考点13指数与对数的运算（原卷版）_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料_备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）8.2更新

考点 13 指数与对数的运算 【命题解读】 学生应指数幂的含义及运算法则，实数指数幂的意义；理解对数的概念及其运算性质，换底公式使用 方法，对数函数的概念、图象与性质； 【基础知识回顾】 1．根式 (1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ a r ＋ s；(ar)s＝ a r s；(ab)r＝ a r b r，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q． 3．对数的概念 如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log N ＝ b ，其中__a__叫做对数的底数， a __N__叫做真数． 4．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①log (MN)＝log M ＋ log N；②log ＝log M － log N； a a a a a a log ③log a Mn＝ n log a M (n∈R)；④ amMn＝log a M． (2)对数的性质 log ①a a N＝__N__；②log aN＝__N__(a>0且a≠1)． a (3)对数的重要公式 ①换底公式：log N＝ (a，c均大于零且不等于1)； a ②log b＝，推广log b·log c·logd＝log d． a a b c a1、设a， b， c均为不等于1的正实数， 则下列等式中恒成立的是 log b·log blog a log b·log alog b A． a c c B． a a a log (bc)log blog c C． D． a a a 2、 = A． B． C． 2 D． 4 3、化简4a·b－÷的结果为( ) A．－ B．－ C．－ D．－6ab 4、(多选)已知a＋a－1＝3，在下列各选项中，其中正确的是( ) A．a2＋a－2＝7 B．a3＋a－3＝18 C．a＋a－＝± D．a＋＝2 5、 的值是____________． 6、计算：log [4log 10－(3)－7log 2]＝________． 5 2 7 7、（2012北京）已知函数 ，若 ，则 ． 考向一 指数幂的运算 例1 化简下列各式(其中各字母均为正数)． (1)＋0.002－－10(－2)－1＋π0 (2)(a>0，b>0) (3) －π0；(4) 变式1、．计算下列各式的值： （Ⅰ） ； （Ⅱ） ． ． 变式2、已知 ＝3，求 的值． 方法总结：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，这时要注 意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 考向二 对数的运算 例1、（1）化简：＝________． （2）化简：2 3+log¿¿0.54¿ ¿¿¿＝________． （3）设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )A. B. C. D. ． 变式1、 化简下列各式： (1)lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1； (2)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25； (3)计算(log 2＋log 2)·(log 3＋log 3)； 3 9 4 8 （4）2log 2－log ＋log 8－3log 5； 3 3 3 5 变式2、(1)2log 2－log ＋log 8－ ； 3 3 3 (2)(log 125＋log 25＋log 5)·(log 2＋log 4＋log 8)． 2 4 8 5 25 125 方法总结：对数的运算主要是要熟练掌握三条运算性质，不能把公式记错，当然也有一定的运算技巧，例 如： (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后 利用对数运算性质化简合并； (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数 的积、商、幂的运算． 考向三 指数是与对数式的综合 例3 (1)已知a，b，c均为正数，且3a＝4b＝6c，求证：＋＝ ； (2)若60a＝3，60b＝5，求 的值． 变式1、设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于________. 方法总结： 这是一道关于指数式与对数式的混合问题，求解这类问题，以下两点值得关注： 1. 根据对数的定义，对数式与指数式能够相互转化，其解答过程体现了化归与转化的数学思想，其 核心是化生为熟、化难为易、化繁为简，困难之处在于将指数由“高”降“低”，便于进一步计算，这是 指、对数运算经常使用的方法．x,y 1、（2013浙江）已知 为正实数，则 2lgxlgy 2lgx 2lgy 2lg(xy) 2lgx2lgy A． B． 2lgxlgy 2lgx 2lgy 2lg(xy) 2lgx2lgy C． D． 2、（2020全国Ⅰ文8）设 ，则 （ ） A． B． C． D． 3、（2017新课标Ⅰ）设 为正数，且 ，则 A ． B ． C ． D ． 4、（2017北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为 ，而可观测宇宙中普通物质的原 子总数 约为 ．则下列各数中与 最接近的是 （参考数据： ≈0．48） A． B． C． D． 5、（2020全国Ⅰ理12）若 ，则 （ ） A． B． C． D． 6、 化简下列各式： (1)[(0.064)－2.5]－－π0；(2)a·b－2·÷.