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考点 13 函数的图像（3 种核心题型+基础保分练+综合提升
练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.会画简单的函数图象.
3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．
【知识点】
1．利用描点法作函数图象的方法步骤：列表、描点、连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)―――――→y＝ － f ( x )．
②y＝f(x)―――――→y＝ f ( － x ) ．
③y＝f(x)―――――→y＝ － f ( － x )．
④y＝ax (a>0，且a≠1)―――――→y＝log x ( a >0 ，且 a ≠ 1) ．
a
(3)翻折变换
①y＝f(x)―――――――――→y＝ | f ( x ) |.
②y＝f(x)――――――――――→y＝ f ( | x |) ．
常用结论
1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．
如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．
2. 函数图象自身的对称关系
(1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝
对称．
(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．
3．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
【核心题型】
题型一 作函数图象
函数图象的常见画法及注意事项
(1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图．
(2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画．
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，
则可利用图象变换作图．
(4)画函数的图象一定要注意定义域．
【例题1】（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)画出函数 的图象；
(2)求关于 的不等式 的解集．
【答案】(1)图像见解析
(2)
【分析】（1）分类去绝对值得分段函数 的解析式，进而可作出函数 的图象；
（2）法一：分类去绝对值，解不等式即可求得 的解集.
法二：求得 与 的解，数形结合可求得 的解集.
【详解】（1）由 ，解得 或 ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
画出函数 的图象如图所示．
（2）法一：当 时，原不等式转化为 ，得 ；
当 时，原不等式转化为 ，得 ；
当 时，原不等式转化为 ，无解．
综上，原不等式的解集为 ．
法二：当 时，解得 ，
当 时，解得 ，数形结合可知，当 时，
即原不等式的解集为
【变式1】（2024·陕西西安·二模）设函数 .
(1)在坐标系中画出函数 的图象；
(2)若 对任意 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2) .
【分析】（1）根据题意求出 的分段函数解析式，作出图像，从而可求解.
（2）由（1）中图像可知 ，即 任意 对从而可求解.
【详解】（1）由题意得 ，作出图象，如图所示，
（2）由（1）知 ，所以 对任意 恒成立，
即 ，解得 或 ，
所以 的取值范围为 .
【变式2】（2024·四川南充·二模）已知函数 ．(1)当 时，画出 的图象，并根据图象写出函数 的值域；
(2)若关于x的不等式 有解，求a的取值范围．
【答案】(1)图象见解析，
(2)
【分析】（1）分类讨论求出函数的解析式画图求值域即可；
（2）利用绝对值三角不等式求出函数 的最小值，不等式有解的问
题，只需 ，求解即可.
【详解】（1）当 时， ，
所以 ，作出图象如图所示：
函数 的值域为： .（2）关于x的不等式 有解，
所以 有解，
由绝对值三角不等式得 ，
所以 ，所以 ，
所以 或 ，
所以a的取值范围为：
【变式3】（2024·陕西西安·三模）已知函数 （其中 ）．
(1)在给定的平面直角坐标系中画出 时函数 的图象；
(2)求函数 的图象与直线 围成多边形的面积的最大值，并指出面积最大时 的值．
【答案】(1)作图见解析；
(2)最大值为 ， .
【分析】（1）把 代入，再画出函数图象即可.
（2）作出函数 与直线 围成多边形，并求出面积表达式，再求出最大值即得.
【详解】（1）当 时， ，在坐标平面内作出函数 的图象，如图：
（2）依题意， ，其图象如图：
令 ，得函数 的图象与直线 的两个交点 ，
直线 与直线 交于点 ，
显然 ，即点 ，
函数 的图象与直线 围成多边形为四边形 ，其面积为：
，
显然函数 在 上单调递增，当 时， ，所以函数 的图象与直线 围成多边形的面积的最大值为 ，此时
题型二 函数图像的识别
识别函数的图象的主要方法
(1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断．
(2)利用函数的零点、极值点等判断．
(3)利用特殊函数值判断．
【例题2】（2024·四川成都·三模）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性排除两个选项，再根据 时的函数值为正排除余下两个中
的一个即得.
【详解】函数 的定义域为 ， ，
函数 是奇函数，图象关于原点对称，BD不满足；
当 时， ，则 ，C不满足，A满足.
故选：A
【变式1】（2024·湖北·模拟预测）函数 的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据 时 的单调性可排除BC；再由奇偶性可排除D.
【详解】 ，
因为当 时， 都为增函数，
所以， 在 上单调递增，故B，C错误；
又因为 ，
所以 不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误.
故选：A
【变式2】（2024·全国·模拟预测）函数 的部分图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】利用排除法，根据函数奇偶性排除A；分别取 ， ，结合函数
符号排除CD.
【详解】由题意可知： 的定义域为R，关于原点对称，
且 ，
所以 为奇函数，其图象关于原点对称，排除A；
当 时， ，所以 ，排除D；
当 时， ，所以 ，排除C．
故选：B
【变式3】（多选）（2024·安徽合肥·一模）函数 的图象可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系，结合函数的性质即可求解.
【详解】由题意可知，函数 的定义域为 ，当 时， ，函数 在 上单调递增，故B正确；
当 时， ， ，所以在 上单调递增，故D正确；
当 时，当 时， ；当 时， ；
故A正确；C错误.
故选：ABD.
题型三 函数图象的应用
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时
常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．
命题点1 利用图象研究函数的性质
【例题3】（2023·贵州·模拟预测）已知函数 ，下列结论正确的是（ ）
A． 是偶函数
B． 在 上单调递增
C． 的图象关于直线 对称
D． 的图象与 轴围成的三角形面积为2
【答案】C
【分析】去掉绝对值，得到 ，画出其图象，进而判断出四个选项.
【详解】A选项， ，
画出其函数图象，如下：故 不是偶函数，A错误；
B选项， 在 上单调递减，故B错误；
C选项， 的图象关于直线 对称，C正确；
D选项， 的图象与 轴围成的三角形面积为 ，D错误.
故选：C
【变式1】（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）若函数 为奇函数，且在 单调递减，
则下列函数在 一定单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意判断函数 的性质，作出大致图象，利用函数图象的平移以及伸缩变换，
可得答案.
【详解】由题意函数 为奇函数，且在 单调递减，
则函数 关于点 对称，且在 上都是单调递减，
作出其图象示意图如图：对于A， 图象是将 的图象向右平移一个单位得到，在 上的单调性
不确定，故A不正确；
对于B， 的图象是由 的图象关于y轴对称，再向右平移一个单位得到，
作出其示意图：
可知 在 上的单调性不确定，故B不正确；
对于C， 是将 的图象横坐标缩短到原来的 ，再向右平移 个单位，
结合 图象可知， 在 上的单调性不确定，故C不正确；
对于D， 的图象是由 的图象关于y轴对称，再向左平移一个单位得到，
作出其示意图：可知 在 上的单调递增，故D正确；
故选：D
【变式2】（多选）（22-23高三上·湖北·阶段练习）已知函数 ， ，下
列判断中，正确的有（ ）
A．存在 ，函数 有4个零点
B．存在常数 ，使 为奇函数
C．若 在区间 上最大值为 ，则 的取值范围为 或
D．存在常数 ，使 在 上单调递减
【答案】BC
【分析】把 表示为分段函数，分类讨论作出函数图像，数形结合研究函数的奇偶性、
单调区间、最值等性质.
【详解】函数 函数图像如图所示：由图像可知，函数 的图像与直线 不可能有4个交点，所以不存在 使函数
有4个零点，A选项错误；
当 时， ，函数定义域为R， ，此时 为
奇函数，B选项正确；
当 或 时， 在区间 上单调递增，最大值为 ；
当 时， ， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，最大值
为 ，不合题意；
当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上
单调递增，若最大值为 ，则有 ，即 ，由 ，所以
，解得 ；
综上， 在区间 上最大值为 ，则 的取值范围为 或 ，C选项
正确；
若 在 上单调递减，则有 ，不等式组无解，故不存在常数 使 在
上单调递减，D选项错误；
故选：BC
【变式3】（多选）（2023·全国·模拟预测）小菲在学校选修课中了解了艾宾浩斯遗忘曲线．
为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量y与时间 （单位：天）之间的函数关系 ．则
下列说法中正确的是（ ）
A．随着时间的增加：小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C． 天后，小菲的单词记忆保持量不低于40%
D． 天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
【答案】AB
【分析】根据艾宾浩斯遗忘曲线对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由函数解析式和图象可知 随着 的增加而减少，故A正确．
由图象的减少快慢可知：第一天小菲的单词记忆保持量下降最多，B正确．
当 时， ，
则 ，
即 天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C错误．
，故D错误．
故选：AB
命题点2 利用图象解不等式
【例题4】（23-24高三下·山西·阶段练习）已知函数 若，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出函数图象，根据单调性得到不等式解出即可.
【详解】画出 的图象如图所示，由图可知 在 上单调递增，
又 ，所以 ，解得 .
故选：D.
【变式1】（22-23高三上·贵州贵阳·开学考试）已知函数 若关于
的不等式 恒成立， 则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ，由题可知直线 要在函数 的图象的下
面，利用数形结合即得.
【详解】∵ ，设 ，则 恒成立，
作出函数 与 的大致图象，
由 可知过定点 ，则过 的直线要在函数 的图象的下面，
由图象可知当 与 相切与 点时为一个临界值，
把 代入 ，可得 ，
由 ，可得 或 (舍去)，
当过 的直线经过 时为另一个临界值，此时 ，
所以 .
故选：C.
【变式2】（2023·安徽·模拟预测）定义在 上的函数 满足：对 ，
且 都有 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】由题可得 单调递增，又
，结合图象可得解集.
【详解】根据题意：当 时，
，
当 时,
可得函数 在 单调递增.
则
，
在同一坐标系中画出 与 图象.
得 ，则不等式的解集为 ，
故选：B.【变式3】（2023·四川成都·模拟预测）定义：设不等式 的解集为M，若M中只有
唯一整数，则称M是最优解．若关于x的不等式 有最优解，则实数
m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将不等式转化为 .设 ， ，根据
的取值范围分类，作出 的图象，结合图象，即可求得 的取值范围.
【详解】 可转化为 .
设 ， ，则原不等式化为 .
易知m＝0时不满足题意.
当m>0时，要存在唯一的整数 ，满足 ，
在同一平面直角坐标系中分别作出函数 ， 的图象，如图1
所示则 ，即 ，解得 .
当m<0时，要存在唯一的整数 ，满足 ，
在同一平面直角坐标系中分别作出函数 ， 的图象，如图2
所示
则 ，即 ，解得 .
综上，实数m的取值范围是 .
故选：D
命题点3 利用图象求参数的取值范围
【例题5】（2024·四川泸州·三模）已知函数 （ ）在 有且仅
有三个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】当 时， ，依题意有 ，解出即可.【详解】因为 ，所以 ，
因为函数 （ ）在 有且仅有三个零点，
结合正弦函数的图象可知 ，
解得 ，
故选：B.
【变式1】（2024·山西长治·一模）已知函数 的部分
图象如图所示，若方程 在 上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数 的解析式，再分析 在
上的图象性质即可得解.
【详解】观察图象知， ，函数 的周期 ， ，
由 ，得 ，而 ，则 ，
于是 ，当 时， ，
当 ，即 ，函数 单调递减，函数值从 减小到 ，当 ，即 时，函数 单调递增，函数值从 增大到 ，
显然函数 的 上的图象关于直线 对称，
方程 在 上有两个不相等的实数根，即直线 与函数 在 上
的图象有两个公共点，
所以实数m的取值范围是 .
故选：B
【变式2】（2024·安徽合肥·二模）已知函数 ，若关于 的方程
至少有两个不同的实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】作出函数的图象，由题意可得 的图象与 至少有两个不同的交点，
从而得 ，结合图象可得 ，求解即可．
【详解】因为 ，
作出函数的图象，如图所示：由此可知函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
且 ， ，
又因为关于 的方程 至少有两个不同的实数根，
所以 至少有两个不同的实数根，
即 的图象与 至少有两个不同的交点，所以 ，
又因为当 时， ，令 ，可得 ；
当 时， ，令 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，解得 ．故选:D
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若关于 的方程
有3个不相等的实数根，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用分段函数，指数函数，对数函数的性质作出函数 的图象，结合图象，从
而确定 的取值范围.
【详解】由 的解析式作出 的大致图像．如图所示：
方程 有3个不等实数根等价于 的图象与直线 有3个不同的公共点，则
．故答案为：
【课后强化】
基础保分练一、单选题
1．（2024·辽宁抚顺·三模）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用导数判断函数的单调性即可得到函数的大致图象.
【详解】易知 ，因为 ，令 ，得 ，或 ，
则 时， ， 时， ，
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
所以选项A符合题意,
故选：A.
2．（2024·海南·模拟预测）已知正实数 满足 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用数形结合法，根据题意结合图象交点分析判断.
【详解】因为 ，即 ，由题意可知： 为 与 的交点横坐标；
为 与 的交点横坐标；
为 与 的交点横坐标；
在同一平面直角坐标系中作出 的图象，
由图可得： .
故选：D.
3．（2024·全国·模拟预测）若方程 在区间 上有解， ，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把方程 在区间 上有解，转化为函数 的
图像与直线 在区间 上有交点，根据函数单调性，分类讨论分别求出最值求解即
可
【详解】因为方程 ，即 在区间 上有解，设函数 ，则函数 的图像与直线 在区间 上有交点．
因为 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．
当 时，在区间 上， ， ，
则 ，解得 ．
当 时，因为 ， ， ．
则 ，解得 ，又 ，所以 ，
则 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围为 ．
故选：A．
4．（2024·陕西西安·模拟预测）以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（
）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用排除法，结合函数值的符号和定义域逐项分析判断．
【详解】根据题意，用排除法分析：
对于选项A： ，当 时，有 ，不符合题意；
对于选项B：当 时， ，不符合题意；
对于选项D： 的定义域为 ，不符合题意；
故选：C．
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，
，若函数 恰有6个零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用导数研究当 时，函数 的图象和性质，结合对数函数的图象及绝对值的意义作出函数 的大致图象，然后根据题意及一元二次方程根的分布得到关于
的不等式，解不等式即可得到实数 的取值范围．
【详解】当 时， ， ，
令 ，得 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
又 ， ，当 趋近于 时， 趋近于0，
结合对数函数的图象及绝对值的意义可作出函数 的图象如图所示．
令 ，则 ，数形结合可知要使 有6个零点，
则 有两个不相等的实数根 、 ，不妨令 ，有如下两种情况：
若 ，但 ，故排除此种情况，
若 ，对于二次函数 开口向上，又 ，则 ，
得 ，
综上，实数 的取值范围是 ．
故选：A
【点睛】关键点点睛：解决此类问题需注意以下几点：
（1）会转化，即会将问题转化为方程的根的问题，然后利用函数、方程、不等式的关系进
行解答；（2）会作图，即会根据基本初等函数的图象、图象的平移变换法则或函数与导数的关系画
出相关函数的大致图象；
（3）会观察，即会利用数形结合思想列方程（组）或不等式（组）．
二、多选题
6．（2023·山西·模拟预测）已知函数 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．函数 在 上单调递减
B．函数 的值域是
C．若方程 有5个解，则 的取值范围为
D．若函数 有3个不同的零点 ，则 的取值范围
为
【答案】BCD
【分析】AB选项，画出 的图象，数形结合得到函数的单调性和值域，得到A错误，B
正确；C选项，方程 有5个解，转化为 与 有5个交点，数形结合得
到 的取值范围；D选项，由零点个数得到 ，由对数函数的性质得到
，从而求出 的取值范围.
【详解】 ，画出 的图象，如下：
A选项，函数 在 和 上单调递减，不能说在 上单调递减，A错误；
B选项，函数 在 处取得最小值为 ，故值域是 ，B正确；
C选项，若方程 有5个解，则要满足 与 有5个交点，
故 ，所以 的取值范围为 ，C正确；
D选项，若函数 有3个不同的零点 ，则 ，
令 ，解得： ，
又 ，因为 在 上单调递增，
解得： ，即 ，
，
故 的取值范围为 .
故选：BCD
【点睛】方法点睛：
函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问
题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数
函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.
7．（2023·福建泉州·模拟预测）函数 的大致图像可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用函数的单调性和奇偶性，通过对 进行分类讨论，得出 的单调区间和奇
偶性，再逐一对各个选项即可得出结果.
【详解】因为 ，
所以 ，解得 ，故 定义域为 .
， ，
因为 时， 在区间 上恒成立，
所以 在区间 上单调递增.
当 时， ，此时 为奇函数，故选项B正确；
当 时， ，易知其图像为选项D，故选项D正确.
当 时，由 ，得 ，又 ，所以 ，即 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
综上可知， 在区间 上不严格单调递减，故选项A不正确；
当 时， ，此时 为偶函数，
且 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，故选项C正确，
故选：BCD.
三、填空题
8．（2023·北京房山·一模）设函数 给出下列四个结论：①函数
的值域是 ；② ，方程 恰有3个实数根；③ ，使得
；④若实数 ，且 .则
的最大值为 .其中所有正确结论的序号是 .
【答案】②③④
【分析】画出函数图象，结合图象对四个结论依次分析，即可求解结论.
【详解】因为函数 ，其图象如下图所示：
对于①，由图可知，函数 的值域不是 ，故①不正确；
对于②，由图可知， ，方程 恰有3个实数根，故②正确；对于③，当 时，使得有 成立，即 与 有交点，这
显然成立，故③正确；
对于④，不妨设互不相等的实数 满足 ，当满足
时，
由图可知 ，即 ，
，即 ，
所以 ，由图可知， ，
而 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，
则 的最大值为 ，故④正确.
故答案为：②③④.
9．（23-24高三上·河南漯河·期末）已知函数 ，若关于 的不等式
恰有一个整数解，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】由导数得出函数 的图象，讨论 与 的关系，结合图象得出实数 的取值范围.
【详解】当 时， ，所以 ，
所以 在 单调递增，由 ，
易得
故函数 的图象如下图所示：
由 得 ，
当 时，显然不成立；
当 时，解得 ，
要使得不等式只有唯一整数解，则 ，此时整数解 ；
当 时，解得 ，
要使得不等式只有唯一整数解，则 ，此时整数解 ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够通过分类讨论得到函数的图象，进而利用数形结
合思想确定整数解的取值，从而得到不等关系求得结果.
四、解答题
10．（2022高三上·河南·专题练习）设 ．
(1)在如图坐标系中作出函数 的图象，并根据图象求不等式 的解集；(2)若存在实数 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)作图见解析；
(2)
【分析】（1）根据函数的解析式，结合分段函数的性质，画出函数 的图象，结合图
象得到不等式 的解集；
（2）根据题意，不等式转化为 ，结合绝对值的性质，转化为不等
式 ，即可求解.
【详解】（1）解：由题意得，函数 ，
列表如下：
3 4
0 0 8 9
描点、连线，得函数 的图象如下：
由图可知，不等式 的解集为 ．（2）解：由 ，可得 ，
即 ，
因为 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围 ．
11．（23-24高三上·新疆阿克苏·阶段练习）定义域为R的奇函数满足 .
(1)求 解析式；
(2)求不等式 的解集.
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）根据奇函数的性质即可求解，
（2）利用函数的图象即可求解.
【详解】（1）当 时，则 ，故 ，
由于 为奇函数，所以 ，
又 ，故
（2）作出 图象如下：
由图象可知：当 或 时， ，
故 的解为 或
综合提升练
一、单选题
1．（23-24高三上·北京昌平·期末）设函数 的定义域为 ，则“
”是“ 为减函数”的（ ）
A．充分必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用函数的单调性及充分、必要条件的定义判定选项即可.
【详解】若 ，则 ，
作出函数图象，，
由图象可知 成立，但显然 不为减函数；
若 为减函数，又 ，则 ，
所以“ ”是“ 为减函数”的必要不充分条件.
故选：B
2．（2024·四川德阳·二模）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式化简 ，再利用函数奇偶性的定义判断 的奇偶性，从而得
解.
【详解】因为 ，定义域为 ，
又 ，
所以 是奇函数，从而ACD错误，B正确.故选：B.
3．（2024·四川·模拟预测）函数 的大致图象为（ ）
A． B． C．
D．
【答案】B
【分析】根据定义域、特殊值可以对选项进行排除，从而得到正确选项.
【详解】因为 的定义域为 ，故排除 ；
又 ，故排除 ；
，故排除D．
故选：B．
4．（2024·天津·二模）函数 的图象如图所示，则 的解析式可能为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据奇偶性判断A；验证 的值判断B；根据奇偶性、单调性判断C；根据单调
性判断D.
【详解】由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数 为奇函数，且 ，
对于A， ，为偶函数，故A错误；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，为奇函数，当 时， ，
因为 ， 在 为单调递增函数，所以 在 单调递增，故C
正确；
对于D，当 时， ， ，所以 时， ，
单调递增，当 时， ， 单调递减，故D错误，
故选：C.
5．（2024·四川成都·三模）若函数 大于0的零点有且只有一个，则实数 的
值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D【分析】根据题意，函数 有且仅有一个正零点，转化为方程 有且仅有一个正根，
令 ，利用导数研究函数单调性、极值，数形结合判断得解.
【详解】函数 有且仅有一个正零点，即方程 有且仅有一个正根，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
即函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，且 ，
时， ， 时， ， 时， ，可作出图象如
下，
方程 有且仅有一个正根，所以 .
故选：D.
6．（2024·陕西西安·一模）已知函数 ，若存在实数
满足 ，则错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】画出 的图象，根据图象可得 的取值范围，再根据图象的局部对称性可得
，且 ，故可判断各项的正误.
【详解】 ，
故 的图象如图所示，
考虑直线 与 图象的交点，
则 ，且 ， ，故BD正确.
由 可得 即 ，
整理得到 ，故C正确.
又 ，
由 可得 ，但 ，故 ，
故 ，故A错误.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：分段函数的零点问题，可先刻画其图象，根据图象的性质可得各零
点的性质，结合基本不等式等考虑目标代数式的范围等.
7．（2024·全国·模拟预测）函数 的大致图象是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性可判定A，C；当 时， ，可判定B，D.
【详解】 的定义域为 ，
， 函数 是奇函数，
的图象关于原点对称，排除A，C；
当 时， ，
（提示： ，故当 时， ，得 ）
， ，排除B．
故选:D．
8．（2024·北京顺义·二模）若函数 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据题意分析可知 为奇函数且在 上单调递增，分析可知 等价于
，即可得结果.
【详解】由题意可知： 的定义域为 ，且 ，
若 ，则 ，可知 ，
若 ，同理可得 ，所以 为奇函数，
作出函数 的图象，如图所示，
由图象可知 在 上单调递增，
若 ，等价于 ，等价于 ，等价于 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）若函数 的定义域为 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B． 是偶函数
C． D．若方程 有4个不同的实数根，则【答案】BCD
【分析】根据函数定义域的求解可判定A，根据函数奇偶性的定义即可判定B，根据对数的
运算即可判定C，根据导数求解函数单调性，即可结合函数的最值以及奇偶性作出函数图
象，结合函数图象即可求解D.
【详解】选项A：由对数函数可知 ，得 ，所以函数 的定义域
，所以A错误．
选项B：因为函数 的定义域 关于原点对称，
，所以 是偶函数，所以B正确．
选项C：因为 ，
，所以C正确．
对于D：因为 是偶函数，所以只需要讨论， 时函数 的情况即可，
当 时， ，所以 ，令 ，解得 ，
易知当 时， 单调递减，当 时， 单调
递增，
所以 的最小值为 ，且 时， ．作出 的大致图象和
直线 ，如图，若方程 有4个不同的实数根，则 的图象与直线 有4个不同的交
点，所以 的取值范围为 ． 所以D正确．
故选：BCD
10．（2024·云南昆明·一模）已知函数 ， ，则
（ ）
A．当 时， 有2个零点
B．当 时， 有2个零点
C．存在 ，使得 有3个零点
D．存在 ，使得 有5个零点
【答案】BCD
【分析】令 ，可得 ，结合图象分析方程 的根的分布，再结
合图象分析 的交点个数，即可得解.
【详解】由 的图象可知， 的值域为 ，
对于选项AC：令 ，
则 在 上恒成立，可知 在 上单调递增，则 ，
即 当且仅当 等号成立，
令 ，若 ，可得 ，
令 ，
当 ，则 ，可知 ；
当 ，结合图象可知当且仅当 ，方程 有根，解得 ；
即 或 ，结合图象可知：
有1个根； 有2个根；
综上所述：当 时， 有3个零点，故A错误，C正确；
对于选项B：令 ，若 ，可得 ，
令 ，即 ，
注意到 ，
由图象可知方程 有两个根为一根为 ，另一根不妨设为 ，
即 或 ，结合图象可知：
有1个根； 有1个根；
综上所述：当 时， 有2个零点，故B正确；对于选项D：令 ，若 ，可得 ，
令 ，即 ，
令 ，解得 ，
由图象可设方程 有三个根为 ，且 ，
即 或 或 ，结合图象可知：
或 有1个根； 有3个根；
综上所述：当 时， 有5个零点，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】易错点睛：利用数形结合求方程解应注意两点
1.讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但
用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解．
2.正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，
不要刻意去数形结合．
11．（2024·河北沧州·一模）已知函数 的定义域为 ，且 ，都有
， ， ， ，当时， ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．
C．
D．函数 与函数 的图象有8个不同的公共点
【答案】ABD
【分析】根据条件先得到函数的对称性及周期性，进而判断ABC，画出函数 与函数
的图象，根据图象观察交点个数即可判断D.
【详解】由 得函数 关于 对称，A正确；
由 得函数 关于 对称，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，故函数 的周期为 ，
由 知 ， ，
又 时， ，所以 ，解得 ，
所以 时， ，
所以 ，B正确；
，C错误；
画出函数 和函数 的图象，如图：，观察图象可得函数
与函数 的图像有8个不同的公共点，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）若不等式 或 只有一个整数解，则称不等式为
单元集不等式．已知不等式 为单元集不等式，则实数a的取值范围是
．
【答案】
【分析】不等式转化为 ，引入函数 ， ，
分类讨论作出函数图象，利用数形结合思想求解．
【详解】根据题意可转化为满足 的整数x的个数为1．
令 ， ，
当 时，作出函数 和 的图象，如图所示，
数形结合得， 的解集中整数的个数有无数多个，不符合题意；
当 时， ，所以 ，解得 ，只有一个整数解 ，
所以 符合题意；当 时，作出函数 和 的图象，如图所示，
要使 的整数解只有一个，只需满足 ，
即 ，结合 可得 ．
综上所述，实数a的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法：
（1）转化为函数最值问题，利用导数解决；
（2）转化为函数图像的交点问题，数形结合解决问题；
（3）参变分离法，结合函数最值或范围解决.
13．（2024 高三·上海·专题练习）已知函数 ，则不等式
的解集是
【答案】
【分析】首先根据函数 的图象判断函数的单调性，根据单调性求解不等式.
【详解】作出函数 的图像如图所示，由图可知，函数 在R上单调递增，因为 ，
所以 等价于 ，
即 ，解得 ，
所以不等式 的解集是 ．
故答案为：
14．（2022·北京海淀·三模）已知函数 ，给出下列四个结
论：
① 是偶函数；
② 有4个零点；
③ 的最小值为 ；
④ 的解集为 .
其中，所有正确结论的序号为 .
【答案】①②④
【分析】对于①：利用函数的奇偶性的定义直接判断；
对于②：令 ，直接解得；
对于③：利用图像法直接判断；对于④：直接解不等式 即可判断.
【详解】对于①：因为函数的定义域为 ，且 ，
所以 是偶函数.故①正确；
对于②：在 ，令 ，解得： ， ， ， .
所以 有4个零点.故②正确；
对于③：因为 是偶函数，所以只需研究 的情况. 如图示，作出 （
）和 的图像如图所示：
在 上，有 ，所以 ，即 的最小值大于 .故③错误；
对于④：当 时， 可化为：
当 时， ，解得： ；
当 时， ，解得： ；
综上所述： 的解集为 .故④正确.
故答案为：①②④
【点睛】（1）函数奇偶性的判断，通常用定义法；
（2）解三角不等式（方程），利用三角函数的单调性和特殊角的三角函数值.四、解答题
15．（2023·四川乐山·三模）已知函数 ．
(1)画出f（x）的图象，并写出 的解集；
(2)令f（x）的最小值为T，正数a，b满足 ，证明： ．
【答案】(1)作图见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）由绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号得分段函数解析式，然后分段作出
函数图象，由图象得不等式的解集；
（2）由（1）得最小值 ，然后用基本不等式得出 的范围，再用基本不等式得
，利用二次函数性质得 的范围，从而可得不等
式成立，注意等号取得的条件是否一致．
【详解】（1）由题，得 ，图象如图所示．由图可知， 的解集为 ．
（2）由（1）知，函数f（x）的最小值为 ，则 ．
只需证明 即可．
由已知， ， ，则 ，所以 ．
于是 ，
因为
，
由于 ，则 ，即 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立．
16．（2023·江西宜春·模拟预测）设 ， ，且a、b为函数 的
极值点
(1)判断函数 在区间 上的单调性，并证明你的结论；(2)若曲线 在 处的切线斜率为 ，且方程 有两个不等的实根，
求实数m的取值范围.
【答案】(1) 在区间 ， 上单调递增，证明见解析.
(2)
【分析】（1）求导得 ，则 ，利用韦达定理得 ，则
，分析出 ，根据其导数与单调性关系即可得到答
案.
（2）根据 求出 ，则 ，求导，求出其极值，作出其函数图象，利用直
线 与 交点个数即可得到答案.
【详解】（1）依题设方程 ，即方程
的两根分别为a、b∴
∴
因为 ，且 ，则 ，
∴ ，∴当 且 时， ，
∴ 在区间 ， 上单调递增.
（2）由 ，得 ，∴ ，∴ ，
时 或 ，当x在 上变化时， ， 的变化情况如下：0
0 + + 0
极小值
极大值
∴ 的大致图象如图,
∴方程 有两个不等根时，转化为直线 与函数 的图
象有两交点，
则 .
17．（2023·四川乐山·一模）已知 ， .
(1)若曲线 与直线 围成的图形面积为 ，求 的值；
(2)求不等式 的解集.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将 表示为分度函数的形式，结合图象以及围成图形的面积列方程，从
而求得 .
（2）对 进行分类讨论，由此求得不等式 的解集.【详解】（1）由题得 .
画出 及 得图象，如下图所示，
易知 ， ， ， .
，解得 .
（2）由（1）知 ，
当 时， 即为 ，得 ，与条件矛盾，此时不等式的解为 ；
当 时， 即为 ，得 ，此时不等式的解为 .
综上所述，原不等式的解集为 .
18．（2023·陕西榆林·模拟预测）已加 ．
(1)解不等式 ；
(2)令 ，若 的图象与 轴所围成的图形的面积为 ，求实数 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）去绝对值，结合一元一次不等式即可求解；（2）结合图像平移即可求解.【详解】（1） ，
当 时， ，解得 ，无解；
当 时， ，解得 ，所以 ；
当 时， ，解得 ，所以 ．
综上所述，不等式 的解集为 ．
（2）画出 的图象，由（1）知，阴影部分的面积为 ，
所以 的图象向下平移至阴影部分的上沿与 轴重合时，图形与 轴所围成图形的面积
恰为阴影部分的面积，即为 ，
此时函数 的图象向下平移的距离为3，故 ．
19．（2024·全国·模拟预测）设函数 ．(1)作出函数 的图象；
(2)若 的最大值为 ，正实数 满足 ，求 的最小
值．
【答案】(1)图象见解析
(2)
【分析】（1）分别在 、 及 的情况下，讨论得到 的解析式，由此
可得函数图象；
（2）结合图象可确定 ，化简已知等式得到 ，根据
，利用基本不等式可求得结果.
【详解】（1）当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
作出 的图象如下图所示，（2）由（1）可知：当 时， ，即 ，
，即 ，
（当且仅当 ，即
时等号成立），
.
拓展冲刺练
一、单选题
1．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）设函数 ，则 （ ）
A．是偶函数，且在 上单调递增 B．是奇函数，且在 上单调递减
C．是偶函数，且在 上单调递增 D．是奇函数，且在 上单调递减
【答案】B
【分析】根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，画函数图象，然后结合图象得函数的单调
区间.
【详解】因为函数 的定义域为R，且
，
所以 是奇函数，又 ，作出函数 图象如下图：由图知，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
故选：B
2．（23-24 高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数 ，若函数
有3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】转化为 与 图象有3个不同的交点，画出两函数图象，数形结合得到答
案.
【详解】令 ，故 ，
画出 与 的图象，
函数 有3个零点，即 与 图象有3个不同的交点，
则 ，解得 .
故选：D
3．（2024·全国·模拟预测）函数 的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先由根据图象，由 的奇偶性排除部分选项，再由 时，函数值的正反
判断.
【详解】解：因为 的定义域为 ，且 ，
是奇函数，排除选项B．
当 时， ，排除选项A，C．
故选：D．
4．（2023·天津河北·一模）函数 的导数为 ，则 的部分图
象大致是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对函数 求导可得 ，再由函数奇偶性可排除BD选项，再由余弦
函数图象性质可知C选项符合题意.
【详解】根据题意可得 ，
易知 的定义域为 ，且满足 ，
即可得 为奇函数，图象应关于原点对称，可排除BD；
利用余弦函数图象性质可知，当 时， ，该部分图象在 轴的上
方，可排除A，
C选项符合题意.
故选：C
5．（2022·全国·模拟预测）已知关于x的不等式 的解集中只有1个整数，
则实数a的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】由题可得不等式 仅有1个整数解，利用数形结合可得
，即求.
【详解】由题可知 ，
所以不等式 ，即 只有一个整数解，
令 ，不等式 仅有1个整数解，
令 ， ，则函数 图象上仅有1个横坐标为整数的点落在直
线 的下方，
∵ ，由 ，得 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，因为直线 恒过点 ，
作出函数 与直线 的大致图象，
由图象可知，这个点 ，可得 ，即 ．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是把问题转化为函数 与直线 的的
交点的位置问题，然后利用数形结合解决.
二、多选题6．（2024高三·全国·专题练习）（多选）小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，
为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记
忆保持量f（x）与时间x（天）之间的函数关系f（x）＝ 则下列说
法正确的是（ ）
A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C．9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%
D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
【答案】ABC
【详解】解析：由函数解析式可知f（x）随着x的增加而减少，故A正确；由图象可得B
正确；当1 ，故D错误．故选ABC.
7．（22-23高三下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数 ，则下列说法
正确的是（ ）
A． 的单调减区间为
B．若 有三个不同实数根 ， ， ，则
C．若 恒成立，则实数 的取值范围是D．对任意的 ， ，不等式 恒成立
【答案】BCD
【分析】对于A，作出函数 的图象即可判断；对于B，根据题意结合图象的对称性分
析运算即可判断；对于C，根据图象结合图象平移分析运算即可判断；对于D，利用作差法
计算证明即可.
【详解】对于A，作出函数 的图象，如图1所示：
由图可知， 的单调减区间为 ，但不能用并集符号链接，A错误；
对于B，根据题意作 交 于3点，并且三点的横坐标分别为 ，
不妨设 ，易知 关于 对称，所以 ，
又因为 ，所以 ，B正确；
对于C，当 时， 显然不成立， 不合题意，舍去；
当 时， 可以通过 向左平移 个单位得到，如图2 ，显然不成立，舍去；当 时， 可以通过 向右平移 个单位得到，如图3，
以射线 与 相切为临界.
即 ，则 ，
，解得 ，则 ，
综上所述，实数 的取值范围是 ，C正确；
对于D，对任意的 ，则 ，
，当且仅当 时，等号成立，
即 ，则 ，
，D正确.
故选：BCD.
三、填空题
8．（2024高三·全国·专题练习）若关于x的不等式 的解集中恰有2个整
数，则 的取值范围是 ．
【答案】【分析】将不等式变形为 ，构造函数 ，求导得其单调性，进
而结合函数的图象可得答案.
【详解】 ， 不等式 可化为 ，
令 ， ，
由 解得 ，由 解得 ，
在 为增函数， 在 为减函数，
令 ，则 的图象恒过 ，若解集恰有 个整数，
当 时，有无数个整数解，不满足题意；
当 时， 如图画出函数的大致图象，则两个整数为1和2，故2满足不等式且3不满足
不等式，
即 且 ，解得 ，
故答案为： .
9．（2024高三下·北京·专题练习）已知函数 ，则下列说法正确的
有
①． 的单调减区间为
②．若 有三个不同实数根 ， ， ，则
③．若 恒成立，则实数 的取值范围是④．对任意的 ， ，不等式 恒成立
【答案】②③④
【分析】对于①，作出函数 的图象即可判断；对于②，根据题意结合图象的对称性分
析运算即可判断；对于③，根据图象结合图象平移分析运算即可判断；对于④，利用作差
法计算证明即可.
【详解】对于①，作出函数 的图象，如图1所示：
由图可知， 的单调减区间为 ，但不能用并集符号链接，①错误；
对于②，根据题意作 交 于3点，并且三点的横坐标分别为 ，
不妨设 ，易知 关于 对称，所以 ，
又因为 ，所以 ，②正确；
对于③，当 时， 显然不成立， 不合题意，舍去；
当 时， 可以通过 向左平移 个单位得到，如图2 ，显然不成立，舍去；当 时， 可以通过 向右平移 个单位得到，如图3，
以射线 与 相切为临界.
即 ，则 ，
可得 ，解得 ，则 ，
综上所述，实数 的取值范围是 ，③正确；
对于④，对任意的 ，则 ，
则
，当且仅当 时，等号成立，
即 ，则 ，
所以 ，故④正确.
故答案为：②③④.
【点睛】方法点睛：利用函数与方程思想解决交点及根的问题的思路
（1）应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问
题转论为函数零点问题．
（2）含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决．
四、解答题10．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)画出 的图象；
(2)求不等式 的解集．
【答案】(1)作图见解析
(2)
【分析】根据绝对值的定义去绝对值，然后画出函数的图象，解绝对值不等式即可；
【详解】（1）由题知， ，①
作出 的图象如图所示．②
（2）由题知， 或 或 ，③解得 ， 原不等式的解集为
11．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数 .
(1)画出 的图象；
(2)求不等式 的解集．
【答案】(1)答案见解析
(2) 或 或 ．.
【分析】（1）化为分段函数，再作图；
（2）由图象解不等式 和 可得．
【详解】（1） ，
作出射线 和射线 ，再作出线段 即可得：（2）由 的表达式及图像，当 时，可得 或 ；
当 时，可得 或 ，
故 的解集为 ； 的解集为 或 ，
所以 的解集为 或 或
