文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题 15 二次函数的图像与性质【十大题型】
【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】.........................................................................................................3
【题型2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质】....................................................................................................4
【题型3 二次函数平移变换问题】..........................................................................................................................5
【题型4 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】.........................................................................................6
【题型5 根据二次函数的性质求最值】..................................................................................................................6
【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】.............................................................................................7
【题型7 根据二次函数自变量的情况求函数值的取值范围】.............................................................................7
【题型8 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】.........................................................................................8
【题型9 二次函数图象与各项系数符号】..............................................................................................................8
【题型10 二次函数与三角形相结合的应用方法】...............................................................................................11
【知识点 二次函数的图像与性质】
1.定义：一般的，形如y=ax2+bx+c(a.b.c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a.b.c分别是
函数解析式的二次项系数.一次项系数.常数项。
二次函数解析式的表示方法
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)；
(2)顶点式： y ＝ a ( x － h ) 2 ＋ k ( a ≠ 0) ，
它直接显示二次函数的顶点坐标是 ( h ， k ) ；
(3)交点式：y＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，
1 2
其中x，x 是图象与x轴交点的 横坐标 ．
1 2
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只
有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式
的这三种形式可以互化.
2.二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，
抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(0，0) (0，k) (h，0) (h，k)
顶点 a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大
值。 最小值(或最大值)为0(k或 )。
增 x<0(h或 )时，y随x的增大而减小；x>0(h或 )时，y随x的增大而增
减 a>0 大。
性
即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增
大。
x<0(h或 )时，y随x的增大而增大；x>0(h或 )时，y随x的增大而减
a<0 小。
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减
小。
3.二次函数的平移：
方法一：在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：
方法二：
⑴ 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成
（或 ）
⑵ 沿x轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成
（或 ）
4.二次函数的图象与各项系数之间的关系
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1.a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小．
2.b的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，概括的说就是“左同
右异”
3.c决定了抛物线与 轴交点的位置
字母的符号 图象的特征
a＞0 开口向上
a
a＜0 开口向下
b＝0 对称轴为y轴
b ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧
c＝0 经过原点
c c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
5.二次函数与一元二次方程之间的关系
判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0
a＞0
二次函数y＝
ax2＋bx＋
c(a≠0)与x轴
的交点
a＜0
一元二次方程ax2＋bx 有两个不相等 有两个相等的
没有实数根
＋c＝0的实数根 的实数根x，x 实数根x＝x
1 2 1 2
当b2－4ac＜0时
当 时，图象落在 轴的上方，无论 为任何实数，都有 ；
当 时，图象落在 轴的下方，无论 为任何实数，都有 ．
【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】
【例1】（2023·四川甘孜·统考中考真题）下列关于二次函数 的说法正确的是( )
y=(x−2) 2−3
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与x轴没有交点
C．当x<2时，y随x增大而增大 D．图象的顶点坐标是(2,−3)
【变式1-1】（2023·四川乐山·统考模拟预测）二次函数y=−x2−1的图象是一条抛物线，下列关于该抛物
线的说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．当x=0时，函数的最大值是−1
C．对称轴是直线x=1 D．抛物线与x轴有两个交点
【变式1-2】（2023·广东江门·鹤山市沙坪中学校考模拟预测）关于二次函数y=x2+2x−8，下列说法正确
的是（ ）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为(0，−9)
C．图象与x轴的交点坐标为(−2,0)和(4,0)
D．y的最小值为−9
【变式1-3】（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知抛物线y=mx2−4mx过点
，其中 ，以下结论正确的是（ ）
A(x ,y ),B(x ,y ),C(x ,y ) y =−4m
1 1 2 2 1 3 2
A．若 ，则 B．若 ，则
|x −x |≤|x −x | y ≥ y ≥ y |x −x |≥|x −x | y ≥ y ≥ y
1 2 3 2 2 3 1 1 2 3 2 2 3 1
C．若 ，则 D．若 ，则
y |x −x |
1 3 2 1 2 2 3 1 3 2 1 2 2 3
【题型2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质】
【例2】（2023·湖南·统考中考真题）已知 是抛物线 （a是常数，
P (x ,y ),P (x ,y ) y=ax2+4ax+3
1 1 1 2 2 2
a≠0)上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x=−2；②点(0,3)在抛物线上；③若
x >x >−2，则y >y ；④若y = y ，则x +x =−2其中，正确结论的个数为（ ）
1 2 1 2 1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-1】（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）关于x的二次函数y=mx2−6mx−5(m≠0)的结论
①对于任意实数a，都有x =3+a对应的函数值与x =3−a对应的函数值相等．
1 2
②若图象过点 ，点 ，点 ，则当 9时，y −y ．
A(x ,y ) B(x ,y ) C(2,−13) x >x > 1 2<0
1 1 2 2 1 2 2 x −x
1 2
4 1 1 4
③若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，则− 0且n≤x≤3时，−14≤ y≤n2+1，则n=1．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-2】（2023·广东惠州·统考一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：
①abc>0；②4a+2b+c<0；③a+b≥x(ax+b）；④3a+c>0．
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式2-3】（2023·辽宁丹东·统考中考真题）抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点为A(−3,0)，
与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线x=−1，其部分图象如图所示，则以下4个结论：
① ；② ， 是抛物线 上的两个点，若 ，且 ，
abc>0 E(x ,y ) F(x ,y ) y=ax2+bx(a≠0) x 0,b2−4ac>0)
的图象 轴上方部分不变，下方部分沿 轴向上翻折而成，如图所示，
y=ax2+bx+c(a>0,b2−4ac>0) x x
则下列结论正确的是（ ）
①2a+b=0 ；②c=3； ③abc>0；④将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
【题型4 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】
【例4】（2023·浙江杭州·一模）点 ， 在抛物线 上，存在正数 ，
A(x ,y ) B(x ,y ) y=ax2−2ax−3(a≠0) m
1 1 2 2
使得−20成立的x取值范围是 ．
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【变式4-3】（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）在平面直角坐标系中，二次函数
图象的表达式为y=ax2+(a+1)x+b，其中a−b=4．
(1)若此函数图象过点(1,3)，求这个二次函数的表达式．
(2)若 、 为此二次函数图象上两个不同点，当 时， ，求a的值．
(x ,y ) (x ,y ) x +x =2 y = y
1 1 2 2 1 2 1 2
(3)若点(−1,t)在此二次函数图象上，且当x≥−1时y随x的增大而增大，求t的范围．
【题型5 根据二次函数的性质求最值】
【例5】（2023·安徽六安·统考一模）若a≥0，b≥0，且2a+b=2，2a2−4b的最小值为m，最大值为n，
则m+n=（ ）
A．−14 B．−6 C．−8 D．2
【变式5-1】（2023·广东梅州·统考二模）已知实数a≥0，b≥0，且a+b=4，记代数式w=a²+ab+b²，
记w ，w 分别为代数式w的最大值与最小值，则w −w 的值为 ．
1 2 1 2
【变式5-2】（2023·河北保定·统考模拟预测）对于二次函数 ，已知 ，当 时，
y=−(x−m) 2+1 m>3 −1≤x≤3
有下列说法：
①若y的最大值为−8，则m=4；
②若y的最小值为−8，则m=6；
③若m=5，则y的最大值为−3．
则上达说法（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③正确 D．均不正确
【变式5-3】（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）在直角坐标系中，二次函数
的图像过 ， 两点.当 ， 时，二次函数图象 有
y=ax2+bx+c(a<0) (m,b) (m+1,a) b≥a m<0 y=ax2+bx+c
最大值−2，a的最大值是 ．
【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】
【例6】（2023·浙江绍兴·校联考三模）二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点(1,0),(2,3)，在a≤x≤6范
围内有最大值为4，最小值为−5，则a的取值范围是（ ）
A．a≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a≤0
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【变式6-1】（2023·福建厦门·统考一模）已知二次函数y=−x2+2ax+a+1，若对于−1a+1，则a的取值范围是 ．
【变式6-2】（2023·浙江杭州·统考一模）已知抛物线 ，该抛物线经过平移得到新抛物线 ，新抛物
y =x2 y
1 2
线与x轴正半轴交于两点，且交点的横坐标在1到2之间，若点P(1,p)，Q(2,q)在抛物线y 的图象上，
2
则PQ的范围是（ ）
A．0≤PQ<1 B．1≤PQ<2 C．1≤PQ<√2 D．√2≤PQ<2
【变式6-3】（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）对于二次函数y=x2−4x+3，图象的对称轴为
，当自变量x满足a≤x≤3时，函数值y的取值范围为−1≤ y≤0，则a的取值范围为 ．
【题型7 根据二次函数自变量的情况求函数值的取值范围】
【例7】（2023·浙江金华·统考一模）已知二次函数y=x2+bx+5的图象经过点(1,0)，则当2≤x≤6时，y
的取值范围是（ ）
A．−5≤ y≤5 B．−4≤ y≤5 C．−3≤ y≤5 D．0≤ y≤5
【变式7-1】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c，函数y与自变
量x的部分对应值如下表所示：
x … −1 0 1 3 …
y … −2 3 6 6 …
当03
【变式7-2】（2023·河南南阳·统考一模）已知二次函数y=−2x2+4x+3，当−1≤x≤2时，y的取值范围
是（ ）
A．y≤5 B．y≤3 C．−3≤ y≤3 D．−3≤ y≤5
【变式7-3】（2023·浙江杭州·统考二模）已知y=2x2−4x+1，且¿，其中m≤3，n≥−3，则y的取值范
围（ ）
A．−1≤ y≤17 B．1≤ y≤17 C．−1≤ y≤8 D．−1≤ y≤1
【题型8 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】
【例8】（2023·四川泸州·二模）已知函数f (x)=x2−2ax+7，当x≤3时，函数值随x增大而减小，且对任
意的 和 ， ， 相应的函数值 ， 总满足 ，则实数a的取值范围是
1≤x ≤a+2 1≤x ≤a+2 x x y y |y −y |≤9
1 2 1 2 1 2 1 2
（ ）
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．−3≤a≤4 B．−2≤a≤4 C．−3≤a≤3 D．3≤a≤4
【变式8-1】（2023·上海长宁·统考一模）如果抛物线y＝（3﹣m）x2﹣3有最高点，那么m的取值范围是
．
【变式8-2】（2023·四川泸州·统考一模）已知y=ax2+2ax+2a2+3二次函数（其中x是自变量），当
x≥2时，y随x的增大而减小，且−2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为( )
3 3
A．2或− B．−√2 C．− D．1
2 2
1
【变式8-3】（2023·浙江杭州·统考三模）已知二次函数y＝ (s﹣1)x2+(t﹣6)x+1，当1≤x≤2时，y随x的增大
2
而减小，则st的最大为（ ）
49
A．4 B．6 C．8 D．
4
【题型9 二次函数图象与各项系数符号】
【例9】（2023·安徽合肥·统考模拟预测）已知二次函数y=ax2(a≠0)和一次函数y=bx+c(b≠0)的图象
如图所示，则函数y=ax2+bx−c的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
c
【变式9-1】（2023·安徽·模拟预测）已知一次函数y=ax+b与反比例函数y= 的图象在第二象限有两个
x
交点，且其中一个交点的横坐标为−1，则二次函数y=ax2+bx−c的图象可能是（ ）
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B．
C． D．
【变式9-2】（2023·湖南岳阳·统考模拟预测）如图，正方形ABCD边长为4，E、F、G、H分别是
AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面
积为y，则y与x的函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
b
【变式9-3】（2023·广西·统考中考真题）已知反比例函数y= (b≠0)的图象如图所示，则一次函数
x
和二次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
y=cx−a(c≠0) y=ax2+bx+c(a≠0)
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B．
C． D．
【题型10 二次函数与三角形相结合的应用方法】
【例10】（2023·青海·统考中考真题）如图，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C(1,0)，
交y轴于点B(0,3)．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；
(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．
【变式10-1】（2023·山东泰安·统考中考真题）如图1，二次函数y=ax2+bx+4的图象经过点
A(−4,0),B(−1,0)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点P在二次函数对称轴上，当△BCP面积为5时，求P坐标；
(3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使∠DAB+∠ACB=90°；请判断小明的说法是否正确，如
果正确，请求出D的坐标；如果不正确，请说明理由．
【变式10-2】（2023·湖南·统考中考真题）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与
y轴交于C点，其中B(1,0)，C(0,3)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点P，使得S =S ？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理
△PAC △ABC
由；
(3)点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围．
【变式10-3】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx−c的
图象与x轴交于点A(−3,0)和点B(1,0)，与y轴交于点C．
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC:y=x+3交于点D，若点M是直线AC上方抛物线上的一个
动点，求△MCD面积的最大值．
(3)如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与
点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
13
