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考点 16 二次函数与幂函数
【命题解读】
二次函数为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性
质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算
求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；
【基础知识回顾】
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如 y ＝ x α 的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，x，x为f(x)的零点.
1 2 1 2
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象
(抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点
坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
在上是减函数； 在上是增函数；
单调性
在上是增函数 在上是减函数
[常用结论与微点提醒]
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.
3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；
(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
1、幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是( )
【答案】C
【解析】(1)设幂函数的解析式为y＝xα，
因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，
所以2＝4α，解得α＝.
所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0f (1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
【答案】A
【解析】 由f (0)＝f (4)，得f (x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f (0)>f (1)，f(4)>f (1)，∴f (x)先减后增，于是a>0，故选A
3、若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，2)
【答案】A
【解析】二次函数y＝kx2－4x＋2的对称轴为x＝，当k>0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是
增函数，只需≤1，解得k≥2.
当k<0时，<0，此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是
减函数，不符合要求．综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞)．
4、若函数y＝x2－3x＋4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围为( )
A．(0，4] B.
C. D.
【答案】C
【解析】y＝x2－3x＋4＝＋的定义域为[0，m]，显然，在x＝0时，y＝4，又值域为，根据二次函数图象的
对称性知≤m≤3，故选C.
5、不等式x2+a|x|+4≥0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．[0，+∞） B．[﹣4，+∞） C．[﹣4，4] D．（﹣∞，﹣4]
【答案】B
【解析】f（x）＝x2+a|x|+4为偶函数；
当a≥0，x＞0时，函数化为f（x）＝x2+ax+4，对称轴x＜0，f（0）＝4＞0，不等式恒成立；
当a＜0时，x＞0时，函数化为f（x）＝x2+ax+4，可得△＝a2﹣16≤0显然成立
解得﹣4≤a＜0，
综上a [﹣4，+∞）．
故选：∈B．.
6、(2017徐州、连云港、宿迁三检）已知对于任意的−1 ，都有 A ，则
实数B的取值范围是 ▲ ．
【答案】
【解析】 当 ，即 ， 时，满足题意；
当 ，即 ， 或 时，则 ，解之得 ，所以 ，又因为 或 ，所以 ，
综上所述，实数 的取值范围为 。
考向一 幂函数的图像与性质
1．幂函数y＝f(x)的图像过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的解析式为___________．
2．图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的图像．已知α取±2，±四个值，则相应 于
曲线C ，C ，C ，C 的α值依次为____________．
1 2 3 4
3．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞) 上
是增函数？
【答案】（1） ．
（2）2，，－，－2（3）m＝－1．
【解析】（1）令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝，∴ ．
（2）：2，，－，－2
（3）∵函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3是幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1．
当m＝2时，－5m－3＝－13，函数y＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；
当m＝－1时，－5m－3＝2，函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数．∴m＝－1．
变式1、已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为
( )
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
【答案】B
【解析】∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x在(0，＋∞)上是减函数，
∴∴n＝1，
又n＝1时，f(x)＝x－2的图象关于y轴对称，故n＝1.故选B.变式2、若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．ab＝，因为y＝是减函数，所以a＝2时，f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，
∴g(t)＝f(t)＝－t2＋4t－1.
综上所述，g(t)＝
(2)当t<1时，g(t)＝－t2＋2t＋2＝－(t－1)2＋3<3；
当1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝3；当t>2时，g(t)＝－t2＋4t－1＝－(t－2)2＋3<3.
∴g(t)的最大值为3.
方法总结：二次函数在给定区间上的最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端
点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的图像和单调性，根据对称轴在区间的左边(包括
端点)、内部和右边(包括端点)三种情况分类讨论即可获解．
考向五 一元二次函数的恒成立问题
例5、已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是
________．
【答案】 (－∞，－1)
【解析】f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，
即x2－3x＋1－m>0，
令g(x)＝x2－3x＋1－m，
要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立，
只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，
∴g(x) ＝g(1)＝－m－1.
min
由－m－1>0，得m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
变式1、若t2－kt－1≤0在t∈[－1，1]上恒成立，求实数k的取值范围．
【解析】求二次函数f(t)＝t2－kt－1在给定区间上的最大值M，二次函数f(t)的图像的对称轴为直
线t＝2k.
①当 2k∈[－1，1]，即 k∈时，M＝f(－1)或f(1)，由 M≤0，得 f(－1)≤0且f(1)≤0，解得－
≤k≤，又k∈，故－≤k≤；
②当2k<－1，即k<－时，函数f(t)在[2k，1]上单调递增，故M＝f(1)＝－k－1，由M≤0，得k≥
－，又k<－，故－≤k<－；
③当2k>1，即k>时，函数f(t)在[－1，2k]上单调递减，故M＝f(－1)＝＋k－1，由M≤0，得k≤，又k>，故
