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考点 16 二次函数与幂函数
【命题解读】
二次函数为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性
质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算
求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；
【基础知识回顾】
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如 y ＝ x α 的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，x，x为f(x)的零点.
1 2 1 2
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象
(抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点
坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
在上是减函数； 在上是增函数；
单调性
在上是增函数 在上是减函数
[常用结论与微点提醒]
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.
3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；
(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
1、幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是( )
【答案】C
【解析】(1)设幂函数的解析式为y＝xα，
因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，
所以2＝4α，解得α＝.
所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x<1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项，C正
确.
2、已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
【答案】A
【解析】 由f (0)＝f (4)，得f (x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f (0)>f (1)，f(4)>f (1)，∴f (x)先减后增，于是a>0，故选A
3、若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，2)
【答案】A
【解析】二次函数y＝kx2－4x＋2的对称轴为x＝，当k>0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是
增函数，只需≤1，解得k≥2.
当k<0时，<0，此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是
减函数，不符合要求．综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞)．
4、若函数y＝x2－3x＋4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围为( )
A．(0，4] B.
C. D.
【答案】C
【解析】y＝x2－3x＋4＝＋的定义域为[0，m]，显然，在x＝0时，y＝4，又值域为，根据二次函数图象的
对称性知≤m≤3，故选C.
5、不等式x2+a|x|+4≥0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．[0，+∞） B．[﹣4，+∞） C．[﹣4，4] D．（﹣∞，﹣4]
【答案】B
【解析】f（x）＝x2+a|x|+4为偶函数；
当a≥0，x＞0时，函数化为f（x）＝x2+ax+4，对称轴x＜0，f（0）＝4＞0，不等式恒成立；
当a＜0时，x＞0时，函数化为f（x）＝x2+ax+4，可得△＝a2﹣16≤0显然成立
解得﹣4≤a＜0，
综上a [﹣4，+∞）．
故选：∈B．.
6、(2017徐州、连云港、宿迁三检）已知对于任意的−1 ，都有 A ，则
实数B的取值范围是 ▲ ．
【答案】
【解析】 当 ，即 ， 时，满足题意；
当 ，即 ， 或 时，则 ，解之得 ，所以 ，又因为 或 ，所以 ，
综上所述，实数 的取值范围为 。
考向一 幂函数的图像与性质
1．幂函数y＝f(x)的图像过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的解析式为___________．
2．图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的图像．已知α取±2，±四个值，则相应 于
曲线C ，C ，C ，C 的α值依次为____________．
1 2 3 4
3．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞) 上
是增函数？
【答案】（1） ．
（2）2，，－，－2（3）m＝－1．
【解析】（1）令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝，∴ ．
（2）：2，，－，－2
（3）∵函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3是幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1．
当m＝2时，－5m－3＝－13，函数y＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；
当m＝－1时，－5m－3＝2，函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数．∴m＝－1．
变式1、已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为
( )
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
【答案】B
【解析】∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x在(0，＋∞)上是减函数，
∴∴n＝1，
又n＝1时，f(x)＝x－2的图象关于y轴对称，故n＝1.故选B.变式2、若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a<b<c B．c<a<b
C．b<c<a D．b<a<c
【答案】D
【解析】 因为y＝x在第一象限内是增函数，所以a＝>b＝，因为y＝是减函数，所以a＝<c＝，所
以b<a<c.故选D.
方法总结：(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析
式．
(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，
幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各
个幂函数的图象和性质是解题的关键．
考向二 一元二次函数的解析式
例2、（2）设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是________(填序号)．
（2）已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是
______．
（3）．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
【解析】（1）由①③④知，f(0)＝c＜0．
∵abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴x＝－＞0，
知①，③错误，④符合要求．
由②知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－＜0，②错误．
（2）作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，
则有
即解得－＜m＜0．
（3）法一(利用一般式)：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得
解得∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7．
法二(利用顶点式)：
设f(x)＝a(x－m)2＋n．
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的对称轴为x＝＝．
∴m＝．又根据题意函数有最大值8，∴n＝8．
∴y＝f(x)＝a2＋8．
∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7．
法三(利用零点式)：
由已知f(x)＋1＝0两根为x＝2，x＝－1，
1 2
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1．
又函数有最大值y ＝8，即＝8．
max
解得a＝－4或a＝0(舍)．
∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7．
变式1变式、已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任
意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.
【答案】x2－4x＋3
【解析】 因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称.
又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，
所以f(x)＝0的两根为2－＝1或2＋＝3.
所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0).
因此设f(x)＝a(x－1)(x－3).
又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，
所以3a＝3，则a＝1.
故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3
方法总结：求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函
数解析式的形式，一般选择规律如下：考向三 根的分布问题
例3、(2019苏州期末）、已知函数 ．
（1）若 的两个零点均小于2，求实数a的取值范围；
（2）方程 在 上有且只有一个实根，求实数a的取值范围．
解析 （1）由题意，等价于 ，解得 或 ．
（2）①当 时，此时 在 上有且只有一个实根，得 ；
②当 时，即 时，此时 有 ，舍去；
③当 时，即 时，此时 有 或 ，舍去，
综上： ．
变式1、(2017苏锡常镇调研） 已知函数 ，若 有一个小于1与一个大于
2的两个零点，求实数a的取值范围 ．
【答案】
解析 由题意，等价于 ，解得 ．
变式2、 已知函数 ，方程 在 上有实根，求实数a的取值范围．
解析1 ①当 时，此时 在 上有且只有一个实根，得 ；
②当 时，即 时，此时 有 ，舍去；
③当 时，即 时，此时 有 或 ，舍去，
④当 时，此时 在 上有两个实根，无解；综上： ．
解析2 方程即为 ，因为 时 ，于是 ，
令 ，设 ，即 ， ，
所以 在 上单调递增， ，所以 ．
变式3、(2019常州期末）若方程 至少有一个正根，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
解析1 记 ，
①当 时， ， 解得 ，不符合条件；
②当 时，
（ⅰ）当 只有一个正根，且0不是它的根，则有 或 ，解得 ；
（ⅱ）当 有两个不等正根，则 ，此时 无解，
综上：实数a的取值范围是 ．
解析2 因为 显然不适合方程 ，于是问题等价于 至少有一个正根，
记 ， ，所以 在 上递增，且 ，
所以实数a的取值范围是
方法总结：对于一元二次函数根的分布问题，主要就是根据条件正确列出等价条件。可以从一元二次函数
的开口、对称轴和关键的点等入手。
考向四 一元二次函数的最值问题
例4、已知函数y＝4x2－12x＋3．当x∈R时，值域为________；当x∈[2，3]时，值域为________；
当x∈[－1，5]时，值域为________．
2．若函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，求实数m的取值范围．
3．求函数f(x)＝x2－2ax在区间[0，1]上的最小值．
【解析】：1．因为y＝4x2－12x＋3＝4－6，所以
当x∈R时，值域为[－6，＋∞)；
当x∈[2，3]时，∉[2，3]，根据函数图象知函数在区间[2，3]上单调递增，故当x＝2时，y取得最小值－
5，当x＝3时，y取得最大值3，则值域为[－5，3]．当x∈[－1，5]时，∈[－1，5]，则当x＝时，y取得最小值－6，当x＝5时，y取得最大值43，故值域为[－
6，43]．
2．作出函数y＝x2－2x＋3的图象如图．
由图象可知，要使函数在[0，m]上取得最小值2，则1∈[0，m]，从而m≥1，
当x＝0时，y＝3；当x＝2时，y＝3，
所以要使函数取得最大值为3，则m≤2，
故所求m的取值范围为[1，2]．
3．f(x)＝x2－2ax＝(x－a)2－a2，对称轴为x＝a．
(1)当a＜0时，f(x)在[0，1]上是增函数，
∴f(x) ＝f(0)＝0．
min
(2)当0≤a≤1时，f(x) ＝f(a)＝－a2．
min
(3)当a＞1时，f(x)在[0，1]上是减函数，
∴f(x) ＝f(1)＝1－2a，
min
综上所述，f(x) ＝
min
变式1、（2019年泰州中学期末试题）求二次函数 在区间 上的最大
值．
【解析】 ，对称轴为
①当 时
（ⅰ）当 时，即 时， ；
（ⅱ）当 时，即 时， ；
②当 时，
（ⅰ）当 时，即 时， ；
（ⅱ）当 时，即 时， ，综上所述，
变式2、函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值为g(t)．
(1)求g(t)的解析式；
(2)求g(t)的最大值．
【解】 (1)f(x)＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3.
当t＋1<2，即t<1时，f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，∴g(t)＝f(t＋1)＝－t2＋2t＋2；
当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝3；
当t>2时，f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，
∴g(t)＝f(t)＝－t2＋4t－1.
综上所述，g(t)＝
(2)当t<1时，g(t)＝－t2＋2t＋2＝－(t－1)2＋3<3；
当1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝3；当t>2时，g(t)＝－t2＋4t－1＝－(t－2)2＋3<3.
∴g(t)的最大值为3.
方法总结：二次函数在给定区间上的最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端
点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的图像和单调性，根据对称轴在区间的左边(包括
端点)、内部和右边(包括端点)三种情况分类讨论即可获解．
考向五 一元二次函数的恒成立问题
例5、已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是
________．
【答案】 (－∞，－1)
【解析】f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，
即x2－3x＋1－m>0，
令g(x)＝x2－3x＋1－m，
要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立，
只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，
∴g(x) ＝g(1)＝－m－1.
min
由－m－1>0，得m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
变式1、若t2－kt－1≤0在t∈[－1，1]上恒成立，求实数k的取值范围．
【解析】求二次函数f(t)＝t2－kt－1在给定区间上的最大值M，二次函数f(t)的图像的对称轴为直
线t＝2k.
①当 2k∈[－1，1]，即 k∈时，M＝f(－1)或f(1)，由 M≤0，得 f(－1)≤0且f(1)≤0，解得－
≤k≤，又k∈，故－≤k≤；
②当2k<－1，即k<－时，函数f(t)在[2k，1]上单调递增，故M＝f(1)＝－k－1，由M≤0，得k≥
－，又k<－，故－≤k<－；
③当2k>1，即k>时，函数f(t)在[－1，2k]上单调递减，故M＝f(－1)＝＋k－1，由M≤0，得k≤，又k>，故<k≤.
综上知，实数k的取值范围为.
变式2、（苏北四市、苏中三市三调）已知函数 ， ．若对任意 ，总
存在 ，使得 成立，则实数 的值为 ▲ ．
【答案】
【解析】因为 在 上单调递减，所以 ，
解法1 由题意得， ，即 在 上恒成立，
即 ，在 上恒成立，
所以 即 在 上恒成立，
所以 ， .
解法2 .因为 ，所以 即 解得
.
方法总结：(1)、“任意-任意”型这类问题的表现形式为： ，不等式成立.
.
(2)、“任意-存在”型
这类问题的表现形式有二： ，等式成立. ，不等式成立.
这种“任意-存在”型问题的常见题型及具体转化策略为：
1、 ；
；
2、 ；3、“存在-存在”型
这类问题的表现形式有二： ，等式成立. ，不等式成立.
总结：这种双主元的“存在-存在”型问题的转化策略为：
1、（2020江苏7）已知 是奇函数，当 时， ，则 的值是 ．
【答案】
【解析】 是奇函数，当 时， ，则 ．
2、(2016全国III) 已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ， ，且幂函数 在 上单调递增，指数函数
在 上单调递增，所以 ，故选A．
3、（2020 浙江 9）已知 且 ，若 在 上恒成立，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时，在 上， 恒成立，∴只需满足 恒成立，此时
，由二次函数的图象可知，只有 时，满足 ， 不满条件；当 时，在 上， 恒成立，∴只需满足 恒成立，此时当两根分
别为 和 ，
（1）当 时，此时 ，当 时， 不恒成立，
（2）当 时，此时 ，若满足 恒成立，只需满足
当 时，此时 ，满足 恒成立，
综上可知满足 在 恒成立时，只有 ，故选C ．
4、(多选)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题，其中是真命题的是( )
A．若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数
B．存在a∈R，使得f(x)为偶函数
C．若f(0)＝f(2)，则f(x)的图象关于x＝1对称D．若a2－b－2＞0，则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点
【答案】AB
【解析】对于选项A，若a2－b≤0，则f(x)＝|(x－a)2＋b－a2|＝(x－a)2＋b－a2在区间[a，＋∞)上是增
函数，故A正确；对于选项B，当a＝0时，f(x)＝|x2＋b|显然是偶函数，故B正确；对于选项C，取a＝
0，b＝－2，函数f(x)＝|x2－2ax＋b|化为f(x)＝|x2－2|，满足f(0)＝f(2)，但f(x)的图象关于x＝1不
对称，故C错误；对于选项D，如图，a2－b－2＞0，即a2－b＞2，则h(x)＝|(x－a)2－b－a2|－2有4个零
点，故D错误．
5、(2018上海)已知 ，若幂函数 为奇函数，且在 上递减，则
=_____．
【答案】
【解析】由题意 为奇函数，所以 只能取 ，又 在 上递减，所以 ．
6、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x．现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，
如图所示，请根据图象：
(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间；
(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式；
(3)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1，2])，求函数g(x)的最小值．
【解析】(1)f(x)在区间(－1，0)，(1，＋∞)上单调递增．
(2)设x＞0，则－x＜0，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，
∴f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x＞0)，
∴f(x)＝
(3)g(x)＝x2－2x－2ax＋2，对称轴方程为x＝a＋1，
当a＋1≤1，即a≤0时，g(1)＝1－2a为最小值；
当1＜a＋1≤2，即0＜a≤1时，g(a＋1)＝－a2－2a＋1为最小值；
当a＋1＞2，即a＞1时，g(2)＝2－4a为最小值．综上，g(x) ＝
min
