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第 10 讲 一次函数的图象与性质
目 录
一、考情分析 二、知识建构
考点一 一次函数的相关概念
题型01 根据一次函数的定义求参数值
题型02 求一次函数的自变量或函数值
考点二 一次函数的图象与性质
题型01 判断一次函数图象
题型02 根据一次函数图象解析式判断象限
题型03 已知函数经过的象限求参数的值或取值范围
题型04 一次函数与坐标轴交点问题
题型05 判断一次函数增减性
题型06 根据一次函数增减性判断参数取值范围
题型07 根据一次函数增减性判断自变量的变化情况
题型08 一次函数的平移问题
题型09 求一次函数解析式
题型10 一次函数的规律探究问题
题型11 一次函数的新定义问题
考点三 一次函数与方程（组）、不等式
题型01 已知直线与坐标轴的交点求方程的解
题型02 由一元一次方程的解判断直线与x轴交点
题型03 利用图象法解一元一次方程
题型04 两直线的交点与二元一次方程组的解
题型05 图象法解二元一次方程组
题型06 求两直线与坐标轴围成的图形面积
题型07 由直线与坐标轴交点求不等式的解集
题型08 根据两条直线交点求不等式的解集
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考点要求 新课标要求 命题预测
结合具体情境体会一次函数的
一次函数的
意义，能根据已知条件确定一次函数的 一次函数的图象与性质是中考数学中比
相关概念
表达式； 较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多
解正比例函数； 的考点.各地对一次函数的图象与性质的考
能画一次函数的图象，根据图 察也主要集中在一次函数表达式与平移、图
象的性质、图象与方程不等式的关系以及一
象和表达式
一次函数的
次函数图象与几何图形面积等五个方面，年
y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0
图象与性质
年考查，总分值为5-10分左右，也因为一次
时图象的变化情况.
函数是一个结合型比较强的知识点，所以其
会运用待定系数法确定一次函
图象和性质也是后续函数问题学习的一个基
数的表达式.
础.故考生在复习这块知识点时，需要特别
一次函数与
熟记对应考点的方法规律.
方程 体会一次函数与二元一次方程
（组）、不 的关系.
等式
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考点一 一次函数的相关概念
正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数.
一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数. 当一次函数
y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）.
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1. 一次函数一般形式的特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数.
2. 正比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数.
3. 一次函数本身对自变量没有取值范围的要求，但是如果一次函数中的自变量 x出现在分母，根号内，
则需考虑以下情况： 1）整个分母不能等于0；
2）根号里的整个式子要大于或等于0.
4. 判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.
题型01 根据一次函数的定义求参数值
【例1】（2023·湖南长沙·校考一模）函数y=kx−2的图像经过点P(−1,3)，则k的值为（ ）
1
A．1 B．−5 C． D．−1
3
【答案】B
【分析】将图像上的点代入解析式求解即可．
【详解】∵一次函数y=kx−2的图像经过点P(−1,3)，
∴3=−k−2，
解得k=−5．
故选B．
【点睛】本题考查函数图像的性质，图像上的点的横纵坐标符合解析式方程．将点的坐标代入解析式方程
求解参数是解题的关键．
【变式1-1】（2023下·全国·九年级专题练习）若直线y=kx+k+1经过点(m, n+3)和(m+1, 2n−1)，且
00 k<0
从左向右看图像呈上升趋势， 从左向右看图像呈下降趋势，
y随x的增大而增大 y随x的增大而减少
图象 y y y y y y
x x x
x x x
O O O
O O O
b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0
经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四
一、二、四 二、四 二、三、四
与y轴 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上
交点位置
二、一次函数图象
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到：
图象关系 当b>0时，向上平移b个单位长度；
当b<0时，向下平移|b|个单位长度
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平移口诀：左加有减，上加下减
因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两
点即可，
图象确定
b
1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(− ，0)两点；
k
2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可.
三、k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
b b
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=− ，即直线y=kx+b与x轴交于(− ,0)
k k
令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b)
b
1）当− > 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
k
b
2）当− = 0，即b=0时，直线经过原点．
k
b
3）当− < 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
k
四、两个一次函数表达式（直线l：y=kx＋b 与l：y=kx＋b）的位置关系：
1 1 1 1 2 2 2 2
1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合；
2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行；
3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）；
4）当k1•k2=-1时，两直线垂直；
5）当k1≠k2时，两直线相交.
五、用待定系数法确定一次函数解析式
确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法.
用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：
1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；
2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组；
3）解方程或方程组求出k，b的值；
4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式.
六、正比例函数与一次函数的联系与区别
正比例函数 一次函数
区别 一般形式 y=kx+b（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）
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图象 经过原点的一条直线 一条直线
k的符号决定其增减性；
k，b符号 k的符号决定其增减性，
b的符号决定直线与y轴的交点位置；
的作用 同时决定直线所经过的象限
k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置
求解析式 只需要一对x，y的对应值
需要两对x，y的对应值或两个点的坐标
的条件 或一个点的坐标
1）正比例函数是特殊的一次函数．
2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个
不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．
3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）
或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx
联系
（k≠0）平行．
4）一次函数与正比例函数有着共同的性质：
①当k>0时，y的值随x值的增大而增大；
②当k<0时，y的值随x值的增大而减小．
1. 正比例函数y= kx中，|k|越大，直线y= kx越靠近y轴；反之，|y|越小，直线y= kx越靠近x轴.
2. 判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关.
3. 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大
值与最小值.但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具
体问题具体分析.
b
4. 一次函数y= kx+b（k≠0）与x轴交于(− , 0)，与y轴交于(0，b)，且这两个交点与坐标轴原点
k
1 | b|
构成的三角形面积为s= ⋅− ⋅|b|.
2 k
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题型01 判断一次函数图象
【例1】（2023·湖北武汉·模拟预测）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高
度h随时间t的函数是一次函数．这个容器的形状可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图像中每段的上升速度分析解答即可．
【详解】解：由一次函数图像可知，一次函数图像为直线，即容器内的水面为匀速上升状态，
A项，杯子的杯身粗细一样，匀速注水时，水面即时匀速上升，即水面高度h随时间t的函数图像是直线，
故是一次函数，故此项符合题意；
B项，杯子的杯身下细上粗，匀速注水时，水面上升速度先快后慢，即水面高度h随时间t的函数图像不是
直线，故不是一次函数，即此项不符合题意；
C项，杯子的杯身下细上粗，匀速注水时，水面上升速度先快后慢，即水面高度h随时间t的函数图像不是
直线，故不是一次函数，即此项不符合题意；
D项，杯子的杯身下细中间粗上细，匀速注水时，水面上升速度先快后慢再变快，即水面高度h随时间t的
函数图像不是直线，故不是一次函数，即此项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了利用函数图像判断容器，正确理解函数图像的上升速度与容器的粗细之间的关系是解
题的关键．
【变式1-1】（2023·浙江丽水·统考一模）将一圆柱体从水中匀速提起，从如图所示开始计时，直至其下表
面刚好离开水面，停止计时．用x表示圆柱体运动时间，y表示水面的高度，则y与x之间函数关系的图象
大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设刚开始时水高为h，大水桶底面积为S ，圆柱体底面积为S ，速度为v，当圆柱体上表面未离开
1 2
水面时，体积不变，水高不变，y=h，当上表面开始离开水面，直至其下表面刚好离开水面时，由题意得，
S v
S y=S h−S vx，整理得，y=− 2 x+h，根据函数解析式确定函数图象即可．
1 1 2 S
1
【详解】解：设刚开始时水高为h，大水桶底面积为S ，圆柱体底面积为S ，速度为v，
1 2
当圆柱体上表面未离开水面时，体积不变，水高不变，y=h，
当上表面开始离开水面，直至其下表面刚好离开水面时，由题意得，S y=S h−S vx，整理得，
1 1 2
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S v
y=− 2 x+h，
S
1
S v
∵− 2 <0，
S
1
∴y随x的增大而减小，
∴可知y与x之间函数关系的图象大致为y先保持不变，然后y随x的增大而减小，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象．解题的关键在于正确的表示数量关系．
【变式1-2】（2023·福建漳州·统考模拟预测）如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立
平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为y =k x,y =k x，则关于k 与k 的
1 1 2 2 1 2
关系，正确的是（ ）
A．k <0k ，
1 2
当取横坐标为正数时，同理可得k >k ，
1 2
综上所述，0>k >k
1 2
故选：D
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【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得
到比例系数的关系．
【变式1-3】（2023·浙江温州·统考一模）在平面直角坐标系中，有四个点A(2,5)，B(1,3)，C(3,1)，
D(−2,−3)，其中不在同一个一次函数图象上的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【分析】在平面直角坐标系中描出各点，再根据一次函数图象是直线，即可进行解答．
【详解】解：如图，在平面直角坐标系中描出各点，
由图可知：点C和点A、B、D不在同一个一次函数图象上．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象是直线．
【变式1-4】（2023·安徽滁州·校联考一模）已知一次函数y=x+2的图象经过点P(a，b)，其中a≠0，
b≠0，则关于x的一次函数y=ax+b和y=bx+a的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据一次函数y=x+2的图象经过点P(a，b)，b=a+2，进而推出一次函数y=ax+b的图象
经过定点(−1，2)，则一次函数y=ax+b一定经过第二象限，同理得到一次函数y=bx+a的图象经过定
点(−1，−2)，则一次函数y=bx+a必定经过第三象限，再由a≠b，得到一次函数y=bx+a与一次函数
y=ax+b与y轴的交点坐标不相同，由此即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数y=x+2的图象经过点P(a，b)，
∴b=a+2，
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∴在一次函数y=ax+b中，y=ax+a+2，即y=a(x+1)+2，对于任意实数a，恒有当x=−1时，y=2，
∴一次函数y=ax+b的图象经过定点(−1，2)；
∴一次函数y=ax+b一定经过第二象限，
当b=a+2时，即a=b−2，在一次函数y=bx+a中，y=bx+b−2，即y=b(x+1)−b，对于任意实数，
恒有当x=−1时，y=−2，
∴一次函数y=bx+a的图象经过定点(−1，−2)，
∴一次函数y=bx+a必定经过第三象限，
又∵a≠b，
∴一次函数y=bx+a与一次函数y=ax+b与y轴的交点坐标不相同，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，正确判断出两个一次函数分别要经过第二象限，第三象限
是解题的关键．
题型02 根据一次函数图象解析式判断象限
【例2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则
一次函数y=−kx+2k的图象所经过的象限是（ ）
A．一、二、四 B．一、二、三 C．一、三、四 D．二、三、四
【答案】C
【分析】根据正比例函数的增减性得到k<0，得到−k>0,2k<0，再根据一次函数的性质解答．
【详解】解：∵正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，
∴k<0，
∴−k>0,2k<0，
∴一次函数y=−kx+2k的图象所经过第一，三，四象限，
故选：C．
【点睛】此题考查了正比例函数的图象及性质与一次函数的图象及性质，正确掌握各函数的图象与性质是
解题的关键．
【变式2-1】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考二模）已知正比例函数y=kx中，y随x的增大而增大，
则一次函数y=−kx+k的图象所经过的象限是（ ）
A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
【答案】B
【分析】根据题意以及正比例函数的性质，得出k>0，进而即可求解．
【详解】解：∵正比例函数y=kx中，y随x的增大而增大，
∴k>0，−k<0
∴一次函数y=−kx+k的图象所经过的象限是一、二、四，
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故选：B．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质与一次函数的性质，得出k>0是解题的关键．
【变式2-2】（2022·河南南阳·统考三模）若一元二次方程x2−4x+4m=0有两个相等的实数根，则正比例函
数y=（m+2）x的图象所在的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】B
【分析】首先根据一元二次方程根的判别式确定m的值，进而可得m+2的值，然后再根据正比例函数的性
质可得答案．
【详解】解：∵一元二次方程x2-4x+4m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2-4ac=16-16m=0，
∴m=1，
∴m+2=3，
∴正比例函数y= （m+2）x 的图象所在的象限是第一、三象限，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了正比例函数的性质，以及一元二次方程根的判别式，关键是正确确定m的取值．
【变式2-3】（2023·浙江衢州·统考二模）在平面直角坐标系中，若一次函数y=mx+m(m≠0)的图象过
点(1,2)，则该函数图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先求出一次函数的解析式，然后判断一次函数图像不经过得象限解题．
【详解】解：把(1,2)代入y=mx+m(m≠0)得：m+m=2，
解得：m=1，
∴y=x+1
∴一次函数的图象过不经过第四象限，
故选D．
【点睛】本题考查一次函数的图像，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
【变式2-4】（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）一元二次方程x2−2x−4=0有两个
实数根a，b，那么一次函数y=(1−ab)x+a+b的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据根与系数的关系即可求出ab与a+b的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】解：由根与系数的关系可知：a+b=2，ab=−4，
∴1−ab=5
∴一次函数解析式为：y=5x+2，
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故一次函数的图象一定不经过第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．
k
【变式2-5】（2023·四川广安·统考一模）若反比例函数y= (k≠0)的图像经过点(2,−4)，则一次函数
x
y=kx−k(k≠0)的图像不经过（ ）象限．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】先确定反比例函数解析式，从而可得一次函数解析式，进而求解．
k
【详解】解：∵反比例函数y= (k≠0)的图像经过点(2,−4)，
x
k
∴ =−4，
2
解得：k=−8，
∴一次函数的解析式为y=−8x+8，
∴该直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，解题关键是掌握函数与方程的关系，掌握一次函数图
像与系数的关系．
题型03 已知函数经过的象限求参数的值或取值范围
【例3】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）若正比例函数y=kx的图象经过点A(k，9)，且经过第
二、四象限，则k的值是（ ）
A．−9 B．−3 C．3 D．−3或3
【答案】B
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，结合正比例函数图象经过第二、四象限，即可确
定k的值．
【详解】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点A(k，9)，
∴9=k2，
∴k=±3，
又∵正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限，
∴k<0，
∴k=−3，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标
特征，找出关于k的方程是解题的关键．
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【变式3-1】（2022·陕西西安·校考三模）在平面直角坐标系中，点A(1,2)、B(3,−2)、C(m,4)分别
在三个不同的象限．若正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过其中两点，则m=（ ）
4 3
A．2 B．−6 C．− D．−
3 2
【答案】B
【分析】先根据正比例函数的性质得到正比例函数经过点B从而求出正比例函数解析式，然后代入点C的
坐标即可得到答案．
【详解】解：∵三个点的坐标分别为A(1,2)、B(3,−2)、C(m,4)，且三个点在不同的象限，
∴点A在第一象限时，点C在第二象限，
∴正比例函数不可能同时经过A、C两点，即正比例函数经过点B，
∴3k=−2，
2
∴k=− ，
3
2
∴正比例函数解析式为y=− x，
3
∴正比例函数经过二、四象限，
∴点C在正比例函数图象上，
2
∴− m=4，
3
∴m=−6，
故选B．
【点睛】本题主要考查了正比例函数图象的性质，确定正比例函数经过点B是解题的关键．
【变式3-2】（2023·浙江杭州·统考一模）已知y−m与x−1成正比例，且当x=−2时，y=3．若y关于x
的函数图象经过二、三、四象限，则m的取值范围为（ ）
3 3 3 3
A．− 0，
1
b>0，则k的范围为00，b>0，即−3k+1>0，
1
所以k的范围为00时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当
b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴；当k>0，b>0 y=kx+b的图象在一、二、三象
限；k>0，b<0 y=kx+b的图象在一、三、四象限；k<0，b>0 y=kx+b的图象在一、二、四象限；
⇔
k<0，b<0 y=kx+b的图象在二、三、四象限.
⇔ ⇔
⇔
题型04 一次函数与坐标轴交点问题
【例4】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）一次函数y=kx−5和y=2x+b（k、b为常数）
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的图象关于y轴对称，则k，b的值分别为（ ）
A．k=2,b=5 B．k=−2,b=5 C．k=2,b=−5 D．k=−2,b=−5
【答案】D
【分析】先求出y=kx−5与y轴的交点坐标，将其代入y=2x+b即可求出b的值，再求出y=2x+b与x
轴的交点，根据轴对称的性质，得出y=kx−5与x轴交点，将其代入y=kx−5即可求出k的值．
【详解】解：把x=0代入y=kx−5得：y=−5，
∴一次函数y=kx−5与y轴相交于(0,−5)，
∵一次函数y=kx−5和y=2x+b（k、b为常数）的图象关于y轴对称，
∴y=2x+b与y轴相交于(0,−5)，
把(0,−5)代入y=2x+b得b=−5，
∴一次函数y=kx−5和y=2x−5的图象关于y轴对称，
把y=0代入y=2x−5得：0=2x−5，
5
解得：x= ，
2
(5 )
∴y=2x−5与x轴相交于 ,0 ，
2
( 5 )
∴一次函数y=kx−5与x轴相交于 − ,0 ，
2
( 5 ) 5
把 − ,0 代入0=− k−5，
2 2
解得：k=−2，
综上：k=−2,b=−5，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数与坐标轴交点坐标的求法，
以及关于y轴对称点的坐标特征．
【变式4-1】（2023·陕西西安·校考二模）在平面直角坐标系中，将函数y=−2x−4的图象向右平移3个
单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为（ ）
A．(−1,0) B．(1,0) C．(−5,0) D．(5,0)
【答案】B
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
【详解】解：将函数y=−2x−4的图象向右平移3个单位长度，得到y=−2(x−3)−4=−2x+2，
当y=0时，−2x+2=0
解得：x=1
∴平移后的图象与x轴的交点坐标为(1,0)，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点问题，掌握平移规律是解题的关键．
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【变式4-2】（2023·陕西渭南·统考二模）若直线l :y=kx+2与直线l :y=−x+b关于x轴对称，则l 与l
1 2 1 2
的交点坐标是( )
A．(0，−2) B．(−2，0) C．(2，0) D．(0，2)
【答案】B
【分析】求得直线l 与y轴的交点为(0，2)，根据对称的性质得出点(0，2)关于x轴对称的对称点，再
1
根据待定系数法确定直线l 的关系式，求出直线l 与x轴的交点即可．
2 2
【详解】解：由直线l :y=kx+2可知，直线l 与y轴的交点为(0，2)，
1 1
∴点(0，2)关于x轴的对称点(0，−2)在直线l 上，
2
∴b=−2，
故直线l 的解析式为：y=−x−2，
2
令y=0，则x=−2，
即l 与l 的交点坐标为(−2，0)．
1 2
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换以及坐标与图形的性质，正确得出l 与l 的交点坐标为l
1 2 1
与l 与x轴的交点是解题关键．
2
【变式4-3】（2023·福建莆田·校考模拟预测）已知直线l：y=2x+1与直线l'关于x轴对称，则直线l'的解
析式是（ ）
A．y=−2x+1 B．y=2x−1 C．y=−x−2 D．y=−2x−1
【答案】D
( 1 ) ( 1 )
【分析】在直线l上找两点(0,1)、 − ,0 ，这两点关于x轴的对称点为(0,−1)、 − ,0 ，再利用待定
2 2
系数法求直线l'的解析式即可．
【详解】∵直线l的解析式为y=2x+1，
1
∴当x=0时，y=1；当y=0时，x=− ，
2
( 1 )
∴点(0,1)、 − ,0 在直线l上，
2
∵直线l与直线l'关于x轴对称，
( 1 ) ( 1 )
∴点(0,1)、 − ,0 关于x轴对称的点为(0,−1)、 − ,0 ，
2 2
设直线l'的解析式为y=kx+b(k≠0)，得¿，解得：¿，
∴直线l'的解析式为y=−2x−1，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的性质以及待定系数法，找到两个对称点的坐标是解题的关键．
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4
【变式4-4】（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，直线y= x+4交两坐标轴于
3
A，B两点，点P为直线AB上一点，则线段OP的最小值是 ．
12 2
【答案】 /2.4/2
5 5
【分析】根据点到直线的最小距离CP⊥ AB，再根据一次函数与坐标轴的交点坐标得到OB=4，OA=3，
最后利用勾股定理得到AB=5即可解答．
【详解】解：当CP⊥ AB时，OP的值最小，
∴OP 为最小值，
1
4
∵直线y= x+4交两坐标轴于A，B两点，
3
∴B(0，4)，A(−3,0)，
∴OB=4，OA=3，
∴AB=√OB2+OA2=5，
∵∠AOB=90°，
1 1
∴S = ⋅OB⋅OA，S = ⋅AB⋅OP ，
△AOB 2 △AOB 2 1
1 1
∴ ⋅OB⋅OA= ⋅AB⋅OP ，
2 2 1
12
∴OP = ，
1 5
12
故答案为 ；
5
【点睛】本题考查了点到直线的最小距离，一次函数与坐标轴的交点坐标，勾股定理，直角三角形的面积，
学会求一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
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【变式4-5】（2023·河北唐山·模拟预测）已知，一次函数的图象经过点(3,3)和点(1,−1)，
(1)求这个一次函数的表达式，并求出图象与x轴、y轴的交点坐标，
(2)如果正比例函数y=k x与所求的一次函数平行，请直接写出k 的值、
1 1
(3)在同一平面直角坐标系中画出（1），（2）中的一次函数图象和正比例函数图象．
(3 )
【答案】(1)y=2x−3，x轴、y轴的交点坐标分别为： ,0 ，(0,−3)，图象见详解
2
(2)k =2
1
(3)见详解
【分析】（1）利用待定系数法即可求出一次函数的表达式，问题随之得解；
（2）将（1）中所得直线函数，再通过平移即可得到y=k x，可知两个直线的自变量系数相同，问题随之
1
得解；
（3）按要求作图即可．
【详解】（1）设一次函数解析式为：y=kx+b，
∵一次函数的图象经过点(3,3)和点(1,−1)，
∴¿，
解得：¿，
即一次函数的解析式为：y=2x−3，
当x=0时，y=−3，
3
当y=0时，2x−3=0，解得：x= ，
2
(3 )
即图象与x轴、y轴的交点坐标分别为： ,0 ，(0,−3)，
2
作图如下：
（2）将一次函数y=2x−3向上平移3个单位可得正比例函数y=2x，
∵平行的两条直线通过平移可以重合，
又∵正比例函数y=k x与一次函数y=2x−3平行，
1
∴一次函数y=2x−3通过平移得到正比例函数y=k x，
1
∴正比例函数y=k x的解析式为：y=2x，
1
∴k =2；
1
（3）作图如下：
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【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解一次函数解析式，一次函数的平移等知识，掌握平行的两条
直线通过平移可以重合，待定系数法，是解答本题的关键．
题型05 判断一次函数增减性
3
【例5】（2023·全国·九年级假期作业）如图，一次函数y= x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点
2
B，下列说法错误的是（ ）
A．点A的坐标是(−2，0) B．△AOB的面积是3
C．当x>0时，函数值y>3 D．y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】A．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A的坐标；
B．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B的坐标，再利用三角形的面积公式，即可求出△AOB
的面积；
C．利用不等式的性质，可得出当当x>0时，y>3；
D．利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大．
3
【详解】解：A．当y=0时， x+3=0，
2
解得：x=−2，
∴点A的坐标为(−2，0)，选项A不符合题意；
3
B．当x=0时，y= ×0+3=3，
2
∴点B的坐标为(0,3)，
1
∴△AOB的面积为 ×2×3=3，选项B不符合题意；
2
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3
C．当x>0时，y> ×0+3=3，
2
∴当x>0时，y>3，选项C不符合题意；
3
D．∵k= >0，
2
∴y随x的增大而增大，选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质以及三角形的面积，注意分析各选项
的正误是解题的关键．
【变式5-1】（2023·浙江·一模）已知(x ,y ),(x ,y ),(x ,y )为直线y=kx−2k(k>0)上的三个点，且
1 1 2 2 3 3
x 0，则y ⋅y >0 B．若x x <0，则y ⋅y >0
1 2 1 3 1 3 1 2
C．若x x >0，则y ⋅y >0 D．若x x <0，则y y >0
2 3 1 3 2 3 1 2
【答案】D
【分析】根据一次函数图象的性质，函数值随自变量的变化而变化的规律判断选项的正误．
【详解】解：∵k>0，
∴−2k<0，
一次函数的图象如图，
若x x >0，则y ⋅y >0或y ⋅y ≤0，A选项错误，不合题意；
1 2 1 3 1 3
若x x <0，则y ⋅y >0或y ⋅y ≤0，B选项错误，不合题意；
1 3 1 2 1 2
若x x >0，则y ⋅y >0或y ⋅y ≤0，C选项错误，不合题意；
2 3 1 3 1 3
若x x <0，则y ⋅y >0，D选项正确，符合题意．
2 3 1 2
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的特点，解题的关键是掌握一次函数图象的性质．
【变式5-2】（2023·陕西咸阳·二模）已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经第二、四象限，若点
A(−1,y )，B(1,y )都在一次函数y=kx−2图象上，则y 与y 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A．y y D．y ≤ y
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】C
【分析】根据y=kx(k≠0)的图象经第二、四象限，判断出k<0，可知y=kx−2的图象中，y随x值的增大
而减小，由此可解．
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【详解】解：∵ y=kx(k≠0)的图象经第二、四象限，
∴ k<0，
∴ y=kx−2的图象中，y随x值的增大而减小，
∵ −1<1，
∴ y >y ．
1 2
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是根据y=kx(k≠0)经过的象限判断出k值的正负．
【变式5-3】（2022下·吉林松原·九年级校考阶段练习）一次函数y=kx+1的图象经过点A，且y随x的增
大而减小，则点A的坐标可以是（ ）
A．(−1，2) B．(1，2) C．(2,3) D．(3,4)
【答案】A
【分析】分别将四个选项中点的坐标代入函数解析式，求出k的值，根据一次函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：A、当点A的坐标为(−1，2)时，−k+1=2，
解得：k=−1<0，
∴y随x的增大而减小，选项A符合题意；
B、当点A的坐标为(1，2)时，k+1=2，
解得：k=1>0，
∴y随x的增大而增大，选项B不符合题意；
C、当点A的坐标为(2,3)时，2k+1=3，
解得：k=1>0，
∴y随x的增大而增大，选项C不符合题意；
D、当点A的坐标为(3,4)时，3k+1=4，
解得：k=1>0，
∴y随x的增大而增大，选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握一次函数的增减
性，一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．
【变式5-4】（2023上·浙江金华·九年级统考期末）在下列一次函数中，其图象过点(−1,3)且y随x的增大
而减小的是（ ）
A．y=2x+5 B．y=x+2 C．y=−2x+1 D．y=−x+1
【答案】C
【分析】对于一次函数y=kx+b，k<0时，y随x的增大而减小，找出各选项中k值小于0的选项，再把点
(−1,3)代入，符合的函数解析式即为答案．
【详解】解：∵y随x的增大而减小，
∴该一次函数的一次项系数小于0，由此排除A，B，
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对于y=−x+1，当x=−1时，y=2，
∴ y=−x+1的图象不过点(−1,3)，由此排除D，
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质、一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是能够根据k值判
断一次函数图象的增减性．
题型06 根据一次函数增减性判断参数取值范围
【例6】（2022·陕西西安·统考二模）若正比例函数y=(1−2m)x的图像经过点A(x ,y )和点B(x ,y )，
1 1 2 2
当x y ，则m的取值范围是（ ）
1 2 1 2
1 1
A．m<0 B．m>0 C．m< D．m>
2 2
【答案】D
【分析】根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随
x的增大而减小．
【详解】解：∵当x y ，
1 2 1 2
∴y随x的增大而减小，
1
则1−2m<0，解得m> ．
2
故选：D ．
【点睛】本题考查正比例函数的增减性，解题关键是根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号．
【变式6-1】（2023·陕西西安·西安市第二十六中学校考模拟预测）一次函数y=kx+3的图象经过点
(−1，5)，若自变量x的取值范围是−2≤x≤5，则y的最小值是（ ）
A．−10 B．−7 C．7 D．11
【答案】B
【分析】先根据一次函数y=kx+3的图象经过点(−1，5)求出一次函数的解析式，从而得到y随x的增大
而减小，由于自变量x的取值范围是−2≤x≤5，因此当x=5时，y最小为−2×5+3=−7，即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数y=kx+3的图象经过点(−1，5)，
∴−k+3=5，
∴k=−2，
∴一次函数的解析式为：y=−2x+3，
∴ y随x的增大而减小，
∵自变量x的取值范围是−2≤x≤5，
∴当x=5时，y最小为−2×5+3=−7，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，使用待定系数法求出一次函数的解析式，从而得到一次函数的
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增减性，是解题的关键．
【变式6-2】（2023下·全国·九年级期末）已知A(a，b)、B(c，d)是一次函数y=kx−2x−1图象上
的不同的两个点，若(c−a)(d−b)<0，则k的取值范围是（ ）
A．k<3 B．k>3 C．k<2 D．k>2
【答案】C
d−b
【详解】将点A，点B坐标代入解析式可求k−2= ，即可求解．
c−a
【解答】解：∵A(a，b)、B(c，d)是一次函数y=kx−2x−1图象上的不同的两个点，
∴b=ka−2a−1，d=kc−2c−1，且a≠c，
∴d−b=(c−a)(k−2)，
d−b
∴k−2= ，
c−a
∵(c−a)(d−b)<0，
∴k−2<0，
∴k<2．
故选：C．
d−b
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，求出k−2= 是关
c−a
键，是一道基础题．
【变式6-3】（2023·河南·九年级统考学业考试）已知点M(m,y ),N(−1,y )在直线y=−x+1上，且
1 2
y >y ，则m的取值范围是 ．
1 2
【答案】m<−1
【分析】根据直线y=−x+1中，k=−1<0得到y随x的增大而减小，由y >y 即可得到m的取值范围．
1 2
【详解】解：对于直线y=−x+1来说，
∵k=−1<0，
∴y随x的增大而减小．
∵y >y ，
1 2
∴m<−1．
故答案为：m<−1
【点睛】此题考查了利用一次函数的性质比较自变量的大小，对于一次函数y=kx+b(k≠0)来说，当k>0
时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．
【变式6-4】（2023·河南·九年级统考学业考试）已知点M(m,y ),N(−1,y )在直线y=−x+1上，且
1 2
y >y ，则m的取值范围是 ．
1 2
【答案】m<−1
【分析】根据直线y=−x+1中，k=−1<0得到y随x的增大而减小，由y >y 即可得到m的取值范围．
1 2
【详解】解：对于直线y=−x+1来说，
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∵k=−1<0，
∴y随x的增大而减小．
∵y >y ，
1 2
∴m<−1．
故答案为：m<−1
【点睛】此题考查了利用一次函数的性质比较自变量的大小，对于一次函数y=kx+b(k≠0)来说，当k>0
时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．
对于一次函数y=kx+b(k≠0)来说，当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减
小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．
题型07 根据一次函数增减性判断自变量的变化情况
【例7】（2023·江苏连云港·统考二模）一次函数y=ax−2的图像经过点(3,0)，当y>0时，x的取值范围
是 ．
【答案】x>3
【分析】将点的坐标代入解析式即可求得a的值，然后根据一次函数的性质即可得到结论．
2
【详解】解：由题意可得：3a−2=0，解得：a= ，
3
2
∵ >0，
3
∴y随x增大而增大，
∴当y>0时，x的取值范围是x>3；
故答案为：x>3．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是首先正确的确定次函
数的解析式，难度不大．
【变式7-1】（2021·江苏苏州·统考中考真题）若2x+ y=1，且00进而得出，当y＝0时，x取得最大值，当y＝1时，x取得最
小值，将y＝0和y＝1代入解析式，可得答案．
【详解】解：根据2x−y=1可得y＝2x﹣1，
∴k＝2>0
∵00且平移后的直线经过第四象限，
∴b−6<0，
解得：b<6，
∴b的值不可能为6，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移和一次函数的图象，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．
【变式8-5】（2022·上海徐汇·统考二模）将函数y=kx的图像向下平移2个单位后，经过点(1,0)，那么y
的值随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
【答案】增大
【分析】根据函数图像的平移可知，将函数y=kx的图像向下平移2个单位后表达式为y=kx−2，把点
(1,0)代入一次函数y=kx−2得到关于k的一元一次方程，解之，通过k的正负情况即可得到答案．
【详解】解：根据函数图像的平移可知，将函数y=kx的图像向下平移2个单位后表达式为y=kx−2，
∵ y=kx−2图象经过点(1,0)，
∴0=k−2，解得k=2，即函数为y=2x，
∵k=2>0，
∴y的值随x的增大而增大，
故答案为：增大．
【点睛】本题考查了函数图像的平移和正比例函数的增减性，涉及到解一元一次方程，正确掌握代入法和
正比例函数的增减性是解题的关键．
题型09 求一次函数解析式
【例9】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次销售情
况进行了跟踪记录，根据所记录的数据绘制如下的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）
之间的函数关系如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．第10天销售20千克 B．第7天和第16天的日销售量相同
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C．一天最多销售30千克 D．第16天比第1天多销售22千克
【答案】B
【分析】根据图象分别求出当0≤x≤15时，当150可知函数y=2x+1(a≤x≤b,a≠b)的y随x的增大而增大，再根据函数增减性可知当
x=a时函数值为边界值，然后由边界值小于3列关于a的不等式求解即可．
【详解】解：∵2>0
∴函数y=2x+1(a≤x≤b,a≠b)的y随x的增大而增大
【47淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴当x=a时，函数y=2x+1的函数值为边界值，
∵边界值小于3
1
∴−3<2a+1<2，解得：−20)的解，则一次函数
y=−m(x−1)−n的图象与x轴的交点坐标是（ ）
A．(2,0) B．(3,0) C．(0,2) D．(0,3)
【答案】B
【分析】直线y=mx+n与x轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数
y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），由
于一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，即可求得一次函数y=-m（x-1）-n的图
象与x轴的交点坐标．
【详解】解：∵方程的解为x=2，
∴当x=2时mx+n=0；
∴一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），
∴一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），
∵一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，
∴一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标是（3，0），
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，
b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量
的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
【变式2-1】（2023·浙江嘉兴·统考一模）在平面直角坐标系中，点P(2,4)是一个光源，木杆AB两端的坐
标分别是(1,2)，(4,1)，则木杆AB在x轴上的投影A'B'的长是（ ）
14 9
A．4 B． C． D．5
3 2
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，分别求得直线PA,PB的解析式，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，
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∵P(2,4)，A (1,2)，B (4,1)，
设直线PA的解析式为：y =k x+b ，直线PB的解析式为：y =k x+b ，
PA 1 1 PB 2 2
∴¿ ¿
解得：¿，¿
3
∴y =2x，y =− x+7
PA PB 2
y =2x中，当y=0时，x=0，则A'(0,0),
PA
y =−
3
x+7中，当y=0时，x=
14 ，则B'(14
,0
)
PB 2 3 3
14
∴A'B'=
，
3
故选：B．
【点睛】本题考查了中心投影，一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
题型03 利用图象法解一元一次方程
【例3】（2022·陕西西安·校考三模）如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的方程ax+b＝1的解为（
）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【分析】一次函数y＝kx+b的图象上纵坐标为1的点的横坐标即为方程ax+b＝1的解，据此求解即可．
【详解】解：∵点（4，1）在一次函数y＝ax+b的图象上，
∴关于x的方程kx+b＝1的解是x＝4．
故选C．
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【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0
（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的
自变量的值．
【变式3-1】如图，直线y＝kx+b(k≠0)经过点P(﹣3，2)，则关于x的方程kx+b＝2的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据题意，可知当x＝﹣3时，y＝kx+b＝2，根据图象即可求解．
【详解】解：根据题意，可知当x＝﹣3时，y＝kx+b＝2，
∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝﹣3．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，结合图象解方程是解题的关键．
题型04 两直线的交点与二元一次方程组的解
【例4】（2022·湖北武汉·统考模拟预测）1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升．与此同
时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升，两个气球都上升了1h．如图是两个气球
所在位置的海拔y（单位：m）与上升时间x（单位：min）的函数图象，则两图象交点P的坐标是（ ）
A．(18,20) B．(20,25) C．(22,30) D．(24,35)
【答案】B
【分析】根据“1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔
15m处出发，以0.5m/min的速度上升”，得出1号探测气球、2号探测气球的函数关系式，联立函数关系
式即可求出点P的坐标．
【详解】解：由题意得：
1号探测气球所在位置的海拔：y =5+x，
1
2号探测气球所在位置的海拔：y =15+0.5x；
2
联立方程组得¿
解得¿．
即交点P的坐标为(20,25)，
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故选：B
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，理解题意，正确列出函数解析式是解题的关键.
【变式4-1】（2022·福建泉州·校考模拟预测）一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程对应
的图象都是一条直线．已知如图过第一象限上A点的直线是方程x−y=b(b<−1)的图象，若点A的坐标
恰为关于x，y的二元一次方程组¿的解，则a的值可能是（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
−(b−1)
【分析】根据点A的位置可知方程组中x的值x>0，解方程组求得x=− >0，由b<−1，得出
a−1
−(b−1)>0，即可得出a−1>0，解得a>1．
【详解】解：∵点A在第一象限，
∴x>0，且¿，
②−①得(a−1)x=−(b−1)，
−(b−1)
∴x=− >0，
a−1
∵b<−1，
∴−(b−1)>0，
∴a−1>0，
∴a>1，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，熟知函数与方程组的关系是解题的关
键．
【变式4-2】（2023·陕西榆林·校考三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=2x+6和y=ax−1的图
象相交于点P(−1，m)，则关于x，y的方程组¿的解为（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】D
【分析】找到方程组的解与直线交点坐标的关系即可．
【详解】解：∵一次函数y=2x+6的图象经过点P(−1，m)，∴m=−2+6=4，
∴一次函数y=2x+6和y=ax−1的图象相交于点P(−1，4)，
∴关于x，y的方程组¿的解为¿．
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故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟悉两者之间的关系并进行灵活转化是解题关键．
【变式4-3】（2023·广东深圳·校考一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y =ax+b(a≠0)与
1
y =mx+n(m≠0)的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
2
A．y 随x的增大而减小
1
B．by
1 2
D．关于x，y的方程组¿的解为¿
【答案】B
【分析】结合图象，根据一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等
式．从函数图象中有效的获取信息进行判断即可．
【详解】解：A．由图象得y 随x的增大而减小，故选项正确；
1
B．由图象可知，一次函数y =ax+b(a≠0)的图象与y轴的交点在y =mx+n(m≠0)的图象与y轴的交点
1 2
的上方，即b>n，故选项错误；
C．由图象得：当x<2时，y >y ，故选项正确；
1 2
D．由图象可知，两条直线的交点为(2,3)，
∴¿的解为：¿，故选项正确；
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从
函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．
题型05 图象法解二元一次方程组
【例5】（2021·广东广州·统考二模）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应
的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（ ）．
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A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【答案】A
【分析】利用待定系数法求出两个一次函数的解析式即可得．
【详解】解：设其中一个一次函数的解析式为y=kx+b，
将点(2,0),(0,2)代入得：¿，解得¿，
则这个一次函数的解析式为y=−x+2，
同理可得：另一个一次函数的解析式为y=2x−1，
则所解的二元一次方程组为¿，
故选：A．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
【变式5-1】（2020·陕西西安·高新一中校考模拟预测）若直线l 经过点（﹣1，0），l 经过点（2，2），
1 2
且l 与l 关于直线x＝1对称，则l 和l 的交点坐标为（ ）
1 2 1 2
A．（1，4） B．（1，2） C．（1，0） D．（1，3）
【答案】A
【分析】根据对称的性质得出两个点关于直线x＝1对称的对称点，再根据待定系数法确定函数关系式，求
出交点坐标即可．
【详解】解：∵直线l 经过点（﹣1，0），l 经过点（2，2），关于直线x＝1对称，
1 2
∴点（﹣1，0）关于直线x＝1对称点为（3，0），
点（2，2）关于直线x＝1对称点为（0，2），
∴直线l 经过点（﹣1，0），（0，2），l 经过点（2，2），（3，0），
1 2
∴直线l 的解析式为：y＝2x+2，直线l 的解析式为：y＝﹣2x+6，
1 2
解方程组¿得，¿
∴l 和l 的交点坐标为（1，4），
1 2
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出l 与l 的交点坐标为l 与l 与y轴的交点是解
1 2 1 2
题关键．
【变式5-2】（2020蓬江区二模）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关
于x、y的二元一次方程组¿的解是（ ）
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A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】B
【分析】由图可知：两个一次函数的交点坐标为(−3,1)；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所
求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．
【详解】解：函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P(−3,1)，
即x=−3，y=1同时满足两个一次函数的解析式．
y=ax+b x=−3
所以关于x，y的方程组{ 的解是{ ．
y=kx y=1
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未
知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次
函数图象的交点坐标．
题型06 求两直线与坐标轴围成的图形面积
1
【例6】（2023·陕西榆林·统考二模）已知一次函数y= x+m与y=−x+n的图象都经过点A(−2,0)，且
2
与y轴分别交于B，C两点，则△ABC的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】首先分别把A(−2,0)代入两个函数解析式中，解得m=1，n=−2，即得B(0,1)，C(0,−2)，然
后根据三点坐标求△ABC的面积．
1
【详解】解：把点A(−2,0)代入y= x+m与y=−x+n，
2
1
得：0= ×(−2)+m，0=−(−2)+n，
2
解得：m=1，n=−2，
∴B(0,1)，C(0,−2)，
1 1
∴S = ×|−2|×|1−(−2)|= ×2×3=3，
△ABC 2 2
故选：B．
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【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标，直线围成的三角形面积，熟
练掌握待定系数法是解题的关键．
【变式6-1】（2023·辽宁沈阳·校联考一模）直线l 和l 在直角坐标系中的位置如图所示，则直线l 和l 与y
1 2 1 2
轴围成的图形的面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】由图可知直线l 经过点(2，0)、(0，2)，直线l 经过点(0，0)、(−4，2)，设直线的解析式为
1 2
y=kx+b，利用待定系数法即可求出其解析式，即得出∴直线l 、l 的交点为(4，−2)，由此即得出答案．
1 2
【详解】∵直线l 经过点(2，0)、(0，2)，设该直线的解析式为y=kx+b，
1
将(-1，-4)和(1，0)代入，得：¿，
解得¿，
∴直线l 的解析式为y=−x+2，
1
1
同理可得：直线l 的解析式为y=− x，
2 2
联立直线l 、直线l 得：
1 2
¿，解得：¿
∴直线l 、l 的交点为(4，−2)，
1 2
1
∴直线l 、l 与y轴围成的三角形面积为： ×2×4=4，
1 2 2
故选：A．
【点睛】本题考查了两个一次函数与坐标轴围成的面积问题．求出l 或l 的解析式是解题关键．
1 2
3 x
【变式6-2】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）已知一次函数y= x+m与y=− +n的图
2 2
象都经过点A(−4,0)，且与y轴分别交于B，C两点，则△ABC的面积是( )
A．12 B．13 C．16 D．18
【答案】C
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3 x
【分析】将点A(−4,0)分别代入y= x+m与y=− +n求出m和n的值，再求出点B和点C的坐标，再
2 2
根据三角形的面积公式求解即可．
3 3
【详解】解：把点A(−4,0)代入y= x+m得：0= ×(−4)+m，
2 2
解得：m=6，
3
∴y= x+6，
2
把x=0代入得：y=6，
∴B(0,6)，
x 4
把点A(−4,0)代入y=− +n得：0= +n，
2 2
解得：n=−2，
x
∴y=− −2，
2
把x=0代入得：y=−2，
∴C(0,−2)，
1 1
∴S = BC⋅OA= ×(6+2)×4=16．
△ABC 2 2
故选：C．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标，直线围成的三角形面积，解
题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．
【变式6-3】（2023·内蒙古包头·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+2与x轴相交于点
A，与y轴相交于点B，四边形ABCO是平行四边形，直线y=−x+n经过点C，且与x轴相交于点D,BD与
【58淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
OC相交于点E，记四边形ABEO，△DCE的面积分别为S ,S ，则S :S 等于（ ）
1 2 1 2
A．5:3 B．2:1 C．7:3 D．3:1
【答案】C
【分析】求出点A的坐标为(−1,0)，点B的坐标为(0,2)，根据平行四边形性质得出点C的坐标为(1,2)，求
2
出直线CD的解析式为y=−x+3，得出点D的坐标为(3,0)，求出直线BD的解析式为：y=− x+2，OC
3
(3 3) 1 ( 3) 1
的解析式为y=2x，求出点E的坐标为 , ，得出S = ×1× 2− = ，求出
4 2 △BCE 2 2 4
1 7 1 1 3
S =S −S =1×2− = ，S =S −S = ×1×2− = ，即可求出结果．
1 ▱ABCO △BCE 4 4 2 △BCD △BCE 2 4 4
【详解】解：把y=0代入y=2x+2得：0=2x+2，
解得：x=−1，
∴点A的坐标为(−1,0)，
∴OA=1，
把x=0代入y=2x+2得：y=2，
∴点B的坐标为(0,2)，
∴OB=2，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴BC=AO=1，BC∥AO，OC∥AB，
∴点C的坐标为(1,2)，
把(1,2)代入y=−x+n得：2=−1+n，
解得：n=3，
∴直线CD的解析式为y=−x+3，
把y=0代入y=−x+3得：0=−x+3，
解得：x=3，
∴点D的坐标为(3,0)，
设直线BD的解析式为y=kx+b，把(3,0)，(0,2)代入得：
¿，
解得：¿，
2
∴直线BD的解析式为：y=− x+2，
3
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∵OC∥AB，
∴OC的解析式为y=2x，
联立¿，
解得：¿，
(3 3)
∴点E的坐标为 , ，
4 2
1 ( 3) 1
∴S = ×1× 2− = ，
△BCE 2 2 4
1 7
∴S =S −S =1×2− = ，
1 ▱ABCO △BCE 4 4
1 1 3
∴S =S −S = ×1×2− = ，
2 △BCD △BCE 2 4 4
7
S 4 7
∴ 1= = ，
S 3 3
2
4
即S :S =7:3，故C正确．
1 2
故选：C．
【点睛】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数与x轴，y轴的交点问题，直线围成的三角形的
面积，平行四边形的性质，解题的关键是求出点E的坐标．
题型07 由直线与坐标轴交点求不等式的解集
【例7】（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，一次函数y=x+b的图象过点(−2,3)，则不
等式x+b>3的解是（ ）
A．x>−2 B．x>3 C．x<−2 D．x<3
【答案】A
【分析】不等式x+b>3的解就是图象上点的纵坐标大于3对应的自变量的取值范围，据此解答即可.
【详解】解：根据题意：因为一次函数y=x+b的图象过点(−2,3)，
则不等式x+b>3的解是x>−2；
故选：A.
【点睛】本题考查了一次函数和一元一次不等式，属于基础题型，掌握求解的方法是解题关键.
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【变式7-1】（2023·陕西商洛·校考三模）如图，一次函数y=−2x+b的图象与y轴交于点(0,−4)，当
−4−1 B．x<−1 C．x<2 D．x>2
【答案】A
【分析】由于y=k(x+3)+b可由y=kx+b向左平移3个单位长度而得到，此时由题意知，直线
y=k(x+3)+b与x轴的交点横坐标为−1，结合函数图象即可求得不等式的解集．
【详解】解：由于y=k(x+3)+b可由y=kx+b向左平移3个单位长度而得到，
∵直线y=kx+b与x轴交点横坐标为2，
∴直线y=k(x+3)+b与x轴的交点横坐标为−1，
∴函数y=k(x+3)+b的图象如下
【61淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
观察图象知，不等式k(x+3)+b<0的解集是x>−1，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象的平移、利用函数图象求一元一次不等式的解集等知识，得到平移后的一次
函数解析式及与x轴的交点坐标是关键．
题型08 根据两条直线交点求不等式的解集
【例8】（2023·广东深圳·校考一模）如图所示，一次函数y=kx+b（k，b是常数k≠0）与正比例函数
y=mx（m是常数，m≠0）的图象相交于点M(1,2)，下列判断错误的是（ ）
A．关于x的方程mx=kx+b的解是x=1 B．关于x的不等式mx1
¿ ¿
C．当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大D．关于x，y的方程组 的解是
¿ ¿
【答案】B
【分析】根据图象的交点即可判断方程的解、不等式的解、方程组的解，即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b（k，b是常数k≠0）与正比例函数y=mx（m是常数，m≠0）的图象
相交于点M(1,2)，
∴关于x的方程，mx=kx+b的解是x=1，选项A判断正确，不符合题意；
关于x的不等式mxx+4的解集是（ ）
A．x>8 B．x<8 C．x>4 D．x<4
【答案】D
【分析】根据题意，将点P的纵坐标8代入y=x+4得到点P的横坐标为4，结合图像，ax+b>x+4的解
集对应函数y=ax+b图像在y=x+4的图像上方时自变量x的取值范围即可得出答案．
【详解】解：将点P的纵坐标8代入y=x+4得到8=x+4，解得x=4，即点P的横坐标为4，
由图像可知，当x<4时，函数y=ax+b图像在y=x+4的图像上方，
∴ ax+b>x+4的解集为x<4，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的性质，理解通过函数图像解不等式的方法，熟练掌握一次函数与一元一次不
等式的关系是解决问题的关键．
【63淘宝店铺：向阳百分百】
