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专题 15 二次函数的图像与性质【十大题型】
【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】.........................................................................................................3
【题型2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质】....................................................................................................6
【题型3 二次函数平移变换问题】........................................................................................................................12
【题型4 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】.......................................................................................15
【题型5 根据二次函数的性质求最值】................................................................................................................18
【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】...........................................................................................21
【题型7 根据二次函数自变量的情况求函数值的取值范围】...........................................................................24
【题型8 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】.......................................................................................27
【题型9 二次函数图象与各项系数符号】...........................................................................................................29
【题型10 二次函数与三角形相结合的应用方法】...............................................................................................34
【知识点 二次函数的图像与性质】
1.定义：一般的，形如y=ax2+bx+c(a.b.c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a.b.c分别是
函数解析式的二次项系数.一次项系数.常数项。
二次函数解析式的表示方法
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)；
(2)顶点式： y ＝ a ( x － h ) 2 ＋ k ( a ≠ 0) ，
它直接显示二次函数的顶点坐标是 ( h ， k ) ；
(3)交点式：y＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，
1 2
其中x，x 是图象与x轴交点的 横坐标 ．
1 2
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只
有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式
的这三种形式可以互化.
2.二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，
抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h
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(0，0) (0，k) (h，0) (h，k)
顶点 a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大
值。 最小值(或最大值)为0(k或 )。
增 x<0(h或 )时，y随x的增大而减小；x>0(h或 )时，y随x的增大而增
减 a>0 大。
性
即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增
大。
x<0(h或 )时，y随x的增大而增大；x>0(h或 )时，y随x的增大而减
a<0 小。
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减
小。
3.二次函数的平移：
方法一：在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：
方法二：
⑴ 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成
（或 ）
⑵ 沿x轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成
（或 ）
4.二次函数的图象与各项系数之间的关系
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1.a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小．
2.b的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，概括的说就是“左同
右异”
3.c决定了抛物线与 轴交点的位置
字母的符号 图象的特征
a＞0 开口向上
a
a＜0 开口向下
b＝0 对称轴为y轴
b ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧
c＝0 经过原点
c c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
5.二次函数与一元二次方程之间的关系
判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0
a＞0
二次函数y＝
ax2＋bx＋
c(a≠0)与x轴
的交点
a＜0
一元二次方程ax2＋bx 有两个不相等 有两个相等的
没有实数根
＋c＝0的实数根 的实数根x，x 实数根x＝x
1 2 1 2
当b2－4ac＜0时
当 时，图象落在 轴的上方，无论 为任何实数，都有 ；
当 时，图象落在 轴的下方，无论 为任何实数，都有 ．
【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】
【例1】（2023·四川甘孜·统考中考真题）下列关于二次函数y=(x−2) 2−3的说法正确的是( )
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A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与x轴没有交点
C．当x<2时，y随x增大而增大 D．图象的顶点坐标是(2,−3)
【答案】D
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与x轴的交点个数，由此解答即可．
【详解】解：A、∵a=1>0，图象的开口向上，故此选项不符合题意；
B、∵ y=(x−2) 2−3=x2−4x+1，
∴ Δ=(−4) 2−4×1×1=12>0，
即图象与x轴有两个交点，
故此选项不符合题意；
C、∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，
∴当x<2时，y随x增大而减小，
故此选项不符合题意；
D、∵ y=(x−2) 2−3，
∴图象的顶点坐标是(2,−3)，
故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
【变式1-1】（2023·四川乐山·统考模拟预测）二次函数y=−x2−1的图象是一条抛物线，下列关于该抛物
线的说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．当x=0时，函数的最大值是−1
C．对称轴是直线x=1 D．抛物线与x轴有两个交点
【答案】B
【分析】根据二次函数y=−x2−1的图象和性质，逐一分析判断即可．
【详解】解：∵y=−x2−1，a=−1<0，
∴抛物线开口向下，故A错误；
∵当x=0时，函数的最大值是−1，故B正确；
∵抛物线的对称轴是y轴，故C错误；
∵Δ=b2−4ac=02−4×(−1)×(−1)=−4<0，
∴抛物线与x轴没有交点，故D错误．
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故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的系数的几何意义，是解题的关键．
【变式1-2】（2023·广东江门·鹤山市沙坪中学校考模拟预测）关于二次函数y=x2+2x−8，下列说法正确
的是（ ）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为(0，−9)
C．图象与x轴的交点坐标为(−2,0)和(4,0)
D．y的最小值为−9
【答案】D
【分析】把二次函数的解析式化成顶点式和交点式，再利用二次函数的性质就可以判断各个选项中的结论
是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵二次函数y=x2+2x−8=(x+1) 2−9=(x+4)(x−2)，
∴该函数的对称轴是直线x=−1，在y轴的左侧，故选项A错误；
当x=0时，y=−8，即该函数与y轴交于点(0，−8)，故选项B错误；
当y=0时，x=2或x=−4，即图象与x轴的交点坐标为(2,0)和(−4,0)，故选项C错误；
当x=−1时，该函数取得最小值y=−9，故选项D正确．
故选：D
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，把二次函数解析式化为顶点式和交点式是解题的关键．
【变式1-3】（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知抛物线y=mx2−4mx过点
A(x ,y ),B(x ,y ),C(x ,y )，其中y =−4m，以下结论正确的是（ ）
1 1 2 2 1 3 2
A．若|x −x |≤|x −x |，则y ≥ y ≥ y B．若|x −x |≥|x −x |，则y ≥ y ≥ y
1 2 3 2 2 3 1 1 2 3 2 2 3 1
C．若y <y ≤ y ，则|x −x |<|x −x | D．若y <y ≤ y ，则|x −x |>|x −x |
1 3 2 1 2 2 3 1 3 2 1 2 2 3
【答案】D
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=2，从而可得点B为顶点，由m>0抛物线开口向上可
判断A，B选项，由点到对称轴的距离与函数值的关系可判断C，D；
【详解】解：∵y=mx2−4mx=m(x−2) 2−4m，
∴抛物线对称轴为直线x=2，顶点为(2,−4m)，
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∵y =−4m，
2
∴B(x ,y )为抛物线顶点，x =2，
2 2 2
当m>0时，抛物线开口向上，y 为函数最小值，
2
∴选项A，B错误．
若y <y ≤ y ，则抛物线开口向下，距离对称轴越近的点的纵坐标越大，
1 3 2
∴|x −x |>|x −x |
1 2 2 3
∴选项C错误，选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考察二次函数的图象与性质，开口向下时，图象上的点离顶点越远，即横坐标到对称轴的距
离越大时，点的纵坐标就越小
【题型2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质】
【例2】（2023·湖南·统考中考真题）已知P (x ,y ),P (x ,y )是抛物线y=ax2+4ax+3（a是常数，
1 1 1 2 2 2
a≠0)上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x=−2；②点(0,3)在抛物线上；③若
x >x >−2，则y >y ；④若y = y ，则x +x =−2其中，正确结论的个数为（ ）
1 2 1 2 1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
b 4a
【分析】根据对称轴公式x=− =− =−2可判断①；当x=0时，y=3，可判断②；根据抛物线的增
2a 2a
x +x
减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到 1 2=−2，可以判断④．
2
【详解】解：∵抛物线y=ax2+4ax+3（a是常数，a≠0)，
b 4a
∴x=− =− =−2，
2a 2a
故①正确；
当x=0时，y=3，
∴点(0,3)在抛物线上，
故②正确；
当a>0时，y >y ，
1 2
当a<0时，y <y ，
1 2
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故③错误；
x +x
根据对称点的坐标得到 1 2=−2，
2
x +x =−4，
1 2
故④错误．
故选B．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
【变式2-1】（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）关于x的二次函数y=mx2−6mx−5(m≠0)的结论
①对于任意实数a，都有x =3+a对应的函数值与x =3−a对应的函数值相等．
1 2
9 y −y
②若图象过点A(x ,y )，点B(x ,y )，点C(2,−13)，则当x >x > 时， 1 2<0．
1 1 2 2 1 2 2 x −x
1 2
4 1 1 4
③若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，则− <m≤− 或 ≤m< ．
9 3 3 9
④当m>0且n≤x≤3时，−14≤ y≤n2+1，则n=1．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】先求出该函数对称轴为直线x=3，再得出x =3+a和x =3−a关于直线x=3对称，即可判断①；
1 2
把C(2,−13)代入y=mx2−6mx−5(m≠0)，求出m=1，则当x>3时，y随x的增大而增大，得出
x −x >0,y −y >0，即可判断②；根据y=mx2−6mx−5=m(x−3) 2−5−9m，然后进行分类讨论：
1 2 1 2
当m>0时，当m<0时，即可判断③；根据当m>0且n≤x≤3时，得出y随x的增大而减小，根据x=3时，
y=−5−9m=−14，求出m=1，则当x=n时，y=n2−6n−5=n2+1，求出n的值，即可判断④．
【详解】解：①∵二次函数y=mx2−6mx−5(m≠0)，
−6m
∴该函数的对称轴为直线x=− =3，
2m
∵x =3+a，x =3−a，
1 2
x +x
∴ 1 2=3，即(x ,y )和(x ,y )关于直线x=3对称，
2 1 1 2 2
∴x =3+a对应的函数值与x =3−a对应的函数值相等，故①正确，符合题意；
1 2
②把C(2,−13)代入y=mx2−6mx−5(m≠0)得： −13=4m−12m−5，
解得：m=1，
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∴二次函数表达式为y=x2−6x−5，
∵a=1>0，该函数的对称轴为直线x=3，
∴当x>3时，y随x的增大而增大，
9
∵x >x > ，
1 2 2
∴y >y ，
1 2
∴x −x >0,y −y >0，
1 2 1 2
y −y
∴
1 2>0，故②不正确，不符合题意；
x −x
1 2
③∵y=mx2−6mx−5=m(x−3) 2−5−9m，
∴当x=3时，y=−5−9m，当x=6时，y=−5，
当m>0时，
∵3≤x≤6，
∴y随x的增大而增大，
∵3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，
∴四个整数解为：−5,−6,−7,−8，
1 4
∴−9<−5−9m≤−8，解得： ≤m< ，
3 9
当m<0时，
∵3≤x≤6，
∴y随x的增大而减小，
∵3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，
∴四个整数解为：−5,−4,−3,−2，
4 1
∴−2≤−5−9m<−1，解得：− <m≤− ，
9 3
4 1 1 4
综上：− <m≤− 或 ≤m< ，故③正确，符合题意；
9 3 3 9
④当m>0且n≤x≤3时，y随x的增大而减小，
∵−14≤ y≤n2+1，
∴当x=3时，y=−5−9m=−14，解得：m=1，
∴y=x2−6x−5，
当x=n时，y=n2−6n−5=n2+1，
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解得：n=−1，故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①③，共2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握y=(x−h) 2+k的对称轴为x=h，顶点坐
标为(h,k)；a>0时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大
而增大，a<0时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减
小．
【变式2-2】（2023·广东惠州·统考一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：
①abc>0；②4a+2b+c<0；③a+b≥x(ax+b）；④3a+c>0．
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．由抛物线的开口
方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为
x=1，可知x=2时和x=0时的y值相等可判断②正确；由图知x=1时二次函数有最小值，可判断③错误：
由抛物线的对称轴为x=1可得b=−2a，因此y=ax2−2ax+c，根据图象可判断④正确．
【详解】解：①∵抛物线的开口向上，
∴a>0
∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上，
∴c<0
b
由− >0得，b<0
2a
∴abc>0，故①正确；
②由抛物线的对称轴为x=1，可知x=2时和x=0时的y值相等，
由图知x=0时，y<0，
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∴x=2时，y<0，
即4a+2b+c<0．故②正确；
③由图知x=1时二次函数有最小值，
∴a+b+c≤ax2+bx+c，
∴a+b≤ax2+bx，
a+b≤x(ax+b)故③错误．
b
④由抛物线的对称轴为x=1可得− =1，
2a
∴b=−2a，
∴y=ax2−2ax+c，
当x=−1时，y=a+2a+c=3a+c．
由图知x=−1时y>0，
∴3a+c>0，故④正确．
综上所述：正确的是①②④．
故选：B．
【变式2-3】（2023·辽宁丹东·统考中考真题）抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点为A(−3,0)，
与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线x=−1，其部分图象如图所示，则以下4个结论：
①abc>0；②E(x ,y )，F(x ,y )是抛物线y=ax2+bx(a≠0)上的两个点，若x <x ，且x +x <−2，
1 1 2 2 1 2 1 2
( 3 )
则y <y ；③在x轴上有一动点P，当PC+PD的值最小时，则点P的坐标为 − ,0 ；④若关于x的方程
1 2 7
ax2+b(x−2)+c=−4(a≠0)无实数根，则b的取值范围是b<1．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】由图可知a>0,b>0,c<0，即可判断①；易得y=ax2+bx+c向上平移|c|个到位长度得到
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x +x
y=ax2+bx，则y=ax2+bx的对称轴也为直线x=−1，根据x +x <−2，得出 1 2<−1，则E(x ,y )
1 2 2 1 1
离对称轴的距离大于 离对称轴的距离，即可判断②；作点C关于x轴对称的对应点 ，连接 ，
F(x ,y ) C' C'D
2 2
交x轴于点P，把A(−3,0)代入y=ax2+bx+c得到0=9a−3b+c，根据对称轴得到b=2a，则c=−3a，
进而得出C'(0,3a)，把x=−1代入y=ax2+bx+c得出D(1,−4a)，用待定系数法求出直线C'D的函数解
析式为y=7ax+3a，即可判断③；由图可知，当2b−4<−4a时，抛物线y=ax2+bx+c与直线
y=2b−4没有交点，则原方程无实数根，求出b<1，结合b>0，即可判断④．
【详解】解：由图可知，
∵该抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，
∴a>0,b>0,c<0，
∴abc<0，故①不正确，不符合题意；
∵y=ax2+bx+c向上平移|c|个到位长度得到y=ax2+bx，
∴y=ax2+bx的对称轴也为直线x=−1，
∵x +x <−2，
1 2
x +x
∴ 1 2<−1，
2
∵x <x ，
1 2
∴E(x ,y )离对称轴的距离大于F(x ,y )离对称轴的距离，
1 1 2 2
∵函数开口向上，离对称轴越远函数值越大，
∴y >y ，故②不正确，不符合题意；
1 2
作点C关于x轴对称的对应点C'，连接C'D，交x轴于点P，
把A(−3,0)代入y=ax2+bx+c得：0=9a−3b+c，
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，
b
∴− =−1，则b=2a，
2a
∴0=9a−6a+c，整理得：c=−3a，
∴C(0,−3a)，则C'(0,3a)，
把x=−1代入y=ax2+bx+c得：y=a−b+c=a−2a−3a=−4a，
∴D(1,−4a)，
设直线C'D的函数解析式为y=mx+n，
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把C'(0,3a)，D(−1,−4a)代入得：
¿，解得：¿，
∴直线C'D的函数解析式为y=7ax+3a，
把y=0代入得：0=7ax+3a，
3
解得：x=− ，
7
( 3 )
∴P − ,0 ，故③正确，符合题意；
7
方程ax2+b(x−2)+c=−4(a≠0)整理为ax2+bx+c=2b−4，
∵D(−1,−4a)，
由图可知，当2b−4<−4a时，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=2b−4没有交点，
则原方程无实数根，
∵b=2a，
∴2b−4<−2b，
解得：b<1，
∵b>0，
∴b的取值范围为0<b<1，故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有③，共1个，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，以及二次函数图象上点的坐标特征，根据所给函数
图象，得出a、b、c的符号，利用抛物线的对称性和增减性是解析的关键．
【题型3 二次函数平移变换问题】
【例3】（2023·四川南充·统考中考真题）若点P(m,n)在抛物线y=ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线
y=a(x+1) 2上的是（ ）
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A．(m,n+1) B．(m+1,n) C．(m,n−1) D．(m−1,n)
【答案】D
【分析】观察抛物线y=ax2和抛物线y=a(x+1) 2可以发现，它们通过平移得到，故点P(m,n)通过相同的
平移落在抛物线y=a(x+1) 2上，从而得到结论．
【详解】∵抛物线y=a(x+1) 2是抛物线y=ax2（a≠0）向左平移1个单位长度得到
∴抛物线y=ax2上点P(m,n)向左平移1个单位长度后，会在抛物线y=a(x+1) 2上
∴点(m−1,n)在抛物线y=a(x+1) 2上
故选：D
【点睛】本题考查函数图象与点的平移，通过函数解析式得到平移方式是解题的关键．
【变式3-1】（2023·贵州黔东南·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x−1先绕原点旋
转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】(1，−3)
【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右
减”的法则进行解答即可．
【详解】解：∵y=x2+2x−1=(x+1) 2−2，
∴抛物线的顶点为（-1，-2），
将抛物线y=x2+2x−1先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），
旋转后的抛物线为y=−(x−1) 2+2，
再向下平移5个单位，y=−(x−1) 2+2−5即y=−(x−1) 2−3．
∴新抛物线的顶点（1，-3）
故答案是：（1，-3）．
【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键．
【变式3-2】（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）将抛物线y=(x+3) 2向下平移1个单位长度，再向右平
移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
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【答案】2或4/4或2
【分析】先求出抛物线y=(x+3) 2向下平移1个单位长度后与x的交点坐标，然后再求出新抛物线经过原点
时平移的长度．
【详解】解：抛物线y=(x+3) 2向下平移1个单位长度后的解析式为y=(x+3) 2−1，
令y=0，则(x+3) 2−1=0，
解得，x =−2,x =−4，
1 2
∴抛物线y=(x+3) 2−1与x的交点坐标为(−2,0)和(−4,0)，
∴将抛物线y=(x+3) 2−1向右平移2个单位或4个单位后，新抛物线经过原点．
故答案为：2或4．
【点睛】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下
减是解题关键．
【变式3-3】（2023·四川巴中·统考中考真题）函数y=|ax2+bx+c|(a>0,b2−4ac>0)的图象是由函数
y=ax2+bx+c(a>0,b2−4ac>0)的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，
则下列结论正确的是（ ）
①2a+b=0 ；②c=3； ③abc>0；④将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
b
【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为− =1，进而可得2a+b=0，故①正确；由函
2a
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数图象与y轴的交点坐标为（0，3），y=ax2+bx+c(a>0,b2−4ac>0)的图象x轴上方部分不变，下方
部分沿x轴向上翻折而成可知c＝-3，故②错误；根据对称轴求出b＜0，进而可得abc>0，故③正确；求出
翻折前的二次函数的顶点坐标，然后根据平移的性质可得④正确．
【详解】解：由函数图象可得：y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标为－1和3，
−1+3 b
∴对称轴为x= =1，即− =1，
2 2a
∴整理得：2a+b=0，故①正确；
∵y=|ax2+bx+c|(a>0,b2−4ac>0)与y轴的交点坐标为（0，3），
y=ax2+bx+c(a>0)可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿x轴向上翻折而成，
∴c＝-3，故②错误；
b
∵y=ax2+bx+c(a>0,b2−4ac>0)中a＞0，− =1，
2a
∴b＜0，
又∵c＝-3＜0，
∴abc>0，故③正确；
设抛物线y=ax2+bx+c的解析式为y=a(x+1)(x−3)，
代入（0，3）得：3=−3a，
解得：a＝－1，
∴y=−(x+1)(x−3)=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），
∴将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．
【题型4 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】
【例4】（2023·浙江杭州·一模）点A(x ,y )，B(x ,y )在抛物线y=ax2−2ax−3(a≠0)上，存在正数m，
1 1 2 2
使得−2<x <0且m<x <m+1时，都有y ≠ y ，则m的取值范围是（ ）
1 2 1 2
A．1<m≤4 B．2<m≤4
C．0<m≤1或m≥4 D．1<m≤2或m≥4
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【答案】C
【分析】根据函数解析式求出对称轴，根据关于抛物线的轴对称性质求出y = y ，取值范围，再根据不等
1 2
关系列不等式求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
−2a
抛物线对称轴为直线x=− =1，
2a
根据二次函数对称性可得，当−2<x <0时，
1
当1×2−0<x <1×2−(−2)，y = y ，
2 1 2
即2<x <4，
2
∵存在正数m，使得−2<x <0且m<x <m+1时，都有y ≠ y ，
1 2 1 2
∴m≥4或¿，
解得：0<m≤1或m≥4，
故选C．
【点睛】本题考查抛物线的轴对称性及对称轴公式，解题的关键是根据抛物线的对称性，利用数形结合思
想解题．
【变式4-1】（2023·浙江·统考一模）已知二次函数y=x2−4x+2，关于该函数在a≤x≤3的取值范围内有
最大值−1，a可能为（ ）
A．−2 B．−1 C．0.5 D．1.5
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质可得二次函数图象的对称轴为直线x=2，最小值为−2，从而得到点(3,−1)
关于对称轴的对称点为(1,−1)，即可求解．
【详解】解：∵1>0，
∴二次函数的图象开口向上，
y=x2−4x+2=(x−2) 2−2，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=2，最小值为−2，
当x=3时，y=32−4×3+2=−1，
∴点(3,−1)在二次函数图象上，且点(3,−1)关于对称轴的对称点为(1,−1)，
∵该函数在a≤x≤3的取值范围内有最大值−1，
∴1≤a≤3，
∴a可能为1.5．
故选：D
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【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【变式4-2】（2023·江苏·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx−3自变量x的部分取值和对应函数值y如
下表：则在实数范围内能使得y−5>0成立的x取值范围是 ．
【答案】x＞4或x＜-2
【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数的对称性得出y=5的自变量x的值即可．
【详解】解：∵根据表格可得：x=0，x = 2的函数值都是-3，相等，
∴由二次函数的对称性可知：二次函数的对称轴为直线x = 1，
∵当x=－2时，y=5，
∴x= 4时，y=5，
根据表格得：自变量x < 1时，函数值逐点减小；；当x=1时，函数值最小；当x>1时，函数值逐点增大；
∴抛物线的开口向上，
∴y-5 > 0成立的x取值范围是x <－2或x>4；
故答案为：x＞4或x＜-2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图表信息，求出对称轴解析式
是解题的关键；此题也可以确定出抛物线的解析式，再解不等式或利用函数图形来确定．
【变式4-3】（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）在平面直角坐标系中，二次函数
图象的表达式为y=ax2+(a+1)x+b，其中a−b=4．
(1)若此函数图象过点(1,3)，求这个二次函数的表达式．
(2)若(x ,y )、(x ,y )为此二次函数图象上两个不同点，当x +x =2时，y = y ，求a的值．
1 1 2 2 1 2 1 2
(3)若点(−1,t)在此二次函数图象上，且当x≥−1时y随x的增大而增大，求t的范围．
【答案】(1)y=2x2+3x−2
1
(2)a=−
3
(3)−5<t≤−4
【分析】（1） 将(1,3)，a−b=4代入y=ax2+(a+1)x+b即可；
（2）由y = y 可得这两个点关于抛物线的对称轴对称，再利用对称轴公式计算即可；
1 2
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（3）由题意可得t=a−5，分a>0和a<0分别求解即可．
【详解】（1）解：将(1,3)，a−b=4代入y=ax2+(a+1)x+b得：3=a+a+1+a−4，
解得：a=2，
∴b=a−4=−2,
∴这个二次函数的表达式为：y=2x2+3x−2；
（2）∵y = y ，
1 2
∴这两个点关于抛物线的对称轴对称，
b x +x
∴− = 1 2，
2a 2
a+1
∴− =1，
2a
1
∴a=− ；
3
（3）解：点(−1,t)在二次函数图象上，
∴t=a−a−1+a−4=a−5，
∵当x≥−1时y随x的增大而增大，
a+1
当a>0时，有− ≤−1，
2a
∴0<a≤1，
∴−5<t≤−4，
当a<0时，不符合题意舍去，
∴−5<t≤−4．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数表达式，函数图象上点的坐标的特征，二次函数的图象与
性质，熟练掌握二次函数的各知识点是解决本题的关键．
【题型5 根据二次函数的性质求最值】
【例5】（2023·安徽六安·统考一模）若a≥0，b≥0，且2a+b=2，2a2−4b的最小值为m，最大值为n，
则m+n=（ ）
A．−14 B．−6 C．−8 D．2
【答案】B
【分析】先用a表示b，然后代入2a2−4b中，利用配方法进行配方，再根据a≥0，b≥0确定a的取值范
围，根据二次函数的增减性确定m，n的值，即可得出答案．
【详解】解：∵2a+b=2，
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∴b=2−2a，
设y=2a2−4b
=2a2−4(2−2a)
=2a2+8a−8
=2(a2+4a−4)
=2(a2+4a+4−8)
=2[(a+2) 2−8]
=2(a+2) 2−16，
∵a≥0，b≥0，
∴¿，
解得：0≤a≤1，
∵2>0，
∴抛物线开口向上，对称轴为a=−2，
当a>−2时，y随a的增大而增大，
当a=0时，y最小，即m=2×22−16=−8，
当a=1时，y最大，即n=2×32−16=2，
∴m+n=−8+2=−6．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，用a表示b，转化为关于a的二次函数，根据a的取值范围
确定最大值和最小值是解题的关键．
【变式5-1】（2023·广东梅州·统考二模）已知实数a≥0，b≥0，且a+b=4，记代数式w=a²+ab+b²，
记w ，w 分别为代数式w的最大值与最小值，则w −w 的值为 ．
1 2 1 2
【答案】4
【分析】由a+b=4得到b=4−a， 则w=a2+ab+b2 =(a+b) 2−ab =42−a(4−a) =(a−2) 2+12．根据
a≥0，b≥0可求a的取值范围为0≤a≤4，由此可得代数式w的最大值与最小值，从而解决问题．
【详解】∵a+b=4，
∴b=4−a，
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∴w=a2+ab+b2
=(a+b) 2−ab
=42−a(4−a)
=a2−4a+16
=(a−2) 2+12．
∵a≥0，b≥0，
∴¿，
∴0≤a≤4
∴当a=0或a=4时，w=(a−2) 2+12有最大值，为w =16，
1
当a=2时，w=(a−2) 2+12有最小值，为w =12，
2
∴w −w =16−12=4．
1 2
故答案为：4
【点睛】本题考查二次函数的最值，将代数式转化为关于a的二次函数，通过二次函数的性质求出最值是
解题的关键．
【变式5-2】（2023·河北保定·统考模拟预测）对于二次函数y=−(x−m) 2+1，已知m>3，当−1≤x≤3时，
有下列说法：
①若y的最大值为−8，则m=4；
②若y的最小值为−8，则m=6；
③若m=5，则y的最大值为−3．
则上达说法（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③正确 D．均不正确
【答案】C
【分析】根据二次函数y=−(x−m) 2+1可得对称轴为直线x=m，由a=−1<0，可得抛物线开口向下，再
由m>3，所以当−1≤x≤3时，抛物线单调递增，从而可得x=3时，y有最大值，x=−1时，y有最小值，
把x=3、y=−8和x=−1、y=−8分别代入解析式求得m的值，再根据m的取值范围进行判断①②即可；
把x=3、m=5，代入解析式求得y的最大值即可判断③．
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【详解】解：二次函数y=−(x−m) 2+1图象的对称轴为直线x=m，
∵a=−1<0，
∴抛物线开口向下，
因为m>3，所以当−1≤x≤3时，函数y=−(x−m) 2+1单调递增，
若y的最大值为−8，则−(3−m) 2+1=−8，解得m=6或m=0（舍去），故①错误；
若y的最小值为−8，则−(−1−m) 2+1=−8，解得m=2或m=−4，此时不存在m，故②错误；
若m=5，则y=−(x−5) 2+1，所以y的最大值为−(3−5) 2+1=−3，故③正确，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式5-3】（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）在直角坐标系中，二次函数
y=ax2+bx+c(a<0)的图像过(m,b)，(m+1,a)两点.当b≥a，m<0时，二次函数图象y=ax2+bx+c有
最大值−2，a的最大值是 ．
8
【答案】−
3
【分析】根据题意求出−1≤m<0，再用二次函数图象y=ax2+bx+c有最大值−2，得到
a[(m+2) 2−4]=8，求出−3≤(m+2) 2−4<0，进一步即可求出答案．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图像过(m,b)，(m+1,a)两点，
∴¿，
②−①得，b=−am，
∵b≥a，m<0，
∴−1≤m<0，
把b=−am代入①得，am2−am2+c=b，
∵二次函数图象y=ax2+bx+c有最大值−2，
4ac−b2
∴ =−2，
4a
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4a×(−am)−(−am) 2
∴ =−2，
4a
8
整理得， =m2+4m=(m+2) 2−4，即a[(m+2) 2−4]=8，
a
∵−1≤m<0，
∴−3≤(m+2) 2−4<0，
0<a[(m+2) 2−4]≤−3a，
∴8≤−3a，
8
∴a≤− ，
3
8
即a的最大值是− ．
3
8
故答案为：−
3
【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的最值问题是解题的关键．
【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】
【例6】（2023·浙江绍兴·校联考三模）二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点(1,0),(2,3)，在a≤x≤6范
围内有最大值为4，最小值为−5，则a的取值范围是（ ）
A．a≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a≤0
【答案】C
【分析】先利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而得到抛物线的顶点坐标为(3,4)，由于当x=6时，
y=−5，根据抛物线的对称性可得：a的取值范围是0≤a≤3.
【详解】解：∵二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点(1,0),(2,3)，
∴¿，
解得¿，
∴抛物线的解析式是y=−x2+6x−5=−(x−3) 2+4，
∴抛物线的顶点坐标为(3,4)，
∴当x=3时，抛物线有最大值4，
由于当x=6时，y=−(6−3) 2+4=−5，且在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为−5，
∴根据抛物线的对称性可得：a的取值范围是0≤a≤3；
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故选：C.
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，正确理解题意、熟练
掌握抛物线的相关知识是解题关键.
【变式6-1】（2023·福建厦门·统考一模）已知二次函数y=−x2+2ax+a+1，若对于−1<x<a范围内的任
意自变量x，都有y>a+1，则a的取值范围是 ．
1
【答案】−1<a<−
2
【分析】先将解析式化成顶点式，然后根据题意可得−(x−a) 2+a2+a+1>a+1可求得x−a的取值范围，
1
再结合−1<x<a可知x−a<0，进而得到a>x>2a可得a<− ，最后再结合a>−1即可解答．
2
【详解】解：y=−x2+2ax+a+1=−(x−a) 2+a2+a+1
∵y>a+1
∴−(x−a) 2+a2+a+1>a+1，即a2>(x−a) 2，解得：a>x−a>0或a<x−a<0，
∵−1<x<a
∴x−a<0
1
∴a>x>2a，即2a<−1，解得：a<−
2
又∵a>−1
1
∴−1<a<− ．
2
1
故答案为−1<a<− ．
2
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、解一元二次不等式、等式的性质等知识点，理解二次函数的性
质是解答本题的关键．
【变式6-2】（2023·浙江杭州·统考一模）已知抛物线y =x2，该抛物线经过平移得到新抛物线y ，新抛物
1 2
线与x轴正半轴交于两点，且交点的横坐标在1到2之间，若点P(1,p)，Q(2,q)在抛物线y 的图象上，
2
则PQ的范围是（ ）
A．0≤PQ<1 B．1≤PQ<2 C．1≤PQ<√2 D．√2≤PQ<2
【答案】C
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【分析】设平移后解析式为y =(x−k) 2+h，由新抛物线与x轴正半轴交于两点，且交点的横坐标在1到2
2
之间得1<k<2，由点P(1,p)，Q(2,q)在抛物线y 的图象上可得p=(k−1) 2+h，q=(k−2) 2+h，最后表
2
示出PQ的长度求范围即可．
【详解】∵抛物线y =x2 ，该抛物线经过平移得到新抛物线y ，
1 2
∴平移后解析式为y =(x−k) 2+h，
2
∵新抛物线与x轴正半轴交于两点，且交点的横坐标在1到2之间，
∴1<k<2，
∵点P(1,p)，Q(2,q)在抛物线y 的图象上
2
∴p=(k−1) 2+h=k2−2k+1+h，q=(k−2) 2+h=k2−4k+4+h，
∴PQ2=(2−1) 2+(p−q) 2=1+(2k−3) 2，
3
∴当k= 时，PQ2=1最小，
2
当k=1或k=2时，PQ2=2最大，
∴1≤PQ<√2，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和二次
函数的平移，表示出PQ2=(2−1) 2+(p−q) 2=1+(2k−3) 2是解题的关键．
【变式6-3】（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）对于二次函数y=x2−4x+3，图象的对称轴为
，当自变量x满足a≤x≤3时，函数值y的取值范围为−1≤ y≤0，则a的取值范围为 ．
【答案】 直线x=2 1≤a≤2
【分析】根据二次函数对称轴公式代入，可得到对称轴；利用配方法求出顶点坐标，令y=0，可得到点
A，B的坐标分别为(1,0),(3,0)，画出图形，观察图形，即可求解．
【详解】解：∵二次函数y=x2−4x+3，
−4
∴对称轴为直线x=− =2；
2×1
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∵y=x2−4x+3=(x−2) 2−1，
∴当x=2 时，函数有最小值，最小值为y=−1 ，
当y=0 时，有x2−4x+3=0，
解得：x =1,x =3 ，
1 2
∴如图所示，点A，B的坐标分别为(1,0),(3,0)，
∴当1≤x≤3时， −1≤ y≤0 ，
∵a≤x≤3时，函数值y的取值范围为−1≤ y≤0，
从图象中可得到−1≤ y≤0时，1≤a≤2．
故答案为：直线x=2；1≤a≤2．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数与坐标轴
的交点、顶点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征是解题的关键．
【题型7 根据二次函数自变量的情况求函数值的取值范围】
【例7】（2023·浙江金华·统考一模）已知二次函数y=x2+bx+5的图象经过点(1,0)，则当2≤x≤6时，y
的取值范围是（ ）
A．−5≤ y≤5 B．−4≤ y≤5 C．−3≤ y≤5 D．0≤ y≤5
【答案】B
【分析】先将点(1,0)代入y=x2+bx+5求出该二次函数的表达式，再根据其开口方向，对称性和增减性，
分析在2≤x≤6时的最大值和最小值即可．
【详解】解：将点(1,0)代入y=x2+bx+5得：0=1+b+5，
解得：b=−6，
∴该二次函数的表达式为：y=x2−6x+5，
−6
∴该函数的对称轴为直线x=− =3，
2
∵a=1>0，
∴该二次函数图象开口向上，离对称轴越远函数值越大，
∵6−3>3−2，
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∴再2≤x≤6之间，当x=6时，函数有最大值y=62−6×6+5=5，
当x=3时，函数有最小值y=32−6×3+5=−4，
∴当2≤x≤6时，y的取值范围是−4≤ y≤5．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握a>0时，函数开口向上，在对称轴左边，
y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，a<0时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x
的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
【变式7-1】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c，函数y与自变
量x的部分对应值如下表所示：
x … −1 0 1 3 …
y … −2 3 6 6 …
当0<x<4时，y的取值范围是（ ）
A．3<y≤6 B．3<y≤7 C．y<7 D．y>3
【答案】B
【分析】利用待定系数法求函数解析式，即可求得开口方向，对称轴，函数的最值，然后根据二次函数的
性质，可以得到当0<x<4时，y的取值范围．
【详解】解：将点(−1,−2)，(0,3)，(1,6)代入y=ax2+bx+c得
¿，解得¿，
∴y=−x2+4x+3=−(x−2) 2+7，
∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x=2，函数有最大值7，
∴x=0和x=4时的函数值相等，
则0<x<4时，y的取值范围是：3<y≤7，
故选：B．
【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式7-2】（2023·河南南阳·统考一模）已知二次函数y=−2x2+4x+3，当−1≤x≤2时，y的取值范围
是（ ）
A．y≤5 B．y≤3 C．−3≤ y≤3 D．−3≤ y≤5
【答案】D
【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x=1，然后根据x的取值范围求出y的最大值和最小值，即可得
出y的取值范围．
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【详解】解：∵y=−2x2+4x+3=−2(x−1) 2+5，
∴二次函数的对称轴为直线x=1，
∵a=−2＜0，
∴当x=1时，函数取最大值，且最大值为y=5，
∵在−1≤x≤2的范围内，x=−1时，距离对称轴最远，
∴x=−1时，函数取最小值，且最小值为：
y=−2×(−1−1) 2+5=−3，
∴y的取值范围是：−3≤ y≤5，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数的性质求出函数的最大值5，最小值-3，是解题的
关键．
【变式7-3】（2023·浙江杭州·统考二模）已知y=2x2−4x+1，且¿，其中m≤3，n≥−3，则y的取值范
围（ ）
A．−1≤ y≤17 B．1≤ y≤17 C．−1≤ y≤8 D．−1≤ y≤1
【答案】A
【分析】首先根据¿求出x的值，根据m≤3，n≥-3确定x的取值范围，根据二次函数的增减性确定y的取值．
【详解】解：由¿可得：
¿，
∵m≤3，n≥-3，
∴¿，
即-2≤x≤2，
∵y=2x2-4x+1，
b
对称轴为直线x=− =1且a=2＞0，开口向上，
2a
∴当x=1时，y有最小值，最小值为y=2×12-4×1+1=-1，
当x=-2时，y有最大值，最大值为y=2×（-2）2-4×（-2）+1=17，
∴-1≤y≤17，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是求出自变量x的取值范围，进而求出y的取值．
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【题型8 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】
【例8】（2023·四川泸州·二模）已知函数f (x)=x2−2ax+7，当x≤3时，函数值随x增大而减小，且对任
意的1≤x ≤a+2和1≤x ≤a+2，x ，x 相应的函数值y ，y 总满足|y −y |≤9，则实数a的取值范围是
1 2 1 2 1 2 1 2
（ ）
A．−3≤a≤4 B．−2≤a≤4 C．−3≤a≤3 D．3≤a≤4
【答案】D
【分析】对任意的1⩽x ⩽a+2和1⩽x ⩽a+2，x ，x 相应的函数值y ，y 总满足|y −y |⩽9，只
1 2 1 2 1 2 1 2
需最大值与最小值的差小于等于9即可，进而求解．
【详解】解：函数的对称轴为x=a，而x⩽3时，函数值随x增大而减小，故a⩾3；
∵1⩽x ⩽a+2和1⩽x ⩽a+2，
1 2
∴x=a时，函数的最小值=7−a2，
故函数的最大值在x=1和x=a+2中产生，
则x=1，x=a+2中，哪个距x=a越远，函数值越大，
∵a⩾3，
∴a−1⩾2，而a+2−a=2，
∴1距离a 更远，
∴x=1时，函数取得最大值为：8−2a，
∵对任意的1⩽x ⩽a+2和1⩽x ⩽a+2，x ，x 相应的函数值y ，y 总满足|y −y |⩽9，
1 2 1 2 1 2 1 2
只需最大值与最小值的差小于等于9即可，
∴8−2a−(7−a2 )⩽9，
a2−2a−8⩽0，
解得−2⩽a⩽4，而a⩾3，
∴3⩽a⩽4，
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，解题的关键是将|y −y |⩽9转换为最大值与最小
1 2
值的差小于等于9．
【变式8-1】（2023·上海长宁·统考一模）如果抛物线y＝（3﹣m）x2﹣3有最高点，那么m的取值范围是
．
【答案】m＞3
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【分析】根据二次函数y＝（3﹣m）x2﹣3的顶点是此抛物线的最高点，得出抛物线开口向下，即3﹣m＜
0，即可得出答案．
【详解】∵抛物线y＝（3﹣m）x2﹣3的顶点是此抛物线的最高点，
∴抛物线开口向下，
∴3﹣m＜0，
∴m＞3，
故答案为m＞3.
【点睛】此题主要考查了利用二次函数顶点坐标位置确定图象开口方向，此题型是中考中考查重点，同学
们应熟练掌握．
【变式8-2】（2023·四川泸州·统考一模）已知y=ax2+2ax+2a2+3二次函数（其中x是自变量），当
x≥2时，y随x的增大而减小，且−2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为( )
3 3
A．2或− B．−√2 C．− D．1
2 2
【答案】C
【分析】根据题目中的函数解析式可以求得该函数的对称轴，然后根据当x≥2时，y随x的增大而减小，
且-2≤x≤1时，y的最大值为9，可以判断a的正负，得到关于a的方程，从而可以求得a的值．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+2ax+2a2+3=a（x+1）2+2a2-a+3，
∴该函数的对称轴为直线x=﹣1，
∵当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴a＜0，当x=﹣1时，y=9，
∴9=2a2-a+3，
3
解得，a=﹣ ，a=2（舍去），
1 2 2
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质
解答．
1
【变式8-3】（2023·浙江杭州·统考三模）已知二次函数y＝ (s﹣1)x2+(t﹣6)x+1，当1≤x≤2时，y随x的增大
2
而减小，则st的最大为（ ）
49
A．4 B．6 C．8 D．
4
【答案】C
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【分析】由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的s，t的取值范围，
将st转化为含一个未知数的整式求最值．
1 6−t
【详解】解：抛物线y＝ (s﹣1)x2+(t﹣6)x+1，的对称轴为直线x＝ ，
2 s−1
①当s＞1时，抛物线开口向上，
∵1≤x≤2时，y随x的增大而减小，
6−t
∴ ≥2，即2s+t≤8．
s−1
解得t≤8﹣2s，
∴st≤s(8﹣2s)，
∵s(8﹣2s)＝﹣2(s﹣2)2+8，
∴st≤8．
②当0≤s＜1时，抛物线开口向下，
∵1≤x≤2时，y随x的增大而减小，
6−t
∴ ≤1，即s+t≤7，
s−1
解得s≤7﹣t，
∴st≤t(7﹣t)，
7 49
t(7﹣t)＝﹣(t﹣ )2+ ，
2 4
7 49
当s＝t＝ 时，st有最大值 ，
2 4
∵0≤s＜1，
∴此情况不存在．
综上所述，st最大值为8．
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键在于能够根据题意把st转换成关于t的二次函数求
最值．
【题型9 二次函数图象与各项系数符号】
【例9】（2023·安徽合肥·统考模拟预测）已知二次函数y=ax2(a≠0)和一次函数y=bx+c(b≠0)的图象
如图所示，则函数y=ax2+bx−c的图象可能是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题干中的函数图象，可知a>0,b<0,c>0，然后即可得到函数y=ax2+bx−c的图象的开口
方向，对称轴所在的位置和与y轴的交点位置，从而可以判断哪个选项符合题意．
【详解】解：由图象得，
二次函数y=ax2(a≠0)图象开口向上，
∴二次项系数a>0，
一次函数y=bx+c(b≠0)的图象过第一、二、四象限，
∴b<0,c>0，
b
∴− >0，−c<0
2a
∴函数y=ax2+bx−c的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，判断a、b、c的符号，
利用一次函数和二次函数的性质解答．
c
【变式9-1】（2023·安徽·模拟预测）已知一次函数y=ax+b与反比例函数y= 的图象在第二象限有两个
x
交点，且其中一个交点的横坐标为−1，则二次函数y=ax2+bx−c的图象可能是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数与反比例函数的位置关系即可得到a，b，c和0的大小关系，从而判断二次函数
y=ax2+bx−c的图像走向即可.
【详解】∵一次函数和反比例函数的两个交点在第二象限
∴a>0，b>0，c<0
b
∴二次函数y=ax2+bx−c的图像开口向上，与y轴交于正半轴，− <0，对称轴在y轴左侧
2a
∵其中一个交点的横坐标为−1
∴−a+b=−c，即a−b−c=0
∴二次函数y=ax2+bx−c的图像与x轴有一个交点为(−1,0)，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了通过一次函数和反比例函数的关系判断a、b、c和0的大小关系；得到三者的相
关特性是判断二次函数图像走势的关键.
错因分析 中等难度题.失分原因是：1.不会通过题干给出的一次函数和反比例函数的两个交点在第二象限
得出a、b、c和0的大小关系；2.不会运用题干给出的其中一个交点的横坐标为 得出a、b、c三者之间的
关系.
【变式9-2】（2023·湖南岳阳·统考模拟预测）如图，正方形ABCD边长为4，E、F、G、H分别是
AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面
积为y，则y与x的函数图象可能是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四
个直角三角形的面积，得函数y的表达式，结合选项的图象可得答案．
【详解】解：∵正方形ABCD边长为4，AE=BF=CG=DH
∴AH=BE=CF=DG，∠A=∠B=∠C=∠D
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
1
∴y=4×4− x(4−x)×4
2
=16−8x+2x2
=2(x−2) 2+8
∴y是x的二次函数，函数的顶点坐标为(2,8)，开口向上
从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意
但是B的顶点在x轴上，故B不符合题意，只有A符合题意
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键．
b
【变式9-3】（2023·广西·统考中考真题）已知反比例函数y= (b≠0)的图象如图所示，则一次函数
x
y=cx−a(c≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先由反比例函数图象得出b>0，再分当a>0，a<0时分别判定二次函数图象符合的选项，在符合的
选项中，再判定一次函数图象符合的即可得出答案．
b
【详解】解：∵反比例函数y= (b≠0)的图象在第一和第三象限内，
x
∴b>0，
b
若a<0，则- >0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合；
2a
b
当a>0，则- <0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，由
2a
C、D两选图象知，c<0，
又∵a>0，则-a<0，当c<0,a>0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限，
故只有D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查函数图象与系数的关系，熟练掌握反比例函数图象、一次函数图象、二次函数图象与系
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数的关系是解题的关键．
【题型10 二次函数与三角形相结合的应用方法】
【例10】（2023·青海·统考中考真题）如图，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C(1,0)，
交y轴于点B(0,3)．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；
(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满
足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．
【答案】(1)y=−x2−2x+3；
15
(2) ；
2
(3)M(−1，1)
【分析】（1）将B，C两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求解得出结果；
（2）连接OP，将二次函数的解析式配方求得顶点的坐标，邻y=0求得A的坐标，从而求得OQ，PQ，
OA的长，再根据S =S +S 求得结果；
四边形AOBP △AOP △BOP
（3）设M(−1，m)，表示出AM和BM，根据AM2=BM2列出方程求得m的值，进而求得结果．
【详解】（1）解：由题意得，
¿，
∴¿，
∴y=−x2−2x+3；
（2）解：如图，连接OP，
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∵y=−x2−2x+3=−(x+1) 2+4，
∴P(−1，4)，
∴PQ=4，OQ=1，
由−x2−2x+3=0得，x =1，x =−3，
1 2
∴OA=3，
1 1 1 1 15
∴S =S +S = OA⋅PQ+ OB⋅OQ= ×3×4+ ×3×1= ；
四边形AOBP △AOP △BOP 2 2 2 2 2
（3）解：设M(−1，m)，
∵OA=3，
∴A(−3，0)，
由AM2=BM2得[(−3)−(−1)] 2 +m2=(−1) 2+(m−3) 2，
∴m=l，
∴M(−1，1)．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是
熟练掌握有关基础知识．
【变式10-1】（2023·山东泰安·统考中考真题）如图1，二次函数y=ax2+bx+4的图象经过点
A(−4,0),B(−1,0)．
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(1)求二次函数的表达式；
(2)若点P在二次函数对称轴上，当△BCP面积为5时，求P坐标；
(3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使∠DAB+∠ACB=90°；请判断小明的说法是否正确，如
果正确，请求出D的坐标；如果不正确，请说明理由．
【答案】(1)y=x2+5x+4
( 5 ) ( 5 )
(2) − ,4 或 − ,−16
2 2
( 8 20)
(3)正确，D − ,−
3 9
【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）首先求出直线BC解析式，然后通过设P点坐标，并表示对应Q点坐标，从而利用“割补法”计算
△BCP的面积表达式并建立方程求解即可；
（3）首先连接AC，BC，设AC与对称轴交点为K，对称轴与x轴交点为H，连接BK，延长AD与对称轴
交于点M，根据已知信息求出tan∠CBK，然后推出∠DAB=∠CBK，从而在Rt△AHM中求出HM，
确定出M点坐标，再求出直线AM解析式，通过与抛物线解析式联立，求出交点D的坐标即可．
【详解】（1）解：将A(−4,0),B(−1,0)代入y=ax2+bx+4得：
¿，解得：¿，
∴抛物线解析式为：y=x2+5x+4；
5
（2）解：由抛物线y=x2+5x+4可知，其对称轴为直线x=− ，C(0,4)，
2
设直线BC解析式为：y=kx+c，
将B(−1,0)，C(0,4)代入解得：¿，
∴直线BC解析式为：y=4x+4，
此时，如图所示，作PQ∥x轴，交BC于点Q，
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∵点P在二次函数对称轴上，
( 5 ) (m−4 )
∴设P − ,m ，则Q ,m ，
2 4
|m−4 ( 5)| |m+6|
∴PQ= − − = ，
4 2 4
1 1 |m+6| |m+6|
∴S = PQ(y −y )= × ×4= ，
△BCP 2 C B 2 4 2
∵要使得△BCP面积为5，
|m+6|
∴ =5，解得：m=4或m=−16，
2
( 5 ) ( 5 )
∴P的坐标为 − ,4 或 − ,−16 ；
2 2
( 8 20)
（3）解：正确，D − ,− ，理由如下：
3 9
如图所示，连接AC，BC，设AC与对称轴交点为K，对称轴与x轴交点为H，连接BK，延长AD与对称
轴交于点M，
由（1）、（2）可得OA=OC=4，∠AOC=90°，
∴∠CAO=45°，AC=4√2，
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根据抛物线的对称性，AK=BK，
∴∠KAB=∠KBA=45°，∠AKB=90°，
∵AB=3，
3√2
∴AK=BK= ，
2
5√2
∴CK=AC−AK= ，
2
CK 5
在Rt△CKB中，tan∠CBK= = ，
BK 3
∵∠CBK+∠ACB=90°且∠DAB+∠ACB=90°，
∴∠DAB=∠CBK，
5
∴tan∠DAB=tan∠CBK= ，
3
HM 5
即：在Rt△AHM中， = ，
AH 3
5 3
∵AH=− −(−4)= ，
2 2
3 5 5
∴HM= × = ，
2 3 2
( 5 5)
∴M − ,− ，
2 2
设直线AM解析式为：y=sx+t，
( 5 5)
将A(−4,0)、M − ,− 代入解得：¿，
2 2
5 20
∴直线AM解析式为：y=− x− ，
3 3
联立¿，解得：¿或¿（不合题，舍去）
( 8 20)
∴小明说法正确，D的坐标为D − ,− ．
3 9
【点睛】本题考查二次函数综合问题，包括“割补法”计算面积，以及解直角三角形等，掌握二次函数的
性质，并熟练运用解三角形的方法进行数形结合分析是解题关键．
【变式10-2】（2023·湖南·统考中考真题）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与
y轴交于C点，其中B(1,0)，C(0,3)．
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(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点P，使得S =S ？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理
△PAC △ABC
由；
(3)点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围．
【答案】(1)y=x2−4x+3
(3−√17 7+√17) (3+√17 7−√17)
(2)P(2,−1)或P , 或P ,
2 2 2 2
3+√17 3−√17
(3) <a<5或−1<a< ．
2 2
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据S =S ，可得P到AC的距离等于B到AC的距离，进而作出两条AC的平行线，求得解析
△PAC △ABC
式，联立抛物线即可求解；
（3）根据题意，求得当△QAC是直角三角形时的a的值，进而观察图象，即可求解，分a>0和a<0两种情
况讨论，分别计算即可求解．
【详解】（1）解：将点B(1,0)，C(0,3)代入y=x2+bx+c，得
¿
解得：¿
∴抛物线解析式为y=x2−4x+3；
（2）∵y=x2−4x+3 =(x−2) 2−1，
顶点坐标为(2,1)，
当y=0时，x2−4x+3=0
解得：x =1,x =3
1 2
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∴A(3,0)，则OA=3
∵C(0,3)，则OC=3
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵S =S
△PAC △ABC
∴P到AC的距离等于B到AC的距离，
∵A(3,0)，C(0,3)，设直线AC的解析式为y=kx+3
∴3k+3=0
解得：k=−1
∴直线AC的解析式为y=−x+3，
如图所示，过点B作AC的平行线，交抛物线于点P，
设BP的解析式为y=−x+d，将点B(1,0)代入得，
−1+d=0
解得：d=1
∴直线BP的解析式为y=−x+1，
¿
解得：¿或¿
∴P(2,−1)，
∵PA=√(3−2) 2+12=√2,PB=√(2−1) 2+12=√2,AB=3−1=2
∴PA2+PB2=AB2
∴△ABP是等腰直角三角形，且∠APB=90°，
如图所示，延长PA至D，使得AD=PA，过点D作AC的平行线DE，交x轴于点E，则DA=PA，则符合
题意的点P在直线DE上，
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∵△APB是等腰直角三角形，DE∥AC,AC⊥PD
∴∠DAE=∠BAP=45° PD⊥DE
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=√2AD=√2AP=2
∴E(5,0)
设直线DE的解析式为y=−x+e
∴−5+e=0
解得：e=5
∴直线DE的解析式为y=−x+5
联立¿
解得：¿或¿
(3−√17 7+√17) (3+√17 7−√17)
∴P , 或P ,
2 2 2 2
(3−√17 7+√17) (3+√17 7−√17)
综上所述，P(2,−1)或P , 或P , ；
2 2 2 2
（3）①当a>0时，如图所示，过点C作CG⊥AC交x=2于点G，
当点Q与点G重合时，△ACQ是直角三角形，
当∠AQC=90°时，△ACQ是直角三角形，
设AC交x=2于点H，
∵直线AC的解析式为y=−x+3，
则H(2,1)，
∴CH=√22+(3−1) 2=2√2,
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∵∠CHG=∠OCH=45°，
∴△CHG是等腰直角三角形，
∴HG=√2CH =√2×2√2=4
∴G(2,5)，
设Q(2,q)，则AQ2=12+q2,CQ2=22+(q−3) 2=q2−6q+13
∵AC2=32+32=18
∴18=q2−6q+13+12+q2
3−√17 3+√17
解得：q= （舍去）或q=
2 2
( 3+√17)
∴Q 2,
2
∵△QAC是锐角三角形
3+√17
∴ <a<5；
2
当a<0时，如图所示，
同理可得AQ2+QC2=AC2
即∴18=q2−6q+13+12+q2
3−√17 3+√17
解得：q= 或q= （舍去）
2 2
由（2）可得AM⊥AC时，M(2,−1)
3−√17
∴−1<a<
2
3+√17 3−√17
综上所述，当△QAC是锐角三角形时， <a<5或−1<a< ．
2 2
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，角度问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
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【变式10-3】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx−c的
图象与x轴交于点A(−3,0)和点B(1,0)，与y轴交于点C．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC:y=x+3交于点D，若点M是直线AC上方抛物线上的一个
动点，求△MCD面积的最大值．
(3)如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与
点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2−2x+3；
9
(2)S = ；
△MCD最大 8
(3)Q(1−√5，−√5)或(1+√5，√5)．
【分析】（1）根据抛物线的交点式直接得出结果；
（2）作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，先求出抛物线的对称轴，进而求得C，D坐标及
CD的长，从而得出过M的直线y=x+m与抛物线相切时，△MCD的面积最大，根据x+m=−x2−2x+3
的△=0求得m的值，进而求得M的坐标，进一步求得CD上的高MQ的值，进一步得出结果；
（3）分两种情形：当点P在线段AC上时，连接BP，交CQ于R，设P(t，t+3)，根据CP=CB求得t的
值，可推出四边形BCPQ是平行四边形，进而求得Q点坐标；当点P在AC的延长线上时，同样方法得出结
果．
【详解】（1）解：由题意得，
y=−(x+3)(x−1)=−x2−2x+3；
（2）解：如图1，
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作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，
∵OA=OC=3，∠AOC=90°，
∴∠CAO=∠ACO=45°，
∴∠MEQ=∠AEF=90°−∠CAO=45°，
−3+1
抛物线的对称轴是直线：x= =−1，
2
∴y=x+3=−1+3=2，
∴D(1,2)，
∵C(0,3)，
∴CD=√2，
故只需△MCD的边CD上的高最大时，△MCD的面积最大，
设过点M与AC平行的直线的解析式为：y=x+m，
当直线y=x+m与抛物线相切时，△MCD的面积最大，
由x+m=−x2−2x+3得，
x2+3x+(m−3)=0，
由△=0得，
32−4(m−3)=0得，
9
m−3= ，
4
9
∴x2+3x+ =0，
4
3
∴x =x =− ，
1 2 2
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( 3) 2 ( 3) 15
∴y=− − −2× − +3= ，
2 2 4
3 3
y=x+3=− +3= ，
2 2
15 3 9
∴ME= − = ，
4 2 4
9 √2 9√2
∴MQ=ME⋅sin∠MEQ=ME⋅sin45°= × = ，
4 2 8
1 9√2 9
∴S = ×√2× = ；
△MCD最大 2 8 8
（3）解：如图2，
当点P在线段AC上时，连接BP，交CQ于R，
∵点B和点Q关于CQ对称，
∴CP=CB，
设P(t，t+3)，
由CP2=CB2得，2t2=10，
∴t =−√5，t =√5（舍去），
1 2
∴P(−√5，3−√5)，
∵PQ∥BC，
CR BR
∴ = =1，
QR PR
∴CR=QR，
∴四边形BCPQ是平行四边形，
∵1+(−√5)−0=1−√5，0+(3−√5)−3=−√5，
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∴Q(1−√5，−√5)；
如图3，
当点P在AC的延长线上时，由上可知：P(√5，3+√5)，
同理可得：Q(1+√5，√5)，
综上所述：Q(1−√5，−√5)或(1+√5，√5)．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称
的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．
47
