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考点 15 对数函数
【命题解读】
1、理解对数的概念及其运算性质，换底公式使用方法，对数函数的概念、图象与性质；
2、对数函数图象常结合着零点问题、复合函数问题等综合考察，则为较难题
【基础知识回顾】
1、对数函数y＝logx(a>0，且a≠1)的图象与性质
a
底数 a >1 0< a <1
图
象
定义域：(0，＋∞)
值域：R
性 图象过定点(1，0)，即恒有log 1＝0
a
质 当x>1时，恒有y>0； 当x>1时，恒有y<0；
当0<x<1时，恒有y<0 当0<x<1时，恒有y>0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
注
当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论
意
2、反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logx(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线
a
y ＝ x 对称．
对数函数的图象与底数大小的比较
3、如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应 的 底
数．
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
1、函数f(x)＝log (－x2＋2)的值域为( )
2A. B.
C. D.
2、当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log x的图象为( )
a
3、不等式log x＋3)<log x－6)的解集为( )
(2 (5
A.(－∞，3) B. C. D.
4、(2018苏州期末）已知4a＝2，logx＝2a，则正实数x的值为________．
a
5、(2018盐城三模）．函数 的定义域为 ▲ ．
6、已知表中的对数值有且只有一个是错误的．
x 3 5 6 8 9
lg x 2a－b a＋c－1 1＋a－b－c 3(1－a－c) 2(2a－b)
试将错误的对数值加以改正为________．
考向一 对数函数的性质及其应用
例1、（1）函数y＝的定义域是（ ）
A. B. C. D. ．
（2）设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________．
（3）若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________．
变式1、（1）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
（2）已知a＝log e，b＝ln 2，c＝log ，则a，b，c的大小关系为( )
2 \f(1,2A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
（3）设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)
变式2、（1）已知 是偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
a 20.2 blog 0.2 clog 0.3
（2）（2020·浙江衢州·期中）已知 ， 2 ， 0.2 ，则（ ）
abc acb bca cab
A． B． C． D．
方法总结：对数函数的性质有着十分广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和
值域、最值等等．
(1)对数值大小比较的主要方法：①化为同底数后利用函数的单调性；②化为同真数后利用图像比较；
③借用中间量(0或1等)进行估值比较．
(2)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时
须分底数0<a<1和a>1两种情形进行分类讨论，防止错解．
考向二 对数函数的图像及其应用
例1、（1）已知函数y＝log (x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图，给出以下结论正确的是
a
（ ）
A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1；
C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1．
（2）当0＜x≤时，4x＜log x，则a的取值范围是（ ）
a
A. B. C. D. ．
（3）若函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．变式1、函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为( )
变式2、关于函数 下列描述正确的有
A．函数 在区间 上单调递增
B．函数 的图象关于直线 对称
C．若 ，但 ，则
D．函数 有且仅有两个零点
变式3、（2020·浙江月考）已知函数y=sinax+b(a>0)的图像如图所示，则函数y=loga(x+b)的图像可能是（
）A． B．
C． D．
方法总结：(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、
值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．
考向三 对数函数的综合及应用
例3、关于函数f (x)＝ln ，下列说法中正确的有( )
A．f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．f (x)为奇函数
C．f (x)在定义域上是增函数
D．对任意x，x∈(－1,1)，都有f (x)＋f (x)＝f
1 2 1 2
变式1、(多选)已知函数f (x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝f (1－|x|)，则关于函数
h(x)有下列说法，其中正确的说法为( )
A．h(x)的图象关于原点对称 B．h(x)的图象关于y轴对称
C．h(x)的最大值为0 D．h(x)在区间(－1,1)上单调递增
变式2、已知函数f(x)＝3－2log x，g(x)＝log x．
2 2
(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．
变式3、已知函数f(x)＝log (ax2＋2x＋3)．
4
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．方法总结：：高考对对数函数的考查多以对数与对数函数为载体，考查对数的运算和对数函数的图像和性
质的应用，且常与二次函数、方程、不等式等内容交汇命题．解决此类问题的关键是根据已知条件，将问
题转化为(或构造)对数函数或对数型函数，再利用图像或性质求解．
1、(2018全国卷Ⅲ)设 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
2、(2018全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（ ）
A． B． C． D．
3、（2017新课标Ⅰ）已知函数 ，则
A． 在 单调递增 B． 在 单调递减
C． 的图像关于直线 对称 D． 的图像关于点 对称
4、（2017新课标Ⅱ）函数 的单调递增区间是
A． B． C． D．
5、（2020全国Ⅱ理9）设函数 ，则 （ ）A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减
6、(2018全国卷Ⅰ)已知函数 ，若 ，则 =________．
7、(2018全国卷Ⅲ)已知函数 ， ，则 ___．
8、已知函数f(x)＝log (x＋1)－log (1－x)，a>0且a≠1．
a a
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集．
