)当0≤x≤5时，y 随x的增大而减小，当5y 时x的取值范围为：0≤x<3.3或7.122三种情况，利用待定系数法即可求出y与x的函数解析式；
（3）根据图象可知，用水15吨交水费30元，用水22吨交水费51元，由于30<48<51，所以该用户用水
大于15吨且小于22吨，将y=48代入（2）中对应的函数解析式，得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵用水15吨交水费30元，
∴基本段每吨水费30÷15=2元，
∴若某用户该月用水5吨，问应交水费2×5=10元；
（2）解：分三种情况：
①当0≤x≤15时，设y=k x，
1
∵(15，30)，在直线y=k x上，
1
∴30=15k ，解得k =2，
1 1
∴y=2x；
②当1522时，同理求得y=4x−37．
综上所述，y与x的函数解析式为y=¿；
（3）解：若某月一用户交水量48元，设该用户用水x吨．
∵用水15吨交水费30元，用水22吨交水费51元，
而30<48<51，
∴1510，则其中10人按原票价售票，超过部
分的按原价打8折售票．某旅行社带团到该景区游览，设在非节假日的购票款为y 元，在节假日的购票款
1
为y 元，y 、y 与x之间的函数图象如图所示．
2 1 2
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（1）图象中m=_______，n=_________．
（2）该旅行社在今年5月1日带甲团（人数超过10人）与5月10日（非节假日）带乙团到该景区游览，
两团合计100人，共付门票款6240元，求甲团人数与乙团人数．
【答案】（1）560，1440；（2）甲团有60人，乙团有40人
【分析】（1）根据图像可知门票定价为80元每人，继而可求得打7折的价格，即可求得m，由题可知10
人之外的另10人花费为80×10×0.8=640元，继而可得n=800+640=1440；
（2）设甲团有m人，乙团有n人，根据题意分情况列出方程组即可求解．
【详解】解：（1）由图可知门票定价为80元每人，
∴10人应花费800元，
∴打7折得到的价格为800×0.7=560元，即m=560，
由题可知10人之外的另10人花费为80×10×0.8=640元，
∴n=800+640=1440，
故答案为：560，1440；
（2）设甲团有a人，乙团有b人，
依题意，得：
¿，
解得¿，
答：甲团有60人，乙团有40人．
【点睛】本题重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题，根据题意中的等量关系建立函数关系式．
【变式6-2】（2021上·江苏镇江·八年级统考期末）某地区的电力资源缺乏，未能得到较好的开发．该地
区一家供电公司为了居民能节约用电，采用分段计费的方法来计算电费．月用电量x（度）与相应电费y
（元）之间的函数图象如图所示．
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(1)月用电量为50度时，应交电费______元．
(2)当x≥100时，求y与x之间的函数关系式．
(3)月用电量为150度时，应交电费______元．
【答案】(1)30
(2)当x≥100时，y与x之间的函数关系式为y=1.4x-80；
(3)130
【分析】（1）通过观察可知，月用电量小于或等于100度时，每度收费0.6元，据此计算即可；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）把x=150代入解析式即可得到答案．
60
【详解】（1）解：月用电量为50度时，应交电费：50× =30（元），
100
故答案为：30；
（2）解：当x≥100时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
∵点（100，60），（200，200）在函数y=kx+b的图象上，
∴¿，
解得¿，
即当x≥100时，y与x之间的函数关系式为y=1.4x-80；
（3）解：当x=150时，y=1.4×150-80=130，
即月用电量为150度时，应交电费130元．
故答案为：130．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，理解一次函数图象上点的坐标特点，掌握待定系数法求函数解
析式的步骤是解题关键．
题型07 体积问题
【例7】（2020·浙江绍兴·统考模拟预测）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个高都为10cm圆柱形容
器（甲、丙的底面积相同），用两个相同的管子在容器的6cm高度处连通（即管子底离容器底6cm，管子
的体积忽略不计）．现三个容器中，只有甲中有水，水位高2cm，如图①所示．若每分钟同时向乙、丙容
器中注入相同量的水，到三个容器都注满水停止，乙、丙容器中的水位h（cm）与注水时间t（min）的图
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象如图②所示．若乙比甲的水位高2cm时，注水时间m分钟，则m的值为（ ）
13
A．3或5 B．4或6 C．3或 D．5或9
3
【答案】C
【分析】确定a、b的值，再分乙容器的水位达到4cm时、甲容器的水位达到4cm时两种情况，分别求解．
【详解】解：2分钟时，丙的水量达到6cm，而此时乙的水量为2cm，故乙、丙两容器的底面积之比为3：
1，
∵乙、丙两容器的底面积之比为3：1，丙容器注入2分钟到达6cm，
∴乙容器的水位达到6cm所需时间为：a＝2+2＝4（min），
b＝（10﹣2+10×3+10）÷6＝8（min）．
①当2≤x≤4时，设乙容器水位高度h与时间t的函数关系式为h＝kt+b（k≠0），
∵图象经过（2，2）、（4，6）两点，则¿，解得：¿，
∴h＝2t﹣2（2≤x≤4）．
当h＝4时，则2t﹣2＝4，解得t＝3；
②设t分钟后，甲容器水位为4cm，根据题意得：2+6（t﹣4）＝4，
13
解得：t＝ ．
3
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想
解答．
【变式7-1】（2023·河北保定·统考一模）如图1，一个正方体铁块放置在高为90cm的圆柱形容器内，现以
一定的速度往容器内注水，注满容器为止．容器顶部离水面的距离y(cm)与注水时间x(min)之间的函数图
象如图2所示．
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(1)求直线BD的解析式，并求出容器注满水所需的时间．
(2)求正方体铁块的体积．
【答案】(1)15min
(2)27000cm3
【分析】（1）待定系数法求出BD得解析式即可，令y=0时，求出x值；
（2）根据图像确定出正方形的高即可求解．
【详解】（1）解：设直线BD的解析式为y=kx+b，
将点(3,60)和(9,30)代入y=kx+b中，
得¿，解得¿，
∴直线BD的解析式为y=−5x+75．
令y=0，即−5x+75=0，解得x=15，
故容器注满水所需的时间为15min．
（2）解：由图像AB段可知正方体的高为90−60=30(cm)，
即正方体的边长为30cm，
故正方体的体积为30×30×30=27000(cm3)．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解析式．
【变式7-2】（2021·河北石家庄·校考一模）如图，A、B两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时
水箱A中没有水，水箱B中盛满水．现以6dm3/min的流量从水箱B中抽水注入水箱A中，直至水箱A注
满水为止．设注水t(min)，水箱A的水位高度为y (dm)，水箱B中的水位高度为y (dm)，根据图中数据
A B
解答下列问题（抽水水管的体积忽略不计）
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（1）水箱A的容积为______；（提示：容积=底面积×高）
（2）分别写出y 、y 与t之间的函数表达式；
A B
（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差．
【答案】（1）36dm3；（2）y =t(0≤t≤6)，y =−0.6t+6(0≤t≤6)；（3）水位高度差为2dm．
A B
【分析】（1）根据长方体的体积公式计算即可．
（2）根据“水箱A的水位高度＝注入水的体积÷水箱A的底面积”得出yA与t之间的函数表达式；“水箱
B中的水位高度＝6﹣流出水的体积÷水箱B的底面积”得出yB与t之间的函数表达式；
（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，即水箱B中的水还剩下一半，根据（2）的结论可以分别求
出两水箱中水位的高度即可解答．
【详解】解:(1)水箱A的容积为：3×2×6＝36dm3．
故答案为：36dm3．
6t
（2）根据题意得：y = =t(0⩽t⩽6)；
A 2×3
6t
y =6− =−0.6t+6(0⩽t⩽6)；
B 2×5
1
（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，y = ×6=3，
B 2
即﹣0.6t+6＝3，解得t＝5；
当t＝5时，yA＝t＝5．
∴yA﹣yB＝5﹣3＝2．
答：当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，两水箱中水位的高度差为2dm．
【点睛】此题考查了一次函数的应用，熟练掌握注水速度＝注水体积÷注水时间，圆柱体积＝圆柱的底面
积×圆柱的高，这两个公式为解题关键．
【变式7-3】（2023·福建厦门·福建省厦门第六中学校考二模）下面是小明同学的一则日记，请仔细阅读，
并完成相应的任务：
年*月*日 星期日
利用一次函数知识解决化学问题
今天我看到一则化学实验材料：
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如图1，在一支10ml的试管中充满了NO 和O 的混合气体，将其倒立在盛有足量水的烧杯中，这里会发
2 2
生化学反应．
4NO +O +2H O=4HNO ①
2 2 2 3
当NO 和O 的体积比为4:1时，NO 和O 恰好完全反应．如果反应后NO 仍有剩余，则NO 会和水继续
2 2 2 2 2 2
发生化学反应．
3NO +H O =2HNO +NO②
2 2 2 3
化学反应②中参与反应的NO 与生成的NO的体积比为3:1．
2
根据以上材料，我有如下思考：化学反应结束后试管中剩余气体的体积与化学反应前试管中混合气体中的
体积存在怎样的关系？经过分析，我可以建立一次函数模型解决这个问题．
设原混合气体中NO 的体积为xml，O 的体积为(10−x)ml，完全反应后试管内乘余气体的体积为yml．
2 2
情况一：由反应①可知，当NO 和O 的体积比为4:1时，NO 和O 恰好完全反应，此时x=8，y=0．
2 2 2 2
x
情况二：当x<8时，由反应①可知NO 全部参加反应，O 过量，参加反应①的O 的体积 ，剩余O 的体
2 2 2 4 2
x 5x
积为10−x− =10− ．
4 4
5x 5x
因为不溶于水，故完全反应后试管内剩余气体的体积y=10− ，即y=− +10．
4 4
在平面直角坐标系中画出当00
∴w随x的增大而增大，
由（1）知：0≤x≤200，
∴当x=0时，w =4×0+125040=125040（元），
最小
此时的调运方案是：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地．
答：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地可使投资总费用最少，最少费用是
125040元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确理解题意，列出方程组和函数关
系式是解题的关键．
【变式8-2】（2020·江西新余·统考一模）在抗击新型冠状病毒期间，科学合理调运各种防控物资是重要任
务之一．在某市的甲、乙、丙、丁四地中，已知某种消毒液甲地需要10吨，乙地需要8吨，正好丙地储备
有12吨，丁地储备有6吨．该市新冠肺炎疫情防控应急指挥部决定将这18吨消毒液全部调往甲、乙两地．
已知消毒液的运费价格如下表（单位：元/吨）．又知从丙地调运2吨到甲地、3吨到乙地共需420元；从
丙地调运4吨到甲地、2吨到乙地共需440元．如果设从丙地调运x吨到甲地．
起点/终点 甲地 乙地
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丙地 a b
丁地 35 70
（1）确定表中a，b的值；
（2）求调运18吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；
（3）求出总运费最低的调运方案，并求出最低运费是多少．
【答案】（1）a＝60，b＝100；（2）y＝－5x+1270；（3）总运费最低的调运方案为：丙地调运10吨到甲
地，丙地调运2吨到乙地，丁地调运0吨到甲地，丁地调运6吨到乙地，最低费用是1220元．
【分析】（1）根据“从丙地调运2吨到甲地、3吨到乙地共需420元；从丙地调运4吨到甲地、2吨到乙
地共需440元”建立二元一次方程组求解即可；
（2）根据“总运费=丙到甲的运费+丙到乙的运费+丁到甲的运费+丁到乙的运费”建立函数关系式，再化
简计算即可；
（3）根据“运往各地的消毒液吨数不小于0”建立不等式组，从而求出x范围，再结合（2）中的关系式求
最小值即可．
【详解】解：（1）由题意可知：¿，
解得：¿，
答：a＝60，b＝100；
（2）从丙地调运x吨到甲地，则丙地调运（12－x）吨到乙地，丁地调运到甲地（10－x）吨，丁地调运到
乙地（x－4）吨，
∴y＝60x+100(12－x)+35(10－x)+70(x－4)＝－5x+1270；
（3）由题意可知：¿，
解得：4≤x≤10，
∵y＝－5x+1270，－5＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝10时，y有最小值，最小值为y＝－5×10+1270＝1220，
∴总运费最低的调运方案为：丙地调运10吨到甲地，丙地调运2吨到乙地，丁地调运0吨到甲地，丁地调
运6吨到乙地，最低费用是1220元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用及解不等式组，弄清题意，正确找出题中的
数量关系是解题的关键．
【变式8-3】（2023上·河北保定·八年级校考期末）“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和
冬残奥会的吉祥物．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连
续两个月的销售情况如表
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销售量/件
月份 销售额/元
冰墩
雪容融
墩
第1个月 100 40 14800
第2个月 160 60 23380
(1)求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格．
(2)若某公司购进冰墩墩200件，雪容融300件，准备把这些吉祥物全部运往甲、乙两地销售．已知每件冰
墩墩运往甲、乙两地的运费分别为8元和10元；每件雪容融运往甲、乙两地的运费分别为7元和11元．若
运往甲地的吉祥物共240件，运往乙地的吉祥物共260件．
①设运往甲地的为冰墩墩a件(80≤a≤120)，总运费为w元，请写出w与a的函数关系式；
②怎样调运、两种吉祥物可使总运费最少？最少总运费是多少元？
【答案】(1)此款“冰墩墩”玩具的零售价格为118元，“雪容融”玩具的零售价格为75元
(2)①w=2a+4340 (80≤a≤120)；②运往甲地的为冰墩墩80件，运往乙地的为冰墩墩120件，运往甲地
的为雪容融160件，运往乙地的为雪容融140件，调运两种吉祥物可使总运费最少，最少总运费是4500元
【分析】（1）设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为x元，“雪容融”玩具的零售价格为y元，利用销售总
额=销售单价×销售数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①设运往甲地的为冰墩墩a件(80≤a≤120)，总运费为w元，则运往乙地的为冰墩墩(200−a)件，运
往甲地的为雪容融(240−a)件，运往乙地的为雪容融(60+a)件，根据题意列出函数关系式即可求解；
②根据一次函数的的性质，结合自变量的范围，即可求解．
【详解】（1）解：设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为x元，“雪容融”玩具的零售价格为y元，
依题意得：¿，
解得：¿；
答：此款“冰墩墩”玩具的零售价格为118元，“雪容融”玩具的零售价格为75元．
（2）①设运往甲地的为冰墩墩a件(80≤a≤120)，总运费为w元，则运往乙地的为冰墩墩(200−a)件，运
往甲地的为雪容融(240−a)件，运往乙地的为雪容融(60+a)件，
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∴w=8a+10(200−a)+7(240−a)+11(60+a)=2a+4340，
∴w=2a+4340 (80≤a≤120)，
②∵w=2a+4340 (80≤a≤120)，
2>0，当a=80时，w最小，最小值为2×80+4340=4500（元）
答：运往甲地的为冰墩墩80件，运往乙地的为冰墩墩120件，运往甲地的为雪容融160件，运往乙地的为
雪容融140件，调运两种吉祥物可使总运费最少，最少总运费是4500元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组与函数关系式是解题
的关键．
题型09 计时问题
【例9】（2023·浙江绍兴·统考三模）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现
了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．某学校STEAM社团在进行项目化学习时依据漏刻的
原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型．该实验小组通过观察，记录水位h(cm)、时间t(min)的数据，
得到表格．
t（min） … 1 2 3 4 …
h（cm） … 1.6 2.0 2.4 2.8 …
为了描述水位h(cm)与时间t(min)的关系，现有以下三种函数模型供选择：h=kt+b(k≠0)，
k
h=at2+bt+c(a≠0)，h= (k≠0)．
t
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，
并画出这个函数的图象．
(2)当水位高度h为4.8cm时，求对应的时间t的值．
【答案】(1)h=0.4t+1.2，见解析
(2)9
【分析】（1）从表中数据可知，水位h(cm)与时间t(min)满足一次函数关系式，设水位h(cm)与时间
t(min)的一次函数关系式为h=kt+b，再用待定系数法求解析式即可；
（2）利用（1）的关系式令h=21，求解t值即可．
【42淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】（1）从表中数据以及描出的点的特征可知：每分钟水位增加的高度相同可知， 水位h(cm)与时
间t(min)满足一次函数关系式．
设水位h(cm)与时间t(min)的一次函数关系式为h=kt+b，
代入表中任意两组数据得：
¿，
解得：¿，
∴h=0.4t+1.2，
∴水位h(cm)与时间t(min)的一次函数关系式为h=0.4t+1.2；
画出的函数图像如下：
（2）由（1）可知，水位h(cm)与时间t(min)的一次函数关系式为h=0.4t+1.2，
当h=4.8时， 4.8=0.4t+1.2
解得：t=9．
答：当水位h为4.8cm时，对应的时间为9min．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值是解题的关键．
【变式9-1】（2023·江西南昌·统考一模）沙漏又称“沙钟”，是我国古代一种计量时间的装置．它是根据
均匀的沙粒从一玻璃球漏到另一个玻璃球的数量来计量时间．其中上面玻璃球中沙粒完全流入下面玻璃球
后立即将沙漏倒置（倒置时间忽略不计），重新进行计时，周而复始．某课外数学小组观察发现：该沙漏
上面玻璃球沙粒剩余量y粒与流入时间t秒成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间在第3秒时，
上面玻璃球剩余沙粒1140粒，当流入时间在第9秒时，上面玻璃球剩余沙粒1020粒．
(1)求出上面玻璃球沙粒余量y粒与流入时间t（秒）之间的函数关系式；
(2)求沙漏恰好完成第一次倒置所需时间．
【答案】(1)y=−20x+1200(x≥0)
(2)60秒
【43淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）设一次函数的解析式y=kx+b，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，沙漏恰好完成第一次倒置，令y=0，即可求解．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式y=kx+b．
将(3,1140)和(9,1020)分别代入．得
¿
解得¿．
∴y=−20x+1200(x≥0)．
（2）解：∵沙漏恰好完成第一次倒置，
∴y=0．
即−20x+1200=0，解得x=60．
∴沙漏恰好完成第一次倒置的时间是60秒．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出一次函数关系式是解题的关键．
题型10 现实生活相关问题
【例10】（2023·陕西渭南·统考二模）千百年来，手杆秤也可算作华夏“国粹”，是我国传统的计重工具，
方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若
秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为
若干次称重时所记录的一些数据．
x（厘米） 1 2 4 8 10 12
y（斤） 0.75 1.00 1.50 2.50 3.00 3.50
(1)在图2中，通过描点的方法画出一次函数的图象，并求y（斤）与x（厘米）
之间的函数表达式；
(2)当秤钩上所挂物重是5.5斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是多少？
1 1
【答案】(1)图象见解析；y= x+
4 2
【44淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2)20厘米
【分析】（1）先利用描点法画出图象，再利用待定系数法求解函数表达式即可；
（2）把y=5.5代入（1）中解析式求值即可．
【详解】（1）一次函数的图象，如图所示，
设y（斤）与x（厘米）之间的函数表达式为y=kx+b，
把x=1,y=0.75，x=2,y=1代入，得
¿，
解得：¿，
1 1
∴求y（斤）与x（厘米）之间的函数表达式为y= x+ ；
4 2
1 1
（2）当y=5.5时， x+ =5.5，
4 2
解得：x=20
∴当秤钩上所挂物重是5.5斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是20厘米．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知
识解决问题．
【变式10-1】（2021·云南保山·统考一模）公司小李驾驶一辆小车到M市出差，将车停在了M市一个停车
场里，该停车场收费标准如下表：
时段 收费标准 备注
07时—22时 停车3小时以内（含3小时）5元/辆·
（小车） 次，超过3小时，每小时加收3元． 持续几天停车，仅前3小时收费5元；超
白天
过3小时，不足1小时的按1小时计算收
停车
07时—22时 停车3小时以内（含3小时）10元/辆·
费．
（大车） 次，超过3小时，每小时加收5元．
22时—07时
无论停车时间长短10元/辆·次
（小车）
夜间
停车
22时—07时
无论停车时间长短20元/辆·次
（大车）
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（1）设小李白天停车时长为x小时，应交停车总费用为y元，请写出y与x的函数表达式；
（2）如果小李是4月23日上午10：05 时驾车进入停车（开始计时收费），至次日中午12：30时驾驶车
辆驶出停车场（收费计时结束），小李应交停车费多少元？
【答案】（1）y=¿；（2）小李应交停车费60元．
【分析】（1）根据题意，可以写出小李白天停车费y（单位：元）关于停车计时x（单位：小时）的函数
表达式；
（2）分段计算出白天停车时长约为18小时，另加一个晚上，利用（1）所得函数表达式即可求解．
【详解】解：（1）由题意可得，当x≤3时，y=5；
当x＞3时，y=5+(x-3)×3=3x-4，
由上可得，函数表达式是：y=¿；
（2）由题意可得，10：05 至22时，共11时55分，
22时 至第二天07时，收费，10元/辆·次，
07时至12：30，共5时30分，
所以：白天共用时11时55分+5时30分=17时25分≈18小时，
即x=18，代入y=3x−4得：y=50(元)，
所以小李应交停车费10+50=60(元) ．
答：小李应交停车费60元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的费用和写出相应的函数关
系式．
【变式10-2】（2022·河南濮阳·统考一模）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今
已有4000多年的历史．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．
某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋．已知购买4副象棋和4副围棋共需220元，购买5
副象棋和3副围棋共需215元．
(1)求每副象棋和围棋的单价；
(2)学校准备购买象棋和围棋总共120副，围棋的数量不少于40副，且不多于象棋数量，请设计出所需总
费用最少的方案，并求出最少总费用．
【答案】(1)每副象棋的单价为25元，每副围棋的单价为30元
(2)当购买80副象棋，40副围棋时，所需总费用最少，最少总费用为3200元
【分析】（1）设每副象棋的单价为x元，每副围棋的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程
组即可；
（2）设购买象棋m副，则购买围棋(120−m)副，根据题意列出不等式，解不等式求出m的范围，根据题
意列出费用关于m的一次函数，根据一次函数的性质解答即可．
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【详解】（1）解：（1）设每副象棋的单价为x元，每副围棋的单价为y元，
由题意，得：¿，
解得¿，
答：每副象棋的单价为25元，每副围棋的单价为30元．
（2）（2）设购买象棋m副，则购买围棋(120−m)副：
由题意，得：¿，
解得：60≤m≤80．
设总费用为w元，
由题意，得：w=25m+30(120−m)=−5m+3600，
∵−5<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m为最大值80时，总费用最少，
最少为：−5×80+3600=3200（元）
∴当购买80副象棋，40副围棋时，所需总费用最少，最少总费用为3200元．
【点睛】本题考查的是列二元一次方程组、一元一次不等式解实际问题/一次函数的性质等知识，解题的关
键是学会利用一次函数的性质解决最值问题．
【变式10-3】（2021·陕西·统考二模）打车软件的出现很大程度上方便了我们的生活，其中“滴漓出行”
是全球最大的站式多样化出行渠道，现了解到某市“滴滴快车”普通时段的最新收费标准见下表；
里程/千米 收费/元
2千米以下（含2千米） 11.4
2千米以上，每增加1千米 1.95
（1）求“滴滴快车”的收费y（元）与行驶的里程数x（千米）之间的函数关系式；
（2）上周一，李老师乘坐“滴滴快车”从家到学校的车费是15.3元，李老师家距离学校多少千米？已知
王老师家距离学校1.8千米，求王老师乘坐“滴滴快车”从家到学校的车费．
11.4(x≤2)
【答案】（1）y={
；（2）4km；11.4元．
1.95x+7.5(x＞2)
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以分两段范围写出收费y（元）与里程数x（千米）之间的函
数关系式；
（2）先判断李老师车费y=15.3元＞11.4元，然后将其代入y=1.95x+7.5，求出李老师家与学校的距离；先
判断王老师家距离学校x =1.8 km＜2 km，再根据y=11.4求出王老师从家到学校的车费．
【详解】解：（1）由题意可得：
当0＜x≤2时，y=11.4，
当x＞2时，y=11.4+（x-2）×1.95=1.95x+7.5，
11.4(0＜x≤2)
由上可知，y与x之间的函数关系式为y={
；
1.95x+7.5(x＞2)
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（2）因为李老师的车费15.3元＞11.4元，所以x＞2，
当y=15.3即1.95x+7.5=15.3时，得x=4
所以李老师家距学校4km；
因为王老师家距离学校1.8 km＜2 km，所以y=11.4
王老师乘坐“滴滴快车”从家到学校的车费为11.4元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出函数关系式；再根据题目所给的
条件利用一次函数的性质进行解答．
【变式10-4】（2023·河南信阳·校考三模）随着电子信息产业的迅猛发展，智能手机已经走入普通百姓家，
也影响着人们的生活．随着其功能的不断增加，人们使用手机时间、次数急速增加，致使手机电量的使用
时间不断下降，手机充电问题便进入了大家的视线，据相关实验，手机电量E（单位：%）与充电时间t
（单位：h）存在一种函数关系．
某位助农达人在直播期间，两部相同的手机电池电量都剩余30%，为了不耽误助农直播卖农产品，他用第
一部手机一边充电一边直播（建议充电时，不玩手机、避免手机高温）；第二部手机在15分钟后电量剩余
20%时开始充电，已知两部手机的电量E与充电时间t的函数图象如下：
(1)求出线段BC对应的函数表达式；
(2)第一部手机充电时长为多少时，第二部手机电量超过了第一部的手机电量？
【答案】(1)E=40t+10
10
(2)当t> h时，第二部手机电量超过第一部手机电量
13
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出线段DF对应的函数表达式为E =14t+30，根据E>E ，得出40t+10>14t+30，求出t的
1 1
范围即可．
【详解】（1）解：设线段BC对应的函数表达式为E=kt+b(k≠0)，
(1 ) ( 1 )
由图象知，经过 ,20 , 2 ,100 ，
4 4
¿，
解得：¿，
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(1 1)
∴线段BC对应的函数表达式为E=40t+10 ≤t≤2 ．
4 4
（2）解：设线段DF对应的函数表达式为E =k t+b ，由图像知，经过(0,30),(5,100)．
1 1 1
¿，
解得：¿，
∴线段DF对应的函数表达式为E =14t+30，
1
方法一：当E=E 时，40t+10=14t+30，
1
10
解得t= ，
13
10
由图象可知，当t> h时，第二部手机电量超过第一部手机电量．
13
方法二：当E>E 时，40t+10>14t+30，
1
10
解得t> h．
13
10
∴当t> h时，第二部手机电量超过第一部手机电量．
13
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，涉及利用待定系数法求一次函数的解析式，利用不等式或图象比
较大小的具体知识；考查学生从图象中读取信息的能力，分析图象的能力、将实际问题转化为数学问题的
能力．
【变式10-5】（2019·山东青岛·统考一模）某商业集团新建一小车停车场，经测算，此停车场每天需固定
支出的费用（设施维修费、车辆管理人员工资等）为800元．为制定合理的收费标准，该集团对一段时间
每天小车停放辆次与每辆次小车的收费情况进行了调查，发现每辆次小车的停车费不超过5元时，每天来
此处停放的小车可达1440辆次；若停车费超过5元，则每超过1元，每天来此处停放的小车就减少120辆
次．为便于结算，规定每辆次小车的停车费x（元）只取整数，用y（元）表示此停车场的日净收入，且要
求日净收入不低于2512元．（日净收入＝每天共收取的停车费﹣每天的固定支出）
（1）当x ≤5时，写出y与x之间的关系式，并说明每辆小车的停车费最少不低于多少元；
（2）当x＞5时，写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（3）该集团要求此停车场既要吸引客户，使每天小车停放的辆次较多，又要有较大的日净收入．按此要
求，每辆次小车的停车费应定为多少元？此时日净收入是多少？
【答案】（1）y＝1440x﹣800；每辆次小车的停车费最少不低于3元；（2）y＝﹣120x2+2040x﹣800；
（3）每辆次小车的停车费应定为8元，此时的日净收入为7840元．
【分析】（1）根据题意和公式：日净收入＝每天共收取的停车费﹣每天的固定支出，即可求出y与x的关
系式，然后根据日净收入不低于2512元，列出不等式，即可求出x的最小整数值；
（2）根据题意和公式：日净收入＝每天共收取的停车费﹣每天的固定支出，即可求出y与x的关系式；
（3）根据x的取值范围，分类讨论：当x≤5时，根据一次函数的增减性，即可求出此时y的最大值；当x
＞5时，将二次函数一般式化为顶点式，即可求出此时y的最大值，从而得出结论.
【详解】解：（1）由题意得：y＝1440x﹣800
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∵1440x﹣800≥2512，
∴x≥2.3
∵x取整数，
∴x最小取3，即每辆次小车的停车费最少不低于3元．
答：每辆小车的停车费最少不低于3元；
（2）由题意得：
y＝[1440﹣120（x﹣5）]x﹣800
即y＝﹣120x2+2040x﹣800
（3）当x≤5时，
∵1440＞0，
∴y随x的增大而增大
∴当x=5时，最大日净收入y＝1440×5﹣800＝6400（元）
当x＞5时，
y＝﹣120x2+2040x﹣800
＝﹣120（x2﹣17x）﹣800
17
＝﹣120（x﹣ ）2+7870
2
17
∴当x＝ 时，y有最大值．但x只能取整数，
2
∴x取8或9．
1
显然，x取8时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为y＝﹣120× +7870＝7840（元）
4
∵7840元＞6400元
∴每辆次小车的停车费应定为8元，此时的日净收入为7840元．
答：每辆次小车的停车费应定为8元，此时的日净收入为7840元．
【点睛】此题考查的是一次函数和二次函数的综合应用，掌握实际问题中的等量关系、一次函数的增减性
和利用二次函数求最值是解决此题的关键.
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