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第 14 讲 二次函数的应用
目 录
一、考情分析
二、知识建构
题型01 最大利润/销量问题
题型02 方案选择问题
题型03 拱桥问题
题型04 隧道问题
题型05 空中跳跃轨迹问题
题型06 球类飞行轨迹
题型07 喷泉问题
题型08 图形问题
题型09 图形运动问题
题型10 二次函数综合问题
类型一 线段、周长问题
类型二 面积周长问题
类型三 角度问题
类型四 特殊三角形问题
类型五 特殊四边形问题
考点要求 新课标要求 命题预测
二次函数的应用在中考中较为常见，其中，二次函数在实际
生活中的应用多为小题，出题率不高，一般需要根据题意自行建
能用二
二次函数的 议二次函数模型; 而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题
次函数解决实际
应用 则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算
问题
数据较大，还需根据实际情况判断所求结果是否有合适，需要考
生在做题过程中更为细心对待。
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用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1.审：仔细审题，理清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当
的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果
顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值
解决利润最大问题是否存在最大利润问题。
利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点
的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。
利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后
利用函数的最值解决面积最值问题。
【注意】自变量的取决范围。
利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合
直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条
件进行计算．
利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设
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出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条
件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不
存在．
题型01 最大利润/销量问题
【例1】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）某商店以一定的价格购进甲、乙两种商品若干千克，销售统计
发现，甲商品从开始销售至销售的第x天总销量y （千克）与x的关系如图1所示，且y 是x的二次函数．
1 1
乙商品从开始销售至销售第x天的总销量y (kg)，y =ωx，其中ω是关于x的一次函数，其图象如图2．
2 2
(1)分别求出y ，y 与x的函数关系；
1 2
(2)甲、乙两种商品购进量相差多少；
(3)分别求出甲、乙两种商品哪天销量最大，并求出最大销售量是多少．
【变式1-1】（2023·广东深圳·校考模拟预测）深圳某公司生产A、B两种玩具，每个B玩具的成本是A玩
具的1.5倍，公司投入1600元生产A种玩具，3600元生产B种玩具，共生产玩具1000个，请解答下列问
题：
(1)A、B两种玩具每个的成本分别是多少元？
(2)某大学生自主创业，在网上销售B玩具，物价部门规定每个售价不低于进货价且每个的利润不允许高于
进货价的50%．试营销阶段发现：当销售单价是8元时，每天的销售量为120件，销售单价每上涨1元，
每天的销售量就减少20件．求销售单价为多少元时，该玩具每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【变式1-2】（2023·安徽六安·校考二模）某厂家生产一种儿童电动玩具，3月份前4天生产的该儿童玩具
售价y（元/个）和销量t（个）的数据如下表所示：
第x天 1 2 3 4
售价y/（元/个） 30 32 34 36
12
销量t/个 100 140 160
0
从第5天开始工厂对外调整价格为28元一个，据统计第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关
系为t=−x2+50x−100（5≤x≤20，且x为整数）．
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(1)直接写出销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式，并且求出第5天以后第几天的销量最大，最大
值为多少？
(2)若成本价为20元，求该工厂这些天（按20天计）出售儿童电动玩具得到的利润W（元）与x的函数关
系式，直接写出第几天的利润最大及其最大值．
题型02 方案选择问题
【例2】（2023·湖北咸宁·统考模拟预测）“樱花红陌上，邂逅在咸安”，为迎接我区首届樱花文化旅游节，
某工厂接到一批纪念品生产订单，要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天
（0<x≤15）每件产品的成本价是y元，y与x之间关系为：y=0.5x+7，任务完成后，统计发现工人小
王第x天生产产品P（件）与x（天）之间的关系如下图所示，设小王第x天创造的产品利润为W元．
(1)直接写出P与x之间的函数关系；
(2)求W与x之间的函数关系式，并求小王第几天创造的利润最大？最大利润是多少？
(3)最后，统计还发现，平均每个工人每天创造的利润为288元，于是，工厂制定如下奖励方案：如果一个
工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金，请计算，在生产该批纪念过程中，小
王能获得多少元的奖金？
【变式2-1】（2023·四川乐山·统考二模）某公司在甲、乙两城生产同一种产品，受原材料产地，上、下游
配套工厂等因素影响，生产成本不同．甲城产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的关系式为
y=ax2+bx+c(a≠0)，图象为如图的虚线所示：乙城产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的关
系式为y=kx(k≠0)，其图象为如图的实线所示．
(1)求a、b、k的值．
(2)若甲、乙两城一共生产50件产品，请设计一种方案，使得总生产成本最小．
(3)从甲城把产品运往A、B两地的运费（万元）与件数（件）的关系式为：y =nx，y =3x；从乙城
甲A 甲B
把产品运往A、B两地的运费（万元）与件数（件）的关系为：y =x，y =2x；现在A地需要40件，
乙A 乙B
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B地需要10件，在（2）的条件下，求总运费的最小值（用含n的式子表示）．
题型03 拱桥问题
【例3】（2023·北京丰台·统考一模）赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．
某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，
可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m
）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=−0.01(x−30) 2+9，据调查，龙舟最高处距离
水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m．
(1)水面的宽度OA=_______m；
(2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9m，求最多可设计龙舟赛道的数量．
【变式3-1】（2023·广东深圳·校考模拟预测）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度
AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对
d和h之间的关系进行了探究．
下面是小红的探究过程，请补充完整：
(1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表．
d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4
h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88
在d和h这两个变量中，______是自变量，______是这个变量的函数；
(2)在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
(3)结合表格数据和函数图象，解决问题：
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①求该函数的解析式：
②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要
在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE=DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥
墩的距离CE至少为多少米?（√2≈1.41，精确到0.1米）
【变式3-2】（2023·河南安阳·统考模拟预测）如图，拱形桥的截面由矩形和抛物线组成，矩形长12m，宽
4m，以当前水面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．其中拱桥的最高点D到水面OB的距离为10m．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若一艘货轮宽为8m，要确保货轮安全通过拱桥，求其装完货物后的最大高度；
(3)若要在拱桥抛物线的左右两侧同样的高度安装两个摄像头，要求摄像头到水面的距离不低于6m、不超
过8m，请直接写出两个摄像头水平距离的最大值．
题型04 隧道问题
【例4】（2023·河南平顶山·统考模拟预测）如图，隧道的截面由抛物线BEC和矩形ABCD构成，矩形的
长AD为8m，宽AB为2m．以AD所在直线为x轴，线段AD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，抛物
线顶点E到坐标原点O的距离为5m．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)如果隧道是双向通道，现有一辆货车高3.6m，宽2.4m，这辆货车能否通过该隧道？请通过计算进行说
明．
【变式4-1】（2023·宁夏银川·校考二模）如图，一个横截面为抛物线形的公路隧道，其最大高度6米，底
部宽度OM为12米，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴建立直角坐标系．
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(1)求这条抛物线的表达式；
(2)该隧道设计为双向通行道，如果规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2米的范围内行驶，并保持
1
车辆顶部与隧道有不少于 米的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为＿ 米；
3
(3)在隧道修建过程中，需要搭建矩形支架AD−DC−CB（由三段组成）对隧道进行装饰，其中C、D在
抛物线上，A，B在地面OM上，求这个支架总长Z的最大值．
【变式4-2】（2023·广东深圳·校联考模拟预测）按要求解答
(1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比
原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？
(2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度OC=OD=4米，
人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高OM=10.8米．建立如图所示的直角坐标系．
①此抛物线的函数表达式为________．（函数表达式用一般式表示）
②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高________米．
③已知人行道台阶CE，DF高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道
宽度设计是否达标？说明理由．
+
题型05 空中跳跃轨迹问题
【例5】（2023·广东深圳·校考模拟预测）已知某运动员在自由式滑雪大跳台比赛中取得优异成绩，为研究
他从起跳至落在雪坡过程中的运动状态，如图，以起跳点为原点O，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，
我们研究发现他在空中飞行的高度y（米）与水平距离x（米）具有二次函数关系，记点A为该二次函数图
象与x轴的交点，点B为该运动员的成绩达标点，BC⊥x轴于点C，相关数据如下：
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水平距离x（米） 5 10 20 30
空中飞行的高度y（米） 4.5 6 0 −18
(1)请求出第一次跳跃的高度y（米）与水平距离x（米）的二次函数解析式______；
(2)若该运动员第二次跳跃时高度y（米）与水平距离x（米）满足y=−0.05x2+1.1x，则他第二次跳跃落
地点与起跳点平面的水平距离为d=______米，d______30，成绩是否达标？______．（填写是或否）
【变式5-1】（2023·北京海淀·统考一模）“兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔
跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系．
通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行的测量，得到以下数据：
水平距离
0 0.4 1 1.4 2 2.4 2.8
x/m
竖直高度
0 0.48 0.9 0.98 0.8 0.48 0
y/m
根据上述数据，回答下列问题：
①野兔本次跳跃的最远水平距离为_________m，最大竖直高度为_________m；
②求满足条件的抛物线的解析式；
(2)已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为3m，最大竖直高度为1m．若在野兔起跳点前方2m
处有高为0.8m的篱笆，则野兔此次跳跃_________（填“能”或“不能”）跃过篱笆．
【变式5-2】（2022·山东青岛·统考一模）跳台滑雪是以滑雪板为工具，在专设的跳台上以自身的体重通过
助滑坡获得的速度比跳跃距离和动作姿势的一种雪上竞技项目．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，
取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线
1 7
C :y=− x2+ x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方3米的A点滑出，滑
1 12 6
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1
出后沿一段抛物线C :y=− x2+bx+c运动，当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的
2 8
高度为7米．
(1)求抛物线C 的函数解析式；
2
(2)当运动员与点A的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
(3)运动员从A点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？
题型06 球类飞行轨迹
【例6】（2023·河南洛阳·统考二模）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，如图①是一名男生投实心
球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y （米）与水平距离 x（米）之间的函数关系如图②所示，
9 25
掷出时起点处高度为2米，当水平距离 米时，实心球行进至最高点： 米处．
2 8
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据该市2023年中考体育考试评分标准（男生） ，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大
于等于12.4米，此项考试得分为满分17分，按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
【变式6-1】（2023·河南驻马店·驻马店市第二初级中学校考二模）某班级在一次课外活动中设计了一个弹
珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平地面上）．同学们受游戏启发，将弹珠抽象为一个动点，并建
立了如图所示的平面直角坐标系（x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形DEFG为箱子的截
3
面示意图），某同学将弹珠从A(1,0)处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线L:y=ax2+bx+ (单位长度为1m)
2
3
的一部分，且当弹珠的高度为 m时，对应的两个位置的水平距离为2m．已知DE=1m，EF=0.6m，
2
DA=4.7m．
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(1)求抛物线L的解析式和顶点坐标．
(2)请判断该同学抛出的弹珠是否能投人箱子．若能，请通过计算说明原因；若不能，在不改其它条件的情
况下，调整EF的高度，使得弹珠可以投入箱子，请直接写出EF的取值范围．
【变式6-2】（2023·河北保定·统考一模）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的B
处发出，球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水
平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米，已知OB=m米，排球场的边界点A距O点的水平距离OA为
1
18米，球网EF高度为2.4米，且OE= OA．
2
(1)C点的坐标为 （用含m的代数式表示）
(2)当m=2时，求抛物线的表达式．
(3)当m=2时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
(4)若运动员调整起跳高度，使球在点A处落地，此时形成的抛物线记为L ，球落地后立即向右弹起，形成
1
另一条与L 形状相同的抛物线L ，且此时排球运行的最大高度为1米，球场外有一个可以移动的纵切面为
1 2
8
梯形的无盖排球回收框MNPQ（MQ∥PN），其中MQ=0.5米，MN=2米，NP= 米，若排球经过向
9
右反弹后沿L 的轨迹落入回收框MNPQ内（下落过程中碰到P、Q点均视为落入框内），设M点横坐标的
2
最大值与最小值的差为d，请直接写出d的值．
题型07 喷泉问题
【例7】（2023·山东临沂·统考一模）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．
可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象
为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度EF=0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得
到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m、高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离OD为d
（单位：m）
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(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围
【变式7-1】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的
周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物
处汇合．如图所示，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式；
(2)主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在
离水池中心多少米以内？
(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径
扩大到24米（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
【变式7-2】（2023·安徽芜湖·统考三模）消防车中的高喷消防车，采用曲臂加伸缩结构，顶端装有消防炮，
其液控炮既可喷射水也可喷射泡沫，具有射程远，流量大的特点．该车主要作业于油田、高层建筑、石化
企业等地方的灭火救援和处置工作．在一次模拟高层建筑起火救援中，消防炮喷水口A距离地面35米，距
离大楼起火侧面20米，喷出水柱呈抛物线形，水柱最高处B距离地面50米，距离大楼起火侧面5米，如
图所示建立平面直角坐标系．
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(1)求出水柱所在抛物线的解析式；
(2)目前火焰不断从第17层窗口窜出，若每层楼约2.9米高，窗台高度约为0.9米，窗顶距离该层地面高度
约2.4米，此时水柱能否射入该层窗口？
(3)火势已经向上蔓延到距离地面55米处，高喷消防车最后一节伸缩臂CA按原来方向（与水平方向夹角约
为53°）伸长了一截（不超过12米），为阻止火势进一步蔓延，伸缩臂应该伸长几米？（伸缩臂伸长时间
忽略，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
【变式7-3】（2023·广东深圳·深圳实验学校校考模拟预测）某公园要在小广场上建造一个喷泉景观.在小
广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子OA，安置于柱子顶端A处的喷水向外喷水，水
流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水
流形状较为美观，设计成水流在距OA的水平距离为1米时到达最大高度，此时离地面2.25米．
(1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OA水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，
求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此
时他离花形柱子OA的距离为d米，则d的取值范围是______________；
(3)在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距
离．为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3
所示，光线交汇点P在花形柱子OA的正上方，其中光线BP所在的直线解析式为y=−x+4，求光线与抛
物线水流之间的距离．
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题型08 图形问题
【例8】（2022·福建南平·统考一模）如图，某中学把五育并举与减负延时服务相结合，劳动课准备在校园
里利用校围墙的一段再围三面篱笆，形成一个矩形茶园ABCD，让学生在茶园里体验种茶活动．现已知校
围墙MN长25米，篱笆40米长（篱笆用完），设AB长x米，矩形茶园ABCD的面积为S平方米．
(1)求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)当矩形茶园ABCD的面积为200平方米时，求AB的长．
【变式8-1】（2022·北京海淀·人大附中校考模拟预测）数学活动课上，老师提出问题：如图1，有一张长
4dm，宽3dm的长方形纸板，在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无
盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大．
下面是探究过程，请补充完整：
(1)设小正方形的边长为xdm，体积为ydm3，根据长方体的体积公式得到y和x的关系式为______；
(2)确定自变量x的取值范围是______；
(3)列出y与x的几组对应值．
1 1 3 1 5 3 7 9 5
x/dm … 1 …
8 4 8 2 8 4 8 8 4
y/dm3 … 1.3 2.2 2.7 3.0 2.8 2.5 1.5 0.9 …
（说明：表格中相关数值均精确到0.1）
(4)为观察y与x之间的关系，建立坐标系（图2），以x为横坐标，y为纵坐标，描出表中数据对应的点，
并用平滑的曲线连接它们；
(5)结合画出的函数图象，解决问题：要使得长方体盒子的体积最大，小正方形的边长约为______dm．（精
确到0.1）
【变式8-2】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）为了增加校园绿化，学校计划建造一块边长为40m的正方形
花坛种植“两花一草”，如图，取四边中点，构成正方形EFGH（甲区域），在四个角落构造4个全等的
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矩形（已区域），甲、乙两区域种植不同花卉，剩余区域种植草坪．
(1)经了解，甲区域建造费用为50元/m2，乙区城建造费用为80元/m2，草坪建造费用为10元/m2，设每个矩
形的面积为xm2，建造总费用为y元，求y关于x的函数关系式；
(2)当建造总费用为74880元时，矩形区城的长和宽分别为多少米？
(3)甲区域建造费用调整为40元/m2，乙区域建造费用调整为a元/m2（a为10的倍数），草坪建造单价不变，
最后建造总费用为55000元，求a的最小值．
【变式8-3】（2023·新疆·二模）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x
轴上，且AB=8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC=8dm．现计划将此余料进行
切割：
(1)求抛物线解析式；
(2)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；
(3)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长．
【变式8-4】（2023·安徽六安·校联考一模）如图，在边长2为的正方形ABCD中，P是BC边上一动点
（不含B，C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处，在CD上有一点M，使得将△CMP沿直
线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．
(1)求证：△CMP∽△BPA．
(2)求△CNP的周长．
(3)求线段AM长度的最小值．
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题型09 图形运动问题
【例9】（2023·吉林松原·校联考二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,BC=9cm,AB=15cm．动点
P从点A出发，以4cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动．以PA为一边作∠APQ=90°，另一边PQ与射
线AC相交于点Q，以AP,AQ为边作平行四边形APMQ．设点P的运动时间为x(s)，平行四边形APMQ
与△ABC重叠部分图形的面积为y(cm2)．
(1)当点Q在边AC上时，AQ的长为____________cm；(用含x的代数式表示)
(2)当点M落在边BC上时，求x的值；
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【变式9-1】（2023·吉林松原·校联考三模）如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，
AC=8cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以1cm/s的速度运动到点C停止，在运动
过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°
（点M，C位于PQ异侧），设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2
）．
(1)如图2，当点M落在AB上时，x=_______；
(2)求点M落在AD上时x的值；
(3)若M点在AD下方时，求重叠部分面积y与运动时间x的函数表达式．
【变式9-2】（2023·吉林松原·校联考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3cm，动点P，Q同
时出发，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线AB−BC−CD运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度沿
AC向终点C运动，当点Q到达点C时，P，Q两点同时停止运动，连结AP，PQ．设点P的运动时间为
t(s) (t>0)，△PAQ的面积为S(cm2 )．
(1)当点P与点C重合时，t=________s；
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(2)求S与t之间的函数关系式；
(3)当CP=CQ时，直接写出t的值．
【变式9-3】（2023·山西运城·山西省运城中学校校考三模）在△ABC中，∠A=90°，AB=8cm，
AC=6cm，点M，点N同时从点A出发，点M沿边AB以4cm/s的速度向点B运动，点N从点A出发，沿
边AC以3cm/s的速度向点C运动，（点M不与A，B重合，点N不与A，C重合），设运动时间为xs．
(1)求证：△AMN∽△ABC；
(2)当x为何值时，以MN为直径的⊙O与直线BC相切？
(3)把△AMN沿直线MN折叠得到△MNP，若△MNP与梯形BCNM重叠部分的面积为y，试求y关于x的
函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
题型10 二次函数综合问题
类型一 线段、周长问题
【例10】（2022·广东深圳·坪山中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a(x+1) 2−4a
经过点D(−2,3)，与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找到一点E，使得△BCE的周长最小，求出这个最小值；
(3)连接AC，在第一象限的抛物线上找一点P，使得点P到x轴的距离和点P到直线AC的距离相等，求点
P的坐标．
【变式10-1】（2023·广东湛江·校考一模）抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(−3,0),B(1,0)，与y轴
交于点C．
(1)
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(2)求抛物线的解析式
(3)在抛物线对称轴上找一点M，使△MBC的周长最小，并求出点M的坐标和△MBC的周长
(4)若点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥BC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、
C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
【变式10-2】（2023·广东潮州·一模）如图，直线y=−2x+3交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线
y=−x2+bx+c经过A，C两点，且A(−1，0)．
(1)求抛物线的解析式．
(2)P是抛物线第一象限内的一个动点，过P作PH⊥BC于H，求PH+2HB的最大值．
(3)M是抛物线对称轴上的一个动点，连接MB，把线段MB沿着直线BC翻折，M的对应点M'恰好落在抛
物线上，求M点坐标．
1
【变式10-3】（2022·湖北恩施·统考模拟预测）如图，已知抛物线y= (x+h) 2+k．点A(−1,2)在抛物线
4
( 5)
的对称轴上，B 0, 是抛物线与y轴的交点，D为抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C．
4
(1)直接写出h，k的值；
(2)如图，若点D的坐标为(3,m)，点Q为y轴上一动点，直线QK与抛物线对称轴垂直，垂足为点K．探求
DK+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图，连接AD，AC，若∠DAC=60°，求点D的坐标．
类型二 面积周长问题
1
【例11】（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=− x2+bx+c
2
与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中OA=2，b−c=−4．
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(1)求B，C的坐标；
S
(2)如图②，点D是第一象限内抛物线上的动点，连接OD，BC，BD，OD交BC于点E，当 △DBE 的值
S
△OBE
S
最大时，求此时点D的坐标及 △DBE 的最大值．
S
△OBE
【变式11-1】（2022·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，抛物线y=−x2+bx+c经过原点O(0,0)和点
A(4,0)，它的对称轴交抛物线于点B．C,D两点在对称轴上（点C在D的上方），且关于点B对称，直线
OD交抛物线于点E，连接OC,CE．
(1)求抛物线的解析式；
21
(2)如图（1），若△OCE的面积为 ，求点D的坐标；
2
(3)如图（2），若∠OEC=90°，求点D的坐标．
【变式11-2】（2022·福建南平·统考一模）已知抛物线y=x2−2ax+a2+2a−3，直线l:y=x+a．
(1)记抛物线的顶点为N(p,q)，求q关于p的函数关系式；
(2)设直线l与抛物线相交于点A,B，在点A,B之间的抛物线上有一动点P．求△PAB的面积的最大值．
类型三 角度问题
2
【例12】（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知抛物线L:y=− x2+bx+c与y轴的交点为C(0,2)，与x轴
3
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的交点分别为A(3,0)、B(点A在点B右侧).
(1)求抛物线的表达式.
(2)将抛物线沿x轴向左平移m(m>0)个单位，所得的拋物线与x轴的左交点为M，与y轴的交点为N，若
∠NMO=∠CAO，求m的值.
1
【变式12-1】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=− x+2与x轴
2
1
交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=− x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．
2
(1)求该抛物线的解析式．
(2)若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时，求点D的坐标．
(3)已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当EF∥OB，且以B，O，E，F为顶点的四边形是平行
四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．
【变式12-2】（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−4
与x轴交于点A(−4,0)和点B(2,0)，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)如果点D的坐标为(−8,0)，连接AC、DC，点P为抛物线上一点，当∠OCP=∠DCA时，求点P的
坐标．
类型四 特殊三角形问题
【例13】（2022·陕西西安·校考模拟预测）已知经过原点O的抛物线y=−x2+4x与x轴的另一个交点为
A．
(1)求点A的坐标及抛物线的对称轴；
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(2)点B是OA的中点，点N是y轴正半轴上一点，在第一象限内的抛物线上是否存在点M，使得△OMN与
△OBM全等，且点B与点N为对应点，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式13-1】（2023·广东湛江·统考三模）如图，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线
y=−x2−2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
(1)如图①，连接BC，在y轴上存在一点D，使得△BCD是以BC为底的等腰三角形，求点D的坐标；
(2)如图②，在抛物线上是否存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；
若不存在，请说明理由；
(3)如图③，连接BC，在直线AC上是否存在点F，使△BCF是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出点
F的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)如图④，若抛物线的顶点为H，连接AH，在x轴上是否存在一点K，使△AHK是等腰三角形？若存在，
求出点K的坐标；若不存在，请说明理由；
(5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△ACG是等腰三角形？若存在，求出点G的坐标；若不
存在，请说明理由．
类型五 特殊四边形问题
【例14】（2022·河南南阳·统考一模）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．
直线y=x−5经过点B，C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线y=t交抛物线于点P、Q，抛物线的顶点为D，四边形DPEQ为菱形．
①当t=3时，求菱形DPEQ的面积；
②当点E落在△ABC内部（不含边上）时，直接写出t的取值范围．
【变式14-1】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线
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l:x=−1，且与y轴的交点坐标为(0,−1)，直线l与x轴相交于点C．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作PA⊥x轴，PB⊥l，垂足分别为A，B．设
点P的横坐标为m．当四边形APBC为正方形时，求m的值．
【变式14-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以点C(1,1)为圆心，2为
半径作圆，交x轴于A，B两点，点P在⊙C上．
(1)求出A，B两点的坐标；
(2)试确定经过A、B两点且以点P为顶点的抛物线解析式；
(3)在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说
明理由．
21
