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第 10 讲 一次函数的图象与性质
目 录
一、考情分析 二、知识建构
考点一 一次函数的相关概念
题型01 根据一次函数的定义求参数值
题型02 求一次函数的自变量或函数值
考点二 一次函数的图象与性质
题型01 判断一次函数图象
题型02 根据一次函数图象解析式判断象限
题型03 已知函数经过的象限求参数的值或取值范围
题型04 一次函数与坐标轴交点问题
题型05 判断一次函数增减性
题型06 根据一次函数增减性判断参数取值范围
题型07 根据一次函数增减性判断自变量的变化情况
题型08 一次函数的平移问题
题型09 求一次函数解析式
题型10 一次函数的规律探究问题
题型11 一次函数的新定义问题
考点三 一次函数与方程（组）、不等式
题型01 已知直线与坐标轴的交点求方程的解
题型02 由一元一次方程的解判断直线与x轴交点
题型03 利用图象法解一元一次方程
题型04 两直线的交点与二元一次方程组的解
题型05 图象法解二元一次方程组
题型06 求两直线与坐标轴围成的图形面积
题型07 由直线与坐标轴交点求不等式的解集
题型08 根据两条直线交点求不等式的解集
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考点要求 新课标要求 命题预测
结合具体情境体会一次函数的
一次函数的
意义，能根据已知条件确定一次函数的 一次函数的图象与性质是中考数学中比
相关概念
表达式； 较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多
解正比例函数； 的考点.各地对一次函数的图象与性质的考
能画一次函数的图象，根据图 察也主要集中在一次函数表达式与平移、图
象的性质、图象与方程不等式的关系以及一
象和表达式
一次函数的
次函数图象与几何图形面积等五个方面，年
y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0
图象与性质
年考查，总分值为5-10分左右，也因为一次
时图象的变化情况.
函数是一个结合型比较强的知识点，所以其
会运用待定系数法确定一次函
图象和性质也是后续函数问题学习的一个基
数的表达式.
础.故考生在复习这块知识点时，需要特别
一次函数与
熟记对应考点的方法规律.
方程 体会一次函数与二元一次方程
（组）、不 的关系.
等式
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考点一 一次函数的相关概念
正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数.
一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数. 当一次函数
y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）.
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1. 一次函数一般形式的特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数.
2. 正比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数.
3. 一次函数本身对自变量没有取值范围的要求，但是如果一次函数中的自变量 x出现在分母，根号内，
则需考虑以下情况： 1）整个分母不能等于0；
2）根号里的整个式子要大于或等于0.
4. 判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.
题型01 根据一次函数的定义求参数值
【例1】（2023·湖南长沙·校考一模）函数y=kx−2的图像经过点P(−1,3)，则k的值为（ ）
1
A．1 B．−5 C． D．−1
3
【答案】B
【分析】将图像上的点代入解析式求解即可．
【详解】∵一次函数y=kx−2的图像经过点P(−1,3)，
∴3=−k−2，
解得k=−5．
故选B．
【点睛】本题考查函数图像的性质，图像上的点的横纵坐标符合解析式方程．将点的坐标代入解析式方程
求解参数是解题的关键．
【变式1-1】（2023下·全国·九年级专题练习）若直线y=kx+k+1经过点(m, n+3)和(m+1, 2n−1)，且
0<k<2，则n的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据题意得出¿，求出k=n−4，根据0<k<2，求出4<n<6，即可得出答案．
【详解】解：由题意得¿，
解得：k=n−4，
∵0<k<2，
∴0<n−4<2，
∴4<n<6，
∴n可以是5，故C正确．
故选：C．
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【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，利用函数图象上的点满足函数关系式，用n表示出k，得到关
于n的不等式是解题的关键．
【变式1-2】（2023·安徽合肥·校考三模）已知点P(m,n)在一次函数y=−2x+1上，且2m−3n≤0，则
下列不等关系一定成立的是（ ）
m 3 m 2 n 3 n 2
A． ≤ B． ≤ C． ≤ D． ≤
n 2 n 3 m 2 m 3
【答案】A
【分析】将点P(m,n)代入一次函数y=−2x+1，根据2m−3n≤0可求出n的取值范围，再根据不等式的
性质即可求解.
【详解】解：将点P(m,n)代入一次函数y=−2x+1，
∴−2m+1=n，
1−n
∴m= ，
2
1−n
∴2m−3n=2⋅ −3n≤0，
2
∴1−n−3n≤0，
1
∴n≥ .
4
∵2m−3n≤0，
3n
∴m ≤ .
2
m 3
不等式两边同时除以n得 ≤ .
n 2
故选：A.
【点睛】本题考查了一次函数与不等式性质的综合，解题的关键在于熟练掌握不等式的性质.
【变式1-3】（2022·安徽合肥·统考二模）已知直线y=-4x-6经过点（m，n），且2m-7n≤0，则下列关系式
正确的是（ ）
m 2 m 2 n 2 n 2
A． ≤ B． ≥ C． ≤ D． ≥
n 7 n 7 m 7 m 7
【答案】C
【分析】根据一次函数解析式确定m与n之间的数量关系，根据不等式的性质确定m和n的范围，最后根
据不等式的性质求解即可．
【详解】解：∵直线y=-4x-6经过点（m，n），
∴n=-4m-6．
−n−6
∴m= ．
4
∵2m-7n≤0，
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(−n−6)
∴2m−7(−4m−6)≤0，2 −7n≤0．
4
7 2
∴m≤− ，n≥− ．
5 5
∴m<0，n可能是正数，0或者负数．
∵2m-7n≤0，
∴2m≤7n．
n 2
∴ ≤ ．
m 7
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的解析式，不等式的性质，综合应用这些知识点是解题关键．
71．（2023·黑龙江大庆·大庆外国语学校校考模拟预测）若以关于x，y的二元一次方程组¿的解为坐标的
2
点在一次函数y=− x+4的图像上，则k的值为 ．
3
1
【答案】
9
【分析】解方程组，先用含k的代数式表示出x、y，根据以方程组的解为坐标的点在一次函数
2
y=− x+4的图像上，得到关于k的一元一次方程，求解即可．
3
【详解】解：¿
①+②得，2x=5+9k，
5+9k
∴x= ；
2
①−②，得：2y=5−9k
5−9k
∴y=
2
5+9k 5−9k 2
把x= ，y= 代入y=− x+4，得：
2 2 3
5−9k 2 5+9k
=− × +4，
2 3 2
1
解得，k= ，
9
1
故答案为：
9
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解决本题的关键是用含k的代数式表示出方程组中的x、y．
题型02 求一次函数的自变量或函数值
【例2】（2023·广东广州·统考一模）点(3,b)在一次函数y=2x−7的图象上，则b的值为（ ）
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A．13 B．1 C．5 D．−1
【答案】D
【分析】把(3,b)代入y=2x−7计算即可．
【详解】∵点(3,b)在一次函数y=2x−7的图象上，
即当x=3时，y=b，
∴b=2×3−7=−1，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像与点的坐标关系．当已知函数解析式时，求坐标中字母的值直接代
入解析式求解即可．
【变式2-1】（2023·广东深圳·校联考模拟预测）若正比例函数y=kx，当x=1时，y=2，则下列各点在该
函数图象上的是（ ）
A．(−1,−2) B．(−1,2) C．(1,−2) D．(2,1)
【答案】A
【分析】把x=1，y=2，代入函数解析式可求得k，再把选项中所给点的坐标代入进行判断即可．
【详解】解：∵当x=1时，y=2，
∴k=2，
∴y=2x，
当x=−1时，y=2×(−1)=−2，故点(−1,−2)在函数图象上，(−1,2)不在函数图象上，
当x=1时，y=2×1=2，故点(1,−2)不在函数图象上，
当x=2时，y=2×2=4，故点(2,1)不在函数图象上，
故选：A．
【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的
关键．
【变式2-1】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）若方程2x−6=0的解，是一个一次函数的函数值
为2时，对应的自变量的值，则这个一次函数可以是（ ）
A．y=2x−4 B．y=−2x+4 C．y=2x−6 D．y=−2x+6
【答案】A
【分析】由2x−6=0得x=3，再分别求出各选项在x=3时的函数值，即可得到答案．
【详解】解：由2x−6=0得x=3，
当x=3时，
y=2x−4=2×3−4=2，故A符合题；
y=−2x+4=−2×3+4=−2，故B不符合题意；
y=2x−6=2×3−6=0，故C不符合题意；
y=−2x+6=−2×3+6=0，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的表达式及解一元一次方程，根据题意得出x=3是解题的关键．
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考点二 一次函数的图象与性质
一、一次函数的图象特征及性质
图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）.
b
一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0）
k
增减性 k>0 k<0
从左向右看图像呈上升趋势， 从左向右看图像呈下降趋势，
y随x的增大而增大 y随x的增大而减少
图象 y y y y y y
x x x
x x x
O O O
O O O
b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0
经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四
一、二、四 二、四 二、三、四
与y轴 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上
交点位置
二、一次函数图象
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到：
图象关系 当b>0时，向上平移b个单位长度；
当b<0时，向下平移|b|个单位长度
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平移口诀：左加有减，上加下减
因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两
点即可，
图象确定
b
1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(− ，0)两点；
k
2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可.
三、k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
b b
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=− ，即直线y=kx+b与x轴交于(− ,0)
k k
令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b)
b
1）当− > 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
k
b
2）当− = 0，即b=0时，直线经过原点．
k
b
3）当− < 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
k
四、两个一次函数表达式（直线l：y=kx＋b 与l：y=kx＋b）的位置关系：
1 1 1 1 2 2 2 2
1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合；
2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行；
3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）；
4）当k1•k2=-1时，两直线垂直；
5）当k1≠k2时，两直线相交.
五、用待定系数法确定一次函数解析式
确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法.
用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：
1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；
2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组；
3）解方程或方程组求出k，b的值；
4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式.
六、正比例函数与一次函数的联系与区别
正比例函数 一次函数
区别 一般形式 y=kx+b（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）
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图象 经过原点的一条直线 一条直线
k的符号决定其增减性；
k，b符号 k的符号决定其增减性，
b的符号决定直线与y轴的交点位置；
的作用 同时决定直线所经过的象限
k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置
求解析式 只需要一对x，y的对应值
需要两对x，y的对应值或两个点的坐标
的条件 或一个点的坐标
1）正比例函数是特殊的一次函数．
2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个
不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．
3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）
或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx
联系
（k≠0）平行．
4）一次函数与正比例函数有着共同的性质：
①当k>0时，y的值随x值的增大而增大；
②当k<0时，y的值随x值的增大而减小．
1. 正比例函数y= kx中，|k|越大，直线y= kx越靠近y轴；反之，|y|越小，直线y= kx越靠近x轴.
2. 判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关.
3. 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大
值与最小值.但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具
体问题具体分析.
b
4. 一次函数y= kx+b（k≠0）与x轴交于(− , 0)，与y轴交于(0，b)，且这两个交点与坐标轴原点
k
1 | b|
构成的三角形面积为s= ⋅− ⋅|b|.
2 k
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题型01 判断一次函数图象
【例1】（2023·湖北武汉·模拟预测）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高
度h随时间t的函数是一次函数．这个容器的形状可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图像中每段的上升速度分析解答即可．
【详解】解：由一次函数图像可知，一次函数图像为直线，即容器内的水面为匀速上升状态，
A项，杯子的杯身粗细一样，匀速注水时，水面即时匀速上升，即水面高度h随时间t的函数图像是直线，
故是一次函数，故此项符合题意；
B项，杯子的杯身下细上粗，匀速注水时，水面上升速度先快后慢，即水面高度h随时间t的函数图像不是
直线，故不是一次函数，即此项不符合题意；
C项，杯子的杯身下细上粗，匀速注水时，水面上升速度先快后慢，即水面高度h随时间t的函数图像不是
直线，故不是一次函数，即此项不符合题意；
D项，杯子的杯身下细中间粗上细，匀速注水时，水面上升速度先快后慢再变快，即水面高度h随时间t的
函数图像不是直线，故不是一次函数，即此项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了利用函数图像判断容器，正确理解函数图像的上升速度与容器的粗细之间的关系是解
题的关键．
【变式1-1】（2023·浙江丽水·统考一模）将一圆柱体从水中匀速提起，从如图所示开始计时，直至其下表
面刚好离开水面，停止计时．用x表示圆柱体运动时间，y表示水面的高度，则y与x之间函数关系的图象
大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设刚开始时水高为h，大水桶底面积为S ，圆柱体底面积为S ，速度为v，当圆柱体上表面未离开
1 2
水面时，体积不变，水高不变，y=h，当上表面开始离开水面，直至其下表面刚好离开水面时，由题意得，
S v
S y=S h−S vx，整理得，y=− 2 x+h，根据函数解析式确定函数图象即可．
1 1 2 S
1
【详解】解：设刚开始时水高为h，大水桶底面积为S ，圆柱体底面积为S ，速度为v，
1 2
当圆柱体上表面未离开水面时，体积不变，水高不变，y=h，
当上表面开始离开水面，直至其下表面刚好离开水面时，由题意得，S y=S h−S vx，整理得，
1 1 2
【11淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
S v
y=− 2 x+h，
S
1
S v
∵− 2 <0，
S
1
∴y随x的增大而减小，
∴可知y与x之间函数关系的图象大致为y先保持不变，然后y随x的增大而减小，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象．解题的关键在于正确的表示数量关系．
【变式1-2】（2023·福建漳州·统考模拟预测）如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立
平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为y =k x,y =k x，则关于k 与k 的
1 1 2 2 1 2
关系，正确的是（ ）
A．k <0<k B．k <0<k C．k <k <0 D．k <k <0
2 1 1 2 1 2 2 1
【答案】D
【分析】利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解．
【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为m(m<0)的两个点A和B，
则A(m,k m)，B(m,k m)，
1 2
∵k m<k m，
1 2
∴k >k ，
1 2
当取横坐标为正数时，同理可得k >k ，
1 2
综上所述，0>k >k
1 2
故选：D
【12淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得
到比例系数的关系．
【变式1-3】（2023·浙江温州·统考一模）在平面直角坐标系中，有四个点A(2,5)，B(1,3)，C(3,1)，
D(−2,−3)，其中不在同一个一次函数图象上的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【分析】在平面直角坐标系中描出各点，再根据一次函数图象是直线，即可进行解答．
【详解】解：如图，在平面直角坐标系中描出各点，
由图可知：点C和点A、B、D不在同一个一次函数图象上．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象是直线．
【变式1-4】（2023·安徽滁州·校联考一模）已知一次函数y=x+2的图象经过点P(a，b)，其中a≠0，
b≠0，则关于x的一次函数y=ax+b和y=bx+a的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据一次函数y=x+2的图象经过点P(a，b)，b=a+2，进而推出一次函数y=ax+b的图象
经过定点(−1，2)，则一次函数y=ax+b一定经过第二象限，同理得到一次函数y=bx+a的图象经过定
点(−1，−2)，则一次函数y=bx+a必定经过第三象限，再由a≠b，得到一次函数y=bx+a与一次函数
y=ax+b与y轴的交点坐标不相同，由此即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数y=x+2的图象经过点P(a，b)，
∴b=a+2，
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∴在一次函数y=ax+b中，y=ax+a+2，即y=a(x+1)+2，对于任意实数a，恒有当x=−1时，y=2，
∴一次函数y=ax+b的图象经过定点(−1，2)；
∴一次函数y=ax+b一定经过第二象限，
当b=a+2时，即a=b−2，在一次函数y=bx+a中，y=bx+b−2，即y=b(x+1)−b，对于任意实数，
恒有当x=−1时，y=−2，
∴一次函数y=bx+a的图象经过定点(−1，−2)，
∴一次函数y=bx+a必定经过第三象限，
又∵a≠b，
∴一次函数y=bx+a与一次函数y=ax+b与y轴的交点坐标不相同，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，正确判断出两个一次函数分别要经过第二象限，第三象限
是解题的关键．
题型02 根据一次函数图象解析式判断象限
【例2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则
一次函数y=−kx+2k的图象所经过的象限是（ ）
A．一、二、四 B．一、二、三 C．一、三、四 D．二、三、四
【答案】C
【分析】根据正比例函数的增减性得到k<0，得到−k>0,2k<0，再根据一次函数的性质解答．
【详解】解：∵正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，
∴k<0，
∴−k>0,2k<0，
∴一次函数y=−kx+2k的图象所经过第一，三，四象限，
故选：C．
【点睛】此题考查了正比例函数的图象及性质与一次函数的图象及性质，正确掌握各函数的图象与性质是
解题的关键．
【变式2-1】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考二模）已知正比例函数y=kx中，y随x的增大而增大，
则一次函数y=−kx+k的图象所经过的象限是（ ）
A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
【答案】B
【分析】根据题意以及正比例函数的性质，得出k>0，进而即可求解．
【详解】解：∵正比例函数y=kx中，y随x的增大而增大，
∴k>0，−k<0
∴一次函数y=−kx+k的图象所经过的象限是一、二、四，
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故选：B．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质与一次函数的性质，得出k>0是解题的关键．
【变式2-2】（2022·河南南阳·统考三模）若一元二次方程x2−4x+4m=0有两个相等的实数根，则正比例函
数y=（m+2）x的图象所在的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】B
【分析】首先根据一元二次方程根的判别式确定m的值，进而可得m+2的值，然后再根据正比例函数的性
质可得答案．
【详解】解：∵一元二次方程x2-4x+4m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2-4ac=16-16m=0，
∴m=1，
∴m+2=3，
∴正比例函数y= （m+2）x 的图象所在的象限是第一、三象限，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了正比例函数的性质，以及一元二次方程根的判别式，关键是正确确定m的取值．
【变式2-3】（2023·浙江衢州·统考二模）在平面直角坐标系中，若一次函数y=mx+m(m≠0)的图象过
点(1,2)，则该函数图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先求出一次函数的解析式，然后判断一次函数图像不经过得象限解题．
【详解】解：把(1,2)代入y=mx+m(m≠0)得：m+m=2，
解得：m=1，
∴y=x+1
∴一次函数的图象过不经过第四象限，
故选D．
【点睛】本题考查一次函数的图像，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
【变式2-4】（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）一元二次方程x2−2x−4=0有两个
实数根a，b，那么一次函数y=(1−ab)x+a+b的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据根与系数的关系即可求出ab与a+b的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】解：由根与系数的关系可知：a+b=2，ab=−4，
∴1−ab=5
∴一次函数解析式为：y=5x+2，
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故一次函数的图象一定不经过第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．
k
【变式2-5】（2023·四川广安·统考一模）若反比例函数y= (k≠0)的图像经过点(2,−4)，则一次函数
x
y=kx−k(k≠0)的图像不经过（ ）象限．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】先确定反比例函数解析式，从而可得一次函数解析式，进而求解．
k
【详解】解：∵反比例函数y= (k≠0)的图像经过点(2,−4)，
x
k
∴ =−4，
2
解得：k=−8，
∴一次函数的解析式为y=−8x+8，
∴该直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，解题关键是掌握函数与方程的关系，掌握一次函数图
像与系数的关系．
题型03 已知函数经过的象限求参数的值或取值范围
【例3】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）若正比例函数y=kx的图象经过点A(k，9)，且经过第
二、四象限，则k的值是（ ）
A．−9 B．−3 C．3 D．−3或3
【答案】B
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，结合正比例函数图象经过第二、四象限，即可确
定k的值．
【详解】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点A(k，9)，
∴9=k2，
∴k=±3，
又∵正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限，
∴k<0，
∴k=−3，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标
特征，找出关于k的方程是解题的关键．
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【变式3-1】（2022·陕西西安·校考三模）在平面直角坐标系中，点A(1,2)、B(3,−2)、C(m,4)分别
在三个不同的象限．若正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过其中两点，则m=（ ）
4 3
A．2 B．−6 C．− D．−
3 2
【答案】B
【分析】先根据正比例函数的性质得到正比例函数经过点B从而求出正比例函数解析式，然后代入点C的
坐标即可得到答案．
【详解】解：∵三个点的坐标分别为A(1,2)、B(3,−2)、C(m,4)，且三个点在不同的象限，
∴点A在第一象限时，点C在第二象限，
∴正比例函数不可能同时经过A、C两点，即正比例函数经过点B，
∴3k=−2，
2
∴k=− ，
3
2
∴正比例函数解析式为y=− x，
3
∴正比例函数经过二、四象限，
∴点C在正比例函数图象上，
2
∴− m=4，
3
∴m=−6，
故选B．
【点睛】本题主要考查了正比例函数图象的性质，确定正比例函数经过点B是解题的关键．
【变式3-2】（2023·浙江杭州·统考一模）已知y−m与x−1成正比例，且当x=−2时，y=3．若y关于x
的函数图象经过二、三、四象限，则m的取值范围为（ ）
3 3 3 3
A．− <m<0 B．− <m<0 C．m<− D．m<−
2 4 2 4
【答案】C
【分析】根据正比例的性质列出解析式，根据一次函数经过的象限求得m的范围，即可求解．
【详解】解：∵y−m与x−1成正比例，
∴y−m=k(x−1)，
即y=k(x−1)+m，
当x=−2时，y=3，
即m=3+3k，
∴y=kx−k+3+3k=kx+2k+3
∵若y关于x的函数图象经过二、三、四象限，
∴¿
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3
解得：k<−
2
∵m=3+3k
m−3
∴k=
3
m−3 3
即 <−
3 2
3
解得：m<− ，
2
故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
【变式3-3】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）已知直线y=kx+b经过第一、二、三
象限，且点(3,1)在该直线上，设m=3k−b，则m的取值范围是（ ）
A．0<m<1 B．−1<m<1 C．1<m<2 D．−1<m<2
【答案】B
【分析】先利用一次函数图象上点的坐标特征得到b=−3k+1，再利用一次函数与系数的关系得到k>0，
1
b>0，则k的范围为0<k< ，接着用k表示m，然后根据一次函数的性质求m的范围．
3
【详解】解：把(3,1)代入y=kx+b得3k+b=1，b=−3k+1，
因为直线y=kx+b经过第一、二、三象限，
所以k>0，b>0，即−3k+1>0，
1
所以k的范围为0<k< ，
3
因为m=3k−b=3k−(−3k+1)=6k−1，
所以m的范围为−1<m<1．
故选：B．
对于y=kx+b与y轴交于(0,b)，当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当
b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴；当k>0，b>0 y=kx+b的图象在一、二、三象
限；k>0，b<0 y=kx+b的图象在一、三、四象限；k<0，b>0 y=kx+b的图象在一、二、四象限；
⇔
k<0，b<0 y=kx+b的图象在二、三、四象限.
⇔ ⇔
⇔
题型04 一次函数与坐标轴交点问题
【例4】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）一次函数y=kx−5和y=2x+b（k、b为常数）
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的图象关于y轴对称，则k，b的值分别为（ ）
A．k=2,b=5 B．k=−2,b=5 C．k=2,b=−5 D．k=−2,b=−5
【答案】D
【分析】先求出y=kx−5与y轴的交点坐标，将其代入y=2x+b即可求出b的值，再求出y=2x+b与x
轴的交点，根据轴对称的性质，得出y=kx−5与x轴交点，将其代入y=kx−5即可求出k的值．
【详解】解：把x=0代入y=kx−5得：y=−5，
∴一次函数y=kx−5与y轴相交于(0,−5)，
∵一次函数y=kx−5和y=2x+b（k、b为常数）的图象关于y轴对称，
∴y=2x+b与y轴相交于(0,−5)，
把(0,−5)代入y=2x+b得b=−5，
∴一次函数y=kx−5和y=2x−5的图象关于y轴对称，
把y=0代入y=2x−5得：0=2x−5，
5
解得：x= ，
2
(5 )
∴y=2x−5与x轴相交于 ,0 ，
2
( 5 )
∴一次函数y=kx−5与x轴相交于 − ,0 ，
2
( 5 ) 5
把 − ,0 代入0=− k−5，
2 2
解得：k=−2，
综上：k=−2,b=−5，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数与坐标轴交点坐标的求法，
以及关于y轴对称点的坐标特征．
【变式4-1】（2023·陕西西安·校考二模）在平面直角坐标系中，将函数y=−2x−4的图象向右平移3个
单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为（ ）
A．(−1,0) B．(1,0) C．(−5,0) D．(5,0)
【答案】B
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
【详解】解：将函数y=−2x−4的图象向右平移3个单位长度，得到y=−2(x−3)−4=−2x+2，
当y=0时，−2x+2=0
解得：x=1
∴平移后的图象与x轴的交点坐标为(1,0)，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点问题，掌握平移规律是解题的关键．
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【变式4-2】（2023·陕西渭南·统考二模）若直线l :y=kx+2与直线l :y=−x+b关于x轴对称，则l 与l
1 2 1 2
的交点坐标是( )
A．(0，−2) B．(−2，0) C．(2，0) D．(0，2)
【答案】B
【分析】求得直线l 与y轴的交点为(0，2)，根据对称的性质得出点(0，2)关于x轴对称的对称点，再
1
根据待定系数法确定直线l 的关系式，求出直线l 与x轴的交点即可．
2 2
【详解】解：由直线l :y=kx+2可知，直线l 与y轴的交点为(0，2)，
1 1
∴点(0，2)关于x轴的对称点(0，−2)在直线l 上，
2
∴b=−2，
故直线l 的解析式为：y=−x−2，
2
令y=0，则x=−2，
即l 与l 的交点坐标为(−2，0)．
1 2
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换以及坐标与图形的性质，正确得出l 与l 的交点坐标为l
1 2 1
与l 与x轴的交点是解题关键．
2
【变式4-3】（2023·福建莆田·校考模拟预测）已知直线l：y=2x+1与直线l'关于x轴对称，则直线l'的解
析式是（ ）
A．y=−2x+1 B．y=2x−1 C．y=−x−2 D．y=−2x−1
【答案】D
( 1 ) ( 1 )
【分析】在直线l上找两点(0,1)、 − ,0 ，这两点关于x轴的对称点为(0,−1)、 − ,0 ，再利用待定
2 2
系数法求直线l'的解析式即可．
【详解】∵直线l的解析式为y=2x+1，
1
∴当x=0时，y=1；当y=0时，x=− ，
2
( 1 )
∴点(0,1)、 − ,0 在直线l上，
2
∵直线l与直线l'关于x轴对称，
( 1 ) ( 1 )
∴点(0,1)、 − ,0 关于x轴对称的点为(0,−1)、 − ,0 ，
2 2
设直线l'的解析式为y=kx+b(k≠0)，得¿，解得：¿，
∴直线l'的解析式为y=−2x−1，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的性质以及待定系数法，找到两个对称点的坐标是解题的关键．
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4
【变式4-4】（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，直线y= x+4交两坐标轴于
3
A，B两点，点P为直线AB上一点，则线段OP的最小值是 ．
12 2
【答案】 /2.4/2
5 5
【分析】根据点到直线的最小距离CP⊥ AB，再根据一次函数与坐标轴的交点坐标得到OB=4，OA=3，
最后利用勾股定理得到AB=5即可解答．
【详解】解：当CP⊥ AB时，OP的值最小，
∴OP 为最小值，
1
4
∵直线y= x+4交两坐标轴于A，B两点，
3
∴B(0，4)，A(−3,0)，
∴OB=4，OA=3，
∴AB=√OB2+OA2=5，
∵∠AOB=90°，
1 1
∴S = ⋅OB⋅OA，S = ⋅AB⋅OP ，
△AOB 2 △AOB 2 1
1 1
∴ ⋅OB⋅OA= ⋅AB⋅OP ，
2 2 1
12
∴OP = ，
1 5
12
故答案为 ；
5
【点睛】本题考查了点到直线的最小距离，一次函数与坐标轴的交点坐标，勾股定理，直角三角形的面积，
学会求一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
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【变式4-5】（2023·河北唐山·模拟预测）已知，一次函数的图象经过点(3,3)和点(1,−1)，
(1)求这个一次函数的表达式，并求出图象与x轴、y轴的交点坐标，
(2)如果正比例函数y=k x与所求的一次函数平行，请直接写出k 的值、
1 1
(3)在同一平面直角坐标系中画出（1），（2）中的一次函数图象和正比例函数图象．
(3 )
【答案】(1)y=2x−3，x轴、y轴的交点坐标分别为： ,0 ，(0,−3)，图象见详解
2
(2)k =2
1
(3)见详解
【分析】（1）利用待定系数法即可求出一次函数的表达式，问题随之得解；
（2）将（1）中所得直线函数，再通过平移即可得到y=k x，可知两个直线的自变量系数相同，问题随之
1
得解；
（3）按要求作图即可．
【详解】（1）设一次函数解析式为：y=kx+b，
∵一次函数的图象经过点(3,3)和点(1,−1)，
∴¿，
解得：¿，
即一次函数的解析式为：y=2x−3，
当x=0时，y=−3，
3
当y=0时，2x−3=0，解得：x= ，
2
(3 )
即图象与x轴、y轴的交点坐标分别为： ,0 ，(0,−3)，
2
作图如下：
（2）将一次函数y=2x−3向上平移3个单位可得正比例函数y=2x，
∵平行的两条直线通过平移可以重合，
又∵正比例函数y=k x与一次函数y=2x−3平行，
1
∴一次函数y=2x−3通过平移得到正比例函数y=k x，
1
∴正比例函数y=k x的解析式为：y=2x，
1
∴k =2；
1
（3）作图如下：
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【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解一次函数解析式，一次函数的平移等知识，掌握平行的两条
直线通过平移可以重合，待定系数法，是解答本题的关键．
题型05 判断一次函数增减性
3
【例5】（2023·全国·九年级假期作业）如图，一次函数y= x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点
2
B，下列说法错误的是（ ）
A．点A的坐标是(−2，0) B．△AOB的面积是3
C．当x>0时，函数值y>3 D．y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】A．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A的坐标；
B．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B的坐标，再利用三角形的面积公式，即可求出△AOB
的面积；
C．利用不等式的性质，可得出当当x>0时，y>3；
D．利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大．
3
【详解】解：A．当y=0时， x+3=0，
2
解得：x=−2，
∴点A的坐标为(−2，0)，选项A不符合题意；
3
B．当x=0时，y= ×0+3=3，
2
∴点B的坐标为(0,3)，
1
∴△AOB的面积为 ×2×3=3，选项B不符合题意；
2
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3
C．当x>0时，y> ×0+3=3，
2
∴当x>0时，y>3，选项C不符合题意；
3
D．∵k= >0，
2
∴y随x的增大而增大，选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质以及三角形的面积，注意分析各选项
的正误是解题的关键．
【变式5-1】（2023·浙江·一模）已知(x ,y ),(x ,y ),(x ,y )为直线y=kx−2k(k>0)上的三个点，且
1 1 2 2 3 3
x <x <x ，则以下判断正确的是（ ）
1 2 3
A．若x x >0，则y ⋅y >0 B．若x x <0，则y ⋅y >0
1 2 1 3 1 3 1 2
C．若x x >0，则y ⋅y >0 D．若x x <0，则y y >0
2 3 1 3 2 3 1 2
【答案】D
【分析】根据一次函数图象的性质，函数值随自变量的变化而变化的规律判断选项的正误．
【详解】解：∵k>0，
∴−2k<0，
一次函数的图象如图，
若x x >0，则y ⋅y >0或y ⋅y ≤0，A选项错误，不合题意；
1 2 1 3 1 3
若x x <0，则y ⋅y >0或y ⋅y ≤0，B选项错误，不合题意；
1 3 1 2 1 2
若x x >0，则y ⋅y >0或y ⋅y ≤0，C选项错误，不合题意；
2 3 1 3 1 3
若x x <0，则y ⋅y >0，D选项正确，符合题意．
2 3 1 2
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的特点，解题的关键是掌握一次函数图象的性质．
【变式5-2】（2023·陕西咸阳·二模）已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经第二、四象限，若点
A(−1,y )，B(1,y )都在一次函数y=kx−2图象上，则y 与y 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A．y <y B．y = y C．y >y D．y ≤ y
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】C
【分析】根据y=kx(k≠0)的图象经第二、四象限，判断出k<0，可知y=kx−2的图象中，y随x值的增大
而减小，由此可解．
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【详解】解：∵ y=kx(k≠0)的图象经第二、四象限，
∴ k<0，
∴ y=kx−2的图象中，y随x值的增大而减小，
∵ −1<1，
∴ y >y ．
1 2
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是根据y=kx(k≠0)经过的象限判断出k值的正负．
【变式5-3】（2022下·吉林松原·九年级校考阶段练习）一次函数y=kx+1的图象经过点A，且y随x的增
大而减小，则点A的坐标可以是（ ）
A．(−1，2) B．(1，2) C．(2,3) D．(3,4)
【答案】A
【分析】分别将四个选项中点的坐标代入函数解析式，求出k的值，根据一次函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：A、当点A的坐标为(−1，2)时，−k+1=2，
解得：k=−1<0，
∴y随x的增大而减小，选项A符合题意；
B、当点A的坐标为(1，2)时，k+1=2，
解得：k=1>0，
∴y随x的增大而增大，选项B不符合题意；
C、当点A的坐标为(2,3)时，2k+1=3，
解得：k=1>0，
∴y随x的增大而增大，选项C不符合题意；
D、当点A的坐标为(3,4)时，3k+1=4，
解得：k=1>0，
∴y随x的增大而增大，选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握一次函数的增减
性，一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．
【变式5-4】（2023上·浙江金华·九年级统考期末）在下列一次函数中，其图象过点(−1,3)且y随x的增大
而减小的是（ ）
A．y=2x+5 B．y=x+2 C．y=−2x+1 D．y=−x+1
【答案】C
【分析】对于一次函数y=kx+b，k<0时，y随x的增大而减小，找出各选项中k值小于0的选项，再把点
(−1,3)代入，符合的函数解析式即为答案．
【详解】解：∵y随x的增大而减小，
∴该一次函数的一次项系数小于0，由此排除A，B，
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对于y=−x+1，当x=−1时，y=2，
∴ y=−x+1的图象不过点(−1,3)，由此排除D，
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质、一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是能够根据k值判
断一次函数图象的增减性．
题型06 根据一次函数增减性判断参数取值范围
【例6】（2022·陕西西安·统考二模）若正比例函数y=(1−2m)x的图像经过点A(x ,y )和点B(x ,y )，
1 1 2 2
当x <x 时，y >y ，则m的取值范围是（ ）
1 2 1 2
1 1
A．m<0 B．m>0 C．m< D．m>
2 2
【答案】D
【分析】根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随
x的增大而减小．
【详解】解：∵当x <x 时，y >y ，
1 2 1 2
∴y随x的增大而减小，
1
则1−2m<0，解得m> ．
2
故选：D ．
【点睛】本题考查正比例函数的增减性，解题关键是根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号．
【变式6-1】（2023·陕西西安·西安市第二十六中学校考模拟预测）一次函数y=kx+3的图象经过点
(−1，5)，若自变量x的取值范围是−2≤x≤5，则y的最小值是（ ）
A．−10 B．−7 C．7 D．11
【答案】B
【分析】先根据一次函数y=kx+3的图象经过点(−1，5)求出一次函数的解析式，从而得到y随x的增大
而减小，由于自变量x的取值范围是−2≤x≤5，因此当x=5时，y最小为−2×5+3=−7，即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数y=kx+3的图象经过点(−1，5)，
∴−k+3=5，
∴k=−2，
∴一次函数的解析式为：y=−2x+3，
∴ y随x的增大而减小，
∵自变量x的取值范围是−2≤x≤5，
∴当x=5时，y最小为−2×5+3=−7，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，使用待定系数法求出一次函数的解析式，从而得到一次函数的
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增减性，是解题的关键．
【变式6-2】（2023下·全国·九年级期末）已知A(a，b)、B(c，d)是一次函数y=kx−2x−1图象上
的不同的两个点，若(c−a)(d−b)<0，则k的取值范围是（ ）
A．k<3 B．k>3 C．k<2 D．k>2
【答案】C
d−b
【详解】将点A，点B坐标代入解析式可求k−2= ，即可求解．
c−a
【解答】解：∵A(a，b)、B(c，d)是一次函数y=kx−2x−1图象上的不同的两个点，
∴b=ka−2a−1，d=kc−2c−1，且a≠c，
∴d−b=(c−a)(k−2)，
d−b
∴k−2= ，
c−a
∵(c−a)(d−b)<0，
∴k−2<0，
∴k<2．
故选：C．
d−b
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，求出k−2= 是关
c−a
键，是一道基础题．
【变式6-3】（2023·河南·九年级统考学业考试）已知点M(m,y ),N(−1,y )在直线y=−x+1上，且
1 2
y >y ，则m的取值范围是 ．
1 2
【答案】m<−1
【分析】根据直线y=−x+1中，k=−1<0得到y随x的增大而减小，由y >y 即可得到m的取值范围．
1 2
【详解】解：对于直线y=−x+1来说，
∵k=−1<0，
∴y随x的增大而减小．
∵y >y ，
1 2
∴m<−1．
故答案为：m<−1
【点睛】此题考查了利用一次函数的性质比较自变量的大小，对于一次函数y=kx+b(k≠0)来说，当k>0
时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．
【变式6-4】（2023·河南·九年级统考学业考试）已知点M(m,y ),N(−1,y )在直线y=−x+1上，且
1 2
y >y ，则m的取值范围是 ．
1 2
【答案】m<−1
【分析】根据直线y=−x+1中，k=−1<0得到y随x的增大而减小，由y >y 即可得到m的取值范围．
1 2
【详解】解：对于直线y=−x+1来说，
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∵k=−1<0，
∴y随x的增大而减小．
∵y >y ，
1 2
∴m<−1．
故答案为：m<−1
【点睛】此题考查了利用一次函数的性质比较自变量的大小，对于一次函数y=kx+b(k≠0)来说，当k>0
时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．
对于一次函数y=kx+b(k≠0)来说，当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减
小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．
题型07 根据一次函数增减性判断自变量的变化情况
【例7】（2023·江苏连云港·统考二模）一次函数y=ax−2的图像经过点(3,0)，当y>0时，x的取值范围
是 ．
【答案】x>3
【分析】将点的坐标代入解析式即可求得a的值，然后根据一次函数的性质即可得到结论．
2
【详解】解：由题意可得：3a−2=0，解得：a= ，
3
2
∵ >0，
3
∴y随x增大而增大，
∴当y>0时，x的取值范围是x>3；
故答案为：x>3．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是首先正确的确定次函
数的解析式，难度不大．
【变式7-1】（2021·江苏苏州·统考中考真题）若2x+ y=1，且0<y<1，则x的取值范围为 ．
1
【答案】0<x<
2
【分析】根据2x+ y=1可得y＝﹣2x+1，k＝﹣2＜0进而得出，当y＝0时，x取得最大值，当y＝1时，x
取得最小值，将y＝0和y＝1代入解析式，可得答案．
【详解】解：根据2x+ y=1可得y＝﹣2x+1，
∴k＝﹣2＜0
∵0<y<1，
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1
∴当y＝0时，x取得最大值，且最大值为 ，
2
当y＝1时，x取得最小值，且最小值为0，
1
∴0<x<
2
1
故答案为：0<x< ．
2
【点睛】此题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
【变式7-2】（2022·江苏苏州·苏州市第十六中学校考一模）若2x-y＝1．且0<y<1．则x的取值范围为
．
1
【答案】 <x<1
2
【分析】根据2x−y=1可得y＝2x-1，k＝2>0进而得出，当y＝0时，x取得最大值，当y＝1时，x取得最
小值，将y＝0和y＝1代入解析式，可得答案．
【详解】解：根据2x−y=1可得y＝2x﹣1，
∴k＝2>0
∵0<y<1，
1
∴当y＝0时，x取得最小值，且最大值为 ，
2
当y＝1时，x取得最大值，且最小值为1，
1
∴ <x<1
2
1
故答案为： <x<1．
2
【点睛】此题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
题型08 一次函数的平移问题
【例8】（2023·陕西西安·校考一模）将直线y=−2x+7向左平移3个单位，向上平移2个单位后得到的直
线是（ ）
A．y=−2x+3 B．y=−2x−5 C．y=−2x+9 D．y=−2x−7
【答案】A
【分析】根据“左加右减、上加下减”的函数图象平移规律来解答．
【详解】解：将直线y=−2x+7向左平移3个单位，得y=−2(x+3)+7，即y=−2x+1，
再向上平移2个单位，得y=−2x+1+2，即y=−2x+3．
故选A．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减、上加下减”的原则是解答此题的关
键．
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【变式8-1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）将正比例函数y=x向上平移1个单位长度，则平移后的函
数图象与一次函数y=−3x+m的图象的交点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】首先求得平移后的一次函数的解析式为y=x+1，根据函数y=x+1不经过第四象限，即可得出结
论．
【详解】解：将正比例函数y=x向上平移1个单位长度得到y=x+1，
∵一次函数y=x+1经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
∴平移后的函数图象与一次函数y=−3x+m的图象的交点不可能在第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数的性质及函数图象平
移的法则是解答此题的关键．
【变式8-2】（2022·陕西西安·校考模拟预测）把直线y=−5x沿着y轴平移后得到直线AB，直线AB经过
点(a,b)，且5a+b=−2，则直线AB的函数表达式是（ ）
A．y=−5x+2 B．y=−5x−2 C．y=5x+2 D．y=5x−2
【答案】B
【分析】根据平移规律“上加下减”得到直线AB的解析式，然后根据已知条件列出关于a、b的方程组，
通过解方程组求得系数的值．
【详解】解：设y=−5x沿着y轴平移后得到直线AB，则直线AB的解析式可设为y=−5x+k，
把点(a,b)代入y=−5x+k，得b=−5a+k，①．
联立5a+b=−2，②
解得k=−2．
∴直线AB的解析式为y=−5x−2．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的图象为直线，
当直线平移时k不变，当向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为y=kx+b+m．
【变式8-3】（2023·陕西咸阳·校考二模）在平面直角坐标系中，将直线y=kx+4(k≠0)向右平移2个单位
长度后所得的直线经过坐标原点，则k的值为（ ）
A．−2 B．−1 C．2 D．1
【答案】C
【分析】由题意得，平移后的直线的解析式为y=k(x−2)+4，将(0，0)代入得，0=k(0−2)+4，计算
求解即可．
【详解】解：由题意得，平移后的直线的解析式为y=k(x−2)+4，
将(0，0)代入得，0=k(0−2)+4，解得k=2，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
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【变式8-4】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，将直线y=3x+b向右
平移2个单位，平移后的直线经过第四象限，则b的值不可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】先根据平移规律得出直线y=3x+b向右平移2个单位的直线解析式，根据一次函数的图象可得b
的取值范围，即可解答．
【详解】解：将直线y=3x+b向右平移2个单位，得到直线y=3(x−2)+b=3x+b−6，
∵k=3>0且平移后的直线经过第四象限，
∴b−6<0，
解得：b<6，
∴b的值不可能为6，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移和一次函数的图象，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．
【变式8-5】（2022·上海徐汇·统考二模）将函数y=kx的图像向下平移2个单位后，经过点(1,0)，那么y
的值随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
【答案】增大
【分析】根据函数图像的平移可知，将函数y=kx的图像向下平移2个单位后表达式为y=kx−2，把点
(1,0)代入一次函数y=kx−2得到关于k的一元一次方程，解之，通过k的正负情况即可得到答案．
【详解】解：根据函数图像的平移可知，将函数y=kx的图像向下平移2个单位后表达式为y=kx−2，
∵ y=kx−2图象经过点(1,0)，
∴0=k−2，解得k=2，即函数为y=2x，
∵k=2>0，
∴y的值随x的增大而增大，
故答案为：增大．
【点睛】本题考查了函数图像的平移和正比例函数的增减性，涉及到解一元一次方程，正确掌握代入法和
正比例函数的增减性是解题的关键．
题型09 求一次函数解析式
【例9】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次销售情
况进行了跟踪记录，根据所记录的数据绘制如下的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）
之间的函数关系如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．第10天销售20千克 B．第7天和第16天的日销售量相同
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C．一天最多销售30千克 D．第16天比第1天多销售22千克
【答案】B
【分析】根据图象分别求出当0≤x≤15时，当15<x≤20时的函数解析式，逐项进行计算即可求解．
【详解】设y=k x，
1
把(15,30)代入，得30=15k ，
1
解得k =2，
1
∴y=2x，
当x=10时，y=2×10=20，即第10天销售20千克，故A正确，不符合题意；
当x=7时，y=2×7=14，即第7天销售14千克，
当x=1时，y=2×1=2，即第1天销售2千克，
当15<x≤20时，设y=k x+b，
2
把(15,30),(20,0)代入，得¿，
解得¿，
∴y=−6x+120，
当x=16时，y=−6×16+120=24，即第16天销售24千克
∴第7天和第16天的日销售量不相同，故B错误，符合题意；
由图得，一天最多销售30千克，故C正确，不符合题意；
∵24−2=22千克，
∴第16天比第1天多销售22千克，故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，从函数图象获取信息，熟练掌握知识点是解题的关键．
2
【变式9-1】（2021·广东广州·二模）如图所示，直线y= x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB
3
为边，在第二象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，则过B、C两点直线的解析式为（ ）
1 1 1
A．y= x+2 B．y=− x+2 C．y= x+2 D．y=−2x+2
3 5 4
【答案】B
【分析】过C作CM垂直于x轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及AC=AB，
利用AAS得到三角形ACM与三角形BAO全等，由全等三角形对应边相等得到CM=OA，AM=OB，由
AM+OA求出OM的长，即可确定出C坐标，然后根据待定系数法即可求得过B、C两点的直线对应的函
数表达式．
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2
【详解】解：对于直线y= x+2，令x=0，得到y=2，即B(0,2)，OB=2，
3
令y=0，得到x=−3，即A(−3,0)，OA=3，
过C作CM⊥x轴，可得∠AMC=∠BOA=90°，
∴∠ACM+∠CAM=90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC=90°，AC=BA，
∴∠CAM+∠BAO=90°，
∴∠ACM=∠BAO，
在△CAM和△ABO中，
¿，
∴△CAM≌△ABO(AAS)，
∴AM=OB=2，CM=OA=3，即OM=OA+AM=3+2=5，
∴C(−5,3)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B(0,2)，
∴ ¿，解得¿．
1
∴过B、C两点的直线对应的函数表达式是y=− x+2．
5
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定
与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
【变式9-2】（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）已知点A，B(−3,b)在一次函数
y=kx+4的图象上，且点A与点C(2,−5)关于x轴对称，则b的值为（ ）
5 19 14 5
A． B．− C． D．−
2 2 5 2
【答案】A
【分析】先由对称求出点A坐标，代入求出函数解析式，再根据一次函数的图象即可求出b的值．
【详解】∵点A与点C(2,−5)关于x轴对称，
∴A(2,5)，
∵点A在一次函数y=kx+4的图象上，
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1
∴5=2k+4，解得：k= ，
2
1
∴一次函数解析式为：y= x+4，
2
1
又∵点B(−3,b)在一次函数y= x+4的图象上，
2
1 5
∴b= ×(−3)+4= ，
2 2
故选：A．
【点睛】此题考查了一次函数的知识，关于x轴对称点的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性
质，点的对称性，从而完成求解．
1
【变式9-3】（2023·陕西西安·校考模拟预测）直线y= x+2交x轴于A，交y轴于B，直线AB绕原点旋
2
转180度后的直线解析式为（ ）
1 1 1 1
A．y= x−2 B．y= x+2 C．y=− x−2 D．y=− x+2
2 2 2 2
【答案】A
【分析】先求得A，B的坐标，再求得A，B绕原点旋转180度后的坐标，利用待定系数法求解即可．
1
【详解】解：∵直线y= x+2交x轴于A，交y轴于B，
2
当x=0时，y=2，当y=0时，x=−4，
∴A(−4,0)，B(0,2)，
∴ A，B绕原点旋转180度后的坐标为(4,0)，(0,−2)，
设旋转后的直线解析式为y=kx+b，则¿，
解得：¿，
1
∴旋转后的直线解析式为y= x−2，
2
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与几何变换，明确关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
【变式9-4】（2022·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，有三个点A(−3,1)，B(−1,5)，
C(0,m)，当△ABC的周长最短时，m的值为 ．
【答案】4
【分析】若三角形的周长最短，由于AB的值固定，则只要其余两边最短即可，根据对称性作出B关于y轴
的对称点B'、求出AB'的解析式，即可得到m的值．
【详解】如图，作B的对称点B' (1,5)，
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连接AB'交y轴于点C，此时△ABC的周长最短，
设直线AB':y=kx+b，
则¿
解得¿
∴m=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了轴对称−−最短路径问题，利用轴对称与待定系数法求函数解析式相结合，考查了同
学们的综合应用能力．正确作出图形是解题的关键．
【变式9-5】．（2023·山西太原·山西实验中学校考模拟预测）如图，我国传统计重工具杆秤的应用方便了
人们的生活．某兴趣小组为探究秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x(x≥4)厘米与秤钩所挂物体质量y千克之
间的关系，进行了6次称重，下表为称重时所记录的一些数据．
2
x 4 12 16 24 36
8
y 0 1 1.5 2.5 3 4
根据表格中的数据，写出y关于x的函数表达式： ．
1 1
【答案】y= x−
8 2
【分析】观察表中数据变化特征，设解析式，运用待定系数法、二元一次方程组求解．
【详解】解：由表格知，y随x的增大而增大，设函数表达式为y=kx+b(k≠0)，则
¿，解得¿
1 1
∴y= x− ，
8 2
经检验，x，y其它组值也满足解析式．
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1 1
故答案为：y= x−
8 2
【点睛】本题考查确定函数解析式，理解待定系数法、运用方程的思维求解是解题的关键．
【变式9-6】（2023·江苏泰州·校考三模）已知直线l过点A(0,−2)且平行于x轴，点B的坐标为(0,2)，将
直线l绕点B逆时钟旋转60°，则旋转后的直线对应的函数表达式为 ．
【答案】y=√3x−6
【分析】设A绕点B逆时针旋转60°的对应点为C，旋转后的直线交直线l于E，过C作CD⊥直线l于D，
根据A绕点B逆时针旋转60°的对应点为C，可得△ABC是等边三角形，故AB=AC=BC=4，
1
∠BAC=60°，从而可得CD= AC=2，AD=√3CD=2√3，记知C(2√3，0)，又∠CED=60°，可
2
4√3
求出E( ，−2)，再用待定系数法可得答案．
3
【详解】解：设A绕点B逆时针旋转60°的对应点为C，旋转后的直线交直线l于E，过C作CD⊥直线l于
D，如图：
∵A绕点B逆时针旋转60°的对应点为C，
∴∠ABC=60°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∵A(0,−2)，B(0,2)，
∴AB=AC=BC=4，∠BAC=60°，
∴∠CAD=30°，
1
∴CD= AC=2，AD=√3CD=2√3，
2
∴C(2√3，0)，
∵∠CED=60°，
CD 2√3
∴ED= = ，
√3 3
4√3
∴AE=AD−ED= ，
3
4√3
∴E( ，−2)，
3
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4√3
设直线CE解析式为y=kx+b，将C(2√3，0)，E( ，−2)代入得：
3
¿，
解得¿，
∴直线CE解析式为y=√3x−6；
故答案为：y=√3x−6．
【点睛】本题考查一次函数与几何变换−旋转、等边三角形的判定与性质，解题的关键是求出旋转后直线
上两个点的坐标．
【变式9-7】（2022·河北·模拟预测）已知直线y=kx+b中，自变量x的取值范围是−1≤x≤7，相应函数
值的范围是−12≤ y≤8，求该函数的解析式．
【答案】y=2.5x-9.5或y=-2.5x+5.5
【分析】根据一次函数的增减性，分两种情况进行讨论．当一次函数y随x的增加而增加时，即函数图象
经过（-1，-12）和（7,8）时，运用待定系数法可求得相应函数解析式；当一次函数y随x的增加而减少时，
即函数图象经过（-1,8）和（7，-12）时，运用待定系数法可求得相应函数解析式．最终得到函数解析式的
两种结果．
【详解】解：分情况讨论，当直线经过 （-1，-12）和（7,8）时，有
¿解得¿则解析式为y=2.5x-9.5；
当直线经过 （-1,8）和（7，-12）时，有
¿解得¿则解析式为y=-2.5x+5.5．
综上，函数的解析式为y=2.5x-9.5或y=-2.5x+5.5．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，通过函数增减性，分两种情况进行讨论是解题的关键．
题型10 一次函数的规律探究问题
【例10】（2021·河南新乡·统考一模）如图，平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,2)，以O为圆心，
1
1
OA 的长为半径画弧，交直线y= x于点B ；过点B 作B A // y轴交直线y=2x于点A ，以O为圆心，
1 2 1 1 1 2 2
1
OA 长为半径画弧，交直线y= x于点B ；过点B 作B A // y轴交直线y=2x于点A ，以点O为圆心，
2 2 2 2 2 3 3
1
OA 长为半径画弧，交直线y= x于点B ；…按如此规律进行下去，点B 的坐标为（ ）
3 2 3 2021
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A．(22021,22021
)
B．(22021,22020
)
C．(22020,22021
)
D．(22022,22021
)
【答案】B
【分析】根据题意可以求得点B 的坐标，点A 的坐标，点B 的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从
1 2 2
而可以求得点B 的坐标．
2021
【详解】解：由题意可得，点A 的坐标为（1，2），
1
1
设点B 的坐标为（a， a），
1 2
1 2
∵a2+( a) =12+22，解得，a＝2，（负根舍去）
2
∴点B 的坐标为（2，1），
1
同理可得，点A 的坐标为（2，4），点B 的坐标为（4，2），
2 2
点A 的坐标为（4，8），点B 的坐标为（8，4），
3 3
……
∴点B 的坐标为(22021,22020 )，
2021
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标，解答本题的关键是明确题意，发现题目中坐
标的变化规律，求出相应的点的坐标．
【变式10-1】（2020·河南鹤壁·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，
点A 的坐标为(1,0)，过点A 作x轴的垂线交直线l于点D ，以A D 为边作正方形A B C D ；过点C 作
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
直线l的垂线，垂足为A ，交x轴于点B ，以A B 为边作正方形A B C D ；过点C 作x轴的垂线，垂足
2 2 2 2 2 2 2 2 2
为A ，交直线l于点D ，以A D 为边作正方形A B C D ，…，按此规律操作下所得到的正方形
3 3 3 3 3 3 3 3
A B C D 的面积是（ ）
n n n n
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(9) n (9) n−1 (3) n (3) n−1
A． B． C． D．
2 2 2 2
【答案】B
【分析】由已知，直线l是第一、三象限的角平分线，结合A（1，0），根据勾股定理求出每个正方形的
1
边长，可分别求出正方形A B C D 、正方形A B C D 、正方形A B C D 的面积，从中发现规律．
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
【详解】解：∵直线l为函数y=x的图象，
∴∠D OA =45∘．
1 1
∴D A =OA =1．
1 1 1
∴正方形A B C D 的面积为1；
1 1 1 1
√2
由勾股定理得，OD =√2，D A = ，
1 1 2 2
√2 3√2
∴A B =OA =√2+ = ，
2 2 2 2 2
2
(3√2) 9
∴正方形A B C D 的面积为： = ；
2 2 2 2 2 2
9
同理可得，A D =OA = ，
3 3 3 2
(9) 2
∴正方形A B C D 的面积为： ；…
3 3 3 3 2
(9) 1−1 9 (9) 2−1
∵第1个正方形的面积为1= ，第2个正方形的面积为 = ，第3个正方形的面积为
2 2 2
(9) 2 (9) 3−1
= ，…，
2 2
(9) n−1
∴第n个正方形A B C D 的面积为： ．
n n n n 2
故选：B
【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质、正比例函数的图象和性质、探索规律等知识点，运用正比
例函数的性质是解题的基础，运用勾股定理求每个正方形的边长是关键．
【变式10-2】（2023·黑龙江佳木斯·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A ，A ，A ，A ，…
1 2 3 4
在x轴上且OA =1，OA =2OA ，OA =2OA ，OA =2OA ，…，按此规律，过点
1 2 1 3 2 4 3
A ，A ，A ，A ，…作x轴的垂线分别与直线y=√3x交于点B ，B ，B ，B …．连接
1 2 3 4 1 2 3 4
B A ，B A ，B A ，…，记△B A B ，△B A B ，△B A B ，…的面积分别为
1 2 2 3 3 3 1 2 2 2 3 3 3 4 4
S ，S ，S ，…，则S = ．
1 2 3 2023
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【答案】24044√3
【分析】当OA =1时，先求出OA =2OA =2，再计算出A B =2√3，A A =1，S =20√3，
1 2 1 2 2 1 2 1
S =22√3，S =24√3，S ==26√3，⋯，得到公式S =22n−2√3，代入计算即可．
2 3 4 n
【详解】解：当OA =1时，
1
∵OA =2OA =2，
2 1
1 1
∴A B =2√3，A A =1，S = A B ⋅A A = ×2√3×1=√3=20√3，
2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2
∵OA =2OA =4，
3 2
1 1
∴A B =4√3，A A =2，S = A B ⋅A A =2= ×4√3×2=4√3=22√3，
3 3 2 3 2 2 3 3 2 3 2
∵OA =2OA =8，
4 3
1 1
∴A B =8√3，A A =4，S = A B ⋅A A =2= ×8√3×4=16√3=24√3，
4 4 3 4 3 2 4 4 3 4 2
OA =2OA =16，
5 4
1 1
∴A B =16√3，A A =8，S = A B ⋅A A =2= ×16√3×8=64√3=26√3，
5 5 4 5 4 2 5 5 4 5 2
⋯，
∴S =22n−2√3，
n
∴S =22×2023−2×√3=24044√3．
2023
故答案为：24044√3．
【点睛】本题主要考查了图形与坐标的规律题，明确题意，准确得到规律，是解题的关键．
【变式10-3】（2023·山东枣庄·校考一模）如图△OA B 、△A A B 、△A A B 都是等腰直角三角形，
1 1 1 2 2 2 3 3
1 2
直角顶点B 、B ，B 均在直线l上，直线l的解析式为y= x+ ，点B 的横坐标为1，根据此规律第n个等
1 2 3 3 3 1
腰直角三角形A ❑ A B 的面积为 ．
n −1 n n
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【答案】22(n−1)
1
【分析】分别过点B 、B ，B 作x轴的出现，垂足分别为C,D,E，先求得S = ×2×1=1，
1 2 3 △OA 1 B 1 2
1 1
S = ×4×2=4=22 ,S = ×8×4=24 ，找到规律即可求解．
△A 1 A 2 B 2 2 △A 2 A 3 B 3 2
【详解】解：如图所示，分别过点B 、B ，B 作x轴的出现，垂足分别为C,D,E，
1 2 3
1 2
∵B 在y= x+ ，且B 的横坐标为1
1 3 3 1
∴B (1,1),
1
∴OC=B C=C A =1，
1 1
设A D=a，则B D=A D=DA =a，
1 2 1 2
∴B 的横坐标为2+a，
2
∴B (2+a,a)，
2
1 2 1 2
代入y= x+ ，即a= (a+2)+ ，
3 3 3 3
解得：a=2，
∴A A =4，
1 2
同理可得A A =8，……，
2 3
∴S =
1
×2×1=1，S =
1
×4×2=
1
×4×
1
×4=
(1) 2
×42=22×2−2 ,
△OA 1 B 1 2 △A 1 A 2 B 2 2 2 2 2
S =
1
×8×4=
1
×8×
1
×8=
(1) 2
×22×3=22×3−2
△A 2 A 3 B 3 2 2 2 2
……，
∴根据此规律第n个等腰直角三角形A ❑ A B 的面积为，
n −1 n n
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故答案为：22(n−1)．
【点睛】本题考查了一次函数规律题，找到规律是解题的关键．
√3
【变式10-4】（2023·山东东营·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y= x+1与直线l ：
1 3 2
y=√3x交于点A ，过A 作x轴的垂线，垂足为B ，过B 作l 的平行线交l 于A ，过A 作x轴的垂线，垂
1 1 1 1 2 1 2 2
足为B ，过B 作l 的平行线交l 于A ，过A 作x轴的垂线，垂足为B …按此规律，则点A 的纵坐标为
2 2 2 1 3 3 3 2023
．
32023
【答案】
22022
9
【分析】联立直线l 与直线l 的表达式并解得¿，故A (√3，3)，依次求出：点A 的纵坐标为 、A 的纵
1 2 1 2 2 3
27
坐标为 ，即可求解，找出规律即可求得答案．
4
【详解】解：由¿解得¿，
∴A (√3，3)；
1
∴点B (√3，0)，
1
设直线B A 的表达式为：y =√3x+b，
1 2 3
将点B 坐标代入上式解得b=−3，
1
∴直线B A 的表达式为：y =√3x−3，
1 2 3
由¿解得¿，
5√3 9
∴A ( ， )，
2 2 2
5√3
∴B ( ，0)，
2 2
设直线B A 的表达式为：y=√3x+c，
2 3
15
将点B 坐标代入上式解得c=− ，
2 2
15
∴直线B A 的表达式为：y =√3x− ，
2 3 4 2
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27
同理可得A 的纵坐标为 ，
3 4
3n
…按此规律，则点A 的纵坐标为 ，
n 2n−1
32023
∴点A 的纵坐标为 ，
2023 22022
32023
故答案为： ．
22022
【点睛】本题考查了两直线的交点，要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与二元一
次方程组之间的内在联系．
【变式10-5】（2023·湖南衡阳·衡阳市华新实验中学校考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点
1
A (2，2)在直线y=x上，过点A 作A B ∥y轴，交直线y= x于点B，以A 为直角顶点，A B 为直角
1 1 1 1 2 1 1 1
1
边，在A B 的右侧作等腰直角三角形A B C ；再过点C 作A B ∥y轴，分别交直线y=x和y= x于
1 1 1 1 1 1 2 2 2
A ，B 两点，以A 为直角顶点，A B 为直角边，在A B 的右侧作等腰直角三角形A B C …按此规律进
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
行下去，点C 的横坐标为 ．
2021
(3) 2021
【答案】2×
2
3 9 (3) 2
【分析】先根据题目中的已知条件求出点C 的横坐标为3=2× ，点C 的横坐标为 =2× ，点C 的
1 2 2 2 2 3
27 (3) 3 81 (3) 4 (3) n
横坐标为 =2× ，点C 的横坐标为 =2× …，由此总结得出点C 的横坐标为2× ，最后
4 2 4 8 2 n 2
求出结果即可．
1
【详解】解：∵点A (2，2)，A B ∥y轴交直线y= x于点B，
1 1 1 2
∴B (2,1)，
1
∴A B =2−1=1，即A C =1，
1 1 1 1
∵A C =A B =1，
1 1 1 1
3
∴点C 的横坐标为3=2× ，
1 2
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1
∵过点C 作A B ∥y轴，分别交直线y=x和y= x于A ，B 两点，
1 2 2 2 2 2
( 3)
∴A (3，3)，B 3,
2 2 2
3 3
∴A B =3− = ，
2 2 2 2
3
∴A C = ，
2 2 2
9 (3) 2
∴点C 的横坐标为， =2× ；
2 2 2
以此类推，
9 9
A B = ，即A C = ，
3 3 4 3 3 4
27 (3) 3
∴点C 的横坐标为 =2× ，
3 4 2
27 27
A B = ，即A C = ；
4 4 8 4 4 8
81 (3) 4
点C 的横坐标为 =2× …
4 8 2
(3) n−1 (3) n−1
∴A B = ，即A C = ．
n n 2 n n 2
(3) n
∴点C 的横坐标为2× ，
n 2
(3) 2021
∴点C 的横坐标为2× ．
2021 2
(3) 2021
故答案为：2× ．
2
【点睛】本题主要考查了一次函数的规律探究问题，解题的关键是根据题意总结得出点C 的横坐标为
n
(3) n
2× ．
2
【变式10-6】（2022·山东泰安·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，△P OA ，△P A A ，
1 1 2 1 2
1
△P A A ，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P (3，3)，P ，P ，…均在直线y=− x+4上，设
3 2 3 1 2 3 3
△P OA ，△P A A ，△P A A ，…面积分别为S ，S ，S ，…依据图形所反映的规律，S =
1 1 2 1 2 3 2 3 1 2 3 2022
．
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9
【答案】
42021
【分析】过点P 作P E ⊥x轴于点E ，利用等腰直角三角形的性质可得A A =2P E ，结合点P 的
n n n n n−1 n n n 1
坐标可求出S 的值，设点P 的坐标为(x ，y )，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出y ，y ，…，
1 n n n 2 3
y 的值，再利用三角形的面积公式即可得出S ，S ，…，S 的值，代入n=2022即可求出结论．
n 1 2 n
【详解】解：过点P 作P E ⊥x轴于点E ，如图所示．
n n n n
∵△P OA ，△P A A ，△P A A ，…都是等腰直角三角形，
1 1 2 1 2 3 2 3
∴OA =2P E ，A A =2P E ，A A =2P E ，…，A A =2P E ．
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 n−1 n n n
∵P (3，3)，
1
1
∴S = OA ⋅P E =(P E ) 2=9；
1 2 1 1 1 1 1
设点P 的坐标为(x ，y )，则点P 的坐标为(6+ y ，y )．
n n n 2 2 2
1
∵点P 在直线y=− x+4上，
2 3
1
∴y =− (6+ y )+4，
2 3 2
3
∴y = ，
2 2
1 9
∴S = A A ⋅P E =(P E ) 2= ，
2 2 1 2 2 2 2 2 4
∴点P 的坐标为(6+2y + y ，y )，即(9+ y ，y )．
3 2 3 3 3 3
1
∵点P 在直线y=− x+4上，
3 3
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1
∴y =− (9+ y )+4，
3 3 3
3 1 9
∴y = ，∴S = A A ⋅P E =(P E ) 2= ．
3 4 3 2 2 3 3 3 3 3 16
3 3
∵y =3，y = ，y = ，…，
1 2 2 3 4
3
∴y = ，
n 2n−1
∴S = 1 A A ⋅P E =(P E ) 2= ( 3 ) 2 = 9 ，
n 2 n−1 n n n n n 2n−1 4n−1
9
∴S = ．
2022 42021
9
故答案为： ．
42021
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，利用点的变
3
化，找出点P 纵坐标的变化规律“y = ”是解题的关键．
n n 2n−1
题型11 一次函数的新定义问题
b
【例11】（2022·贵州遵义·统考一模）定义新运算：a◎b= (a≠0)．对于函数y=3◎x，下列说法正确
a
的是（ ）
A．函数的图象经过第二、四象限 B．函数的图象经过点(1,3)
C．y随x的增大而增大 D．函数的图象是双曲线
【答案】C
【分析】根据新运算的运算方法，得出y与x的函数关系式，再根据函数关系式逐一判断即可．
b
【详解】解：∵a◎b= (a≠0)，
a
x
∴y=3◎x = ，
3
A．该函数图象位于第一、三象限，故本选项不符合题意；
1
B．当x=1时，y= ，故本选项不符合题意；
3
C．y随x增大而增大，故本选项符合题意；
D．函数的图象是直线，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数图象和性质，读懂题目信息，理解新运算的运算方法是解题的关键．
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【变式11-1】（2022·江苏宿迁·统考二模）在平面直角坐标系中，对于点P(x ,y )，给出如下定义：当点
1 1
Q(x ,y )满足x +x = y + y 时，称点Q是点P的等和点．已知：点P(2,−1)，如Q (−5,−2)、Q (0,3)
2 2 1 2 1 2 1 2
都是点P的等和点．若点A在直线y=−x+3上，点P的等和点也是点A的等和点，则点A的坐标（ ）
A．(−3,6) B．(−1,4) C．(4,−1) D．(3,0)
【答案】D
【分析】设点P（2，－1）的等和点为（m，n），A（t，−t＋3），根据点P的等和点也是点A的等和点列
式计算即可．
【详解】解：设点P（2，－1）的等和点为（m，n），
∴2＋m＝n－1，
设A（t，−t＋3），则点A的等和点为（m，n），
∴t＋m＝−t＋3＋n，
解得：t＝3，
∴A（3，0），
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数，熟练掌握一次函数的性质，理解新定义是解题的关键．
【变式11-2】（2023·上海嘉定·统考二模）新定义：函数图象上任意一点P(x，y)，y−x称为该点的
“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数
y=2x+3(−2≤x≤1)的“特征值”是 ．
【答案】4
【分析】由题意知，一次函数y=2x+3(−2≤x≤1)的“特征值”为y−x=x+3，当x=1时，y−x最大，
代入求解即可．
【详解】解：由题意知，一次函数y=2x+3(−2≤x≤1)的“特征值”为y−x=x+3，
当x=1时，y−x=4，
∴一次函数y=2x+3(−2≤x≤1)的“特征值”为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了新定义，一次函数．解题的关键在于理解题意并正确的运算．
【变式11-3】（2023·江苏苏州·统考一模）对某一个函数给出如下定义：若存在正数M，函数值y都满足
|y|≤M，则称这个函数是有界函数．其中，M的最小值称为这个函数的边界值．若函数y=2x+1（
a≤x≤b，且a≠b）中，y的最大值是2，边界值小于3，则a应满足的条件是 ．
1
【答案】−2<a<
2
【分析】根据2>0可知函数y=2x+1(a≤x≤b,a≠b)的y随x的增大而增大，再根据函数增减性可知当
x=a时函数值为边界值，然后由边界值小于3列关于a的不等式求解即可．
【详解】解：∵2>0
∴函数y=2x+1(a≤x≤b,a≠b)的y随x的增大而增大
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∴当x=a时，函数y=2x+1的函数值为边界值，
∵边界值小于3
1
∴−3<2a+1<2，解得：−2<a< ．
2
1
故答案为：−2<a< ．
2
【点睛】本题主要考查了阅读理解、一次函数的增减性、解不等式等知识点，理解“边界值”的定义成为
解答本题的关键．
考点三 一次函数与方程（组）、不等式
一、一次函数与一元一次方程
思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程
可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值.
从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值
从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标.
二、一次函数与二元一次方程组
思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常
数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所
以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应
两条直线.
从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数
值是何值；
从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程
组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标.
二、一次函数与一元一次不等式
思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上
(下)方的图象所对应的x的取值范围.
从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量
的取值范围；
从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件.
1） 二元一次方程组的图解法的定义：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的
二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫做二元一次方程组的图解法
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题型01 已知直线与坐标轴的交点求方程的解
【例1】（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(−3,0)，
则关于x的方程−kx+b=0的解为（ ）
A．x=3 B．x=−3 C．x=0 D．x=2
【答案】A
【分析】先根据一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(−3,0)，求出b=3k，然后解方程即可．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(−3,0)，
∴−3k+b=0，
∴b=3k，
∵−kx+b=0，
b 3k
∴x= = =3．
k k
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，正确求出b=3k是解题的关键．
【变式1-1】（2023·浙江台州·统考一模）如图，直线y=ax+b(a≠0)与x轴交点的横坐标为1，则关于x
的方程ax+b=0的解为（ ）．
A．1 B．−1 C．2 D．−2
【答案】A
【分析】根据一次函数与x轴交点的横坐标即为其相应一元一次方程的解，结合图象即可解答．
【详解】解：∵直线y=ax+b(a≠0)与x轴交点的横坐标为1，
∴关于x的方程ax+b=0的解为x=1．
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故选A．
【点睛】本题考查已知直线与坐标轴的交点求方程的解．掌握一次函数与x轴交点的横坐标即为其相应一
元一次方程的解是解题关键．
题型02 由一元一次方程的解判断直线与x轴交点
【例2】（2021·安徽合肥·统考二模）若x=2是关于x的方程mx+n=0(m≠0,n>0)的解，则一次函数
y=−m(x−1)−n的图象与x轴的交点坐标是（ ）
A．(2,0) B．(3,0) C．(0,2) D．(0,3)
【答案】B
【分析】直线y=mx+n与x轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数
y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），由
于一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，即可求得一次函数y=-m（x-1）-n的图
象与x轴的交点坐标．
【详解】解：∵方程的解为x=2，
∴当x=2时mx+n=0；
∴一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），
∴一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），
∵一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，
∴一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标是（3，0），
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，
b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量
的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
【变式2-1】（2023·浙江嘉兴·统考一模）在平面直角坐标系中，点P(2,4)是一个光源，木杆AB两端的坐
标分别是(1,2)，(4,1)，则木杆AB在x轴上的投影A'B'的长是（ ）
14 9
A．4 B． C． D．5
3 2
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，分别求得直线PA,PB的解析式，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，
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∵P(2,4)，A (1,2)，B (4,1)，
设直线PA的解析式为：y =k x+b ，直线PB的解析式为：y =k x+b ，
PA 1 1 PB 2 2
∴¿ ¿
解得：¿，¿
3
∴y =2x，y =− x+7
PA PB 2
y =2x中，当y=0时，x=0，则A'(0,0),
PA
y =−
3
x+7中，当y=0时，x=
14 ，则B'(14
,0
)
PB 2 3 3
14
∴A'B'=
，
3
故选：B．
【点睛】本题考查了中心投影，一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
题型03 利用图象法解一元一次方程
【例3】（2022·陕西西安·校考三模）如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的方程ax+b＝1的解为（
）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【分析】一次函数y＝kx+b的图象上纵坐标为1的点的横坐标即为方程ax+b＝1的解，据此求解即可．
【详解】解：∵点（4，1）在一次函数y＝ax+b的图象上，
∴关于x的方程kx+b＝1的解是x＝4．
故选C．
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【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0
（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的
自变量的值．
【变式3-1】如图，直线y＝kx+b(k≠0)经过点P(﹣3，2)，则关于x的方程kx+b＝2的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据题意，可知当x＝﹣3时，y＝kx+b＝2，根据图象即可求解．
【详解】解：根据题意，可知当x＝﹣3时，y＝kx+b＝2，
∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝﹣3．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，结合图象解方程是解题的关键．
题型04 两直线的交点与二元一次方程组的解
【例4】（2022·湖北武汉·统考模拟预测）1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升．与此同
时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升，两个气球都上升了1h．如图是两个气球
所在位置的海拔y（单位：m）与上升时间x（单位：min）的函数图象，则两图象交点P的坐标是（ ）
A．(18,20) B．(20,25) C．(22,30) D．(24,35)
【答案】B
【分析】根据“1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔
15m处出发，以0.5m/min的速度上升”，得出1号探测气球、2号探测气球的函数关系式，联立函数关系
式即可求出点P的坐标．
【详解】解：由题意得：
1号探测气球所在位置的海拔：y =5+x，
1
2号探测气球所在位置的海拔：y =15+0.5x；
2
联立方程组得¿
解得¿．
即交点P的坐标为(20,25)，
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故选：B
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，理解题意，正确列出函数解析式是解题的关键.
【变式4-1】（2022·福建泉州·校考模拟预测）一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程对应
的图象都是一条直线．已知如图过第一象限上A点的直线是方程x−y=b(b<−1)的图象，若点A的坐标
恰为关于x，y的二元一次方程组¿的解，则a的值可能是（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
−(b−1)
【分析】根据点A的位置可知方程组中x的值x>0，解方程组求得x=− >0，由b<−1，得出
a−1
−(b−1)>0，即可得出a−1>0，解得a>1．
【详解】解：∵点A在第一象限，
∴x>0，且¿，
②−①得(a−1)x=−(b−1)，
−(b−1)
∴x=− >0，
a−1
∵b<−1，
∴−(b−1)>0，
∴a−1>0，
∴a>1，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，熟知函数与方程组的关系是解题的关
键．
【变式4-2】（2023·陕西榆林·校考三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=2x+6和y=ax−1的图
象相交于点P(−1，m)，则关于x，y的方程组¿的解为（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】D
【分析】找到方程组的解与直线交点坐标的关系即可．
【详解】解：∵一次函数y=2x+6的图象经过点P(−1，m)，∴m=−2+6=4，
∴一次函数y=2x+6和y=ax−1的图象相交于点P(−1，4)，
∴关于x，y的方程组¿的解为¿．
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故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟悉两者之间的关系并进行灵活转化是解题关键．
【变式4-3】（2023·广东深圳·校考一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y =ax+b(a≠0)与
1
y =mx+n(m≠0)的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
2
A．y 随x的增大而减小
1
B．b<n
C．当x<2时，y >y
1 2
D．关于x，y的方程组¿的解为¿
【答案】B
【分析】结合图象，根据一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等
式．从函数图象中有效的获取信息进行判断即可．
【详解】解：A．由图象得y 随x的增大而减小，故选项正确；
1
B．由图象可知，一次函数y =ax+b(a≠0)的图象与y轴的交点在y =mx+n(m≠0)的图象与y轴的交点
1 2
的上方，即b>n，故选项错误；
C．由图象得：当x<2时，y >y ，故选项正确；
1 2
D．由图象可知，两条直线的交点为(2,3)，
∴¿的解为：¿，故选项正确；
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从
函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．
题型05 图象法解二元一次方程组
【例5】（2021·广东广州·统考二模）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应
的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（ ）．
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A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【答案】A
【分析】利用待定系数法求出两个一次函数的解析式即可得．
【详解】解：设其中一个一次函数的解析式为y=kx+b，
将点(2,0),(0,2)代入得：¿，解得¿，
则这个一次函数的解析式为y=−x+2，
同理可得：另一个一次函数的解析式为y=2x−1，
则所解的二元一次方程组为¿，
故选：A．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
【变式5-1】（2020·陕西西安·高新一中校考模拟预测）若直线l 经过点（﹣1，0），l 经过点（2，2），
1 2
且l 与l 关于直线x＝1对称，则l 和l 的交点坐标为（ ）
1 2 1 2
A．（1，4） B．（1，2） C．（1，0） D．（1，3）
【答案】A
【分析】根据对称的性质得出两个点关于直线x＝1对称的对称点，再根据待定系数法确定函数关系式，求
出交点坐标即可．
【详解】解：∵直线l 经过点（﹣1，0），l 经过点（2，2），关于直线x＝1对称，
1 2
∴点（﹣1，0）关于直线x＝1对称点为（3，0），
点（2，2）关于直线x＝1对称点为（0，2），
∴直线l 经过点（﹣1，0），（0，2），l 经过点（2，2），（3，0），
1 2
∴直线l 的解析式为：y＝2x+2，直线l 的解析式为：y＝﹣2x+6，
1 2
解方程组¿得，¿
∴l 和l 的交点坐标为（1，4），
1 2
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出l 与l 的交点坐标为l 与l 与y轴的交点是解
1 2 1 2
题关键．
【变式5-2】（2020蓬江区二模）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关
于x、y的二元一次方程组¿的解是（ ）
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A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】B
【分析】由图可知：两个一次函数的交点坐标为(−3,1)；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所
求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．
【详解】解：函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P(−3,1)，
即x=−3，y=1同时满足两个一次函数的解析式．
y=ax+b x=−3
所以关于x，y的方程组{ 的解是{ ．
y=kx y=1
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未
知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次
函数图象的交点坐标．
题型06 求两直线与坐标轴围成的图形面积
1
【例6】（2023·陕西榆林·统考二模）已知一次函数y= x+m与y=−x+n的图象都经过点A(−2,0)，且
2
与y轴分别交于B，C两点，则△ABC的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】首先分别把A(−2,0)代入两个函数解析式中，解得m=1，n=−2，即得B(0,1)，C(0,−2)，然
后根据三点坐标求△ABC的面积．
1
【详解】解：把点A(−2,0)代入y= x+m与y=−x+n，
2
1
得：0= ×(−2)+m，0=−(−2)+n，
2
解得：m=1，n=−2，
∴B(0,1)，C(0,−2)，
1 1
∴S = ×|−2|×|1−(−2)|= ×2×3=3，
△ABC 2 2
故选：B．
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【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标，直线围成的三角形面积，熟
练掌握待定系数法是解题的关键．
【变式6-1】（2023·辽宁沈阳·校联考一模）直线l 和l 在直角坐标系中的位置如图所示，则直线l 和l 与y
1 2 1 2
轴围成的图形的面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】由图可知直线l 经过点(2，0)、(0，2)，直线l 经过点(0，0)、(−4，2)，设直线的解析式为
1 2
y=kx+b，利用待定系数法即可求出其解析式，即得出∴直线l 、l 的交点为(4，−2)，由此即得出答案．
1 2
【详解】∵直线l 经过点(2，0)、(0，2)，设该直线的解析式为y=kx+b，
1
将(-1，-4)和(1，0)代入，得：¿，
解得¿，
∴直线l 的解析式为y=−x+2，
1
1
同理可得：直线l 的解析式为y=− x，
2 2
联立直线l 、直线l 得：
1 2
¿，解得：¿
∴直线l 、l 的交点为(4，−2)，
1 2
1
∴直线l 、l 与y轴围成的三角形面积为： ×2×4=4，
1 2 2
故选：A．
【点睛】本题考查了两个一次函数与坐标轴围成的面积问题．求出l 或l 的解析式是解题关键．
1 2
3 x
【变式6-2】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）已知一次函数y= x+m与y=− +n的图
2 2
象都经过点A(−4,0)，且与y轴分别交于B，C两点，则△ABC的面积是( )
A．12 B．13 C．16 D．18
【答案】C
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3 x
【分析】将点A(−4,0)分别代入y= x+m与y=− +n求出m和n的值，再求出点B和点C的坐标，再
2 2
根据三角形的面积公式求解即可．
3 3
【详解】解：把点A(−4,0)代入y= x+m得：0= ×(−4)+m，
2 2
解得：m=6，
3
∴y= x+6，
2
把x=0代入得：y=6，
∴B(0,6)，
x 4
把点A(−4,0)代入y=− +n得：0= +n，
2 2
解得：n=−2，
x
∴y=− −2，
2
把x=0代入得：y=−2，
∴C(0,−2)，
1 1
∴S = BC⋅OA= ×(6+2)×4=16．
△ABC 2 2
故选：C．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标，直线围成的三角形面积，解
题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．
【变式6-3】（2023·内蒙古包头·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+2与x轴相交于点
A，与y轴相交于点B，四边形ABCO是平行四边形，直线y=−x+n经过点C，且与x轴相交于点D,BD与
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OC相交于点E，记四边形ABEO，△DCE的面积分别为S ,S ，则S :S 等于（ ）
1 2 1 2
A．5:3 B．2:1 C．7:3 D．3:1
【答案】C
【分析】求出点A的坐标为(−1,0)，点B的坐标为(0,2)，根据平行四边形性质得出点C的坐标为(1,2)，求
2
出直线CD的解析式为y=−x+3，得出点D的坐标为(3,0)，求出直线BD的解析式为：y=− x+2，OC
3
(3 3) 1 ( 3) 1
的解析式为y=2x，求出点E的坐标为 , ，得出S = ×1× 2− = ，求出
4 2 △BCE 2 2 4
1 7 1 1 3
S =S −S =1×2− = ，S =S −S = ×1×2− = ，即可求出结果．
1 ▱ABCO △BCE 4 4 2 △BCD △BCE 2 4 4
【详解】解：把y=0代入y=2x+2得：0=2x+2，
解得：x=−1，
∴点A的坐标为(−1,0)，
∴OA=1，
把x=0代入y=2x+2得：y=2，
∴点B的坐标为(0,2)，
∴OB=2，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴BC=AO=1，BC∥AO，OC∥AB，
∴点C的坐标为(1,2)，
把(1,2)代入y=−x+n得：2=−1+n，
解得：n=3，
∴直线CD的解析式为y=−x+3，
把y=0代入y=−x+3得：0=−x+3，
解得：x=3，
∴点D的坐标为(3,0)，
设直线BD的解析式为y=kx+b，把(3,0)，(0,2)代入得：
¿，
解得：¿，
2
∴直线BD的解析式为：y=− x+2，
3
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∵OC∥AB，
∴OC的解析式为y=2x，
联立¿，
解得：¿，
(3 3)
∴点E的坐标为 , ，
4 2
1 ( 3) 1
∴S = ×1× 2− = ，
△BCE 2 2 4
1 7
∴S =S −S =1×2− = ，
1 ▱ABCO △BCE 4 4
1 1 3
∴S =S −S = ×1×2− = ，
2 △BCD △BCE 2 4 4
7
S 4 7
∴ 1= = ，
S 3 3
2
4
即S :S =7:3，故C正确．
1 2
故选：C．
【点睛】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数与x轴，y轴的交点问题，直线围成的三角形的
面积，平行四边形的性质，解题的关键是求出点E的坐标．
题型07 由直线与坐标轴交点求不等式的解集
【例7】（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，一次函数y=x+b的图象过点(−2,3)，则不
等式x+b>3的解是（ ）
A．x>−2 B．x>3 C．x<−2 D．x<3
【答案】A
【分析】不等式x+b>3的解就是图象上点的纵坐标大于3对应的自变量的取值范围，据此解答即可.
【详解】解：根据题意：因为一次函数y=x+b的图象过点(−2,3)，
则不等式x+b>3的解是x>−2；
故选：A.
【点睛】本题考查了一次函数和一元一次不等式，属于基础题型，掌握求解的方法是解题关键.
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【变式7-1】（2023·陕西商洛·校考三模）如图，一次函数y=−2x+b的图象与y轴交于点(0,−4)，当
−4<y<0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x<−2 B．−2<x<0 C．0<x<2 D．−4<x<0
【答案】B
【分析】先由图象可知，当x=0时，y=−4，从而求出b=−4，当y=0时，x=−2，再结合函数图象得到
结果．
【详解】解：当x=0时，y=−4，
即b=−4，
∴y=−2x−4，
当y=0时，x=−2，
∴当−4<y<0时，自变量x的取值范围是−2<x<0，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合的思想求解．
【变式7-2】（2023·山东淄博·统考一模）已知函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式
k(x+3)+b<0的解集是（ ）
A．x>−1 B．x<−1 C．x<2 D．x>2
【答案】A
【分析】由于y=k(x+3)+b可由y=kx+b向左平移3个单位长度而得到，此时由题意知，直线
y=k(x+3)+b与x轴的交点横坐标为−1，结合函数图象即可求得不等式的解集．
【详解】解：由于y=k(x+3)+b可由y=kx+b向左平移3个单位长度而得到，
∵直线y=kx+b与x轴交点横坐标为2，
∴直线y=k(x+3)+b与x轴的交点横坐标为−1，
∴函数y=k(x+3)+b的图象如下
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观察图象知，不等式k(x+3)+b<0的解集是x>−1，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象的平移、利用函数图象求一元一次不等式的解集等知识，得到平移后的一次
函数解析式及与x轴的交点坐标是关键．
题型08 根据两条直线交点求不等式的解集
【例8】（2023·广东深圳·校考一模）如图所示，一次函数y=kx+b（k，b是常数k≠0）与正比例函数
y=mx（m是常数，m≠0）的图象相交于点M(1,2)，下列判断错误的是（ ）
A．关于x的方程mx=kx+b的解是x=1 B．关于x的不等式mx<kx+b的解集是x>1
¿ ¿
C．当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大D．关于x，y的方程组 的解是
¿ ¿
【答案】B
【分析】根据图象的交点即可判断方程的解、不等式的解、方程组的解，即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b（k，b是常数k≠0）与正比例函数y=mx（m是常数，m≠0）的图象
相交于点M(1,2)，
∴关于x的方程，mx=kx+b的解是x=1，选项A判断正确，不符合题意；
关于x的不等式mx<kx+b的解集是x<1，选项B判断错误，符合题意；
当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大，选项C判断正确，不符合题意；
关于x，y的方程组¿的解是¿，选项D判断正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了一次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．
【变式8-1】（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，直线y=ax+b与x轴交于点A(7,0)，与直线y=kx交于点
B(2,4)，则不等式0<kx≤ax+b的解集为（ ）
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A．x≤2 B．x≥2 C．0<x≤2 D．2≤x≤6
【答案】C
【分析】利用图象法写出直线y=kx在直线y=ax+b下方、在x轴上方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：∵直线y=ax+b与直线y=kx交于点B(2,4)，
∴不等式0<kx<ax+b的解集为0<x≤2．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b
的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或
下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【变式8-2】（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a、b为常数，
且a≠0）的图像与一次函数y=x+4的图像相交于点P，若点P的纵坐标为8，则关于x的不等式
ax+b>x+4的解集是（ ）
A．x>8 B．x<8 C．x>4 D．x<4
【答案】D
【分析】根据题意，将点P的纵坐标8代入y=x+4得到点P的横坐标为4，结合图像，ax+b>x+4的解
集对应函数y=ax+b图像在y=x+4的图像上方时自变量x的取值范围即可得出答案．
【详解】解：将点P的纵坐标8代入y=x+4得到8=x+4，解得x=4，即点P的横坐标为4，
由图像可知，当x<4时，函数y=ax+b图像在y=x+4的图像上方，
∴ ax+b>x+4的解集为x<4，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的性质，理解通过函数图像解不等式的方法，熟练掌握一次函数与一元一次不
等式的关系是解决问题的关键．
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