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考点 16 二次函数与幂函数
【命题解读】
二次函数为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性
质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算
求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；
【基础知识回顾】
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如 y ＝ x α 的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，x，x为f(x)的零点.
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(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象
(抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点
坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
在上是减函数； 在上是增函数；
单调性
在上是增函数 在上是减函数
[常用结论与微点提醒]
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.
3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；
(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
1、幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是( )
2、已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
3、若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，2)
4、若函数y＝x2－3x＋4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围为( )
A．(0，4] B.
C. D.
5、不等式x2+a|x|+4≥0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）A．[0，+∞） B．[﹣4，+∞） C．[﹣4，4] D．（﹣∞，﹣4]
6、(2017徐州、连云港、宿迁三检）已知对于任意的−1 ，都有 A ，则
实数B的取值范围是 ▲ ．
考向一 幂函数的图像与性质
1．幂函数y＝f(x)的图像过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的解析式为___________．
2．图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的图像．已知α取±2，±四个值，则相应 于
曲线C ，C ，C ，C 的α值依次为____________．
1 2 3 4
3．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞) 上
是增函数？
变式1、已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为
( )
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
变式2、若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是
________．
变式1、若t2－kt－1≤0在t∈[－1，1]上恒成立，求实数k的取值范围．
变式2、（苏北四市、苏中三市三调）已知函数 ， ．若对任意 ，总
存在 ，使得 成立，则实数 的值为 ▲ ．
方法总结：(1)、“任意-任意”型这类问题的表现形式为： ，不等式成立.
.
(2)、“任意-存在”型
这类问题的表现形式有二： ，等式成立. ，不等式成立.
这种“任意-存在”型问题的常见题型及具体转化策略为：
1、 ；
；2、 ；
3、“存在-存在”型
这类问题的表现形式有二： ，等式成立. ，不等式成立.
总结：这种双主元的“存在-存在”型问题的转化策略为：
1、（2020江苏7）已知 是奇函数，当 时， ，则 的值是 ．
2、(2016全国III) 已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
3、（2020 浙江 9）已知 且 ，若 在 上恒成立，则
（ ）
A． B． C． D．
4、(多选)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题，其中是真命题的是( )
A．若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数
B．存在a∈R，使得f(x)为偶函数
C．若f(0)＝f(2)，则f(x)的图象关于x＝1对称
D．若a2－b－2＞0，则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点
5、(2018上海)已知 ，若幂函数 为奇函数，且在 上递减，则
=_____．6、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x．现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，
如图所示，请根据图象：
(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间；
(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式；
(3)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1，2])，求函数g(x)的最小值．
